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• Jorge Rodriguez

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UNIDAD 1: FASE 1 - PLANIFICACIÓN ECUACIONES DIFERENCIALES

ESTUDIANTES: MARIO ANDRÉS ÁLVAREZ ROMERO CÓDIGO: 1066173421 JESSICA VANEGAS ZARATE CODIGO: 55308644 JUAN FERNANDO VASQUEZ CODIGO: 1047434158 JUAN FELIPE PERDOMO CODIGO: JORGE RAFAEL MARIA CODIGO: TUTOR: JAIR MÁRQUEZ

CODIGO CURSO: 100412A_474 CODIGO GRUPO: 100412_201

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD) 2018

INTRODUCCIÓN

La realización de este trabajo permitió reforzar los conocimientos previos que se deben tener para poder tener un mejor desarrollo a través del curso de ecuaciones diferenciales, repasar los tipos de ecuaciones diferenciales y su clasificación y como a partir de esta se puede dar solución a la misma. Se aprendió sobre la linealidad de sistemas, la separación de variables, identificar las ecuaciones exactas o como convertir algunas ecuaciones diferenciales en exactas.

OBJETIVOS Adquirir y afianzar conocimientos relacionados con las ecuaciones diferenciales, ecuaciones diferenciales de primer orden y sus aplicaciones Presentar un adecuado análisis y evaluación de la solución a las diferentes situaciones y ejercicios planteados. Lograr establecer un buen desarrollo de la actividad en forma colaborativa con cada integrante.

TABLA 1: PLAN DE TRABAJO - GRUPO Datos Estudiante Rol dentro del Trabajo Colaborativo 1066173421/ Mario Andrés Álvarez/ CCAV (Roberto de Jesús Salazar Ramos)/ Cartagena 55308644/Jessica Vanegas/CCAV Roberto de Jesús Salazar/CEAD Cartagena/ 107434158/Juan Fernando Vásquez / CCAV (Roberto de Jesús Salazar Ramos)/ Cartagena Juan Felipe Perdomo/ Jorge Rafael Maria

Evaluador

201 Preguntas seleccionada s a desarrollar actividad individual 1y4

Preguntas seleccionada s para revisar o realimentar Identificación 2 y 10

Lider

2y9

1y3

Colaborador

3 y 10

4y9

Alertas

7y8

5y6

5y6

7y8

CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

1.

De acuerdo al texto, una ecuación diferencial ordinaria de tercer corresponde a:

orden y lineal

dy 2

a. (1 − y) (dx) + 2y = exy b. (x 2 − y)dx + 5 sen y dy = 0 c. x 3 dy − ydx = 0 d3 y

d2 y

dy

d. x 2 dx3 + cosx dx2 + senx dx + x 2 y = ex La respuesta es la “d”, ya que preescribimos como: x²·y''' + cos(x)· y'' + sen(x) · y' + x²y = eˣ  Ecuación lineal y de tercer orden Podemos observar que la mayor derivada es la tercera derivada (y''') y es lineal porque el exponente de cada derivada es 1.

𝒅𝟑 𝒚

𝟒

𝒅𝟐 𝒚

𝟐

𝒅𝒚

2. La ecuación diferencial (𝒅𝒙𝟑 ) + 𝟔𝒙𝟐 (𝒅𝒙𝟐 ) + 𝒚 𝒅𝒙 = 𝟐𝒙 corresponde a: a. Ecuación diferencial Ordinal de segundo orden, no lineal. b. Ecuación diferencial Ordinal de tercer orden, lineal. c. Ecuación diferencial Ordinal de cuarto orden, no lineal. d. Ecuación diferencial Ordinal de tercer orden, no lineal.

La respuesta es la d. porque 1. Es Ordinal u ordinaria porque posee derivadas con respecto a una sola variable independiente. 2. El orden no los da la mayor o máxima derivada que aparece en la ecuación que para este caso es 3 (tercer orden). 3. Y se considera no lineal debido a que para que una ecuación sea lineal la variable ” y “ y todas sus derivadas deben ser de primer orden y cada coeficiente dependerá solo de la variable independiente “x” y como vemos en esta ecuación hay un coeficiente dependiente y. También vemos que las derivadas están elevadas a exponentes a 2 y 4.

