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• Carlos Andres Siabatto

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• Física y matemáticas

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Ejercicios 1 – Solución Ecuaciones Diferenciales por series de potencia. Dar solución a las siguientes ecuaciones diferenciales por el método de series de potencia (Cada estudiante debe desarrollar el ejercicio seleccionada en la tabla del paso 2, debe indicando la razón o argumento de cada paso en el procedimiento efectuado) b. 𝑦 ′′ − 𝑥 2 + 𝑦 ′ = 0

Ejercicios 2. Transformada de Laplace

Calcular la transformada de Laplace (Cada estudiante debe desarrollar el ejercicio seleccionado en la tabla del paso 2, debe indicar la razón o argumento de cada paso en el procedimiento efectuado) b. ℒ{2𝑡 + 𝜋𝑒 3𝑡 }

Ejercicios 3. Solución Ecuaciones Diferenciales con transformada de Laplace.

Dar solución a las siguientes Ecuaciones diferenciales por transformada de Laplace (Cada estudiante debe desarrollar el ejercicio seleccionado en la tabla del paso 2, debe indicar la razón o argumento de cada paso en el procedimiento efectuado) b. 𝑦 ′′ + 𝑦 ′ + 2𝑦 = 𝑥; 𝑦(0) = 2, 𝑦′(0) = 2

Ejercicio 4. Situación problema.

A partir de la situación problema planteada el grupo debe realizar los aportes respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las características del problema que se ha planteado y buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden seleccionando la respuesta correcta de las 4 alternativas. Problema: Usar el teorema de Taylor para hallar la solución en serie de 𝑥𝑦 ′′ + 2𝑦 ′ = 𝑥𝑦 con 𝑦 (1) = 1 y en 𝑦 ′(1) = 0.

B. 1 + 𝑥 +

1 2

4

𝑥 2 + 3! 𝑥 3 + 10

𝑥4 4!

− 40

𝑥5 5!

+⋯

Ejercicio 5. Análisis y evaluación de la solución de una situación planteada.

Situación problema: La ecuación diferencial que modela un circuito eléctrico RLC dispuesto en serie es:

𝑑𝑖 1 t 𝐿 + 𝑅𝑖 + ∫ i(τ)dτ = E(t) 𝑑𝑡 𝑐 0

Utilizando la transformada de Laplace encuentre i(t), si L = 0.05H; R = 1 Ω ; c=0.02 F y E(t) = 50[t 3 𝑒 −𝑡 ]V e i(0) = 0 Solución planteada:

1. Se reemplazan los valores 0.005

t 𝑑𝑖 1 +𝑖+ ∫ i(τ)dτ = 50[t 3 + 𝑒 −𝑡 ] 𝑑𝑡 0.02 0

2. Se divide por 0.005

t 𝑑𝑖 + 200𝑖 + 1000 ∫ i(τ)dτ = 10000t 3 − 10000𝑒 −𝑡 𝑑𝑡 0

3. A cada término se le halla la transformada de Laplace

𝑠𝐼(𝑠) + 𝑖(0) + 200𝐼(𝑠) + 1000

𝐼(𝑠) 30000 10000 = − 𝑠 𝑠2 𝑠−1

4. Se agrupan los términos de I(s)

𝑠 2 + 200𝑠 + 1000 3 1 𝐼(𝑠) ( ) = 10000 ( 2 − ) 𝑠 𝑠 𝑠−1 5. Se factoriza el numerador del lado izquierdo y se despeja I(s). Se reescribe el resultado para aplicar Transformada inversa.

𝐼(𝑠) =

𝐼(𝑠) = 10000 [

10000𝑠 3 1 ( 2− ) 2 𝑠(𝑠 + 100) 𝑠 𝑠−1

1 3 1 − + ] (𝑠 + 100)2 (𝑠 + 100)2 𝑠 − 1

6. Se aplica la transformada inversa para hallar i(t)

𝑖(𝑡) = 20000[𝑡𝑒 −100𝑡 − 3(𝑡 − 1)𝑒 −100(𝑡−1) − 𝑒 −𝑡 ] Con esto se obtiene finalmente la corriente en función del tiempo.