• Author / Uploaded
• jhonny guzman

Citation preview

CALCULO INTEGRAL UNIDAD 2 - METODOS DE INTEGRACIÒN

PRESENTADO POR LORENA BARRERA GARCÌA COD_1.122.139.357 VIVIANA MARCELA OSORIO COD_1.040.352.890 LUIS MIGUEL BALLESTEROS COD_XXXXXXX

TUTOR RAFAEL GAITAN

GRUPO: 100411_126

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD) INGENIERIA AMBIENTAL JUNIO 2019

INTRODUCCIÒN

La integración es una herramienta matemática fundamental del cálculo, esta permite resolver muchas de las cuestiones en diferentes ciencias del saber humano como la física, la economía, las ciencias sociales entre otras, por eso es necesario conocer los métodos de integración, en el presente documento se presentan diferentes métodos de integración , como lo es el método de sustitución e integración por partes, entre otros como el método de fracciones parciales y sustitución trigonométrica; como lo es en todo la practica hace al maestro y para poder dar solución a situaciones problema de las ciencias mencionadas es necesario conocer el método de solución matemático que estas situaciones requieren. En el siguiente trabajo colaborativo se desarrollarán la unidad 2: métodos de integración: integración por sustitución, integración por partes, sustitución trigonométrica y fracciones parciales e integrales impropias.

TABLA DE TRABAJO

Nombre del estudiante

Rol a desarrollar Grupo de ejercicios a desarrollar

Luis Miguel Ballesteros V

Alertas

El estudiante desarrolla el ejercicio a en todos los 4 Tipo de ejercicios.

Viviana Marcela Osorio

Entregas

El estudiante desarrolla el ejercicio b en todos los 4 Tipo de ejercicios

Lorena Barrera García

Compilador

El estudiante desarrolla el ejercicio c en todos los 4 Tipo de ejercicios

Julia Deisy Albornoz

Revisor

El estudiante desarrolla el ejercicio d en todos los 4 Tipo de ejercicios El estudiante desarrolla el ejercicio e en todos los 4 Tipo de ejercicios

EJERCICIOS FORMA A – LUIS MIGUEL BALLESTEROS Tipo de ejercicios 1 – Integración por sustitución. 1 ejercicio a. 4𝑥

∫ √(2𝑥 2 +1) 𝑑𝑥 Solución: Sacar la constante ∫ 𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑎 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑥

= 4 ∫ √2𝑥 2

+1

𝑑𝑥

Aplicando la integración por sustitución 𝑢 = 2𝑥 2 + 1 = 4∫4

1

√𝑢

𝑑𝑢

Sacar la constante ∫ 𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑎 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 1

= 4. 4 ∫

1

1

√

√

𝑑𝑢 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑢

1

= 𝑢 −2 𝑢

1

1

= 4. ∫ 𝑢−2 𝑑𝑢 4 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 ∫ 𝑥 𝑎 𝑑𝑥 =

𝑥 𝑎+1 𝑎+1

𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 ≠ −1

1

− +1 1 𝑢 2

= 4. 4 .

1 2

− +1

𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑟 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑢 = 2𝑥 2 + 1 1

− +1 1 (2𝑥 2 +1) 2

= 4. 4 .

1 2

− +1

= 2√2𝑥 2 + 1 + 𝐶

, 𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎: 𝑅𝑡𝑎

Tipo de ejercicios 2 – Integración por partes.

2 ejercicio a. ∫ 𝑥√1 − 𝑥 2 (𝐶𝑜𝑠 −1 (𝑥)𝑑𝑥 Solución: ∫ 𝑥√1 − 𝑥 2 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠(𝑥)𝑑𝑥 Aplicando integración por partes hacemos. 𝑢 = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠(𝑥), 𝑣 ′ = √1 − 𝑥 2 . 𝑥 3

1

1

= − 3 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠(𝑥)(1 − 𝑥 2 )2 − ∫ 3 (1 − 𝑥 2 )𝑑𝑥 1

1

𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑚𝑜𝑠 ∫ 3 (1 − 𝑥 2 )𝑑𝑥 = 3 (𝑥 − 1

3

1

= − 3 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠(𝑥)(1 − 𝑥 2 )2 − 3 (𝑥 −

1

3

1

= − 3 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠(𝑥)(1 − 𝑥 2 )2 − 3 (𝑥 −

𝑥3 3

3

)