ECUACIONES CON VARIABLES SEPARABLES 𝒅𝒙

3. Aplicando la definición, una solución de la siguiente ecuación diferencial: 𝒚 𝒍𝒏𝒙 𝒅𝒚 = 𝒚+𝟏 𝟐 ) , con 𝒙 𝟏 𝟑

(

a.

b. c. d.

valor inicial 𝒚(𝟎) = 𝟎, se puede simplificar como:

𝟏 𝟏 𝒙 𝒍𝒏𝒙 − 𝟗 𝒙𝟑 = 𝟐 𝒚𝟐 + 𝟐𝒚 + 𝒍𝒏|𝒙| + 𝒄 𝟑 𝟏 𝟑 𝟏 𝟏 𝒙 𝒍𝒏𝒙 + 𝟗 𝒙𝟑 = 𝟐 𝒚𝟐 + 𝟐𝒚 − 𝒍𝒏|𝒙| + 𝒄 𝟑 𝟏 𝟑 𝟏 𝟑 𝟏 𝟐 𝒙 𝒍𝒏𝒙 − 𝒙 = 𝒚 + 𝟐𝒚 + 𝒍𝒏|𝒙| + 𝒄 𝟐 𝟒 𝟐 𝟏 𝟑 𝟏 𝟏 𝒙 𝒍𝒏𝒙 + 𝟗 𝒙𝟑 = 𝟐 𝒚𝟐 + 𝟐𝒚 + 𝒍𝒏|𝒙| + 𝒄 𝟑

RESPUESTA: Inicialmente tenemos una ecuación diferencial separable, entonces: y lnx dx/dy= ((y+1)/x)² Debemos separar variables: y·ln(x)dx/dy = (y+1)²/x² x²·ln(x)dx = (y+1)²/y dy Aplicamos ahora integración: ∫x²·ln(x)dx = ∫(y+1)²/y dy Debemos integrar ambos lados, lo haremos de forma separada. I₁ = ∫x²·ln(x)dx → Integral por partes Formula de integral por partes ∫u·v = u·v - ∫v·du Ahora seleccionamos nuestros parámetros: u = ln(x) → du = 1/x · dx v = ∫x² dx → v = x³/3 Sustituimos y tenemos: I₁ = x³/3 · ln(x) - ∫x³/3 · 1/x ·dx I₁ = x³/3 · ln(x) - x³/9 + C

Ahora nuestra segunda integral: I₂ = ∫(y+1)²/y dy → Integral algebraica Resolvemos producto notable y separamos. I₂ = ∫(y² + 2y + 1)/y dy I₂ = ∫(y²/y) dy + ∫2y/y dy + ∫1/y dy I₂ = y²/2 + 2y + ln|y| +C Por tanto nuestra ecuación diferencial será: I₁ = I₂ x³/3 · ln(x) - x³/9 = y²/2 + 2y + ln|y| +C → Solución general Por tanto la opción correcta es la A.

Ecuaciones Diferenciales Homogéneas 4.

Según la información, la solución de la ecuación diferencial homogénea:

𝐲𝟑 + 𝐱𝟑

𝐝𝐲 𝐝𝐱

= 𝐱𝐲 𝟐

𝐝𝐲 𝐝𝐱

, corresponde a:

y2

a. y = ce2x2 x

b. ey = cx c. y = lnx + e d. y = e Solucion:

y2 x2

y2 2

+c

+c 𝐝𝐲

𝐝𝐲

𝐲 𝟑 + 𝐱 𝟑 𝐝𝐱 = 𝐱𝐲 𝟐 𝐝𝐱

M = y 3 & N= x 3 − xy 2 => ambas son homogeneas de tercer grado Simplificamos: Sustituimos y = ux,

