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PORTADA Guía de actividades y rúbrica de evaluación – Tarea 1: Funciones.

Raúl Fernando Rodríguez Rivera. Septiembre 2020.

Universidad Nacional Abierta y a Distancia Vicerrectoría Académica y de Investigación Curso: Cálculo Diferencial Código: 100410 1

TABLA DE CONTENIDO PORTADA................................................................................................................................................1 INTRODUCCIÓN......................................................................................................................................3 OBJETIVOS..............................................................................................................................................4 Objetivos General...............................................................................................................................4 Objetivos específicos..........................................................................................................................4 CUERPO DEL TRABAJO............................................................................................................................5 Ejercicios – Tarea 1.............................................................................................................................5 1.

Representar en GeoGebra las funciones dadas y determinar comprobando analíticamente:...5

2. Dada la siguiente expresión, escribir a 𝑦 como función explícita de 𝑥, es decir 𝑦 = 𝑓(𝑥). Luego, calcular la función inversa 𝑓−1 (Indicando la restricción del dominio si es necesario).......................6 Dado los tres puntos 𝐴, 𝐵 𝑦 𝐶 hallar:..........................................................................................6

3.

4. Dadas las siguientes ecuaciones logarítmicas y exponenciales, resolverlas analíticamente aplicando la definición y propiedades de los logaritmos y los exponentes........................................7 5. Graficar en GeoGebra la siguiente función a trozos, identificando su rango y dominio y puntos de intersección con los ejes si los tiene..............................................................................................7 PROBLEMAS DE APLICACIÓN..............................................................................................................8 SOLUCIÓN ESTUDIANTE 2.......................................................................................................................9 1.

Representar en GeoGebra las funciones dadas y determinar comprobando analíticamente:...9

2. Dada la siguiente expresión, escribir a 𝑦 como función explícita de 𝑥, es decir 𝑦 = 𝑓(𝑥). Luego, calcular la función inversa 𝑓−1 (Indicando la restricción del dominio si es necesario).....................10 3. Dado los tres puntos 𝐴, 𝐵 𝑦 𝐶 hallar:............................................................................................11 a.

Ecuación de la Recta.............................................................................................................11

b)

La ecuación de la recta perpendicular a la recta 𝐴 𝐵 ⃡ pasando por C....................................12

c) La distancia (𝑑) entre el punto 𝐶 y un punto 𝐷 que intercepta la recta 𝐴 𝐵 ⃡ y la recta que es perpendicular a 𝐴 𝐵 ⃡ y pasa por el punto 𝐶...................................................................................13 4. Dadas las siguientes ecuaciones logarítmicas y exponenciales, resolverlas analíticamente aplicando la definición y propiedades de los logaritmos y los exponentes......................................15 5. Graficar en GeoGebra la siguiente función a trozos, identificando su rango y dominio y puntos de intersección con los ejes si los tiene............................................................................................18 6.

PROBLEMAS DE APLICACIÓN........................................................................................................20

CONCLUSIONES....................................................................................................................................25

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INTRODUCCIÓN En el presente informe se dará solución a la Guía de actividades y Rúbrica de evaluación Unidad 1 - Tarea 1 – Funciones. Así mismo con la ayuda de GeoGebra realizaremos las diferentes graficas que nos permitan identificar con mayor claridad las funciones dadas. Podremos encontrar ejercicios desde Tipo de función, Dominio y rango, Asíntotas, tanto vertical y horizontal hasta representar puntos en un plano cartesiano y hallar la ecuación general de función, todo con el fin de afianzar los conocimientos aprendidos en la Unidad. Por último, encontraremos el link de un video en YouTube explicando dos ejercicios propuestos por la guía parta el estudiante 2.

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OBJETIVOS Objetivos General.  Identificar las funciones caracterizando sus gráficas y propiedades a partir de los conceptos y ejercicios propuestos para la solución de problemas aplicados. Objetivos específicos.   

Escoger la asignación de ejercicios en el foro de la actividad Desarrollar los 5 ejercicios con su respectivo análisis gráfico en GeoGebra realizando por lo menos un aporte significativo por semana en el foro de la actividad. Sustentación del desarrollo de dos problemas de aplicación a través de un video no mayor a 5 minutos de duración.

