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Señales y Sistemas Tarea 1

José Joaquín Páez García Código 1.121.835.540 Oscar Mauricio Osorio Diaz Código. 1118538490 Oscar Ferney Cruz Vacca Código. 1.115.914.174 Juan Carlos Pava Código.

Grupo 203042_80

Presentado a: Henry Borrero Guerrero

Universidad Nacional Abierta y a Distancia Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería Ingeniera Electrónica Octubre del 2019

INTRODUCCIÓN

Esta tarea está dirigida a complementar algunos conceptos básicos de las asignaturas de Señales y sistemas. que se utilizarán a lo largo de esta asignatura, como son los siguientes: • Definición y clasificación de señal y sistema. • La caracterización de señales y sistemas • La conversión entre el dominio analógico y discreto. En la naturaleza hay muchos tipos de señales: la señal de voz, la señal luminosa o la señal eléctrica. El objetivo de conocer y clasificar las señales es el de tener la capacidad de tratarlas y así transmitirlas o extraer de ellas información. Sin embargo, los sistemas nos sirven para modificar de múltiples maneras estas señales, como por ejemplo filtrarlas, amplificarlas o atenuarlas. La teoría que rodea las señales y sistemas pretende caracterizarlas en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia. La utilización del dominio del tiempo es clara: es a lo que nosotros estamos más acostumbrados. Ahora bien, ¿por qué utilizamos el dominio de la frecuencia? Porque en algunos casos, nos permite simplificar la tarea y obtener representaciones más simples de las señales o sistemas. Igualmente, a veces puede resultar más cómodo y ahorrar recursos el hecho de transformar, hacer las operaciones que haga falta en el dominio frecuencial y antitransformar.

OBJETIVOS

OBJETIVOS GENERALES 

explica la naturaleza y diferencia entre señales continuas y discretas, empleando análisis matemático y herramientas computacionales para su modelamiento.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS    

Realizar las Operaciones básicas de señales continúas presentadas en este trabajo. Realizar Operaciones básicas de señales discretas presentadas en este trabajo. Graficar las diferentes señales haciendo uso de herramientas de software avanzado (Matlab u octave) Dar solución al Sistemas LTI planteado

TAREA 1 – SEÑALES Y SISTEMAS CONTINUOS Y DISCRETOS

1. Definición de conceptos: estudiando el libro de (Ambardar), el estudiante investiga de manera individual y da respuesta a las siguientes preguntas teóricas: a- Explique cuál es la diferencia entre una señal periódica y una señal aperiódica, y de un (1) ejemplo gráfico de cada una de las señales. Una señal periódica está formada por un patrón que se repite continuamente. El periodo de una señal (T) se expresa en segundos. Una señal aperiódica, o no aperiódica, no tiene un patrón repetitivo, puede ser descompuesta en Un número de señales periódicas. Una onda seno es la señal periódica más sencilla.

b- ¿Cómo se calcula la energía y la potencia de una señal continua y de una señal discreta?

c- Explique y grafique señales armónicas y senoides en tiempo continuo y discreto Señales Armónicas: un armónico es el resultado de una serie de variaciones adecuadamente acomodadas en un rango o frecuencia de emisión, denominado paquete de información o fundamental. Dichos paquetes configuran un ciclo que, adecuadamente recibido, suministra a su receptor la información de cómo su sistema puede ofrecer un orden capaz de dotar al medio en el cual expresa sus propiedades de una armonía. El armónico, por lo tanto es dependiente de una variación u onda portadora. Y a la vibración fundamental de cada tono musical también se le llama primer armónico porque generalmente se acompaña de otras vibraciones menores divididas en 2, 3, 4, 5 o más partes iguales. En acústica y telecomunicaciones, un armónico de una onda es un componente sinusoidal de una señal. En sistemas eléctricos de corriente alterna los armónicos son frecuencias múltiplos de la frecuencia fundamental de trabajo del sistema y cuya amplitud va decreciendo conforme aumenta el múltiplo.

