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• Gersain Castañeda

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Métodos cuantitativos CB0245 Profesora: Paula Escudero Taller Simulación

1. Considere la operación de un banco con una sola taquilla, donde los clientes llegan al banco entre 1 y 5 minutos (con valores enteros igualmente espaciados). Los clientes son atendidos entre 1 y 4 minutos (también con valores enteros igualmente espaciados). El objetivo es simular la operación del banco hasta la llegada del cliente 5. Suponga que los tiempos entre llegadas y los tiempos de servicio de los primeros 5 clientes se presentan en las siguientes tablas:

Cliente 1 2 3 4 5

Tiempo entre llegadas (minutos) 1 3 1 4

Cliente 1 2 3 4 5

Tiempo de servicio (minutos) 2 1 3 2 1

a) Realice una simulación por intervalos de 1 minuto para la atención de los 5 clientes. Calcule el tiempo promedio en cola de todos los clientes y el porcentaje de ocio de la taquilla. b) Realice una simulación eventos para la atención de los 5 clientes. Calcule el tiempo promedio en cola de todos los clientes y el porcentaje de ocio de la taquilla. c) ¿Cuál tipo de mecanismo de avance del tiempo de la simulación es más eficiente para simular este problema? Explique. 2. Use el método congruencial para generar la sucesión de números aleatorios (entre 0 y 1) que se pueden generar con los siguientes parámetros: a) X0= 4, a=5, b= 7, M=8 Recuerde que:

xn  [(axn1  b)

Módulo M ] ,

Rn 

xn M

3. Use el método congruencial para generar una secuencia de 5 números aleatorios (entre 0 y 1) considerando: a) X0= 15, a=38, b= 36, M=1000. b) X0= 35, a=13, b= 65, M=100. 4. Utilice los números aleatorios uniformes de la siguiente tabla para generar seis observaciones aleatorias de las siguientes situaciones: a) El lanzamiento de una moneda no cargada. b) Un pitcher de beisbol que lanza un strike 60% de las veces y una bola 40% de las veces. c) El color de la luz del semáforo que encuentra un automóvil que llega al azar, si 40% del tiempo está en verde, 10% en amarillo y 50% en rojo.

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i 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Números Aleatorios (Ri) 0.1046 0.5069 0.5891 0.6612 0.6860 0.8605 0.3246 0.4980 0.2996

i 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Números Aleatorios (Ri) 0.9429 0.2900 0.4938 0.4140 0.3507 0.6798 0.8709 0.3633 0.6556

5. El clima se puede considerar un sistema estocástico, porque evoluciona de una manera probabilística de un día para otro. Suponga que en cierto lugar este comportamiento probabilístico satisface la siguiente descripción: La probabilidad de lluvia para mañana es de 0.6 si hoy llueve. La probabilidad de un día despejado (sin lluvia) para mañana es de 0.8 si hoy está despejado. a) Genere 10 números aleatorios con la calculadora para simular el comportamiento del clima durante 10 días; comience con un día que sigue a uno despejado.

6.

Un juego de dados requiere que el jugador lance dos dados una o más veces hasta que se llegue a una decisión de si pierde o gana. Gana si la primera tirada suma 7 u 11, o alternativamente si la primera suma es 4, 5, 6, 8, 9 o 10 y sale la misma suma antes de que aparezca una suma de 7. Por el contrario, pierde si el resultado de la primera tirada suma 2, 3 o 12, o si la primera suma es 4, 5, 6, 8, 9 o 10 y aparece una suma de 7 antes de que la primera suma vuelva a salir. a)

Simule 5 juegos completos y calcule el número de veces que ganó y el número de veces que perdió. Use los números de la calculadora (uniformes entre 0 y 1) para generar los resultados del lanzamiento de los dados.

7. Utilice el método de la transformada inversa para generar 5 observaciones de cada una las siguientes distribuciones de probabilidad (Genere 10 números aleatorios con la calculadora para generar las observaciones requeridas): a)

b)

8.

f x ( x)  aX 1 4  f x ( x)   3  4

0 x3 Si 0  x  1 Si 1  x  2

Utilice el método del rechazo para generar 5 observaciones de las siguientes distribuciones (Genere 10 números aleatorios con la calculadora para generar las observaciones requeridas): 2 de 7

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9.

a)

f x ( x)  aX

b)

f(x)  3x 2 para 0  x  1

0 x3

Ana López, gerente de Supermercados XZ, cree que sus niveles de inventario de estufas son más altos de lo necesario. Antes de corregir la política de inventarios, registra la cantidad vendida de cada día por un período de 25 días, así: Cantidad Vendida

2

3

4

5

6

Número de días

4

7

8

5

1

a) Use los datos para estimar la distribución de probabilidad de las ventas diarias. b) Calcule la media de la distribución hallada. c) Simule las ventas diarias durante 5 días y obtenga el promedio de ventas. d) Si la cantidad de producción diaria está entre 1 y 10 unidades con valores igualmente probables, y se tiene un inventario inicial de 4 en el primer día, Determine el nivel de inventario diario de Supermercados XZ. e) ¿Qué le recomienda a Ana López para corregir la política de inventarios? Nota: Genere los números aleatorios necesarios usando la calculadora.