)

𝑥3 3

𝑥3

) + 𝐶 𝑅𝑡𝑎

Tipo de ejercicios 3 – Sustitución Trigonométrica y Fracciones parciales. 3 ejercicio a. ∫

√𝑥 2 −1 𝑥2

𝑑𝑥

Solución: 1

Aplicando integración por partes 𝑢 = √𝑥 2 − 1 ; 𝑣 ′ = 𝑥 2 =−

√𝑥 2 −1 𝑥

1

− ∫ − √𝑥 2

−1

𝑑𝑥 1

𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 ∫ − √𝑥 2 𝑑𝑥 = − ln|√𝑥 2 − 1 + 𝑥| −1 =−

√𝑥 2 −1 𝑥

− (− ln|√𝑥 2 − 1 + 𝑥|)

Simplificando: =− =−

√𝑥 2 −1 𝑥 √𝑥 2 −1 𝑥

+ ln|√𝑥 2 − 1 + 𝑥| + ln|√𝑥 2 − 1 + 𝑥| + 𝐶

𝑅𝑡𝑎

Tipo de ejercicios 4 – Integral Impropias. 4 ejercicio a. 0

∫−∞ −2𝑥 2 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 Solución: 1

Calculamos la integral indefinida de. ∫ −2𝑥 2 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 = −𝑒 2𝑥 𝑥 2 + 𝑒 2𝑥 − 2 𝑒 2𝑥 + 𝐶 Sacamos la constante:∫ 𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑎 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = −2 ∫ 𝑥 2 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 Aplicando la integración por partes, donde: 𝑢 = 𝑥 2 ; 𝑣 ′ = 𝑒 2𝑥 1

= −2 (2 𝑒 2𝑥 𝑥 2 − ∫ 𝑒 2𝑥 𝑥𝑑𝑥) 1

𝑅𝑒𝑜𝑙𝑣𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜: ∫ 𝑒 2𝑥 𝑥𝑑𝑥 = 4 (𝑒 2𝑥 . 2𝑥 − 𝑒 2𝑥 ) 1

1

= −2 (2 𝑒 2𝑥 𝑥 2 − 4 (𝑒 2𝑥 . 2𝑥 − 𝑒 2𝑥 )) 1

1

2

4

Simplificando: −2 ( 𝑒 2𝑥 𝑥 2 − (𝑒 2𝑥 . 2𝑥 − 𝑒 2𝑥 )) 1

= −𝑒 2𝑥 𝑥 2 . +𝑒 2𝑥 − 2 𝑒 2𝑥 1

= −𝑒 2𝑥 𝑥 2 . +𝑒 2𝑥 − 2 𝑒 2𝑥 + 𝐶 0

Calculando los límites: ∫−∞ −2𝑥 2 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 𝑏

∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) = lim−(𝐹(𝑥)) − lim+ (𝐹(𝑥)) 𝑥→𝑏

𝑥→𝑎

1

lim (−𝑒 2𝑥 𝑥 2 . +𝑒 2𝑥 − 2 𝑒 2𝑥 ) = 0

𝑥→−∞

1

1

lim (−𝑒 2𝑥 𝑥 2 . +𝑒 2𝑥 − 2 𝑒 2𝑥 ) = − 2

𝑥→0 0

1

∫−∞ −2𝑥 2 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 = − 2 Rta

EJERCICIOS FORMA B – VIVIANA MARCELA OSORIO Integración por Sustitución ∫ 4𝑥 5 √8 − 𝑥 6 𝑑𝑥 = 𝐿 Aplicando la sustitución de 𝑢 = 8 − 𝑥 6 , 𝑑𝑢 = 6𝑥 5 √𝑢 𝐿 = 4∫− 𝑑𝑢 6 1 2 𝐿 = − ∫ 𝑢2 𝑑𝑢 3 2 2 3 𝐿 = − ( 𝑢2 ) 3 3 3 4 𝐿 = − (8 − 𝑥 6 )2 + 𝐶 9 Integración por partes ∫ 𝑥 2 Cos(4𝑥)𝑑𝑥 = 𝐿 Sustitución simple 𝑧 = 4𝑥, 𝑑𝑧 = 𝑑𝑥 1 𝐿= ∫ 𝑧 2 Cos(𝑧) 𝑑𝑧 64 Sustitución por partes 𝑢 = 𝑧 2 , 𝑑𝑢 = 2𝑧𝑑𝑧, 𝑑𝑣 = Cos(𝑧)𝑑𝑧 , 𝑣 = 𝑠𝑒𝑛(𝑧) 1 2 𝐿= (𝑧 𝑆𝑖𝑛(𝑧) − ∫ 2𝑧 𝑆𝑖𝑛(𝑧)𝑑𝑧) 64 ∫ 2𝑧 𝑆𝑖𝑛(𝑧)𝑑𝑧 = 2(−𝑧𝐶𝑜𝑠(𝑧) + Sin(𝑧)) 𝐿=

