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TALLER DOE FACTORIAL EN MINITAB

DOCENTE: HENRY LAMOS DÍAZ

PRESENTADO POR: DIEGO JOSÉ TOLOZA MENDOZA CODIGO: 2134702

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER ESCUELA DE ESTUDIOS INDUSTRIALES Y EMPRESARIALES BUCARAMANGA JULIO/2017

1. Se desea determinar el efecto que tienen la temperatura de operación y el tipo de vidrio sobre la luminosidad producida por un tubo de osciloscopio. En la siguiente tabla se recogen las mediciones de la luminosidad que se obtuvieron:

En donde los datos resaltados son los resultados obtenidos en el experimento, las celdas señaladas como “totales” son las sumas necesarias para la realización de un análisis de varianza. Se pide:

A. Escribir detalladamente el modelo asociado. Realizar el análisis de varianza y sacar conclusiones de los factores en estudio. Para este caso en particular se está trabajando con un diseño de experimentos factorial, en donde: o o o

Factor A  Tipo de Vidrio  3 niveles (Tipo 1, Tipo2, Tipo 3) Factor B  Temperatura  3 niveles (100, 125, 150) Número de réplicas  3

Existen 3 modelos asociados a este diseño:  Modelo de Regresión

y = b 0 + b1 x1 + b 2 x2 + b12 x1 x2 + e Donde y es la variable respuesta, en la luminosidad, x 1 y x2 son el tipo de vidrio y la temperatura, respectivamente. Los parámetros β se deben determinar y ε es el error aleatorio.

 Modelo de los Efectos

yijk = m + t i + b j + (tb )ij + e ijk Donde yijk es la variable respuesta, µ es el efecto promedio global, τ i es el efecto del i-ésimo nivel del factor A, β j es el efecto del j-ésimo nivel del factor B, (τβ)ij es el efecto de la interacción y ε es un término del error aleatorio.  Modelo de las Medias

yijk = mij + e ijk Donde:

mij = m + t i + b j + (tb )ij Se comprueban las siguientes pruebas de hipótesis:  Factor A: Tipo de vidrio

H 0 : t1 = t 2 = t 3 = 0 H1 : Al menos una t es diferente de 0  Factor B: Temperatura

H 0 : b1 = b 2 = b3 = 0 H1 : Al menos una b es diferente de 0

 Interacción entre los factores A y B

H 0 : tbij = 0 para toda tb H1 : Al menos una tb es diferente de 0 Se hace análisis en Minitab, donde se obtienen los siguientes resultados :

Regresión factorial general: Luminosidad vs. Tipo Vidrio. Temperatura Información del factor Factor Tipo Vidrio Temperatura

Niveles 3 3

Valores 1. 2. 3 100. 125. 150

Análisis de Varianza Fuente Modelo Lineal Tipo Vidrio Temperatura Interacciones de 2 términos Tipo Vidrio*Temperatura Error Total

GL 8 4 2 2 4 4 18 26

SC Ajust. 2411751 2121199 150865 1970335 290552 290552 6579 2418330

MC Ajust. 301469 530300 75432 985167 72638 72638 366

Valor F 824,77 1450,82 206,37 2695,26 198,73 198,73

Resumen del modelo S 19,1185

R-cuad. 99,73%

R-cuad. (ajustado) 99,61%

R-cuad. (pred) 99,39%

Coeficientes Término Constante Tipo Vidrio 1 2 Temperatura 100 125 Tipo Vidrio*Temperatura 1 100 1 125 2 100 2 125