𝒚 𝒙

𝒅𝒚

−𝒚𝟑

𝒚𝟑

= 𝒙𝟑 −𝒙𝒚𝟐 = 𝒙𝒚𝟐 −𝒙𝟑 𝒅𝒙

=u

𝑑𝑦 𝑑𝑢 =u+ ∗𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥

(𝑢𝑥)3

𝑑𝑢

obtenemos: u + 𝑑𝑥 ∗ 𝑥 =

𝑥(𝑢𝑥)2 −𝑥 3 𝑢3

𝑑𝑢

Se reduce a terminos semejantes: u + 𝑑𝑥 ∗ 𝑥 =

𝑢2 −1

𝑑𝑢

Se iguala a cero : x(𝑢2 − 1) 𝑑𝑥 + 𝑢3 − 𝑢 − 𝑢3 = 0 Se multiplica por dx : x(u2 − 1)𝑑𝑢 − 𝑢𝑑𝑥 = 0 Se multiplica por (-1) : 𝑢𝑑𝑥 + 𝑥(1 − u2 )𝑑𝑢 = 0 Se divide por 𝒖𝒙: Se integra: ∫

𝑑𝑥 𝑥

𝑑𝑥 1

+∫

+

𝑑𝑥 𝑢

(1−𝑢2 ) 𝑢

𝑑𝑢 = 0

− ∫ 𝑢𝑑𝑢 = 0

ln(𝑥) + ln(𝑢) −

𝑢2 2

=𝐶

Aplicamos propiedades de logaritmos: ln(𝑢𝑥) = 𝐶 +

𝑢2 2 𝑢2

𝑒 ln(𝑢𝑥) = 𝑒 𝐶+ 2 𝑢2

𝑢𝑥 = 𝑐𝑒 2 y

𝒚𝟐

Como u = x, la solución es: 𝒚 = 𝒄𝒆𝟐𝒙𝟐 5. Si una ecuación homogénea de la forma 𝑴(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙 + 𝑵(𝒙, 𝒚)𝒅𝒚 = 𝟎, las funciones M y N son del mismo grado de homogeneidad, puede reducirse a una ecuación de variables separables mediante el uso de una de las sustituciones 𝒚 = 𝒖𝒙, ó, 𝒙 = 𝒗𝒚 Un estudiante decide hacer la sustitución 𝒚 = 𝒖𝒙 en la ecuación diferencial (𝒚𝟐 + 𝒙𝒚)𝒅𝒙 − 𝒙𝟐 𝒅𝒚 = 𝟎 y obtiene la ecuación de variables separables 𝒖𝟐 𝒅𝒖 − 𝒙𝒅𝒙 = 𝟎. El proceso anterior es: a. Verdadero puesto que al reemplazar 𝒚 = 𝒖𝒙 𝐲 𝒅𝒚 = 𝒖𝒅𝒙 + 𝒙𝒅𝒖 se obtiene (𝒖𝟐 𝒙𝟐 + 𝒖𝒙𝟐 )𝒅𝒙 − 𝒙𝟐 (𝒖𝒅𝒙 + 𝒙𝒅𝒖) = 𝟎 que al simplificarlo da 𝒖𝟐 𝒅𝒖 − 𝒙𝒅𝒙 = 𝟎 b. Verdadero puesto que al reemplazar 𝒚 = 𝒖𝒙 𝐲 𝒅𝒙 = 𝒖𝒅𝒚 + 𝒙𝒅𝒖 se obtiene (𝒖𝟐 𝒙𝟐 + 𝒖𝒙𝟐 )𝒅𝒙 − 𝒙𝟐 (𝒖𝒅𝒚 + 𝒙𝒅𝒖) = 𝟎 que al simplificarlo da 𝒖𝟐 𝒅𝒖 − 𝒙𝒅𝒙 = 𝟎 c. Falso, puesto que al reemplazar 𝒚 = 𝒖𝒙 𝐲 𝒅𝒚 = 𝒖𝒅𝒙 + 𝒙𝒅𝒖 se obtiene (𝒖𝟐 𝒙𝟐 + 𝒖𝒙𝟐 )𝒅𝒙 − 𝒙𝟐 (𝒖𝒅𝒙 + 𝒙𝒅𝒖) = 𝟎 que al simplificarlo da 𝒖𝟐 𝒅𝒙 − 𝒙𝒅𝒖 = 𝟎 d. Falso, puesto que al reemplazar 𝒚 = 𝒖𝒙 𝐲 𝒅𝒚 = 𝒖𝒅𝒙 + 𝒙𝒅𝒖 se obtiene (𝒖𝟐 𝒙𝟐 + 𝒖𝒙𝟐 )𝒅𝒙 − 𝒙𝟐 (𝒖𝒅𝒙 + 𝒙𝒅𝒖) = 𝟎 que al simplificarlo da 𝒖𝟐 𝒅𝒙 + 𝒙𝒅𝒖 = 𝟎

6. Una pequeña lámina de metal, cuya temperatura inicial es de 20 °C, se introduce en un recipiente que contiene agua hirviendo. ¿Cuánto tiempo le llevará a la lámina alcanzar los 90° C, si se sabe que su temperatura se incrementó en 2° C en un segundo, cuánto le llevará alcanzar los 98° C respectivamente? a. 82.1 𝑠. b. 145.75 𝑠.

c. 87.4 𝑠.

d. 158.94 𝑠.

