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PASO 2: RECONOCER LOS ELEMENTOS MATEMATICOS QUE IMPLICA EL SISTEMA DE CONVERSIÓN ANALOGICA DIGITAL

de la señal analógica en los instantes donde ocurren los impulsos. Una señal muestreada idealmente (x 1) (t) puede considerarse como el producto de una señal analógica x (t) y un tren periódico de impulsos i (f).

∞

𝑥𝐼 (𝑡) = 𝑥(𝑡)𝑖(𝑡) = 𝑥(𝑡) ∑ 𝛿(𝑡 − 𝑛𝑡𝑠 ) 𝑛=−∞ ∞

= ∑ 𝑥(𝑛𝑡𝑠 )𝛿(𝑡 − 𝑛𝑡𝑠 )

TRATAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES

𝑛=−∞ ∞

ALEJANDRA ARANGO

= ∑ 𝑥[𝑛]𝛿(𝑡 − 𝑛𝑡𝑠 ) 𝑛=−∞

JUAN DIEGO MOSQUERA GRUPO: 208052_24 2) Abstract - The following is intended to develop the activities guide of Unit 1: Step 2 - Recognize the mathematical elements involved in the digital analog conversion system, where each student will individually perform three mathematical exercises, each about Sampling, Quantization and Discrete Fourier Transform. Likewise, theoretical contributions on analog-digital conversion concepts will be made. Resumen: lo siguiente está destinado a desarrollar la guía de actividades de la Unidad 1: Paso 2: reconocer los elementos matemáticos involucrados en el sistema de conversión analógica digital, donde cada alumno realizará individualmente tres ejercicios matemáticos, cada uno sobre Muestreo, Cuantización y Transformación discreta de Fourier. Asimismo, se realizarán aportaciones teóricas sobre conceptos de conversión analógico-digital. INTRODUCCION Este trabajo se recolectará información que nos introduce al procesamiento digital de señales. Para esto se realizarán y explicarán ejercicios prácticos de muestreo y Cuantización de señales con todos sus fenómenos y teoremas, igual que se trabajará con el diseño de algoritmos para calcular las transformadas discretas de Fourier. ESTUDIANTE: ALEJANDRA ARANGO CARDENAS

1) ¿Qué es una señal muestreada? El muestreo es la cantidad de veces que medimos el valor de la señal en un periodo de tiempo, en este proceso convertimos una señal continua a una señal discreta en el tiempo. Una señal muestreada, es una suma ponderada de impulsos, en la que los factores de ponderación son iguales a los valores

¿Qué es una señal cuantizada?

El proceso de cuantiza una señal, significa (redondear o truncar) las amplitudes de las señales para reducirlas a un conjunto finito de valores. Puesto que la cuantización sólo afecta a la amplitud de la señal, es posible cuantizar señales analógicas y de tiempo discreto. [1] Las señales cuantizadas de tiempo discreto se conocen como señales digitales. Finalizado el muestreo, cada valor de amplitud registrado debe ser codificado a formato digital. Debemos por tanto elegir el número de bits que constituirá el ancho de palabra de los datos en dicho nuevo formato Un número de bits insuficiente dará lugar a muy pocas combinaciones para codificar los diferentes valores de amplitud y dará lugar a lo que se denomina error de cuantización. Error de cuantización es la diferencia entre el valor de amplitud registrado en la muestra en formato digital y el valor real que tenía dicha amplitud en la señal analógica de partida. Surge de la necesidad de aproximar el valor real de la señal a uno de los que admita el código digital que hayamos establecido: [2]

¿Cuál es el fenómeno llamado Alias o Aliasing?

'n' es el Índice de la frecuencia cuyo valor queremos obtener

Este fenómeno se define como el efecto que se produce cuando señales continuas se vuelen indistinguibles al muestrearlas de forma digital. [3]

‘m (kT), indica la muestra tomada en el instante 'kT' (muestra Késima) de la ventana. [5]

3)

Según el Teorema de Nyquist-Shannon, utilizado en el muestreo de señales, si deseamos replicar precisamente la forma de una señal determinada, la frecuencia del muestreo debe ser superior al doble de la máxima frecuencia a muestrear. Si esta condición no se cumple, se generan replicaciones de la señal original que difieren de ésta en su composición, y que además se superponen, generando el efecto de aliasing imposibilitando recuperar la señal original.

