TALLER DE APLICACIÓN DE MINITAB PARA LA MEJORA Y SOLUCIÓN DE PROBLEMAS CURSO TALLER DE APLICACIÓN DE MINITAB Elaboró:
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TALLER DE APLICACIÓN DE MINITAB PARA LA MEJORA Y SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
CURSO TALLER DE APLICACIÓN DE MINITAB
Elaboró: Dagoberto Salgado Horta Enero 2011 Tel. 2719872 o 3006527920 Mail: [email protected]
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Dagoberto Salgado Horta
TALLER DE APLICACIÓN DE MINITAB PARA LA MEJORA Y SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
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CONTENIDO MÓDULO 1. INTRODUCCIÓN 1. 2. 3. 4. 5.
Características generales del Minitab Pantallas y menús Abrir, guardar e imprimir archivos Cálculos con columnas y renglones Aplicaciones
MÓDULO 2. HERRAMIENTAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS 1. 2. 3. 4. 5.
Gráficos de barras y línea Diagrama de Pareto y de Causa Efecto Gráficas de dispersión de dos variables Gráficas tridimensionales Aplicaciones
MÓDULO 3. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 1. 2. 3. 4. 5. 6.
Estadísticos de una muestra Diagrama de caja y diagrama de tallo y hojas Histogramas Prueba de normalidad Distribución normal estándar y distribución normal Aplicaciones
MÓDULO 4. HERRAMIENTAS PARA ANÁLISIS - ESTADÍSTICA INFERENCIAL 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
Cálculo de probabilidades Pruebas de hipótesis de una población Pruebas de hipótesis de dos poblaciones Tamaño de muestra y potencia Análisis de varianza (ANOVA) Correlación y Regresión lineal y cuadrática simple Aplicaciones
MÓDULO 5. ESTADÍSTICA NO PARAMÉTRICA 1. Prueba de rachas de normalidad 2. Prueba de los signos de una mediana 3. Prueba de Wilconox de una mediana 4. Prueba de rangos de dos muestras de Mann Whitney 5. Prueba de Kruskal Wallis varias poblaciones 6. Prueba de medianas de Mood varias poblaciones (ANOVA) 7. Experimentos aleatorizados bloqueados (ANOVA 2 vías) 8. Tablas de Contingencia. 9. Aplicaciones
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MÓDULO 6. CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
Cartas de control por variables: I-MR, Xmedia – R Estudios de capacidad de equipos de medición R&R Estudios de capacidad de procesos normales Estudios de capacidad de procesos no normales Cartas de control por atributos: p, np, c, u Estudios de capacidad de proceso por atributos Cartas de control especiales (EWMA, CuSum) Muestreo por atributos (AQL, AOQL, LTPD, Z1.4) Ejercicios
MÓDULO 7. DISEÑO DE EXPERIMENTOS 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
Cartas Multivari Diseño de experimentos factoriales completos Diseño de experimentos factoriales de dos niveles Diseño de experimentos fraccionales Diseño de experimentos de Taguchi Superficies de respuesta Aplicaciones
MÓDULO 8. TÓPICOS ESPECIALES 1. 2. 3. 4. 5. 6.
Series de tiempo Regresión múltiple Análisis multivariado Confiabilidad Operaciones especiales Aplicaciones
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MÓDULO 1. INTRODUCCIÓN Objetivo: Familiarse y realizar aplicaciones con el paquete estadístico Minitab
1.1 Características generales del Minitab Minitab es un paquete estadístico que incluye funciones de la estadística descriptiva, estadística inferencial, diseño de experimentos, series de tiempo, estadística multivariada, confiabilidad y otras funciones especiales para facilitar los cálculos y los análisis estadísticos. Todos las líneas de comando tendrán el formato siguiente (> separa menús):
Data > Change Data Type > Numeric to Text. 1.2 Pantallas y menús Las pantallas y menus principales del Minitab se muestran a continuación:
Captura de datos File > New Hoja de trabajo nueva manteniendo lo que ya se ha procesado como gráficas sesiones, etc.
Proyecto nuevo, borra toda la información que exista en el proyecto abierto.
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Número de columna Nombre de columna
Numéricas
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Letra “T” indica columna de texto
Alfanumérica Fecha/hora
Para cambiar el tipo de datos de la columna de numérica a texto
Data > Change Data Type > Numeric to Text. Aparecerá una caja de diálogo donde indicaremos si deseamos almacenar los valores convertidos en la misma columna o en otra nueva. Para pasar las columnas a la zona de trabajo, se pueden seleccionar con doble click en estas, o por medio del botón de Select
1.3 Abrir, guardar e imprimir archivos
Para proyectos donde se incluye todo, datos gráficas, sesiones.
Se puede importar una hoja de cálculo de Excel en forma directa con
Para hojas de trabajo (worksheets) sólo la parte de hoja tipo Excel
Open Worksheet
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1.4 Cálculos con columnas y renglones a) Se tiene una calculadora integrada para hacer operaciones con columnas:
Calc > Calculator Columna donde aparecerá el resultado
Columnas que contienen los datos
Expresión a calcular
Ejemplo: Velocidad por tiempo Store result in C8 Expresion: C1*C2 b) Otra forma de realizar operaciones en columnas o renglones es a través de Calc > Column o Row Statistics respectivamente:
Cálculos disponibles
Columna (s) sobre la que se hará el cálculo Constante opcional (K1, K2, etc.) en la que se desea almacenar el resultado
La constante se muestra con Data > Display Data > selecc. K2 c) Otra forma de realizar operaciones en columnas o renglones es a través de
Editor > Enable commands MTB > Let C4 = C1 + C2 + C3 o
Edit > Command line editor Escribir la expresión Let C4 = C1 + C2 + C3 Submit commnads
1.5 Aplicaciones Ejercicios con renglones y columnas
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MÓDULO 2. HERRAMIENTAS PARA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS La teoría se puede consultar en el documento de word anexo: Herramientas Solución Probs.doc
2.1 Gráficos de barras y línea Se utiliza el archivo de hoja de trabajo PULSE.MTW de la carpeta DATA de Minitab como ejemplo. Se coleccionan datos de 92 estudiantes, su peso, estatura, peso, sexo, si fuma o no, nivel de actividad física y pulso en reposo. Todos tiran una moneda y los que les salío sol corren durante un minuto, después se vuelve a tomar su pulso. Se puede obtener información sobre los archivos de Minitab con: Help > Help > Data Sets Pulse.Mtw (dar doble click) Para gráficas de barras:
File > Open Worksheet > Pulse.Mtw Graph > Bar chart Se muestran distintas opciones para representar las barras, Para el caso de hombres y mujeres según su actividad se tiene:
Graph > Bar chart: Count of unique values, Stack Categorical variables: Activity Sex Chart of Activity, Sex Sex 1 2
60 50
Count
40 30 20 10 0 Activity
0
1
2
3
Para cambiar la apariencia de las barras: Colocarse en las barras y dar doble click, aparece el cuadro de diálogo Edit Bars Attributes, en Fill Pattern marque Custom y seleccionar blanco en Background color, también se puede seleccionar un tipo de trama por barra dando Click en la gráfica, click en la sección específica y doble click, poner trama en Type. Para poner nombres a los valores codificados de sexo y actividad, se utiliza:
Data > Code > Numeric to text
Se puede usar la misma columna u otra para los valores una vez transformados
Una vez cambiados los valores la gráfica se actualiza en forma automática colocándose en la gráfica y con botón derecho del ratón seleccionar Update Graph Now Página 7
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El marco de la gráfica se puede quitar seleccionándolo con doble click y modificándolo Para gráficas de Pastel:
Graph > Pie chart Se muestran distintas opciones para los datos fuente ya sea Chart caso se establece una variable categórica en este caso Activity
Raw Data en cuyo
La otra opción es que los valores ya estén tabulados previamente, Chart values from a table Pie Chart of Activity C ategory 0 1 2 3
Para separar un sector: Click sobre la gráfica, click sobre el sector y doble click y en Explode indicar Explode Slice Cambiando el número de actividad por su nombre con:
Data > Code > Numeric to text 1 2 3 4
Nula Baja Media Alta
Para indicar el normbre de la categoría y su frecuencia en cada uno de las partes de la gráfica de pastel, seleccionar la gráfica e ir a Slice Labels y marcar:
Category name, Frequency. Para agregar texto y figuras a la gráfica, seleccionar la gráfica con un click:
Editor > Annotation > Graph annotation tools Para agregar texto Seleccionar el botón T Marcar la zona donde debe aparecer el texto Escribir el texto Confirmar Para agregar figuras Seleccionar el botón de la figura e insertarla
2.2 Diagrama de Pareto y de Causa Efecto Diagrama de Pareto Se utiliza el archivo PARETO anexo con estadísticas de los defectos en un producto Copiar los datos de este archivo de datos para el módulo 2 en Minitab
Stat > Quality Tools > Pareto Chart Página 8
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Para el diagrama de Pareto se tienen Se indica dos opciones la columna dedonde entrada sede encuentran datos: los defectos Chart defects in se tiene la opción de una categoría By Variable Los defectos ya se tienen tabulados en una columna donde Chart defects table aparecen los nombre y en otra para las frecuencias
Por ejemplo de la primera opción colocando Defectos en Chart
defects in se tiene:
Pareto Chart of Defectos 200
100
Count
60 100 40 50
Percent
80
150
20
0 Defectos Count Percent Cum %
Rayas 124 63.6 63.6
Sopladura 42 21.5 85.1
Forma 19 9.7 94.9
Terminación 6 3.1 97.9
Other 4 2.1 100.0
0
Miniatab coloca nombre en las barras hasta que se cumple el % acumulado, después acumula todos los demás conceptos y los agrupa en la barra de otros. Usando Operario en By Variable
in se obtiene el diagrama estratificado siguiente:
Pareto Chart of Defectos by Operario s ya Ra Operario = A
p So
lad
ur
a r Fo
m
a
r Te
n mi
ió ac
n th O
er
Operario = B
80 60
Count
40 20 Operario = C
80
Operario = D
Defectos Ray as Sopladura Forma Terminación Other
0
60 40 20 0
y Ra
as So
pla
du
ra
Fo
rm
a r Te
in m
ió ac
n O
e th
r
Defectos
Para quitar los colores: seleccionar las barras y se cambia con Fill Pattern - Custom - Background color - elegir un color que puede ser blanco Con Type se pueden cambiar las tramas de las barras, con click se selecciona la la gráfica, click en la barra específica, doble click y seleccionar la trama. Diagrama de Causa efecto
Stat > Quality Tools > Cause and Effect Para el diagrama de Causa Efecto se tienen dos opciones de entrada de datos: Unicamente columnas de ramas principales o columnas adicionales para subramas.
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Los datos se colocan como sigue: Causas primarias: AMBIENTE Polvo Vibraciones Humedad Temperatura Causas secundarias: FORMA Diámetro Curvatura
MATLS. Forma Dureza Amacen
PERSONAL MÉTODO Salud Ajuste Habilidad Velocidad Humor
ALMACEN Tiempo Ambiente
HABILIDAD HUMOR Selección Horas Formación Moral Experiencia Cansancio
MAQUINAS Mantto. Deformación Abrasión Herramental
Cause-and-Effect Diagram Measurements
Material
C
S alud
ia nc ie er xp ión E ac rm F o ció n c le Se
a ur at
ro et m iá
v ur
D
Para cambiar el tamaño de letra hacer doble click en los títulos y seleccionar otro tamaño de letra
Personnel
F orma D ureza
H abilidad
Ca
A
a ns
io nc al or
po
as or
M
m
e nt bie
H
m
Tie
A macen
Temperatura
H umor
H erramental V elocidad
H umedad V ibraciones
A brasión D eformación
A juste
P olv o
M antto.
Env ironment
Methods
Machines
2.3 Gráficas de dispersión de dos variables Se utiliza de nuevo el archivo PULSE.MTW de Minitab anexo Gráfica de dispersión simple
File > Open Worksheet > Pulse.mtw o Copiar los datos del archivo a Minitab Graph > Scatterplot > Simple Indicar en Y variable Weight y en X variable Height La gráfica de dispersión simple se muestra a continuación: Scatterplot of Weight vs Height 220 200
Weight
180 160 140 120 100 60
62
64
66
68 Height
70
72
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Gráfica de dispersión Simple con una variable categórica: Se puede agregar otra variable para estratificar haciendo doble click en cualquiera de los puntos y seleccionando la pestaña Groups e indicando la variable categórica Sex. Scatterplot of Weight vs Height 220
Sex 1 2
200
Weight
180 160 140 120 100 60
62
64
66
68 Height
70
72
74
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Para cambiar el tipo se símbolo por categoría para impresión en blanco y negro: Click sobre cualquiera de los puntos, para seleccionarlos todos Click sobre los puntos de una cierta categoría Doble click para que aparezca el cuadro de diálogo que permita cambiar el color, símbolo y tamaño para los puntos de ese grupo.
Gráfica de dispersión con estratificación por grupos:
Graph > Scatterplot > With Groups Indicar en Y variable Weight y en X variable Height Indicar en Categorical variables for Grouping Sex La gráfica obtenida es similar a la mostrada arriba. Identificación de puntos en una gráfica Se utiliza el archivo de datos COCHES.MTW anexo: Copiar los datos del archivo de datos para el módulo 2 COCHES Graficando Potencia (CV) vs Previo de venta (pesetas) PVP se tiene:
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Scatterplot of PVP vs Pot.(CV) 50000000
40000000
PVP
30000000
20000000
10000000
0 0
100
200
300
400
500
Pot.(CV)
Para saber el precio y potencia de un coche caro, posicionar el cursor en el punto y esperar unos segundos: Symbol, Row 180: Pot. (CV) = 225, PVP = 44652800 Para marcar más de un punto a la vez se utiliza Brush Con el gráfico seleccionado con un click, seleccionar Editor > Brush, se pueden seleccionar los puntos uno a uno o con un cuadro seleccionar varios a la ve,. manteniendo presionado el botón izquierdo del ratón mientras se seleccionan. Otra forma de activar Brush es con la barra de herramientas Graph Editing llamada desde: Tools > Tool Bars > Graph Editing
Con Brush activado y con la ventana de gráfica activa, en el Menu Editor seleccionar Set ID Variables indicar Marca y Modelo seleccionar Include (row numbers)
Para poner la marca a cada punto se usa:
Stat > Scatter plot: With Groups Labels > Data Labels > seleccionar Use Labels from Column Marca Página 12
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Para hacer un Zoom de una zona del diagrama hay que cambiar los valores mínimo y máximo de los ejes, seleccionar cada uno y en Scale Range poner los adecuados. Eje X Eje Y
Minimum Minimum
50 Maximum 1500000 Maximum
Scatterplot of PVP vs Pot.(CV) NISSA N
VO LKSW A GEN
2000000
RENA ULT FIA T
PEUGEOT
LA NC IA FORD VO LKSW A GEN RENA ULT
PVP
1800000
OPEL
1700000
PEUGEOT SEA T VO LKSW A GEN
1600000
OPEL PEUGEOT FORD
1500000 50
60
FIA T SEA T
OPEL
C ITROEN
SEA T
1900000
100 2000000
SEA T HYUNDA I NISSA N
SEA T FORD
PEUGEOT SEA T FIA T SEA T
A lfa Romeo FIA T
C ITROEN MA ZDA FORD SEA T ROVER VO LKSW A GEN HYUNDA I C ITROEN SUZUKI
70
80
90
100
Pot.(CV)
Para identificar las coordenadas de los puntos de la gráfica seleccionar la gráfica
Editor > Crosshair El cursor se convierte en una cruz que se puede colocar en el punto para ver las coordenadas
Gráficas de dispersión Bivariantes con páneles: Se utiliza el archivo REHEAT.MTW de Minitab localizado en la carpeta DATA. File > Open Worksheet > Reheat.Mtw o copiar los datos del archivo anexo Stat > Scatter plot: With Connected Line para unir los puntos Y variable Quality X variables Time Multiple graphs > By Variables > En By variables in separate panels Temp
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Para modificar la apariencia de la gráfica, seleccionarla y:
Editor > Panel > Option Seleccionar Don´t alternate panels Seleccionar Both variable names and levels Scatterplot of Quality vs Time Temp = 350
Temp = 375
Temp = 400
Temp = 425
Temp = 450
Temp = 475
8 6 4
Quality
2 0 8 6 4 2 0 25
30
35
25
30
35
25
30
35
Time
Graficas bivariantes con distribuciones de frecuencia adicionales Con los datos del archivo de datos del módulo 2 - COCHES
Graph > Marginal Plot Se tienen 3 posibilidades después de indicar la variable Y y X como antes: Gráfica de dispersión Simple con una variable categórica: Marginal Plot of PVP vs Pot.(CV)
50000000
PVP
40000000 30000000 20000000 10000000 0 0
Marginal Plot of PVP vs Pot.(CV)
100
200 300 Pot.(CV)
400
500
Marginal Plot of PVP vs Pot.(CV)
50000000
50000000
30000000
40000000
20000000 10000000
PVP
PVP
40000000
0 0
100
200 300 Pot.(CV)
400
500
30000000 20000000 10000000 0 0
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100
200 300 Pot.(CV)
400
500
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Matrices de Graficas bivariantes
Graph > Matrix Plot Se tienen varias posibilidades después de indicar las variables: Matriz de "todas" por "todas" las variables seleccionadas
Permite seleccionar toda la matriz o solo la parte inferior o superior de la misma
Matrix Plot of PVP, Num.Cil., Pot.(CV) 4
8
12
40000000
20000000
PVP
0
12
8 Num.C il. 4
400
P ot.( C V )
200
0 0
20000000
40000000
0
Matriz bivariante solo entre las variables seleccionadas:
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200
400
En este caso se seleccionan:
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Matrix Plot of PVP, Consumo vs Cil.(cc), Pot.(CV), Velo.max 0
200
400 40000000
En esta gráfica si en el Editor se selecciona la opción Brush y manualmente seleccionamos una serie de puntos en una ventana, en forma automática se seleccionan en las otras ventanas.
