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• Paola Zacarias

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Estructuras algebraicas En álgebra abstracta, una estructura algebraica, también conocida como sistema algebraico,1 es una n-tupla (a1, a2, ..., an), donde a1 es un conjunto dado no vacío, y {a2, ..., an} un conjunto de operaciones aplicables a los elementos de dicho conjunto. Principales estructuras algebraicas[editar · editar código] Las estructuras algebraicas se clasifican según las propiedades que cumplen las operaciones sobre el conjunto dado. En estructuras algebraicas más elaboradas, se definen además varias leyes de composición.

Con una ley de composición interna 

Magma



Semigrupo



Cuasigrupo



Monoide



Grupo



Grupo abeliano

Con dos leyes de composición interna 

Semianillo



Anillo



Pseudoanillo



Cuerpo



Retículo (orden)

Con leyes de composición interna y externa 

Dominio de integridad



Módulo



Espacio vectorial



Álgebra sobre un cuerpo

Magma (álgebra) Para otros usos de este término, véase magma (desambiguación). Un Magma (o grupoide) es una estructura algebraica de la forma

con A es

un conjunto donde se ha definido una operaciónbinaria interna: .1 Siendo esta ley de composición una operación interna: 1.- Operación interna: para cualesquiera par ordenado de elementos del conjunto AxA operados con , el resultado pertenece al conjunto A. Es decir: . El término magma se debe a la asociación de matemáticos franceses que se hace llamar Nicolás Bourbaki.1 Durante algún tiempo compitió, para reflejar el mismo concepto, con la palabra grupoide, que tiene otros sentidos en matemática (ver

artículo grupoide), por lo que no es aconsejable su uso como sinónimo de magma.2 3 Los tipos de magmas comúnmente estudiados incluyen: 

cuasigrupos — magmas no vacíos donde la división es siempre posible.



bucles — cuasigrupos con elementos neutros.



semigrupos — magmas donde la operación es asociativa.



monoides — semigrupos con elemento neutro.



grupos —

monoides

con elementos

simétricos,

o

equivalentemente,

cuasigrupos asociativos (que son siempre bucles). 

grupos abelianos — grupos donde la operación es conmutativa.

El término "magma" fue introducido por Bourbaki. Anteriormente se usaba el término "grupoide", y todavía se utiliza a veces. En esta enciclopedia, no obstante, reservamos el término grupoide para un concepto algebraico diferente. Existe lo que podemos llamar un magma libre sobre cualquier conjunto X y que puede ser descrito en términos familiares en ciencias de la computación como el magma de los árboles binarios con operación dada por la yuxtaposición (ordenada) de los árboles por la raíz. Tiene por tanto un rol fundacional en sintaxis. Semigrupo Un semigrupo es

un sistema

algebraico de

la

forma

donde

A

es

un conjunto donde se ha definido una operación binariainterna . Un semigrupo cumple las dos siguientes propiedades:

1.- Operación interna: para cualesquiera dos elementos del conjunto Aoperados bajo , el resultado siempre pertenece al mismo conjunto A. Es decir: .

2.- Asociatividad: para cualesquiera elementos del conjunto A no importa el orden en que se operen las parejas de elementos, mientras no se cambie el orden de los elementos (ver grupo abeliano), siempre dará el mismo resultado. Es decir: . Si además se cumple la propiedad conmutativa: Conmutatividad: un conjunto A tiene la propiedad conmutativa respecto a la operación interna

si:

Se dice que es un semigrupo conmutativo o abeliano. Cuasigrupo Un Cuasigrupo es una estructura algebraica similar a un grupo en el sentido de que la "división" es siempre posible. Los cuasigrupos se diferencian de los grupos en que no poseen la propiedad asociativa. Un cuasigrupo con elemento neutro se llama bucle. GRUPO En álgebra abstracta, un grupo es una estructura algebraica que consta de un conjuntocon una operación que combina cualquier pareja de sus elementos para formar un tercer elemento. Para que se pueda calificar como un grupo, el conjunto

y

la

operación

deben

satisfacer

algunas

condiciones

llamadas axiomas de grupo, estas condiciones son: tener la propiedad asociativa, tener elemento identidad y elemento inverso. Mientras que estas características son familiares a muchas estructuras matemáticas, como los diferentes sistemas de números (por ejemplo los enteros dotados de la operación de adición forman una estructura de grupo), la formulación de los axiomas se separa de la naturaleza concreta del grupo y su funcionamiento. Esto permite, en álgebra abstracta y otros campos, manejar entidades de orígenes matemáticos muy diferentes de una manera flexible, mientras se conservan aspectos estructurales esenciales de muchos objetos. La ubicuidad de los grupos en numerosas áreas (tanto dentro como fuera de las matemáticas) los convierte en un principio central en torno al cual se organizan las matemáticas contemporáneas.1 2 Grupo abeliano Dada una estructura algebraica sobre un conjunto A, y con una operación o ley de composición interna binaria: " ". Se dice que la estructura abeliano con respecto a la operación

es un Grupo

si:

1.

tiene estructura algebraica Grupo

2.

tiene la Propiedad conmutativa

Los grupos abelianos son así llamados en honor al matemático noruego Niels Henrik

Abel.