4)

¿Qué indica el teorema de muestreo de Nyquist?

Según el teorema de Nyquist-Shannon la cantidad de veces que debemos medir una señal para no perder información y que no se presente el fenómeno de alias o aliasing, debe de ser al menos el doble de la frecuencia máxima que alcanza dicha señal. Para explicar de una manera más sencilla tenemos el siguiente ejemplo: si deseamos grabar una conversación telefónica, como el ancho de banda de la red telefónica es de 3khz, para no perder información deberemos tomar del orden de 6.000 muestras/segundo como mínimo, para que la señal muestreada, recupere totalmente la forma de la onda.

6)

¿Qué es la transformada rápida de Fourier?

La Transformada Rápida de Fourier (Fast Fourier Transform) es una herramienta fundamental en el procesado digital de señales. Su origen es relativamente reciente puesto que fueron J.W.Cooley y J.W Tukey, quienes hacia 1965 abordaron por primera vez el problema de la programación de un algoritmo para el cálculo de series complejas. [6] Ante todo, debe quedar claro que la FFT no es una nueva transformada, sino que se trata de un algoritmo para el cálculo de la Transformada Discreta de Fourier (DFT). Su importancia radica en el hecho que elimina una gran parte de los cálculos repetitivos a que está sometida la DFT, por lo tanto se logra un cálculo más rápido. Además, la FFT generalmente permite una mayor precisión en el cálculo de la DFT disminuyendo los errores de redondeo. [6] La Transformada Rápida de Fourier es un algoritmo para el cálculo de la Transformada Discreta de Fourier basado en la división del tiempo, eliminando así gran parte de los cálculos repetitivos que hay que llevar a cabo si se desea resolver la TFD de forma directa. [7] Formula con la que Matlab calcula la trasformada rápida de Fourier. 𝑁

5)

¿Qué realiza la transformada de Fourier?

(𝑗−1)(𝑘−1)

𝑋(𝑘) = ∑ 𝑥(𝑗)𝜔𝑁 𝑗=1

La Transformada de Fourier, básicamente lo que hace es trasformar una señal representada en el dominio del tiempo al dominio de la frecuencia, pero sin alterar su contenido de información, sólo es una forma diferente de representarla. La transformada Fourier de una señal unidimensional o función continua es una transformación de dicha señal que nos permite calcular la contribución de cada valor de frecuencia a la formación de la señal. [4]

MUESTREO – EJERCICIO 5 Siendo 𝑥(𝑡) = 3𝑐𝑜𝑠(12𝑘𝜋𝑡) + 5𝑠𝑖𝑛(16𝑘𝜋𝑡) + 8𝑐𝑜𝑠(32𝑘𝜋𝑡) + 𝑠𝑖𝑛(48𝑘𝜋𝑡)Resuelva: 5.1) Encuentra las frecuencias 𝑓𝑜 de cada una de las componentes de las señales 𝑥(𝑡)

Formula de la transformada de Fourier 𝑁−1

𝐹(

2𝜋𝑛𝑘 𝑛 1 ) = ∑ 𝑚(𝑘𝑇)𝑒 −𝑗 𝑁 𝑁𝑇 𝑁

𝑛

𝑘=0

= 0,1, … … … ∗ 𝑁 − 1 Donde: 'N' es el número de muestras de la ventana que se va a analizar 'T' es el periodo de muestreo (inverso a la frecuencia de muestreo que denominaremos '!')

5.2) Si la señal 𝑥(𝑡)tiene una frecuencia de muestreo 𝑆 = 16𝑘𝐻𝑧 y se desea realizar la reconstrucción de la señal, identifique si las componentes senoidales no sufren fenómeno de alias, y si algunas de ellas lo sufre, indique cuál y por qué?

