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ADMINISTRACIÓN DE EMP

TAREA 1 ALGEBRA

CLAUDIA ALHELY NIETO CACHÓN

LICENCIATURA EN ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS

PRIMER CUATRIMESTRE

PLAN EJECUTIVO SABATINO

PROFESOR LIZANDRO JESÚS PÉREZ HERNÁNDEZ

DESARROLLO:

1.- Realiza las siguientes operaciones respetando las reglas para orden de operaciones y simplifica al máximo. [2x-3(y-2x)+6y+2(4x-y)] [2x-3y+6x+6y+8x-2y] 16x+y 3[4x-2(4y-1)]+5(3x-3y) 3[4x-8y+2]+15x-15y 12x-24y+6+15x-15y 27x-39y+6 4x2(3x-4y2)-5[(2x+1).(x-2y)+x2] 12x3-16x2y2 -5[2x2-4xy+x-2y+x2] 12x3-16x2y2-10x2+20xy-5x+10y 12x3-16x2y2-15x2+20xy-5x+10y 6m(2m-3n)-5n[(2m-n).(-4m+2n) 12m2-18mn-5n[-8m2+4mn+4mn-2n2] 12m2-18mn+4m2n-20mn2-20mn2+10n2 12m2-18mn+4m2n-40mn2+10n3 2.- Encuentra una razón equivalente para cada una de las siguientes fracciones: 3/16 = 6/32 2/9 = 6/27 5/7 = 20/28 3.- Calcula el porcentaje solicitado para cada una de las cantidades, aplicando el redondeo hasta 3 decimal: 22% 187 = 41.140 13% de 1278 = 166.140 79% de 45.23 = 35.732 34% de 12.8 = 4.352

4.- Realiza una investigación de al menos una cuartilla sobre la clasificación de los números reales y las características de cada caso

“CLASIFICACIÓN DE NÚMEROS”

1: Uno Naturales

Naturales primos Naturales

Enteros 0: cero Racionales

COMPLEJOS

Reales

Enteros negativos

Fraccionarios

Irracionales algebráicos Imaginarios

Irracionales trascendentes

-NÚMEROS REALES: El conjunto de los números reales pertenece en matemáticas a la recta numérica que comprende a los números racionales y a los números irracionales. Esto quiere decir que incluyen a todos los números positivos y negativos, el símbolo cero, y a los números que no pueden ser expresados mediante fracciones de dos enteros que tengan como denominador a números no nulos (excluye al denominador cero). -NÚMERO RACIONAL: Es todo número que puede representarse como el cociente de dos números enteros o, más precisamente, un entero y un natural positivo; 1 es decir, una fracción común a/b con numerador a y denominador b distinto de cero. El término racional alude a una fracción o parte de un todo. El conjunto de los números racionales se denota por Q (o bien {Q},) que deriva de

cociente. Este conjunto de números incluye a los números enteros ({Z}), y es un subconjunto de los números reales ({R}). -ENTEROS: Son todos los naturales y sus opuestos, además del cero (0, 1, -1, 2, -2, 3, -3,...) -NATURALES: Con ellos contamos. Son enteros y positivos (1, 2, 3, 4, ….). -NATURALES PRIMOS: un número primo es un número natural mayor que 1 que tiene únicamente dos divisores distintos: él mismo y el 1. -NATURALES COMPUESTOS: A diferencia de los números primos, los números compuestos son los números naturales que tienen algún divisor natural aparte de sí mismos y del 1 y por lo tanto, pueden factorizarse. El número 1, por convenio, no se considera ni primo ni compuesto. Los números primos menores que 100 son los siguientes: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97 -ENTERO NEGATIVO: Cualquier entero menor a cero. Por lo general, los enteros negativos se utilizan para representar cantidades enteras que se encuentran debajo de un punto de referencia especificado. -FRACCIONARIOS: número fraccionario, 1 es la expresión de una cantidad dividida entre otra cantidad; es decir que representa un cociente no efectuado de números. Las fracciones comunes se componen de: numerador, denominador y línea divisora entre ambos (barra horizontal u oblicua). En una fracción común a/b el denominador "b" expresa la cantidad de partes iguales que representan la unidad, y el numerador "a" indica cuántas de ellas se toman. -FRACCIÓN PROPIA: Una fracción se llama propia si su numerador es menor que su denominador. -FRACCIÓN IMPROPIA: Una fracción se llama impropia si su numerador es mayor que su denominador. Se puede expresar como un número mixto formado por un número natural más una fracción propia. Si el numerador de una fracción es múltiplo del denominador, la fracción representa un número natural.