PVP
30000000 20000000 10000000 0
12
Consumo
10 8 6 4 0
2500 5000 Cil.(cc)
160 Pot.(CV)
240 Velo.max
320
2.4 Gráficas bivariantes tridimensionales Grafica bivariada en tres dimensiones
Graph > 3D Scatter Plot Se utiliza de nuevo el archivo COCHES.MTW anexo Indicar las variables para el eje Z, Y y X
3D Scatterplot of PVP vs Pot.(CV) vs Cil.(cc)
45000000 30000000 PVP 15000000 450
0
300 0
2000 Cil.(cc)
150 4000
6000
Pot.(CV)
0
Con la herramienta Tools > Tool Bars > 3D Graph tools se puede modificar la gráfica: Página 16
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Girar gráfica
Zoom
Posición inicial
Sobre la gráfica de 3 dimensiones se pueden usar también las opciones Brush, modificar ejes, puntos, etc. haciendo doble click sobre ellos. En algunos casos se desea tener los líneas verticales para los puntos, esto se hace en el menu de:
Graph > 3D Scatter Plot Data View Seleccionar en Data Display Projected lines Grafica bivariada en tres dimensiones estratificada por una variable categórica
Graph > 3D Scatter Plot Indicar las variables Z, Y y X así como la variable (s) categórica (s)
3D Scatterplot of PVP vs Pot.(CV) vs Cil.(cc) Num.C il. 2 4 5 6 8 12 45000000 30000000 PVP 15000000 450
0
300 0
2000 C il.( cc)
150 4000
6000
P ot.( C V )
0
Graph > 3D Scatter Plot Superficie mallada (Wireframe) o superificie con textura (surface) Generar datos para la superficie por medio de una función ya establecida con:
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Calc > Make Mesh Data
Columnas donde se guardan los datos generados
Datos para un sombrero vaquero
Obtener la gráfica con:
Graph > 3D Surface Plot Columnas de datos para Z, Y y X de Mesh
Se tienen dos opciones, mallada o superficie
Surface Plot of C3 vs C2, C1
1
C3
0
5
-1
0
-5 C1
0
5
C2
-5
Contour Plot of C3 vs C2, C1
Curvas de nivel (Contour Plots) 5.0
Graph > Contour Plot
-0.4
Columnas de datos para Z, Y y X de Mesh
-0.4 -0.4
C2
2.5
-0.8
-0.8
0.4
0.4
0.0
0.8 0.8
-2.5
0.0 -0.4 -0.8
-5.0 -5.0
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-0.4
-0.8
-2.5
0.0 C1
-0.8
2.5
5.0
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2.5 Aplicaciones
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(Ver ejercicios de Aplicaciones Sección 2 en este libro)
MÓDULO 3. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 3.1 Estadísticos de una muestra Ver archivo Estadistica Descriptiva.doc anexo para una explicación de los conceptos teóricos Se usa el archivo DETERGENTE.MTW anexo en la hoja de datos del módulo 3: Contiene datos de peso en gramos de 500 paquetes de detergente con peso nominal de 4 grs. indicando en cuál de las 2 líneas se ha llenado: Estudio estadístico básico:
Stat > Basic statistics > Display descriptive statistics Variables y variable categórica Gráficas de los datos
Selección de estadísticos específicos
NOTA: Para que las columnas no se desplazen al copiar de Minitab a Excel cambiar a letra COURIER
Descriptive Statistics: Peso en gr Variable Línea N N* Mean Peso en gr 1 250 0 3999.6 2 250 0 4085.6 Variable Línea Q3 Maximum Peso en gr 1 4040.0 4113.0 2 4121.5 4202.0 Página 19
SE Mean 3.14 3.32
StDev 49.6 52.5
Minimum 3877.0 3954.0
Q1 3967.8 4048.8
Median 3999.5 4087.0
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Las gráficas obtenidas de la estadística descriptiva son las siguientes: Histogram (with Normal Curve) of Peso en gr by Línea de llenado 3900 3960 4020 4080 4140 4200
50
1
2
1 Mean StDev N
Frequency
40
4000 49.60 250 2
Mean StDev N
30
4086 52.51 250
20 10 0
3900 3960 4020 4080 4140 4200
Peso en gr Panel variable: Línea de llenado
Individual Value Plot of Peso en gr vs Línea de llenado 4200 4150
Peso en gr
4100 4050 4000 3950 3900 1
2 Línea de llenado
Boxplot of Peso en gr by Línea de llenado 4200 4150
Peso en gr
4100 4050 4000 3950 3900 1
2 Línea de llenado
3.2 Diagrama de caja y diagrama de tallo y hojas Para estos ejemplos se utiliza el archivo PULSE.MTW de Minitab File > Open Worksheet > Pulse.mtw o copiar los datos del archivo anexo Diagrama de caja
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Graph > Boxplot Hacer una columna con el incremento del Pulso = Pulse 2 - Pulse 1
Calc > Calculator Store result in variable Incremento Expression Pulse2 - Pulse1 Gráfica de caja sencillo Boxplot of Pulse1 100
90
Pulse1
80
70
60
50
Gráfica de caja por grupos
Boxplot of Incremento vs Ran, Sex 50 40
Incremento
30 20 10 0 -10 -20 Sex Ran
1
2 1
1
2 2
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El diagrama de caja muestra los cuartiles Q1, Q2 (mediana) y Q3, el rango intercuartílico es Q3 - Q1 y los bigotes se encuentran en Q1 + 1.5RIC y Q3 - 1.5RIC. Los valores que exceden estos rangos se muestran en asteriscos. Los valores similares se desplazan horizontalmente para que se puedan apreciar. Diagrama de tallo y hojas
Graph > Stem and Leaf o Stat > EDA > Stem and Leaf
Variable Estratificación opcional por otra variable Destacar valores que exceden 1.5 RIC de Q1 y Q3 Definición del ancho de la "celda" de números
Stem-and-Leaf Display: Weight Stem-and-leaf of Weight N = 92 Tallo Hojas 1 9 5 4 10 288 13 11 002556688 24 12 00012355555 37 13 0000013555688 (11) 14 00002555558 44 15 0000000000355555555557 22 16 000045 16 17 000055 10 18 0005 6 19 00005 HI 215
Leaf Unit = 1.0 Con Increment = 20 Leaf Unit = 10 Tallo Hojas 1 0 9 13 1 000111111111 37 1 222222222223333333333333 (33) 1 444444444445555555555555555555555 22 1 666666777777 10 1 888899999
HI 21
Valor anómalo destacado
Línea de profundidad (frec. Acumulada hasta la mediana () )
Diagrama de puntos
Graph > Dotplot Se tienen varias alternativas para estos diagramas desde el simple hasta estratificado. Identificando el incremento en el pulso para quienes han corrido o no y por sexo.
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Dotplot of Incremento vs Ran, Sex
Ran
Sex
1
1 2
2
1 2
-9
0
9
18 Incremento
27
36
45
3.3 Histogramas o distribuciones de frecuencia Existen diferentes opciones para esta herramienta: Indicando como variable Pulse1 se tiene: Histogram of Pulse1 25
Frequency
20
15
10
5
0
50
60
70
80
90
100
Pulse1
Se pueden hacer cambios en la escala de los ejes horizontal y vertical haciendo click sobre estos, de la misma forma para el marco del histograma. La apariencia de las barras se puede cambiar haciendo clcik en estas. Para cambiar los intervalos del histograma, se da doble click sobre la escala horizontal del histograma y se selecciona la pestaña Binning
Se deifnen los intervalos a través de sus puntos de corte
Se indica el nuevo número de intervalos
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Histogram of Pulse1 30 25
Frequency
20 15 10 5 0
48.00
56.66
65.33
74.00 Pulse1
82.66
91.33
100.00
Con doble click en la escala horizontal se puede modificar la escala de valores
Una vez creada esta gráfica, se puede hacer otra muy similar dejando el histograma original como ventana activa, por ejemplo para Pulse2:
Editor > Make Similar Graph
Histogram of Pulse2 30
Frequency
25 20 15 10 5 0
60
80
100 Pulse2
120
140
Para comparar los histogramas según se haya corrido o no se tiene:
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Graph > Histogram: Simple Multiple Graphs: Multiple Variable: In separate panels of the same graph; Same scales for graphs X, Y By Variable: Ran Histogram of Pulse1 50
60
70
1
16
80
90
100
2
14
Frequency
12 10 8 6 4 2 0
50
60
70
80
90
100 Pulse1
Panel variable: Ran
3.4 Distribución normal estándar y distribución normal La teoria se puede consultar en el archivo de Word anexo:
Distribución Normal.doc
Calc > Probability distributions > Normal Da la ordenada de probabilidad en un punto del eje horizontal Da la probabilidad acumulada o área desde menos infinito hasta los valores indicado en Input Column o el valor indicado en Input Constant Da el valor para el cual se obtiene la probabilidad acumulada que se indica Media cero y desv. Estándar uno indica una distribución normal estándar, con otros valores se trata de la distribución normal
El área total de probabilidad es de 1.0 La media es de cero y la desv. Estandar 1 Ejemplos: Densidad de probabilidad Página 25
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Calc > Probability distributions > Normal Seleccionar Probability Density En Input Constant poner 1.5 Normal with mean = 0 and standard deviation = 1 x f( x ) 1.5 0.129518 Probabilidad acumulada
Calc > Probability distributions > Normal Seleccionar Cumulative Probability En Input Constant poner 1.5 Normal with mean = 0 and standard deviation = 1 x P( X Probability distributions > Normal Seleccionar Inverse Cumulative Probability En Input Constant poner 0.9332 Normal with mean = 0 and standard deviation = 1 P( X Make Patterned data > Simple set of numbers Store patterned data in C1
Columna para guardar los datos Primer valor Último valor Incremento Listar cada valor Listar toda la lista
Calc > Probability distributions > Normal
Columna de datos fuente Columna de datos distribuidos normalmente
Graph > Scatter plot (With connect line) Página 26
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Indicar en Y C1 y en X C1 En la gráfica quitar los puntos dejando solo la línea con doble click sobre la curva: Attributes Symbols > seleccionar Custom y en Type None Scatterplot of C2 vs C1 0.4
C2
0.3
0.2
0.1
0.0 -5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
C1
Para la parte sombreada bajo la campana se dibuja un polígono:
Editor > Annotation > Graph annotation tools Seleccionar para el interior el color gris
Scatterplot of C2 vs C1 0.4
C2
0.3
0.2
0.1
0.0 -5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
C1
Para las distribuciones de densidad de Weibull se tiene (entre 0 y 4 con incrementos de 0.01):
Calc > Make Patterned data > Simple set of numbers Store patterned data in C1
Calc > Probability distributions > Weibull
se repiten los valores del 1 al 4 en el parámetro de forma
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Graph > Scatterplot (With connect Line) En la gráfica seleccionar los puntos con doble click
Attributes, Symbols, Custom, Type None, Color Black Con Editor > Annotation > Graph annotation tools Con T escribir el texto de las opciones de las gráficas de Weibull Scatterplot of C2, C3, C4, C5 vs C1 1.6
a a a a
1.4 1.2
= 1, = 1, = 1, = 1,
b b b b
Variable C2 C3 C4 C5
=1 =2 =3 =4
Y-Data
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0
1
2 C1
3
4
Areas bajo la curva normal Excel
=Distr.norm.estand( valor de Z)
Minitab
Calc > Probablity distributions > Normal Cumulative probability, Mean 0, standar deviation 1 Input constant (valor de Z) Media = 0
K2 K1
Optional storage (K1 o K2) Data> Display data K1 K2 Calc > Calculator Store result in C1 Expresion K2 - K1
Área entre ± Z = 1 sigmas
Minitab K2 0,933193
K1 0,0668072
Área 0,8663858
Excel Área 0,866385597
Área entre ± Z = 2 sigmas
0,97725
0,0227501
0,9544999
0,954499736
Área entre ± Z = 3 sigmas
0,99865
0,0013499
0,9973001
0,997300204
0,0668072
0,0668072
0,066807201
0,211855
0,211855
0,211855399
0,0668072
0,6589398
0,658939681
Área antes de Z = -1.5 Área después de Z = 0.8 Restar a 1 o dar - Z Área entre Z=-1.5 y Z=0.6
0,725747
Para cambiar el número de decimales mostrado en las columnas seleccionándolas y
Editor > Format column > Numeric
Fixed decimal with 8 u otro
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3.5 Prueba de normalidad Utilizando el archivo de datos de DETERGENTE.MTW anexo Copiar los datos del archivo a Minitab Las hipótesis son las siguientes: Ho: Los datos SI provienen de una población distribuida normalmente Ha: Los datos NO provienen de una población distribuida normalmente
Stat > Basic statistics > Normality Test en Variable indicar la columna de Pesos Seleccionar la prueba de Anderson Darling Probability Plot of Peso en gr Normal
99.9
Mean StDev N AD P-Value
99 95
Percent
90
4043 66.76 500 0.426 0.314
80 70 60 50 40 30 20
AD - El estadístico de Anderson Darling está en función de las distancias entre los puntos y la recta es mejor un valor menor P Value indica la probabilidad de equivocarnos al rechazar el supuesto de normalidad cierto
10 5 1 0.1
3800
3900
4000 4100 Peso en gr
4200
Un valor P de menos de 0.05 indica que los datos no son normales, en este caso si lo son.
4300
Otra forma de hacerlo es con:
Graph > Probability Plot: Single Variable indicar la columna de Pesos
en Graph
Probability Plot of Peso en gr Normal - 95% CI
99.9
Mean StDev N AD P-Value
99 95
Percent
90 80 70 60 50 40 30 20 10 5 1 0.1
3800
3900
4000 4100 Peso en gr
4200
4300
3.6 Aplicaciones Ver hoja de aplicaciones de este módulo 3.
Página 29
4043 66.76 500 0.426 0.314
En la gráfica se deben observar la gran mayoría de puntos dentro del intervalo de confianza y obtener un P value mayor a 0.05 para indicar que los datos siguen una distribución normal
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MÓDULO 4. HERRAMIENTAS PARA ANÁLISIS - ESTADÍSTICA INFERENCIAL 4.1 Cálculo de probabilidades Distribución t de Student (para número de muestras menor a 30 o sigma desconocida) Se usa para pruebas de hipótesis sobre medias de una y dos poblaciones Requiere un parámetro adicional de Grados de Libertad (gl) = n -1 Excel
=Distr.t( valor de t, gl, colas)
Área bajo la curva
=Distr.t.inv( valor de probabilidad, gl)
Estadístico t para una cierta área El área siempre se divide entre 2
Calc > Probablity distributions > t Inverse Cumulative probability, Degrees of freedom Input constant (valor de la probabilidad alfa o área bajo la curva)
Minitab
Estadístico t (valor a partir del cual inicia el área bajo la curva alfa) Probabilidad alfa (valor del área bajo la curva corresp. A t) Media = 0 Datos 10 10
Alfa 0,05 0,1
1- Alfa Estadístico t Minitab en Minitab 0,95 1,83311 0,9 1,38303
Estadístico t Excel 1,833112933 1,383028738
Distribución F de Fisher (para probar hipótesis de comparación de varianzas entre dos muestras) Requiere dos parámetros adicionales de Grados de Libertad (gl) = n1 -1 y n2 = 2 Excel
=Distr.F( valor de F, gl 1, gl 2) =Distr.F.inv( valor de probabilidad, gl 1, gl 2)
Minitab
Calc > Probablity distributions > F Inverse Cumulative probability Numerator Degrees of freedom; Denominator Degrees of Freedom
Input constant (valor de la probabilidad alfa o área bajo la curva) Estadístico F (valor a partir del cual inicia el área bajo la curva alfa)
Fc 0 Sólo valores positivos en eje horizontal curva no simétrica Datos de la muestra 1 10 10
Datos de la muestra 2 10 10
Alfa 0,05 0,1
S12 S 22
1- Alfa Minitab 0,95 0,9
Página 30
S1 debe ser mayor a S2
Estadístico F en Minitab 3,17889 2,44034
Excel 3,178893104 2,440340438
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Distribución Chi Cuadrada (para probar hipótesis de la varianza de una población) Requiere un parámetro adicional de Grados de Libertad (gl) = n -1 Excel
=Distr.Chi( valor de Chi, gl) =Prueba.Chi.inv( valor de probabilidad, gl)
Minitab
Calc > Probablity distributions > Chi Square Inverse Cumulative probability Degrees of freedom
Input constant (valor de la probabilidad alfa o área bajo la curva) Estadístico Chi (valor a partir del cual inicia el área bajo la curva alfa)
Fc 0 Sólo valores positivos en eje horizontal curva no simétrica
Datos de la muestra 10 10
Alfa 0,05 0,1
S12 S 22
1- Alfa Minitab 0,95 0,9
Estadístico Chi Cuadrado en Minitab Excel 16,919 16,9189776 14,6837 14,68365657
4.2 Pruebas de hipótesis de una población Referirse a los materiales sobre Pruebas de hipótesis para la teoría de estas pruebas MinitabPruebaHipótesis.doc InterConfPruHipo1P.xls Pruebas Hipotesis 2 pob1.xls Las pruebas de hipótesis permiten probar una afirmación o rechazarla en relación a parámetros de la población que pueden ser la media, varianza y proporción con nivel de confianza que normalmente es del 95% (con 5% de probabilidad de error). Para las pruebas se toman muestras de las poblaciones y en base a la información que proporcionen se infiere sobre el comportamiento del parámetro en la población. Caso 1. Prueba de una media poblacional cuando se conoce la varianza de la población (en base a datos históricos) Ho: Media = valor
Ha: Media Valor
Ejemplo: Una línea de llenado de paquetes debe llenar 4 kg en cada uno. Se toman 20 muestras y se pesan en gramos: 4035 3949 3969 3955 3969 3928 4017 3979 3984 3995 3974 4009 3970 4034 3991 4024 3983 3997 3964 3988 La desviación estándar histórica es de 25 g. ¿Se puede afirmar que el peso promedio es diferente a 25 g.? Ho: Media = 25
Ha: Media 25 Página 31
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Se inrtroducen los valores en una sola columna C1 titulada Pesos:
Stat > Basic Statistics > 1 - Sample Z
Indicar columna de datos
Esta sección se usa cuando hay datos de media y muestras
Desviación estándar histórica Media a probar
Nivel de confianza
Hipótesis alternativa, también se puede probar "Menor que" o "Mayor que"
Permite seleccionar varios tipos de gráficas
Individual Value Plot of Pesos
(with Ho and 95% Z-confidence interval for the Mean, and StDev = 25)
_ X Ho
3920
3940
3960
3980 Pesos
4000
4020
One-Sample Z: Pesos Test of mu = 4000 vs not = 4000 The assumed standard deviation = 25 Página 32
4040
Si la Ho queda fuera de la línea azul, entonces se rechaza la hipótesis nula Ho y se acepta la hipótesis alterna Ha indicando que los pesos son menores a los 4 Kgs.
Variable Pesos
N 20
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Mean 3985.70
Z -2.56
StDev 28.18
SE Mean 5.59
95% CI (3974.74, 3996.66)
Este es el intervalo de confianza del 95% donde se encuentra la media del proceso de llenado (población). El 4000 no se encuentra en el intervalo por tanto el promedio difiere de lo que se afirma
P 0.011
Él valor P es menor a 0.05 por tanto se rechaza la Ho y se acepta la alterna en este caso el promedio difiere de los 4000 g.
Caso 2. Prueba de una media poblacional cuando no se conoce la varianza y el número de datos es menor a 30 Ho: Media = valor
Ha: Media Valor
Stat > Basic Statistics > 1 - Sample t Similar al anterior sin requerir el valor de la desviación estándar
One-Sample T: Pesos Test of mu = 4000 vs not = 4000 Variable N Mean StDev SE Mean Pesos 20 3985.70 28.18 6.30
95% CI (3972.51, 3998.89)
T -2.27
P 0.035
Las conclusiones son iguales que en el caso 1
Caso 3. Prueba de hipótesis para una proporción Ejemplo: Un producto tiene accesorios que se piensa nadie usa, se hace una encuesta a 200 usuarios y 17 si usan los accesorios. ¿Para un 95% de confianza se confirma la sospecha de que menos del 10% de usuarios usan estos accesorios? Ho: Proporción >= 0.10
Ha: Proporción < 0.10
Stat > Basic Statistics > 1 - Proportion Se usa a mano si np > 5 y n(1-p) > 5 sin embargo Minitab lo calcula por el método exacto
Test and CI for One Proportion Test of p = 0.1 vs p < 0.1 Upper Página 33
Exact
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Sample 1
X 17
N 200
Sample p 0.085000
Bound 0.124771
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P-Value 0.285
No se rechaza Ho ya que la Proporción del 10% de la hipótesis se encuentra en el intervalo de confianza y el P value es mayor a 0.05, no se acepta la hipótesis alterna. Es válido decir que sólo el 10% de los usuarios utilizan los accesorios
4.3 Pruebas de hipótesis de dos poblaciones Caso 1. Comparación de dos medias - Muestras independientes H: Media A - Media B = 0
Ha: Media A - Media B 0
Ejemplo: 10 pieles son curtidas usando el método A y 10 usando el método B, las resistencias a la tracción son las siguientes: Método A Método B 24,3 24,4 25,6 21,5 26,7 25,1 22,7 22,8 24,8 25,2 23,8 23,5 25,9 22,2 26,4 23,5 25,8 23,3 25,4 24,7 ¿Se puede decir que los dos métodos producen resistencias a la tracción diferentes? Usar un nivel de confianza del 95%. Se colocan los valores en dos columnas diferentes C1 y C2 corresp. A Metodos A y B Paso 1. Se realiza un análisis de comparación de varianzas poblacionales: Ho: Varianza A = Varianza B Ha: Varianza A Varianza B
Stat > Basic Statistics > 2 Variances
Test for Equal 95% Bonferroni F-Test (normal Test statistic
Variances: Método A, Método B confidence intervals for standard deviations distribution) = 1.01, p-value = 0.991 Página 34
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Como el P value es mayor a 0.05 no se rechaza la Hipótesis nula de igualdad de varianzas, por tanto se asume que son iguales. Esta inf. se usará a continuación: Paso 2. Se realiza un análisis de comparación de medias poblacionales H: Media A - Media B = 0 Ha: Media A - Media B 0
Stat > Basic Statistics > 2 - Sample t
La gráfica de puntos individuales indica diferencia entre las muestras Individual Value Plot of Método A, Método B 27 26
Data
25
24 23
22 21 Método A
Método B
Y los resultados de la prueba estadística lo confirman:
Two-sample T for Método A vs Método B
Método A Método B
N 10 10
Mean 25.14 23.62
StDev 1.24 1.24
SE Mean 0.39 0.39
Difference = mu (Método A) - mu (Método B) Estimate for difference: 1.52000 95% CI for difference: (0.35037, 2.68963) T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = 2.74
P-Value = 0.014
Como el cero no se encuentra en el intervalo de confianza de la diferencia de las dos medias y el valor P value es menor a 0.05 se rechaza la hipótesis nula de igualdad de medias y se acepta la alterna afirmando que son diferentes Caso 2. Muestras pareadas - Prueba si las diferencias entre sujetos son iguales. Ho: Media de diferencias = 0
Ha: Media de diferencias Página 35
DF = 17
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Se utilizan cuando se trata de comparar el efecto de dos tratamientos a los mismos sujetos u objetos, por ejemplo el peso de individuos antes y después de una rutina. También se aplica cuando cuando antes de comparar se hacen parejas de sujetos por ejemplo para comparar los promedios de alumos de dos universidades, primero se forman parejas (dos ingenieros, dos administradores, dos arquitectos, etc.) Ejemplo: Se hacen dos tratamientos superficiales para lentes A y B, se seleccionan 10 personas a las que se les instala uno de esos lentes en cualquier lado al azar. Después de un periodo se mide el deterioro (rayas, desgaste, etc.) de cada lente: Persona 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Lente A 6,7 5,0 3,6 6,2 5,9 4,0 5,2 4,5 4,4 4,1
Lente B 6,9 5,8 4,1 7,0 7,0 4,6 5,5 5,0 4,3 4,8
A un 95% de nivel de confianza ¿Se puede afirmar que los 2 tratamientos producen diferente deterioro en los lentes? Se colocan los datos en las columnas C1 y C2 para los Lentes A y B. Ho: Diferencia de medias = 0
Ha: Diferencia de medias 0
Stat > Basic Statistics > Paired t
Individual Value Plot of Differences
(with Ho and 95% t-confidence interval for the mean)
_ X Ho
-1.2
-1.0
-0.8
-0.6 -0.4 Differences
-0.2
0.0
Paired T-Test and CI: Lente A, Lente B Paired T for Lente A - Lente B
Lente A Lente B Difference
N 10 10 10
Mean 4.96000 5.50000 -0.540000
StDev 1.02978 1.13039 0.343835
SE Mean 0.32564 0.35746 0.108730
Página 36
Como el valor de Ho no se encuentra en el intervalo de confianza de la diferencia de las dos medias, se rechaza Ho y se acepta Ha indicando que el deterioro es diferentes en los dos métodos.
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95% CI for mean difference: (-0.785964, -0.294036) T-Test of mean difference = 0 (vs not = 0): T-Value = -4.97
P-Value = 0.001
Como el cero no se encuentra en el intervalo de confianza de la diferencia de las dos medias y el valor P value es menor a 0.05 se rechaza la hipótesis nula de igualdad de medias y se acepta la alterna afirmando que los tratamientos producen deterioros diferentes. Caso 3. Comparación de dos proporciones Ejemplo: En una encuesta a 300 clientes de la zona A, 33 estan descontentos En otra zona B se encuestaron a 250 clientes y 22 se mostraron descontentos. A un 95% de nivel de confianza o 5% de nivel de sigfinicancia, ¿Hay diferencia en las proporciones de clientes descontentos en las dos zonas? Ho: Proporción A = Proporción B
Ha: Proporción A Proporción B
Stat > Basic Statistics > 2 - Proportions
Se usa la sección de datos resumidos Como Opciones NC = 95% Alternate = Not equal, Test Dif = 0 Use Pooled estimate p for test
Test and CI for Two Proportions Sample X N Sample p 1 33 300 0.110000 2 22 250 0.088000 Difference = p (1) - p (2) Estimate for difference: 0.022 95% CI for difference: (-0.0278678, 0.0718678) Test for difference = 0 (vs not = 0): Z = 0.86
P-Value = 0.392
Como el cero si se encuentra en el intervalo de confianza de la diferencia de las dos proporciones y el valor P value es mayor a 0.05 no se rechaza la hipótesis nula de igualdad de proporciones o sea que no hay razón para decir que las proporciones sean diferentes.
4.4 Tamaño de muestra y potencia Potencia:
Es la capacidad de una prueba para detectar una diferencia cuando realmente existe. Hipótesis Nula Desición Verdadera Falsa No rechazar Desición correcta Error tipo II p=1-a p=b Rechazar Error tipo I Desición correcta p=a p=1- b Potencia Página 37
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La potencia de la prueba es la probabilidad de de rechazar correctamente la hipótesis nula siendo que en realidad es falsa. El análisis de potencia puede ayudar a contestar preguntas como: * ¿Cuántas muestras se deben tomar para el análisis? * ¿Es suficiente el tamaño de muestra? * ¿Qué tan grande es la diferencia que la prueba puede detectar? * ¿Son realmente valiosos los resultados de la prueba? Para estimar la potencia, Minitab requiere de dos de los siguientes parámetros: * Tamaños de muestra * Diferencias - un corrimiento significativo de la media que se desea detectar * Valores de potencia - La probabilidad deseada de rechazar Ho cuando es falsa
Caso 1. Prueba t de una media poblacional Ejemplo: Se tiene una población normal con media de 365 y límites de especificación de 360 y 370. Si la media se desplaza 2.5 gramos por arriba de la media, el número de defectos sería inaceptable, la desviación estándar histórica es de 2.403:
CORRIDA DE 2.5 GRS. EN PROMEDIO 0.18 LIE 360
0.16
Ha: Corrida 367.5
Ho: Meta 365
Variable Original C orrida
LIE 370
0.14
Y-Data
0.12 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00 355
360
365 C1
370
375
Stat > Power and Sample Size > 1 - Sample t Completar el diálogo como sigue:
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Los resultados se muestran a continuación:
Power and Sample Size 1-Sample t Test Testing mean = null (versus not = null) Calculating power for mean = null + difference Alpha = 0.05 Assumed standard deviation = 2.403
Difference 2.5
Sample Size 6
Se tiene un 53.76% de Potencia para detectar una diferencia de 2.5 si se usan 6 muestras O sea que hay una probabilidad del 46.24% que no se rechaze Ho y se concluya que no hay diferencia significativa.
Power 0.537662
¿cuántas muestras se requieren para tener un 80% de probabilidad de detectar el corrimiento, y para 85%, 90% y 95%?
Stat > Power and Sample Size > 1 - Sample t
Se cambia este parámetro
Los resultados se muestran a continuación:
Difference 2.5 2.5 2.5 2.5
Sample Size 10 11 12 15
Target Power 0.80 0.85 0.90 0.95
Actual Power 0.832695 0.873928 0.905836 0.962487
Si la potencia es demasiado alta por decir 99% se pueden detectar diferencias que realmente no son significativas. Caso 2. Prueba t de comparación de dos medias poblacionales Ejemplo: La potencia de una prueba depende de la diferencia que se quiera detectar respecto a la desviación estándar, para una sigma poner 1 en diferencia y desviación estándar, con valores deseados de Potencia de 0.8 y 0.9.
Stat > Power and Sample Size > 2 - Sample t Power and Sample Size
2-Sample t Test
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Testing mean 1 = mean 2 (versus not =) Calculating power for mean 1 = mean 2 + difference Alpha = 0.05 Assumed standard deviation = 1
Difference 1 1
Sample Size 17 23
Target Power 0.8 0.9
Actual Power 0.807037 0.912498
Se requieren tamaños de muestra de entre 17 y 23 Caso 3. Prueba de 1 proporción Para estimar la potencia, Minitab requiere de dos de los siguientes parámetros: * Tamaños de muestra * La proporción - una proporción que se desea detectar con alta probabilidad * Valores de potencia - La probabilidad deseada de rechazar Ho cuando es falsa Suponiendo que se desea detectar una proporción de 0.04 con el 0.8 y 0.9 de niveles de Potencia:
Proporción que se desea detectar con alta probabilidad (0.80, 0.90)
Es la proporción de la Hipótesis nula
Test for One Proportion Testing proportion = 0.02 (versus > 0.02) Alpha = 0.05 Alternative Sample Target Proportion Size Power Actual Power 0.04 391 0.8 0.800388 0.04 580 0.9 0.900226 Si se desea saber la Potencia si se utiliza un tamaño de muestra de 500 se tiene:
Stat > Power and Sample Size > 2 - Sample t Sample sizes = 500 Alternative values of p = 0.04 Options: Greater Than Significance Level = 0.05
Test for One Proportion Testing proportion = 0.02 (versus > 0.02) Alpha = 0.05 Alternative Sample Proportion Size Power 0.04 500 0.865861 Por tanto con un tamaño de muestra de 500, la potencia de la prueba para detectar un corrimiento de 2% a 4% es del 86.6% Página 40
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4.5 Análisis de varianza (ANOVA) Para la teoría revisar el artículo anexo en el archivo ANOVA.Doc El Análisis de Varianza es una prueba de hipótesis que trata de probar la igualdad de varias medias al mismo tiempo: H
0
1 2 3 .... k
H 1 : Al menos
dos medias
son diferentes
.