1 2 (𝑧 𝑆𝑖𝑛(𝑧) − 2(−𝑧𝐶𝑜𝑠(𝑧) + Sin(𝑧))) 64

Volviendo a la variable inicial 𝑧 = 4𝑥 𝐿=

1 ((4𝑥)2 𝑆𝑖𝑛(4𝑥) − 2(−4𝑥𝐶𝑜𝑠(4𝑥) + Sin(4𝑥))) 64

Simplificando la ecuación 𝐿=

1 (8𝑥2 𝑆𝑖𝑛(4𝑥) − 𝑆𝑖𝑛(4𝑥) + 4𝑥𝐶𝑜𝑠(4𝑥)) + 𝐶 32

Sustitución Trigonométrica y fracciones parciales ∫ 𝑆𝑖𝑛3 (2𝑥)𝐶𝑜𝑠(2𝑥)𝑑𝑥 = 𝐿 Sustitución simple 𝑢 = 𝑆𝑖𝑛(2𝑥), 𝑑𝑢 = 2𝐶𝑜𝑠(2𝑥)𝑑𝑥 1 𝐿 = ∫ 𝑢3 𝑑𝑢 2 1 𝑢4 𝐿= ( ) 2 4 1 𝐿 = (𝑆𝑖𝑛4 (2𝑥)) + 𝐶 8 Integrales Impropias ∞

∫ 𝑥𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 0

Aplicando sustitución por partes 𝑢 = 𝑥, 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥, 𝑑𝑣 = 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥, 𝑣 = −𝑒 −𝑥 −𝑒 −𝑥 𝑥 − ∫ −𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 ∞

−𝑒 −𝑥 𝑥 − 𝑒 −𝑥 ∫ 0

lim −𝑒 −𝑥 𝑥 − 𝑒 −𝑥 = 0

𝑥→∞

lim −𝑒 −𝑥 𝑥 − 𝑒 −𝑥 = −1

𝑥→0

0 − (−1)

∞

∫ 𝑥𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 = 1 0

FORMA DEL INTEGRANDO (SIN DISCONTINUIDADES)

EJERCICIOS DE FORMA C – LORENA BARRERA GARCÌA Integración Por Sustitución ∫

1 √𝑥(1 + √𝑥)

2 𝑑𝑥

=𝐿

Sustituye 𝑢 = √𝑥 + 1 → 𝑑𝑢 =

1 2√𝑥

𝑑𝑥 → 2𝑑𝑢 =

𝑑𝑥 √𝑥

𝐿 = 2∫

1 𝑑𝑢 𝑢2

Se aplica la regla de potencia ∫ 𝑢𝑛 𝑑𝑢 =

𝑢𝑛+1 𝑐𝑜𝑛 𝑛 = −2 𝑛+1 𝐿 = −2 ∗

1 𝑢

Se reemplaza las integrales anteriormente resueltas ∫

1 2 𝑑𝑢 = − 2 𝑢 𝑢

Se elimina la sustitución 𝑢 =√𝑥 + 1 𝐿=−

2 (√𝑥 + 1)

Solución: ∫

𝟏 √𝒙(𝟏 + √𝒙)

𝟐

𝒅𝒙 = −

𝟐 (√𝒙 + 𝟏)

+𝒄

Integración por partes ∫ 𝑙𝑛(𝑥 2 + 1)𝑑𝑥 = 𝐿 Se aplica la formula de integración por partes: ∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 Donde: ∫ 𝑙𝑛(𝑥 2 + 1)𝑑𝑥 = ∫ 𝑢𝑑𝑣

