• Author / Uploaded
• diegoman10

• Categories
• Ligero
• Altoparlante
• Sonido
• Difracción
• Frecuencia

Citation preview

Taller Interferencia y Difracción 1. Dos rendijas separadas por una distancia de 1mm se iluminan con luz roja de onda 6.5 x10-7 m. Las franjas de interferencia se observan sobre una pantalla colocada a 1m de las rejillas. a) Hallar la distancia entre las dos franjas oscuras. b) Determinar las distancia de la tercera franja oscura y de la quinta franja brillante, a partir de la franja central. 2. (Solución al final) Dos altavoces, A y B, son alimentados por el mismo amplificador y emiten ondas sinusoidales en fase. B está a 2.00 m a la derecha de A. La rapidez del sonido en el aire es 344 ms-1. Considere un punto Q situado a lo largo de la línea que une los altavoces, a 1.00 m a la derecha de B. Ambos altavoces emiten ondas sonoras que viajan directamente desde el altavoz a Q. a) ¿Para qué frecuencias audibles (20 – 20 000 Hz) ocurrirá interferencia constructiva? b) ¿Destructiva? A

B

Q

2.0m

3. (Solución al final) Una antena en la orilla de un lago (ver figura) recoge una señal de longitud de onda λ, de una estrella. Halle una expresión para el desfasaje en la antena entre la señal que llega directamente de la estrella y la que se refleja directamente en el lago, ¿cuándo se detecta el primer máximo?. Tenga en cuenta que el ángulo de incidencia y el de reflexión es el mismo y que hay un desfase de π por reflexión. Respuesta:

1.0m

d/2 β

πd −1 (1 − cos 2 β ) + π . , ⇒ β = sen (λ / 2d ) λsenβ 4. (Solución al final) Se hace pasar luz coherente de una lámpara de vapor de sodio a través de un filtro que impide el paso de todo salvo luz de una sola longitud de onda. En seguida, la luz ilumina dos ranuras separadas por una distancia de 0.460 mm. En el patrón de interferencia resultante que se observa en una pantalla a 2.20 m de distancia, las franjas que adyacentes presentan una separación de 2.82mm ¿cuál es la longitud de onda? δ = k (r2 − r1 ) + d . p.r = k (difrerencia de caminos) + d . p.r =

5. (Solución al final) En un patrón de interferencia de dos ranuras, la intensidad en la cima del máximo central es I0 a) En un punto donde la diferencia de fase entre las ondas provenientes de las dos ranuras es de 600 ¿cuál es la intensidad?

b) Cuál es la diferencia de caminos de la luz de 480 nm provenientes de las dos ranuras en un punto donde el ángulo de fase es de 60.00? 6. (Solución al final) Dos altavoces idénticos, conectados al mismo amplificador producen ondas sonoras monocromáticas con una frecuencia que se puede variar entre 300 y 600 Hz. La rapidez del sonido es de 340m/s. Usted advierte que, en el punto donde se encuentra, intensidad del sonido que se escucha es mínima. a) Explique por qué b) Si se desplaza uno de los altavoces 39.8 cm hacia usted, el sonido que se escucha tiene una intensidad máxima. ¿Cuál es la frecuencia del sonido? c) Respecto a la posición señalada en el inciso b) ¿Cuánto más se debe acercar el altavoz a usted para alcanzar la siguiente posición donde se escucha la máxima intensidad de sonido. 7. (Solución al final) Considere un experimento de interferencia de dos ranuras en el que éstas son de diferente anchura. Medida en una pantalla distante, la amplitud de la onda proveniente de la primera ranura en E en tanto que la proveniente de la segunda ranura es 2E. a) Demuestre que en un punto cualquiera del patrón de interferencia la intensidad es 5 4  I = I 0  + cos δ  donde δ es la diferencia de fase entre las dos ranuras medida en un punto 9 9 

específico de la pantalla, e I0 es la intensidad máxima del patrón 8. Un diagrama de interferencia de dos rendijas falta el tercer máximo principal porque el mismo coincide con el primer mínimo de difracción. (a) Hallar el cociente a/b. (b) Representar la distribución de intensidad abarcando varios máximos a cada lado del máximo central. (c) hacer un esquema sombreado de las franjas, tal como aparecerían sobre la pantalla. 9. Una luz monocromática de 441 nm de longitud de onda incide sobre una rendija angosta. En una pantalla que esté alejada a 2.16 m, la distancia entre el segundo mínimo y el máximo central es de 1.62 cm a) Calcule el ángulo de difracción θ del segundo mínimo b) Halle la anchura de la rendija. 10. Una sola rendija está iluminada por luz cuyas longitudes de onda son λa y λb elegidas de modo que el primer mínimo de difracción de la componente λa coincide con el segundo mínimo de la componente λb I/I0 a) ¿Qué relación existe entre las dos longitudes de onda? b) ¿Coinciden cualesquier otros mínimos en los dos patrones? 11. De acuerdo con el esquema de intensidades mostrado en la gráfica indique el número de fuentes iluminada en cada caso.