Requiere que las poblaciones sean normales y con varianza similar. ANOVA de una vía con datos de tratamientos en diferentes columnas: Ejemplo: Los técnicos de una fábrica de papel hacen un experimento de un factor para ver que variedad de árbol produce menos fenoles en los desechos de pasta de papel. Se colectan los siguientes datos en porcentajes: A 1,9 1,8 2,1 1,8
B 1,6 1,1 1,3 1,4 1,1
C 1,3 1,6 1,8 1,1 1,5 1,1 A un 95% de nivel de confianza, ¿hay alguna variedad que produzca más fenoles que otra? Se colocan los datos en tres columnas distintas C1, C2 y C3:
Stat > ANOVA > One Way (Unstacked)
Residual Plots for A, B, C Normal Probability Plot of the Residuals
Residuals Versus the Fitted Values
99
0.4 Residual
Percent
90 50 10 1
-0.50
-0.25
0.00 Residual
0.25
0.50
0.2 0.0 -0.2 -0.4
1.4
1.6 Fitted Value
Histogram of the Residuals
Frequency
3 2 1 0
-0.3 -0.2 -0.1
0.0 0.1 Residual
0.2
0.3
0.4
Los residuos deben mostrar un comportamiento normal y aleatorio alrededor de la media para que el análisis sea válido Página 41
1.8
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Los resultados se muestran a continuación:
One-way ANOVA: A, B, C Source Factor Error Total
DF 2 12 14
S = 0.2309
SS 0.9000 0.6400 1.5400
MS 0.4500 0.0533
F 8.44
R-Sq = 58.44%
P 0.005
Como el valor P value es menor a 0.05 existe una diferencia significativa entre algunas medias
R-Sq(adj) = 51.52%
Individual 95% CIs For Mean Based on A produce más fenoles que B,C Pooled StDev Level N Mean StDev ----+---------+---------+---------+----A 4 1.9000 0.1414 (-------*--------) La media de A es B 5 1.3000 0.2121 (------*-------) diferentes a A y B C 6 1.4000 0.2828 (------*------) ----+---------+---------+---------+----1.20 1.50 1.80 2.10 Las medias B y C Pooled StDev = 0.2309 Desviación estándar poblacional son similares Tukey 95% Simultaneous Confidence Intervals All Pairwise Comparisons Individual confidence level = 97.94% A subtracted from: Lower Center B -1.0130 -0.6000 C -0.8974 -0.5000
B subtracted from: Lower Center C -0.2728 0.1000
Upper -0.1870 -0.1026
Upper 0.4728
Como el cero no está en el intervalo de la diferencia B-A o C-A, A es diferente de B y C -----+---------+---------+---------+---(---------*---------) (---------*--------) -----+---------+---------+---------+----0.80 -0.40 -0.00 0.40
-----+---------+---------+---------+---(---------*--------) -----+---------+---------+---------+----0.80 -0.40 -0.00 0.40 El intervalo de la diferencia C-B si incluye el cero por tanto B no es diferentes de C
ANOVA de una vía con datos de tratamientos en una sola columna Los datos del ejemplo anterior arreglados en una sola columna se muestran a continuación:
Página 42
Respuesta 1,9 1,8 2,1 1,8 1,6 1,1 1,3 1,4 1,1 1,3 1,6 1,8 1,1 1,5 1,1
Factor A A A A B B B B B C C C C C C
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Stat > ANOVA > One Way
Los resultados son similares a los anteriores excepto que se obtiene una grafica de 4 en uno en vez de 3 en uno. Residual Plots for Respuesta Normal Probability Plot of the Residuals
Residuals Versus the Fitted Values
99
0.4
Residual
Percent
90 50 10 1
-0.50
-0.25
0.00 Residual
0.25
Histogram of the Residuals
1.4
1.6 Fitted Value
1.8
Residuals Versus the Order of the Data 0.4
2
Residual
Frequency
0.0 -0.2 -0.4
0.50
3
1 0
0.2
0.2 0.0 -0.2
-0.3
-0.2
-0.1
0.0 0.1 Residual
0.2
0.3
0.4
-0.4
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15
Observation Order
4.6 Correlación y Regresión lineal y cuadrática simple Revisar el archivo anexo sobre Análisis de RegresiónRes.doc para conceptos de teoría. Coeficiente de Correlación Establece si existe una relación entre las variables y responde a la pregunta, ”¿Qué tan evidente es esta relación?". La correlación es una prueba fácil y rápida para eliminar factores que no influyen en la predicción, para una respuesta dada. * Es una medida de la fuerza de la relación lineal entre dos variables x y y. * Es un número entre -1 y 1 * Un valor positivo indica que cuando una variable aumenta, la otra variable aumenta * Un valor negativo indica que cuando una variable aumenta, la otra disminuye * Si las dos variables no están relacionadas, el coeficiente de correlación tiende a 0.
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Correlación Negativa Evidente 25
20
20
15
15
10
Y
Y
Correlación Positiva Evidente 25
5 0
5
10
15
20
25
10 5
Sin Correlación
0
0 0
5
10
25
X
15
20
25
X
20 15
25
Y
Correlación Positiva
10
0 0
20
5
10
15
20
25
25
X
20
15
15
10
Y
Y
Correlación Negativa
5
5
10 5
0 0
5
10
15
20
0
25
0
X
5
10
15
20
25
X
Ejemplo: Se utiliza el archivo PULSE.MTW campos Peso (Weight) y Altura (Height) File > Open Worksheet > Pulse.Mtw o copiar los datos del archivo anexo Antes de calcular el coeficiente de correlación se sugiere hacer un diagrama bivariante para identificar posibles valores anómalos, relaciones no lineales, etc.
Graph > Scatterplot: Simple
Y = Weight y X = Height
Scatterplot of Weight vs Height 220 200
Weight
180 160 140 120 100 60
62
64
66
68 Height
70
72
74
76
Ahora se calcula el coeficiente de Correlación que mide el grado de relación que existe entre dos variables, como sigue:
Stat > Basic Statistics > Correlation Height
Seleccionar en Variables Weight Seleccionar Display P values Los resultados son los siguientes:
Correlations: Weight, Height Pearson correlation of Weight and Height = 0.785Coeficiente de correlación P-Value = 0.000 Como el P value es menor a 0.05, la correlación si es significativa
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Si se agrega la variable "Pulse1":
Correlations: Weight, Height, Pulse1 Weight Height Correlaciones Height 0.785 P values 0 Pulse1
-0.202 -0.212 Correlaciones 0.053 0.043 P values Cell Contents: Pearson correlation P-Value Regresión simple por medio de gráfica:
Stat > Regression > Fitted line Plot (Y) Weight y en Predictor (X) Height Seleccionar modelo Linear aunque puede ser Quadratic o Cubic Seleccionar en Response
Ecuación de Regresión
Fitted Line Plot
Weight = - 204.7 + 5.092 Height 220
S Desv. Estandar de los residuos (valor real-estimado por la regresión)
200
Weight
180 S R-Sq R-Sq(adj)
160 140
14.7920 61.6% 61.2%
120 100 60
62
64
66
68 Height
70
72
74
76
R-Sq Coeficiente de Determinación en porcentaje de variación explicada por la ecuación de regresión
R-Sq (Adj) - Sólo para regresión múltiple Regression Analysis: Weight versus Height
The regression equation is Weight = - 204.7 + 5.092 Height S = 14.7920 R-Sq = 61.6% R-Sq(adj) = 61.2% Analysis of Variance Source DF SS MS F P Regression 1 31591.6 31591.6 144.38 0.000 Error 90 19692.2 218.8 El valor p menor a 0.05 indica que SI Total 91 51283.9 es significativa la Correlación entre Y y X. Regresión simple: Efectúa un análisis de regresión simple:
Stat > Regression > Regression Seleccionar en Response Weight y en Predictors Height Regression Analysis: Weight versus Height The regression equation is Weight = - 205 + 5.09 Height
Ecuación de regresión Página 45
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Predictor Constant Height
Coef -204.74 5.0918
SE Coef 29.16 0.4237
T -7.02 12.02
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P 0.000 0.000
S = 14.7920
R-Sq = 61.6% R-Sq(adj) = 61.2% Coef. De determinación Analysis of Variance Source Regression Residual Error Total
DF 1 90 91
SS 31592 19692 51284
MS 31592 219
F 144.38
P 0.000 Regresión significativa
Unusual Observations Obs 9 25 40 84
Height 72.0 61.0 72.0 68.0
Weight 195.00 140.00 215.00 110.00
Fit 161.87 105.86 161.87 141.50
SE Fit 2.08 3.62 2.08 1.57
Residual 33.13 34.14 53.13 -31.50
St Resid 2.26R 2.38R 3.63R -2.14R
Puntos con un residuo estándar mayor a 2
R denotes an observation with a large standardized residual. En algunos casos hay puntos que están muy alejados de la mayoría de los puntos se marcan con X y pueden sesgar los resultados, se sugiere investigarlos. Por ejemplo: Usando el archivo PUNTOS_RX.MTW anexo: Copiar los datos del archivo a Minitab
Graph > Scatterplot: Simple
Y=yyX=x
Fitted Line Plot
Y = 14.16 + 4.075 X 70
S R-Sq R-Sq(adj)
60
3.47429 86.6% 86.3%
Y
50 40 30 20 10 0
2
4
6 X
8
10
12
Stat > Regression > Regression Seleccionar en Response Y y en Predictors X Unusual Observations Obs 51 52
X 2.5 12.0
Y 40.000 60.000
Fit 24.343 63.056
SE Fit 0.483 2.178
Residual 15.657 -3.056
St Resid 4.55R -1.13 X
R denotes an observation with a large standardized residual. Página 46
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X denotes an observation whose X value gives it large influenc Regresión simple con datos transformados: En algunos casos el ajuste se mejora mucho si se transforman los datos: Por ejemplo usando los datos del archivo CEREBRO.MTW anexo que tiene los pesos del cerebro y los pesos del cuerpo en 62 especies de mamíferos se tiene: Copiar los datos del archivo a Minitab Haciendo una gráfica de dispersión bivariada se tiene:
Graph > Scatterplot: Simple
Y = Peso cerebro y X = Peso total
Scatterplot of Peso cerebro (g) vs Peso total (kg) 6000
Peso cerebro (g)
5000 4000 3000 2000 1000 0 0
1000
2000
3000 4000 Peso total (kg)
5000
6000
7000
En este caso los pesos de los elefantes pueden sesgar la ecuación de la recta no se pueden eliminar como anómalos y se intentará transformarlos en forma logarítmica:
Stat > Regression > Fitted line Plot (Y) Peso Cerebro y en Predictor (X) Peso Cuerpo Seleccionar modelo Linear aunque puede ser Quadratic o Cubic En Options seleccionar lo siguiente: Seleccionar en Response
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Como resultado se obtiene una gráfica mucho más uniforme: Fitted Line Plot
logten(Peso cerebro (g)) = 0.9271 + 0.7517 logten(Peso total (kg)) 100000.00
Regression 95% C I 95% PI
10000.00
S R-Sq R-Sq(adj)
Peso cerebro (g)
1000.00 100.00
0.301528 92.1% 91.9%
10.00
Intervalo de valores individuales en base a una X
0.10
1 00 0.
en base a una X
predicción de Y para
1.00
0.01
Intervalos de confianza de Ymedia
0 01 0.
0 10 0.
0 00 1.
Coeficiente de determinación muy cercano a uno
0 0 00 00 00 00 .0 .0 0. 0. 10 00 10 00 10 0 1
Peso total (kg)
Regresión simple cuadrática: Usar el archivo RESIDUOS.MTW anexo o copiar los datos de las columnas X, Y a Minitab
Stat > Regression > Fitted line Plot (Y) Y, Predictor (X) X Seleccionar modelo Linear En Options seleccionar Display Confidence Interval y Prediction Interval: En Graphs seleccionar Residuals vs Fits Seleccionar en Response
Aparece la gráfica siguiente de residuos que no varian aleatoriamente alrededor de la media, sino más bien con un patrón que sugiere un modelo cuadrático: Residuals Versus the Fitted Values (response is Y)
1.0
Residual
0.5
0.0
-0.5
-1.0 15
20
25 Fitted Value
30
35
Repitiendo las instrucciones anteriores pero para modelo Fitted Line Plot
Y = 15.12 + 2.829 X + 0.2355 X**2 Regression 95% C I 95% PI
35
S R-Sq R-Sq(adj)
Y
30
25
20
15 0
1
2
3
4
5
X
Página 48
0.228822 99.9% 99.9%
Quadratic se tiene:
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Residuals Versus the Fitted Values (response is Y)
0.50
Residual
0.25
0.00
-0.25
-0.50 15
20
25 Fitted Value
30
35
Los residuos aparecen en forma aleatoria indicando un modelo adecuado.
4.7 Aplicaciones Ver aplicaciones del Módulo 4
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MÓDULO 5. ESTADÍSTICA NO PARAMÉTRICA Acciones a tomar sobre los datos normales antes de optar por estas pruebas: Revise y asegúrese de que los datos no siguen una distribución normal. •
Desarrollar una Prueba de normalidad. Para la prueba de Bartlet
el valor de p debe ser < 0.05) • Desarrollar una Prueba de Corridas (para verificar que no existen sucesos •
no aleatorios que puedan haber distorsionado la información) Revisar la información para detectar errores (tipográficos, etc.).
•
Investiguar los valores atípicos. Una muestra pequeña (n < 30) proveniente de un universo normal,
se mostrará algunas veces como anormal. • Intentar transformar los datos. Las transformaciones comunes incluyen: - Raíz cuadrada de todos los datos
•
- Logaritmo de todos los datos
•
- Cuadrado de todos los datos
• •
Si la información es todavía anormal, entonces usar las herramientas no paramétricas.
Se utilizan cuando no interesa la forma de la distribución o cuando los datos no son normales
Prueba de Hipótesis Atributos
Variables No Normales Varianzas Homogeneidad de Varianzas de Levene
Tablas de Contingencia de
Medianas
Correlación
Correlación Prueba de signos
Normal
Wilcoxon MannWhitney KruskalWallis Prueba de Mood Friedman
Variancia Chi
Prueba-F Homogeneidad de la Variación de Bartlett
Medias Pruebas de t Muestra-1 Muestra-2
ANOVA Una vía Dos vías
Correlación Regresión Se tienen las pruebas siguientes como más comunes: Página 50
Residuos distribuidos normalmente
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Pruebas de normalidad o aleatioriedad de los datos Prueba de Rachas: Calcula la probabilidad de que un X número de puntos o rachas de referencia, estén por encima o por debajo del promedio aleatoriamente. Se tiene pruebas paramétricas y no paramétricas. Pruebas de igualdad de varianzas Pruebas de Varianzas Homogeneidad de la varianza de Levene: Compara dos o más varianzas de muestras de la misma población. Pruebas no paramétricas con la medianas o medianas Pruebas de la Mediana Prueba de signos: Prueba si el promedio de la mediana de la muestra es igual a un valor conocido o a un valor a alcanzar. Prueba Wilcoxon: Prueba si la mediana de la muestra es igual a un valor conocido o a un valor hipotético. Pruebas de la Mediana Prueba Mann-Whitney: Prueba si dos medianas de muestras son iguales. Comprueba el rango de dos muestras, por diferencia entre dos medianas del universo. Prueba Kruskal-Wallis: Prueba si más de dos medianas de muestras son iguales. Asume que todas las distribuciones tienen la misma forma. Pruebas de la Mediana Prueba de la mediana de Mood: Otra prueba para más de dos medianas. Prueba más firme para los valores atípicos contenidos en la información. Prueba de Friedman: Prueba si las medianas de las muestras, clasificadas bajo dos categorías, son iguales. Correlación: Prueba la relación lineal entre dos variables
5.1 Prueba de Rachas Prueba de Rachas paramétrica: Racha es un punto o serie consecutiva de puntos que caen en un lado de la mediana. Se usa cuando se buscan evidencias de ciertos patrones no aleatorios en el proceso, indicando que la variación es anormal formando grupos, oscilaciones, mezclas y que se deben tomar acciones correctivas. Si la muestra es de uno determina la línea central como la mediana y si la muestra es de subgrupos une las medias de los subgrupos con una línea. Las hipotesis de esta prueba son: H0: Las rachas son aleatorias H1: Las rachas siguen un patrón no aleatorio Por ejemplo con el archivo RADON.MTW de este módulo se tiene: Copiar los datos del archivo RADON.MTW anexo Página 51
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Stat > Quality Tools > Run Chart En Single column, seleccionar Membrane . En Subgroup size, poner 2 . Click OK. Run Chart of Membrane 45
Membrane
40 35 30 25 20 1
2
Number of runs about median: Expected number of runs: Longest run about median: A pprox P-Value for C lustering: A pprox P-Value for Mixtures:
3
4 3 6.00000 5 0.02209 0.97791
5 6 Sample
7
Number of runs up or down: Expected number of runs: Longest run up or down: A pprox P-Value for Trends: A pprox P-Value for Oscillation:
8
9
10
5 6.33333 3 0.13455 0.86545
Interpretación de resultados Como el P value de Clustering es menor a 0.05 indica que este patrón es significativo y se deben investigar las posibles causas. Prueba de rachas no paramétrica H0: Las rachas son aleatorias H1: Las rachas siguen un patrón no aleatorio Un entrevistador encuesta a 30 personas al azar y les hace una pregunta con 4 posibles respuestas (0, 1, 2 y 3). Se quiere probar si hay una respuesta aleatoria en el orden de las respuestas o que no haya sesgo en el entrevistado. Usar el archivo EXH_STAT.MTW.
Stat > Nonparametrics > Runs Test. En Variables, seleccioanr Response . Click OK. Los resultados son los siguientes:
Runs Test: Response Runs test for Response Runs above and below K = 1.23333 The observed number of runs = 8 The expected number of runs = 14.9333 11 observations above K, 19 below P-value = 0.005 Interpretación de resultados: Como P value es menor a 0.05 se tiene evidencia de que el comportamiento de las respuestas no es aleatorio y debe investigarse la causa.
5.2 Puebas de signos de la mediana H0: mediana = mediana hipotetizada versus H1: mediana ≠ mediana hipotetizada Ejemplo: Se evaluan los índices de precios de 29 casas. Los datos históricos indican que el índice ha sido de 115. Probar a un alfa de 0.10 si el alfa se ha incrementado. Página 52
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Copiar los datos del archivo EXH_STAT.MTW anexo
Stat > Nonparametrics > 1-Sample Sign. En Variables, seleccionar PriceIndex. Seleccionar Test median y poner 115 en el cuadro En Alternative, Seleccionar greater than. Click OK. Los resultados son los siguientes:
Sign Test for Median: PriceIndex Sign test of median =
PriceIndex
N 29
Below 12
115.0 versus > 115.0 Equal 0
Above 17
Interpretación de resultados:
P 0.2291
Median 144.0
Como el valor P de la prueba es >0.05 no hay evidencia suficiente para rechazar Ho y la mediana no es mayor a 115.