Ecuación de regresión

Coef 940,19

EE del coef. 3,68

Valor T 255,53

Valor p 0,000

VIF

75,15 26,81

5,20 5,20

14,44 5,15

0,000 0,000

1,33 1,33

-373,85 118,81

5,20 5,20

-71,85 22,83

0,000 0,000

1,33 1,33

-68,81 -46,81 -40,15 -50,81

7,36 7,36 7,36 7,36

-9,35 -6,36 -5,46 -6,91

0,000 0,000 0,000 0,000

1,78 1,78 1,78 1,78

Valor p 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

Luminosidad = 940,19 + 75,15 Tipo Vidrio_1 + 26,81 Tipo Vidrio_2 - 101,96 Tipo Vidrio_3 - 373,85 Temperatura_100 + 118,81 Temperatura_125 + 255,04 Temperatura_150 - 68,81 Tipo Vidrio*Temperatura_1 100 - 46,81 Tipo Vidrio*Temperatura_1 125 + 115,63 Tipo Vidrio*Temperatura_1 150 - 40,15 Tipo Vidrio*Temperatura_2 100 - 50,81 Tipo Vidrio*Temperatura_2 125 + 90,96 Tipo Vidrio*Temperatura_2 150 + 108,96 Tipo Vidrio*Temperatura_3 100 + 97,63 Tipo Vidrio*Temperatura_3 125 - 206,59 Tipo Vidrio*Temperatura_3 150

Se puede apreciar que los estadísticos de prueba F 0 (Fisher) para los factores A, B y para la interacción entre ellos son: o F0A = 206,37 o F0B = 2695,26 o F0AB = 198,73 Se asume un nivel de significancia del 5%, los estadísticos de contraste respectivos son: o F0,05;2;18 =3,55 o F0,05;2;18 = 3,55 o F0,05;4;18 = 2,93 Cada estadístico de prueba obtenido en el análisis de varianza es mayor a su respectivo estadístico de contraste, y con un nivel de significancia del 5% previamente se rechazan Ho, por lo tanto, los efectos de los factores A y B son significativos, así como los efectos de la interacción entre estos factores. En la siguiente gráfica se observan los efectos principales de cada factor

Gráfica de efectos principales para Luminosidad Medias ajustadas

Tipo Vidrio

Temperatura

1200

Media de Luminosidad

1100 1000 900 800 700 600 500 1

2

3

100

125

150

Observación de la interacción entre los factores.

Gráfica de interacción para Luminosidad Medias ajustadas 100

125

150

Media de Luminosidad

Temperatura * Tipo Vidrio

1500 1250 1000

Tipo Vidrio 1 2 3

750

1500

500

Tipo Vidrio * Temperatura

1250 1000 750 500 1

2

Tipo Vidrio

3

Temperatura

Temperatura 100 125 150

De acuerdo con la gráfica de los efectos principales se puede afirmar que se obtiene una mayor luminosidad al utilizar el tipo de vidrio 1 y que ésta disminuye al usar el tipo 2 y aún más si se utiliza el tipo 3. Además, es mucho más notorio el impacto o influencia que tiene la temperatura en los resultados, ya que a simple vista se observa que se obtiene mayor luminosidad a mayores valores de temperatura. B. En las situaciones en que sea posible y en caso de diferencias significativas entre las luminosidades medias con los distintos tipos de vidrios, compararlas usando el método de Tukey, lo cual se expone en la siguiente tabla.

Estadístico de contraste T

MSE T0,05 = q0,05 (3,18) n 365,52 T0,05 = 3, 61 3 T0,05 = 39,85 Es posible realizar varias comparaciones utilizando este método, bien sea comparando los resultados obtenidos al cambiar el tipo de vidrio y dejando constante un nivel de temperatura o viceversa.

 Nivel de temperatura: 100



Tipo de Vidrio 3 vs Tipo de Vidrio 1

573,33 - 572,67 = 0,66 < T0,05 = 39,85 

Tipo de Vidrio 3 vs Tipo de Vidrio 2

573,33 - 553 = 20,33 < T0,05 = 39,85 

Tipo de Vidrio 1 vs Tipo de Vidrio 2

572, 67 - 553 = 19,67 < T0,05 = 39,85 Se concluye entonces que para un nivel de temperatura igual a 100 no hay diferencias significativas entre los distintos tipos de vidrio, es decir, la luminosidad obtenida para este nivel de temperatura será igual sin importar el tipo de vidrio que se elija para trabajar.  Nivel de temperatura: 125 