Grafica señales armónicas: %% [Señal armonicos] %Comenzaremos dibujando el armónico fundamental y=cos(t), de %periodo %T=2pi y frecuencia angular w=1. t= -3*pi:.1:3*pi; y = cos(t); plot(t,y,'k'); %Añade el segundo armónico, en la misma gráfica, en otro color, %desplazado 2 unidades hacia arriba. hold on; y = 2 + cos(2*t); plot(t,y,'b'); %%Añade el tercer armónico, en la misma gráfica,en otro color, %desplazado 4 unidades hacia arriba. y = 4+ cos(3*t); plot(t,y,'c'); %%Añade el cuarto armónico, en la misma gráfica, en otro color, %desplazado 6 unidades hacia arriba. y = 6+ cos(4*t); plot(t,y,'y'); %%Ahora suma los cuatro armónicos y dibújalos sobre la misma %gráfica %cambiando el color, desplazado 4 unidades hacia abajo. y = -4+cos(t) + cos(2*t) + cos(3*t) + cos(4*t); plot(t,y,'r') grid on title('Armonicos de la función Coseno') xlabel('Tiempo') hold off

d- Indique cuales son las señales encontradas comúnmente e- ¿Qué es una función sinc(x)? Grafíquela. En matemática, la función sinc o seno cardinal, denotada por Sinc(x), tiene dos definiciones, la normalizada y la desnormalizada que se definen de la siguiente forma: Sinc N ( x )=

sin ( πx ) πx

Función desnormalizada: sinc ( x ) =

sin ( x ) x

En ambos casos el valor de la función tiene una singularidad evitable en cero, que generalmente se redefine específicamente como igual a 1. La función sinc es analítica en todo el dominio de los números reales, excepto para el valor (x)= 0. La función desnormalizada es idéntica a la normalizada excepto por el factor de escala faltante en el argumento. La función sinc corresponde a la transformada de fourier de un pulso rectangular, y la transformada inversa de fourier de un espectro rectangular es una sinc.

f- Explique y grafique la función impulso. Propiedades de la Señal Impulso:

Esta definición para la señal impulso no concuerda con la forma usual de definir una función. Debido a esto es muy conveniente, muchas veces, considerarla como el límite de una función convencional cuando un parámetro 'ß' se aproxima a cero.

Estas tres señales permiten modelar la Señal Impulso para la realización de muchas operaciones matemáticas, mediante la relación debido a que tienen las siguientes propiedades: 1. El valor para t = 0 es muy grande y tiende a infinito a medida que 'ß' se aproxima a cero. 2. Su duración es relativamente muy corta y tiende a cero a medida que 'ß' se aproxima a cero. 3. El área total de cada función es constante e igual a uno. 4. Todas las funciones poseen simetría par.

g- ¿Qué es un sistema lineal invariante en el tiempo (LTI)? En procesamiento de señales, un sistema LTI (Linear Time-Invariant) o sistema lineal e invariante en el tiempo, es aquel que, como su propio nombre indica, cumple con las propiedades de linealidad e invariancia en el tiempo. Linealidad Un sistema es lineal (L) si satisface el principio de superposición, que engloba las propiedades de proporcionalidad o escalado y aditividad. Que sea proporcional significa que cuando la entrada de un sistema es multiplicada por un factor, la salida del sistema también será multiplicada por el mismo factor. Por otro lado, que un sistema sea aditivo significa que, si la entrada es el resultado de la suma de dos entradas, la salida será la resultante de la suma de las salidas que producirían cada una de esas entradas individualmente.

Aportes de José Joaquín Páez 2.1. Ejercicio 1- operaciones básicas en señales continuas Desplazamiento, reflexión y amplificación): Estudiando en el libro de (Ambardar), para la señal x(t) de la figura 1, obtenga las siguientes señales de forma gráfica (teórica), y posteriormente verifique sus respuestas diseñando un script en Matlab, Octave o Scilab y anexando el resultado junto con el script (práctica): Grupo: 203042_80 = 5 Cedula: 1121835540 = 5 a. (𝑡) = (𝑡 + 𝑏) = x (t+5) b. (𝑡) = (-𝑏𝑡) =x(-5t) c. (𝑡) = (𝑡) =5x(t) t d. (𝑡) = (- - 𝑎) (ìtem grupal) a

a. (𝑡) = (𝑡 + 𝑏)

= x (t+5)

%% (ejercicio-A) jose paez clear all clc close all x = [0,0,0,-1,-1,2,2,-1,-1,0,0]; t = [-3,-2,-1,-1,0,0,1,1,2,2,3]; subplot(4,1,1) plot(t,x) title('señal original') %% (ejercicio-A) desplazamiento t2=t-5 subplot(4,1,2) plot(t2,x) title('señal desplazamiento') %% (ejercicio-A) reflexion t3=t2 subplot(4,1,3) plot(t2,x) title('señal reflexion') %% (ejercicio-A) amplificacion t4=t3./1 subplot(4,1,4) plot(t2,x) title('señal amplificacion')

b. (𝑡) = (-𝑏𝑡) =x(-5t)

