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• Mauricio Senior Ramírez

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TAREAS 5 Y 6 x  0

2

EI  27000

kN  m

1

Lab  L1

Lcd  L1

EA  500000 Lac  L2

2

30

Lbd 

3

L2  3  2

x 20

3

2

Lcb  Lab  Lac  4.243

rad

Desplazamiento nodos c y d

1

12 EI

1

k11  Lac



3

6 EI

1

k21  Lbd

EA Lcb

2

12 EI

1

 ( cos ( ) )  Lbd

3

1

4

 9.493 10

3

Lde 6 EI

0

1

k31 

2

Lde

6 EI

1

k12  Lbd

Lac

2

6 EI

1



4 EI 0

k22 

2

Lde

12 EI

4

 1.8 10

1

k41 

2

4

 1.2 10

3

Lde

U  1

Giro nodo c

3

6 EI

1

4

 1.8 10

2

2 EI

2

Lcd

4 EI

1

2



Lbd

Lcd

4 EI

4

 5.4 10

2

4

5

 1.8 10

6 EI

1

k42 

2

Lde

4 EI

1

Lac

k43  0

Lde

 5.4 10

Lcd

k33 

1



2 EI k32 

Lac

1

Giro nodo d

2

k13 

12 EI 

6 EI 

2

U  1

k23 

x

Lde  L2

  0.785  Lcd 

1

U  1

Lbd  L2

  atan 

4

EI  3 EI  8.1 10

L1  3 

kN

4 EI 

2

Lcd

5

 1.44 10

4

 1.8 10

U  1

Desplazamiento horizontal nodo e

4

12 EI

1

k14 

6 EI

4

 1.2 10

1

k24 

3

12 EI

4

 1.8 10

2

Lde

Lde

4 4  9.493 104 0 1.8  10 1.2  10    5 4 4  0 1.8  10 5.4  10 1.8  10      4 4 5 0  1.8  10 5.4  10 1.44 10  4   1.2 104 1.8  104 0 1.2  10  

k12 k13 k14



k22 k23 k24 k32 k33 k34



k42 k43 k44

Figura B

4

2

EI  2 EI  5.4 10 3

Lab  L1

Lbe  L1 2

Lbc  L2

x 30

3

L2  3  2

Lcd  L2

  atan 

x 20

3

2

Lec  Lbe  Lbc  4.243

Lbe

  0.785  Lbc 

2

Lac  Lbc  Lab  4.243 U  1

L1  3 

kN  m

1

  atan 

Lab 

  0.785  Lbc

rad

Desplazamiento en nodos b,c y d

1

12 EI

3

k11  Lab

12 EI

3

1

2

Lbe

U  1 6 EI

3

Lab

EA

2

 ( cos ( ) ) 

Lec

3

 1.8  10

6 EI  Lab

4

2

EA

2

Lac

k31  0

5

 ( cos ( ) )  1.539 10

k41 

EA Lec

 sin( )  cos ( ) 

EA Lac

 sin( ) cos ( )  0

Giro en el nodo b

2

k12 



3

Lbe

6 EI k21 

1



2

6 EI

1



2

Lbe

4

 1.8  10

4 EI k22 

3

Lab

4 EI 

1

Lbe

5

 1.08 10

4

 1.2  10

3

Lde

 k11  k21 KLL   1  k31  k41 

1

k44 

k34  0

2 EI

3

k32 

6 EI

4

 3.6 10

Lbc

3

k42 

4

 3.6  10

2

Lbc

U  1

Giro en el nodo c

3

2 EI

k13  0 6 EI

1



2

Lbc

Lcd

U  1

Lbc

4 EI

4

 3.6 10

6 EI

3

k43 

k33 

3

Lbc

4 EI 

1

Lcd

5

 1.08 10

4

 1.8  10

2

Desplazamiento vertical en el nodo c

4

k14 

3

k23 

EA Lac

 sin( )  cos ( ) 

6 EI

3

k34 

2

Lbc

 k11  k21 KLL2    k31  k41 

EA Lec

6 EI

1

 Lcd

6 EI

4

k44 

2



k22 k23 k24 k32 k33 k34



k42 k43 k44

4

 3.6  10

2

Lbc

 1.8  10

k12 k13 k14

3

k24 

 sin( )  cos ()  0

 1.539 105   4 1.8  10    0   0 

EA Lec

2

 ( sin ( ) ) 

EA Lac

2

0

1

Lcd

  5 4 4 1.08  10 3.6  10 3.6  10  4 5 4 3.6  10 1.08  10 1.8  10  4 4 5 3.6  10 1.8  10 1.539 10  4

1.8  10

12 EI

 ( sin( ) ) 

0

3

12 EI

3



3

Lbc

Tras la reducción de GDL's por cambios de apoyo y la simetría se puede considerar el siguiente elemento para evaluar con un GDL de un giro en el nodo b 6

3

7

E  20 10  2  10

4

EI  E I  2.278 10 x

Lab  4 

4

50

I 

kPa 2

Lbc  6

3

x 10

 25

f  25

m

4

 1.139 10

12

w1  25 

kN  m

m

0.150.45 

m

kN

w2  25 kN

m

kN

PASOS 2 y 3: Matrices de rigidez de los elementos y de la estructura U  1

Giro nodo b

1

k

11



( 4 EI) Lab

KLL  k



( 4 EI) Lbc

4

 3.797 10

11

PASO 4: VECTOR DE FUERZAS Para la viga en a-b

Ay 

( w1 Lab)

1

Mab´ 

2 w1 Lab

2

w2 Lbc 2



 50

By 

w1 Lab

1

2

 33.333

12 Para la viga en b-c

By 

Tipo 1

f 2

 87.5

Mba´ 

2

 50

w1 Lab

2

12

Cy2  By  87.5 2

 33.333

Mbc´ 

w2Lbc2  (f Lbc)  93.75 12

Mcb´  Mbc´  93.75 Fn  0

Fo  Mba´  Mbc´  60.417

FL  Fn  Fo  60.417

8

PASO 5: Desplazamientos (  1)

UL  KLL

Giro en radianes del nodo B 3

 FL  1.591 10

Inciso (a)

radianes

PASO 6: Reacciones Internas

Mab 

2 EI Lab

Punto (b)