La potencia de ruido es de 0.5

Se presenta (𝑘𝐻𝑧) alias? 𝑓0

Señal

Frecuencia de alias

Equivalent e analógico

3𝑐𝑜𝑠(12𝑘𝜋𝑡)

6

No

---

3𝑐𝑜𝑠(12𝑘𝜋𝑡)

5𝑠𝑖𝑛(16𝑘𝜋𝑡)

8

No

---

5𝑠𝑖𝑛(16𝑘𝜋𝑡)

8𝑐𝑜𝑠(32𝑘𝜋𝑡)

16

Si

16-S=0

8

𝑠𝑖𝑛(48𝑘𝜋𝑡)

24

Si

24-S=8

𝑠𝑖𝑛(16𝑘𝜋𝑡)

La señal reconstruida sería la siguiente, esta señal es equivalente dado el periodo de muestreo de la señal

Halle la potencia 𝑷𝒔

1.3.

Establecemos la siguiente formula 𝑁1

𝑃𝑥𝑐(𝑛) =

1 ∑ 𝑥 2 (𝑛) 𝑁 𝑛=0

Asígnanos los valores y resolvemos 1 𝑃𝑥𝑐(𝑛) = (02 + 0.22 + 0.52 + 12 + 1.42 + 1.82 + 22 8 + 2.42 ) 1 𝑃𝑥𝑐(𝑛) = (16.250) 8

𝑥𝑠 (𝑡) = 8 + 3𝑐𝑜𝑠(12𝑘𝜋𝑡) + 5𝑠𝑖𝑛(16𝑘𝜋𝑡) + 𝑠𝑖𝑛(16𝑘𝜋𝑡)

𝑃𝑥𝑐(𝑛) = 2.0312 EJERCICIO 4: CUANTIZACIÓN La potencia de la señal muestreada es de 2.0312

Siendo la señal muestreada: 𝑥[𝑛] = {0,0.2,0.5,1.0,1.4,1.8,2.0,2.4} La señal cuantizada: 𝑥𝑄 [𝑛] = {0,0.5,1.0,1.0,1.8,2.0,3.5,3.5} 1.1.

1.4.

Halle la relación señal a ruido de cuantización 𝑺𝑵𝑹𝑸

Calcule la señal de error: La relación señal ruido esta dad en decibelios 𝑒[𝑛] 𝑆𝑁𝑅 = 𝑑𝐵

𝑥[𝑛] 𝑥𝑄 [𝑛] 𝑒[𝑛]

0 0 0

0.2 0.5 0.3

0.5 1.0 0.5

1.0 1.0 0

1.4 1.8 0.4

1.8 2.0 0.2

2.0 3.5 1.5

2.4 3.5 1.1

Se aplica la siguiente formula 𝑃𝑆 𝑆𝑁𝑅 = 10𝑙𝑜𝑔10 ( ) 𝑃𝑁 Se reemplazan valores y se resuelve

1.2.

Halle la potencia de ruido 𝑷𝑵

Establecemos la siguiente formula

𝑆𝑁𝑅 = 10𝑙𝑜𝑔10 (

2.0312 ) 0.5

𝑆𝑁𝑅 = 6.0878 𝑑𝐵

𝑁1

𝑃𝑥𝑐(𝑛) =

1 ∑ 𝑥 2 (𝑛) 𝑁

La relación señal ruido corresponde a 6.0878 dB

𝑛=0

Asígnanos los valores y resolvemos 1 𝑃𝑥𝑐(𝑛) = (02 + 0.32 + 0.52 + 02 + 0.42 + 0.22 + 1.52 8 + 1.12 ) 𝑃𝑥𝑐(𝑛) =

EJERCICIO TRASFORMADA DISCRETA DE FOURIER

1 (4) 8

𝑃𝑥𝑐(𝑛) = 0.5

CODIGO 1053803465

= 4 + 6𝑒 −𝑗4𝜋⁄3 + 5𝑒 𝑥 = {4 6 5 } 𝑛 = {0 1 2}

−𝑗8𝜋⁄ 3

Para poder obtener resultados de reales e imaginarios usaremos la identidad de Euler que dice: 𝑒 −𝑗𝜔 = cos(𝜔) − 𝑗 𝑠𝑒𝑛(𝜔) Ahora reemplazamos en la ecuación:

