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• Mauriseth Miranda

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Universidad Tecnológica de Panamá Sede Regional de Chiriquí Facultad Industrial

Carrera: Ingeniería Industrial

Semestre: I Año cursado: II

Integrantes: Mauriseth Miranda

4-798-1324

Milagros Hazilh Ortíz

4-794-561

Karla Patricia Espinosa

4-794-720

Asignatura: Ecuaciones Diferenciales

Taller 1: Conceptos Preliminares acerca de Ecuaciones Diferenciales

Facilitadora: Rosemary Guevara

Grupo: 2II121

Código de la Asignatura: 0709

Fecha de Entrega: 29 de marzo del 2017

Objetivo del Taller

El objetivo de este taller es poner en práctica los conocimientos teóricos previamente adquiridos en el aula de clases, mediante la identificación de los tipos de ecuaciones diferenciales y la resolución de los mismos.

Introducción

En siguiente taller denominado, Conceptos Preliminares acerca de Ecuaciones Diferenciales, se presentará la solución de una serie de problemas que van aumentando su complejidad a media que se avanza. Los tópicos de los problemas van desde identificar qué tipo de ecuación diferencial corresponde a cada problema, resolver problemas de ecuaciones diferenciales de primer orden con conocimientos previos hasta problemas de valor inicial.

Contenido teórico

Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes, con respecto a una o más variables independientes. Se clasifican según su tipo, orden y linealidad. Según su tipo: -Ecuación diferencial ordinaria (EDO): la ecuación contiene solo derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente. Ejemplo: dy +6 y =e x dx

-Ecuación diferencial parcial (EDP): la ecuación contiene derivadas parciales de una o más variables dependientes de dos o más variables independientes. Ejemplo: ∂u −dv = ∂ y dx Según su orden: El orden de una ecuación diferencial es el orden de la mayor derivada en la ecuación. Por ejemplo: Segundo order

d2 y dy 3 x + 7( ) −7 y =e 2 dx dx primer orden

Según su linealidad: Una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal si F es lineal en y , y ' … . y (n) . Ejemplos: 1.

( y−x ) dx+ 4 xdy=0

n

'

2.

y −2 y + y=0

3.

d3 y dy + x −5 y=e x 3 dx d x

Condiciones para que una ecuación diferencial sea lineal: Revisar si las incógnitas son de primer de grado. Los coeficientes son funciones exclusivas de las variables independientes. Es necesario definir los siguientes conceptos para tener un mejor manejo y compresión a la hora de la resolución de problemas. Solución de ecuaciones diferenciales: Es una función que al reemplazarla a ella o a sus derivadas en la ecuación, satisface la igualdad. Podemos distinguir dos clases de soluciones, atendiendo a las clases de funciones, es decir, soluciones explícitas e implícitas. Soluciones Explícitas: las operaciones a realizar con la variable independiente están indicadas y dan como resultado el valor de la variable dependiente. Soluciones Implícitas: son aquellas en que las variables dependientes e independientes están mezcladas. Solución General: es aquella que contiene parámetros arbitrarios, se llama ecuación de una familia de curvas y por consiguiente gráficamente representa un conjunto de curvas definidas por la familia. Solución Particular: se obtiene de la solución general cuando se asignan valores a los parámetros arbitrarios. Gráficamente representa un miembro de la familia de curvas. *Esta solución solo se consigue mediante las condiciones de borde o de frontera. Condición de Borde: son valores conocidos o puntuales de las incógnitas que estamos buscando. Problema de valores iniciales de primer y segundo orden (1) Resolver:

dn y =f (x , y , y ´ , … , y (n−1 )) n dx

x ´ (¿¿ 0)= y 1 , … , y (n−1 ) ( x 0 )= y n −1 y ( x 0 )= y 0 , y ¿

Sujeto a:

Este problema también puede ser llamado problema con valores iniciales de nésimo orden. Por ejemplo, dy =f (x , y) dx

(2) Resolver:

y ( x0 ) = y 0

Sujeto a:

Resolver:

Sujeto a:

d2 y =f ( x , y , y ´ ) d2 x y ( x0 ) = y 0 , y ´ ( x 0 )= y 1

Son problemas con valores iniciales de primer y segundo orden, respectivamente. Las palabras condiciones iniciales surgen de los sistemas físicos donde la variable independiente es el tiempo t y donde

y ( t0 ) = y 0 y y ´ ( t0 ) = y 1

representan la

posición y la velocidad respectivamente de un objeto al comienzo o al tiempo inicial t 0 . Con frecuencia, resolver un problema con valores iniciales de n-ésimo orden tal como (1) implica determinar primero una familia n-paramétrica de soluciones de la ecuación diferencial dada y después usando las n condiciones iniciales en x 0 determinar los valores numéricos de las n constantes en la familia. La solución particular resultante está definida en algún intervalo I que contiene al punto inicial x0 . Existencia y Unicidad Al considerar un problema con valores iniciales surgen dos importantes preguntas: ¿Existe la solución del problema?