Tipo de Vidrio 1 vs Tipo de Vidrio 2

1087,33 - 1035 = 52,33 > T0,05 = 39,85 

Tipo de Vidrio 1 vs Tipo de Vidrio 3

1087,33 - 1054, 67 = 32, 66 < T0,05 = 39,85 

Tipo de Vidrio 3 vs Tipo de Vidrio 2

1054,67 - 1035 = 19,67 < T0,05 = 39,85  Nivel de temperatura: 150 

Tipo de Vidrio 1 vs Tipo de Vidrio 2

1386 - 1313 = 73 > T0,05 = 39,85 

Tipo de Vidrio 1 vs Tipo de Vidrio 3

1386 - 886, 67 = 499,33 > T0,05 = 39,85 

Tipo de Vidrio 2 vs Tipo de Vidrio 3

1313 - 886, 67 = 426,33 > T0,05 = 39,85 Para un nivel de temperatura de 150 es posible afirmar que el vidrio tipo 1 presenta una mayor luminosidad que los tipos 2 y 3, además, el vidrio tipo 2 da mejores resultados que el vidrio tipo 3, tal y como se había sospechado con los análisis presentados previamente. C. Asumir que no existe interacción entre los factores. Llevar a cabo un análisis de varianza. Si no hay ningún tipo de interacción entre los factores la suma de cuadrados que representa a la interacción debe ser igual a cero, así como su cuadrado medio respectivo.

SS AB

1 a b 2 y...2 = ��yij . - SS A - SS B = 0 n i =1 j =1 abn MS AB = 0

Ahora, si bien se asume que no hay interacción entre los factores, las variaciones observadas en los datos que se deben a esta interacción deben ahora ser atribuidas o asignadas a otro elemento, es decir, al error. El resumen del análisis de varianza modificado sería el siguiente.

Con estos nuevos resultados se ve que los estadísticos de prueba disminuyen notablemente pero que aún son mayores a los estadísticos de contraste, es

decir, asumiendo nula interacción entre los factores el efecto individual de cada uno es significativo en los resultados de la luminosidad 2. El departamento de control de calidad de una planta de acabados textiles estudia el efecto de varios factores sobre el teñido de una tela de algodón y fibras sintéticas utilizada para fabricar camisas de caballero. Se seleccionaron tres operadores, dos duraciones de ciclo y dos temperaturas, y se tiñeron tres ejemplares pequeños de la tela bajo cada conjunto de condiciones. La tela terminada se comparó con un patrón y se le asignó una evaluación numérica. Los datos se presentan enseguida:

A. Describa el modelo estadístico para el análisis del problema. Defina la unidad experimental, los tratamientos, el número de corridas, el número de réplicas, los factores, el criterio de calidad.  Factores   

A  Duración del ciclo  Niveles  40 – 50 B  Temperatura  Niveles  300 – 350 C  Operador  Niveles  1 – 2 – 3

 Modelo de análisis de varianza de tres factores – Modelo de los efectos

yijkl = m + t i + b j + g k + (tb )ij + (tg )ik + ( bg ) jk + (tbg )ijk + e ijkl Donde yijkl es la variable respuesta, µ es el efecto promedio global, τ i es el efecto del i-ésimo nivel del factor A, βj es el efecto del j-ésimo nivel del factor B, γk es el efecto del k-ésimo nivel del factor C, (τβ) ij es el

efecto de la interacción entre los factores A y B, (τγ) ik es el efecto de la interacción entre los factores A y C, (βγ) jk es el efecto de la interacción entre los factores B y C, (τβγ)ijk es el efecto de la interacción entre los tres factores y εijk es un término del error aleatorio.  Unidad experimental Se recuerda que la unidad experimental es el objeto sobre el cual se están aplicando los distintos tratamientos y sobre el cual se está haciendo la medición y recolectando la información necesaria sobre la variable de interés. Para este experimento en particular, la unidad experimental es un ejemplar de tela pequeño.  Tratamientos Un tratamiento es una de las posibles combinaciones que se pueden obtener con los distintos niveles de los factores. Como el factor A tiene 2 niveles, el factor B tiene 2 y el factor C tiene 3 niveles, la cantidad de tratamientos que se pueden obtener en este experimento es 12, los cuales se detallan a continuación:

 Número de Réplicas La cantidad de réplicas que se hicieron para este experimento es igual a 3, debido a que se tienen 3 datos por cada uno de los posibles tratamientos del experimento.

 Número de Corridas El número de corridas necesario para realizar una réplica del experimento es igual a 12, como se realizaron 3 réplicas fue necesario llevar a cabo 36 corridas, es decir, realizar el experimento 36 veces para obtener 3 datos de cada uno de los tratamientos posibles en el experimento.  Criterio de calidad La información suministrada por el problema indica que los resultados obtenidos son una estimación numérica con respecto a un patrón en específico, el cual es desconocido. Para efectos del ejercicio actual, se asume que la tela será de mayor calidad en la medida que esta estimación numérica sea mayor.