Los

grupos

que

no

son

conmutativos

se

denominan no

abelianos (también no conmutativos, con menos frecuencia). En álgebra abstracta, un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo ), con 8 propiedades fundamentales.

A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo,escalares. Notación[editar · editar código] Dado un espacio vectorial Los elementos de

sobre un cuerpo

, se distinguen.

como: se llaman vectores.

Caligrafias de otras obras

Si el texto es de física suelen representarse bajo una flecha:

Los elementos de

como:

se llaman escalares. Definición de espacio vectorial[editar · editar código] Un espacio vectorial sobre un cuerpo

(como el cuerpo de

los números reales o los números complejos) es un conjunto

no

vacío, dotado de dos operaciones para las cuales será cerrado:

operación interna tal que: 1) tenga la propiedad conmutativa, es decir

2) tenga la propiedad asociativa, es decir

3) tenga elemento neutro

, es decir

4) tenga elemento opuesto, es decir

y

la

operación

producto

operación externa tal que: 5) tenga la propiedad asociativa:

por

un

escalar:

6)

sea elemento neutro del producto:

7) tenga la propiedad distributiva del producto respecto a la suma de vectores:

8) tenga la propiedad distributiva del producto respecto a la suma de escalares:

Vectores linealmente independientes Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos puede ser escrito con unacombinación lineal de los restantes.

a1 = a2 = ··· = an = 0 Los vectores linealmente independientes tienen distinta dirección y sus componentes no sonproporcionales.

Ejemplo: Estudiar si son linealmente dependientes o independientes los vectores: = (2, 3, 1),

= (1, 0, 1),

= (0, 3, −1)

a (2, 3, 1) + b(1, 0, 1) + c (0, 3, −1) = (0, 0, 0)

r = 2 n = 3 Sistema compatible indeterminado. El sistema tiene infinitas soluciones, por tanto los vectores son linealmente dependientes.

Base

Tres

vectores

,

y

con distinta

dirección forman

una base,

porque cualquier vector del espacio se puede poner como combinación lineal de ellos.

Las coordenadas del vector respecto a la base son:

Base ortogonal Una base es ortogonal si

los

vectores

de

la

base

de

la

base

son perpendiculares entre sí. Base ortonormal Una base es ortonormal si

los

vectores

son perpendiculares entre sí, y además tienenmódulo 1.

Esta base formada por los vectores

,

y

se denomina base

canónica. Ejemplo:

¿Para y

qué

valores

de a los

forman una base?

vectores

,

Para a ≠ 1, los vectores forman una base. Dependencia lineal Varios vectores son linealmente lineal de

ellos

libres del

plano

dependientes si que

es

igual

se

hay

dice

que

unacombinación

al vector

cero,

sin

que

sean cero todos loscoeficientes de la combinación lineal .

Propiedades 1. Si entonces

varios vectores son linealmente al

menos uno de

ellos

se

dependientes , puede

expresar

como combinación lineal de los demás.

También

se

cumple

un vector es combinación

el

lineal de

otros,

reciproco:

si

entonces

todos

los vectores son linealmente dependientes . 2.Dos

vectores

del

plano

son linealmente

dependientes si, y sólo si, son paralelos .

3.Dos vectores libres del plano son linealmente proporcionales.

dependientes si

= (u 1 , u 2 ) y sus

= (v 1 , v 2 )

componentes

son

Subespacio vectorial En álgebra lineal, un subespacio vectorial es el subconjunto de un espacio vectorial, que satisface por sí mismo la definición de espacio vectorial con las mismas operaciones que V.. Antes de dar las condiciones que ha de cumplir un subconjunto para tener estructura de subespacio vectorial, vamos a intentar observar cuales pueden ser estas

condiciones.