-1

0

1

2

1

2

I/I0

12. Para a=2b cuantas franjas de interferencia se encuentran en la envolvente central de difracción? (R/ 3) -1

a b

b

0

13. Un deposito a la orilla de un rio tiene dos puertas abiertas un bote el rio suena su bocina para una persona ubicada en A el sonido es intenso y claro, para otra persona en B el sonido es apenas audible, la longitud de onda 3m, considerar que B está en el primer mínimo de interferencia. Determinar la distancia entre las puertas.

B 20 m A

150 m 14. Rayos paralelos de luz verde de mercurio, cuya longitud de onda es 5.6 x 10-7 m, pasan a través de una rejilla de 0.4 mm de ancho si se pone una pantalla de observación a una distancia de 3 m a) ¿cuál es la distancia entre el máximo central y el primer mínimo? b) Muestre que el máximo central de difracción mide el doble de cualquiera de los otros máximos

15. Se ilumina una rejilla con luz de longitud de onda 5000 Å. En la figura se grafica el patrón de difracción que se observa a 1m de la rejilla. La separación entre rendijas contiguas es 0.1 mm. Tomando información de la figura calcule: (justifique la respuesta en cada caso). a) El número de fuentes de la rejilla. b) El ancho de cada rendija. c) Qué máximos principales de interferencia coinciden exactamente con los mínimos de difracción. d) El ancho, en mm, del máximo central.

I

-1

-2

-7

-6

-5

-4

2

1

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

(a senθ)/λ

16. Luz coherente monocromática de amplitud E0 y frecuencia angular ω pasa a través de tres rendijas paralelas separadas cada una distancia “a” de su vecina. Demuestre que la intensidad promedio

  2πa sen θ en el tiempo como función del ángulo θ es: I (θ ) ∝ E 1 + 2 cos λ   2 0

fuentes nosotros hallamos que E T = E 0

sen( N

2

  (ayuda: para N 

δ

) 2 , con δ = 2πa sen θ ) δ λ sen 2

17. Estudie la distribución angular de la intensidad en los siguientes casos (es decir halle los valores de θ para los cuales la intensidad es máxima y mínima): a) Tres fuentes idénticas separadas una cantidad a =

λ 2

b) Cinco fuentes idénticas separadas una cantidad a = b) Siete fuentes idénticas separadas una cantidad a =

λ

λ 2

3

18. Un dispositivo de 3 rendijas se ilumina con luz de longitud de onda λ. La separación entre rendijas consecutivas es 1.5 veces el ancho de una de ellas. a) Haga un gráfico de para la intensidad del patrón que se observa en una pantalla lejana, hasta el tercer mínimo de difracción a lado y lado de θ = 0 b) Halle la intensidad del primer máximo secundario después de θ = 0 en función de I 0 únicamente

19. En el dibujo se ilustra un dispositivo de 3 rendijas iguales y uniformemente espaciadas. Las rendijas son iluminadas con un láser de longitud de onda λ y se observa el patrón de Fraunhofer (campo lejano). 1.5mm

a) ¿Cuántos máximos principales de interferencia serán visibles dentro del máximo central de difracción? b) Haga un dibujo donde muestre la distribución de intensidades en función de los máximos o de θ 20. (Solución al final) En la gráfica se muestra la intensidad del patrón de difracción registrado en una pantalla ubicada a 1,5 m de una rendija. El patrón es generado al pasar luz que contenía dos longitudes de onda diferentes. (Nota: En la gráfica se presenta I / I 0 versus x (cm ) ).