Entonces para 𝑘 = 0 𝑥(0) = 𝑥(0)𝑒 −𝑗2𝜋(0)

(0)⁄ 3

+ 𝑥(1)𝑒 −𝑗2𝜋(0)

(1)⁄ 3

+ 𝑥(2)𝑒 −𝑗2𝜋(0)

(2)⁄ 3

= 4 + 6 (cos(4𝜋⁄3) − 𝑗𝑠𝑒𝑛(4𝜋⁄3)) + 5((cos(8𝜋⁄3) − 𝑗𝑠𝑒𝑛(8𝜋⁄3)))

=4+6+5 Separamos reales de imaginarios: = 𝟏𝟓 + 𝟎𝒋 Entonces 𝑘 = 1 𝑥(1) = 𝑥(0)𝑒 −𝑗2𝜋(1)

(0)⁄ 3

= 4 + 6𝑒 −𝑗2𝜋⁄3 + 5𝑒

+ 𝑥(1)𝑒 −𝑗2𝜋(1)

(1)⁄ 3

2

+ 𝑥(2)𝑒 −𝑗2𝜋(1)3

−𝑗4𝜋⁄ 3

= 4 + 6 (cos(4𝜋⁄3) − 𝑗𝑠𝑒𝑛(4𝜋⁄3)) + 5((cos(8𝜋⁄3) − 𝑗𝑠𝑒𝑛(8𝜋⁄3)) Resolvemos: 1 1 √3 √3 4 + 6 (− ) − 𝑗 (− ) + 5 (− ) + 𝑗 (− ) 2 2 2 2

Para poder obtener resultados de reales e imaginarios usaremos la identidad de Euler que dice:

Resolvemos reales e imaginarios

𝑒 −𝑗𝜔 = cos(𝜔) − 𝑗 𝑠𝑒𝑛(𝜔)

= 𝟏. 𝟓 − 𝟗. 𝟓𝟐𝒋

Ahora reemplazamos en la ecuación:

x = [ 4 6 5]; N = length(x); X = zeros(3,1) for k = 0:N-1 for n = 0:N-1 X(k+1) = X(k+1) + x(n+1)*exp(-j*pi/2*n*k) end end

= 4 + 6 (cos(2𝜋⁄3) − 𝑗𝑠𝑒𝑛(2𝜋⁄3)) + 5((cos(4𝜋⁄3) − 𝑗𝑠𝑒𝑛(4𝜋⁄3))) Separamos reales de imaginarios: = 4 + 6 cos(2𝜋⁄3) − 𝑗𝑠𝑒𝑛(2𝜋⁄3) + 5((cos(4𝜋⁄3) − 𝑗𝑠𝑒𝑛(4𝜋⁄3)))

t = 0:N-1 subplot(311) stem(t,x); xlabel('Time (s)'); ylabel('Amplitude'); title('Time domain - Input sequence')

Resolvemos: 1 1 √3 √3 4 + 6 (− ) − 𝑗 ( ) + 5 (− ) + 𝑗 (− ) 2 2 2 2 Escriba aquí la ecuación.

subplot(312) stem(t,X) xlabel('Frequency'); ylabel('|X(k)|'); title('Frequency domain - Magnitude response')

Resolvemos reales e imaginarios = 𝟏. 𝟓 + 𝟗. 𝟓𝟐𝒋

subplot(313) stem(t,angle(X)) xlabel('Frequency'); ylabel('Phase'); title('Frequency domain - Phase response') X % to check |X(k)| angle(X) % to check phase

Entonces 𝑘 = 2 𝑥(2) = 𝑥(0)𝑒 −𝑗2𝜋(2)

(0)⁄ 3

+ 𝑥(1)𝑒 −𝑗2𝜋(2)

(1)⁄ 3

2

+ 𝑥(2)𝑒 −𝑗2𝜋(2)3

Tropeta: :: 𝑆 = 2𝐹0 S= 2 (7500Hz) S= 15000Hz

El espectro audible, también denominado campo tonal, se encuentra conformado por las audiofrecuencias, es decir, toda la gama de frecuencias que pueden ser percibidas por el oído humano.

