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• MARTIN HICIANO

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Ejercicios sobre Trigonometría Esférica

I) Resuelva correctamente las siguientes aplicaciones:

1) Traza una esfera de 5 cm de radio.

2) Traza una esfera y sus elementos.

3)Halla el área m2 de una esfera de 1 m de radio.

Datos

𝒂 =? 𝒓=𝟏𝒎

Solución A= 4 π r2 A= (4) (3.14) (1m)2 A= 4 x 3.14 x 1 m2 A= 12.56 m2

4) Calcula el área de m2 de una esfera de 0.8 m de diámetro.

Solución Datos

𝒂 =?

A= 4 π 2r A= (4) (3.14) 2(0.8m)2

𝒓 = 𝟎. 𝟖 𝒎

A= 4 x 3.14 x 0.16 m2 A= 2.01062 m2

5) Halla el área en cm2 de una esfera cuya circunferencia máxima mide 47.1 cm.

Solución

Datos

𝒂 = 4πr²

𝒂 =?

P= 2πr = 47.1 cm

𝑪𝒎 = 𝟒𝟕. 𝟏 𝒄𝒎

𝒓=(

𝟒𝟕. 𝟏 𝒄𝒎 ) 𝟐𝝅

𝒂 = 4π (

𝟒𝟕.𝟏 𝒄𝒎 𝟐

)

𝟐𝝅

𝒂 = 12.5664 (

𝟐,𝟐𝟏𝟖.𝟒𝟏 𝒄𝒎𝟐 𝟑𝟗.𝟒𝟔

)

𝒂 = 12.5664 (𝟓𝟔. 𝟐𝟐 𝒄𝒎𝟐 ) 𝒂 = 706.5 cm²

6) Calcula en km2 el área de la superficie terrestre, si el radio de la Tierra es 6370 km.

Solución

Datos

A= 4 π r2 A= (4) (3.14) (6370 m)2

𝒂 =?

A= 4 x 3.14 x 40, 576, 900 m2 A= 509, 645, 864 km2

𝒓 = 𝟔, 𝟑𝟕𝟎 𝒌𝒎

7) Halla el volumen en m3 de una esfera de 1 m de radio.

Datos

Solución

𝑽 =?

𝑽=

𝒓=𝟏𝒎

𝟒 𝝅 𝒓𝟑 𝟑 𝟒 𝑽 = (𝟑. 𝟏𝟒)(𝟏 𝒎)𝟑 𝟑 𝟒 𝑽 = (𝟑. 𝟏𝟒)𝟏 𝒎𝟑 𝟑 𝑽 = 𝟒. 𝟏𝟗 𝒎𝟐

8) Calcula el volumen en m3 de una esfera de 0,8 m de diámetro.

Datos

𝑽 =? 𝒓 = 𝟎. 𝟖 𝒎

Solución 𝟒 𝝅 𝒓𝟑 𝟑 𝟒 𝑽 = (𝟑. 𝟏𝟒)(𝟎. 𝟒 𝒎)𝟑 𝟑 𝟒 𝑽 = (𝟑. 𝟏𝟒)𝟎. 𝟎𝟔𝟒 𝒎𝟑 𝟑 𝑽=

𝑽 = 𝟎. 𝟐𝟕 𝒎𝟑

9) Halla el volumen en cm3 de una esfera cuya circunferencia máxima mide 47.1 cm.

Solución

Solución Datos

L= 𝟐𝝅𝒓

𝑽 =?

𝒓=

𝑪𝒎 = 𝟒𝟕. 𝟏 𝒄𝒎

𝒓=

𝟒𝟕. 𝟏 𝒄𝒎 𝟐(𝟑. 𝟏𝟒𝟏𝟔) 𝟒𝟕. 𝟏 𝒄𝒎 𝟔. 𝟐𝟖𝟑𝟐

𝒓 = 𝟕. 𝟓 𝒄𝒎

𝑽=

𝟒 𝟑 𝝅𝒓 𝟑

𝑽=

𝟒 (𝟑. 𝟏𝟒𝟏𝟔)(𝟕. 𝟓 𝒄𝒎)𝟑 𝟑

𝑽=

𝟒 (𝟑. 𝟏𝟒𝟏𝟔)(𝟒𝟐𝟏. 𝟖𝟖 𝒄𝒎𝟑 ) 𝟑 𝑽 = 𝟏, 𝟕𝟔𝟕. 𝟔𝟖 𝒄𝒎𝟑

10) Calcula el volumen en cm3 de una esfera de 14 cm de diámetro.