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CUERPO DEL TRABAJO Ejercicios – Tarea 1 A continuación, se presentan los ejercicios y problemas asignados para el desarrollo de Tarea 1 en este grupo de trabajo, debe escoger un numero de estudiante y desarrollar los ejercicios propuestos para este estudiante únicamente. Tenga en cuenta los enunciados que hacen referencia al uso de GeoGebra para su comprobación y análisis gráfico, recuerde que uno de los elementos a evaluar en la actividad es al análisis gráfico en GeoGebra. 1. Representar en GeoGebra las funciones dadas y determinar comprobando analíticamente: a) Tipo de función b) Dominio y rango c) Asíntotas, tanto vertical y horizontal, si las tiene:

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2. Dada la siguiente expresión, escribir a 𝑦 como función explícita de 𝑥, es decir 𝑦 = 𝑓(𝑥). Luego, calcular la función inversa 𝑓−1 (Indicando la restricción del dominio si es necesario).

3. Dado los tres puntos 𝐴, 𝐵 𝑦 𝐶 hallar: a) La ecuación de la recta 𝐴 𝐵 ⃡ . b) La ecuación de la recta perpendicular a la recta 𝐴 𝐵 ⃡ pasando por C. c) La distancia 𝑑 entre el punto 𝐶 y un punto 𝐷 que intersecta la recta 𝐴 𝐵 ⃡ y la recta que es perpendicular a 𝐴 𝐵 ⃡ y pasa por el punto 𝐶. d) Comprobar gráficamente en GeoGebra los cálculos realizados.

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4. Dadas las siguientes ecuaciones logarítmicas y exponenciales, resolverlas analíticamente aplicando la definición y propiedades de los logaritmos y los exponentes.

5. Graficar en GeoGebra la siguiente función a trozos, identificando su rango y dominio y puntos de intersección con los ejes si los tiene.

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PROBLEMAS DE APLICACIÓN. Apreciados estudiantes, a continuación, se presentan los enunciados que usted deberá resolver y sustentar por medio de video. Recuerde que, para garantizar su evaluación objetiva, estos problemas no tendrán realimentación ni revisión previa por parte de su tutor asignado. en este sentido, estos problemas no se deberán adjuntar en el foro como aporte, únicamente se presentará su solución en video remitido a través de un enlace que debe incluir en la entrega de su documento final. Recuerde también apoyarse en GeoGebra y realizar la gráfica de las funciones que aborda cada problema para apoyar la sustentación de la solución.

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SOLUCIÓN ESTUDIANTE 2 1. Representar en GeoGebra las funciones dadas y determinar comprobando analíticamente: a) b) c)

Tipo de función Dominio y rango Asíntotas, tanto vertical y horizontal, si las tiene:

Estudiante 2

a. f ( x )=−2 x 2+ 8 x + 4

b. f ( x )=2+ √ 9+ x

f ( x )=−2 x 2+ 8 x + 4 Tipo de función: cuadrática Dominio: (−∞ , ∞ ) ; ¿) Rango: (−∞, 12 ] o ¿ Máximo: ( 2,12 ) Asíntotas, tanto vertical como horizontal:

f ( x )=2+ √ 9+ x Tipo de función: radical Dominio: x ≥−9 Rango: y ∈ [ 2 , + ∞ ⟩ Asíntotas, tanto vertical como horizontal: Mínimo: (−9 , 2 )

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2. Dada la siguiente expresión, escribir a 𝑦 como función explícita de 𝑥, es decir 𝑦 = 𝑓(𝑥). Luego, calcular la función inversa 𝑓−1 (Indicando la restricción del dominio si es necesario). Estudiante 2: − y +3 x 2=2 y−6 x−9

− y−2 y =−6 x−9−3 x 2 −3 y=−6 x −9−3 x 2 Dividimos en -3 y=2 x +3+ x 2 ; x ∈ R

y=x 2 +2 x+3 y=x 2 +2 x+1+2 y−2=x 2+ 2 x +1 y−2=( x−1 )2

√ y−2=x+1 √ y−2−1=x Cambiamos X por Y

√ x−2−1= y y= √ x−2−1 f −1 ( x )= √ x−2−1

Ilustración 1 Solución manual del ejercicio numero 2

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3. Dado los tres puntos 𝐴, 𝐵 𝑦 𝐶 hallar: Estudiante 2

A: (6,1)

B: (-2,5)

C: (1,-2)

a. Ecuación de la Recta: Ecuación de la pendiente m=

Y 2−Y 1 X 2− X 1

m=

5−1 −2−6

m=

4 −1 ; m= −8 2 Ilustración 2 Representación de los puntos AB en el plano cartesiano. pendiente de la recta entre AB

MOELO PUNTO PENDIENTE Y −Y 1=m ( X− X 1 ) Y −1=

−1 ( x−6 ) 2

Y −1=

−1 x+3 2

1 Y −1+ x−3=0 2 1 x+ y−4=0 2 1 x+ y=4 2 Multiplicamos ambos lados por 2 x +2 y =8 la ecuación de la recta AB es: x +2 y =8