5.3 Prueba de una mediana de Wilconox H0: mediana = mediana hipotetizada versus H1: mediana ≠ mediana hipotetizada Se registran los resultados de examenes en ciencias para 9 estudiantes. Se quiere probar si hay suficiente evidencia de que la mediana sea diferente de 77 con alfa = 0.05.
Stat > Nonparametrics > 1-Sample Wilconox En Variables, seleccionar Achievement Seleccionar Test median y poner 77 en el cuadro En Alternative, Seleccionar Not equal. Click OK. Los resultados son los siguientes:
Wilcoxon Signed Rank Test: Achievement Test of median = 77.00 versus median not = 77.00
Achievement
N 9
N for Test 8
Interpretación de resultados:
Wilcoxon Statistic 19.5
P 0.889
Estimated Median 77.50
Como el valor P de la prueba es >0.05 no hay evidencia suficiente para rechazar Ho y la mediana no es estadísticamente diferente de 77.
5.4 Prueba de rangos de dos muestras de Mann Whitney H0: h1 = h2 versus H1: h1 ≠h2 , donde h es mediana de la población. Se asume que las muestras provienen de dos poblaciones con la misma forma y varianza Ejemplo: Se compara la presión diastólica de dos muestras extraidas de dos poblaciones Se quiere probar a un 5% de nivel de significancia si hay diferencia entre las medianas. Página 53
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Stat > Nonparametrics > Mann-Whitney En First Sample, sleccionar DBP1. En Second Sample, seleccionar DBP2. Click OK. En Confidence level 95% y en Alternative, Seleccionar Not equal. Click OK. Los resultados son los siguientes:
Mann-Whitney Test and CI: DBP1, DBP2 N Median DBP1 8 69.50 DBP2 9 78.00 Point estimate for ETA1-ETA2 is -7.50 95.1 Percent CI for ETA1-ETA2 is (-18.00,4.00) W = 60.0 Test of ETA1 = ETA2 vs ETA1 not = ETA2 is significant at 0.2685 The test is significant at 0.2679 (adjusted for ties) Interpretación de resultados:
Como el valor P de la prueba es >0.05 no hay evidencia suficiente para rechazar Ho y las medianas no son diferentes estadísticamente.
5.5 Prueba de igualdad de medianas de Kruskal Wallis H0: Las medianas poblacionales son todas iguales versus H1: Al menos hay una diferente Esta es una generalización de la prueba de Mann Whitney Ejemplo: Se quiere probar si el efecto de tres tratamientos diferentes influyen en el } crecimiento de bacterias a un 5% de nivel de significancia
Stat > Nonparametrics > Kruskal-Wallis. En Response, seleccionar Growth. En Factor, seleccionar Treatment. Click OK. Los resultados son los siguientes:
Kruskal-Wallis Test: Growth versus Treatment Kruskal-Wallis Test on Growth Treatment 1 2 3 Overall H = 8.63 H = 8.64
N 5 5 6 16
Median 13.20 12.90 15.60
DF = 2 DF = 2
Ave Rank 7.7 4.3 12.7 8.5
P = 0.013 P = 0.013
Z -0.45 -2.38 2.71
(adjusted for ties)
Interpretación de resultados: Como el valor P de la prueba es < 0.05 hay evidencia suficiente para rechazar Ho y las medianas son diferentes estadísticamente. La mediana 1 difiere menos de la mediana general Las medianas 2 y 3 tienen una mayor diferencia respecto a la mediana general.
5.6 Prueba de igualdad de medianas de Mood - Exp. de un factor (ANOVA) Prueba similar a la anterior: Página 54
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H0: h1 = h2 = h3, versus H1: no todas las h's son iguales con h's medianas poblacionales . de OTIS para los tres niveles educacionales. Ejemplo: Se mide la habilidad intelectual de 179 estudiantes en base al dibujo de figuras después se aplica una prueba OTIS y se quiere probar si a un alfa de 5% hay diferencia significativa entre el nivel de educación 0 - Preprofesionales 1 -Profesionales 2 - Preparatoria Usar el archivo de datos CARTOON.MTW Copiar los datos a Minitab
Stat > Nonparametrics > Mood´s Median Test En Response, seleccionar OTIS. En Factor, seleccionar ED. Click OK. Los resultados son los siguientes: Mood Median Test: Otis versus ED Interpretación de resultados: Como el valor P es menor a 0.05 P = 0.000 indica que las medianas no son iguales Individual 95.0% CIs ----+---------+---------+---------+-(-----*-----) (------*------) (----*----) ----+---------+---------+---------+-96.0 104.0 112.0 120.0
Mood median test for Otis Chi-Square = 49.08 DF = 2
ED 0 1 2
N 9 24 55
Median 97.5 106.0 116.5
Q3-Q1 17.3 21.5 16.3
5.7 Experimento aleatorizado bloqueado (similar a la ANOVA de dos vías) Ho: Los efectos de todos los tratamientos son cero H1: Los efectos de los tratamientos difieren de cero Ejemplo: Se quiere probar un tratamiento de drogas sobre la actividad enzimatica. Se prueba con tres tratamientos en animales de diferentes granjas. Usar el archivo EXH_STAT.MTW.
Stat > Nonparametrics > Friedman. En Response, seleccionar EnzymeActivity. En Treatment, selecionar Therapy. En Blocks, seleccionar Litter. Click OK. Los resultados son los siguientes:
Friedman Test: EnzymeActivity versus Therapy blocked by Litter S = 2.38 DF = 2 P = 0.305 S = 3.80 DF = 2 P = 0.150 (adjusted for ties)
Therapy 1 2 3
N 4 4 4
Est Median 0.2450 0.3117 0.5783
Sum of Ranks 6.5 7.0 10.5
Los valores P son mayores a 0.10 por tanto no hay evidencia para decir que el efecto de los tratamientos sea diferente de cero
Grand median = 0.3783
Página 55
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5.8 Tablas de Contingencia Para la teoría ver artículo Tablas de Contingencia.doc anexo La Tabla de contingencia es una prueba de independencia entre variables. Ho: La variable de renglón es independiente de la variable de columna Las proporciones en todas las columnas de cada renglón son iguales Ha: La variable de renglón tiene dependencia de la variable de columna Las proporciones en las columnas de cada renglón son diferentes Ejemplo: Se tiene interés de probar si la afiliación política depende del sexo y del partído político, para lo cual se encuestan a 100 personas. Del Archivo EXH_TABL.MTW de la carpeta de Minitab o anexo se toman los datos siguientes: Democrat 28 22
Hombres Mujeres
Republican 18 27
Other 4 1
Las instrucciones son las siguientes: Open worksheet EXH_TABL.MTW.
Stat > Tables > Chi-Square Test (Tabla en Worksheet). En Columns que contiene la tabla, indicar Democrat, Republican y Other. Click OK. Los resultados son los siguientes:
Chi-Square Test: Democrat, Republican, Other Expected counts are printed below observed counts Chi-Square contributions are printed below expected counts Democrat 28 25.00 0.360
Republican 18 22.50 0.900
Other 4 2.50 0.900
Total 50
2
22 25.00 0.360
27 22.50 0.900
1 2.50 0.900
50
Total
50
45
5
100
1
NOTA: Las frecuencias esperadas deberían ser mayores a 5.
Chi-Sq = 4.320, DF = 2, P-Value = 0.115 2 cells with expected counts less than 5.
5.9 Aplicaciones Ver ejercicios de aplicación del Módulo 5
Página 56
El valor P es mayor a 0.05 y no se rechaza Ho por tanto el tipo de partido es independiente del sexo de los votantes.
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MÓDULO 6. CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO Para la teoría sobre el CEP ver archivo Cartas de Control.doc
6.1 Cartas de control por variables: X media - R, I-MR, X media - S Carta X - R Carta de Medias Rangos, funciona mejor para subgrupos menores a 10. CAMSHAFT Ejemplo: En una planta automotríz una flecha debe tener 600 mm ± 2 mm de longitud sin embargo ha habido dificultades con dar esta dimensión con problemas de ensamble que resultan en un alto porcentaje de retrabajo y desperdicio. Se dese monitorear esta característica con una carta X media - R durante un mes se colectan 100 mediciones (20 muestras de 5 flechas cada una) de todas las flechas utilizadas en la planta de los dos proveedores que las surten SUPP1 y SUPP2, primero se analiza al SUPP2. Usar el archivo CAMSHAFT.MTW.
Stat > Control Charts > Variables Charts for Subgroups > Xbar-R. Seleccionar All observations for a chart are in one column, seleccionar Supp2. Existe otra alternativa Observations for a subgroup are in a row of columns En Subgroup sizes, poner 5 . Click OK. Usar (Chart) Options si se desea algo de lo siguiente: Parameters Para límites de la media o rango en base a datos históricos de la Mean y/o Standar Deviation Estimate
Para omitir subrupos con los que el proceso sale de control Omit the following subroup when est. parameters (2 14) Method for estimating standar deviation seleccionar R bar
S limits
Para mostrar límites en 2 y 3 (default) sigmas u en otra sigma Display Control Limts at These multiples of std. Dev. (2 3)
Tests
Definir las pruebas estadísticas fuera de control a ser indicadas 1 point > 3 std. Dev. From center line 6 points in a row all increasing and all decreasing 9 points in a row on same side of center line
Stages
Para mostrar diferentes etapas de desempeño del proceso Define stages (historical groups) with this variable xxx
Box Cox
Para transformar datos sin un comportamiento normal Optimal Lamda
Display
Si se quiere condicionar el despliegue de subgrupos Display all subgroups Display last xx subgroups
Store
Para guardar los datos mostrados en la carta de control Mean; Std Dev; Point Plotted; Center line; Control limits
Página 57
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En este caso: Xbar-R Chart of Supp2 1
1
Sample Mean
U C L=602.474 602 _ _ X=600.23
600
598
LC L=597.986 2
4
6
8
10 Sample
12
14
16
18
20
U C L=8.225
Sample Range
8 6
_ R=3.890
4 2 0
LC L=0 2
4
6
8
10 Sample
12
14
16
18
20
TEST 1. One point more than 3.00 standard deviations from center line. Test Failed at points: 2, 14 Se tiene los subgrupos 2 y 14 fuera de control y el proceso no es estable y normal Eliminando estos subgrupos se tiene:
Stat > Control Charts > Variables Charts for Subgroups > Xbar-R. Seleccionar All observations for a chart are in one column, seleccionar Supp2. En Subgroup sizes, poner 5 . En X bar R Options seleccionar Estimate Omit the following subgroups 2 14 sel. R bar Click OK OK. El proceso ahora está dentro de control Xbar-R Chart of Supp2 U C L=602.247
Sample Mean
602 601
_ _ X=599.938
600 599 598
LC L=597.629 2
4
6
8
10 Sample
12
14
16
18
20
U C L=8.465
Sample Range
8 6
_ R=4.003
4 2 0
LC L=0 2
4
6
8
10 Sample
12
14
16
18
20
Ejemplo usando el archivo VITA_C. MTW que contiene pesos de comprimidos tomando 5 muestras cada 15 minutos durante un periodo de 10 horas. Crearemos dos columnas adicionales: Una para la hora de toma de muestra y otra para el número que identifique al operario de la máquina. Página 58
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Calc > Make Patterned Data > Simple Set of Data / Time Values
Hora de la primera y última muestra Incremento de 15 minutos Repetir cada valor 5 veces para cad muestra
Respecto al operario se asume que las primeras 25 muestras las toma el operario A y las otras 15 el operario B Habilitar comandos en la ventana de Sesión con Editor MTB > Set c3 DATA> 125 (1) DATA> 75 (2) DATA> end
> Enable Commands
En C3 poner 125 unos 75 doces fin
Desabilitar ejecución de comandos con Editor
> Enable Commands
El nombre de la columna se pone a mano OPERARIO Carta de control de medias VITA_C
Stat > Control Charts > Variables Charts for Subgroups > Xbar Seleccionar All observations for a chart are in one column, seleccionar Peso En Subgroup sizes, poner 5 . Seleccionar las opciones siguientes: Scale > Time: marcar Stamp y poner como variable Hora Xbar Options > Tests: Marcar Perform all tests for special causes Xbar Options > Stages: Define stages: Operario Click OK OK. La carta obtenida es la siguiente: Xbar Chart of Peso by Operario 3.30
1
2 UCL=3.2939
Sample Mean
3.28
_ _ X=3.2671
3.26 6
LCL=3.2402
3.24 3.22 3.20 1
8:00
9:00
1
10:00 11:00 12:00 13:00 14:00 15:00 16:00 17:00
Hora
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Los patrones anormales detectados son:
Test Results for Xbar Chart of Peso by Operario TEST 1. One point more than 3.00 standard deviations from center line. Test Failed at points: 22, 23 TEST 5. 2 out of 3 points more than 2 standard deviations from center line (on one side of CL). Test Failed at points: 23 TEST 6. 4 out of 5 points more than 1 standard deviation from center line (on one side of CL). Test Failed at points: 5 Carta de control de rangos VITA_C
Stat > Control Charts > Variables Charts for Subgroups > R Seleccionar All observations for a chart are in one column, seleccionar Peso En Subgroup sizes, poner 5 . OK R Chart of Peso UCL=0.1020
0.10
Sample Range
0.08
0.06 _ R=0.0483 0.04
0.02
0.00
LCL=0 4
8
12
16
20 24 Sample
28
32
36
40
Carta de control de Desviación estándar S VITA_C
Stat > Control Charts > Variables Charts for Subgroups > S Seleccionar All observations for a chart are in one column, seleccionar Peso En Subgroup sizes, poner 5 . S Chart of Peso OK UCL=0.04073
0.04
Sample StDev
0.03
_ S=0.01950
0.02
0.01
0.00
LCL=0 4
8
Página 60
12
16
20 24 Sample
28
32
36
40
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TALLER DE APLICACIÓN DE MINITAB PARA LA MEJORA Y SOLUCIÓN DE PROBLEMAS Carta de control de lecturas individuales CAMSHAFT Utilizando los datos del archivo CAMSHAFT Se copian o se carga el archivo Worksheet de Minitab CAMSHAFT.MTW
Stat > Control Charts > Variables Charts for Individuals > I-MR. En Variables seleccionar SUPP1. Click OK La gráfica obtenida es la siguiente: I-MR Chart of Supp1 1
1
U C L=601.176
Individual Value
601
600
_ X=599.548
599
598
LC L=597.920 1
1
10
20
30
40
50 60 O bser vation
70
80
90
100
1
Moving Range
2.4 1
U C L=2.000
1.8 1.2
__ M R=0.612
0.6 0.0
LC L=0 1
10
20
30
40
50 60 O bser vation
70
80
90
100
Varios puntos salen de control por lo que el proceso no es estable:
Test TEST Test Test TEST Test
Results for I Chart of Supp1 1. One point more than 3.00 standard deviations from center line. Failed at points: 39, 55, 82 Results for MR Chart of Supp1 1. One point more than 3.00 standard deviations from center line. Failed at points: 34, 56
Excluyendo los puntos que salen de control se tiene:
Stat > Control Charts > Variables Charts for Individuals > I-MR. En Variables seleccionar SUPP1 En Data Options seleccionar Specify which rows to exclude Seleccionar Row Numbers 34 39 55 56 82 Click OK OK. I-MR Chart of Supp1 Individual Value
601
U C L=600.943
600
_ X=599.531
599
598
LC L=598.118 1
1
Moving Range
2.0
10
1
20
30
1
40
50 60 O bser v ation
70
80
90
100
1
U C L=1.735
1.5 1.0 __ M R=0.531
0.5 0.0
LC L=0 1
10
20
30
40
50 60 O bser v ation
Página 61
70
80
90
100
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TALLER DE APLICACIÓN DE MINITAB PARA LA MEJORA Y SOLUCIÓN DE PROBLEMAS Repitiendo la operación anterior para los puntos 1, 21, 36 se tiene: Seleccionar Row Numbers 1 21 36 34 39 55 56 82 I-MR Chart of Supp1
Individual Value
U C L=600.822 600.5 600.0 _ X=599.536
599.5 599.0 598.5
LC L=598.251 1
1
1
10
20
30
40
50 60 O bser vation
70
80
90
100
Moving Range
1.6
U C L=1.579
1.2 0.8 __ M R=0.483
0.4 0.0
LC L=0 1
10
20
30
40
50 60 O bser vation
70
80
90
100
El proceso es bastante estable Carta de lecturas individuales: CLORO Ejemplo: En una industria química se toma una muestra cada 15 minutos y se mide el pH y la concentración de cloro de la solución, los datos se muestran en el archivo CLORO.MTW anexo de este módulo. Separando las muestras del último día viernes se tiene:
Data > Copy > Columns to Columns Copy from columns Hora pH Cl Store copied Data in Columns In current worsheet in columns 'Hora V' 'pH V' 'Cl V' Seleccionar Subset the Data Seleccionar Rows that Match
Condition Fecha = DATE("08/11/2002") función seleccionada Date (From text)
OK OK Obteniendo la carta de control de lecturas individuales se tiene:
Stat > Control Charts > Variable charts for individuals Variable pH V Scale > Time: Stamp 'Hora V' 'Cl V' OK
I Chart of pH V 14 1
13
UCL=12.843
Individual Value
12
Uso de la función Stamp
11 10
_ X=9.128
9 8 7 6
LCL=5.413
5 Hora V Cl V
Página 62
6:45 21
7:30 21
8:15 20
9:00 19
9:45 20