Solución Datos

𝟒 𝟑 𝝅𝒓 𝟑 𝟒 𝑽 = (𝟑. 𝟏𝟒𝟏𝟔)(𝟕 𝒄𝒎)𝟑 𝟑 𝟒 𝑽 = (𝟑. 𝟏𝟒𝟏𝟔)(𝟑𝟒𝟑 𝒄𝒎𝟑 ) 𝟑 𝑽=

𝑽 =? 𝒅 = 𝟏𝟒 𝒄𝒎

𝑽 = 𝟏, 𝟒𝟑𝟔. 𝟕𝟔 𝒄𝒎𝟑 11) Determina el radio de una pelota que tiene un área de 40 cm2.

Solución Datos

𝒓 =? 𝒂 = 𝟒𝟎 𝒄𝒎𝟐

𝒓=√

𝒂 𝟒𝝅

𝟒𝟎 𝒄𝒎𝟐 𝒓=√ 𝟒(𝟑. 𝟏𝟒𝟏𝟔) 𝟒𝟎 𝒄𝒎𝟐 √ 𝒓= 𝟏𝟐. 𝟓𝟔𝟔𝟒 𝒓 = 𝟏. 𝟕𝟖 𝒄𝒎

12) Determina el diámetro de una esfera que tiene un volumen de 1000 cm 3.

Datos

𝑫 =? 𝑽 = 𝟏 𝟎𝟎𝟎 𝒄𝒎𝟑

Solución 𝟑𝑽 𝒓= √ 𝟒𝝅 𝟑

𝟑 𝟑(𝟏, 𝟎𝟎𝟎 𝒄𝒎𝟑 ) 𝒓= √ 𝟒(𝟑. 𝟏𝟒𝟏𝟔)

𝟑, 𝟎𝟎𝟎 𝒄𝒎𝟑 √ 𝒓= 𝟏𝟐. 𝟓𝟔𝟔𝟒 𝟑

𝟑

𝒓 = √𝟐𝟑𝟖. 𝟕𝟑 𝒄𝒎𝟑 𝒓 = 𝟔. 𝟐𝟎 𝒄𝒎 𝑫 = 𝟔. 𝟐𝟎 𝒄𝒎 𝒙 𝟐 𝑫 = 𝟏𝟐. 𝟕𝟒 𝒄𝒎 13) ¿Es posible obtener un triángulo esférico ABC cuyos lados son 180º, 70º y 130º?

Datos 𝒂 = 𝟏𝟖𝟎° 𝒃 = 𝟕𝟎° 𝒄 = 𝟏𝟑𝟎°

Solución 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 < 𝟑𝟔𝟎° 𝟏𝟖𝟎° + 𝟕𝟎° + 𝟏𝟑𝟎° < 𝟑𝟔𝟎° 𝟑𝟖𝟎° < 𝟑𝟔𝟎° No es un triángulo esférico

14) ¿Es posible obtener un triángulo esférico ABC cuyos ángulos son 160º 30´; 100º?

Solución Datos 𝑨 = 𝟏𝟔𝟎° 𝑩 = 𝟑𝟎°

𝟏𝟖𝟎° < 𝑨 + 𝑩 + 𝑪 < 𝟓𝟒𝟎° 𝟏𝟖𝟎° < 𝟏𝟔𝟎 + 𝟑𝟎 + 𝟏𝟎𝟎 < 𝟓𝟒𝟎° 𝟏𝟖𝟎° < 𝟐𝟗𝟎° < 𝟓𝟒𝟎

𝑪 = 𝟏𝟎𝟎° Es un triángulo esférico 15) ¿Es posible obtener un triángulo esférico ABC cuyos lados son 130º, 120º y 110º?

Solución Datos

𝒂 + 𝒃 + 𝒄 < 𝟑𝟔𝟎°

𝒂 = 𝟏𝟑𝟎°

𝟏𝟑𝟎° + 𝟏𝟐𝟎° + 𝟏𝟏𝟎° < 𝟑𝟔𝟎°

𝒃 = 𝟏𝟐𝟎°

𝟑𝟔𝟎° < 𝟑𝟔𝟎°

𝒄 = 𝟏𝟏𝟎°

No es un triángulo esférico

16) Determine el área y el exceso de un triángulo esférico, sabiendo que sus ángulos miden A= 50º, B= 70º, C= 90º y el radio de la esfera es 63.43 m.

Datos

Solución

𝑬 = 𝑨 + 𝑩 + 𝑪 − 𝟏𝟖𝟎°

𝒂 =?