0.1mm

a) Si la longitud de onda 2 es I / Io de 400 nm calcular la 1 longitud de onda 1. Lambda 1 Asumir que el primer Lambda 2 mínimo de difracción de la onda 1 coincide con el segundo mínimo de difracción de la onda 2. b) Calcular el ancho de la 0 abertura, tomar -40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 x(cm) información aproximada del gráfico. c) Calcular el valor de I / I 0 para cada una de las longitudes de onda en la pantalla para un punto a 3 cm del punto x = 0 cm . 21. (Solución al final) En un dispositivo de 6 ranuras la separación de dos ranuras contiguas es 4 veces el ancho de una de ellas. Si la separación de dos ranuras contiguas es de 0.12 mm y en una pantalla de observación colocada a 2 m se observa que el primer máximo de interferencia se encuentra a 10 mm del máximo central: a) Determinar la longitud de onda con la cual se ilumina el dispositivo. b) Realizar una gráfica donde se ilustre el patrón de intensidades que se observa en la pantalla (debe nombrar los ejes, respetar la escala y dibujar al menos dos mínimos de difracción a lado y lado de θ = 0 ) c) ¿Cuántos máximos de interferencia serán visibles dentro del máximo principal de difracción? d) ¿Cuáles máximos principales de interferencia coinciden exactamente con mínimos de difracción? e) Calcular el valor de I / I 0 para el tercer máximo secundario de interferencia después de

θ = 0. 22. Para una doble rendija a) Determinar la separación para que produzca franjas de interferencia separadas 1° sobre una pantalla distante cuando se ilumina con luz de λ=589 nm. b) En problema anterior determinar el ancho de cada una de las dos ranuras si el tercer máximo de interferencia coincide con el primer mínimo de difracción. 23. Una celda solar de silicio (n=3.5) se recubre con una película delgada de monóxido de Silicio (SiO, n=1.45) con el fin de minimizar las perdidas reflectivas en la superficie. Determinar el espesor mínimo de película que produce la menor reflexión para una luz con longitud de onda de 550 nm la cual incide a) de manera normal. R/9.48X10-8 m b) con un ángulo de 45º. R/1.08X10-7 m

24. Una película delgada de índice de refracción n forma una cuña. La película se ilumina en incidencia normal con luz monocromática de longitud de onda λ. a) Muestre que se forman franjas brillantes cuando el espesor está

λ 3λ 5λ

, , , etc. y se forman franjas oscuras cuando 4 n 4n 4n λ 2λ 3λ el espesor está dado por , , , etc. 2 n 2n 2n

dado por

b) Una fuente ancha con luz de longitud de onda λ= 680nm ilumina normalmente a 2 placas de vidrio de 120 mm de longitud que se tocan en un extremo y 120 mm están separadas por un alambre de 0.048 mm de diámetro en el otro extremo ¿Cuántas franjas brillantes se forman en los 120 mm? R/141

0.048 mm

25. Luz de longitud de onda de 585 nm incide normalmente sobre una película jabonosa delgada (n=1.33) suspendida en aire, si la película tiene un espesor de 0.00121 mm, determine si aparece brillante u oscura cuando se observa desde un punto cercano a la fuente de luz.

Recopilado y adaptado por Eugenio Giraldo Tobón (octubre de 2013) Bibliografía: ALZATE, H. (2007). Física de Ondas. Colombia. Ude@. SEARS, F. W. (2009). Física universitaria (12 ed., Vol. 1 y 2). México: Pearson Educación. (530/F537/12ed/v.2). RESNICK, R., HALLIDAY, D., & KRANE, K. S. (2002). Física (4 ed., Vol. 2). México: Continental. (530/R434/V.2/4ed). SERWAY, R. A. (1997). Física.--T.2 (4 ed.). México: McGraw-Hill. (530/S491f/T.1/5ed). Jou Mirabent D., LLebot J., Pérez G. C., Física para las ciencias de la vida (2 ed.). McGraw Hill, 1995, España

Solución a algunos problemas 2. Dos altavoces, A y B, son alimentados por el mismo amplificador y emiten ondas sinusoidales en fase. B está a 2.00m a la derecha de A. La rapidez del sonido en el aire es 344 ms-1. Considere un punto Q situado a lo largo de la línea que une los altavoces, a 1.00 m a la derecha de B. Ambos altavoces emiten ondas sonoras que viajan directamente desde el altavoz a Q. c) ¿Para qué frecuencias audibles (20 – 20 000 Hz) ocurrirá interferencia constructiva? d) ¿Destructiva?

A

B

Q

2.0m

1.0m

344 m / s f Interferencia constructiva r1 − r2 = nλ a)

v=λ f ⇒λ =

344 m / s ⇒ f = 344n ⇒ n = 0,1,.....,58 f 1 b) Interferencia destructiva ( r1 − r2 ) = ( n + )λ ⇒ f = (2 n + 1) * 172 ⇒ n = 0,1,.....,57 2 1m = nλ ⇒ 1m = n

3. Una antena en la orilla de un lago (ver figura) recoge una señal de longitud de onda λ, de una estrella. Halle una expresión para el desfasaje en la antena entre la señal que llega directamente de la estrella y la que se refleja directamente en el lago, ¿cuando se detecta el primer máximo?. Tenga en cuenta que el ángulo de incidencia y el de reflexión es el mismo y que hay un desfase de π por reflexión. Respuesta:

B A

d/2 θ

β 0 O

δ = k (r2 − r1 ) + d . p.r = k (difrerencia de caminos) + d . p.r =

πd λsenβ

−1 (1 − cos 2 β ) + π . , ⇒ β = sen (λ / 2d )

π = 2β + θ + π / 2 ⇒ θ = π / 2 − 2β d /2 senβ = OA senθ = sen(π / 2 − 2 β ) = cos( 2 β ) =

AB OA

d d (1 − senθ ) = (1 − cos 2 β ) 2 senβ 2 senβ d 2π (1 − cos 2 β ) + π ( r1 − r2 ) + d . p.r = δ = λ 2senβ r1 − r2 = OA − OA senθ =

β

δ=

πd (1 − cos 2 β ) + π . λsenβ

Interferencia constructiva si δ =

dπ (1 − cos 2 β ) + π = 2nπ λsenβ

dπ (1 − cos 2 β ) + π = 2π senβ d d ⇒ (1 − cos 2 β + sen 2 β ) = λ ; ⇒ (2 sen 2 β ) = λ ⇒ β = sen −1 (λ / 2d ) senβ senβ

Primer máximo si n=1 δ =

4. Se hace pasar luz coherente de una lámpara de vapor de sodio a través de un filtro que impide el paso de todo salvo luz de una sola longitud de onda. En seguida, la luz ilumina dos ranuras separadas por una distancia de 0.460 mm. En el patrón de interferencia resultante que se observa en una pantalla a 2.20 m de distancia, las franjas que adyacentes presentan una separación de 2.82mm ¿cuál es la longitud de onda?

a = 0.460 mm = 4.6 × 10 −4 m

D = 2.20m , x = 2.82 mm = 2.82 × 10 −3 m x ax ∆xa a senθ = nλ ⇒ a = nλ ⇒ λ = ⇒λ = D Dn ∆nD ⇒ λ = 589,6 nm 5. En un patrón de interferencia de dos ranuras, la intensidad en la cima del máximo central es I0 c) En punto donde la diferencia de fase entre las ondas provenientes de las dos ranuras es de 600 ¿cuál es la intensidad? d) Cuál es la diferencia de caminos de la luz de 480 nm provenientes de las dos ranuras ennun punto donde el ángulo de fase es de 60.00? 2

 3 δ  π /3 2π /3  = 0.75 I 0 a) I = I 0 cos   ⇒ I = I 0 cos 2   ⇒ I = I 0 cos   ⇒ I = I 0   2 2  2   2    2π π 2π λ b) δ = ( r1 − r2 ) ⇒ = ( r1 − r2 ) ⇒ ( r1 − r2 ) = = 8 × 10 −8 m 3 6 λ λ 2

6. Dos altavoces idénticos, conectados al mismo amplificador producen ondas sonoras monocromáticas con una frecuencia que se puede variar entre 300 y 600 Hz. La rapidez del sonido es de 340m/s. Usted advierte que, en el punto donde se encuentra, intensidad del sonido que se escucha es mínima. d) Explique por qué e) Si se desplaza uno de los altavoces 39.8 cm hacia usted, el sonido que se escucha tiene una intensidad máxima. ¿Cuál es la frecuencia del sonido? f) Respecto a la posición señalada en el inciso b) ¿Cuánto más se debe acercar el altavoz a usted para alcanzar la siguiente posición donde se escucha la máxima intensidad de sonido. a) Porque se produce interferencia destructiva b) λ = 0.398 m * 2 = 0.796 m

340m / s = 427 Hz 0.796m c) x = λ = 0.398m * 2 = 0.796m v=λ f ⇒ f =

7. Considere un experimento de interferencia de dos ranuras en el que éstas son de diferente anchura. Medida en una pantalla distante, la amplitud de la onda proveniente de la primera ranura en E en tanto que la proveniente de la segunda ranura es 2E. b) Demuestre que en un punto cualquiera del patrón de interferencia la intensidad es 5 4  I = I 0  + cos δ  donde δ es la diferencia de fase entre las dos ranuras medida en un punto 9 9 

específico de la pantalla, e I0 es la intensidad máxima del patrón

E 0 = E012 + E022 + 2 E 01 E02 cos δ E 01 = E ; E 02 = 2 E ; E 0 = E 2 + 4 E 2 + 4 EE cos δ , es máxima si cos δ = 1

I=

1 1 cε 0 E 02 ⇒ I 0 = cε 0 9 E 2 2 2

E 0 = E 2 (5 + 4 cos δ )

