Universidad de los Andes Facultad de Ciencias Económicas y Sociales Escuela de Estadística Estructuras Algebraicas Pro
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Universidad de los Andes Facultad de Ciencias Económicas y Sociales Escuela de Estadística
Estructuras Algebraicas
Prof. Gudberto José León Rangel
MÉRIDA, 2015
1
Teoría Estadística I
Profesor Gudberto León
Universidad de Los Andes - Facultad de Ciencias Económicas y Sociales - Escuela de Estadística – Departamento de Estadística
Estructuras Algebraicas
Álgebra Dada una clase de conjuntos de , se dice que es un álgebra en si cumple las siguientes propiedades: 1. 2. Si , entonces c 3. Si 1 y 2, entonces 12
Ejemplo 1:
1 = {, }
2 = {, c, , }
3 = P (. ■
Nota 1: El álgebra es cerrada bajo las uniones e intersecciones finitas, como también bajo los complementos.
Teoremas Teorema 1 Prueba: Por la propiedad 1 ; Por la propiedad 2 c ; pero c .
Dirección: Av. Las Américas. Universidad de los Andes Conjunto La Liria. Edif. F. Piso 2. Departamento de Estadística. Cubículo 258. Mérida – Venezuela. Telf. (0274) 2401153 (directo) – 2401122 (secretaria). e-mail: [email protected]
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Teoría Estadística I
Profesor Gudberto León
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Teorema 2 Si A1 y A2 , entonces A1 A2
Prueba: Por la propiedad 2: A1c y A2c Por la propiedad 3: A1c A2c ,
Por las leyes de De Morgan: A1c A2c A1 A2
c
A1 A2 . c
Por propiedad 2, como (A1 A2)c , entonces
(A1 A2)
Teorema 3 Si A1,A2, …,An , entonces n
a. i 1
Ai ξ
n
b. i 1
Ai ξ
Prueba: n
a. Se probará que i 1
Ai ξ utilizando inducción matemática:
i) Para n = 2 se tiene que A12 , por propiedad 3 del álgebra. ii) Para n = k, se supone cierto que:
12
Ak =
k
A i 1
i
=
iii) Para n = k+1 se tiene que Si y Ak+1 , entonces
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( k+1)
k 1 i 1
Ai ξ , n
i 1
Ai ξ
(1)
b. Si 1, 2,…, An , se tiene por propiedad 2 que
A1c , A2c , , Anc .
(2)
Por tanto, por el resultado (1) de este mismo teorema: n i 1 n
Como i 1
Aic ξ
(3)
Aic ξ , por propiedad 2 del álgebra se tiene que c
n c Ai ξ i 1
(4)
Además, por Ley de De Morgan se sabe que
n Ai A i 1 i1 n
c
c i
(5)
Así, sustituyendo (5) en (4) se tiene, c
c c n n c n A A Ai i i i1 i1 i1
n i 1
Ai
(6)
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Sigma Álgebra (-álgebra) Sea una clase de conjuntos de . Se dice que es una sigma álgebra en si satisface las siguientes propiedades: 1. 2. Si A entonces Ac
3. Si Ai i = 1,2,…
A
entonces
i 1
i
Teoremas Teorema 4 Toda -álgebra es un álgebra. Prueba: Sea {Ai} i=1,2,… una colección infinita de conjuntos tal que {Ai} ,donde =
An+1 = An+2 = An+3
= , puesto que
(demostrado para el álgebra en el Teorema 1) Así, se tiene que por la propiedad 3 de sigma álgebra: n Ai Ai Ai A i 1 i n1 i 1
dado que
Ai
i n 1
,
i n 1
n n Ai Ai Ai i 1 i 1 i 1
n
i 1
i 1
Ai Ai Toda sigma álgebra es un álgebra.
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Teorema 5 Si es un -álgebra, entonces y Prueba: Sea A1 = A y Ai = Ac i = 2, 3,… Entonces por la propiedad 3 de -álgebra se tiene que:
Ai A1 Ai A Ac i 1 i 2
Luego 1 Por propiedad 2 de -álgebra, como , c , Pero, c = Teorema 6 Si Ai (i = 1, 2,…) entonces
i 1
Ai A
Prueba: Como Ai (i = 1, 2, …), por Propiedad 2 de -álgebra, Aic A i = 1, 2, …
Ahora, por la Propiedad 3 i 1
Aic A .
