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PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA Facultad de Ciencias Departamento de Matem´ aticas ´ Algebra Lineal II Taller II: Grupos y Cuerpos Profesor: Jes´ us Alonso Ochoa Arango 17 de febrero de 2017 Nombre:

Calificaci´ on:

Observaciones: Los siguientes ejercicios y problemas son para entrenamiento. Por ning´ un motivo debe esperarse que los ejercicios del examen parcial sean id´enticos a los expuestos en esta lista.

Teor´ıa de Grupos b) p + q, pq, pq ,

1. Determine cu´ al de los siguientes conjuntos es un magma bajo la operaci´ on indicada:

c) p, p + q, pq,

a) {0, 4, 8, 12} adici´ on m´ odulo 16.

d ) p, pq , q p ,

b) {0, 4, 8, 12} adici´ on m´ odulo 15.

e) p, pq, pq .

c) {1, 4, 7, 13} multiplicaci´ on m´ odulo 15.

7. Un profesor de ´algebra abstracta quer´ıa dar a sus almunos una lista de nueve n´ umeros enteros que forman un grupo bajo multiplicaci´on m´odulo 91. En su lugar, entreg´o la lista

d ) {1, 4, 5, 7} multiplicaci´ on m´ odulo 9.   2 6 2. Halle el inverso de en GL(2, Z11 ). 3 5

{1, 9, 16, 22, 53, 74, 79, 81},

3. Dar un ejemplo de un grupo G y elementos a, b ∈ G tal que a−1 ba 6= b.

olvidando uno de los nueve n´ umeros ¿Cual fue el n´ umero olvidado?

4. Si G es un grupo abeliano, traduzca cada una de las siguientes expresiones multiplicativas a su contraparte aditiva.

8. Complete la siguiente tabla suponiendo, suponiendo que corresponde a la tabla de Cayley de un grupo.

a) a2 b3 ,

∗ e a b c d

b) a−2 (b−1 c), c) (ab2 )−3 c2 . 5. Mostrar que el conjunto {5, 15, 25, 35} es un grupo bajo multiplicaci´ on m´ odulo 40 ¿Cu´ al es la identidad de este este grupo ?

e

a

b

c

b c d

d

e a

d e b

9. Considere el grupo G = GL(2, Z2 ), responda:

6. Sean p y q n´ umeros primos distintos. Suponga que H es subconjunto propio de los enteros, que es grupo bajo adici´ on y que contiene exactamente tres elementos del conjunto

a) ¿Cuantos elementos tiene G? b) Demuestre que G no es abeliano, exhibiendo un par de elementos de G que no conmutan.    a a 10. Demuestre que el conjunto G = | a ∈ R, a 6= 0 , a a es un grupo cuando se dota de multiplicaci´ on de matrices.

K = {p, p + q, pq, pq , q p }. Determinar cu´ al de las siguientes listas de n´ umeros contiene los tres elementos de H que est´ an en K, a) pq, pq , q p ,

¿G es un subgrupo de GL(2, R)?

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Teor´ıa de Cuerpos 1. Considere R2 dotado de las siguientes operaciones + : R2 × R2 → R2 y · : R2 × R2 → R2 , mediate

y tambi´en ( a

((a, b), (c, d)) 7→ (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d),

b=

a + b, si a, b ∈ R; ∞, en otro caso.

((a, b), (c, d)) 7→ (a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc). ¿(R∞ , , ) es un cuerpo ?

Demuestre que (R2 , +, ·) es un cuerpo. ¿La ecuaci´ on x2 + 1 tiene soluci´ on en R2 ? 2 R dotado de estas operaciones se conoce como el cuerpo de los n´ umeros complejos.

4. Sea F un cuerpo y sea G = F ×F . Defina las siguientes operaciones binarias sobre G (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d),

2. Consideremos F = Q × Q y p un n´ umero primo cualquiera. Definamos: + : F × F → F,

(a, b) · (c, d) = (ac, bd).

· : F × F → F,

¿Estas operaciones definen una estructura de cuerpo sobre G?

tal que

5. Consideremos r ∈ R y 0 6= s ∈ R. Defina , R2 × R2 → R2 por

((a, b), (c, d)) 7→ (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), ((a, b), (c, d)) 7→ (a, b) · (c, d) = (ac + bdp, ad + bc).

(a, b)
(c, d) = (a + c, b + d),

Demuestre que (F, +, ·) es un cuerpo. ¿La ecuaci´ on x2 + (p, 0) = 0 tiene soluci´ on en F ? √ El cuerpo F se dentota usalumente por Q( p). ¿Cuantas estructuras de cuerpo podemos definir sobre el conjunto Q × Q?

(a, b)

6. Consideremos t ∈ R con 1 < t y F = {a ∈ R | a < 1}. Defina las siguientes operaciones binarias sobre F a ⊕ b = a + b − ab;

: R ∞ × R∞ → R∞ ,

a b = 1 − tlogt (1−a) logt (1−b) .

tal que

¿Para cuales valores de t se cumple que (F, ⊕, ) es un cuerpo?

  min{a, b}, si a, b ∈ R; a  b = a, si b = ∞;   b, si a = ∞.

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(c, d) = (ac − bd(r2 + s2 ), ad + bc + 2rbd).

¿(R2 ,
, ) es un cuerpo ?

3. Considere el conjunto R∞ = R ∪ {∞} y defina las operaciones  : R ∞ × R∞ → R∞ ,

:

7. ¿10−1 es invertible en el anillo Z33 ? En caso afirmativo halle su inverso.

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