• Author / Uploaded
• sergiosar19

Citation preview

ESTRUCTURA DE ANILLO Y DE CUERPO 1. ESTRUCTURA DE ANILLO Sea un conjunto no vacío A, y dos funciones: * y •. La terna (A, *, •) es un anillo si y sólo si 1. El conjunto con la primera ley es un grupo abeliano. 2. El conjunto con la segunda ley es un semigrupo. 3. La segunda ley es doblemente distributiva respecto de la primera. Las dos leyes de composición se llaman aditiva y multiplicativa y se denotan + y · respectivamente. Definición: La terna ( A, , ) es un anillo si y sólo si 1. (A, +) es un grupo abeliano. 2. (A, ·) es un semigrupo. 3. El producto es distributivo a izquierda y derecha respecto de la suma. Estas condiciones se traducen en los siguientes axiomas: A1: La adición es ley de composición interna en A. a b : a  A  b  A  a  b  A A2: La adición es asociativa en A. a b c  A : (a  b)  c  a  (b  c) A3: Existe neutro en A, que denotamos con 0, respecto de la adición 0  A / a  A : a  0  0  a  a A4: Todo elemento de A admite inverso aditivo u opuesto a  A,   a  A / a  (a)  (a)  a  0 A5: La adición es conmutativa

a b  A : a  b  b  a

A6: El producto es ley de composición interna en A. a b : a  A  b  A  a  b  A A7: El producto es asociativo en A. a b c  A : (a  b)  c  a  (b  c) A8: El producto es doblemente distributivo respecto de la suma. a  (b  c)  a  b  a  c a b c  A :  (b  c)  a  b  a  c  a Si además la segunda ley es conmutativa, el anillo es conmutativo. Si existe elemento neutro o identidad respecto del producto, que denotamos con 1, entonces se llamará anillo con identidad o con unidad. Un anillo con identidad cuyos elementos no nulos son inversibles, se llama anillo de división.

-1-

2. PROPIEDADES DE LOS ANILLOS 1. El producto de cualquier elemento de un anillo por el neutro para la primera ley es igual a éste. H) (A, +, ·) es anillo a00a 0 T) D) por A3 x0x a  ( x  0)  a  x a x  a0 a x a x  a0 a x  0 a00 por ley cancelativa Análogamente se prueba que 0  a  0 . Esta propiedad suele enunciarse así: En todo anillo el neutro de la 1ª operación es absorbente para la 2ª operación. 2. En todo anillo, el producto del opuesto de un elemento, por otro, es igual al opuesto de su producto. ( a )  b  a  b  ( a  a )  b  0  b  0

( a )  b  a  b  0 Entonces (a)  b  (a  b) De manera similar se prueba que a  (b)  (a  b) . 3. En todo anillo, el producto de los opuestos de dos elementos es igual al producto de los mismos. Aplicando reiteradamente la propiedad 2, y por opuesto del opuesto resulta: (a)  (b)  a  (b)   (a  b)  a  b 4. En todo anillo vale la distributividad del producto respecto de la diferencia: (a  b)  c  a  c  b  c Sabiendo que a  b  a  (b) . Aplicando A8 y propiedad 2). (a  b)  c  a  (b)  c  a  c  (b)  c  a  c   (b  c)  a  c  b  c

3. ANILLO SIN DIVISORES DE CERO Definición 1: El anillo (A, +, ·) no tiene divisores de cero si y sólo si elementos no nulos dan producto no nulo. (A, +, ·) carece de divisores de cero  x y : x  0  y  0  x  y  0 . Equivalentemente: (A, +, ·) carece de divisores de cero  x y : x  y  0  x  0  y  0 . Negando el antecedente y el consecuente del bicondicional que expresa simbólicamente la definición resulta: (A, +, ·) tiene divisores de cero  x y / x  0  y  0  x  y  0 . -2-

Definición 2: El anillo (A, +, ·) tiene divisores de cero si y sólo si existen elementos no nulos que dan producto nulo. Propiedad: El anillo (

n

, , ) no tiene divisores de cero si y sólo si n es primo.

Ley cancelativa del producto En el anillo ( , +, · ) se verifica la ley cancelativa del producto para todo elemento no nulo a b  a c  a  0  b  c En cambio en ( 12 , +, · ) es falsa la proposición 34  38  4  8 por ser V el antecedente y F el consecuente.

Propiedad: Un anillo no tiene divisores de cero si y sólo si vale la ley cancelativa del producto para todo elemento no nulo del mismo. I) Hipótesis) ( A, , ) carece de divisores de cero. xz  yz  z 0 Tesis) x=y Demostración) Por hipótesis es x z  y z Por transposición en (A, +) x z  y z  0 Por distributividad ( x  y)  z  0 Como no existen divisores de cero y z  0 resulta x y0 Es decir x y II) Hipótesis) ( A, , ) es tal que x  z  y  z  z  0  x  y x y 0 Tesis) x0  y0 Demostración) Suponemos que y  0 . Debe ser necesariamente x  0 . Por A3, cualquiera sea z  A , se verifica z yz y0 Como por hipótesis x  y  0 , se tiene z y  z y  x y Por distributividad z  y  ( z  x)  y

-3-

Por ley cancelativa, ya que y  0 , resulta zzx Es decir x0

4. DOMINIO DE INTEGRIDAD Se llama dominio de integridad a todo anillo conmutativo, con unidad y sin divisores de cero. Las ternas (

, +, ·), (

, +, ·) y (

3

, +, ·) son dominios de integridad.