De esta manera por la Propiedad 2 se tiene, c
c Ai A i1 Y por las leyes de De Morgan se llega a que: c
c c c A A Ai i i i 1 i1 i1
1
Nótese que realmente no es necesario enunciar la Propiedad 1 como una propiedad de -álgebra. Dada esta demostración
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i 1
Ai A
Corolario (Teorema 6) n
Si A1, A2, … ,An es una sucesión finita de conjuntos en , entonces i 1
Ai A
Prueba: Por la Propiedad 1 se sabe que . Además, sea An+1 = An+2 = An+3 =
Por el Teorema 6 se tiene que i 1
=
Ai A (i=1,2,…).
n Ai Ai Ai i 1 i 1 i n1
Entonces,
n Ai i 1
n i 1
Ai A
Teorema 7 Si A y B pertenecen a , también A−B .
Prueba: Se sabe que A−B = ABc Además, como A y B Bc , por Propiedad 2. Por leyes de De Morgan: ABc = (AcB)c = A−B Dirección: Av. Las Américas. Universidad de los Andes Conjunto La Liria. Edif. F. Piso 2. Departamento de Estadística. Cubículo 258. Mérida – Venezuela. Telf. (0274) 2401153 (directo) – 2401122 (secretaria). e-mail: [email protected]
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y por el Teorema 4 AcB . Así, por la Propiedad 2 se tiene que (AcB)c A−B
Ejemplo 2: 2 Suponga = {a, b, c} liste algunas sigma álgebras de subconjuntos de .
Solución:
El conjunto {, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}} es una sigma álgebra. De hecho es P ( y es la sigma álgebra más grande.
{, {a, b}, {c}, {a, b, c}}
También
es
también una sigma álgebra
lo es {, {a}, {b, c}, {a, b, c}}.
Sin embargo, nótese, por ejemplo, que {, {a}, {b}, {a, b}} no es una sigma álgebra de conjuntos de {a, b, c}. Esto se debe a que {a, b} está en la clase pero su complemento, {c}, no lo está. ■
Ejemplo 3: Sea un conjunto finito o numerable. Pruebe que si la colección es una -álgebra en que contiene todos los subconjuntos unitarios de , es decir, si x {x} , entonces coincide con P (. Prueba: Sea = {x1, x2,…, xn,…} un conjunto numerable (o finito). es una -álgebra en y se tiene que {x1}, {x2}, … , {xn},… (es decir, todos los conjuntos unitarios de están en ) Así se deduce que:
2
Tomado de Khazanie, Ramakant. Basic Probability Theory and Applications. Pág. 24
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a. Como {x1} y {x2} , por Teorema 4, se tiene que
x1 x2 x1 , x2 A
(7)
De la misma manera todos los conjuntos de pares de elementos de {xi, xj}
ij; e i, j =
1, 2,…. b. Como {x1} y por ecuación (7) {x2, x3} , entonces por ser una -álgebra
{x1}{x2, x3} =
{x1, x2, x3} y de esta misma manera se puede generalizar que todos los conjuntos de tres elementos están en . c. Por inducción se puede ver que todos los conjuntos de 3, 4, … , n, … etc. elementos, están en . = P ( ■
Ejemplo 4: Supóngase que es la clase de los conjuntos finitos y de los conjuntos co-finitos (conjunto cuyo complemento es finito). Pruebe que es un álgebra y que es una
-álgebra si y sólo si es
finito.
