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• Miguel Jiménez

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Tarea 3 – Planificar métodos y herramientas para eñ diseño de filtros digitales Palacio, Santiago Rafael Universidad Nacional Abierta y a Distancia ingeniería electrónica Colombia [email protected] Abstract — This report is made up of the different practices of the Z transform found in the three-development guide of the digital signal processing matter. Concepts about it are developed as well as exercises that are later simulated in MATLAB for the visualization of behavior.

5.

Keywords—MATLAB, Z transform, algorithm, discrete signal, simulation.

6.

I. INTRODUCCIÓN En procesamiento digital de señales, se cuenta con la transformada Z para el desarrollo de ecuaciones en diferencia, que permitan resolver algebraicamente su función, para posteriormente ser utilizada para encontrar la función de transferencia adecuada, aplicando los métodos correspondientes. La respuesta del Sistema se debe a la función encontrada, sin embargo, en este taller se le asignan valores random a los coeficientes para así poder implementarlo y simularlo en Matlab.

III. ECUACIÓN DE DIFERENCIA IIR

y [ n ] =b 0 x [ n ] + b1 x [ n−1 ] +b2 x [ n−2 ] + a1 y [ n−1 ] −a2 y [n−2] -

Cada estudiante realizará el diagrama de bloques de su ecuación de diferencia en la página de internet: https://www.draw.io/

-

Cada estudiante realizará la transformada Z de la ecuación en diferencia. Esta debe realizarse en el editor de ecuaciones de Word.

II. CONCEPTOS 1.

¿Qué es la respuesta en frecuencia de un sistema digital? Se define como la evaluación de la transformada Z en la circunferencia de radio unidad, para que obtener la respuesta Z debe converger. ¿Qué representa la respuesta en fase de un sistema digital? La fase, o retardo de fase, está definida como el retardo temporal que ocurre entre la señal de entrada y la de salida en todo el sistema implementado.

¿Qué es la transformada Z? La transformada Z está definida como: ∞

X ( z )=Z { x |n|}=

∑

x [ n ] z−n

n=−∞

2.

3.

4.

Resuelve ecuaciones en diferencia y pasa una señal en el dominio del tiempo al dominio de la frecuencia. ¿Qué representa Z en una función? Z representa un numero complejo, que está definido de la siguiente manera:

Z=e jw

¿Cuál es la diferencia entre la transformada Z bilateral y la unilateral? La diferencia radica en el límite de operación de cada una, ya que la unilateral empieza desde n=0 y la bilateral tiene límites de infinitos de extremo a extremo. ¿Cómo se calculan los polos y los ceros de una función en términos de Z? Se calcula por medio del algebra, igualando el numerador a cero y factorizando lo que sea posible para despejar la variable, eso con los ceros, con los polos ubicados en el denominador se hace igual.

y [ n ] =b 0 x [ n ] + b1 x [ n−1 ] +b2 x [ n−2 ] + a1 y [ n−1 ] −a2 y [n−2] Transformada Z:

y ( z ) =b0 x ( z ) +b1 x ( z−1 ) +b 2 x ( z−2 )+ a1 y ( z−1 )−a2 y ( z−2) -

Una vez se tenga la transformada Z de la ecuación de diferencia, cada estudiante hallará la función de transferencia del sistema H(Z). Esto también se

realizará con el editor de ecuaciones de Word. Recordar que la función de transferencia es:

H ( Z )=

Y (Z) X ( Z)

H ( θ )=tan−1

+ BC ( DA AC +BD )

IV. ECUACIÓN FIR −1

−2

−1

y ( z ) =b0 x ( z ) +b1 x ( z ) +b 2 x ( z )+ a1 y ( z )−a2 y ( z−2) y [ n ] =b 0 x [ n ] + b1 x [ n−1 ] +b2 x [ n−2 ] + b3 x [ n−3 ] Se agrupan los términos semejantes: −1

(1−a1 z

+ a2 z

−2

−1

) Y ( z )=X ( z ) ( b0 +b 1 z

-

Cada estudiante realizará el diagrama de bloques de su ecuación de diferencia en la página de internet: https://www.draw.io/

-

Cada estudiante realizará la transformada Z de la ecuación en diferencia. Esta debe realizarse en el editor de ecuaciones de Word.