Rango De Frecuencia de los 5 instrumentos musicales Flauta

261-2349

8000Hz

Oboe

261-1568

12000HZ

Clarinete

165-1568

10000HZ

Fagot

62-587

7000Hz

Trompeta

165-988

7500Hz

Un oído sano y joven es sensible a las frecuencias comprendidas entre los 20 Hz y los 20 kHz. No obstante, este margen varía según cada persona y se reduce con la edad (llamamos presbiacusia a la pérdida de audición con la edad). Este rango equivale muy aproximadamente a diez octavas completas (210=1024).

ESTUDIANTE: JUAN DIEGO MOSQUERA Según el capítulo 14 “Muestreo y cuantización” del libro de Ambardar, página 446:

La frecuecia de muestreo es el doble de la frecuencia mas alta Flauta: 𝑆 = 2𝐹0 S= 2 (8000Hz) S= 16000HZ

Oboe: : 𝑆 = 2𝐹0 S= 2 (12000Hz)

Figura 3: Operación ideal de muestreo Ejercicio 2:

S= 24000Hz

Clarinet:: 𝑆 = 2𝐹0

Siendo 𝑥(𝑡) = 9 𝑠𝑒𝑛(2𝜋 𝑡) + 3 𝑠𝑒𝑛(20𝜋 𝑡) + 7 𝑠𝑒𝑛(1024 𝜋 𝑡) Resuelva:

S= 2 (10000Hz) S= 20000Hz Fagot: :: 𝑆 = 2𝐹0 S= 2 (7000Hz) S= 14000Hz

1.1

Encuentre las frecuencias 𝑓0𝑛 de cada una de las componentes de la señal 𝑥(𝑡)

1.2

Si la señal 𝑥(𝑡) tiene una frecuencia de muestreo 𝑆 = 90𝐻𝑧 y se desea realizar la reconstrucción de la señal, identifique si las componentes senoidales

no sufren fenómeno de alias, y si alguna de ellas lo sufre, indique cuál y por qué.

2.

Cuantización

será posible recuperar la forma de onda de la señal mediante interpolación. De manera, si se selecciona una frecuencia de muestreo demasiada baja, se perderá información vital acerca de las partes de la señal que cambian rápidamente. Por tanto, cuando se interpolan las muestras, no se podrá confiar en el resultado ya que éste siempre indicará que la señal tiene un contenido frecuencial menor que el original.

El número de niveles 𝐿 de los cuantizadores utilizados en un convertidor analógico digital (ADC) es una potencia de 2. Por lo tanto 𝐿 = 2𝐵 , donde B es el número de bits. Ejercicio 3: Con un cuantizador de 𝐵 = 32 𝑏𝑖𝑡𝑠 se muestrea y se cuantiza una senoide con un intervalo de escala completa de 𝐷 = 12𝑉 ¿cuál es el error rms 𝜎 de la cuantización?

Imagen 1. Señal a Muestrear

Ima

Desarrollo: 𝐿 = 2𝐵 𝐷 = 12𝑉

Imagen 3. Señal Interpolada

𝐵 = 32 𝑏𝑖𝑡𝑠 𝐿 = 232 = 4,295𝑥109 ∆=

𝐷 12 = = 2,794𝑥10−9 𝐿 4,295𝑥109

𝜎=

∆ √12

=

2,794𝑥10−9 √12

Imagen 5. Señal Interpolada Perdida de la Información

2 ¿Qué es una señal cuantizada?

= 8,0655𝑥10−10

El error rms 𝜎 de la cuantización es 8,0655𝑥10−10 . 2. Preguntas teóricas: 1 ¿Qué es una señal muestreada? La base del muestreo de señales es que una señal de tiempo continuo x (t) puede representarse mediante una secuencia de muestra x[n] con valores x [nT]. Para el procedimiento de muestreo se supondrá que x[n] se obtiene a partir de x (t) 1

muestreando periódicamente a una frecuencia 𝑓𝑠 = .