𝝅 𝒓𝟐 𝑬 𝒂= 𝟏𝟖𝟎°

𝑬 = 𝟓𝟎° + 𝟕𝟎° + 𝟗𝟎° − 𝟏𝟖𝟎°

𝑬 =? 𝑨 = 𝟓𝟎° 𝑩 = 𝟕𝟎° 𝑪 = 𝟗𝟎° 𝒓 = 𝟔𝟑. 𝟒𝟑 𝒄𝒎

𝟑. 𝟏𝟒(𝟔𝟑. 𝟒𝟑 𝒄𝒎)𝟐 (𝟑𝟎°) 𝒂= 𝟏𝟖𝟎° 𝟑. 𝟏𝟒(𝟒, 𝟎𝟐𝟑. 𝟑𝟔 𝒄𝒎𝟐 )(𝟑𝟎°) 𝒂= 𝟏𝟖𝟎° 𝟑𝟕𝟗, 𝟎𝟎𝟎. 𝟓 𝒄𝒎𝟐 𝒂= 𝟏𝟖𝟎° 𝒂 = 𝟐, 𝟏𝟎𝟓. 𝟓𝟔 𝒄𝒎𝟐

𝑬 = 𝟐𝟏𝟎° − 𝟏𝟖𝟎° 𝑬 = 𝟑𝟎°

17) Dados los ángulos de un triángulo rectángulo esférico ABC, A= 90º, B= 125º y C= 130º. Determine el exceso.

Datos

Solución

𝑨 = 𝟗𝟎°

𝑬 = 𝑨 + 𝑩 + 𝑪 − 𝟏𝟖𝟎°

𝑩 = 𝟏𝟐𝟓°

𝑬 = 𝟗𝟎° + 𝟏𝟐𝟓° + 𝟑𝟎° − 𝟏𝟖𝟎°

𝑪 = 𝟑𝟎°

𝑬 = 𝟐𝟒𝟓° − 𝟏𝟖𝟎° 𝑬 = 𝟔𝟓°

18) Describa las aplicaciones de la trigonometría esférica en astronomía y navegación. Las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites. La trigonometría en la navegación La trigonometría se utilizó ampliamente en la navegación por medio de una herramienta llamada sextante, con la que medía la distancia triangulando con las estrellas. Partes de un sextante El sextante es un instrumento que permite medir ángulos entre dos objetos; dos puntos de una costa o un astro; el Sol y el horizonte. Al conocer la elevación del Sol y la hora del día se puede saber la latitud a la que se encuentra el observador, determinando con bastante precisión, mediante cálculos matemáticos, sobre las lecturas hechas por el sextante. Este instrumento ha sido de importancia en la navegación marítima y aérea, y en la actualidad se reemplazó por sistemas satelitales. El nombre proviene de la escala del instrumento, que abarca un ángulo de 60°, o sea, un sexto de un círculo completo.

19) Relación del ecuador con el círculo máximo. El Ecuador o círculo máximo divide a la Tierra en dos partes iguales llamadas hemisferios: hemisferio norte y hemisferio sur. Los círculos menores situados entre el Ecuador y los polos se llaman paralelos, porque justamente son paralelos entre sí y con el Ecuador. 20) Defina meridiano. El meridiano es la línea imaginaria que permite dividir al planeta en dos mitades, esta línea pasa por los polos (polo norte y polo sur). Esta división permite determinar el horario de cada país o región conformante del planeta, los cuales están en constante cambio por el movimiento rotatorio de la Tierra. El meridiano base denominado “Meridiano de Greenwich” teniendo como fin la división del planeta en oriental y occidental, el segundo meridiano reconocido es el que gira en forma perpendicular al meridiano de Greenwich, el cual se conoce con el nombre de “Meridiano del Ecuador”, dividiendo el planeta en lado norte (superior) y lado sur (inferior). 21) Describa y represente el sistema de coordenadas geográficas. Es el sistema utilizado comúnmente, el meridiano 0 y el Ecuador de la Tierra, son los planos de referencia utilizados para definir la longitud y la latitud.

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22) Defina latitud. Se define como latitud a toda medida de un sector relacionada con la distancia que posee con respecto a la línea media del ecuador, en otras palabras, es la longitud que se encuentra entre un punto específico de la tierra y la línea ecuatorial (meridiano), esta es calculada por grados sexagesimales y a su vez se abrevia como “lat” definiéndose a que polo pertenece (norte/sur). Su determinación es simple, para poder fijar la latitud de un punto en específico basta con trazar una línea recta que conecte dicho punto con la línea media ecuatorial, el ángulo que posea el trazo marcado indicara la latitud. 23) Defina longitud. La longitud es una magnitud física que permite determinar la distancia entre dos puntos del espacio. Es una magnitud física fundamental ya que no puede ser definida en función de ninguna otra magnitud mientras que permite determinar otras más complejas