ÍTEMS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON MÚLTIPLE RESPUESTA Este tipo de preguntas consta de un enunciado, problema o contexto a partir del cual se plantean cuatro opciones numeradas de 1 a 4, usted deberá seleccionar la combinación de dos opciones que responda adecuadamente a la pregunta y marcarla en la hoja de respuesta, de acuerdo con la siguiente información: Marque A si 1 y 2 son correctas. Marque B si 1 y 3 son correctas. Marque C si 2 y 4 son correctas. Marque D si 3 y 4 son correctas.

7. Uno de los métodos de solución de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden es el factor de integración, el cual involucra a un factor 𝑰(𝒙, 𝒚), que al multiplicar la E.D.O. la transforma permitiendo resolverse por integración directa o la convierte en una E.D.O. exacta. Es decir, si se cumple que 𝑰(𝒙, 𝒚)[𝑴(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙 + 𝑵(𝒙, 𝒚)𝒅𝒚] = 𝟎 𝒆𝒔 𝒆𝒙𝒂𝒄𝒕𝒂.

Un procedimiento para suministrar un medicamento en la sangre, es hacerlo de forma constante mediante una técnica de inyección llamada infusión intravenosa. Este método puede ser modelado mediante la ecuación diferencial 𝑷𝒅𝑪 − (𝑱 − 𝒌𝑪(𝒕))𝒅𝒕 = 𝟎, donde 𝑪(𝒕) = Concentración del fármaco en cada instante t, además P, J y k son constantes positivas que representan las características del proceso y condiciones específicas del paciente. Dada la información anterior se puede afirmar que: Al resolver el modelo que cumple con la condición inicial C(0)=1 se obtiene: 𝒌𝒕

1. La solución general, la cual es 𝑷𝒆 𝑷 𝑪 −

𝑱𝑷 𝒌

2. La solución particular, la cual es 𝑪(𝒕) = 3. La solución general, la cual es 𝑷𝒆−𝒌𝒕 𝑪 +

𝒌𝒕

𝒆𝑷 = 𝜶 𝟏

𝑱

𝒌 𝒕 𝒆𝑷

𝑱𝑷 𝒌 𝑱

𝑱

𝒌

(𝟏 − 𝒌 + 𝒌 𝒆𝑷𝒕 )

𝒆−𝒌𝒕 = 𝜶 𝒌𝒕

4. La solución particular, la cual es 𝑪(𝒕) = 𝒌 (𝟏 − 𝒆− 𝑷 ) 𝑃𝑑𝐶 + (𝑘𝐶(𝑡) − 𝐽)𝑑𝑡 = 0 Los coeficientes de los diferenciales Dc y dt son respectivamente 𝑀=𝑝

𝑁 = 𝑘𝑐 − 𝐽

𝜕𝑀 𝜕𝑀 =0 =𝑘 𝜕𝑡 𝜕𝑐 Las derivadas parciales no son iguales, luego se debe buscar un factor integrante para que la Ed sea exacta 𝜇=𝑒

𝑘 ∫𝑝𝑑𝑡

𝑘𝑡

= 𝑒𝑝

𝑘𝑡

𝑒 𝑝 [𝑃𝑑𝐶 + (𝑘𝐶(𝑡) − 𝐽)𝑑𝑡] = 0 𝑘𝑡

𝑘𝑡

𝑃𝑒 𝑝 𝑑𝐶 + 𝑒 𝑝 (𝑘𝐶 − 𝐽)𝑑𝑡 = 0 Los nuevos coeficientes de os diferenciales son respectivamente 𝑘𝑡