5.- Investiga sobre los diferentes tipos de factorización de polinomios:

1.-FACTOR COMÚN POLINOMIO: Consiste en buscar un factor común y dividir todo por ese factor, ejemplo: (x-2)(3x+5)-(x-2)(5x-4) Primero se busca el factor común, es un polinomio… =(x-2)[(3x+5)-(5x-4)] Los demás términos se agrupan y se suman los términos semejantes… =(x-2)(3x+5-5x+4)… Resultado =(x-2)(9-2x) 2.-FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN: Se llama factor común por agrupación de términos, si los términos de un polinomio pueden reunirse en grupos de términos con un factor común diferente en cada grupo. Cuando pueden reunirse en grupos de igual número de términos se le saca en cada uno de ellos el factor común. Si queda la misma expresión en cada uno de los grupos entre paréntesis, se la saca este grupo como factor común, quedando así una multiplicación de polinomios. Tratar desde el principio que nos queden iguales los términos de los paréntesis nos hará más sencillo el resolver estos problemas. 2ax + 2bx - ay + 5a - by + 5b Agrupo los términos que tienen un factor común: (2ax - ay + 5a ) + ( 2bx - by + 5b ) Saco el factor común de cada grupo:

a ( 2x - y + 5 ) + b (2x - y + 5 ) Como las expresiones encerradas entre paréntesis son iguales se tiene: Resultado: ( 2x -y +5 )(a + b) 3.-TRINOMIO CUADRADO PERFECTO: Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio (polinomio de tres términos) tal que, dos de sus términos son cuadrados perfectos y el otro término es el doble producto de las bases de esos cuadrados. 36x2+12xy2+y4 Es un trinomio cuadrado perfecto. El primer término es el cuadrado de 6x pues (6x) 2=36x2; El último es el cuadrado de y2, pues (y2)2=y4, Y el segundo término es el doble producto de las bases de esos cuadrados, es decir 6x y y2, Pues 2 * 6x * y2=12xy2 (6x + y2)2= (6x + y2)(6x + y2) = 36x2+12xy2+y4 4.-TRINOMIO DE LA FORMA x2+bx+c Este tipo de trinomio tiene las siguientes características: 1.

Tienen un término positivo elevado al cuadrado y con coeficiente 1 (coeficiente).

2.

Posee un término que tiene la misma letra que el termino anterior pero elevada a

1 (bx) (puede ser negativo o positivo). 3.

Tienen un término independiente de la letra que aparece en los otros dos (+ o -).

4.

Reglas para factorizar un trinomio de esta forma:

5.

Se descompone el trinomio en dos factores binomios cuyo primer término será la

raíz cuadrada del término raíz cuadrado.

6.

El signo del primer binomio será el mismo signo que tenga el término “bx”, el

signo del segundo binomio será igual a la multiplicación de los signos de “bx” y de “c”. 7.

Si los dos factores tienen signos iguales entonces se buscan dos números cuya

suma sea igual que el valor absoluto del factor “b” de “bx”, y cuyo producto sea igual al valor absoluto del factor “c”, estos números son los segundos términos de los factores binomios. 8.

Si los dos factores tienen signos diferentes entonces se buscan dos números

cuya diferencia sea igual que el valor absoluto del factor “b” de “bx”, y cuyo producto sea igual al valor absoluto del factor “c”, el mayor de estos números será el segundo término del primer factor binomio, y el menor de estos números será el segundo término del segundo factor binomio. Ejemplo:

Factorizar

m2+8m+15

1er paso

(m

2do paso

(m+ )(m+ )

3er paso

(m+3)(m+5)

)(m )

5.-TRINOMIO DE LA FORMA ax2+bx+c: Este tipo de trinomio se diferencia del anterior debido a que el término al cuadrado (x 2) se encuentra precedido por un coeficiente diferente de uno (debe ser positivo). Este se trabaja de una manera un poco diferente, la cual detallamos a continuación: 1.