Comparando: 𝑢 = 𝑙𝑛(𝑥2 + 1) → 𝑑𝑢 =

2𝑥𝑑𝑥 𝑥2 + 1

𝑑𝑣 = 𝑑𝑥 → 𝑣 = 𝑥 ∫ 𝑙𝑛(𝑥 2 + 1)𝑑𝑥 = 𝑥𝑙𝑛(𝑥 2 + 1) − ∫

2𝑥 2 𝑑𝑥 𝑥2 + 1

∫ 𝑙𝑛(𝑥 2 + 1)𝑑𝑥 = 𝑥𝑙𝑛(𝑥 2 + 1) − 2 ∫

𝑥 2 𝑑𝑥 𝑥2 + 1

𝑥 2 + 1 − 1𝑑𝑥 ∫ 𝑙𝑛(𝑥 + 1)𝑑𝑥 = 𝑥𝑙𝑛(𝑥 + 1) − 2 ∫ 𝑥2 + 1 2

2

∫ 𝑙𝑛(𝑥 2 + 1)𝑑𝑥 = 𝑥𝑙𝑛(𝑥 2 + 1) − 2 ∫ (

𝑥2 + 1 1 ) 𝑑𝑥 )−( 2 2 𝑥 +1 𝑥 +1

1 ∫ 𝑙𝑛(𝑥 2 + 1)𝑑𝑥 = 𝑥𝑙𝑛(𝑥 2 + 1) − 2 ∫(1) − ( 2 ) 𝑑𝑥 𝑥 +1

Aplicando linealidad: 𝑑𝑥 ∫ 𝑙𝑛(𝑥 2 + 1)𝑑𝑥 = 𝑥𝑙𝑛(𝑥 2 + 1) − 2 ∫ 𝑑𝑥 + 2 ∫ ( 2 ) 𝑥 +1 ∫ 𝑙𝑛(𝑥 2 + 1)𝑑𝑥 = 𝑥𝑙𝑛(𝑥 2 + 1) − 2𝑥 + 2 tan−1 𝑥

Donde las ultimas integrales se resuelven por propiedad de tablas de integrales Solución: ∫ 𝒍𝒏(𝒙𝟐 + 𝟏)𝒅𝒙 = 𝒙𝒍𝒏(𝒙𝟐 + 𝟏) − 𝟐𝒙 + 𝟐 𝐭𝐚𝐧−𝟏 𝒙

Sustitución Trigonométricas Y Fracciones Parciales ∫

√𝑥 2 − 36 𝑑𝑥 = 𝐿 𝑥2

Realizando una sustitución trigonométrica 𝑥 = 6 sec(𝑢) Diferenciando: 𝑑𝑥 = 6 sec(𝑢) tan(𝑢) 𝑑𝑢 Reemplazando √(6 sec(𝑢))2 − 36 𝐿=∫ (6 sec(𝑢) tan(𝑢) 𝑑𝑢) (6 sec(𝑢))2 𝐿=∫

√36 sec 2 (𝑢) − 36 (6 sec(𝑢) tan(𝑢) 𝑑𝑢) 36 sec 2 (𝑢)

Simplificando: √36(sec 2 (𝑢) − 36) 𝐿=∫ (6 tan(𝑢) 𝑑𝑢) 36 sec(𝑢) 𝐿=∫

√36√(sec 2(𝑢) − 1) (6 tan(𝑢) 𝑑𝑢) 36 sec(𝑢)

𝐿=∫

6√(sec 2 (𝑢) − 1) (6 tan(𝑢) 𝑑𝑢) 36 sec(𝑢)

𝐿=∫

36√(sec 2(𝑢) − 1) (tan(𝑢) 𝑑𝑢) 36 sec(𝑢)

𝐿=∫

√(sec 2(𝑢) − 1) (tan(𝑢) 𝑑𝑢) 36 sec(𝑢)

Usando la identidad tan2(𝑢) = sec 2(𝑢) − 1 𝐿=∫

√𝑡𝑎 𝑛2 (𝑢) (tan(𝑢) 𝑑𝑢) 36 sec(𝑢)

𝐿=∫

tan(𝑢) (tan(𝑢) 𝑑𝑢) 36 sec(𝑢)

𝐿=∫ 𝐿=∫

tan2 (𝑢) 𝑑𝑢 sec(𝑢)

sec 2(𝑢) − 1 𝑑𝑢 sec(𝑢)

𝐿 = ∫ sec(𝑢) − ∫

1 𝑑𝑢 sec(𝑢)