Es la conversión de una señal discreta en el tiempo evaluada de forma continua a una señal discreta en el tiempo discretamente evaluada. El valor de cada muestra de la señal se representa como un valor elegido de entre un conjunto finito de posibles valores. Se conoce como error de cuantificación (o ruido), a la diferencia entre la señal de entrada (sin cuantificar) y la señal de salida (ya cuantificada), interesa que el ruido sea lo más bajo posible. Para conseguir esto, se pueden usar la cuantificación uniforme, cuantificación logarítmica, cuantificación no uniforme y cuantificación vectorial.

𝑇

Cuando se muestrea una señal, lo que se desea es una representación “completa”, lo cual implica que la forma de la onda x(t) se puede recuperar mediante un proceso conocido como interpolación. Esto quiere decir, que para propósitos prácticos, la forma de onda de la señal de tiempo continuo se puede reproducir “uniendo los puntos”, mediante una curva suave, en una gráfica de las muestras. En la práctica, la selección de la frecuencia de muestreo para una señal particular depende de cuán rápidamente cambiaImagen la señal6. Señal Cuantizada con el tiempo. Por ejemplo, para una señal que contenga 3 ¿Cuál es el fenómeno alias o aliasing? componentes de hasta alrededor de 1 MHz, el espaciamiento entre muestras será generalmente menor que un El aliasing es un efecto que se produce por un muestreo microsegundo, mientras que para una señal que varíe en una erróneo de señales digitalizadas, generando imperfecciones escala de tiempo de minutos podría ser suficiente un en dichas señales. Según el Teorema de Nyquist-Shannon, espaciamiento de varios segundos. Si la frecuencia de utilizado en el muestreo de señales, si deseamos replicar muestreo se selecciona en forma correcta, entonces siempre precisamente la forma de una señal determinada, la

Imagen

frecuencia del muestreo debe ser superior al doble de la máxima frecuencia a muestrear (es decir, que si deseamos replicar una señal cuya frecuencia es de 100 Hz la tasa o rango de muestreo con la que trabajemos debe ser superrior a 200 Hz). Si dicha condición no se cumple, se generan replicaciones de la señal original (alias) que difieren de ésta en su composición, y que además se superponen, generando el efecto de aliasing (también llamado efecto Nyquist, submuestreo o distorsión por solapamiento) imposibilitando recuperar la señal original.

4 ¿Qué indica el teorema de muestreo de Nyquist? El teorema de muestreo de Nyquist-Shannon, también conocido como teorema de muestreo de Whittaker-NyquistKotelnikov-Shannon, criterio de Nyquist o teorema de Nyquist, es un teorema fundamental de la teoría de la información, de especial interés en las telecomunicaciones. El teorema trata del muestreo que no debe ser confundido o asociado con la cuantificación, proceso que sigue al de muestreo en la digitalización de una señal y que, al contrario del muestreo, no es reversible (se produce una pérdida de información en el proceso de cuantificación, incluso en el caso ideal teórico, que se traduce en una distorsión conocida como error o ruido de cuantificación y que establece un límite teórico superior a la relación señal-ruido). Dicho de otro modo, desde el punto de vista del teorema, las muestras discretas de una señal son valores exactos que aún no han sufrido redondeo o truncamiento alguno sobre una precisión determinada, esto es, aún no han sido cuantificadas. El teorema sirve para demostrar que la reconstrucción exacta de una señal periódica continua en banda base a partir de sus muestras, es matemáticamente posible si la señal está limitada en banda y la tasa de muestreo es superior al doble de su ancho de banda.

abordaron por primera vez el problema de la programación de un algoritmo para el cálculo de series complejas. Ante todo debe quedar claro que la FFT no es una nueva transformada sino que se trata de un algoritmo para el cálculo de la Transformada Discreta de Fourier (DFT). Su importancia radica en el hecho que elimina una gran parte de los cálculos repetitivos a que está sometida la DFT, por lo tanto se logra un cálculo más rápido. Además, la FFT generalmente permite una mayor precisión en el cálculo de la DFT disminuyendo los errores de redondeo. La implementación del algoritmo de la FFT puede realizarse de dos formas distintas: 1.- Mediante un programa que pueda ejecutarse tanto en un PC como en una tarjeta que posea un microprocesador específico para este tipo de operaciones (DSP). 2.- Mediante el desarrollo de una tarjeta (HARDWARE) en la cual se emplean circuitos integrados específicos. Tal es el caso de los modernos analizadores de espectro.