𝑀 = 𝑃𝑒 𝑝 Y sus derivadas parciales son

𝑘𝑡

𝑘𝑡

𝑁 = 𝑒 𝑝 𝑘𝐶 − 𝑒 𝑝 𝐽

𝑘𝑡 𝜕𝑀 = 𝑘𝑒 𝑝 𝜕𝑡

𝑘𝑡 𝜕𝑀 = 𝑘𝑒 𝑝 𝜕𝑐

Que ahora si son iguales 𝑓(𝑥, 𝑦) =

𝑘𝑡 ∫ 𝑃𝑒 𝑝 𝑑𝐶

+ ℎ(𝑦)

Resolviendo la ED por el método de ED exacta 𝑘𝑡

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑃𝐶𝑒 𝑝 + ℎ(𝑦) 𝑘𝑡

𝑘𝑡

𝑘𝑡

𝑘𝐶𝑒 𝑝 + ℎ′(𝑦) = 𝑒 𝑝 𝑘𝐶 − 𝑒 𝑝 𝐽 𝑘𝑡 −𝑒 𝑝 𝐽

ℎ′(𝑦) = ℎ(𝑦) =

𝑘𝑡 ∫ −𝑒 𝑝 𝐽

𝑃𝐽 𝑘𝑡 𝑑𝑡 = − 𝑒 𝑝 𝑘

𝒌𝒕

𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝑷𝑪𝒆 𝒑 + −

𝑷𝑱 𝒌𝒕 𝒆𝒑 𝒌

La solución general se hace encontrando el valor de C que cumple la condición dada, luego: 𝑘𝑡 𝑃𝐽 𝑘𝑡 𝑃𝐶𝑒 𝑝 − 𝑒 𝑝 = 𝛼 𝑘 𝑐(0) = 1 𝑃(1)𝑒

𝑘(0) 𝑝

−

𝑃𝐽 𝑘(0) 𝑒 𝑝 =𝛼 𝑘

𝛼=𝑃− 𝑘𝑡

𝑃𝐶𝑒 𝑝 −

𝑃𝐽 𝑘

𝑃𝐽 𝑘𝑡 𝑃𝐽 𝑒𝑝 = 𝑃− 𝑘 𝑘

𝑘𝑡

𝑃𝐶𝑒 𝑝 = 𝑃 −

𝑃𝐽 𝑃𝐽 𝑘𝑡 + 𝑒𝑝 𝑘 𝑘

𝑃𝐶 =

1

𝑘𝑡 (𝑃 −

𝑒𝑝

𝑃𝐽 𝑃𝐽 𝑘𝑡 + 𝑒𝑝) 𝑘 𝑘

Solución particular 𝐶(𝑡) =

1

𝑘𝑡 (1 −

𝑒𝑝

𝐽 𝐽 𝑘𝑡 + 𝑒𝑝) 𝑘 𝑘

8. Una expresión diferencial de la forma 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 se conoce como ecuación diferencial exacta en una región R del plano 𝑥𝑦, si ésta corresponde a la diferencial de alguna función 𝑓(𝑥, 𝑦) definida en R. Una ecuación diferencial de primer orden de la forma: 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 Se dice que es una ecuación exacta si la expresión del lado izquierdo es una diferencial exacta. El criterio para una diferencial exacta es: Sean 𝑀(𝑥, 𝑦) y 𝑁(𝑥, 𝑦) continuas y que tienen primeras derivadas parciales continuas en una región rectangular R definida por 𝑎 < 𝑥 < 𝑏, 𝑐 < 𝑦 < 𝑑. Entonces una condición necesaria y suficiente para que 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 sea una diferencial exacta es: 𝜕𝑀 𝜕𝑁 = 𝜕𝑦 𝜕𝑥

De acuerdo a la información anterior al solucionar la ecuación diferencial (5𝑥 + 4𝑦)𝑑𝑥 + (4𝑥 − 8𝑦 3 )𝑑𝑦 = 0 por este método se obtiene que los valores para de la ecuación diferencial son respectivamente:

1.

𝜕𝑀 𝜕𝑦

=

𝜕𝑁 𝜕𝑥

= 5 + 24𝑦 2 5

2. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2 𝑥 2 + 5𝑥𝑦 + 24𝑦 2 5

3. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2 𝑥 2 + 4𝑥𝑦 − 2𝑦 4 4.