Mba  

 UL  Mab´  15.208

Ay  Ay 

( 6 EI)

1

( Lab)

2

( 4 EI)

 Lab

 UL  36.406

Bba 



6 EI ( Lab)

V(X)  Ay  w1X

V(Lab)  63.594

 UL  Mba´  69.583

2

 UL  By  63.594 1

2

M( X)  Ay  X 

w1 X

2 Diagrama de Momentos Viga en A-B

M(Lab)  69.583

 Mab

20 0  20 M ( X)  40

KN  m

 60  80 0

1

2

3

X

4

( m)

Viga en b-c

Mbc  Mcb 

4 EI Lbc

( 2 EI)

V2( X) 

Bbc  w2

 UL  Mbc´  69.583

Lbc

 UL  Mcb´  105.833

2

6 EI ( Lbc)

Bbc  w2 X if 0  X  Bbc  w2 X  f if

Cy 

Lbc

Lab 2

Lbc 2  X  Lbc

2



f 2



6 EI ( Lbc)

 UL   w2



2

 UL  81.458

Lbc 2



f

  93.542

2

2

M( X)  Mbc  Bbc X 

C1  M

M

w2 X

  62.292  2 

2 w2 

Lbc

2

  2   f  Lbc  5.417

Lbc

 Lbc   Bbc     2   2 

2

2

2

M2( X) 

Mbc  Bbc X 

Lbc

w2 X

if 0  X 

2

Lbc 2

 w2 X2    f  X  C1 if Lbc  X  Lbc 2  2 

Bbc X  

M2



Lbc 2

  62.292 

M2(Lbc)  105.833 Diagrama de Momentos Viga en b-c

100 50 0 M2 ( X)  50  100  150 0

2

4

6

X

Punto (c)

Reacciones

Ay  36.406

kN

By  Bba  Bbc  145.052

kN

Dy  By  145.052

kN

Cy2  2Cy  187.083

kN

Ey  Ay  36.406

kN

Por simetría se puede dibujar el segmento abc de la viga reflejándose con cde CURVA ELÁSTICA El sentido del giro cambia de acuerdo a cada longitud en función del valor de x de las longitudes

Punto d- Tolerancia Usando SAP2000: 5%

Lad  3 

x 100

3 2

Lbd  3  2

Lab  ( Lad )  ( Lbd)  4.243

x 50

3

Lce  Lad

Lbe  3 

x 30

3 2

2

Lbc  ( Lbe)  ( Lce)  4.243

  atan 

Lbe

  0.785  Lce 

EA  912000 w  20

2

kN  m

kr  5000

rad kN m

kN

w1  30

m

Lbd 

  0.785  Lad 

EI  1092

kN kN

  atan 

rad

m

a. Método 1(Al final de documento de la tarea): Parte Excel

b.

Método 2 Existen dos Grados de Libertad. U1= Giro en el nodo b U2=Desplazamiento en X GLOBAL en el nodo b

MATRIZ KLL

U1  1 k

k

11

21

 

( 3 EI) Lbc



( 3 EI) ( Lbe)



2

( 4 EI) Lbd



( 6 EI) ( Lbd)

( 3 EI)

3

 3.32 10

Lbe 

2

3 EI 2

 sin( )  235.307

Lbc

3 EI Lab

2

sin( )  128.693

U2  1 k

12



( 3 EI) ( Lbe)

k

22



2

( 6 EI) ( Lbd)

2



3 EI 2

 sin( )  235.307

Lbc

 

EA 3 EI EA 3 EI ( 3 EI) ( 12 EI) 2 2 2 2  ( sin( ) )    ( cos ( ) )   ( sin( ) )     kr  Lbc  (cos ( ))     3 Lab 3 3 3 Lbc Lab Lbd    Lbe 

k

5

22

 2.206 10

 k11 k12  3.32 103 235.307     k k   5  21 22  235.307 2.206 10 

KLL  

VECTOR DE FUERZAS Y DESPLAZAMIENTOS

w Lbd

Rdb1 

Rbe1 

2

Rbd1  Rdb1

 30

5 w1 Lbe 8

 56.25

 0 Fn     0

Reb1 

3 w1 Lbe 8

Mdb1 

w Lbd

2

12

Mbd1  Mdb1

 15

2

 33.75

Mbe1 

w1 Lbe

 33.75

8

Meb1  Mbe1

 Mbd1  Mbe1    18.75  Fo       Rbd1  Rbe1   86.25  18.75   86.25 

FL  Fn  Fo  

DESPLAZAMIENTOS

 3   U1  KLL 1 FL   5.675 10     4   U2  3.97 10 

radianes metros

FUERZAS INTERNAS Elemento A-B

m1ab 

EA Lab

3 EI

2

 ( cos ( ) ) 

Lab

3

2

5

 ( sin( ) )  1.075 10

m3ab 

m4ab  

EA 3 EI  5  sin( )  cos ( )  1.075 10  Lab   3 Lab   3 EI

m5ab 

Lab

2

m6ab 

3 EI Lab

3 EI Lab

 cos ( )  128.693

Pab  m1abU2  42.68

Vab  m4abU2  42.663

Mab  m6abU2  0.051

Pba  m1abU2  42.68

Vba  m4abU2  42.663

 Pab   Vab    Mab   P   Pba   Vba     Mba 

 cos ( ) sin( )  sin( ) cos ( )  0 0     0 0  0 0  0  0

Mba  0 0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0



0 cos ( ) sin ( ) 0 

  1

0 sin ( ) cos ( ) 0 0

0

0

2

 772.161

 sin( )  128.693

 pab   60.346  vab   0.012       mab     P   0.051   pba   60.346   vba   0.012       mba  0  V1ab(X)  vab

M1ab(X)  vab  X  mab  14

M1ab(Lab)  1.826 10

0.02 M1ab( X) 0.02  0.06

0

1

2

3

4

X

Elemento C-B

m1bc 

EA Lbc

2

 ( cos ( ) ) 

