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PROBLEMAS 22-42. Si el modelo de bloque y resorte se somete a la fuerza periódica F  F0 cos t, demuestre que la ecuación  diferencial de movimiento es X  (KM)X  (&0M) cos /T, donde x se mide con respecto a la posición de equilibrio del bloque. ¿Cuál es la solución general de esta ecuación?

•22-45. El resorte que se muestra se alarga 6 pulg cuando se carga con un peso de 50 lb. Determine la ecuación que describe la posición del peso como una función del tiempo si el peso es jalado 4 pulg por debajo de su posición de equilibrio y se libra del reposo cuando t  0. El peso se somete a la fuerza periódica F  (7 sen 2t) lb, donde t está en segundos.

Posición de equilibrio x k

F  F0 cos vt

m

Prob. 22-42

k

22-43. Si el bloque se somete a la fuerza periódica F  F0 cos t, demuestre que la ecuación diferencial de movi miento es Y  (KM)Y  (&0M) cos /T, donde y se mide con respecto a la posición de equilibrio del bloque. ¿Cuál es la solución general de esta ecuación? F  7 sen 2t

Prob. 22-45

k

y m

22-46. El bloque de 30 lb está unido a dos resortes con rigidez de 10 lb>pie. Una fuerza periódica F  (8 cos 3t) lb, donde t está en segundos, se aplica al bloque. Determine la rapidez máxima del bloque después de que las fuerzas de fricción hagan que cesen las vibraciones libres.

F  F0 cos vt

Prob. 22-43 k  10 lb/pie

2 *22-44. Un bloque de 0.8 kg de masa se suspende de un 2 resorte cuya rigidez es de 120 N>m. Si un amortiguador genera una fuerza de amortiguación de 2.5 N cuando la velocidad del bloque es de 0.2 m>s, determine el periodo de vibración libre.

22

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F  8 cos 3t k  10 lb/pie

Prob. 22-46

11/18/09 8:19: 1 AM

22.6 ANÁLOGOS DE UN CIRCUITO ELÉCTRICO 22-47. Se suspende un bloque de 5 kg de un resorte que tiene una rigidez de 300 N>m. Si en el bloque actúa una fuerza periódica vertical F  (7 sen 8t) N, donde t está en segundos, determine la ecuación que describe el movimiento del bloque cuando se le jala hacia abajo 100 mm de la posición de equilibrio y se libra del reposo cuando t  0. Considere positivo el desplazamiento hacia abajo.

k  300 N/m

663

•22-49. El ventilador tiene una masa de 25 kg y está fijo en el extremo de una viga horizontal de masa insignificante. Las aspas del ventilador están montadas excéntricamente en la flecha de modo que equivalen a una masa desbalanceada de 3.5 kg localizada a 100 mm del eje de rotación. Si la deflexión estática de la viga es de 50 mm a consecuencia del peso del ventilador, determine la velocidad angular de sus aspas a la cual ocurrirá la resonancia. Sugerencia: consulte la primera parte del ejemplo 22.8. 22-50. El ventilador tiene una masa de 25 kg y está fijo en el extremo de una viga horizontal de masa insignificante. Las aspas del ventilador están montadas excéntricamente en la flecha de modo que equivalen a una masa desbalanceada de 3.5 kg localizada a 100 mm del eje de rotación. Si la deflexión estática de la viga es de 50 mm a consecuencia del peso del ventilador, determine la amplitud de la vibración de estado continuo del ventilador si la velocidad angular de las aspas es de 10 rad>s. Sugerencia: consulte la primera parte del ejemplo 22.8. 22-51. ¿Cuál será la amplitud de la vibración de estado continuo del ventilador del problema 22-50 si la velocidad angular de sus aspas es de 18 rad>s? Sugerencia: consulte la primera parte del ejemplo 22.8.

F  7 sen 8t

Prob. 22-47 V

*22-48. El motor eléctrico tiene una masa de 50 kg y está sostenido por cuatro resortes que tienen una rigidez de 100 N>m. Si el motor hace girar un disco D el cual está montado excéntricamente a 20 mm de su centro, determine la velocidad angular a la cual ocurre la resonancia. Suponga que el motor sólo vibra en la dirección vertical. Probs. 22-49/50/51

20 mm

V

D

k  100 N/m k  100 N/m

Prob. 22-48

22

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*22-52. Un bloque de 7 lb está suspendido de un resorte que tiene una rigidez de k  75 lb>pie. Al soporte al cual está conectado el resorte se le imprime un movimiento armónico, el cual puede ser expresado como   (0.15 sen 2t) pies, donde t está en segundos. Si el factor de amortiguación es c>cc  0.8, determine el ángulo de fase  de la vibración forzada. •22-53. Determine el factor de amplificación de la combinación de bloque, resorte y amortiguador del problema 22-52.