Prueba: Sea Ai un conjunto finito y sea Aic un conjunto co-finito. Obsérvese que si es un conjunto finito Aic es finito. Ahora si es un conjunto infinito numerable, ya que Ai es finito Aic es infinito. Como se sabe, las dos primeras propiedades del álgebra y de la sigma álgebra son las mismas, Así, a. Como es un conjunto finito (por definición) c es un conjunto co-finito
c .
c = b. Si Ai Aic Dirección: Av. Las Américas. Universidad de los Andes Conjunto La Liria. Edif. F. Piso 2. Departamento de Estadística. Cubículo 258. Mérida – Venezuela. Telf. (0274) 2401153 (directo) – 2401122 (secretaria). e-mail: [email protected]
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c. Para probar que es un álgebra se observa lo siguiente:
Si es finito Ai y Aic son finitos y por tanto están en . Así, n
A j 1
j
es un conjunto finito
n
A j 1
j
; donde Aj = Ai ó Aic .
Por tanto, se ha demostrado que si es finito es un álgebra
Si es infinito numerable, se tiene que si Ai es finito entonces Aic es infinito. Así que se presentan las siguientes combinaciones en las uniones:
i.
Si se unen dos conjuntos finitos Ai y Aj se obtiene otro conjunto finito (cuyo complemento es infinito) y por tanto pertenece a : Nótese que el cardinal de esta unión, n(Ai Aj) = n(Ai) + n(Aj) − n(AiAj) es un número finito, en donde: n(Ai Aj) es el cardinal de la unión de los conjuntos Ai y Aj; n(Ai Aj) es el cardinal de la intersección; n(Ai) es el cardinal del conjunto Ai; n(Aj) es el cardinal del conjunto Aj. Mientras que el cardinal del complemento de la unión es infinito: n(Ai Aj)c = n() − n(Ai Aj) = − n(Ai) − n(Aj) + n(AiAj) =
ii.
Si se une un conjunto finito Ai con un conjunto infinito Acj se obtiene un conjunto infinito (cuyo complemento es finito) y que por lo tanto pertenece a : Nótese que: n(Ai Acj ) = n(Ai) + n( Acj ) − n(Ai Acj ) = finito + infinito −
finito
Además,
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n(Ai Acj )c = n( Aic Aj) min[n( Aic ), n(Aj)] = n(Aj) que es un valor finito. iii.
Si se unen dos conjuntos infinitos Aic y Acj se obtiene un conjunto infinito (cuyo complemento es finito) y que por tanto pertenece a : Nótese que n( Aic Acj ) n( Aic ) = ; y n( Aic Acj )c = n(AiAj) min(n(Ai), n(Aj)) que es un valor finito
Así, la unión finita de conjuntos finitos y co-finitos está en , y se ha demostrado que si es infinito numerable es un álgebra
Por tanto, es un álgebra si es finito o numerable
d. Para probar que es una -álgebra se observa lo siguiente:
Si es finito se sabe que Ai y Aic son finitos y que la unión infinita de conjuntos finitos:
A i 1
i
es un conjunto finito
A i 1
i
.
es una -álgebra si es finito .
Si es un conjunto infinito, la unión infinita de elementos de no siempre está . Esto se prueba con un contra ejemplo: Sea =, es decir, el conjunto de los números naturales, y Ai={2i−1} (i=1,2,…)
Luego
A ={1,3,5,7,…} = al conjunto de los números impares positivos. i 1
i
Este conjunto es infinito, y su complemento en es: c
Ai ={2,4,6,8,…} también es infinito. Por tanto, i 1
A i 1
i
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por generar un conjunto infinito cuyo complemento es infinito. Ya que en sólo pueden estar los conjuntos finitos de complemento finito, los conjuntos finitos de complemento infinito y los conjuntos infinitos de complemento finito (conjuntos finitos o co-finitos). Entonces, no es un -álgebra si es infinito . ■
Ejemplo 5: Sea una -álgebra en un conjunto no vacío y sea * un subconjunto de . Pruebe que: * = {A* / A } es una -álgebra en *. A esta -álgebra se le conoce como la huella3 de en *.
Prueba: Sea * y una -álgebra en a. Como (ya que es un -álgebra) * = * * (por definición de *) b. Si A Ac Además, por definición de *: A* * y también Ac * *. * * * Ai Ai y como Ai ( Ai * ) , entonces, c. Como i 1 i1 i 1 i 1
i 1
( Ai * ) A
* es una -álgebra en ■
3
Como se observará más adelante, esta sigma álgebra * es la que se utiliza en la definición de la probabilidad condicional.