10:30 18
11:15 12:00 19 18
12:45 20
13:30 20
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Como hay un punto que se sale de control se puede omitir como sigue:
Stat > Control Charts > Variable charts for individuals Variable pH V Scale > Time: Stamp 'Hora V' 'Cl V' Data Options seleccionar Specify wich rows to exclude Row numbers 25 I Chart Options en These multiples of the standar deviation poner 1 2 3 OK I Chart of pH V 13 +3SL=12.366
12
+2SL=11.244
Individual Value
11
+1SL=10.122
10 9
_ X=9
8
-1SL=7.878
7
Excluye el punto fuera de control y muestra los límites de control a una, dos y tres sigmas
-2SL=6.756
6
-3SL=5.634
5 Hora V Cl V
6:45 21
7:30 21
8:15 20
9:00 19
9:45 10:30 11:15 12:00 12:45 13:30 20 18 19 18 20 20
Para mostrar el comportamiento por día, se usa Stages por Fecha en dos cartas para mejor claridad
Stat > Control Charts > Variable charts for individuals Variable pH I Chart Options: Define stages (historical group) within this variable Fecha When to start a new value seleccionar With each new value Display seleccionar Each Segment Contains 80 Subgroups OK I Chart of pH by Fecha 04/11/2002
14
05/11/2002
06/11/2002
12
UCL=12.370
10
_ X=8.981
Individual Value
8 6 Hora V Cl V
LCL=5.592 6:15 19
8:00 20
14
10:00 12:00 14:00 21 18 20
07/11/2002
08/11/2002 1
12
UCL=12.843 _ X=9.128
10 8 6
LCL=5.413
Hora V Cl V
Carta deRangos Móviles CLORO
Stat > Control charts > Variable chart for individuals > Moving range Variable ' pH V'
Página 63
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Moving Range Chart of pH V 5 UCL=4.564
Moving Range
4
3
2 __ MR=1.397 1
0
LCL=0 3
6
9
12
15 18 Observation
21
24
27
30
Carta de control de valores individuales y rangos móviles CLORO
Stat > Control charts > Variable chart for individuals > I-MR Variable ' pH V'
OK I-MR Chart of pH V
Individual Value
14
1
U C L=12.843
12 10
_ X=9.128
8 6
LC L=5.413 3
6
9
12
15 18 O bse r v ation
21
24
27
30
U C L=4.564
Moving Range
4 3 2
__ M R=1.397
1 0
LC L=0 3
6
9
12
15 18 O bse r v ation
21
24
27
30
Carta de control X-S CAMSHAFT Se utilizan los datos del archivo CAMSHAFT.MTW anexo Se usa para monitorear proveedores o grupos de máquinas funciona mejor con tamaños de muestra >= 10 Tomando los datos de SUPP2 se tiene:
Stat > Control Charts > Variables Charts for Subgroups > Xbar-S. Seleccionar All observations for a chart are in one column, seleccionar Supp2. Existe otra alternativa Observations for a subgroup are in a row of columns En Subgroup sizes, poner 10. Click OK. Xbar-S Chart of Supp2 1
Sample Mean
602
U C L=601.908
601 _ _ X=600.23
600
599 LC L=598.552 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Sample
Sample StDev
3
U C L=2.952
Página 64 2
1
_ S =1.720
Sample
X=600.23
600
599 1
2
TALLER DE APLICACIÓN DE MINITAB LC L=598.552 PARA LA MEJORA Y SOLUCIÓN DE 9PROBLEMAS 3 4 5 6 7 8 10
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Sample StDev
Sample 3
U C L=2.952
2
_ S =1.720
1 LC L=0.488 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Sample
Como hay un punto fuera de control, se excluyen los puntos 61 a 70: En Data Options seleccionar Specify which rows to exclude Rows 61:70. Xbar-S Chart of Supp2
Sample Mean
602
U C L=601.735
601 _ _ X=600.042
600 599
LC L=598.349 598 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Sample StDev
Sample 3
U C L=2.979
2
_ S =1.736
1 LC L=0.492 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Sample
6.2 Estudios del sistema de medición R&R Revisar la teoría de estudios en sistemas de medición en articulo en archivo R&R.doc anexo En las mediciones se presentan dos tipos de errores: Error por el equipo mismo se denomina error de repetibilidad Se obtiene al repetir la misma medición en el mismo ambiente de trabajo y también por la misma persona, usando el mismo equipo. Error de reproducibilidad Causado por diferencias entre operadores al revisar las mediciones Minitab ofrece varias alternativas de estudios a realizar: 1. Gage Run Chart: Análisis gráfico de los resultados como primeras conclusiones 2. Gage Linearity and Bias Study: ¿es igual el error en todo el rango de magnitudes a medir? 3. Gage R&R Study (Crossed): Estudios de repetibilidad y reproducibilidad (R&R) para estudios cruzados (más comunes) 4. Gage R&R Study (Nested): Estudios de repetibilidad y reproducibilidad (R&R) para estudios anidados (pruebas destructivas) 5. Atribute Gage Study (Analytical Method): Estudios R&R para atributos (características no medibles) Página 65
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Diseños Cruzados (Crossed): Los operadores miden todas las piezas dos o tres veces normalmente características dimensionales Diseños anidados (Nested): Cada pieza es medida por un solo operador para el caso de pruebas destructivas, debe medir varias piezas muy parecidas entre si (normalmente piezas producidas en forma consecutiva) casi sin variabilidad. Para los ejemplos se usa el archivo RR_Cruz.MTW anexo, contiene datos para la realización de un estudio R&R en el que 3 operadores han medido 10 piezas distintas, 3 veces cada una de manera aleatoria y sin saber cual estaban midiendo en cierto tiempo. Análisis gráfico (Gage Run Chart):
Stat > Quality Tools > Gage Study > Gage Run Chart Part Numbers - Pieza; Operators - Operario; Measurement data - Medición Trial Numbers - Orden (indica el orden en que se hicieron las mediciones). Options - Permite poner título al estudio Gage Info: Para información adicional del estudio Gage Run Chart of Medicion by Pieza, Operario Reported by : Tolerance: M isc:
G age name: Date of study :
1
2
3
4
5 16
12
Medicion
Mean
8 6
7
8
9
O perario 1 2 3
Las piezas son diferentes ver pieza 2 y 3 versus la 8y9
10
16
12
Mean
8
Operario Panel variable: Pieza
El operario 2 tiene más variabilidad en sus mediciones y además tiende a tener valores por debajo de los otros 2
Estudio R&R (Crossed)
Stat > Quality Tools > Gage Study > Gage R&R Study (Crossed) Part Numbers - Pieza; Operators - Operario; Measurement data - Medición Seleccionar Method of Análisis - ANOVA Options - Study variation 5.15 (99% nivel de conf.) Tolerance - 15 Tolerancia de las piezas Gage Info: Para información adicional de identificación del estudio Tabla de Análisis de Varianza (ANOVA) También se hubiera obtenido con:
Stat > ANOVA > Two way Response:Medición Row Factor:Pieza Column Factor:Operario Two-Way ANOVA Table With Interaction Source DF SS MS Pieza 9 286.033 31.7814 Operario 2 45.635 22.8173 Pieza * Operario 18 17.261 0.9589 Repeatability 60 89.217 1.4869 Total 89 438.145 Página 66
F P significativa 33.1422 Pieza 0.000 23.7942 Operario 0.000 significativo 0.6449 Interaccion 0.849 no significativa
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Two-Way ANOVA Table Without Interaction Source DF SS MS F Pieza 9 286.033 31.7814 23.2814 Operario 2 45.635 22.8173 16.7147 Repeatability 78 106.478 1.3651 Total 89 438.145
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P 0.000 0.000
Tabla de componentes de la Varianza (informativa) Varianza Source VarComp Total Gage R&R 2.08017 Repeatability 1.36510 Reproducibility 0.71507 Operario 0.71507 Part-To-Part 3.37959 Total Variation 5.45976
%Contribution (of VarComp) 38.10 Varianza relevante debida al equipo 25.00 Menor varianza debida al operador 13.10 13.10 61.90 100.00 Usada cuando el equipo es para control del proceso
Tabla de análisis de la Variación raiz (Varianza) Source StdDev (SD) Total Gage R&R 1.44228 Repeatability 1.16838 Reproducibility 0.84562 Operario 0.84562 Part-To-Part 1.83837 Total Variation 2.33661
Usada cuando el equipo es para liberar producto Study Var %Study Var %Tolerance (5.15 * SD) (%SV) (SV/Toler) 7.4277 61.73 49.52 6.0171 50.00 40.11 4.3549 36.19 29.03 4.3549 36.19 29.03 9.4676 78.68 63.12 12.0336 100.00 80.22
Number of Distinct Categories = 1
El % de error total debe ser de cuando más el 10% o hasta 30% si la característica no es crítica. En algunas industrias se toma 25% como aceptable
Este número debe ser de al menos 4 indicando que el equipo discrimina las partes Se tiene las siguientes variaciones: Parte a parte: Variación entre las partes real
Repetibilidad: Variación debida al aparato o equipo de medición Reproducibilidad: Variación introducida por los operarios
Variación total: Combinación de las anteriores
Ventana de gráficas
Página 67
TALLER DE APLICACIÓN DE MINITAB PARA LA MEJORA Y SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Dagoberto Salgado Horta
Gage R&R (ANOVA) for Medicion Reported by : Tolerance: M isc:
Gage name: Date of study : Components of Variation
Medicion by Pieza
80
% Contribution
18
Percent
% Study Var % Tolerance
12
40
0
6 Gage R&R
Repeat
Reprod
Part-to-Part
1
2
3
R Chart by Operario Sample Range
1
2
4
6 Pieza
7
8
9
10
Medicion by Operario
3
UCL=5.257
18
_ R=2.042
12
Operario 2 tiene una Media más baja
4 2 0
LCL=0
6
1
2 Operario
Xbar Chart by Operario 1
2
3
Operario * Pieza Interaction
3
15.0
15.0 UCL=13.383 _ _ X=11.293
12.5 10.0
Average
Sample Mean
5
Operario 1 2 3
12.5 10.0
LCL=9.204 1
2
3
4
5 6 Pieza
7
8
9
10
Si no hay interacción significativa, estas líneas son paralelas
Carta de rangos: Muestra al operario 2 con mayor variabilidad que los demás pero aun así estan dentro de control, de otra forma repetir las mediciones Cartas de Medias: Debe tener al menos el 50% de sus puntos fuera de control para indicar que el sistema de medición discrimina las partes adecuadamente Ejemplo de estudio R&R (Crossed) usando el archivo de Minitab Gageaiag
File > Open worksheet > Gageaiag (en carpeta DATA) Realizar el estudio R&R de acuerdo a lo siguiente:
Stat > Quality Tools > Gage Study > Gage R&R Study (crossed) Seleccionar columnas de parts, operators y measurement data Seleccionar Method of Analysis ANOVA En gage info introducir la información general del equipo y del estudio En options introducir lo siguiente: Study variation 5.15 (estándar industrial, corresp. al 99% de NC) Process Tolerance 2 a) si hay dos especs. inferior y superior, introducir el rango b) si solo hay una espec. superior introducirla en Upper spec c) si solo hay una espec. inferior introducirla en Lower spec. OK Los resultados son los siguientes:
Two-Way ANOVA Table With Interaction Source Part Operator Part * Operator Repeatability Total
DF 9 2 18 30 59
SS 2.05871 0.04800 0.10367 0.03875 2.24913
MS 0.228745 0.024000 0.005759 0.001292
F P 39.7178 0.000 4.1672 0.033 interacción si es 4.4588 La0.000 significativa, el operador tiene interacción con las partes
Gage R&R Source Total Gage R&R Repeatability
VarComp 0.0044375 0.0012917
%Contribution (of VarComp) 10.67 3.10 Página 68
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Reproducibility Operator Operator*Part Part-To-Part Total Variation
0.0031458 0.0009120 0.0022338 0.0371644 0.0416019
7.56 2.19 5.37 89.33 100.00
Source Total Gage R&R Repeatability Reproducibility Operator Operator*Part Part-To-Part Total Variation
StdDev (SD) 0.066615 0.035940 0.056088 0.030200 0.047263 0.192781 0.203965
Debe ser menor al 10% (AIAG) o menores al 25% (otras industrias) %Study Var %Tolerance (%SV) (SV/Toler) 32.66 17.15 17.62 9.25 27.50 14.44 14.81 7.78 23.17 12.17 94.52 49.64 100.00 52.52
Study Var (5.15 * SD) 0.34306 0.18509 0.28885 0.15553 0.24340 0.99282 1.05042
Number of Distinct Categories = 4
Dagoberto Salgado Horta
Es adecuado mínimo 4
Gage R&R (ANOVA) for Response Reported by : Tolerance: M isc:
G age name: D ate of study : Components of Variation
Response by Part
100
% Contribution
1.00
Percent
% Study Var % Tolerance
50
0.75 0.50
0
Gage R&R
Repeat
Reprod
1
Part-to-Part
2
3
Sample Range
1
2
3
4
6
7
8
9
10
Response by Operator UCL=0.1252
0.10
1.00 0.75
0.05
_ R=0.0383
0.00
LCL=0
0.50 1
2 Operator
Xbar Chart by Operator 1
2
1.00 0.75
3
Operator * Part Interaction
3 _ UCL=0.8796 _ X=0.8075 LCL=0.7354
0.50
Operator
1.00
Average
Sample Mean
5 Part
R Chart by Operator
1 2 3
0.75 0.50 1
2
3
4
La carta R esta dentro de control
5 6 Part
7
8
9
10
Si hay interacción entre operadores y partes, debe revisarse el método de medición
La carta de medias tiene más del 50% de puntos fuera de control, lo que es adecuado Estudio R&R (Nested) para pruebas destructivas Se usa el archivo RR_ANID.MTW que contiene datos de medición de 12 piezas realizadas por 3 operarios. Las piezas se subdividieron en 3 grupos de 4 unidades y cada operario midió 3 veces la pieza de un grupo, en orden aleatorio y sin saber que pieza estaba midiendo Se trata de un diseño anidado ya que cada operador solo mide una parte de las piezas.
Stat > Quality Tools > Gage Study > Gage R&R Study (Nested) Seleccionar columnas de part or batch numbers, operators y measurement data En gage info introducir la información general del equipo y del estudio En options introducir lo siguiente: Study variation 5.15 Process Tolerance 10 Errores mayores a lo permitido OK Study Var %Study Var %Tolerance Source StdDev (SD) (5.15 * SD) (%SV) (SV/Toler) Total Gage R&R 1.37317 7.07181 97.92 70.72 Repeatability 1.13529 5.84676 80.95 58.47 Página 69
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Reproducibility Part-To-Part Total Variation
0.77246 0.28475 1.40238
3.97818 1.46644 7.22225
55.08 20.30 100.00
Gage R&R (Nested) for Medicion Reported by : Tolerance: M isc: Components of Variation
Medicion By Pieza ( Operario )
100
24
% Contribution % Study Var
Percent
39.78 14.66 72.22
Variación de partes muy pequeña vesus la de operario y equipo, el sistema de medición no es adecuado
Number of Distinct Categories = 1
G age name: D ate of study :
Dagoberto Salgado Horta
% Tolerance
22
50
20 0
Gage R&R
Repeat
Reprod
Pieza Operario
Part-to-Part
1
2
3
Sample Range
A
B
4
5
A
R Chart by Operario
7
8
B
9
10 11 C
12
Medicion by Operario
C
UCL=5.170
24
4 2
_ R=2.008
0
LCL=0
22 20 A
B Operario
Xbar Chart by Operario A
Sample Mean
6
B
C
C
24
UCL=24.196
22
_ _ X=22.142
20
LCL=20.087
Estudios de linealidad La linealidad se refiere a los diferentes % de error durante todo el recorrido de la escala Se usa el archivo GAGELIN.MTW anexo En este archivo se muestran las mediciones hechas con el patrón (Master) y con el sistema en estudio (Response), en distintos niveles de la escala
Amplitud de la variabilidad del proceso
Gage Linearity and Bias Study for Response Reported by : Tolerance: M isc:
G age name: D ate of study :
P redictor C onstant S lope
Regression 95% CI
1.0
Data Avg Bias
S Linearity
0.23954 1.86889
Reference A v erage 2 4 6 8 10
0
R-S q % Linearity
G age Bias Bias % Bias -0.053333 0.4 0.491667 3.5 0.125000 0.9 0.025000 0.2 -0.291667 2.1 -0.616667 4.3
P 0.000 0.000
P 0.040 0.000 0.293 0.688 0.000 0.000
Percent of Process Variation
-1.0 2
4
6 Reference Value
8
10
10 5 0
Página 70
Linearity
Ecuación
71.4% 13.2
-0.5
Percent
Bias
0.5
0.0
G age Linearity C oef S E C oef 0.73667 0.07252 -0.13167 0.01093
Bias
Datos de promedios
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La ecuación de regresión es Diferencia = 0.7367 - 0.1317 Master Linealidad = Pendiente * Ancho de variación del proceso = 0.1317*14.1941 = 1.8689 % De linealidad = Pendiente de la recta * 100 = 0.1317*100 = 13.17% del rango de magnitudes a medir Sesgo (Bias) = Promedio de diferencias entre el valor real y el valor patrón % De sesgo = |Sesgo| / Ancho del proceso * 100 = (-0.053/14.1941)*100 = 0.3757 El sesgo introducido por el sistema de medida es aprox. del 0.4% de la variaciónn total
6.3 Estudios de capacidad de procesos para variables normales Capacidad de procesos en base a carta X media - R Para la teoría revisar el artículo Capacidad de proceso.doc anexo Se usa el archivo de datos VITA_C.MTW de pesos de comprimidos anexo. La capacidad del proceso es la capacidad que tiene para cumplir especificaciones una vez que muestra estabilidad o esta dentro de control estadístico.