Consideremos el espacio vectorial (R2,+,.R), y tomemos un suconjunto de vectores del plano, por ejemplo los vectores que están contenidos en la recta x=0. Todos estos vectores son verticales, por ejemplo (0,1), (0,3), (0,4),.... Es claro que si tomamos este subconjunto del plano que en notación analítica sería

todos los vectores contenidos en W cumplen las 8 propiedades de los espacios vectoriales. Pero para analizar si este subconjunto es un subespacio vectorial de R2bastaría comprobar dos propiedades: 1. que sumando dos vectores del W se obtiene otro vector de W. Esta propiedad la cumple puesto que si sumamos dos vectores cuya componente primera es cero, vuelve a resultar un vector con la componente primera nula.

2. que al multiplicar un vector de W por un escalar real cualquiera, vuelva a resultar un vector de W. Esta situación nuevamente es clara, puesto que al multiplicar cualquier escalar por la primera componente nula nos da como resultado un vector con la primera componente nula. El resto de propiedades no es necesario comprobarlas puesto que todos los vectores del plano las cumplen y en consecuencia las cumplirán los vectores de W. Si ahora tomamos un subconjunto formado por los vectores del plano cuya primera

componente

es

1,

es

decir

y tomamos dos vectores de este subconjunto, por ejemplo (1,2) y (1,5), obsérvese que su suma es (2,7) que no pertenece a M. Por tanto la suma no es operación interna en este subconjunto, y en consecuencia no puede ser un subespacio vectorial.

CARACTERIZACIÓN DE LOS SUBESPACIOS VECTORIALES. 1.- Sea (V,+,.R) un subespacio vectorial , y sea W un subconjunto de V. Diremos que W dotado con las mismas operaciones definidas en V, es un subespacio vectorial del mismo si se verifican las dos siguiente propiedades: a)

b) una segunda forma de caracterizarlos se concreta en la condición equivalente a la anterio 2.- W es un subespacio vectorial de V si y sólo si se verifica que

BASE VECTORIAL En álgebra lineal, se dice que un conjunto ordenado B es base de un espacio vectorial V si se cumplen las siguientes condiciones: 

Todos los elementos de B pertenecen al espacio vectorial V.



Los elementos de B forman un sistema linealmente independiente.



Todo elemento de V se puede escribir como combinación lineal de los elementos de la base B (es decir, B es un sistema generador de V).

Bases en el Espacio Vectorial.

Ya hemos visto cómo obtener combinaciones lineales de varios vectores. Pues bien, daremos ahora dos definiciones que guardan relación con estas operaciones: Vectores linealmente dependientes: Un conjunto de vectores será linealmente dependiente si alguno de ellos se puede expresar como combinación lineal del resto. Otra definición equivalente será que el vector cero se podrá expresar como combinación lineal de este conjunto de vectores en el que al menos algún coeficiente será distinto de cero. Vectores linealmente independientes: Un conjunto de vectores será linealmente independiente si ninguno de ellos se puede expresar como combinación lineal del resto de los vectores. Otra forma de definirlo será si el vector cero sólo se puede expresar como combinación lineal de estos vectores cuando los coeficientes que multiplican a cada vector son nulos. Pues bien, en el estudio del plano, siempre que tengamos un conjunto de dos vectores linealmente independientes, PODREMOS EXPRESAR CUALQUIER VECTOR DEL PLANO COMO COMBINACIÓN LINEAL DE ESTOS DOS VECTORES. La idea es sencilla: en el plano nos encontramos con dos dimensiones, el largo y el ancho. Cada vector dará una dirección del plano. Si tenemos dos direcciones, a partir de éstas podremos obtener el resto de direcciones simplemente con buscar combinaciones lineales de estos vectores. Esta idea se recoge en la siguiente definición: BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL: Una base es un conjunto de vectores linealmente independientes y que son capaces de generar cualquier vector de dicho espacio. En nuestro estudio del plano, una base estará formada por dos vectores linealmente independientes. COORDENADAS DE UN VECTOR RESPECTO DE UNA BASE: Las coordenadas de un vector respecto de una base son los escalares por los que hay que multiplicar los vectores de la base de forma que representen al vector dado mediante una combinación lineal de dichos vectores de la base. En la siguiente escena practicaremos con estos conceptos. Dimensión de un espacio vectorial La dimensión de un espacio vectorial (también llamada dimensión de Hamel de un espacio vectorial, para distinguirla de la dimensión de Hilbert en el caso de

los espacios de Hilbert) es el número de vectores que forman una base [de Hamel] del espacio vectorial. Informalmente la dimensión de un espacio topológico, da una idea de cuantos parámetros se necesitan para localizar con toda precisión un punto en este espacio. Cuando el espacio topológico en cuestión es un espacio vectorial, ese número coincide con el número de vectores de una base de dicho espacio.