3 EI 3

2

5

 ( sin( ) )  1.075 10

Lbc

m4bc  

EA 3 EI  5  sin( )  cos ( )  1.075 10  Lbc   3 Lbc  

m5bc 

m3bc 

3 EI 2

m6bc 

3 EI Lbc

3 EI 2

 772.161

 sin( )  128.693

Lbc

 cos ( )  128.693

Lbc

Pcb  m6bcU1  m1bcU2  43.41

Pbc  m6bcU1  m1bc U2  43.41

Vcb  m5bcU1  m4bcU2  41.932

Vbc  m5bcU1  m4bcU2  41.932

Mcb  0

 cos ( ) sin ( )  sin ( ) cos ( )  0 0 bc    0 0  0 0  0  0

Mbc  m3bcU1  m6bcU2  4.433 0

0

0

0

0 0 0 0  1 0 0 0 0 cos ( ) sin ( ) 0   0 sin ( ) cos ( ) 0  0 0 0 1

 pcb   Pcb   60.346  vcb   Vcb   1.045         mcb   bc   Mcb    0   pbc   Pbc   60.346   vbc   Vbc   1.045         mbc  Mbc   4.433 

V1bc(X)  vcb

M1cb(X)  vcb X

M1cb(Lbc)  4.433

Diagrama de momentos elemento cb 1 M1cb( X) 3 5

0

1

2

3

4

X

Elemento B-D

Vdb 

6 EI Lbd

Mdb 

Vbd 

2

2 EI Lbd

 U1 

Lbd Mbd 

Lbd

 U1 

6 EI 2

12 EI

2

4 EI Lbd

U1 

3

 U2  Rbd1  33.939

6 EI Lbd

2

 U2  Mdb1  11.157

12 EI Lbd

Rdb1  30

 U2  Rdb1  26.061

w Lbd

6 EI Lbd

U1 

3

2

 U2  Mbd1  22.974

V1bd(X)  Vdb  wX V1bd(Lbd)  33.939 2

M1bd ( X)  Vdb X 

w X 2

 Mdb

M1bd (Lbd)  22.974 Diagrama de Momentos Elemento BD

10 0 M1bd( X) 10  20  30 0

1

2 X

3

 30

Elemento BE

Mbe  Veb 

3 EI Lbe

3 EI 2

 U1  

3 EI   2  U2  Mbe1  27.408  Lbe 

3 EI

 U1 

Lbe

3

 U2  Reb1  35.864

Meb  0 3 EI

Vbe 

2

Lbe

Lbe

V1be(X)  Vbe  w1X

 U1 

3 EI 3

 U2  Rbe1  54.136

Lbe

V1be(Lbe)  35.864 2

M1be( X)  Vbe X  w1

X

2

 Mbe

 14

M1be(Lbe)  1.066 10

Coordenadas locales de b a e Contrario a hoja de excel pero mismos valores

Diagrama de Momentos Elemento B-E

30

20

10 M1be( X)

0

 10  20  30 0

1

2 X

CURVA ELÁSTICA Varia dirección de giro y desplazamiento de acuerdo a valores de longitud que están en función de x, este es un esquema factible

3

Propiedades de los Elementos 6

Eab  20 10

kPa

Ebc  Eab Iab 

b h

3

12

b  0.25 m

Rext  0.0762

h  0.4 m

t  0.00635

3

4

 1.333 10

Ibc  Iab

Ibd  4 4

Lad  Lab rad 6

EAab  Eab  Aab  2  10 6

EAbc  EAab  2  10

 4 4 6 Rext  (Rext  t)   7.783 10 4

4

m

EIbd  Ebd  Ibd  1.557 10

EIbc  Ebc Ibc  2.667 10

Lad    atan    0.785  Lab 

kPa

3

EIab  Eab  Iab  2.667 10

Lbc  Lab

6

Ebd  200 10

m

Lab  6 



2

x

Lbd  Lad  Lab

wab  20

6

30



2

f1  10

( 0.5)

Aab  b h  0.1

wbc  30

 8.485

f2  15

Abc  Aab

Abd    Rext  (Rext  t)   2.914 10 2

3

2

5

EAbd  Ebd  Abd  5.827 10

a. Método 1:(Al final del archivo de la tarea) -Parte Excel-

b. Método 2 Grado de Libertad: U1=Giro en el nodo b

Matriz KLL

K11 

4 EIab Lab



3 EIbc Lbc

3 EIbd



Lbd

4

 3.166 10

KLL  K11 Vector de Fuerzas

Fn  0

Fo 

wab Lab

2



12

f1  Lab 8

2



wbc Lbc



8

3 f2  Lbc 16



3 EIbc 2

 0.03  151.042

Lbc

FL  Fn  Fo  151.042 Desplazamientos  Giros 1

3

U1  KLL  FL  4.771 10

rad

Fuerzas Internas Elemento ab

Vab 

6 EIab Lab

2

 U1 

Mab 

Mba 

wab Lab

2 EIab Lab 4 EIab Lab

2

 U1 

 U1 



f1

 43.798

2

2



12

12

6 EIab Lab

wab Lab

w Lab

Vba 

2



f1  Lab 8

f1  Lab 8

 25.095

 152.309

2

 U1 

wab Lab 2



f1 2

 86.202

V1( X) 

Lab

Vab  wab  X if 0  X  Vab  wab  X  f1 if

2

Lab 2

 X  Lab

V1(Lab)  86.202

2

M1( X) 

Vab X 

wab  X 2

2

Vab X 

wab  X

 Mab if 0  X   f1   X 

Lab 2

Lab 

Lab

 X  Lab   Mab if 2  2

2  Diagrama de Cortante Elemento a-b

M1(Lab)  152.309

50 0 V1( X)  50  100 0

2

4

6

X

Diagrama de Momento Elemento AB 50

0

 50 M1 ( X)  100

 150

 200 0

2

4 X

6

Elemento bc

Vbc  

3 EIbc  5 wbc Lbc 11 f2 3 EIbc  U1     0.03  123.322   2 8 16 3 Lbc  Lbc 

Vcb 

3 EIbc 2

 U1 

3 wbc Lbc 8

Lbc

Mbc 

3 EIbc Lbc



2

 U1 

wbc Lbc

16



3 EIbc 3

 0.03  71.678

Lbc

3 f2  Lbc



8

5 f2

16



3 EIbc 2

 0.03  154.935

Lbc

Mcb  0

V2( X) 