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Sigma Álgebra Generada4 Sea C cualquier colección de subconjuntos de , la intersección de todas las contienen a C
-álgebras que
también es una -álgebra y será la -álgebra más pequeña que contenga a C, se
denomina -álgebra generada por C, y se le representa por (C ).
Teorema 8 (-álgebra Generada) 5 Sea C una clase cualquiera no vacía de conjuntos de . Entonces existe una y solamente una -álgebra en tal que: i.
C (es decir contiene todos los conjuntos de C );
ii.
Si 1 es cualquier -álgebra en para la cual 1 C entonces 1 .
Es decir, es la sigma álgebra más pequeña que contiene a C.
Prueba: Se probará primero que existe por lo menos una -álgebra que tiene las propiedades i y ii. Existen sigma álgebras en que contienen a todos los conjuntos de C
(por ejemplo P ()). Se
define como la clase de estos conjuntos los cuales pertenecen a todas esas sigmas álgebras; así: = ∩, donde recorre todos los sigma álgebra en que contiene a los conjuntos de C. Claramente satisface i y ii. También es una sigma álgebra:
En primer lugar (dado que para todo )
Ahora supongamos que A . Entonces, para todo , A (por definición de ), y por tanto Ac ; además Ac (otra vez por definición de ).
Finalmente,
4
También se conoce como -álgebra inducida o -álgebra minimal
5
Tomado de Clarke, L. E., Random Variables, pág. 3.
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Si A1, A2,… , como es una sigma álgebra,
A n1
n
pertenece a . Además, esto es cierto
para cada que contiene a C, entonces se tiene que
A n1
n
∩ = .
Así es una sigma álgebra. Ahora se probará que es única: Supóngase que y * son sigma álgebras en tales que satisface las condiciones i y ii de arriba y * satisface: i*. * C ii**. Si 1 es cualquier sigma álgebra en para la cual 1C entonces 1 *. Entonces *C (por i*), y por tanto * (por ii). Similarmente * y por tanto = *.
Nota 2: En este teorema no fue estrictamente necesario asumir que C era no vacío. Si de hecho, C es vacío, entonces se puede ver fácilmente que el sigma álgebra generado es {, }. Un importante sigma álgebra generado ocurre cuando =R y C es la clase de conjuntos abiertos en R. Entonces el correspondiente sigma álgebra generado (C ) es la clase de conjuntos de Borel en R. En otras palabras, consiste de todos esos conjuntos en R, los cuales pueden ser obtenidos por la formación repetida de complementos y uniones contables de los intervalos. contiene todos los conjuntos los cuales ocurren naturalmente en análisis. Este -álgebra de Borel es básico y fundamental en teoría de probabilidad y en teoría estadística.
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Sigma Álgebra de Borel 6 Sea el conjunto de los números reales, =R, y sea C la clase de los conjuntos de formada por todos los intervalos abiertos, es decir: C = { (a, b) \ − < a < b < y a, b R} Entonces existe una -álgebra en que es la menor sigma álgebra que contiene a C (el sigma álgebra generado por C ) que se denotara por ; = (C ) y se define como -álgebra de Borel.
Conjunto de Borel Cada conjunto de se llama conjunto de Borel.
Nota 3: Se puede demostrar que cada uno de los siguientes tipos de intervalos: (a, b], [a, b) y [a, b] así como (−, b), (−, b], (a, ) y [a, ) son conjuntos de Borel, también lo son los conjuntos formados por un solo punto {a}, y por consiguiente todos los conjuntos contables de . Sin embargo, existen en R conjuntos que no son de Borel. Pero conjuntos de esta clase no son fáciles de encontrar.
Sigma Álgebra de Borel en Rn La definición de sigma álgebra de Borel puede extenderse al espacio euclidiano
n-dimensional
Rn y se denotara por B n . Es aquella -álgebra generada por todos los intervalos abiertos en Rn : C n = {(a1, b1) (a2, b2) … (an, bn): - < ai < bi < ; i=1,2,…, n; ai, bi R}
y B n = (C n ).