Cada estudiante realizará el algoritmo de la Transformada Discreta de Fourier, en el cual debe estar planteada la sumatoria de transformada. Dicho algoritmo se realizará para una señal de longitud de tres (3) muestras. Los tres valores de las muestras corresponden a los tres últimos números del documento de identificación, por ejemplo, si mi cédula es 80765437, entonces el algoritmo se hará para la señal x[n] = [4 3 7]. Para desarrollar esta parte el estudiante podrá utilizar Matlab, Octave Online, o Scilab.

Cedula: 1040380496

5¿Qué realiza la transformada de Fourier?

Algoritmo

La transformada de Fourier se utiliza para pasar una señal al dominio de frecuencia para así obtener información que no es evidente en el dominio temporal. Por ejemplo, es más fácil saber sobre qué ancho de banda se concentra la energía de una señal analizándola en el dominio de la frecuencia.

% Diego Mosquera Palacios clc;clear all

La transformada de Fourier, es una transformación matemática empleada para transformar señales entre el dominio del tiempo y el dominio de la frecuencia.

for k=0:1:N-1 %Ciclo de la sumatoria X(k+1)=0; %Inicia el valor en cero for n=1:N %Varia de 1 hasta N X(k+1)=x(n)*exp(-1*j*2*pi*(n-1)*k/N)+X(k+1); end end

+∞

𝑥(𝑡) ↔ 𝑋(𝑓)

𝑋(𝑓) = ∫

𝑥(𝑡) 𝑒 −𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑡

−∞

6¿Qué es la transformada rápida de Fourier? La Transformada Rápida de Fourier(Fast Fourier Transform) es una herramienta fundamental en el procesado digital de señales. Su origen es relativamente reciente puesto que fueron J.W.Cooley y J.W Tukey, quienes hacia 1965

x=[4 9 6] N=length(x); X=zeros(3,1);

X m=abs(X) f=angle(X) x=

Grupo 24

%Señal con la que se trabajara %Calculo de la longitud del vector %Crea el vector magnitud

%Transformada rapida de Fourier %Magnitud %Fase

4

9

6

X= Instrumento 19.0000 + 0.0000i -3.5000 - 2.5981i -3.5000 + 2.5981i

m= 19.0000 4.3589 4.3589

Guitarra acústica Trompeta Flauta Clarinete Violín

Frecuencia 1-15KHz 1-7,5KHz 3-8KHz 2-10KHz 4-15KHz

Frecuencia mínima de muestreo 30 KHz 15 KHz 16 KHz 10 KHz 30 KHz

f= 0 -2.5030 2.5030

Bibliografía http://www.ing.uc.edu.ve/~dgramos/tem1/tema1_3.htm http://ceres.ugr.es/~alumnos/luis/mycuan.htm https://es.wikipedia.org/wiki/Cuantificaci%C3%B3n_digita l https://es.slideshare.net/elneko/conversin-analgica-digitaly-conversin-digital-analgica http://musiki.org.ar/Aliasing http://www.ehu.eus/Procesadodesenales/tema7/ty3.html



Cada estudiante investigará sobre el rango de frecuencias que el oido humano es capaz de escuchar, además investigará cual es el rango de frecuencias que emiten cinco (5) instrumentos musicales, y a partir de este dato, argumentará a que frecuencia de muestreo mínima se debe muestrear cada uno de los cinco (5) instrumentos musicales para ser digitalizados de manera correcta.

R// El oído humano puede captar sonidos cuyo rango de ondas oscilan entre 2 veces por segundo a 20 mil veces por segundo, en otras palabras, entre un rango de 20 Hz a 20 KHz. Rango de frecuencias de instrumentos musicales