𝜕𝑀 𝜕𝑦

=

𝜕𝑁 𝜕𝑥

=4

Solución:

𝜕𝑀 𝜕𝑁

,

𝜕𝑦 𝜕𝑥

y la solución general

(5𝑥 + 4𝑦)𝑑𝑥 + (4𝑥 − 8𝑦 3 )𝑑𝑦 = 0 El coeficiente M es la función que acompaña el diferencial dx y el coeficiente N es la función que acompaña el diferencial dy, entonces. 𝑀 = 5𝑥 + 4𝑦 𝑁 = 4𝑥 − 8𝑦 3 𝜕𝑀 𝜕𝑁 =4 =4 𝜕𝑦 𝜕𝑥 Como las derivadas parciales son iguales se procede a la solución por ED exacta. 5 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 + 4𝑥𝑦 + ℎ(𝑦) 2 Derivando la expresión con respecto a y 4𝑥 + ℎ′ (𝑦) = 4𝑥 − 8𝑦 3 Despejando h’(y) e integrando ℎ′ (𝑦) = −8𝑦 3 ℎ(𝑦) = −2𝑦 4 finalmente la solución es de la forma. 𝒇(𝒙, 𝒚) =

𝟓 𝟐 𝒙 + 𝟒𝒙𝒚 − 𝟐𝒚𝟒 𝟐

ÍTEMS DE ANÁLISIS DE RELACIÓN

Este tipo de ítems consta de dos proposiciones así: una Afirmación y una Razón, unidas por la palabra PORQUE. Usted debe examinar la veracidad de cada proposición y la relación teórica que las une. Para responder este tipo de ítems, debe leerla completamente y señalar en la hoja de respuesta, la elegida de acuerdo con las siguientes instrucciones:

Marque A si la afirmación y la razón son VERDADERAS y la razón es una explicación CORRECTA de la afirmación. Marque B si la afirmación y la razón son VERDADERAS, pero la razón NO es una explicación CORRECTA de la afirmación. Marque C si la afirmación es VERDADERA, pero la razón es una proposición FALSA. Marque D si la afirmación es FALSA, pero la razón es una proposición VERDADERA.

9. La expresión

𝒅𝑻 𝒅𝒕

= 𝑲(𝑻 − 𝟐𝟎) puede representar la variación de la temperatura de un

cuerpo en función del tiempo cuya solución es 𝑻 = 𝒄𝒆𝒌𝒕 − 𝟐𝟎 PORQUE dicha ecuación se resuelve por variable separable Marque D si la afirmación es FALSA, pero la razón es una proposición VERDADERA. La solución es incorrecta ya que al despejar 20 de T pasaría positiva, aunque el desarrollo para hallar la solución es correcto, porque si (𝑡) es la función que nos da la temperatura del cuerpo en cada segundo de tiempo 𝑡, esta ley puede expresarse mediante una ecuación diferencial de variables separables. Cuando un objeto absorbe calor del medio que lo rodea sigue la Ley del calentamiento de Newton: La velocidad con que se calienta (o enfría) un objeto es proporcional a la diferencia entre su temperatura y la temperatura ambiente. Solución 𝑑𝑇 = 𝐾 (𝑇 − 20) 𝑑𝑡 Separamos las variables 𝑑𝑇 = 𝐾𝑑𝑡 𝑑𝑇 − 20 Integramos ∫

𝑑𝑇 = ∫ 𝐾𝑑𝑡 𝑇 − 20

Se obtiene 𝐿𝑛 |𝑇 − 20| = Kt + 𝐶1 |𝑇 − 20| = 𝑒 𝑘𝑡 . 𝑒 𝐶1 𝑇 − 20 = ±𝑒 𝐶1 . 𝑒 𝑘𝑡

𝑇 = 𝐶𝑒 𝑘𝑡 + 20

10. De acuerdo a ello la ecuación diferencial: (𝟏 − 𝒙)𝒚´´ − 𝟒𝒙𝒚´ + 𝟓𝒚 = 𝐜𝐨𝐬 𝒙 Se dice que es una ecuación diferencial lineal ordinaria de segundo orden PORQUE no es homogénea ya que 𝒈(𝒙) ≠

