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• Adriana

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1. Partiendo de un balance de energía sobre un elemento de volumen con forma de casco cilíndrico, deduzca la ecuación unidimensional de conducción de calor en estado estacionario para un cilindro largo, con conductividad térmica constante, en el cual se genera calor con una velocidad 𝑒𝑔 𝑒𝑛.

2. Partiendo de un balance de energía sobre un elemento de volumen con forma de capa esférica, deduzca la ecuación unidimensional de conducción de calor en régimen transitorio para una esfera con conductividad térmica constante y sin generación de calor.

3. Partiendo de un balance de energía sobre un elemento de volumen con forma de anillo, deduzca la ecuación bidimensional de conducción de calor en estado estacionario, en coordenadas cilíndricas para T(r, z), para el caso de conductividad térmica constante y sin generación de calor.

4. Considere una cacerola de aluminio usada para cocinar estofado colocada sobre la parte superior de una estufa eléctrica. La sección del fondo de la cacerola tiene un espesor L =0.25 cm y un diámetro de D = 18 cm. La unidad eléctrica de calentamiento

que está en la parte superior de la estufa consume 900 W de potencia durante la cocción y 90% del calor generado en el elemento de calentamiento se transfiere hacia la cacerola. Durante la operación estacionaria se mide la temperatura de la superficie interior y resulta ser de 108°C. Si se supone una conductividad térmica dependiente de la temperatura y transferencia unidimensional de calor, exprese la formulación matemática (la ecuación diferencial y las condiciones de frontera) de este problema de conducción de calor en operación estacionaria. No resuelva. 5. Considere un recipiente esférico de radio interior r1, radio exterior r2 y conductividad térmica k. Exprese la condición de frontera sobre la superficie interior del recipiente para conducción unidimensional estacionaria, para los casos siguientes: a) temperatura específica de 50°C,𝑇(𝑟1 ) = 50℃ 𝑑𝑇(𝑟 ) 𝑊 b) flujo específico de calor de 30 W/m2 hacia el centro,𝑘 = 𝑑𝑟1 = 30 𝑚2 c) convección hacia un medio que se encuentra a una temperatura T con un coeficiente 𝑑𝑇(𝑟1 ) de transferencia de calor de h. 𝑘 = ℎ[𝑇(𝑟1 ) − 𝑇∞ ] 𝑑𝑟

6. Considere un tubo largo de radio interior r1, radio exterior r2 y conductividad térmica k. La superficie exterior del tubo está sujeta a convección hacia un medio a una temperatura T con un coeficiente de transferencia de calor de h, pero no se conoce la dirección de esa transferencia. Exprese la condición de convección de frontera sobre la superficie exterior del tubo.

7. Considere una pared plana grande de espesor L = 0.4 m, conductividad térmica k = 2.3 W/m · °C y área superficial A = 30 m2. El lado izquierdo de la pared se mantiene a una temperatura constante de T1= 90°C, en tanto que el derecho pierde calor por convección hacia el aire circundante que está a T = 25°C, con un coeficiente de transferencia de calor de h = 24 W/m2 · °C. Si se supone una conductividad térmica constante y que no hay generación de calor en la pared, a) exprese la ecuación diferencial y las condiciones en la frontera para una conducción unidimensional de calor en estado estacionario a través de la pared, b) obtenga una relación para la variación de la temperatura en la pared, mediante la solución de la ecuación diferencial y c) evalúe la razón de la transferencia de calor a través de la misma. 8. Considere la placa base de una plancha doméstica de 800 W con un espesor de L = 0.6 cm, área de la base de A = 160 cm2 y conductividad térmica de k = 20 W/m·°C. La

superficie interior de la placa base se sujeta a un flujo uniforme de calor generado por los calentadores de resistencia del interior. Cuando se alcanzan las condiciones estacionarias de operación, la temperatura de la superficie exterior de la placa es de 85°C. Descartando cualquier pérdida de calor a través de la parte superior de la plancha, a) exprese la ecuación diferencial y las condiciones de frontera para la conducción unidimensional de calor en estado estacionario a través de la placa, b) obtenga una relación para la variación de la temperatura en la placa base, resolviendo la ecuación diferencial, y c) evalúe la temperatura de la superficie interior.

9. Una placa grande de acero que tiene un espesor de L = 4 in, conductividad térmica de k = 7.2 Btu/h · ft · °F y una emisividad de = 0.7 está tendida sobre el suelo. Se sabe que la superficie expuesta de la placa, en x = L, intercambia calor por convección con el aire ambiente que está a T = 90°F, con un coeficiente promedio de transferencia de calor de h =12 Btu/h·ft2·°F, así como por radiación hacia el cielo abierto, con una temperatura equivalente del cielo de Tcielo = 480 R. Asimismo, la temperatura de la superficie superior de la placa es de 75°F. Si se supone una transferencia unidimensional de calor en estado estacionario, a) exprese la ecuación diferencial y las condiciones de frontera para la conducción a través de la placa, b) obtenga una relación para la variación de la temperatura en ella, resolviendo la ecuación diferencial, y c) determine el valor de la temperatura de la superficie inferior de la misma, en x = 0.