Vbc  wbc X if 0  X  Vbc  wbc X  f2 if

Lab 2

Lab

 X  Lab

2

V2(Lbc)  71.678

2

M2( X) 

Vbc X 

wbc X 2

2

Vbc X 

wbc X 2

 Mbc if 0  X   f2   X 



Lbc 2

Lbc

Lbc

 X  Lbc   Mbc if 2  2  14

M2(Lbc)  5.684 10 cero

Diagrama de Momento Elemento BC

100

0 M2 ( X)  100

 200 0

2

4 X

6

Elemento db

m6db 

3EIbd Lbd

m3db 

2

 sin( )  45.863

3 EIbd Lbd

m5db 

3 EIbd Lbd

2

 cos ( )  45.863

 550.356

Pdb  m6dbU1  0.219

Vdb  m5dbU1  0.219

Mdb  0

Pbd  m6dbU1  0.219

Vbd  m5dbU1  0.219

Mbd  m3dbU1  2.625

 cos ( ) sin ( )  sin ( ) cos ( )  0 0 db    0 0  0 0  0  0

0

0

0

0

 pdb   Pdb   0   vdb   Vdb   0.309        mdb   db   Mdb    0   pbd   Pbd   0   vbd   Vbd   0.309         mbd   Mbd   2.625

0 0 0 0  1 0 0 0 0 cos ( ) sin ( ) 0   0 sin ( ) cos ( ) 0  0 0 0 1

V3(X)  vdb M3(X)  mdb  vdb X M3(Lbd)  2.625 Diagrama de Momentos Elemento d-b 0

1 M3 ( X) 2

3

0

2

4

6 X

8

Direcciones de giro dependen de longitudes, luego dependen del valor de x asignado a cada estudiante c. Los resultados obtenidos en el método 1 y en el método 2 presentan valores bastantes cercanos y se puede observar que el efecto de inextensibilidad de los elementos para carga axial es bastante pequeña aunque claramente debe evidenciarse su existencia. El error con respecto a SAP 200 no es mayor al 5%. Cabe mencionar que en el método 1 al considerar deformaciones axiales se considera la carga aplicada en el nodo, por lo cual las deformaciones si bien son pequeñas, son importantes como efecto global

6

E  20 10

3

kPa

A  0.10.25   0.025

I  2

m

0.10.25  12

4

 1.302 10

f  30

Lab  10 m

3

Lx  4 

EI  E I  2.604 10 5

x

4

w  20 

20  Lx 

  acos 

  1.159  Lab 

EA  E A  5  10

x 50

 20

kN m

rad

Matriz de Rigidez de la estructura

K11 

EA Lab

2

 ( sin( ) ) 

12 EI Lab

3

2

4

 ( cos ( ) )  4.2 10

KLL  K11 Vector de Fuerzas

 ax   ay     ma  bx   by     mb

0     w Lab f    2 2    w Lab 2 f  Lab     12 8      0   w Lab f    2 2     2   w Lab  f  Lab   8    12

 cos ( ) sin( )  sin ( ) cos ( )  0 0     0 0  0 0  0  0

 Ax   ax   105.399  Ay   ay   46         Ma     1  ma   204.167   Bx   bx   105.399  By   by   46         Mb   mb  204.167 Fo  0

FL  Fo  Fn  46 Desplazamientos 1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

3

UL  KLL  FL  1.095 10

m



0 cos ( ) sin ( ) 0 

  1

0 sin ( ) cos ( ) 0 0

0

 w Lab  f   cos ()  46  2  2 

Fn  By  46

0

0

0

m2ab 

EA Lab

2

 ( sin( ) ) 

12 EI Lab

3

2

4

 ( cos ( ) )  4.2 10

m4ab  

EA 12 EI  4  sin( )  cos ( )  1.832 10  Lab   3 Lab  

m5ab 

6 EI Lab

2

 cos ( )  62.5

Fuerzas Internas

Pab  m4abUL  20.061

Vab  m2abUL  46

Mab  m5abUL  0.068

Vba  m2abUL  46

Pba  m4abUL  20.061

Mba  m5abUL  0.068

 pab   Pab   50.184   vab   Vab   0.014         mab     Mab    0.068   pba   Pba   50.184  vba   Vba   0.014         mba  Mba   0.068   pi   pab  ax   50.184   vi   vab  ay   115.014         mi   mab  ma   204.235   pf   pba  bx   50.184  vf   vba  by   114.986         mf   mba  mb  204.098 V( X) 

vi  w X if 0  X  vi  w X  f if

Lab 2

P(X)  pi Lab 2  X  Lab

V(Lab)  114.986

2

M ( X) 

vi X 

w X 2

2

vi X 

w X 2

 mi if 0  X   f   X 



Lab 2

Lab 

Lab

 X  Lab   mi if 2  2

M(Lab)  204.098 Diagrama carga axial

40 P( X) 20 0

0

2

4

6

8

10

X

Diagrama Cortante 200 100 V( X) 0  100  200 0

2

4

Diagrama de Momentos

6

8

10

X

200 100 0 M ( X)  100  200  300 0

2

4

6

8

10

X

Nota : Los resultados obtenidos en SAP no difieren a los obtenidos en el presente procedimiento en un porcentaje no mayor al 3%.

8

Ead  2 10

kPa

Ecd  Ead

3

Aad  4.5610 

5

7

kPa

EAcd  Ecd  Acd  9.12 10

25

EAbc  EAab

3

EIbc  EIab

6

Ldc  Lad

Lbc  6 

w  20

Estructura de 4 grados de libertad

  atan 

Lbd 

  0.927  Lab 

  atan 

Lbd 

Iab  5.4610 

6

EIab  Eab  Iab  1.092 10 x

5

2

Aab  0.16 m

EAab  Eab  Aab  3.2 10

Lab  6 

  0.927  Lbc 

Acd  Aad 5

EAad  Ead  Aad  9.12 10 Eab  2 10

2

m

f2  50

x 25

4

m

EAbd  EAab EIbd  EIab

6

f1  20

Lbd  8

2

Lad  Lab  Lbd

2

Matriz de rigidez

U1  1

Desplazamiento horizontal nodo d

EAad

k11 

Lad

Lad

 sin( )  cos ( ) 