Stat > Quality Tools > Capability Análisis > Normal Seleccionar R bar
Especificaciones Boundary se usa cuando es imposible tener piezas fuera de este límite
Página 71
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Los resultados se muestran a continuación: Sigma = R medio / d2 (constante) El proceso debe estar en control
Variabilidad dentro de subgrupos (Within) Variabilidad global (Overall)
Sigma = Desv. Estandar / c4 (cte.) No importa si el proceso está fuera de control estadístico
Process Capability of Peso LSL
USL W ithin Ov erall
P rocess D ata LS L 3.08750 Target * USL 3.41250 S ample M ean 3.24312 S ample N 200 S tD ev (Within) 0.02136 S tD ev (O v erall) 0.02917
P otential (Within) C apability Cp 2.54 C PL 2.43 C PU 2.64 C pk 2.43 C C pk 2.54
Cp y Cpk a partir de Std. Dev. Within
O v erall C apability Pp PPL PPU P pk C pm
3.10 O bserv ed P erformance P P M < LS L 0.00 P P M > U S L 0.00 P P M Total 0.00
3.15
3.20
E xp. Within P erformance P P M < LS L 0.00 P P M > U S L 0.00 P P M Total 0.00
3.25
3.30
3.35
1.86 1.78 1.94 1.78 *
Pp y Ppk a partir de Std. Dev. Overall Tanto el Cpk como Ppk deben ser mayores a uno para que el proceso sea capáz, de otra forma deben investigarse las causas especiales
3.40
E xp. O v erall P erformance P P M < LS L 0.05 P P M > U S L 0.00 P P M Total 0.05
Partes por millón fuera observadas, en base a Std. Dev. Within, en base a Std. Dev. Overall
Visualización de las variaciones: Con una gráfica Scatterplot se tiene: Subgrupo 2 4 5 6 12 13 14 15 6 7 8 10
1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3
Scatterplot of Medidas vs Subgrupo 20
15
Medidas
Medidas
10
5
0 1.0
Var 1=2.92 Desv. Std. Overall = raiz (17.91) = 4.23 Se aplica una constante de corrección C4 que en este caso es 0.9776
1.5
2.0 Subgrupo
Var 2=1.67
2.5
3.0
Var 3 = 2.92
Var Within = Promedio de Var 1, Var 2 y Var 3 = 2.5 Desv. Std. Within = raiz (2.5) = 1.58
Capacidad de procesos en base a carta I-MR Ejemplo: Se mide el porcentaje de humedad en muestras tomadas cada 15 minutos de alimentos para perros, su especificación es del 6 al 15% Los valores obtenidos son los indicados en el archivo HUMEDAD.MTW anexo: Página 72
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Stat > Quality Tools > Capability Análisis > Normal Seleccionar Single Column %Humedad Subgroup size 1 Lower Spec 6 Upper spec 12
Estimate seleccionar R bar OK Process Capability of %Humedad LSL
USL Within Overall
P rocess Data LSL 6.00000 Target * U SL 12.00000 Sample M ean 10.85938 Sample N 32 StDev (Within) 1.16392 StDev (O v erall) 1.43526
P otential (Within) C apability Cp 0.86 C PL 1.39 C P U 0.33 C pk 0.33 C C pk 0.86
El Cpk es menor a 1 el proceso no es capaz para cumplir con especificaciones
O v erall C apability Pp PPL PPU P pk C pm
6.4 O bserv ed P erformance P P M < LSL 0.00 P P M > U SL 156250.00 P P M Total 156250.00
8.0
Exp. Within P erformance P P M < LSL 14.90 P P M > U SL 163546.85 P P M Total 163561.75
9.6
11.2
0.70 1.13 0.26 0.26 *
12.8
Exp. O v erall P erformance P P M < LSL 354.96 P P M > U SL 213388.49 P P M Total 213743.45
El proceso no tiene una capacidad suficiente de Cpk >1 Opción Six Pack para una información resumida:
Stat > Quality Tools > Capability Sixpack > Normal Seleccionar Single Column %Humedad Subgroup size 1 Lower Spec 6 Upper spec 12
Estimate seleccionar R bar OK
Process Capability Sixpack of %Humedad I C har t
C apability H istogr am
Individual Value
15
UCL=14.351
12
_ X=10.859
9 3
6
9
1
LCL=7.368 12
15
18
21
24
27
30
8.0
Moving Range
M oving Range C har t 4
UCL=4.290
2
__ MR=1.313
0
9.6
12.8
Nor mal P r ob P lot A D : 0.315, P : 0.527
LCL=0 3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
8
Last 2 5 O bser vations
Values
11.2
10
12
C apability P lot Within S tD ev 1.16392 Cp 0.86 C pk 0.33 C C pk 0.86
12 10 8
Within
Overall
Specs
10
15
20 Observation
25
14
30
Página 73
O v erall S tD ev 1.43526 Pp 0.70 P pk 0.26 C pm *
Dagoberto Salgado Horta
TALLER DE APLICACIÓN DE MINITAB PARA LA MEJORA Y SOLUCIÓN DE PROBLEMAS Identificando posibles causas con una gráfica de serie de tiempo se tiene:
Trend Analysis Plot for %Humedad
Stat > Time series > Trend Analysis
Linear Trend Model Yt = 9.42198 + 0.0871151*t
Variables %Humedad seleccionar Linear OK
14
Variable Actual Fits
13
Accuracy MAPE MAD MSD
%Humedad
12
Se observa que el % ha ido aumentando con el tiempo por alguna razón a lo largo del día
11
Measures 8.53237 0.88705 1.31670
10 9 8 7 3
6
9
12
15 18 Index
21
24
27
30
6.3 Estudios de capacidad de procesos para variables no normales Cuando los datos no son normales, se pueden intentar transformar con: Transformación de Box Cox Identifica la potencia lamda a la que hay que elevar los datos para que sigan una distribución normal. Ejemplo: Se mide la torcedura que tienen los ladrillos en un horno, los datos se encuentran en el archivo TILES.MTW anexo Haciendo una prueba de normalidad con:
Stat > Basic statistics > Normality test Variable Warping Anderson Darling Se obtiene un valor P de 0.01 indicando que los datos no son normales. Ahora se transforman los datos por el método de Box Cox:
Stat > Quality tools > Capability analysis > Normal Single column - Warping Subgroup size - 1 Lower spec 0 Upper Spec 8 Box Cox seleccionar Box Cox Power transformation y Optimal Lamda Process Capability of Warping
Using Box-Cox Transformation With Lambda = 0.5 LB*
U S L*
transformed data
P rocess D ata LB 0.00000 Target * USL 8.00000 S ample M ean 2.92307 S ample N 100 S tDev (Within) 1.68898 S tDev (O v erall) 1.79048
Within O v erall P otential (Within) C apability Cp * C PL * C P U 0.78 C pk 0.78 C C pk 0.78
A fter Transformation LB* Target* U S L* S ample M ean* S tDev (Within)* S tDev (O v erall)*
O v erall C apability
0.00000 * 2.82843 1.62374 0.51337 0.53934
Pp PPL PPU P pk C pm
0.0 O bserv ed P erformance P P M < LB 0.00 P P M > U S L 20000.00 P P M Total 20000.00
0.4
0.8
E xp. Within P erformance P P M < LB* * P P M > U S L* 9472.66 P P M Total 9472.66
1.2
1.6
2.0
E xp. O v erall P erformance P P M < LB* * P P M > U S L* 12754.26 P P M Total 12754.26
Página 74
2.4
2.8
* * 0.74 0.74 *
Cpk = 0.78 el proceso no es capaz de cumplir especificaciones. Ppk es igual a 0.74
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Dagoberto Salgado Horta
Método de Weibull - Se aplica para distribuciones sesgadas a la derecha
Stat > Quality tools > Capability analysis > Nonnormal Single column - Warping OK
Lower spec 0 Upper Spec 8
Process Capability of Warping
Calculations Based on Weibull Distribution Model LB
USL
P rocess Data LB 0.00000 Target * USL 8.00000 S ample M ean 2.92307 S ample N 100 S hape 1.69368 S cale 3.27812
O v erall C apability Pp * PPL * PPU 0.73 P pk 0.73 E xp. O v erall P erformance P P M < LB * P P M > U S L 10764.5 P P M Total 10764.5
O bserv ed P erformance P P M < LB 0 P P M > U S L 20000 P P M Total 20000
0.0
1.5
3.0
4.5
6.0
Ppk es igual a 0.73
7.5
6.5 Cartas de control por atributos Para la teoría ver articulo sobre Cartas de Control.doc Se usan estas cartas para cuando las características se juzgan como pasa o no pasa Carta P de proporción o fracción de unidades defectuosas, no conformes o defectivas Ejemplo: El archivo MOTORES.MTW contiene datos de motores pequeños producidos y los que al final del proceso han resultado defectuosos, correspondientes a 6 semanas.
Stat > Control Charts > Attrutes chart > P Variables Defectuosos Subgroup sizes Producción OK P Chart of Defectuosos 0.055
1
1
UCL=0.05316
0.050
Proportion
0.045 0.040
_ P=0.03812
0.035 0.030 0.025
LCL=0.02308
0.020 3
6
9
12
15 18 Sample
21
24
27
30
Tests performed with unequal sample sizes
Página 75
Se tienen límites de control variables por ser el tamaño de muestra variable
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Dagoberto Salgado Horta
Test Results for P Chart of Defectuosos TEST 1. One point more than 3.00 standard deviations from center line. Test Failed at points: 3, 26 Aproximando el tamaño de muestra a su promedio se tiene n = 1350
Stat > Control Charts > Attrutes chart > P Variables Defectuosos Subgroup sizes 1350 OK P Chart of Defectuosos 0.055
UCL=0.05441
0.050
Proportion
0.045 _ P=0.03867
0.040 0.035 0.030 0.025
LCL=0.02292 0.020 3
6
9
12
15 18 Sample
21
24
27
30
Carta de control NP para el número de defectuosos o no conformes Ejemplo: El archivo CATETER.MTW contiene datos de cateters defectuosos encontrados al inspeccionar muestras de 100 piezas cada hora observando la calidad de la soldadura.
Stat > Control Charts > Attributes chart > NP Variables Defectuosos Subgroup sizes 100 OK NP Chart of Defectuosos 14
1
UCL=12.16
12
Sample Count
10 8 __ NP=5.39
6 4 2 0
LCL=0 1
7
14
21
28
35 42 Sample
49
56
63
Test Results for NP Chart of Defectuosos Página 76
70
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TEST 1. One point more than 3.00 standard deviations from center line. Test Failed at points: 18 La causa aparente del punto fuera de control en la carta es un lote defectivo de materia prima por lo que es razonable no considerarlo y recalcular los límites de control
Stat > Control Charts > Attributes chart > NP Variables Defectuosos Subgroup sizes 100 NP Chart Options Estimate Omit the following subgroups when estimating parameters 18 Data Options seleccionar Especify which rows to exclude seleccionar Row numbers 18 OK NP Chart of Defectuosos 12
UCL=11.98
Sample Count
10 8 6
__ NP=5.28
4 2 0
LCL=0 1
7
14
21
28
35 42 Sample
49
56
63
70
Carta de control C para defectos por unidad de inspección constante Ejemplo: Se usa el archivo VISITAS_WEB.MTW el cual se encuentra anexo y describe el número de visitas recibidas en una página Web durante octubre y noviembre 2002 indicando también la fecha y día de la semana
Stat > Control Charts > Attributes chart > C Variables Visitas OK C Chart of Visitas 160 1
140 1
Sample Count
120 100
1
1
UCL=87.3
80
_ C=63.4
60 40 1
20 1
LCL=39.5
1
1
1
6
12
18
24
30 36 Sample
11
11
42
48
Test Results for C Chart of Visitas Página 77
54
60
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Dagoberto Salgado Horta
TEST 1. One point more than 3.00 standard deviations from center line. Test Failed at points: 5, 6, 10, 11, 22, 26, 33, 37, 40, 41, 54, 55 El punto del día 10 representa un pico debido a un anuncio especial anunciando la página los otros puntos que salen de control se presentan los fines de semana. Para eliminar los puntos correspondientes a sábados y domingos usar el botón Data Options para recalcular los límites de control de nuevo:
Stat > Control Charts > Attributes chart > C Variables Visitas Data Options C Chart OptionsData Options
Omitir los puntos 10 y 11 en el recálculo de límites
C Chart of Visitas 120
1
110
Sample Count
100 UCL=94.20
90 80
_ C=69.24
70 60 50
LCL=44.28
40 1
6
12
18
24
30 36 Sample
42
48
54
60
Excluding rows where 'Dia semana'="S" or 'Dia semana'="D" or Fecha = DATE("10/10/2002") 18 rows excluded Carta de control U para el núemro de defectos por unidad de inspección variable Ejemplo: Se utiliza el archivo TEJIDO.MTW anexo Contiene el número de manchas de cada tela y su superficie corresp. en metros cuadrados Página 78
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Stat > Control Charts > Attributes chart > U Variables Numero Manchas Subgroup size Superficie OK U Chart of Numero manchas
Sample Count Per Unit
20
UCL=19.44
15 _ U=9.87
10
Los límites de control son variables debido a que el tamaño de muestra es variable
5
LCL=0.30
0 3
6
9
12
15 18 Sample
21
24
27
30
Tests performed with unequal sample sizes
El proceso está en control estadístico
6.6 Estudios de capacidad por atributos Estudio de capacidad para variables que siguen una distribución binomial (fracción defectiva) Ejemplo: Se usa el archivo BANCO.MTW anexo que contiene por diferentes agencias bancarias, el número de clientes no satisfechos de entrevistas a 50 en cada una.
Stat > Quality tools > Capability Analysis > Binomial Defectives Descontentos Sample size seleccionar Constant size 50 Target 0 OK
Test Results for P Chart of Descontentos TEST 1. One point more than 3.00 standard deviations from center line. Test Failed at points:
6, 13, 28
3 puntos fuera de control Binomial Process Capability Analysis of Descontentos P C har t
Binomial P lot
1
0.6
P r opor tion
Expected Defectives
1
0.4
U C L=0.3983
0.2
_ P =0.222 LC L=0.0457
0.0 3
6
9
12 15 18 Sample
21 24
27
1
30 20 10
Puntos fuera de control
0 0
30
15 30 O bser ved Defectives
C umulative % Defective
Dist of % Defective Tar
S ummary S tats (using 95.0% confidence)
% Defective
30.0 27.5 25.0 22.5 20.0 5
10
15 20 Sample
25
30
% D efectiv e: Low er C I: U pper C I: Target: P P M D ef: Low er C I:
22.20 20.12 24.39 0.00 222000 201196
U pper C I: P rocess Z: Low er C I: U pper C I:
243898 0.7655 0.6938 0.8374
16 12 8 4 0
Página 79
0
10 20 30 40 50 60 70
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Meta 0 defectuosos La gráfica acumulativa debe acabar estabilizandose cerca
Intervalos de confianza y ppm de defectuosos
del valor medio para indicar que el tamaño de muestra
La Z del proceso es 0.75 que es muy baja,
es representativo
debe mejorarse
Seleccionando la carta de control P y con Editor > Brush y Editor > Set ID variables a Agencia se identifican las agencias 112 y 212 como las que más influyen en las quejas. Colocando asteriscos en los datos de estas agencias se tiene: Asi el porcentaje de clientes insatisfechos por agencia se encuentra entre el 18 al 22% para un nivel de confianza del 95%. Es importante identificar las causas asignables que distinguen a las agencias. Binomial Process Capability Analysis of Descontentos P C har t
Binomial P lot
Expected Defectives
P r opor tion
U C L=0.3602 0.3 _ P =0.1929
0.2 0.1 0.0
LC L=0.0255
1
3
6
9
12 15 18 Sample
21 24
27
15 10 5 0
30
0
10 O bser ved Defectives
C umulative % Defective
Dist of % Defective S ummary S tats
24.0
% Defective
(using 95.0% confidence) 22.5 21.0 19.5 18.0 5
10
15 20 Sample
25
20
30
% D efectiv e: Low er C I: U pper C I: Target: P P M D ef: Low er C I:
19.29 17.25 21.45 0.00 192857 172495
U pper C I: P rocess Z: Low er C I: U pper C I:
214517 0.8674 0.7908 0.9444
Tar 10.0 7.5 5.0 2.5 0.0
0
5
10 15 20 25 30 35
TEST 1. One point more than 3.00 standard deviations from center line. Test Failed at points: 28 Estudio de capacidad para variables que siguen una distribución de Poisson (número de defectos) Se usa como ejemplo el archivo PINTADO_HORNO.MTW anexo el cual contiene detectados en 40 piezas consecutivas.