10. Cuando una sección larga de una línea de suministro de aire comprimido pasa a través del exterior, se observa que la humedad que existe en el aire comprimido se congela cuando el clima es frío, perturbando e incluso bloqueando por completo el flujo de aire en el tubo. Con el fin de evitar este problema, la superficie exterior del tubo se envuelve con calentadores eléctricos de cinta y, a continuación, se aísla. Considere un tubo de aire comprimido de longitud L = 6 m, radio interior r1 = 3.7 cm, radio exterior r2 = 4.0 cm y conductividad térmica k = 14 W/m·°C equipado con un calentador de cinta de 300 W. El aire está fluyendo por el tubo a una temperatura promedio de = 0°C y el coeficiente promedio de transferencia de calor por convección es h = 30 W/m2·°C. Suponiendo que 15% del calor generado en el calentador de cinta se pierde a través del aislamiento, a) exprese la ecuación diferencial y las condiciones de frontera para la conducción unidimensional de calor en estado estacionario a través del tubo, b) obtenga una relación para la variación de la temperatura en el material del tubo, resolviendo la ecuación diferencial, y c) evalúe las temperaturas de las superficies interior y exterior del propio tubo.

11. Considere un cilindro sólido largo de radio r0 = 4 cm y conductividad térmica k = 25 W/m · °C. Se genera calor uniformemente en el cilindro a razón de 𝑒 0 = 35 W/cm3. La superficie lateral del cilindro se mantiene a una temperatura constante de TS = 80°C. La variación de la temperatura en ese cilindro se expresa por

Con base en esta relación, determine a) si la conducción de calor es estacionaria o transitoria, b) si es unidimensional, bidimensional o tridimensional y c) el valor del flujo de calor en la superficie lateral del cilindro, en r = r0. 12. Se usa un alambre calentador de resistencia de 2 kW, con conductividad térmica de k = 20 W/m · °C, un diámetro de D = 5 mm y una longitud de L = 0.9 m, para hervir agua. Si la temperatura de la superficie exterior del alambre de resistencia es TS = 110°C, determine la temperatura en el centro del mismo. 𝐸̇𝑔𝑒𝑛 𝐸̇𝑔𝑒𝑛 2000𝑊 2000𝑊 𝑊 𝑒̇𝑔𝑒𝑛 = = 2 = = = 282965.4782 3 2 3 𝑣𝑎𝑙𝑎𝑚 𝜋𝑟 𝐿 𝜋(0.0025𝑚) (0.9𝑚) 0.007068𝑚 𝑚

𝑊 (282965.4782 3 )(0.0025)2 𝑒̇𝑔𝑒𝑛 (𝑟0 2 ) 𝑚 𝑇0 = 𝑇𝑠 + = 110℃ + = 110℃ + 0.22℃ 𝑊 4𝑘 4(20 𝑚 ∗ ℃) = 110.022℃

13. Considere una placa grande de latón de 5 cm de espesor (k = 111 W/m · °C) en la cual se genera uniformemente calor a razón de 2 105 W/m3. Uno de los lados de la placa está aislado, en tanto que el otro está expuesto a un medio a 25°C, con un coeficiente de transferencia de calor de 44 W/m2·°C. Explique en qué sitios de la placa se localizarán las temperaturas más alta y más baja, y determine sus valores.

14. Considere una pieza esférica homogénea de material radiactivo de radio r0 0.04 m que está generando calor a una razón constante de 𝑒𝑔 𝑒𝑛 = 4 107 W/m3. El calor generado se disipa hacia el medio de manera estacionaria. La superficie exterior de la esfera se mantiene a una temperatura uniforme de 80°C y la conductividad térmica de

la esfera es k = 15 W/m·°C. Si se supone una transferencia unidimensional de calor en estado estacionario, a) exprese la ecuación diferencial y las condiciones de frontera para la conducción de calor a través de la esfera, b) obtenga una relación para la variación de la temperatura en ella, resolviendo la ecuación diferencial, y c) determine la temperatura en el centro de la misma.

15. Considere una pared plana de espesor L cuya conductividad térmica varía en un rango especificado de temperaturas como k(T) = k0(1 + T2), en donde k0 y son dos constantes determinadas. La superficie de la pared en x = 0 se mantiene a una temperatura constante de T1, en tanto que la superficie en x = L se mantiene a T2. Si se supone una transferencia unidimensional de calor en estado estacionario, obtenga una relación para la razón de esa transferencia a través de la pared. 16. Considere una capa cilíndrica de longitud L, radio interior r1 y radio exterior r2, cuya conductividad térmica varía linealmente en un rango específico de temperaturas como k(T) = k0(1 + T2), en donde k0 y son dos constantes determinadas. La superficie interior de la capa se mantiene a una temperatura de T1, en tanto que la exterior se mantiene a T2. Si se supone una transferencia unidimensional de calor en estado estacionario, obtenga una relación para a) la razón de esa transferencia a través de la pared y b) la distribución de temperatura T(r) en la capa.