10. Al taller Metalco llegan trabajos de acuerdo con una distribución de Poisson, con una media de 6 trabajos por día. El taller incluye cinco centros de maquinaria a los que el supervisor asigna los trabajos recibidos. a) Simule la hora de llegada para los primeros 5 trabajos al primer centro de maquinaria. Calcule con base en los resultados de la simulación, el tiempo promedio entre llegadas

11. Considere el siguiente problema que enfrenta Freddie . Uno de los periódicos que vende en su puesto es el Financial Journal. Cada mañana, un distribuidor entrega al puesto los ejemplares diarios del periódico. Cada ejemplar que no se vende durante el día se devuelve al distribuidor la siguiente mañana. Sin embargo, para estimular la compra de un número grande de ejemplares, el distribuidor da a Freddie un pequeño reembolso por los ejemplares no vendidos. A continuación se presentan los costos de Freddie. Freddie paga $1.50 por ejemplar entregado. Freddie lo vende en $2.50. Freddie recibe un reembolso de $0.50 por cada uno que no vende. En parte por el reembolso, Freddie siempre ha pedido un suministro grande. Sin embargo, está preocupado pues paga mucho por los ejemplares que tiene que devolver por no haber sido vendidos, en particular porque esto ha sucedido casi a diario. Él piensa que sería mejor ordenar sólo un número mínimo de ejemplares y ahorrarse este costo extra. Para investigar esta situación más a fondo, ha recopilado el siguiente registro de sus ventas diarias. Freddie vende cualquier cantidad entre 40 y 70 ejemplares en cualquier día de la semana. La frecuencia de las cantidades entre 40 y 70 es aproximadamente la misma. a) Realice una simulación de este problema por 10 días para ofrecerle a Freddie una herramienta que le ayude a determinar el número de ejemplares que debe ordenar al distribuidor por día. Su objetivo es maximizar la ganancia diaria promedio.

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12. El precio promedio mensual de venta en ($/kWh) de la energía en la Bolsa entre enero de 1996 y enero de 2003, se puede resumir en la siguiente tabla, donde usted puede observar la frecuencia con la que el precio de bolsa estuvo entre un valor Xi y Xs. Xi ($/kWh) 7.5 30.5 50.5 79,9

XS ($/kWh) 30.5 50.5 79,9 150,5

Frecuencia Observada (fi) 12 8 4 8

El precio promedio mensual de venta de energía por medio de contratos se distribuye normalmente con un valor promedio de 43.86 ($/kWh), y una desviación estándar de 11.50 (($/kWh)). La demanda de energía para el siguiente mes es de 3000 kWh y se espera que la demanda anual de energía se incremente en un 3.5%. Usted es un contratista que desea negociar la energía, y espera atender toda la demanda de energía, y su estrategia es comprar la energía en la bolsa, y venderla a su cliente al precio de los contratos. a) Realice una simulación por 10 meses y calcule la utilidad promedio mensual de su venta y calcule la utilidad acumulada durante el año.

13. La Rustbelt Manufacturing Company emplea una cuadrilla de mantenimiento para reparar las máquinas cuando se necesita. La gerencia desea realizar un estudio de simulación para analizar cuál debe ser el tamaño de la cuadrilla, donde los tamaños posibles son 2, 3 y 4. El tiempo que requiere la cuadrilla para reparar una máquina tiene distribución uniforme entre 0 y el doble de la media, donde la media depende del tamaño de la cuadrilla. Esta media es de 4 horas con 2 personas, 3 con 3 personas y 2 con 4. El tiempo entre descomposturas tiene distribución exponencial con media de 5 horas. La administración quiere que cuando se descomponga una máquina, su tiempo de espera promedio antes de iniciar la reparación no sea mayor de 3 horas. También desea que el tamaño de la cuadrilla no sea más grande del necesario para lograr este objetivo. Identifique el modelo de simulación al menos un componente en cada una de las siguientes categorías: a) Sistema b) Entidades c) Recursos d) Atributos e) Actividades f)

Eventos

g) Variables exógenas h) Variables endógenas i)

Variables de estado

14. Cierta compañía produce monitores e impresoras para computadores. En el pasado, solo algunos se inspeccionaban por muestreo; pero el nuevo plan es que todos se inspeccionan antes de salir. Con este plan, los monitores e impresoras se traerán a la estación de inspección uno a la vez cuando estén terminados. Para los monitores, el tiempo entre llegadas es uniforme entre 10 y 20 minutos. Para las impresoras el tiempo entre llegadas es 4 de 7

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constante de 15 minutos. La estación de inspección tiene dos inspectores. Uno trabaja solo con monitores y el otro sólo con impresoras. El inspector de monitores inspecciona en promedio 6 monitores por hora, según una distribución Poisson (es decir que el tiempo de inspección de un monitor se distribuye exponencialmente1). El tiempo de inspección de las impresoras se distribuye de la siguiente forma: Tiempo de inspección de las impresoras (minutos)

Probabilidad

5 - 10

0.3

10 - 15 15 - 20

0.6 0.1

Suponga que: i. ii. iii.

la empresa trabaja 24 horas al día. al comienzo de la simulación no hay ningún producto esperando por inspección. el primer monitor llega 10 minutos después de empezar la simulación y que el segundo monitor llega 15 minutos después del primero. La duración de la simulación será el tiempo en que termine la inspección del último producto.

iv.