6 EIbd

k31 

2

EAad

k12 

2

4

 ( cos ( ) )  6.569 10

5

 sin( )  cos ( )  1.021 10

Lcd

k41 

 sin( )  cos ( ) 

Lad 12 EIab

k22 

Lab

3

k32  0

6 EIbd

 102.375

2

U3  1

5

k42 

6 EIab



2

3 EIbc 2

 91

Lbc

Giro en el nodo d

6 EIbd

k13 

Lbd

U4  1

EAcd

 sin( )  cos ( )  1.021 10 Lcd 3 EIbc EAad 2 EAcd 2 5    ( sin( ) )   ( sin( ) )  1.168 10 3 Lad Ldc Lbc

Lab

2

k23  0

 102.375

k33 

4 EIbd Lbd

 546

k43 

2 EIbd Lbd

Giro en el nodo b

6 EIbd Lbd

k34 

Ldc

3

EAcd

 102.375

EAcd



Lbd Lbd Desplazamiento vertical en nodos b y d

U2  1

k14 

12 EIbd Lbd

EAad

k21 

2

 ( cos ( ) ) 

2

2 EIbd Lbd

 k11 k21 KLL    k31  k41 

 102.375

k24 

6 EIab Lab

 273

k44 

k12 k13 k14



k22 k23 k24 k32 k33 k34



k42 k43 k44

4 EIab Lab

2





3 EIbc 2

 91

Lbc

3 EIbc Lbc

3

 1.274 10

 6.569 104 1.021 105 102.375 102.375     1.021 105 1.168 105  0 91   0 546 273  102.375   3 91 273 1.274 10   102.375

 273

EAcd    f2     sin ( )  cos ( )  ( 0.03) Lcd   Fuerzas internas   EAcd 3 EIbc w Lab 11 f1   2    ( sin ( ) )  ( 0.03)   0.03    50     Lcd 3 2 16  100  Lbc     Fo  Fn    2 f2  Lbd  0     0  9     2   w Lab f1  Lbc 3 EIbc  3   0.03   12 16 Lbc  

 4.478 103     3 FL  Fn  Fo   6.011 10   88.889   21.12    Desplazamientos traslacionales y rotacionales nodos b y d a.

 0.034  0.022 1 UL  KLL  FL    0.168   0.024    U1   0.034   U2   UL   0.022  U3   0.168   U4   0.024    

m

Desplazamiento en x nodo d

m Desplazamiento en y nodo d y b rad

Giro nodo d

rad

Giro nodo b

Elemento ab

Vab 

12 EIab Lab

Mab 

3

Vba 

Lab Mba 

2

12 EIab 3

2

 U2 

 U2 

6 EIab Lab

6 EIab Lab

6 EIab Lab

 U2 

2 EIab Lab

6 EIab Lab

 U2 

2

2

 U4 

 U4 

4 EIab Lab

 U4 

 U4 

w Lab

 57.009

2 w Lab

2

 55.355

12

w Lab 2 w Lab 12

 62.991 2

 73.302

2

V1(X)  Vab  wX

M1( X)  Mab  Vab X 

V1(Lab)  62.991

w X 2

M1(Lab)  73.302

b . Por doble integración

 Mab  X2 Vab X3 w X4      2 6 24   Uy1( X)  EIab

Uy1(Lab)  0.022 m Da el mismo valor que el obtenido por el metodo matricial de rigidez OK!

c.

Vbc 

3 EIbc 3

 U2 

Lbc Mbc 

3 EIbc 2

3 EIbc 2

3 EIbc 3

Lbc

11 f1 16

Lbc  U2 

Lbc Vcb 

 U4 

 U2  

3 EIbc Lbc 3 EIbc

 2  Lbc

 U4 

3 EIbc 3

 0.03  11.706

Lbc

3 f1  Lbc

 U4 

 



16 5 f1 16



3 EIbc 2

 0.03  10.238

Lbc 

3 EIbc 3

 0.03  8.294

Lbc

Mcb  0

V2( X) 

Vbc if 0  X  Vbc  f1 if

M2( X) 

Lbc

Lbc 2

2  X  Lbc

V2(Lbc)  8.294

Mbc  Vbc X if 0  X  Mbc  Vbc X  f1   X 



Lbc 2

Lbc

Lbc

 X  Lbc  if 2  2

M2(Lbc)  0

Elemento ab Diagrama de Cortante

100 50 V1( X)

0  50

 100 0

2

4

6

X

Diagrama de Momento 40 20 0 M1 ( X) 20  40  60  80 0

2

4

6

X

Elemento bc Diagrama de Cortante

20 10 V2( X)

0

 10  20 0

2

4

6

X

Diagrama de Momento

20 M2 ( X )

0

 20 0

2

4 X

6

d.

Reacciones en apoyos a y c

Vad  

EAad 

EAad

2  sin( )  cos ( )  U1   ( sin( ) )  U2  186.751  Lad  Lad 

Pad 

EAad Lad

2

 ( cos ( ) )  U1 

EAad Lad

 cos ( )  sin( )  U2  140.063

Mad  0 Vcd  

EAcd 

EAcd

EAcd

2 2 3  sin( )  cos ( )  U1   ( sin() )  U2   ( sin( ) )  ( 0.03)  1.009 10  Ldc Ldc  Ldc 

Pcd 

EAcd Ldc

2

 ( cos ( ) )  U1 

EAcd Ldc

 cos ( )  sin( )  U2 

EAcd Ldc

 cos ( )  sin( )  ( 0.03)  756.849

Mca  0 Ax  Pad  140.063 Cx  Pcd  756.849 e.