Multiplicamos el coeficiente “a” del factor ax2 por cada termino del trinomio,

dejando esta multiplicación indicada en el término bx de la manera b(ax), y en el término ax2 de la manera ax2. 2.

Se descompone el trinomio en dos factores binomios cuyo primer término será la

raíz cuadrada del termino ax2 la que sería ax. 3.

Al producto resultante lo dividimos entre el factor “a”, con el fin de no variar el

valor del polinomio.

4.

El signo del primer binomio será el mismo signo que tenga el término “bx”, el

signo del segundo binomio será igual a la multiplicación de los signos de “bx” y “c”. 5.

Se buscaran los segundos términos de los binomios según los pasos tres y

cuatro del caso del trinomio anterior.

Ejemplo:

3m2+8m+5

Factorizar 1er paso

3(3m2+8m+5)= (9m)2+8(3m)+15

2do paso

(3m

)(3m

)

3er paso

(3m

)(3m

)

3 4to paso

(3m+ )(3m+

)

3 5to paso

(3m+3)(3m+5)= 3(m+1)(3m+5) 3

Simplificar

3

(m+1)(3m+5) resultado

6.- DIFERENCIA DE CUADRADOS: se le llama diferencia de cuadrados al binomio conformado por dos términos a los que se les puede sacar raíz cuadrada exacta. Tenemos a2-b2 = (a+b)(a-b) Donde siempre la diferencia de cuadrados es igual al producto de la suma por la diferencia de sus bases. Pasos: 1.

Se extrae la raíz cuadrada de ambos términos.

2.

Se multiplica la suma por la diferencia de estas cantidades (el segundo término

del binomio negativo es la raíz del término del binomio que es negativo).

Factorizar

x2-y2

raíces

√

2 x

=x

√

2 y =y

respuesta (x+y)(x-y)

7.- CUBO PERFECTO DE BINOMIOS: Para reconocerlo se deben tomar en cuenta los siguientes puntos: a3+3a2b+3ab2+b3=(a+b)3 a3-3a2b+3ab2-b3=(a-b)3 1.

Debe tener cuatro términos, y estar ordenado con respecto a una letra.

2.

Dos de sus términos, el 1º (a3) y el 4º (b3), deben poseer raíz cúbica exacta.

3.

El segundo término debe ser igual al triple producto del cuadrado de la raíz

cúbica del primer término por la raíz cúbica del cuarto termino [3(a)2(b)]. 4.

El tercer término debe ser igual al triple producto de la raíz cúbica del primer

término por el cuadrado la raíz cúbica del cuarto termino [3(a)(b) 2]. 5.

El segundo y el cuarto termino deben tener el mismo signo y puede ser positivo o

negativo, el primer y tercer término siempre son positivos (si el primer y tercer término son negativos realizar factor común con el factor -1). 6

Si todos los términos son positivos el resultado es el cubo de la suma de dos

cantidades (a + b)3 perfecto de binomios (cuatrinomio), si hay términos negativos el resultado es el cubo de la diferencia de dos cantidades (a – b) 3 perfecto de binomios (cuatrinomio). Factorizar

27a3-8b6-54a2b2+36ab4

Ordenamos

27a3-54a2b2+36ab4-8b6

Raíces

27a3=3a

8b6=2b2

Productos

3(3a)2(2b2)=54a2b2

3(3a)(2b2)2=36ab2

Resultado

(3a-2b2)3

8.- SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS: La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores, el primero es la suma de sus raíces cúbicas, y el segundo se compone del cuadrado de la primera raíz menos el producto de ambas raíces más el cuadrado de la segunda raíz. La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores, el primero es la diferencia de sus raíces cúbicas, y el segundo se compone del cuadrado de la primera raíz más el producto de ambas raíces mas el cuadrado de la segunda raíz. Factorizar

27a3-8b6

Raíces

27a3=3ª

Productos

(3a)2=9a2

Resultado

(3a-2b2)(9a2+6ab2+4b4)

8b6=2b2 (3a)(2b2)=6ab2

(2b2)2=4b4

9.- SUMA O DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALES: Siempre son dos términos sumados o restados que tienen raíz quinta, séptima u otra raíz impar. 1.

Clasificar la expresión en positiva o negativa, y en par o impar (si son positivas y

pares no se pueden realizar por este método). 2.

Se sacan las raíces de cada término.

