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Paso 4 – Pensamiento Geométrico Analítico

JAIRO IVAN VEGA GAMEZ Cod. 17954503

GRUPO: 551108_11

ANDRES FERNANDO MOSQUERA TUTOR

UNIVERCIDAD NACIONAL ABIERTA Y ADISTANCIA UNAD FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACION CEAD LA GUAJIRA 2019

Tarea 1. Dadas las siguientes hipérbolas y elipses dar, en cada caso, las coordenadas del centro, de los vértices, los focos, la excentricidad y la gráfica. (Comprobar con geogebra)

A)

(𝑥−2)2 16

−

(𝑦−3)2 9

=1

Simplifique cada término de la ecuación para poder igualar el lado derecho de la misma a 1. La forma estándar de una elipse o hipérbola requiere igualar el lado derecho de la ecuación a 1.

(𝑥 − 2)2 (𝑦 − 3)2 − =1 16 9

Esta es la forma de una hipérbola. Usa esta forma para determinar los valores usados para hallar los vértices y las asíntotas de la hipérbola.

(𝑥 − 𝑘)2 (𝑦 − 𝑘)2 − =1 𝑎2 𝑏2 Empareja los valores en esta hipérbola con aquellos de la forma estándar. La variable h representa la distancia X desde el origen, k representa la distancia Y desde el origen, a.

a=4 b=3 k=2 h=2 Hallar los vértices.

El centro de la hipérbola sigue la forma (h; k). Sustituir los valores de h y k. (2; 2) Hallar c, la distancia desde el centro al foco.

Hallar la distancia desde el centro hasta el foco de la hipérbola usando la siguiente fórmula.

√𝑎 2 + 𝑏 2 Reemplazamos los valores de a y de b en la fórmula.

√(4)2 + (3)2 Simplificamos Elevamos 4 a la potencia de 2.

√16 + (3)2 Elevamos 33 a la potencia de 2.

√16 + 9 Sumamos 16 y 9.

√25 Realizamos la operación y sabemos que la √25 = 5 Para hallar los vértices El primer vértice de una hipérbola se puede hallar sumando a y h.

(h+a;k) Sustituir los valores conocidos de h, a y k en la fórmula y simplificar. (6;3)

El segundo vértice de una hipérbola se puede hallar sustrayendo a de h. (h- a;k) Sustituir los valores conocidos de h, a y k en la fórmula y simplificar. (-2;3) Los vértices de una hipérbola siguen la forma (h ± a; k) Las hipérbolas tienen dos vértices.

(6;3); (-2;3) El centro de la hipérbola Sigue la forma (h;k). Sustituir los valores de h y k (2;3) Para Hallar los focos. El primer foco de una hipérbola puede encontrarse sumando c a h. (h+ c;k) Sustituimos los valores conocidos de h, c y k en la fórmula y simplificar. (7;3) El segundo foco de una hipérbola se puede hallar sustrayendo c de h. (h- c;k) Sustituimos los valores conocidos de h, c y k en la fórmula y simplificar. (-3;3) Los focos de una hipérbola siguen la forma de (ℎ; 𝑘 ± √𝑎2 + 𝑏 2 ). Las hipérbolas tiene dos focos. (𝟕; 𝟑); (−𝟑; 𝟑)

Para Hallar la excentricidad. Hallar el valor de la excentricidad de la hipérbola usando la siguiente fórmula

√𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 𝒂 Reemplazamos los valores de a y de b en la fórmula.

√(𝟒)𝟐 + (𝟑)𝟐 𝟒 Simplificamos el numerador. Elevar 4 a la potencia de 2.

𝟏𝟔 + (𝟑)𝟐 √ 𝟒 Elevamos 3 a la potencia de 2.

𝟏𝟔 + 𝟗 √ 𝟒 Sumar 16 y 9.

𝟐𝟓 √ 𝟒

Extraemos los términos de debajo del radical, asumiendo números reales positivos.

𝟓 𝟒

Estos valores representan los valores importantes para dibujar y analizar una hipérbola. Centro: (2; 3) Vértices: (6; 3) ;(−2;3)

Focos: (7; 3) ;(−3;3) Excentricidad:5/4

(𝒙 − 𝟐)𝟐 (𝒚 − 𝟑)𝟐 − =𝟏 𝟏𝟔 𝟗

(𝑦 − 1)2 (𝑥 − 2)2 𝑏) − =1 4 16

Simplificamos cada término de la ecuación para poder igualar el lado derecho de la misma a 1. La forma estándar de una elipse o hipérbola requiere igualar el lado derecho de la ecuación a 1.

(𝑦 − 1)2 (𝑥 − 2)2 − =1 4 16 Esta es la forma de una hipérbola. Usa esta forma para determinar los valores usados para hallar los vértices y las asíntotas de la hipérbola.