B. ¿Existe algún indicio de que alguno de los tres factores afecta a la variable respuesta? Regresión factorial general: Variable Interés vs. Operador. Temperatura. Duración Ciclo Información del factor Factor Operador Temperatura Duración Ciclo

Niveles 3 2 2

Valores 1. 2. 3 300. 350 40. 50

Análisis de Varianza Fuente GL SC Modelo 11 Lineal 4 Operador 2 Temperatura 1 Duración Ciclo 1 Interacciones de 2 términos 5 Operador*Temperatura 2 Operador*Duración Ciclo 2 Temperatura*Duración Ciclo 1 Interacciones de 3 términos 2 Operador*Temperatura*Duración Ciclo 2 Error 24 Total 35 Resumen del modelo S

R-cuad.

R-cuad. (ajustado)

R-cuad. (pred)

Ajust. MC Ajust. Valor F 771,89 70,172 19,74 449,72 112,431 31,62 96,72 48,361 13,60 64,00 64,000 18,00 289,00 289,000 81,28 279,00 55,800 15,69 13,50 6,750 1,90 201,50 100,750 28,34 64,00 64,000 18,00 43,17 21,583 6,07 43,17 21,583 6,07 85,33 3,556 857,22

Valor p 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,172 0,000 0,000 0,007 0,007

90,05%

85,48%

77,60%

A partir de los resultados del análisis de varianza es posible afirmar, con una confiabilidad del 95% que los efectos de los tres factores son significativos, ya que su valor P es menor al 0,05, es decir, tanto el cambio de operador como los distintos niveles de temperatura y de duración del ciclo afectan el resultado final. De igual manera, es posible afirmar que los efectos de las interacciones entre los factores A (duración de ciclo) y C (operador) así como entre los factores A (duración de ciclo) y B (temperatura) son significativos.

En la siguiente gráfica se ilustran los efectos principales de cada uno de los tres factores en cuestión.

Gráfica de efectos principales para Variable Interés Medias ajustadas

Operador

36

Media de Variable Interés

1,88562

Temperatura

Duración Ciclo

35 34 33 32 31 30 1

2

3

300

350

40

50

A partir de esta gráfica se puede concluir que, en general, al aumentar la temperatura y la duración del ciclo se aumenta la estimación numérica de la variable de interés, es decir, se aumenta la calidad de la tela. De la misma forma

se podría concluir que los resultados obtenidos por el operador 1 son muy inferiores a los obtenidos por los otros dos, siendo el operador 2 el que presenta mejores resultados. Se podría pensar que el operador 1 carece de experiencia o está realizando alguna de sus operaciones de una forma errónea.

En la matriz de gráficas de interacción es posible visualizar y confirmar lo deducido anteriormente.

Gráfica de interacción para Variable Interés Medias ajustadas 300 35

Media de Variable Interés

350

Temperatura * Operador

Duración Cic * Operador

Operador 1 2 3

30

25

Operador * Temperatura

Duración Cic * Temperatura 35

Temperatura 300 350

30 25

Operador * Duración Cic

Temperatura * Duración Cic

Duración Cic 40 50

35 30 25 1

2

Operador

3

40

Temperatura

50

Duración Cic

C. Construya un intervalo de confianza al 90% de confianza para la diferencia de las medias del factor temperatura: µ1 - µ2.

 Se asume que la distribución poblacional se puede aproximar a una distribución normal en ambos casos.  Como el tamaño de muestra de ambas poblaciones es 18 (menor a 30) y la varianza poblacional es desconocida se debe hacer uso de la distribución t – student. El intervalo de confianza está dado por:

x1 - x2 - ta /2;n1 + n2 -2 Sp

1 1 + �m1 - m2 n1 n2

1 1 �x1 - x2 + ta /2;n1 + n2 - 2 Sp + n1 n2 (n1 - 1) S12 + (n2 - 1) S 22 Sp = n1 + n2 - 2 (18 - 1) * 24, 605 + (18 - 1) * 22, 056 Sp = 18 + 18 - 2