Tolerancia SAP 5%

Ay  Vab  Vad  129.742

Ma  Mab  55.355 3

Cy  Vcb  Vcd  1.017 10

Mc  0

PUNTOS EXCEL

Problema 4 X Lab(m) Lbc(m) Lad(m) Ldb(m) Eab(KPa) Ebc(KPa) Edb(KPa) Iab(m4) Ibc(m4) Idb(m4)

60 8 3 Grados de Libertad en el nodo b 8 8 11.314 20000000 (EI)ab 26666.66667 (EA)ab 2000000 20000000 (EI)bc 26666.66667 (EA)bc 2000000 200000000 (EI)bd 1556.641083 (EA)bd 582713.601 0.00133333 θ(rad) 0.785398163 0.00133333 Aab=Abc(m2) 0.10 0.00000778 Abd(m2) 0.002913568

Elemento ab Tipo α β γ (EA)ab (EI)ab θ(rad) Lab(m)

1 12 4 6 2000000 26666.66667 0.000 8.000

m1 m2 m3 m4 m5 m6

250000 625 13333.33333 0 2500 0

10 250000 0 0 -250000 0 0

Elemento bc Tipo α β γ EA(bc) (EI)bc θ(rad) Lbc(m)

2 3 3 3 2000000 26666.66667 0.000 8.000

m1 m2 m3 m4 m5 m6

250000 156.25 10000 0 1250 0

2 250000 0 0 -250000 0 0

Elemento bd Tipo α β γ (EA)bd (EI)bd θ(rad) Lbd(m)

2 3 3 3 582713.601 1556.641083 0.785 11.314

m1 m2 m3 m4 m5 m6

25754.15854 25754.15854 412.7667996 25750.9338 25.79792497 25.79792497

7 25754.15854 25750.9338 0 -25754.15854 -25750.9338 -25.79792497

11

Matriz Elemento ab 12 2 0 0 -250000 625 2500 0 2500 13333.3333 0 0 0 250000 -625 -2500 0 2500 6666.66667 0

Matriz Elemento bc 1 4 0 0 -250000 156.25 1250 0 1250 10000 0 0 0 250000 -156.25 -1250 0 0 0 0 3

8 25750.9338 25754.1585 0 -25750.9338 -25754.1585 25.797925

Matriz Elemento bd 9 2 0 -25754.1585 0 -25750.9338 0 0 0 25754.1585 0 25750.9338 0 25.797925

3

1 0 0 -625 2500 -2500 6666.66667 0 0 625 -2500 -2500 13333.3333

5 0 -156.25 -1250 0 156.25 0

10 11 12 2 3 1

6 0 0 0 0 0 0

3 1 -25750.9338 -25.797925 -25754.1585 25.797925 0 0 25750.9338 25.797925 25754.1585 -25.797925 -25.797925 412.7668

2 3 1 4 5 6

7 8 9 2 3 1

Suma de Matrices con los grados de libertad de interés 2 3 1 525754.159 25750.9338 25.797925 25750.9338 26535.40854 -1275.79792 25.797925 -1275.797925 23746.1001

[KLL]3x3

PASO 4: Vector de Fuerzas Elemento ab [Fo] 10 11 12 2 3 1

0 85 116.6666667 0 85 -116.6666667

2 3 1 4 5 6

[Fn]

Elemento bc [Fo] 0 165 300 0 90 0

[Fo] 0 -30 0

2 3 1

7 8 9 2 3 1

Elemento bd [Fo] 0 0 0 0 0 0

[FL]

0 250 183.3333333

0 -280 -183.333333

2 3 1 525754.1585 25750.9338 25.79792497 25750.9338 26535.40854 -1275.797925 25.79792497 -1275.79792 23746.10013

2 3 1

Paso 5: Desplazamiento

[KLL]3x3

Giro sin efectos axiales [KLL]^-1

F(3,1)/K11

1.99722E-06 -1.9433E-06 -1.06577E-07 -1.9433E-06 3.96739E-05 2.13366E-06 -1.0658E-07 2.13366E-06 4.22269E-05

[FL] 0 -280 -183.333333

-0.00772057 radianes [UL] 2 0.00056366 m 3 -0.01149987 m 1 -0.00833903 rad

2 3 1

Diagramas Elemento ab Vab(KN) 0.8 Mab(KN-m)

X(m) 0 0 0.8 1.6 2.4 3.2 4 4 4.8 5.6 6.4 7.2 8.000 8.000

71.340 Vba(KN) 89.823 Mba(KN-m)

98.66015065 -199.104028

V(KN) M(KN-m) 0 0 71.340 -89.823 55.340 -39.151 39.340 -1.279 23.340 23.793 7.340 36.065 -8.660 35.537 -18.660 35.537 -34.660 14.208 -50.660 -19.920 -66.660 -66.848 -82.660 -126.576 -98.660 -199.104 0.000 0.000

Elemento bc

Vbc(KN) Mbc(KN-m)

X(m)

V(KN)

M(KN-m)

0 152.779361 128.779361 104.779361 80.7793609 56.7793609 32.7793609 17.7793609 -6.22063906 -30.2206391 -54.2206391 -78.2206391 -102.220639 0

0 -202.234888 -89.6113988 3.81208998 78.0355787 133.059067 168.882556 168.882556 173.506045 158.929534 125.153022 72.1765112 0 0

0 0 0.8 1.6 2.4 3.2 4 4 4.8 5.6 6.4 7.2 8 8

152.779361 Vcb(KN) 202.234888 Mcb(KN-m)

102.220639 0

Elemento bd

Diagrama de Cortante Elemento BC Diagrama de Cortante Elemento ab

200

80

150

60

100 M(KN-m)

40 20

V(KN)

0 -20

0

2

4

6

8

10

-40

Diagrama de Cortante Elemento ab

50 Diagrama de Cortante Elemento BC

0 0

2

4

6

8

10

-50

-60

-100

-80

-150

-100 -120

X(m)

X(m)

Diagrama de Momentos Elemento bc 200

Diagrama de Momento Elemento ab

150 100

50

50 0

0

2

4

6

8

0

10

0 -50

M(KN-m)

-50

-100 -100

Diagrama de Momento

-150

-200 -250

-200

-250

-150

X(m)

2

4

6

8

10

Diagrama de Momentos Elemento bc

[λ] 0.70710678 0.70710678 -0.70710678 0.70710678 0 0 0 0 0 0 0 0

[P] Pdb(KN) 281.830869 Elemento bd Vdb(KN) 281.439512 Mdb(KN-m) 0 Pbd(KN) -281.830869 Vbd(KN) -281.439512 Mbd(KN-m) -3.13085966 1.13137085

X(m)

V(KN)

0 0 1.13137085 2.2627417 3.39411255 4.5254834 5.65685425 6.7882251 7.91959595 9.0509668 10.1823376 11.3137085 11.3137085