(𝑦 − 𝑘)2 (𝑥 − 𝑘)2 − =1 𝑎2 𝑏2 Emparejamos los valores en esta hipérbola con aquellos de la forma estándar. La variable h representa la distancia X desde el origen, k representa la distancia Y desde el origen, a. a=2 b=4 k=1 h=2 El centro de la hipérbola sigue la forma (h;k). Sustituir los valores de h y k. (2; 1)

Para Hallar cc, la distancia desde el centro al foco. Para hallar la distancia desde el centro hasta el foco de la hipérbola usando la siguiente fórmula. √𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 Reemplazamos los valores de a y de b en la fórmula. √(𝟐)𝟐 + (𝟒)𝟐 Simplificamos. El primer vértice de una hipérbola se puede hallar sumando a y k. (ℎ; 𝑘 + 𝑎) Sustituimos los valores conocidos de h, a y k en la fórmula y simplificar. (2;3) El segundo vértice de una hipérbola se puede hallar sustrayendo a de k. (ℎ; 𝑘 − 𝑎) Sustituimos los valores conocidos de h, a y k en la fórmula y simplificar. (2;−1) Los vértices de una hipérbola siguen la forma (h; k ± a). Las hipérbolas tienen dos vértices. (2;3);(2;−1) Para hallar los focos. El primer foco de una hipérbola puede encontrarse sumando c a k. (h ;k −c) Sustituimos los valores conocidos de h, cc y k en la fórmula y simplificar. (2;1−2√5) Los focos de una hipérbola siguen la forma de (ℎ; 𝑘 ± √𝑎2 + 𝑏 2 ). Las hipérbolas tienen dos focos. (2; 1+2√5) ;(2; 1−2√5)

Para Hallar la excentricidad. Para hallar el valor de la excentricidad de la hipérbola usando la siguiente fórmula √𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 𝒂 Reemplazamos los valores de a y de b en la fórmula. √(𝟐)𝟐 + (𝟒)𝟐 𝟐 Simplificamos el numerador. Elevamos 2 a la potencia de 2. 𝟒 + (𝟒)𝟐 √ 𝟐 Elevamos 4 a la potencia de 2. 𝟒 + 𝟏𝟔 √ 𝟐 Sumamos 4 y16. 𝟐𝟎 √ 𝟐 Reescribimos 20 como 22 ∗ 5 Factorizamos 4 a partir de 20. Reducimos la expresión anulando los factores comunes. 𝟐√𝟓 𝟐

Dividimos √5 entre 1.

√𝟓 Estos valores representan los valores importantes para dibujar y analizar una hipérbola. Centro: (2; 1)

Vértices: (2; 3);(2;-1) Focos: (2; 1+2√𝟓) ;(2; 1-2√𝟓) Excentricidad:√𝟓

(𝑦 − 1)2 (𝑥 − 2)2 − =1 4 16

c)(𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 3)2 = 25

Esta es la forma de un círculo. Usa esta forma para determinar el centro y el radio del círculo. (x−h)2+ (y−k)2=r2 Emparejamos los valores en este círculo con aquellos de la forma estándar. La variable r representa el radio del círculo, h representa la distancia X desde el origen y k representa la distancia Y desde el origen. r=5 h=2 k=2

El centro del círculo se encuentra en (h;k). Centro: (2; 2) Estos valores representan los valores para dibujar y analizar un círculo. Centro: (2;2) Radio: 5 Dividimos cada término entre 25 para igualar el lado derecho a 1. (𝑥−2)2 25

+

(𝑦−2)2 25

=

25 25

Simplificamos cada término de la ecuación para poder igualar el lado derecho de la misma a 1. La forma estándar de una elipse o hipérbola requiere igualar el lado derecho de la ecuación a 1.

(𝑥−2)2 25

+

(𝑦−2)2 25

=1

El foco de la circunferencia es su centro. Respecto del mismo, todos los puntos se encuentran a la misma distancia. Esto quiere decir que los focos están en el centro (2;2)

(𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 3)2 = 25

Tarea 2. En el siguiente problema debe completar cuadrados para obtener la cónica en la forma canónica (comprobar con Geogebra):

a) 𝑥 2 + 𝑦 2 + 6𝑦 + 2𝑦 − 15 = 0

Movemos 15 al lado derecho de la ecuación ya que no contiene una variable. 𝑥 2 +𝑦 2 +8y=15 Completamos el cuadrado para 𝑦 2 +8y Usamos la forma ax2+bx+c para encontrar los valores de a, b y c. a=1; b=8;c=0 Consideramos la forma canónica de una parábola. a(x+d)2+e 𝑏

Sustituimos los valores de a y b en la formula d=2𝑎. 𝑑=

8 2(1)

Reducimos la expresión anulando los factores comunes. Factorizamos 2 a partir de 8. 𝑑=

2∗4 2∗1

Cancelamos los factores comunes. Factorizamos 2 a partir de 2⋅1. 𝑑=

2∗4 2∗1

Cancelamos el factor común.