Si existe la solución, ¿es única? Para el problema con valores iniciales de la ecuación (2) pedimos: Existencia: ¿La ecuación diferencial

dy =f (x , y) dx

tiene soluciones?

¿Alguna de las curvas de la solución que pasa por el punto

( x0, y0) ?

Unicidad: ¿Cuándo podemos estar seguros de que hay precisamente una curva solución que pasa a través del punto (x 0 , y 0 ) ?

Actividades

1. Clasifique cada ecuación diferencial según el tipo, el orden y la linealidad. 

( 1−x ) y' ' −4 x y ' +5 y=cosx

Solución: es una ecuación diferencial lineal ordinaria de segundo orden. 

d3 y dy 4 x 3 −2 + y=0 dx dx

( )

Solución: es una ecuación diferencial no lineal ordinaria de tercer orden.



d 2 R −k = d t 2 R2

Solución:

d2 R k + 2 2 dt R

Es una ecuación diferencial no lineal ordinaria de segundo orden. 

( senθ ) y ' ' ' −( cosθ ) y ' =2

Solución: es una ecuación diferencial lineal ordinaria de tercer orden y lineal. 

( y 2−1 ) dx +xdy=0; en x x

Solución:

dy − y 2=−1 dx

Es una ecuación diferencial no lineal ordinaria de primer orden.

1.1 Determine si las funciones dadas son solución de las ecuaciones 

'

2 y + y =0 ; y=e

−x 2

Solución: y=e−x/2 −1 y= e 2 '

−x 2

2 y' + y =0 −x

−x

−e 2 + e 2 =0 0=0



dy 6 6 −20t +20 y=24 ; t= − e dt 5 5 Solución: dy =24 e−20t dt 24 e−20 t +20

( 65 − 65 e )=24 −20 t

24 e−20 t +24−24 e−20 t=24 24=24 

''

'

3x

y −6 y +13 y=0; y=e cos 2 x Solución:

y ' =3 e 3 x cos 2 x−2 e 3 x sen 2 x y ' ' =9 e3 x cos 2 x−6 e 3 x sen 2 x−6 e 3 x sen 2 x−4 e 3 x cos 2 x y '' =5 e3 x cos 2 x−12 e3 x sen 2 x 5 e3 x cos 2 x−12 e 3 x sen 2 x−18 e3 x cos 2 x +12 e3 x sen 2 x +13 e3 x cos 2 x=0 0=0

y '' + y=tanx ; y =−( cosx ) ln ⁡( secx+tanx)



Solución: y ' =−1+ senxln( secx+tanx) ''

y =tanx+cosxln (secx+tanx ) tanx+cosxln ( secx+ tanx )−cosx ln ( secx+tanx )=tanx tanx=tanx y ' =25+ y 2 ; y=5 tan 5 x



Solución: y ' =25 sec 2 5 x 25 sec 2 5 x −25−(5 tan 5 x)2=0 25 ( tan 2 5 x+1 ) −25−25 tan 2 5 x=0 25 tan 2 5 x+25−25−25 tan 2 5 x=0 0=0 2. Desarrolle los problemas. 

¿Qué función conoce de cálculo tal que su primera derivada sea ella misma? ¿Qué su primera derivada sea un múltiplo constante k de ella misma? Escriba cada respuesta en la forma de una ecuación diferencial de primer orden con una solución.

Solución: 

y ( x )=e x

dy=e x dx dy x =e dx

y ( x )=e



kx

dy=k e kx dx dy =k e kx dx



¿Qué función (o funciones) conoce de cálculo tal que su segunda derivada sea ella misma? ¿Qué su segunda derivada sea el negativo de ella misma? Escriba cada respuesta en la forma de una ecuación deferencial de segundo orden con una solución.

Solución: 

y ( x)=se n x

dy=cosxdx

dy =cosx dx 

2

d y =−senx d x

2

d2 y =−senx d x2 3. Anote e interprete el Teorema de Existencia y Unicidad de las ecuaciones deferenciales lineales de primer orden y determine una región de la región del plano donde la ecuación diferencial dada tenga una solución única en torno al punto indicado.

El Teorema de la Existencia y Unicidad habla acerca de que si existe en la función f ( x , y ) una solución definida en algún intervalo abierto I que contiene el punto

x=x 0

(Existencia), si además

df dx

es continua en el

rectángulo entonces la solución única (Unicidad) en algún intervalo I0 ∁ I ¿

que contenga el punto

x 0=x .

I0

(

dy 2/ 3 =y dx



Solución:

PVI

{

dy = y 2 /3 dx (x0 , y 0 )

f ( x , y )= y

2 3

∂f 2 = ∂ x 3 y1 /3 Se puede decir que la función

f (x , y ) al tener una solución se cumple la

existencia, y además ya en el semiplano y >0 o y 0, o bien , x ≤ 0 e y