[p]=[λ][P] Pdb(KN) 398.292306 Vdb(KN) -0.27673151 Mdb(KN-m) 0 Pbd(KN) -398.292306 Vbd(KN) 0.27673151 Mbd(KN-m) -3.13085966

0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0.70710678 0.70710678 0 -0.70710678 0.70710678 0 0 0 M(KN-m)

0 -0.27673151 -0.27673151 -0.27673151 -0.27673151 -0.27673151 -0.27673151 -0.27673151 -0.27673151 -0.27673151 -0.27673151 -0.27673151 0

0 0 -0.313085966 -0.626171932 -0.939257898 -1.252343864 -1.565429829 -1.878515795 -2.191601761 -2.504687727 -2.817773693 -3.130859659 0

Diagrama de Cortante Elemento db 0 0

2

4

6

8

10

12

-0.05

V(KN)

-0.1

Diagrama de Cortante

-0.15

Diagrama de Cortante

-0.2

-0.25 -0.3

X(m)

Diagrama de Momentos Elemento db 0 0

2

4

6

8

10

12

-0.5

Diagrama de Momentos

Momentos(KN-m)

-1

-1.5 Diagrama de Momentos Elemento db

-2 -2.5

-3 -3.5

X(m)

0 0 0 0 0 1

Problema 3 X Lbe(m) Lbd(m) Lad(m) Lbc(m) Elemento cb Tipo α β γ EA(kN) θ(rad) Lbc(m) EI(kN-m2) Elemento ab Tipo α β γ EA(kN) α(rad) Lab(m) EI(kN-m2)

Elemento db Tipo α β γ EA(KN) EI(KN-m2) α(rad) Lbd(m)

Elemento be Tipo α β γ EA(KN) EI(KN-m2) α(rad) Lbe(m)

60 5 Lce(m) 4.2 α(rad) 3.6 θ(rad) 6.161 Lab(m)

2 3 3 3 912000 -0.947 6.161 1092

2 3 3 3 912000 0.862 5.532 1092

1 12 4 6 912000 1092 1.571 4.200

2 3 3 3 912000 1092 -1.571 5.000

3.6 0.862 -0.947 5.532

m1 m2 m3 m4 m5 m6

m1 m2 m3 m4 m5 m6

m1 m2 m3 m4 m5 m6

m1 m2 m3 m4 m5 m6

50546.35033 97491.52086 531.7173005 -70183.80976 50.42629826 -70.03652536

4 50546.3503 -70183.8098 0 -50546.3503 70183.8098 70.0365254

5 -70183.8098 97491.5209 0 70183.8098 -97491.5209 50.4262983

Matriz Elemento cb 6 2 0 -50546.3503 0 70183.8098 0 0 0 50546.3503 0 -70183.8098 0 -70.0365254

3 70183.80976 -97491.5209 0 -70183.8098 97491.52086 -50.4262983

1 70.0365254 50.4262983 0 -70.0365254 -50.4262983 531.717301

14 81454.2043 95049.2586 69.6729588 -81454.2043 -95049.2586 0

Matriz Elemento ab 15 2 -81.2851186 -69837.243 69.6729588 -81454.2043 592.22015 81.2851186 81.2851186 69837.243 -69.6729588 81454.2043 0 0

3 -81454.2043 -95049.2586 -69.6729588 81454.20426 95049.25857 0

1

69837.24297 95049.25857 592.2201498 81454.20426 69.67295881 81.28511861

13 69837.243 81454.2043 -81.2851186 -69837.243 -81454.2043 0

0 0 0 0 0 0

13 14 15 2 3 1

176.8707483 217142.8571 1040 0 0 371.4285714

Matriz Elemento db 10 11 12 2 3 1 176.870748 0 -371.428571 -176.870748 0 -371.428571 0 217142.857 0 0 -217142.857 0 -371.428571 0 1040 371.428571 0 520 -176.870748 0 371.428571 176.870748 0 371.428571 0 -217142.857 0 0 217142.8571 0 -371.428571 0 520 371.428571 0 1040

10 11 12 2 3 1

26.208 182400.000 655.200 0.000 0.000 -131.040

7 26.208 0 0 -26.208 0 131.04

Matriz Elemento be 9 2 0 0 -26.208 182400 0 0 0 0 0 0 0 26.208 -182400 0 0 0 0 -131.04 8

3 0 -182400 0.000 0 182400 0

1 131.04 0 0 -131.04 0 655.2

4 5 6 2 3 1

7 8 9 2 3 1

RESORTE 2 5000

Suma de Matrices de los elementos en los grados de libertad de la estructura 2 3 1 1 2 3 125586.672 11270.39451 170.352046 2 2226.9173 170.352046 -50.4262983 11270.39451 592083.6366 -50.4262983 3 170.352046 125586.672 11270.39451 170.3520461 -50.42629826 2226.9173 1 -50.4262983 11270.3945 592083.6366

2 KLL[3x3]

1 2 3

PASO 4: Vector de Fuerzas

Elemento cb [Fo]

0 0 0 0 0 0

Elemento ab [Fo]

4 5 6 2 3 1

[Fn] [FL]=[Fn]-[Fo]

0 0 0 0 0 0

Elemento db [Fo]

13 14 15 2 3 1

[Fo] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

[FL] 64.35 -135.75 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

-64.35 135.75 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Desplazamientos [UL]=[KLL]^-1*[Fn] [KLL]

2226.917301 170.3520461 -50.42629826

170.3520461 -50.42629826 125586.672 11270.39451 11270.39451 592083.6366

[KLL]^-1

0.000449099 -6.13662E-07 4.99298E-08

-6.13662E-07 4.99298E-08 7.97709E-06 -1.51897E-07 -1.51897E-07 1.69185E-06

[UL]

-0.028982846 radianes 0.001122379 metros -2.3833E-05 metros

U' Ux Uy

-42 0 29.4 -42 0 -29.4

[Fn]

-64.35 135.75 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

10 [Fo] 11 12 2 3 1

Elemento be -56.25 0 0 -93.75 0 93.75

7 8 9 2 3 1

Mdb(KN-m) Mbd(KN-m)

14.7458038 -59.12527618

Diagrama de Cortante-Elemento db40 30 20

Cortante(KN)