5. SUBANILLOS E IDEALES 5.1 SUBANILLO Sea (A, +, ·) un anillo. Un subanillo de (A, +, ·) es una parte no vacía de A que tiene estructura de anillo con las mismas leyes de composición. Definición: El conjunto no vacío S  A es un subanillo de (A, +, ·) si y sólo si (S, +) es subgrupo de (A, +), y además S es cerrado para el producto. Es decir, una parte no vacía S  A es un subanillo de (A, +, ·) si y sólo si para todo par de elementos a  S y b  S se verifica a  b  S y a  b  S . 5.2 IDEAL Sea (I, +, ·) un subanillo de (A, +, ·). El subanillo I de A es un ideal a izquierda de A si y sólo si x A  aI  x  aI El subanillo I de A es un ideal a derecha de A si y sólo si aI  x A  a  xI El subanillo I de A es un ideal de A si y sólo si es un ideal a izquierda y derecha de A. Las condiciones que se imponen al subconjunto I  A , para que sea un ideal son: i. I  a I  b I  a  b I ii. a  I  b  I  a b  I iii. a I  x A  a x I  xa I iv. Todo anillo (A, +, ·) admite dos ideales triviales: el mismo A y {0}. Todo otro ideal, si existe, se llama ideal propio no trivial.

6. FACTORIZACIÓN DE UN ANILLO -4-

6.1 MÁXIMO COMÚN DIVISOR. En A definimos la relación de divisor mediante x | y   z A/ y  x  z El elemento d  A es un máximo común divisor de a y b si y sólo si d es divisor de a y b, y además múltiplo de todo divisor común a ellos. Es decir d | a  d | b d es un M.C.D. de a y b   d ' | a  d ' | b  d ' | d Propiedad Todo elemento inversible de A es divisor de todo elemento del mismo. En efecto, sea a  A un elemento inversible. Entonces x  A : x  x  1  x(a 1  a)  ( x  a 1 )  a y por definición de divisor resulta a|x 6.2 ELEMENTOS COPRIMOS Definición: Dos elementos a y b de A son coprimos si y sólo si todo común divisor de a y b es inversible. 6.3 ELEMENTOS PRIMOS O IRREDUCIBLES Definición: El elemento no inversible a  A es primo o irreducible si y sólo si toda descomposición a  x  y es tal que alguno de los factores es inversible. Propiedad: Si un elemento primo es divisor de un producto, entonces es divisor de alguno de los factores.

7. ANILLO ORDENADO Concepto: El anillo (A, +, ·) está ordenado por la relación de orden total que indicamos con el símbolo < si y sólo si dicha relación es compatible con la adición y la multiplicación en A, en el sentido siguiente: x yxz y z i. ii. 0  x  0  y  0  xy Que el orden es total o lineal significa x A  x  0  0  x  x  0

-5-

Si el anillo no es trivial, es decir, si no se reduce al único elemento 0, entonces los elementos x que satisfacen la condición 0 < x se llaman positivos y pertenecen al subconjunto A  {x  A / 0  x} Los opuestos de los elementos positivos se llaman negativos y definen al subconjunto A  {x  A /  x  A }  {x  A / 0   x} Queda caracterizada así una partición de A en los subconjuntos A+, A– y {0}, y en consecuencia x  A  x  A  x  A  x  0

8. ESTRUCTURA DE CUERPO Definición: La terna (K, +, ·) es un cuerpo si y sólo si es un anillo conmutativo, con unidad, cuyos elementos no nulos admiten inverso multiplicativo. Los axiomas que caracterizan la estructura de cuerpo son: 1. (K, +) es grupo abeliano. 2. (K – {0}, ·) es grupo abeliano. 3. El producto es distributivo con respecto a la suma. Propiedades de los cuerpos: Sea (K, +, ·) un cuerpo: I)

Los cuerpos no admiten divisores de cero. Sean x  K  y  K tales que xy = 0 Si x = 0, nada hay que demostrar porque la proposición x  0  y  0 es V. Consideremos el caso x  0 . Por definición de cuerpo existe x-1. Multiplicando (5) por x-1

(5)

x 1 ( xy)  x 1  0 Por asociatividad y producto por 0 en el anillo, se tiene 1·y = 0, es decir y = 0 II)

En todo cuerpo vale la ley cancelativa del producto para todo elemento no nulo del mismo. Es una consecuencia de I) y de la propiedad con el mismo nombre vista más arriba.

III)

Si b  0 , entonces la ecuación bx  a admite solución única en K. Sea

bx  a con b  0 .

Multiplicando por b-1

b 1 (bx)  b 1a Por asociatividad y conmutatividad resulta -6-

(b 1b) x  ab1 Es decir 1x  ab 1

Entonces x  ab 1

es la solución única de la ecuación propuesta. En efecto, sea y otra solución; esto significa que by  a , y como bx  a se tiene by  bx  0  b( y  x)  0

y como b  0 resulta y  x  0 , es decir, y  x . IV)

El recíproco del opuesto de todo elemento no nulo es igual al opuesto de su recíproco.

( x1 )  ( x)  x1 x  1

Tenemos Multiplicando por (–x)–1

( x1 )  ( x)( x)1   1( x)1 Por asociatividad e inversos multiplicativos resulta

 ( x 1 )  ( x) 1 V)

En todo cuerpo se verifica x x'   xy'  yx' y y'

En efecto

x x'   xy 1  x' y' 1  xy 1 yy'  x' y' 1 yy'  xy'  x' y y y'

-7-