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• Juan Hurtado

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Nombre de la materia ÁÁ lgebra Superior Nombre de la Licenciatura Ingenieríía en sistemas computacionales Nombre del alumno Hurtado Barreto Juan Rai Matrícula 000569752 Nombre de la Tarea Tarea 2 Unidad # Nuí meros Complejos Nombre del Profesor Rosa Rodriguez Martinez Fecha 22 de enero del 2017

Unidad 2: Números complejos Álgebra superior

ACTIVIDAD 2 “De hecho, deberíamos usar tal descubrimiento como una oportunidad para investigar con mayor exactitud las propiedades descubiertas y probarlas o refutarlas; en ambos casos podemos aprender algo útil.” Leonhard Euler.

Objetivos: 1. Identificar las propiedades de los números complejos. 2. Resolver operaciones básicas con números complejos: Suma, resta, multiplicación, división y potencia. 3. Realizar conversiones de la forma binómica a polar y viceversa. Instrucciones: 1. Revisa con detalle los siguientes videos de recursos de semana 2:

Video 

Introducción a los números imaginarios y complejos



Operaciones básicas con números complejos



Potencias, Análisis complejo, de rectangular a polar.

2. Resuelve los ejercicios que se proponen más adelante. Puedes entregar la tarea usando el editor de ecuaciones de Word en este documento, o una foto de tus ejercicios aquí mismo. 3. Vas a necesitar calculadora científica.

2

Unidad 2: Números complejos Álgebra superior

Forma de evaluación:

Criterio

Ponderación

Presentación

10%

Ejercicio 1.

10%

Ejercicio 2.

10%

Ejercicio 3.

10%

Ejercicio 4.

10%

Ejercicio 5.

10%

Ejercicio 6.

10%

Ejercicio 7.

10%

Ejercicio 8.

10%

Ejercicio 9.

10%

Desarrollo de la actividad: Ejercicio 1. Potenciación. (1 punto) Calcula el valor de la siguiente potencia:

i3 = (i2)( i )= (-1)(i)=-i i4 = (i3)( i )= (-i)(i)=(-1)( i2)=1 i5 =(i4)( i )= (1)(i)=-i i6 = (i5)( i )= (i)(i)=-1 i7 = (i6)( i )= (-1)(i)=-i i8 = (i7)( i )= (-i)(i)=(-1)( i2)=1 i9 = (i8)( i )= (1)(i)=i = (i9)( i )= (i)(i)=-1 Tip de solución: Recuerda que:

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Unidad 2: Números complejos Álgebra superior

Ejercicio 2. Suma de números complejos. (1 punto) Resuelve la siguiente operación: (7+2i) + (7-3i)= (7+7)+(2i-3i) =14-i Tip de solución: Suma por separado las partes reales y las imaginarias y aplica las leyes de los signos. Ejemplo: (7+4i)+(8-i) =(7+8) + (4i-i) = 15+3i

Ejercicio 3. Resta de números complejos. (1 punto) Resuelve la siguiente operación: (7+2i) - (7-3i)= 7+2i-7-3i=(7-7)+(2i-3i)=i Tip de solución: Resta por separado las partes reales y las imaginarias y aplica las leyes de los signos. Ejemplo: (7+2i)-(8-3i) =7+2i-8+3i= (7-8) + (2i+3i) = -1+5i Ejercicio 4. Multiplicación de números complejos. (1 punto) Resuelve la siguiente operación: (7+2i) (7-3i)= (7+2i) (7)+ (7+2i) (-3i) = 49+14i +21i-

6i2 =49+14i +21i- 6(-1)=

49+14i +21i+6=55+35i

Tip de solución: Puedes utilizar la propiedad distributiva. Ejemplo: (1-3i)(5+2i) = (1-3i)(5)+(1-3i)(2i) = 5-15i+2i-6i2 = 5-15i+2i-6(-1) =5-15i+2i+6 = 11-13i Nota:

Ejercicio 5. División de números complejos. (1 punto) Resuelve la siguiente operación:

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Unidad 2: Números complejos Álgebra superior

(2+3i)(7+3i)/(7-3i) (7+3i)= 14+6i+21i-9/49+21i-21+9 = 5+27i/58 Tip de solución: Utiliza el complejo conjugado de un número complejo y repasa la multiplicación de números complejos. Recuerda que el complejo conjugado de un número conserva la parte real y la imaginaria, pero

invierte

su

signo.

Ejemplo:

Ejercicio 6. Cálculo del módulo y argumento de un número complejo que está en forma binómica. (1 punto) Determina el módulo y el argumento del número: z=1+i Para calcular el módulo tenemos que r= |z|=√a2+b2, y z=a+bi entonces z= √(

12+ 12)=

√2 Arctg= (i/1) = 1, que da como resultado el núm. 45, es decir que =ᶿarctg- 11=45°

Tip de solución: Si z=a+bi entonces las fórmulas que ocuparás son: Para calcular el módulo

Para calcular el argumento

(arctan también se puede escribir como:

tan-1)

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Unidad 2: Números complejos Álgebra superior

Ejercicio 7. Conversión de un número complejo de su forma binómica a la forma polar. (1 punto) Convierte el número (forma binómica) z=3+2i a su forma polar. Para transformarlo a su forma polar primero calculamos su módulo, entonces tenemos queMódulo= |z|=√a2+b2y z= a+bi por lo tanto z= √(32+ 22)= √13; a= 3, b=2 Para calcular el argumento:0 = arctgb/a Arctan=2/8 Tan0 = 33ᶿ°41´24” + isen 33°41´ 24” S e n 0 = 2 / ᶿ√13_ cos0= 3/ 13

Tip de solución: En este ejercicio también ocuparás las fórmulas:

Y la notación que se ocupa para un número complejo en forma polar:

Ejercicio 8.

Conversión de un número complejo de su forma polar a la forma

binómica. (1 punto) Convierte el número z=5 (cos 45° + i sen 45°) de su forma polar a la forma binómica. Tip de solución: Para este ejercicio usarás las fórmulas:

Ejercicio 9. Gráfica de números complejos. (1 punto)

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Unidad 2: Números complejos Álgebra superior

Realiza la gráfica del siguiente número complejo: a)

2 + 2i

a=cosᶿ√2/2r b=sen 45˚=√2/2r b=sen 45˚=√2/2 rᶺ2=(5cos45)ᶺ2 +(5sen45)ᶺ2 rᶺ2= 25cosᶺ2(45)+25senᶺ2(45) rᶺ2=25(cosᶺ2(45)+senᶺ2(45)) rᶺ2=25(1) rᶺ2= 25 r=5 Tip de solución: Recuerda la ubicación en el plano cartesiano. Ejes positivos y negativos.

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Unidad 2: Números complejos Álgebra superior

Referencias bibliográficas Recursos de semana 2:

Video 

Introducción a los números imaginarios y complejos



Operaciones básicas con números complejos



Potencias, Análisis complejo, de rectangular a polar.

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