10 0 -10

0

1

2

3

4

5

Diagrama de Cortante-Elemento bd-

-20 -30

-40 -50 -60

X(m)

Diagrama de Momento-Elemento bd20

10 0 0

Momento(KN-m)

Diagramas Elemento BD Vdb(KN) 31.433459 4.2 Vbd(KN) 52.566541 0.42 X(m) V(KN) M(KN-m) 0 0 0 0 31.433459 -14.7458038 0.42 23.033459 -3.30775104 0.84 14.633459 4.60230172 1.26 6.23345896 8.98435449 1.68 -2.16654104 9.83840725 2.1 -10.566541 7.16446001 2.52 -18.966541 0.96251277 2.94 -27.366541 -8.76743447 3.36 -35.766541 -22.0253817 3.78 -44.166541 -38.8113289 4.2 -52.566541 -59.1252762 4.2 0 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

-10

-20 Series1

-30

-40 -50 -60 -70

X(m)

60.0773275 Meb(KN-m) -89.9226725 Mbe(KN-m)

0 60.0773275 45.0773275 30.0773275 15.0773275 0.07732748 -14.9226725 -29.9226725 -44.9226725 -59.9226725 -74.9226725 -89.9226725 0

M(KN-m) 0 0 26.2886637 45.0773275 56.3659912 60.154655 56.4433187 45.2319824 26.5206462 0.3093099 -33.4020264 -74.6133626 0

Diagrama de Cortante-Elemento EB80 60 40 20 Cortante(KN)

V(KN) 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5

0 74.6133626

0 0

1

2

3

4

5

6

-20

Series1

-40 -60 -80 -100

X(m)

Diagrama de Momento-Elemento EB80

60 40 Momento(KN-m)

Elemento EB Veb(KN) 5 Vbe(KN) 0.5 X(m)

20

0 0

1

2

3

4

5

6

-20

-40 -60 -80 -100

X(m)

Los cambios son menores al 1% en los resultados de deformaciones y fuerzas internas

Series1

[P] Pcb(KN) -60.4347347 Vcb(KN) 79.6348853 Mcb(KN-m) 0 Pbc(KN) 60.4347347 Vbc(KN) -79.6348853 Mbc(KN-m) -15.4880864

[p]=[λ][P]

[λ]

0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0.58430473 -0.81153434 0 0.81153434 0.58430473 0 0 0

pcb(KN) -99.9387453 vcb(KN) -2.51382281 mcb(KN-m) 0 pbc(KN) 99.9387453 vbc(KN) 2.51382281 mbc(KN-m) -15.4880864

Diagrama de Cortante-Elemento CB1

2

3

4

5

6

7

Cortante(KN)

0 0 0.61611687 1.23223374 1.84835062 2.46446749 3.08058436 3.69670123 4.3128181 4.92893498 5.54505185 6.16116872 6.16116872

-99.9387453 99.9387453 -2.51382281 Mcb(KN-m) 0 2.51382281 Mbc(KN-m) -15.4880864 -0.94677327 V(KN) M(KN-m) 0 0 -2.51382281 0 0 -2.51382281 -1.54880864 0 -2.51382281 -3.09761729 -2.51382281 -4.64642593 -0.5 -2.51382281 -6.19523458 -2.51382281 -7.74404322 -1 -2.51382281 -9.29285187 -2.51382281 -10.8416605 -2.51382281 -12.3904692 -1.5 -2.51382281 -13.9392778 -2.51382281 -15.4880864 -2 0 0

Series1

-2.5

-3

X(m)

Diagrama de Momento-Elemento CB0 0

1

2

3

4

5

6

7

-2

-4 Momento(KN-m)

Pcb(KN) Pbc(KN) Elemento cb Vcb(KN) 6.161 Vbc(KN) 0.61611687 θ(rad) X(m)

0.58430473 -0.81153434 0.81153434 0.58430473 0 0 0 0 0 0 0 0

-6 -8 Series1

-10 -12

-14 -16 -18

X(m)

Los cambios son menores al 1% en los resultados de deformaciones y fuerzas internas

0 0 0 0 0 1

[P] Pab(KN) -76.4425818 Vab(KN) -89.1572085 Mab(KN-m) 0.09289326 Pba(KN) 76.4425818 Vba(KN) 89.1572085 Mba(KN-m) 0

[p]=[λ][P]

[λ]

0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0.65079137 0.7592566 0 -0.7592566 0.65079137 0 0 0

pab(KN) -117.441372 vab(KN) 0.01679281 mab(KN-m) 0.09289326 pba(KN) 117.441372 vba(KN) -0.01679281 mba(KN-m) 0

Diagrama de Cortante-Elemento AB-

Cortante(KN)

0 0 0.55317267 1.10634533 1.659518 2.21269067 2.76586334 3.319036 3.87220867 4.42538134 4.97855401 5.53172667 5.53172667

-117.441372 117.441372 0.01679281 Mab(KN-m) 0.09289326 -0.01679281 Mba(KN-m) 0 0.86217005 V(KN) M(KN-m) 0 0 0.01679281 -0.09289326 0.018 0.01679281 -0.08360394 0.01679281 -0.07431461 0.016 0.01679281 -0.06502528 0.014 0.01679281 -0.05573596 0.01679281 -0.04644663 0.012 0.01679281 -0.0371573 0.01 0.01679281 -0.02786798 0.01679281 -0.01857865 0.008 0.01679281 -0.00928933 0.006 0.01679281 -8.446E-14 0 -8.446E-14 0.004

Series1

0.002 0 0

1

2

3

4

5

6

X(m)

Diagrama de Momento-Elemento AB0 -0.01

0

1

2

3

4

5

6

-0.02 -0.03

Momento(KN-m)

Pab(KN) Pba(KN) Elemento ab Vab(KN) 5.532 Vba(KN) 0.55317267 α(rad) X(m)

0.65079137 0.7592566 -0.7592566 0.65079137 0 0 0 0 0 0 0 0

-0.04

-0.05

Series1

-0.06 -0.07 -0.08 -0.09

-0.1

X(m)

Los cambios son menores al 1% en los resultados de deformaciones y fuerzas internas

0 0 0 0 0 1