%% (ejercicio-A) jose paez clear all clc close all x = [0,0,0,-1,-1,2,2,-1,-1,0,0]; t = [-3,-2,-1,-1,0,0,1,1,2,2,3]; subplot(4,1,1) plot(t,x) title('señal original') %% (ejercicio-A) desplazamiento t2=t; subplot(4,1,2) plot(t2,x) title('señal desplazamiento') %% (ejercicio-A) reflexion t3=-t2; subplot(4,1,3) plot(t3,x) title('señal reflexion') %% (ejercicio-A) amplificacion t4=t3./5; subplot(4,1,4) plot(t4,x) title('señal amplificacion') c. (𝑡) = (𝑡)

=5x(t)

%% (ejercicio-A) jose paez clear all clc close all x = [0,0,0,-1,-1,2,2,-1,-1,0,0]; t = [-3,-2,-1,-1,0,0,1,1,2,2,3]; subplot(4,1,1) plot(t,x) title('señal original') %% (ejercicio-A) desplazamiento t2=t; subplot(4,1,2) plot(t2,x) title('señal desplazamiento') %% (ejercicio-A) reflexion t3=t2; subplot(4,1,3) plot(t3,x) title('señal reflexion') %% (ejercicio-A) amplificacion x2=5.*x; subplot(4,1,4) plot(t3,x2) title('señal amplificacion') 2.2. Ejercicio 2 - operaciones básicas en señales discretas reflexión y amplificación):

(Desplazamiento,

estudiando en el libro de (Ambardar), sea 𝑥[𝑛] = {-1,4, 3̌, 4, -1,3}, dibuje las siguientes señales y determine su energía. a.

[𝑛] = 𝑥[𝑛 - 𝑏]

%% (ejercicio2-A) jose paez clear all clc close all n = [-2,-1,0,1,2,3]; xn = [-1,4,3,4,-1,3]; subplot(4,1,1) stem(n,xn,'g') grid title('señal discreta') xlabel('tiempo (n)') ylabel('amplitud') xlim([-6,10]) %% (ejercicio2-A) jose paez %% desplazamiento x(n-5) n1=n+5; subplot(4,1,2) stem(n1,xn,'r') grid title('señal discreta') xlabel('tiempo (n)') ylabel('amplitud') xlim([-6,10]) %% (ejercicio2-A) jose paez %% reflexion x(n-5) n2=n1; subplot(4,1,3) stem(n2,xn,'b') grid title('señal discreta') xlabel('tiempo (n)') ylabel('amplitud') xlim([-6,10]) %% (ejercicio2-A) jose paez %% amplificacion x(n-5) n3=n2; subplot(4,1,4) stem(n3,xn,'b') grid title('señal discreta') xlabel('tiempo (n)') ylabel('amplitud') xlim([-6,10])

b. [𝑛] = [-𝑛]

%% (ejercicio2-A) jose paez clear all clc close all n = [-2,-1,0,1,2,3]; xn = [-1,4,3,4,-1,3]; subplot(4,1,1) stem(n,xn,'g') grid title('señal discreta') xlabel('tiempo (n)') ylabel('amplitud') xlim([-6,10]) %% (ejercicio2-A) jose paez %% desplazamiento 5x(-n) n1=n; subplot(4,1,2) stem(n1,xn,'r') grid title('señal discreta') xlabel('tiempo (n)') ylabel('amplitud') xlim([-6,10]) %% (ejercicio2-A) jose paez %% reflexion 5x(-n) n2=-n1; subplot(4,1,3) stem(n2,xn,'b')

grid title('señal discreta') xlabel('tiempo (n)') ylabel('amplitud') xlim([-6,10]) %% (ejercicio2-A) jose paez %% amplificacion 5x(-n) n3=n2.*5; subplot(4,1,4) stem(n3,xn,'b') grid title('señal discreta') xlabel('tiempo (n)') ylabel('amplitud') xlim([-20,20]) 2.3. Ejercicio 3 - Respuesta al impulso de los sistemas LTI: a. Usando como guía los ejemplos 4.9 de las páginas 83 del libro guía Ambardar y la tabla 4.1 que caracteriza los tipos de salida de los sistemas LTI analógicos, determine la respuesta al impulso del siguiente sistema:

Nota: Los pasos para determinar la respuesta impulso son:       

Obtener la ecuación característica del sistema Hallar las raíces Encontrar la respuesta natural (ver tabla 4.1 del libro guía, Ambardar) Derivar la respuesta natural Encontrar los valores de las constantes Obtener la respuesta al impulso.

Solución Ecuación característica: y¨ ( t ) +8 y˙ ( t )+ by (t)=x (t) s2 +8∗s +1=0 Raíces: Con el comando roots en Matlab tenemos roots ([1 6 1]) −5.8284 −0.1716

Aportes de Oscar Mauricio Osorio 1.

Ejercicios: Cada estudiante de manera individual debe resolver los siguientes tres (3) ejercicios.