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b) La ecuación de la recta perpendicular a la recta 𝐴 𝐵 ⃡ pasando por C. Coordenadas punto C: (1,-2) m=

−1 2

m 2=

−1 m

m 2=

−1 −1 2

m 2=2

y− y1 =m2 ( x−x 1 ) y−(−2)=2 ( x−1 ) y +2=2 x−2 −2 x+ y+2+ 2=0

Ilustración 3 Grafica de la perpendicular AB que pasa por C

−2 x+ y+ 4=0 2 x+ y =4 La ecuación de la recta perpendicular que pasa por C: 2 x+ y =4

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c) La distancia (𝑑) entre el punto 𝐶 y un punto 𝐷 que intercepta la recta 𝐴 𝐵 ⃡ y la recta que es perpendicular a 𝐴 𝐵 ⃡ y pasa por el punto 𝐶.

Ilustración 4 La distancia (𝑑) entre el punto 𝐶 y un punto 𝐷 que intercepta la recta 𝐴 𝐵 ⃡ A : ( 6 ; 1 ) B : (−2 ; 5 ) C : ( 1;−2 ) D : ( 3,2 ; 2,4 ) C : ( 1 ;−2 ) D : ( 3,2; 2,4 ) 2

2

√ = √ ( 3,2−1 ) + ( 2,4−(−2) )

d (C , D )= ( X 2−X 1 ) + ( Y 2 −Y 1 ) 2

d (C , D )

2

d (C , D )= √( 2,2 ) + ( 4,4 )

2

2

d (C , D )= √ 4,84+19,36 d (C , D )= √ 24.2 d (C , D )=

11 √ 5 O ≈ 4,91935 5

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14

d)

Comprobar gráficamente en GeoGebra los cálculos realizados.

Ilustración 5 Comprobación gráfica en GeoGebra de los cálculos realizados.

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4. Dadas las siguientes ecuaciones logarítmicas y exponenciales, resolverlas analíticamente aplicando la definición y propiedades de los logaritmos y los exponentes.

log 9 ( x−5 ) + log 9 ( x−3 )=1 log 9 ( x−5 ) + log 9 ( x−3 )=1 , x ∈ ⟨ 5; +∞ ⟩ log 9 ¿ ¿ log 9 ( x 2−3 x−5 x+ 15 )=1 X 2 −3 x −5 x +15=91 X 2 −8 x+15=9

8 ± √(−8)2−4∗6 x= 2 x=

8 ± √64−24 2

x=

8 ± √ 40 2

x=

8 ±2 √ 10 2

x=

8+2 √ 10 2

x=

8−2 √ 10 2

X 2 −8 x+15−9=0 2

X −8 x+6=0 x=

−b ± √ b2−4 ac 2a

−(−8)± √(−8)2−4∗1∗6 x= 2∗1

x=4+ √ 10 , x ϵ ⟨ 5; +∞ ⟩ x=4−√10 , x ϵ ⟨ 5 ;+∞ ⟩ x=4+ √ 10 o ≈ 7,1622

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Ilustración 7 Grafica de ecuaciones logarítmicas Estudiante 2

Ilustración 6 Grafica de ecuaciones logarítmicas Estudiante 2

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2

( 4 4− x ) 84x

=1

Escribir el numero en forma exponencial en base 2

2

( 4 4− x ) 84x

216−16 x =1

=1 , X ∈ R

216−16 x =20

4 8−2 x =1 84x

Como las bases son iguales, iguale los exponentes

4 8−2 x =1 212 x

16−16 x=0 Se mueve a constante al lado derecho y se le cambia el signo

216−4 x =1 212 x

−16 x=−16

Simplificar la expresión

x=1

Ilustración 9 Grafica de ecuaciones exponenciales Estudiante 2

Ilustración 8 Grafica de ecuaciones exponenciales

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5. Graficar en GeoGebra la siguiente función a trozos, identificando su rango y dominio y puntos de intersección con los ejes si los tiene.

Ilustración 10 Grafica en GeoGebra de la función a trozos sin las restricciones

1 f (x)= x 2 + x+ 2 2 Dominio: R (−∞ ; ∞ ) Rango: ( 1,5 ; ∞ ) Corte con el eje Y: 2

f (x)=4 x +2 Dominio: R (−∞ ; ∞ ) Rango: R (−∞ ; ∞ ) Corte eje Y: 2 Corte eje X: 0.5

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Ilustración 11 Grafica en GeoGebra de la función a trozos con las restricciones

1 f (x)= x 2 + x+ 2 si x