Sp = 23,3305 Y el estadístico t se calcula mediante las tablas de la distribución t – student, obteniendo:

t0,05;34 = 1, 69 1 1 34, 056 - 31,389 - 1, 69* 23,3305 + �m1 - m2 18 18 1 1 �34, 056 - 31,389 + 1, 69* 23,3305 + 18 18 -10, 4758 �m1 - m 2 �15,8098 Entonces, con una confiabilidad del 90% se puede afirmar que la diferencia entre las medias poblacionales de la variable de interés al cambiar los niveles del factor de temperatura está entre -10,4758 y 15,8098. 3. Un fabricante de bolsas de papel desea analizar la resistencia al rasgamiento (y), para lo cual utiliza una escala numérica. Examina tres factores, cada uno en dos niveles: X1 = Papel, X2 = Humedad, X3 = Dirección de rasguño. Decide obtener dos observaciones en cada combinación, las mismas que se muestran en la siguiente tabla:

Sea el modelo:

y = b 0 + b1 x1 + b 2 x2 + b 3 x3 + e A. Estimar los coeficientes asociadas a las variables X 1 = Papel, X2 = Humedad, X3 = Dirección de rasguño. Interprete cada coeficiente. B. Sea el modelo:

y = b 0 + b1 x1 + b 2 x2 + b 3 x3 + b12 x1 x2 + b13 x1 x3 + b 23 x3 x2 + e Regresión factorial: Resistencia vs. X1. X2. X3 Resumen del modelo S 0,815092

R-cuad. 92,52%

R-cuad. (ajustado) 85,97%

R-cuad. (pred) 70,08%

Coeficientes codificados Término Constante X1 X2 X3 X1*X2 X1*X3 X2*X3 X1*X2*X3

Efecto 3,262 -0,362 -1,988 0,637 -1,137 -0,012 0,088

Coef 4,206 1,631 -0,181 -0,994 0,319 -0,569 -0,006 0,044

EE del coef. 0,204 0,204 0,204 0,204 0,204 0,204 0,204 0,204

Valor T 20,64 8,01 -0,89 -4,88 1,56 -2,79 -0,03 0,21

Valor p 0,000 0,000 0,400 0,001 0,156 0,024 0,976 0,835

VIF 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00

Ecuación de regresión en unidades no codificadas Resistencia = 4,206 + 1,631 X1 - 0,181 X2 - 0,994 X3 + 0,319 X1*X2 - 0,569 X1*X3 - 0,006 X2*X3 + 0,044 X1*X2*X3

El modelo del inciso A no tiene en cuenta ninguna de las posibles interacciones entre los factores, por tanto, estos términos se agregarían al error. El modelo del inciso A sería el siguiente:

y = 4, 206 + 1, 631x1 - 0,181x2 - 0,994 x3 + e Ahora, el modelo del inciso B tiene en cuenta las interacciones entre dos factores pero no tiene en cuenta la interacción entre los 3, este término se omite y se le agrega al error. El modelo del inciso B sería el siguiente:

y = 4, 206 + 1, 631x1 - 0,181x2 - 0,994 x3 + 0,319 x1 x2 -0,569 x1 x3 - 0, 006 x3 x2 + e Al observar cada uno de los coeficientes calculados es posible afirmar que los efectos más significativos son los causados por la variable X 1 y la variable X3, además, la interacción más significativa es la que hay entre estas mismas variables.

y = 4, 206 + 1, 631x1 - 0,994 x3 - 0,569 x1 x3 + e k

4. Sea la hipótesis

∑ c i μi=0 , i=1

k

donde

∑ c i=0 .

Sea el estadístico de prueba

i=1

k

W =∑ c i ´y i . i=1

Hallar la media y la varianza de W. Muestre que cuando la hipótesis nula es verdadera la estadística W2 se distribuye como una variable aleatoria ji cuadrada con 1 grado de σW2 libertad. Solución La varianza W es:

Si los tamaños de la muestra de cada tratamiento son iguales. La ecuación de la hipótesis nula es la siguiente:

Si es verdadera el cociente sería:

Se puede observar que la distribución N(0,1) se sustituye la varianza desconocida con su estimación y se usa el siguiente estadístico de prueba.

Al sustituir las medias de los tratamientos con los promedios de los tratamientos, se obtiene