3.

Se coloca el primer factor el cual es un binomio cuyo primer término es la raíz del

primer término dado y el segundo término es la raíz del segundo término dado. 4.

El signo del primer factor (binomio) será el mismo que tiene la expresión dada.

5.

Se crea el segundo factor (un factor polinomio) en el cual existirá un número de

términos igual al exponente de la expresión dada (los siguientes pasos son solo para el segundo factor). 6.

En cada término se multiplicara el término de la izquierda por el término de la

derecha de la expresión dada

7.

En el primer término del factor polinomio el factor de la izquierda tendrá un

exponente igual a “n – 1”, y el factor derecho tendrá un exponente de cero. 8.

Para los exponentes de los siguientes términos, en el caso del factor de la

izquierda irán disminuyendo en una unidad, y los del término de la derecha irán aumentando también en una unidad (si se suman los exponentes de los dos términos siempre será igual a n-1). 9.

Si el binomio es negativo todos los términos del polinomio son positivos, si el

binomio es positivo impar los signos del polinomio se alternarán (+ ó –) comenzando por el “+”. 10.

Cuando en el polinomio, el exponente del término de la derecha sea igual a n-1

damos por terminada la respuesta. Si es la diferencia Clasificación

m8-n8

Raíces

raíz 8

Binomio

(m-n)

expresión negativa par. m8=m

n8=n

Polinomio

[(m)7(n)0(m)6(n)1(m)5(n)2(m)4(n)3(m)3(n)4(m)2(n)5(m)1(n)6(m)0(n)7]

Signos

[m7+m6n+m5n2+m4n3+m3n4+m2n5+mn6+n7]

Respuesta

(m-n)(m7+m6n+m5n2+m4n3+m3n4+m2n5+mn6+n7)

10.- TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN: Se identifica por tener tres términos, hay una literal con exponente al cuadrado y uno de ellos es el término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado el término independiente y sumados (pudiendo ser números negativos) den como resultado el término del medio.

Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción, se completan cuadrados y se factoriza la expresión, primero como un trinomio cuadrado perfecto y después, como una diferencia de cuadrados. Factorizar

x4 + 3x2 + 4

Raíces

x 4 = x2

4=2

Doble producto de la primera raíz por la segunda: 2(x 2 )(2)= 4x2 El trinomio x4 + 3x2 + 4 no es trinomio cuadrado perfecto, entonces: X4 + 3x2 + 4 = x4 + 3x2 + 4 + x2

- x2

Se suma y se resta x2

=(x4 + 4x2 + 4) – x2

Se asocia convenientemente

=(x2 + 2)2 – x2

Se factoriza el trinomio cuadrado perfecto

=[(x2 + 2) - x] [(x2 + 2) - x]

Se factoriza la diferencia de cuadrados

=(x2 + 2 + x) (x2 + 2 - x)

Se eliminan signos de agrupación

=(x2 + x+ 2) (x2 - x + 2)

Se ordenan los términos de cada factor.

Entonces: x4 + 3x2 + 4 = (x2 - x+ 2) (x2 - x + 2)

6.- Factoriza los siguientes polinomios aplicando el método que corresponda: EJERCICIO 1.

4x4-12x3+20x2

Solución por factor común: = 2x2(2x2-6x+10)

EJERCICIO 2.

X2+20x+100

Solución trinomio de la forma x2+bx+c = (x )(x ) = (x+ )(x+ ) = (x+10)(x+10) EJERCICIO 3.

16m2-48m+36

Solución trinomio de la forma ax2+bx+c = 16(16m2-48m+36) 16 = 256m2-48(16m)+576 16 = (16m)2-48(16m)+576 16 = (16m-24)(16m-24) 16 = 8(2m-3)2(8m-12) 16 =(2m-3)(8m-12)

CIBERGRAFÍA: http://www.aulafacil.com/cursos/l10826/ciencia/matematicas/numerosdecimales/clases-de-numeros-naturales-enteros-racionales-irracionales-realesimaginarios-y-complejos

https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_racional

https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primo

https://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/fracciones_mi gv/impropia.htm

http://www.aulafacil.com/cursos/l10953/ciencia/matematicas/algebra/trinomiocuadrado-de-la-forma-ax2-bx-c

http://tiposdefactoreo.blogspot.mx/