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• VivianaGaitan

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SOLUCION DEL LITERAL D. Ejercicios 1. Ecuaciones diferenciales Homogéneas. Solucionar las siguientes ecuaciones diferenciales de orden superior homogéneas (Cada estudiante debe desarrollar el numeral seleccionada en la tabla del paso 3, se debe presentar cada paso efectuado para el desarrollar del mismo). D . 4 y ' '−4 y '−3 y=0 , y (0)=1 , y ' (0)=5 SOLUCION Realizamos una transformación a y ' ' por m2 Nos quedaría de la siguiente manera: 4 m2−4 m'−3=0 Esto es un problema algebraico y lo solucionamos factorizando

( 2 m−3 ) ( 2 m+1 )=0 Ahora al multiplicar nos da cero esto quiere decir que nos queda 2 m−3=0 2m+1=0 3 −1 m 1= m2= 2 2 Despejamos m=

3 2

Ahora planteamos la solución 3 x 2

y ( x ) =c 1 e +c 2 e

−1 x 2

Las condiciones iniciales y (0)=1 , y '(0)=5 estan para poder evaluar el c 1 y el c 2ya que es una ecuación diferencial de segundo orden, porque solo tenemos dos constantes Ahora sabemos que cuando x=0 y ( 0 )=c1 e 0+ c 2 e 0=1 Ahora pasamos a evaluar el y ' '

3

x 3 1 y ( x ) c 1 e 2 − c2 e 2 2 ❑

−1 x 2

=5

Ahora calculamos las derivadas de cada uno de los sumandos y podemos decir que 3 1 y ' (0)= c 1 e 0− c 2 e0 =5 2 2

Esto significa que tenemos dos ecuaciones E cuacion 1 :c 1 +c 2=0 3 1 E cuacion 2: c 1− c 2=5 2 2 Ahora pasamos a sustituir Despejamos a c 1=1−c 2 Este valor lo reemplazamos y nos queda 3 1 ( 1−c 2) − 2 c 2=5 2 Ahora aplicamos el método distributivo y nos queda 3 3 1 − c 2− c 2=5 2 2 2 Restamos a ambos lados y nos queda −2 c 2=5− −2 c 2=

2 3

7 2

Dividimos a ambos lados entre -2 y nos queda que c 2=

−7 4

Ahora como ya tenemos a c 2 entonces a c 1 lo puedo evaluar como c 1=1−( c 1=

−7 7 )=1+ 4 4

11 4

Teniendo las dos constantes despejadas c 1 y c 2 ,le damos solución a la ecuación y nos queda que 3

11 x 7 y ( x) = e 2 − e 4 4

−1 x 2

Ejercicios 2. Ecuaciones Diferenciales No Homogéneas. Solucionar las siguientes Ecuaciones diferenciales de orden superior no homogéneas (Cada estudiante debe desarrollar el numeral seleccionado en la tabla del paso 3, se debe presentar cada paso efectuado para el desarrollo del mismo). D . y ' ' − y=cosh x SOLUCION Tenemos una ecuación diferencial de segundo orden no homogénea y con coeficientes constantes, Se resuelve por el método de variación de parámetros utilizando las siguientes formulas

u1=∫

y 2 fx y 1 fx dx u2=∫ dx w w

Una solución general de una ecuación diferencial no homogénea de este tipo

a 2 y ' '+a 1 y ' +a 0 y=g ( x) Se obtiene sumando la solución general de la ecuación diferencial homogénea asociada y una solución particular cualquiera de la ecuación diferencial no homogénea dada

y= y c + y p Al aplicar las formulas primero realizamos la variación de parámetros en la solución general, entonces sustituimos

y c =c1 y 1+ c 2 y 2 Por las funciones de x

y p=u 1 ( x ) y 1 +u2 ( x ) y 2 Primero debemos encontrar la solución general de la ecuación diferencial homogénea asociada a esta no homogénea

y ' '− y=0 la ecuación algebraica característica de esta ecuación homogénea es

m 2−1=0 Entonces

m 2=0 Y, por lo tanto

m2=1 De tal modo que las variaciones de esta ecuación son

m 1=1 m 2=−1 Y la solución general es

y c =c1 e x +c 2 e−x Se obtuvieron dos raíces reales y distintas, ya tenemos la solución general de la ecuación homogénea Ahora vamos a deducir la solución particular de la ecuación no homogénea Y se propone como una solución particular, a una función donde variamos los parámetros de la función

y p=u 1 e x +u2 e−x Ahora determinamos los valores de u1 y u2, para lo cual utilizamos la siguientes formulas

u1=∫

y 2 fx dx w

u2=∫

y 1 fx dx w

y 1 y y 2 ,son las funciones que conforman el conjunto fundamental de soluciones, de la solución general de la ecuación homogénea y son linealmente independientes

y 1=e x y 1=e−x f ( x ), es el termino de no homogeneidad f ( x )=coshx Y w, es el wronskiano de las funciones y 1 y y 2 , x −x w= ex e − x e −e

|

|

w=1−1 w=−2 Aplicamos estos valores en las fórmulas para obtener a u1 y u2

u1=∫ ¿

e− x coshx dx=∫ −2

e−x

e x +e− x 2 dx 2

1 1 1 (1+e−2 x ¿ )dx= x− e−2 x ¿ ∫ 4 4 8

No hay necesidad de escribir la constante de integración, porque estamos deduciendo una solución particular cualquiera de esta ecuación diferencial

ex u2=∫

e x + e−x 2 1 dx= ∫ (1+e 2 x ¿ +1)dx ¿ −2 4

Integrando y se obtiene

−1 ∗1 1 4 1 2x u= ∫ (1+e ¿ +1) dx= e 2 x− x ¿ 4 2 4 u2 =

−1 2 x 1 e − x 8 4

Ahora sustituimos todas estas funciones en

y p=

¿

( 14 x− 18 e ) e +( −18 e −2 x

x

2x

1 − x e− x 4

)