1 cε 0 E 2 (5 + 4 cos δ ) 2 I I = 0 (5 + 4 cos δ ) 9

I=

5 4  I = I 0  + cos δ  9 9 

20. En la gráfica se puede observar la intensidad del patrón de difracción registrado en una pantalla a 1,5 m de una rendija y generado al pasar luz que contenía dos longitudes de onda diferentes. En la gráfica se presenta I / I 0 versus x (cm ) . a. Si la longitud de onda 2 es de 400nm calcule la longitud de onda 1. Asumir que el primer mínimo de difracción de la onda 1 coincide con el segundo mínimo de difracción de la onda 2. para mínimos de difracción se cumple que bsenθ = mλ y en este caso senθ ≅ x / D Luego bx / D = m1λ1 y bx / D = m1λ2 Igualando m1λ1 = m2 λ2 ⇒ 1λ1 = 2λ2 ⇒

λ1 = 800 nm b. Calcule el ancho de la abertura. El primer mínimo de difracción para la onda con longitud de onda λ1 esta aproximadamente en 12.5 cm,

bx / D = m1λ1 ⇒ b = m1λ1 D / x ⇒ b ≅ 1 * 800 × 10 −9 m *1.5 m / 0.125m ⇒ b ≅ 9.6 × 10 −6 m c. 10% Calcule el valor de I / I 0 para cada una de las longitudes de onda en la pantalla para un punto a 3cm del punto x = 0 cm . Para la onda 1:

2

 sen( πb senθ )   sen( πb x )  I = I 0  πb senθλ  ⇒ I / I 0 =  πb xλD  λ    λD  −6

2

−6

2

2

9.6×10 *0.03   sen( π *800 )  sen( 625π )  −9 *1.5 ⇒ I / I 0 =  π *9.6×10×10 =  −6  6π  = 0.8243 *0.03 −9    25  800×10 *1.5  2

Para la onda 2: 9.6×10 *0.03   sen( π *400 )  sen( 1225π )  ×10 − 9 *1.5 ⇒ I / I 0 =  π *9.6×10− 6 *0.03  =  12π  = 0.4380 25   400×10 − 9 *1.5   2

21. Un dispositivo de 6 ranuras la separación de dos ranuras contiguas es 4 veces el ancho de una de ellas. Si la separación de dos ranuras contiguas es de 0.12 mm y en una pantalla de observación colocada a 2 m se observa que el primer máximo de interferencia se encuentra a 10 mm del máximo central. b. (5%) Determinar la longitud de onda con la cual se ilumina el dispositivo.

asenθ = nλ ⇒ a

x ax (1.2 × 10 −4 m)(1.0 × 10 −2 m) = nλ ⇒ λ = = = 6.0 × 10 −7 m D nD (1)(2m)

c. (10%) Realizar una gráfica donde se ilustre el patrón de intensidades que se observa en la pantalla (debe nombrar los ejes, respetar la escala y dibujar al menos dos mínimos de difracción a lado y lado de θ = 0 )

asenθ = nλ , bsenθ = mλ ⇒

a n 4 = = ⇒b = a/4 b m 1

d. (5%) ¿Cuántos máximos de interferencia serán visibles dentro del máximo principal de difracción? Serán visibles 7 máximos principales.

e. (5%) ¿Cuáles máximos principales de interferencia coinciden exactamente con mínimos de difracción? Máximo principal de interferencia … 4 8 12 Coinciden con mínimos de difracción

f.

1

2

3

…

(10%) Calcular el valor de I / I 0 para el tercer máximo secundario de interferencia después de θ = 0 .

Para este máximo asenθ = 3.5 = 7 y bsenθ = asenθ = 7 λ 6 12 λ 4λ 48 tiene que 2

2

2

remplazando en la fórmula se

2

Nπ asenθ πb senθ  sen( 6*127π )   sen( 748π )  I  sen λ   sen( λ )  = =     7π  = 0.9989 ≈ 1 θ   πb senθ 7π I 0  sen π asen sen ( ) 12    48  λ λ   

22. a) Determinar la separación en una doble rendija para que produzca franjas de interferencia separadas 1o sobre una pantalla distante cuando se ilumina con luz de λ=589 nm.

asen θ = nλ , a =

nλ 1* 589 × 10 −9 m = = 3.38 × 10 −5 m senθ sen (10 )

b) En problema anterior determinar el ancho de cada una de las dos ranuras si el tercer máximo de interferencia coincide con el primer mínimo de difracción.

asenθ = nλ y bsenθ = mλ ⇒

a n a 3 a = ⇒ = ⇒ b = = 1.124 × 10 −5 m b m b 1 3