𝐿 = ∫ sec(𝑢) − ∫ cos(𝑢) 𝑑𝑢 Realizando cada una de las integrales 𝐿 = ln|𝑡𝑎𝑛(𝑢) + 𝑠𝑒𝑐(𝑢)| − sin(𝑢) Volviendo a la variable inicial gracias a la sustitución inicial

𝑥 6

= sec 𝑢

De aquí se puede deducir que: cos 𝑢 =

1 6 = sec 𝑢 𝑥

Y, por ende: √𝑥 2 − 36 sen 𝑢 = 𝑥 Dividiendo seno sobre coseno se obtiene la tangente:

tan 𝑢 =

√𝑥 2 − 36 6

Reemplazando los términos deducidos previamente: Solución: √𝒙𝟐 − 𝟑𝟔 𝟏 𝟐 √ 𝑳 = 𝐥𝐧 | ( 𝒙 − 𝟑𝟔 + 𝒙 )| − +𝑪 𝟔 𝒙

Integrales Impropias 0

1 3𝑥 𝑒 𝑑𝑥 = 𝐿 −∞ 3

∫ Aplica linealidad

1 0 3𝑥 𝐿 = ∫ 𝑒 𝑑𝑥 3 −∞ Por definición de integral impropia: 0 1 lim ∫ 𝑒 3𝑥 𝑑𝑥 3 𝑎→−∞ 𝑎

𝐿=

𝐿=

1 1 0 lim 𝑒 3𝑥 | 3 𝑎→−∞ 3 𝑎

𝐿= 𝐿=

1 0 lim 𝑒 3𝑥 | 9 𝑎→−∞ 𝑎

1 lim (𝑒 3(0) − 𝑒 3(𝑎) ) 9 𝑎→−∞

𝐿=

1 lim (1 − 𝑒 3(𝑎) ) 9 𝑎→−∞

1 𝐿 = [ lim (1) − lim (𝑒 3(𝑎) )] 𝑎→−∞ 9 𝑎→−∞ 1 𝐿 = [1 − 0] 9 𝐿=

1 9

Solución 𝟎

𝟏 𝒆𝒙 𝟏 𝟑 𝒅𝒙 = 𝟗 −∞ 𝟑

∫

Tabla de link videos explicativos Nombre del Ejercicios estudiante sustentado Lorena Barrera Ejercicio 4 García

Link video explicativo

Viviana Marcela Osorio Luis Miguel Ballesteros

https://youtu.be/-bNY1I8Umo

Ejercicio 3

Ejercicio 2

https://www.loom.com/share/0ad0d093d4a8490f8e0550cf22ff 60a4

CONCLUSIONES

-Las integración por sustitución se basa en reemplazar variables y diferenciar de manera que se conserve la ecuación. Se debe aplicar la derivación implícita. -La integración por partes es un método especial de integrar funciones especiales, como productos entre funciones algebraicas, trigonométricas, logarítmicas, inversas y exponenciales. -La integración por sustitución trigonométrica se desarrolla en base al desarrollo de un triángulo. Por lo general se realiza la integral sin limites de integración.

Referencias. Método de integración I – Integración por sustitución. Velásquez, W. (2014). Cálculo Integral. Editorial Unimagdalena. (pp. 24 – 32). Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co/login?url=http://search.ebscohost.com/login.aspx?dire ct=true&db=edselb&AN=edselb.5045548&lang=es&site=eds-live Método de integración II – Integración Por partes. Rivera, F. (2014). Calculo integral: sucesiones y series de funciones. México: Larousse – Grupo Editorial Patria. (pp. 88 – 95). Recuperado de https://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2538/lib/unadsp/reader.action?ppg=1&docID=32275 78&tm=1536935311791 Método de integración III – Sustitución Trigonométrica - Fracciones parciales. Velásquez, W. (2014). Cálculo Integral. Editorial Unimagdalena. (pp. 89 – 121). Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co/login?url=http://search.ebscohost.com/login.aspx?dire ct=true&db=edselb&AN=edselb.5045548&lang=es&site=eds-live Integrales impropias. Aguayo, J. (2012). Cálculo integral y series. Editorial ebooks Patagonia - J.C. Sáez Editor. (pp. 98 – 106). Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co/login?url=http://search.ebscohost.com/login.aspx?dire ct=true&db=edselb&AN=edselb.3196635&lang=es&site=eds-live