−2

+b2 ( z ) )

b 0+ b1 z −1 +b 2 z−2 H (Z)= 1−a1 z−1 +a2 z−2 -

Una vez se tenga la función de transferencia, se hallará la respuesta en frecuencia del sistema, reemplazando:

Z=e jw b 0+ b1 e− jw +b 2 e−2 jw H ( Z )= − jw −2 jw 1−a1 e +a2 e -

Una vez se cuente con la respuesta en frecuencia del sistema, se hallará la magnitud de la respuesta en frecuencia, para ello se aplicará la identidad de Euler, que según el caso se podría utilizar cualquiera de las siguientes ecuaciones:

e jw =cos ( w ) + jsen(w) e− jw=cos ( w )− jsen( w) b +b ( cos ( w )− jsen(w) ) +b 2 ( cos ( 2 w )− jsen(2 w) ) H (w)= 0 1 1−a1 ( cos ( w )− jsen(w) ) +a 2(cos ( 2 w )− jsen(2 w))

y [ n ] =b 0 x [ n ] + b1 x [ n−1 ] +b2 x [ n−2 ] + b3 x [ n−3 ]

A=b0 +b 1 cos ( w ) +b2 cos ⁡(2 w) B=−b1 sen ( w )−b 2 sen(2 w) C=1−a1 cos ( w ) +a 2 cos ⁡( w) D=a1 sen ( w )−a 2 sen(2 w)

Transformada Z:

y ( z ) =b0 x ( z ) +b1 x ( z−1 ) +b 2 x ( z−2 ) +b3 x( z−3)

A−JB ∗C+ JD C−JD AC + JDA−−JBC +BC H (w)= = C + JD C 2+ JCD−JCD+ D2

|H ( w )|=

√(

AC + BD 2 JDA −JBC + C2 + D2 C 2+ D 2

)(

2

)

-

Una vez se tenga la transformada Z de la ecuación de diferencia, cada estudiante hallará la función de transferencia del sistema H(Z). Esto también se realizará con el editor de ecuaciones de Word. Recordar que la función de transferencia es:

H ( Z )=

Y (Z) X ( Z)

Se agrupan términos semejantes:

Y ( z )=X ( z ) (b0 +b 1 z−1 +b2 z−2+ b3 z−3) H ( Z )= -

1 b 0+ b1 z +b 2 z−2 +b3 z−3 −1

Una vez se tenga la función de transferencia, se hallará la respuesta en frecuencia del sistema, reemplazando:

Z=e jw H ( Z )=

− jw

b 0 + b1 e

1 +b 2 e−2 jw +b 3 e−3 jw -

-

Diagrama de polos y ceros

Una vez se cuente con la respuesta en frecuencia del sistema, se hallará la magnitud de la respuesta en frecuencia, para ello se aplicará la identidad de Euler, que según el caso se podría utilizar cualquiera de las siguientes ecuaciones:

e jw =cos ( w ) + jsen(w) e− jw=cos ( w )− jsen( w) H (w)=

b0 +b 1 ( cos ( w )− jsen ( w ) ) +b 2

(−cosjsen( 2( 2ww) ) )

Diagrama de Bode (Magnitud de respuesta en frecuencia y Respuesta en Fase)

+b3 ( cos ( 3 w )− jsen(3 w)) H ( θ )=tan−1

(

−b1 sen ( w )−b 2 sen ( w )−b3 sen (3 w) b0 +b 1 cos ( w ) +b 2 cos ( 2 w )+ b3 cos ⁡( 3 w)

)

V. SIMULACIÓN: SISTEMAS IIR Y FIR La tercera parte, es referente a la simulación de los sistemas y/o funciones de transferencia H(Z) encontradas en las ecuaciones IIR y FIR anteriores. Esta simulación tiene como propósito generar las siguientes gráficas: Respuesta al impulso del sistema Diagrama de polos y ceros Diagrama de Bode (Magnitud de la respuesta en frecuencia y Respuesta en Fase) Constantes:

b 0=0.5 , b1=2 , b2 =7 , b3=9 , a 1=15 a2=20 

IIR -

Respuesta al impulso del sistema



FIR -

Respuesta al impulso del sistema

la

-

Diagrama de polos y ceros VI. CONCLUSIONS Se adoptan las habilidades necesarias para la implementación de filtros en Matlab, por medio de los resultados obtenidos. Se observa en la guía los resultados de acuerdo con los cálculos, y como se emplea la transformada Z y así poder conseguir la función de transferencia con la cual se realizó la simulación. REFERENCES [1]

Diagrama de Bode (Magnitud de respuesta en frecuencia y Respuesta en Fase)

la [2]

Ambardar, A. (2002). Transformada z. In Procesamiento de señales analógicas y digitales (2nd ed., p. 592). Mexico City: Cengage Learning. Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2619/apps/doc/CX40 60300180/GVRL?u=unad&sid=GVRL&xid=d11fa7cc Ambardar, A. (2002). Filtros Digitales Descritos con Ecuaciones de Diferencias. In Procesamiento de señales analógicas y digitales (2nd ed., pp. 103-110). Mexico City: Cengage Learning.