Ejemplo 6: 7 Sea ={ cc, cs, sc, ss }. Obtener las -álgebras generadas por: a. C 1 = {} 6
Tomado de Quesada Pedro, Probabilidad y Distribuciones. Pág. 9.
7
Tomado de Torres, Enrique, Problemario de Matemáticas I, págs. 86-87
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b. C 2 = {, {cc}} c. C 3 = {, } d. C 4 = {cc} e. C 5 = {{cs}, {ss}} f. C 6 = {{cs}, {ss}, } g. C 7 = {{cs, ss}}
Solución: a. (C 1)={, } C 1 b. (C 2)={, , {cc}, {cs, sc, ss}} C 2 c. (C 3)={, } =C 3 d. (C 4)= (C 2) e. (C 5)={, , {cs}, {ss}, {cc, sc, ss}, {cc, cs, sc}, {cs, ss}, {cc, sc}} f. (C 6)= (C 5) g. (C 7)={, , {cs, ss}, {cc, sc}} ■
Ejemplo 7: 8 Probar que los intervalos de la forma a. [a, b) b. [a, b] c. (−, b) son conjuntos de Borel, así como los conjuntos de puntos aislados d. {a}
8
Tomado de Torres, Enrique, Op.Cit, págs. 87-91
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e. {a, b, c} f. {a1, a2, a3,…} Solución: a. Sea An = ( a
1 , b) un intervalo abierto para todo n = 1, 2, 3, … n
Se tiene que An = ( a entonces An = ( a
1 , b) C pero a su vez C . Por ser la -álgebra generada por C, n
1 , b) para todo n = 1, 2, 3, … n
Como es una -álgebra contiene todas las intersecciones infinitas que se pueden formar con
cualesquiera de sus conjuntos, entonces, n 1
n 1
An =
An , pero,
a n , b = [a, b) 1
n1
b. Sea el intervalo abierto
1 n
1 n
Bn = a , b C (n = 1, 2, 3,…). Así, n1
Bn
1 1 a n , b n [a, b] n1
Gráficamente se trata de la intersección de intervalos de longitud decrecientes tales que A1 A2 A3 …, obsérvese la figura 1.
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… … ___(____ (_____(_________________)______)______)___ 1
a 1 a
a
2
1
a
3
b
b
1 3
b
1 2
b
1 3
Figura 1. Intersección de una sucesión de intervalos decrecientes.
c. Sea el intervalo abierto
Cn (n, b)
(n = 1, 2, 3, …)
De tal manera que,
C n1
n
pero,
Cn = n1
n, b = (−, b) n1
d. Sea el intervalo abierto
1 n
1 n
Dn = (a , a )
Así que, n1
(n = 1, 2, 3, …)
Dn B , pero,
1 1 Dn a , a {a} n n n1 n1
Obsérvese la figura 2.
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(
(
(…
…)
)
)
a
Figura 2. Intersección de una sucesión de intervalos decrecientes para obtener un punto a.
e. Por el método usado en d. se puede demostrar que {b} {c} Luego la unión de estos conjuntos también pertenece a (por ser una
-álgebra).
{a}{b}{c} = {a, b, c}
f. Sea el intervalo abierto: Fin = ( ai
1 1 , ai ) n n
Entonces n1
Fin
n1
Fin
(n = 1, 2, …) (i = 1, 2, …) pero,
1 1 ai n , ai n {ai } n1
por lo tanto {ai} (i = 1, 2, 3, …) pero la unión infinita de esos {ai} también pertenecen a , así, i 1
{ai } , donde,
i 1
{ai } = {a1}{a2}{a3}… = {a1, a2,…}
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Referencias Clarke, L.E. (1975). Random Variables. Londres: Longman Group Limited. Khazanie, R. (1976). Basic Probability Theory and Applications. California: Goodyear Publishing Company, Inc. Quesada, P. (1987). Probabilidad y Distribuciones. Mérida, Venezuela: Universidad de los Andes. Torres, E. (1988). Problemario de Matemáticas I. Mérida, Venezuela: Universidad de los Andes.
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