Grupo=80 ID= 1118538490 b=0, b=5 a=0, b=5 1.1. Ejercicio 1- operaciones básicas en señales continuas (Desplazamiento, reflexión y amplificación): estudiando en el libro de (Ambardar), para la señal x(t) de la figura 1, obtenga las siguientes señales de forma gráfica (teórica), y posteriormente verifique sus respuestas diseñando un script en Matlab, Octave o Scilab y anexando el resultado junto con el script (práctica):

a. p ( t ) =x ( t+ b )

p ( t ) =x( t+5)

Primero se desplaza

Como el valor de x es positivo no hay inversión ni amplificación por t encontrarse solo.

b. y ( t ) =x (−bt )

y ( t ) =x(−5t ) Primero la inversión

Segundo la amplificación dividiendo en 5.

c. w ( t )=bx ( t )

Solo realizamos la amplificación multiplicando por 5

d. z ( t )=x (

−t −a) (ìtem grupal) a

1.2. Ejercicio 2 - operaciones básicas en señales discretas (Desplazamiento, reflexión y amplificación): estudiando en el libro de (Ambardar), sea x [ n ] ={−1,4 , 3ˇ , 4 ,−1,3 }, dibuje las siguientes señales y determine su energía. Posteriormente verifique sus respuestas diseñando un script en Matlab u Octave y anexando el resultado junto con el script (práctica):

a.

p [ n ] =x [ n−b ]

p [ n ] =x [ n−5 ]

∞

∑

¿ x [ n ] ¿2=(−1)2 + 42 +32 +4 2 +(−1)2 +32=xj

k=−∞ ∞

∑

¿ x [ n ] ¿2=1+16+ 9+16+1+9=52 j

k=−∞

b.

y [ n ] =bx [−n ]

y [ n ] =5 x [ −n ] Primero inversión

Después amplificación multiplicando por 5

∞

∑

¿ x [ n ] ¿2=152 +(−5)2+20 2+15 2+20 2+(−5)2=xj

k=−∞ ∞

∑

¿ x [ n ] ¿2=225+25+ 400+225+ 400+25=1300 j

k=−∞

c.

z [ n ] =−x [ −an+ 2 ]

(ìtem grupal)

2.3. Ejercicio 3 - Respuesta al impulso de los sistemas LTI:

a.

Usando como guía los ejemplos 4.9 de las páginas 83 del libro guía Ambardar y la tabla 4.1 que caracteriza los tipos de salida de los sistemas LTI analógicos, determine la respuesta al impulso del siguiente sistema:

y¨ ( t ) +8 y˙ ( t )+ by (t)=x (t)

Nota: Los pasos para determinar la respuesta impulso son: 

Obtener la ecuación característica del sistema

y¨ ( t ) +8 y˙ ( t )+ by (t)=x (t) s2 +8∗s +5=0 

Hallar las raíces Donde a=1; b=8 y c=5 −b ± √ b2−4 ac 2a −8 ± √ 82−4∗5 s= 2 −8 ± √ 64−20 s= 2 −8 ± √ 44 s= 2 −8+6.63 s 1= 2 s 1=−4+3.315 i s 2=−4−3.315i s=



Encontrar la respuesta natural (ver tabla 4.1 del libro guía, Ambardar)

( β ± jω ) tenemos e βt (k 1 cos ( ωt ) +k 2 sen ( ωt )) h ( 0 ) =0 y h´ ( 0 )=1 β=−4 y ω=3.315

(−4+3.315 i ) tenemos e−4 t (k 1 cos ( 3.315t ) +k 2 sen (3.315 t )) h ( 0 ) =e−4∗0( k 1 cos ( 3.315∗0 )+ k 2 sen ( 3.315∗0 ) ) h ( 0 ) =1∗( k 1∗1+k 2∗0 ) =0 h ( 0 ) =k 1∗1=0 h ( 0 ) =k 1=0

CONCLUSIONES

En esta Actividad se pudo ver lo que son las señales periódicas, aperiódicas señales armónicas y el uso de las diferentes funciones como el ejemplo de sinc(x) , todo esto para profundizar en el uso y tratamiento de las señales continuas y discretas, se realizaron las diferentes operaciones con las señales planteadas en esta guía como son desplazamiento de una señal tanto continua como discreta en su eje temporal, reflexión en el eje temporal y eje de amplitud y amplificación en el tiempo y la amplitud de la señal. Se pudo obtener la energía de las diferentes señales a través del uso de herramientas de software avanzado como Matlab. Se dio solución a la ecuación diferencial planteada, se halló sus raíces y la ecuación característica.

BIBLIOGRAFIA

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