1 x 1 −x 1 x 1 x e − e − e −¿ x e−x 4 8 8 4

Asociamos el primero y cuarto termino y factorizamos

¿

1 1 1 xsenhx− e−x − e x 2 8 8

Entonces tenemos la solución general de una ecuación homogénea y una solución particular de la ecuación no homogénea Ahora formamos la solución general de la ecuación no homogénea sumando las dos funciones, de tal manera que la solución general es

1 1 1 y=c1 e x +c 2 e−x + xsenhx− e− x − e x 2 8 8 Asociamos términos semejantes y factorizamos por e x ,y nos queda

( c − 18 )e =c e x

1

1

x

( c − 18 ) e

−x

2

=c 2 e−x

Entonces esta es la solución general de la ecuación diferencial no homogénea

1 y=c1 e x +c 2 e−x + senhx 2

Ejercicios 3. Ecuaciones de Cauchy - Euler. Solucionar las siguientes ecuaciones de Cauchy-Euler (Cada estudiante debe desarrollar el numeral seleccionado en la tabla del paso 3, se debe presentar cada paso efectuado para el desarrollo del mismo). D . x 3 y ' ' '−6 y =0 SOLUCION Formula de Cauchy – Euler: ax 2 y ' ' + bx y ' +cy=0 Podemos decir que la ecuación resolver si es una ecuación diferencial de Cauchy – Euler, ya que tenemos que el exponente de la x es 2 donde la derivada es 3 y en el siguiente termino no tenemos una x donde aparece la y que no tiene derivada, así que por lo tanto es una ecuación de Cauchy -

Euler Para resolver una ecuación de Cauchy – Euler hay que tener en cuenta que tiene una

solución de este tipo y=x r , es decir una potencia de x, por lo tanto restringimos los valores de x únicamente a las x >0 Ahora calculamos las derivadas de y para sustituir la ecuación diferencial y '=rx r−1 ahora volvemos a derivar para obtener la segunda derivada

y ´ ´=r (r−1)x r −1 ahora volvemos a derivar para obtener la segunda derivada

y ´ ´ ´=r (r−2)(r−1) xr −3 ahora sustituimos estos valores en la ecuación diferencial

x 3 ( r −2 ) ( r−1 ) xr −3−6 x r=0 Ahora multiplicamos y nos queda

( r −2 )( r −1 ) x r −6 x r=0 Factorizamos xr ¿ ¿ r =(r ¿¿ 2−3 r+ 2)−6=0¿ r 3−3r 2+2 r −6=0 Factorizamos por agrupación r2 ¿ Ahora sacamos factor común

(r ¿¿ 2+2) ( r −3 )=0 ¿ Esto significa que cada factor es = 0, por lo que r 2 +2=0, y r −3=0 Ahora sacamos raíz cuadrada r 2 +2=0

r −3=0

√ r 2=√−2 r r=3 r =±i √ 2 r =0 ±i √ 2 ∝=± βi √ 2 ∝=0 β= √ 2 Por ultimo tenemos la solución de la ecuación y nos queda de la siguiente manera y=c1 x 3+ c 2 cos ( √ Inx ) +C 3 sin ( √ 2)

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS CONSULTADAS 

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Mesa, F. (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias: una introducción. Colombia: Ecoe Ediciones. (pp. 59-63). Recuperado de https://elibronet.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/69222?page=59 Mesa, F. (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias: una introducción. Colombia: Ecoe Ediciones. (pp. 71-79). Recuperado de https://elibronet.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/69222?page=71 García, A. (2014). Ecuaciones diferenciales. Larousse - Grupo Editorial Patria. (pp. 7276). Recuperado de  https://elibronet.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/39438?page=72 En este recurso digital se brinda información a los estudiantes del contenido temático de la UNIDAD 2. Ecuaciones diferenciales de orden superior, con el objetivo de facilitar el reconocimiento de los diferentes elementos que se deben tener en cuenta para el cumplimiento de los objetivos cognitivos del curso. Granados, A.  (2017). Presentación Unidad 2. Ecuaciones diferenciales de segundo orden. [OVI]. Recuperado de  http://hdl.handle.net/10596/11507 En estos recursos digitales se brinda información a los estudiantes del contenido temático de la Unidad 2- Ecuaciones diferenciales de primer orden, Ecuaciones diferenciales por Cauchy Euler con el objetivo de facilitar el reconocimiento de algunos elementos que se deben tener en cuenta para el cumplimiento de los objetivos cognitivos de la unidad. Granados, A.  (2020).  Ecuaciones diferenciales Cauchy Euler. Unad.  [OVA]. Disponible en  https://repository.unad.edu.co/handle/10596/33649