R/ A la afirmación y la razón son VERDADERAS y la razón es una explicación CORRECTA de la afirmación. Si es una ecuacion diferencial lineal ya que esta de la forma: a(x)y^n + b(x)y^n-1 +...+ e(x)y' + f(x)y = g(x) Ademas es de segundo orden ya que tiene una derivada de 2 orden y es No homogenea para resolverlo primero tienes que resolver la homogenea que seria (1-x)y''-4y'+5y=0 por medio de la ecuacion auxiliar Hay que resolver la parte No homogenea ya sea por el metodo de Coeficientes Indeterminados O por el metodo de Superposicion Es lineal debido a que la potencia de todos las derivadas es igual a la unidad (igual a 1) por tanto se dice que es una ecuación lineal. No es homogénea debido a que existe una función g(x) que no es nula, es decir tenemos al cos(x) el cual nos proporcional una condición de no homogeneidad, debe resolver por otros métodos

Primera actividad Grupal:

Se plantea una situación problema y el grupo de realizar los aportes respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las características del problema que se ha planteado y buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden.

Problema 1: Una de las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden es la solución de problemas de crecimiento, supóngase que un estudiante de la UNAD es portador del virus de la gripe y teniendo en cuenta ello, va al CEAD de Medellín donde hay 5000 estudiantes. Si se supone que la razón con la que se propaga el virus es proporcional no solo a la cantidad de infectados sino también a la cantidad de no infectados. Plantee la ecuación diferencial a desarrollar y determine la cantidad de estudiantes infectados a los 6 días después, si se observa que a los 4 días la cantidad de infectados era de 50.

SOLUCIÓN. Debemos resolver el problema con valores iniciales. 𝑑𝑦 𝑑𝑡

=𝑘𝑦𝑥

𝑦 = # de estudiantes contagiados 𝑥 = # de estudiantes no contagiados 𝑘 = constante de proporcionalidad 𝑡 = tiempo Separamos y obtenemos 𝑑𝑦 (5000 − 𝑦) = 𝑘. 𝑑𝑡 𝑦 Integramos ∫

𝑑𝑦 (5000 − 𝑦) = ∫ 𝑘. 𝑑𝑡 𝑦

1 5000

∗ [ln(𝑦) − ln(5000 − 𝑌)] = 𝑘 ∗ 𝑡 + 𝐶

Ecuación base:

𝒚 (𝟓𝟎𝟎𝟎−𝒚)

= 𝑪𝟓𝟎𝟎𝟎𝒌𝒕

Se buscan los valores de C y k, se sabe que: 𝑡 = o días => 1 infectado 𝑡 = 4 días => 50 infectado

Se sustituyen las condiciones en la ecuación base 1 = 𝐶 5000𝑘(0) (5000 − 1)

𝐶=

50 1 5000𝑘(4) = (5000 − 50) 4999

1 4999 ln (

4999 ) = 20000𝑘 99

𝑘 = 1.96𝑥10−4

La ecuación diferencial será 𝑦 1 0.980468𝑡 = 5000 − 𝑦 4999 Entonces si 𝑡 = 6 días, usamos la Ecuación Final 𝑦 1 0.980468(6) = 5000 − 𝑦 4999 𝑦 = 0.07177743 5000 − 𝑦 𝑥 = 334.85 = 335 Entonces en los 6 días tenemos 335 infectados

Segunda actividad Grupal: Se presenta un problema junto con su solución, de forma colaborativa deben evaluar y analizar toda la solución a la situación plantea, si consideran que todo el proceso y respuesta se encuentra de manera correcta, deben realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante y fórmulas utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras a la solución. Si el grupo considera que el proceso y/o respuesta se encuentra incorrecto, deben realizar la observación y corrección al error o errores encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes extras a la solución. Situación y solución planteada:

Situación y solución planteada Muchas situaciones prácticas, especialmente aquellas relacionadas con razones de cambio, pueden describirse en forma matemática mediante ecuaciones diferenciales. Para la siguiente situación:

Un circuito 𝑅𝐿 tiene una fem de 9 V, una resistencia de 30 Ω, una inductancia de 1 H y no tiene 1

corriente inicial, determinar la corriente para el circuito para un tiempo 𝑡 = 𝑠: 5