𝑑=

2∗4 2∗1

Sustituimos la expresión. 𝑑=

4 1

Dividimos 4 entre 1. d=4 Hallamos el valor de e usando la fórmula e=c-

𝑏2 4𝑎

Simplificamos cada término. Elevamos 8 a la potencia de 2. e=0−

64 4

Dividimos 64 entre 4. e =0−1⋅16 Multiplicamos −1 por 16. e =0-16 Restamos 16 de 0. e=−16 Sustituimos los valores de a, d y e en la forma de vértice a(x+𝑑)2 +e Sustituimos (y+4)2−16 para 𝑦 2 +8y en la ecuación 𝑥 2 + 𝑦 2 +8y =15. 𝑥 2 + (y+4)2-16=15 Movemos −16al lado derecho de la ecuación sumando 16 a ambos lados. 𝑥 2 + (y+4)2=15+16 Sumaamos 15 y 16. 𝑥 2 + (y+4)2=31

Esta es la forma de un círculo. Usa esta forma para determinar el centro y el radio del círculo. (𝑥 − ℎ)2 +(𝑦 − 𝑘)2=𝑟 2 Emparejamos los valores en este círculo con aquellos de la forma estándar. La variable r representa el radio del círculo, h representa la distancia X desde el origen y k representa la distancia Y desde el origen. r=√31 h=0 k=−4 El centro del círculo se encuentra en (h;k). Centro: (0; −4) Estos valores representan los valores para dibujar y analizar un círculo. Centro: (0;−4) Radio: √31

𝒙𝟐 +𝒚𝟐 +6y+2y-15=0

b)𝟐𝒚𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟗 = 𝟎 Usamos la forma 𝑎𝑥 2 +bx+c para encontrar los valores de a, b y c. a=2; b=−2; c=−2x+9 Consideramos la forma canónica de una parábola. 𝑎(𝑥 + 𝑑)2 +e 𝑏

Sustituimos a y b en la formula d= 2𝑎 d= −

2 2(2)

Reducimos la expresión anulando los factores comunes. Cancelamos el factor común.

d= −

2 2∗2

Sustituimos la expresión. 𝑑=−

1 2

Hallamos el valor de e usando la fórmula e = c -

𝑏2 4𝑎

Simplificamos cada término. Reducimos la expresión anulando los factores comunes. Reescribimos −2 como −1(2). (−1∗2)2

e=−2x+9−

4(2)

Aplicamos la regla del producto a -1(2).

(−1)2 ∗22

e=−2x+9−

4(2)

Elevamos −1 a la potencia de 2.

1∗22

e=−2x+9− 4(2)

Multiplicamos 22 por 1

e=−2x+9−

22

4(2)

Factorizamos 2 a partir de 22

2∗2

e=−2x+9−

4∗2

Factorizamos 2 a partir de 4⋅2.. 2∗2

e=−2x+9−

2(2∗2)

Cancelamos los factores comunes. 2∗2

e=−2x+9−

2(2∗2)

Sustituimos la expresión. 1

e=−2x+9−

2

9

2

1

2

Para escribir como una fracción con un denominador común, multiplica por

9

2

1

1

2

2

e=−2x+( ∗ − )

Escribimos cada expresión con un denominador común de 2, al multiplicar cada uno por un factor apropiado de 1. Combina.

e=−2x+(

9∗2

1

− ) 1∗2 2

Multiplicamos 2 por 1.

9∗2

e=−2x+(

1

1

− ) 2

Combinamos los numeradores sobre el común denominador. 9⋅2−1

e=−2x+

2

Simplificamos el numerador. Multiplicamos 9 por 2. 18−1

e=−2x+

2

Restamos 1 de 18. 17

e=−2x+

2

Sustituimos los valores de a, d y e en la forma de vértice a(x+𝑑)2 +e. 𝟏 𝟐

𝟏𝟕

2(𝒚 − ) -2x+ =y 𝟐 𝟐

𝟏 𝟐

𝟏𝟕

2(𝒚 − ) -2x+ =y 𝟐 𝟐

Bibliografía Rondón, J. (2017). Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica. Bogotá D.C.: Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Páginas 285 – 347. Recuperado dehttp://hdl.handle.net/10596/7689 Ortiz, C. F. J. (2014). Matemáticas 3 (2a. ed.). México, D.F., MX: Larousse - Grupo Editorial Patria. Páginas 48 – 140. Recuperado dehttp://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?ppg=5&docID=110 46371&tm=1488213794691