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Tarea Semana 8 Jorge Olguín Leiva Matemáticas Instituto IACC 05/06/2017

Desarrollo Dada 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 -2x-3 a) Graficar la Función x=-2  𝑦 = (−2)2 − 2(−2) − 3 = 5 x=-1  𝑦 = (−1)2 − 2(−1) − 3 = 0 x=0  𝑦 = (0)2 − 2(0) − 3 = −3 x=1  𝑦 = (1)2 − 2(1) − 3 = −4 x=2  𝑦 = (2)2 − 2(2) − 3 = −3 x=3  𝑦 = (3)2 − 2(3) − 3 = 0 x=4  𝑦 = (4)2 − 2(4) − 3 = 5

b) Determinar si es inyectiva. A través de la gráfica y los cálculos se puede observar que no es inyectiva, se observa que para una imagen existen dos valores de x.

c) Determinar condiciones para que sea sobreyectiva Es sobreyectiva ya que todo x pertenece a los reales y tiene imagen.

d) Determine la inversa de 𝒇. 𝑦 = 𝑥 2 − 2𝑥 − 3 𝑥 2 − 2𝑥 − 3 − 𝑦 = 0 a= 1; b=-2; c=-3-y 𝑥=

−2 ± √−22 − 4 1 (−3 − y) 21 𝑥=

−2 ± √4 + 12 − 4y 2

𝑥=

−2 ± √16 − 4y 2

𝑓(𝑥)−1 =

−2 ± √16 − 4y 2

e) Calcular 𝒇 𝒐 𝒇(𝟐). 𝑓(𝑓(2)) 𝑓(2) = 22 − 2 ∗ 2 − 3 = −3 𝑓(3) = 32 − 2 ∗ 3 − 3 = 0 𝑓(𝑓(2)) = 0

Bibliografía Material entregado

Control Semana 8 Jorge Olguín Leiva Matemáticas Instituto IACC 03/06/2017

Desarrollo 1) Determine si la siguiente función es inyectiva. Justifique. Y

X

No es Inyectiva. Ya que al trazar una recta horizontal sobre la gráfica, esta corta en más de un punto la gráfica. Es decir, no existe un único elemento en el dominio.

2) Dada

Calcular: a) (𝑓 + 𝑔)(0) (𝑓 + 𝑔 )(0) = 𝑓(0) + 𝑔(0) (𝑓 + 𝑔)(0) = |0 − 5| + (𝑓 + 𝑔)(0) = 5 + (𝑓 + 𝑔)(0) =

2 0+3 2 3

15 + 2 𝟏𝟕 = 3 𝟑

b) (𝑓 𝑜 𝑔)(5) 𝑔(5) = √5 − 1 = √4 = 2 𝑓(2) = |2 − 5| = 3 (𝑓 𝑜 𝑔)(5) = 𝟑

3) De las siguientes funciones estudiadas en el curso, presente una función que sea biyectiva. Justifique. 𝑓(𝑥) =

7−𝑥 𝑥+4

Primero, se determina Dominio: 𝑥+4≠0 𝑥 ≠ −4 𝐷𝑜𝑚 (𝑓) = 𝑅 − {−4} Segundo, se determina Recorrido: 𝑦=

7−𝑥 𝑥+4

𝑦(𝑥 − 4) = 7 − 𝑥 𝑥𝑦 − 4𝑦 − 7 = −𝑥 −4𝑦 − 7 = −𝑥 − 𝑥𝑦 −4𝑦 − 7 = 𝑥(−𝑦 − 1) 𝑥=

−4𝑦 − 7 −𝑦 − 1

−𝑦 − 1 ≠ 0 𝑦 ≠ −1 𝑅𝑒𝑐(𝑓) = 𝑅 − {−1}

Tercero, Se determina si la función es inyectiva. 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏) 7−𝑎 7−b = 𝑎+4 b+4 (7 − a)(b + 4) = (7 − b)(a + 4) 7b + 28 − ab − 4a = 7a + 28 − ab − 4b −11a = −11b a=b La función es biyectiva.

Bibliografía Material entregado