SOLUCIÓN Un circuito RL es un circuito eléctrico que contiene una resistencia y una bobina en serie. Se dice que la bobina se opone transitoriamente al establecimiento de una corriente en el circuito. La ecuación diferencial que rige el circuito es la siguiente: 𝑑𝐼 𝑑𝑡 Reemplazando los valores dados en la ecuación se tiene: 𝑉 = 𝐼𝑅 + 𝐿

9 = 30𝐼 +

𝑑𝐼 𝑑𝑡

Organizando la ecuación diferencial para resolverla por el método de separación de variables se obtiene: − ∫

𝑑𝐼 = 30𝐼 − 9 𝑑𝑡

𝑑𝐼 = − ∫ 𝑑𝑡 30𝐼 − 9

1 ln(30𝐼 − 9) = − 𝑡 + 𝐶 30 ln(30𝐼 − 9) = −30 𝑡 + 𝐶 30𝐼 − 9 = 𝑒 −30𝑡+𝐶

ERROR -> SE REALIZO UN MAL DESPEJE DEL VALOR CONSTANTE 9 CORRECIÓN -> SE PASA LA CONTANTE A SUMAR 𝑰(𝒕) =

𝟏 [𝑪𝒆−𝟑𝟎𝒕 − 𝟗] 𝟑𝟎

𝐼(𝑡) =

1 [𝐶𝑒 −30𝑡 + 9] 30

Como las condiciones iniciales son respectivamente 𝑡 = 0 y 𝐼 = 0, se determina C: ERROR -> SE REALIZO UN MAL DESPEJE DEL VALOR CONSTANTE 9 CORRECIÓN -> SE PASA LA CONTANTE A SUMAR 𝐼(0) =

1 [𝐶𝑒 −30(0) − 9] 30

ERROR -> COMO EL VALOR DE -9 ESTÁ MAL SE CORRIGE NUEVAMENTE CORRECIÓN -> EL VALOR DE LA CONSTANTE ES -9 0=

1 (𝐶 + 9) 30

𝐶 = +9 Entonces la función puede expresarse como: 𝐼(𝑡) =

1 [−9𝑒 −30𝑡 + 9] 30

𝐼(𝑡) = −0,3𝑒 −30𝑡 + 0,3 1

Para un 𝑡 = 5 𝑠, se tiene: 𝟏 𝟏 𝑰 ( ) = −𝟎, 𝟑𝒆−𝟑𝟎(𝟓) − 𝟎, 𝟑 𝟓 𝟏 𝟏 𝑰 ( ) = −𝟎, 𝟑𝒆−𝟑𝟎(𝟓) − 𝟎, 𝟑 𝟓

1 𝐼 ( ) = −0,3𝑒 −6 + 0,3 5

1 𝐼 ( ) = 0,299 𝐴 5

CONCLUSIONES 



En el desarrollo del anterior trabajo se logró como grupo e individual adquirir conocimientos referentes a las ecuaciones diferenciales como se clasifican eniendo en cuenta tipo, orden y linealidad. Las ecuaciones diferenciales se pueden resolver a través de la técnica llamada separación de variables.



 

  

Hay ecuaciones diferenciales que no se pueden resolver utilizando directamente la separación de variables, pero pueden ser transformadas en separables por medio de sustituciones adecuadas, como es el caso de las Ecuaciones Diferenciales Homogéneas las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden en la solución de problemas de temperatura, se puede emplear la Ley de enfriamiento o calentamiento de Newton. Se lograron cumplir los cometidos de la fase 2 realizando los ejercicios que correspondían a cada rol y los ejercicios grupales, así como la comparación de estos últimos con todos los compañeros Se trabajó como grupo asignando a cada estudiante un conjunto de ejercicios a resolver Nos permitió de una forma ordenada, dinámica y didáctica, Resolver problemas y ejercicios de ecuaciones diferenciales de primer orden. Adquirir y Afianzar conocimientos y prácticas en la selección y solución de preguntas SABER PRO.

BIBLIOGRAFIA

 Caicedo, A., García, J., Ospina, L. (2010). Métodos para resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias. Ediciones Elizcom. (pp. 9-95). Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/id/10565809

 Amaya, J. (2015). Métodos de solución de ecuaciones diferenciales de primer orden. Unad. [Videos]. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/7384