11/18/09 8:19: 3 AM

22-54. La barra uniforme tiene una masa de m. Si en ella actúa una fuerza periódica F  F0 sen t, determine la amplitud de la vibración de estado continuo.

22-59. El sistema de resortes está conectado a un cruceta que oscila verticalmente cuando la rueda gira a una velocidad angular constante de  5 rad>s. Si la amplitud de la vibración de estado continuo es de 400 mm , determine los dos posibles valores de la rigidez k de los resortes. La masa del bloque es de 50 kg.

A L 2 k

22-58. El sistema de resortes está conectado a un cruceta que oscila verticalmente cuando la rueda gira a una velocidad angular constante de V. Si la amplitud de la vibración de estado continuo es de 400 mm y cada uno de los resortes tiene una rigidez de k  2500 N>m, determine los dos posibles valores de V a que debe girar la rueda. La masa del bloque es de 50 kg.

k

L 2

F  F0 sen vt

v

200 mm

Prob. 22-54

22-55. El movimiento de un sistema subamortiguado puede ser descrito por la gráfica que aparece en la figura 20-16. Demuestre que la relación entre dos picos de vibración sucesivos está dada por ln(XNXN  1)  2)(CCC)

k

k

1—(CCC)2 , donde c>cc es el factor de amortiguación y a ln(xn>xn1) se le llama decremento logarítmico. *22-56. Se observa que dos amplitudes sucesivas de un sistema vibratorio subamortiguado de resorte-bloque son de 100 mm y 75 mm. Determine el coeficiente de amortiguación del sistema. El bloque tiene una masa de 10 kg y el resorte tiene una rigidez de k  1000 N>m. Use el resultado del problema 22-55. •22-57. Dos amortiguadores idénticos se disponen paralelos entre sí, como se muestra. Demuestre que si el coeficiente de amortiguación C  MK , entonces el bloque de masa m vibrará como un sistema subamortiguado.

c

Probs. 22-58/59

*22-60. Determine la ecuación diferencial para oscilaciones pequeñas en función de  para la barra uniforme de masa m. Además, demuestre que si C  MK2, entonces el sistema permanece subamortiguado. La barra está en una posición horizontal cuando está en equilibrio.

c

a

2a B

A

C u

k

c

k

Prob. 22-57

22

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Prob. 22-60

11/18/09 8:19:

AM

•22-61. Si el amortiguador tiene un coeficiente de amortiguación de c  50 N # s>m, y la rigidez del resorte es de k  600 N>m, demuestre que el sistema está subamortiguado y luego determine el periodo de oscilación del péndulo. Las barras uniformes tienen una masa por unidad de longitud de 10 kg>m.

0.3 m

0.3 m

c  50 Ns/m

A

22-63. El bloque, con un peso de 15 lb, se sumerge en un líquido de modo que la fuerza de amortiguación que actúa en el bloque tenga una magnitud de F  (0.8|v|) lb, donde v es la velocidad del bloque en pies>s. Si el bloque es jalado hacia abajo 0.8 pies y se libra del reposo, determine su posición en función del tiempo. El resorte tiene una rigidez de k  40 lb>pie. Considere que el desplazamiento positivo es hacia abajo.

k  600 N/m

C

 40 lb/pie

B

0.6 m

D

Prob. 22-61

Prob. 22-63

22-62. Si el bloque de 30 kg se somete a una fuerza periódica de P  (300 sen 5t) N, k  1500 N>m y c  300 N # s>m, determine la ecuación que describe la vibración de estado continuo en función del tiempo.

*22-64. El pequeño bloque en A tiene una masa de 4 kg y está montado en la barra acodada de masa insignificante. Si el rotor B crea movimiento armónico B  (0.1 cos 15t) m, donde t está en segundos, determine la amplitud de vibración de estado continuo del bloque.

0.6 m

A k

c

O

k

1.2 m

V k  15 N/m P  (300 sen 5 t)N

B

Prob. 22-62

22

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Prob. 22-64

11/19/09 9:32: 5 PM