Recuerde que: Ri se distribuye uniformemente entre 0 y 1. El generador de observaciones de variables aleatorias exponenciales es: El generador de observaciones de variables aleatorias uniformes es:

xi    ln( Ri ) .

xi  a  (b  a) * Ri . 2

Nota: Redondee todas las observaciones simuladas a UNA CIFRA DECIMAL . a) Simule la llegada a la estación de inspección de los 5 MONITORES que llegan después del segundo monitor y complete la siguiente tabla. Nota: Use SOLAMENTE los números aleatorios presentados en la tabla: Tiempo entre llegadas (minutos)

Tiempo de simulación en el que ocurre la llegada (minutos)

Monitor No:

Número Aleatorio (Ri)

Tipo de producto

1

-

Monitor

2

-

Monitor

3

0.0300

Monitor

4

0.4764

Monitor

5

0.6221

Monitor

6

0.3568

Monitor

7

0.0307

Monitor

1

Recuerde que la distribución de Poisson describe el número de eventos por unidad de tiempo (con parámetro , donde  representa el número promedio de eventos que ocurren por unidad de tiempo). La distribución exponencial representa el tiempo que transcurre entre dos eventos sucesivos (con parámetro = 1/). 2

Es decir, si el dígito a la derecha del último requerido es menor que 5, se deja el dígito precedente intacto, de lo contrario se aumenta una unidad al dígito precedente). 5 de 7

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b) simule el tiempo de inspección de los

monitores, usando SOLAMENTE los números

aleatorios de la siguiente tabla : Monitor No:

Número Aleatorio (Ri)

Tiempo de atención (minutos)

1

0.0603

Monitor

2

0.2292

Monitor

3

0.5765

Monitor

4

0.9443

Monitor

5

0.1407

Monitor

6

0.3069

Monitor

7

0.9395

Monitor

Tipo de producto

c) Simule el tiempo de inspección de las impresoras, usando SOLAMENTE los números aleatorios de la siguiente tabla : Número Aleatorio Impresora para seleccionar el Tiempo de inspección No: intervalo (minutos) (R_Intervaloi)

Tipo de producto

1

0.3905

Impresora

2

0.0641

Impresora

3

0.8911

Impresora

4

0.6629

Impresora

5

0.5151

Impresora

6

0.2297

Impresora

7

0.9541

Impresora

d) Realice una simulación del proceso completo de inspección de los monitores. Para hacer esto complete la siguiente tabla:

Monitor No:

Tiempo en el que llega (minutos)

Tiempo de inspección (minutos)

Comienzo de servicio (minutos)

Terminación de servicio (minutos)

Tiempo total en el sistema

Tiempo de ocio de inspector

Tiempo de espera del monitor

1 2 3 4 5 6 7 6 de 7

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e) El tiempo promedio de espera de un monitor para ser inspeccionado (calcule el promedio considerando todos los 7 monitores): f)

El tiempo promedio en el sistema (desde que llega hasta que termina el servicio) de un monitor:

g) El porcentaje de ocupación del inspector de monitores (suponga que la simulación acaba cuando el último auto alemán termina el servicio) 15. El tiempo entre las llegadas de las órdenes de producción a una empresa, se distribuyen normalmente con una media de 3 horas y una desviación estándar de 20 minutos, hay tres tipos diferentes de órdenes que llegan a la empresa, la orden 1 tiene una probabilidad del 50%, la orden 2 del 20% y la orden 3 del 30%. Estas órdenes son diferentes en cuánto a su contenido, por lo tanto el tiempo de procesamiento no es igual para todas las órdenes. En la siguiente tabla se da la información necesaria para los tiempos de procesamiento de cada orden. ORDEN

Distribución del tiempo de procesamiento

Parámetros

1

Exponencial

= 1/3 ordenes/hora

2

Uniforme

a= 2.5 Horas ; b= 4.5 Horas

3

Empírica

Pi =Probabilidad

Tiempo de Procesamiento (minutos)

Probabilidad

120 - 160

0.25

160-B200

0.45

200-240

0.30

a. Simule la llegada de 5 órdenes de producción (Genere las observaciones necesarias, a partir del método de generación que mejor se ajuste a las condiciones de cada variable). b. ¿Qué problemas se pueden estar presentando en este sistema? c. ¿Cuál es el promedio que espera una orden para ser procesada? d. ¿Cuál es el porcentaje de ocupación de cada puesto de trabajo?

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