Stat > Quality tools > Capability Analysis > poisson Defects Número de defectos Constant size 1 Target 0 OK
Página 80
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TALLER DE APLICACIÓN DE MINITAB PARA LA MEJORA Y SOLUCIÓN DE PROBLEMAS El proceso es estable en torno a 3 defectos por unidad. Poisson Capability Analysis of Num. defectos P oisson P lot U C L=8.474
Expected Defects
Sample Count P er Unit
U C har t 7.5 5.0
_ U =3.15
2.5 0.0
LC L=0 4
8
12
16 20 24 Sample
28
32
36
6 4 2 0 0.0
40
2.5 5.0 O bser ved Defects
C umulative DP U
Dist of DP U S ummary S tats
4
16
Tar
(using 95.0% confidence)
DP U
3
2
1 10
20 Sample
30
40
M ean D ef: Low er C I: U pper C I: M ean D P U : Low er C I: U pper C I:
3.1500 2.6240 3.7505 3.1500 2.6240 3.7505
M in D P U : M ax D P U : Targ D P U :
0.0000 6.0000 0.0000
El número de muestras es suficiente
12 8 4 0
0
1
2
3
4
5
6
Los valores siguen una distribución de Poisson
6.7 Cartas de control especiales (EWMA y CuSum) Gráfica de Sumas acumuladas ( CuSum ) Se usa para registrar al centro del proceso.Se corre en tándem (una tras otra) Es más sensible que la gráfica X al movimiento de los pequeños cambios sostenidos en el centro del proceso. Es más sensible que la gráfica X al movimiento de separación gradual del centro del proceso. Es menos sensible que la gráfica X al desplazamiento grande e único del centro del proceso. Se puede aplicar a las Xs o a las Xs individuales Sus parámetros clásicos son h = 4; k = 0.5 Son más eficientes que las cartas de Shewhart para detectar pequeños corrimientos en la media del proceso (2 sigmas o menos) Para crear la carta Cusum se colectan m subgrupos de muestras, cada una de tamaño n y se calcula la media de cada muestra Xi-media. Después se determina Sm o S’m como sigue: m
Sm
(X
i
0 )... 0 m e d ia .e n .c o n tr o l .e s tim a d a
i 1
S m '
1
X
m
(X
i
0 )...
X
d e s v .e s ta n d a r .d e .la s .m e d ia s
i 1
Ejemplo: Variaciones de una flecha respecto a una línea de referencia, los datos se encuentran en el archivo CRANKSH.MTW anexo.
Carta X media - Rango
Stat > Control Charts > Variables Charts for Subgroups > Xbar Página 81
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Seleccionar All observations for a chart are in one column, seleccionar AtoBDist En Subgroup sizes, poner 5 . OK Xbar-R Chart of AtoBDist
Sample Mean
5.0
U C L=4.70
2.5 _ _ X=0.44
0.0
No se observa que el proceso tenga corrimiento o esté fuera de control
-2.5 LC L=-3.82 -5.0 2
4
6
8
10
12 14 Sample
16
18
20
22
24
Sample Range
16
U C L=15.61
12 _ R=7.38
8 4 0
LC L=0 2
4
6
8
10
12 14 Sample
16
18
20
22
24
Carta de Sumas acumuladas con Límites Superior e inferior
Stat > Control Charts > Time Weighted Charts > Cusum Seleccionar All observations for a chart are in one column, seleccionar AtoBDist En Subgroup sizes, poner 5 . Target 0.0 OK CUSUM Chart of AtoBDist 10.0
Cumulative Sum
7.5 UCL=5.68
5.0 2.5 0.0
0
-2.5 -5.0
Los puntos 4-10 estan fuera de límite superior de control, el proceso está fuera de control Se tienen corridas por arriba del límite superior de control, no visibles en la carta X-R anterior
LCL=-5.68 2
4
6
8
10
12 14 Sample
16
18
20
22
24
Test Results for CUSUM Chart of AtoBDist TEST. One point beyond control limits. Test Failed at points: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 Carta de Sumas acumuladas con Mascara en V La carta de control CuSum se obtiene graficando los valores de Sm o S’m como función de m. Si el proceso se corre gradualmente hacia arriba o hacia abajo, será indicado en la carta. Su sensibilidad está determinada por los parámetros k y h. Una forma de identificar si el proceso sale de control es con una mascara en V cuyo origen se coloca en el último punto de suma acumulada determinado y observando que ninguno de los puntos anteriores se salga, de otra forma tomar acción
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Stat > Control Charts > Time Weighted Charts > Cusum Seleccionar All observations for a chart are in one column, seleccionar AtoBDist En Subgroup sizes, poner 5 . Target 0.0 en Cusum Options: Seleccionar two sided V mask Center on subgroup 6 o 8 OK Vmask Chart of AtoBDist 25
Vmask Chart of AtoBDist 25 Cumulative Sum
20
Cumulative Sum
20
15
15
10
5
10 0
Target=0
5
2
4
6
0
8
10
12 14 Sample
16
18
20
22
24
Target=0 2
4
6
8
10
12 14 Sample
16
18
20
22
24
Indica situación fuera de control en el punto de medición actual Vmask Chart of AtoBDist 40
Cumulative Sum
30
20
10
0
Target=0
-10 2
4
6
8
10
12 14 Sample
16
18
20
22
24
Carta EWMA de promedios móviles ponderados exponencialmente Monitorea un proceso promediando los datos de tal forma que les da cada vez menos peso conforme son removidos en el tiempo. Tiene sensibilidad simlar a la de la Cusum Es más sensible que la carta X al movimiento de separación gradual de la media del proceso.
Stat > Control Charts > Time Weighted Charts > EWMA Seleccionar All observations for a chart are in one column, seleccionar AtoBDist En Subgroup sizes, poner 5 . Weight of EWMA 0.2 OK
Página 83
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Puntos fuera de control EWMA Chart of AtoBDist 2.0
UCL=1.861
1.5
EWMA
1.0 _ _ X=0.442
0.5 0.0 -0.5
LCL=-0.978
-1.0 2
4
6
8
10
12 14 Sample
16
18
20
22
24
Test Results for EWMA Chart of AtoBDist TEST. One point beyond control limits. Test Failed at points:
5, 6
Carta de promedios móviles Tiene una sensibilidad intermedia entre las cartas X-R y la Cusum y EWMA Stat > Control Charts > Time Weighted Charts > Moving average Seleccionar All observations for a chart are in one column, seleccionar AtoBDist En Subgroup sizes, poner 5 . Lenght of MA 3 OK
Moving Average Chart of AtoBDist 5 4
Moving Average
3
UCL=2.900
2 1
_ _ X=0.442
0 -1 -2
LCL=-2.017
-3 -4 2
4
6
8
10
12 14 Sample
16
18
20
22
24
TEST. One point beyond control limits. Test Failed at points:
5, 6
Fuera de control el punto 6
Página 84
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6.8 Muestreo por atributos Para la teoría ver el documento Muestreo de Aceptación.Doc anexo Cálculo de la probabilidad de aceptación -Curva característica de operación (OC) La probabilidad deaceptar lotes con una cierta fracción defectiva p en base a un tamaño de muestra n utilizando la distribución Binomial es: Excel
=distr.binom(x, n, p, 1) con x=Defectuosos aceptados, n -muestra, p -fracción defectiva
Minitab
Calc > Probability distributions > Binomial seleccionar Cumulative Probability Poner en Trials n Prob. Success p En Input constant x (para cada una de las p's)
Pa = b
p 0,005 0,010 0,020 0,030 0,040 0,050 0,060 0,070 0,080 0,090 0,100 0,110 0,120
0,98969
Curva OC con n = 89, c = 2
Pa
0,93969 0,73658 0,49848 0,30416 0,17208 0,09187 0,04682 0,02296 0,01089 0,00501 0,00225 0,00098
Fracción def. en lote - p
Por ejemplo si el lote tiene un 2% de defectivo y se toman muestras de n = 89, aceptando hasta con c = x = 2 defectivos, se aceptan 74 lotes de cada 100 lotes que envíe el proveedor con esta fracción defectiva Cálculo del nivel de calidad promedio de salida (AOQ) en inspección rectificadora La inspección rectificadora se refiere a que los lotes que son rechazados al aplicar el plan de muestreo se reingresan al cliente una vez que se seleccionan al 100%, reduciendo la fracción def. total. La fracción defectiva que se ingresa al almancén AOQ una vez que se aplica el plan de muestreo n = 89, c = 2 es:
Página 85
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p 0,005 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08
Pa 0,98969 0,93969 0,73658 0,49848 0,30416 0,17208 0,09187 0,04682 0,02296
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AOQ = Pa . P
0,00495 0,00940 0,01473 0,01495 0,01217 0,00860 0,00551 0,00328 0,00184
AOQ
AOQL = 1.55%
0.03
p
Por ejemplo si el lote tiene un 2% de defectivo y se toman muestras de n = 89, aceptando hasta con c = x = 2 defectivos aceptables Lo anterior está plasmado en tablas de muestreo de aceptación por atributos indicadas en el artículo de Muestreo de Aceptación.Doc
6.8 Aplicaciones Referirse a la hoja de Aplicaciones Módulo 6 donde se encuentra el material de ejercicios.
Página 86
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MÓDULO 7. DISEÑO DE EXPERIMENTOS 7.1 Cartas Multivari Las cartas Multivari permiten observar en una sola carta el comportamiento de varias fuentes de variación. Para la teoría se anexa un archivo Cartas Multivari.doc. Carta Multivari con tres fuentes de variación Ejemplo: Una empresa produce ejes para rotores eléctricos con diámetros de 0.250 0.001 mm, sin embargo el Cp es de 0.8 lo que significa que el proceso tiene una variabilidad excesiva. La variabilidad considerada al tomar los datos se estima que proviene de las siguientes fuentes: ** Diferencia de diámetros en los extremos del eje izquierdo y derecho. ** Diferencia de diámetro máximo y mínimo en una misma posición que implica falta de redondez ** Variación de una pieza a otra producidas en forma consecutiva ** Variación a lo largo del tiempo (largo plazo) Las cartas Multivari nos permiten visualizar estas fuentes de variación: Los datos del archivo ROTOR.MTW anexos indican lo siguiente: Hora: Hora de toma de muestra Eje : Número de eje Posición: indica si se trata de diámetro mínimo o máximo medido Diametro: Valor del diámetro
Stat > Quality tools > Multi Vari Chart Response Diametro Factor 1 Posición Factor 2 Eje Factor 3 Hora OK Multi-Vari Chart for Diametro by Posicion - Hora 1 08:00
2
3
1
09:00
10:00
2
3
11:00
12:00
Posicion Max Der Max Izq Min Der Min Izq
2.510
Diametro
2.505
2.500
2.495
2.490
1
2
3
1
2
3
1
2
3
Eje Panel variable: Hora
Como se puede observar las variabilidades en orden de importancia son: *** Por el paso del tiempo
** Falta de redondez Página 87
* Entre partes
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Se pueden eliminar las líneas de conexión con Options y eliminando la marca en Connect Means for Factor 1 Multi-Vari Chart for Diametro by Posicion - Hora 1 08:00
2
3
1
09:00
10:00
2
3
11:00
12:00
Posicion Max Der Max Izq Min Der Min Izq
2.510
Diametro
2.505
2.500
2.495
2.490
1
2
3
1
2
3
1
2
3
Eje Panel variable: Hora
El aspecto de la carta Multivari depende del orden en que se ingresen los factores El tercer factor va en el eje horizontal por tanto aquí es donde conviene introducir el tiempo El último factor introducido es el que divide a la carta en dos partes. Carta Multivari con cuatro fuentes de variación Se puede descomponer en dos columnas la columna "Posición", creando las columnas "Redondez" donde se indica si el diámetro medido es máximo o mínimo, y la columna "Inclinación" donde se indica si corresponde a la izquierda o a la derecha. Para crear la columna "Inclinación" se tiene:
Calc > Make Patterned Data > Text Values Store Patterned Data in Inclinación Test Values Izq Der List each value 2 List the whole sequence 15 Para crear la columna "Redondez" se tiene:
Calc > Make Patterned Data > Text Values Store Patterned Data in Redondez Test Values Min Max List each value 1 List the whole sequence 30 y se corre de nuevo la carta Multivari
Stat > Quality tools > Multi Vari Chart Response Diametro Factor 1 Eje Factor 2 Redondez Factor 3 Hora Factor 4 Inclinación OK
Página 88
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Multi-Vari Chart for Diametro by Eje - Inclinacion Max Der, 08:00
Min
Der, 09:00
Max Der, 10:00
Min
Der, 11:00
Der, 12:00 2.510 2.505
Eje 1 2 3
2.500
Diametro
2.495 2.490 Izq, 08:00
Izq, 09:00
Izq, 10:00
Izq, 11:00
Izq, 12:00
2.510 2.505 2.500 2.495 2.490 Max
Min
Max
Min
Max
Min
Redondez Panel variables: Inclinacion, Hora
7.2 Diseño de experimentos factoriales completos Ver el archivo Diseño de experimentos.doc para la teoría. Diseño de experimentos factoriales completos de dos niveles Ejemplo: En un proceso de fabricación de Mofles se desea mejorar el proceso de soldadura en un componente de acero inoxidable. Para lo cual se realiza un diseño de 2 factores y 3 niveles. Factor A. Caudal gas B. Corriente A C. Vel. Cadena
Nivel bajo 8 230 0,6
Nivel Alto 12 240 1
Como respuesta se toma la calidad del componente en una escala de 0 a 30 entre mayor sea mejor calidad Paso 1. Generar diseño
Stat > DOE > Factorial > Create Factorial Design Seleccionar 2-Level factorial (default values); Number of factors 3 Designs: Seleccionar Full Factorial Factors: Nombre de cada factor y sus niveles bajo y alto Options: Quitar bandera de Random
OK OK Puede colocar la matriz del diseño en orden aleatorio o estándar con Stat > DOE > Display Design: Estándar order for design Para cambiar de unidades sin codificar a unidades codificadas: Stat > DOE > Display Design: Coded o Uncoded Units Paso 2. Introducir los datos en el diseño: StdOrder 1 2 3
Caudal 8 12 8
Corriente 230 230 240 Página 89
Velocidad 0,6 0,6 0,6
Y 10 26,5 15
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12 8 12 8 12
240 230 230 240 240
0,6 1 1 1 1
17,5 11,5 26 17,5 20
Paso 3. Analizar el diseño
Stat > DOE > Factorial > Analyze Factorial Design Response Y Graphs: Seleccionar Normal Pareto Alpha = 0.05
OK OK Los resultados se muestran a continuación. La ecuación del modelo se puede formar a partir de los siguientes coeficientes:
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units Term Constant Caudal Corriente Velocidad Caudal*Corriente Caudal*Velocidad Corriente*Velocidad Caudal*Corriente*Velocidad
Coef -893.750 102.625 3.75000 186.250 -0.425000 -30.0000 -0.750000 0.125000
Las gráficas donde se indica cuales factores son significativos son: Pareto Chart of the Effects (response is Y, Alpha = .05) 5.646 F actor A B C
A AB
N ame C audal C orriente V elocidad
Son significativos A y AB
Term
C B BC ABC
Normal Probability Plot of the Effects
AC
(response is Y, Alpha = .05)
0
1
2
3
4
5 Effect
99
6
7
8
9
Effect Ty pe Not Significant Significant
95
Lenth's PSE = 1.5
A
90
Percent
80 70 60 50 40 30 20 10
AB
5 1
-5.0
Lenth's PSE = 1.5
Página 90
-2.5
0.0
2.5 Effect
5.0
7.5
10.0
F actor A B C
N ame C audal C orriente V elocidad
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Los efectos se pueden guardar en una columna y después graficarlos para que sean claros:
Stat > DOE > Factorial > Analize Facorial Design ..... Storage: Effects Graph Dot Plot: Simple Effe1 EFFE1 9 -1 1,5 -6,5 -0,5 1 0,5 Paso 4. Obtener las gráficas factoriales para seleccionar los mejores niveles de operación
Stat > DOE > Factorial Plots Seleccionar Main Effects Plot: Setup: Response Y; Caudal Seleccionar Interaction Plot: Setup: Response Y; Corriente y Caudal Seleccionar Cube Plot: SetUp >> OK
Main Effects Plot (data means) for Y Caudal
Corriente
22
El único factor significativo es A
20 18
Mean of Y
16 14 8
12
230
240
Velocidad 22 20 18 16 14 0.6
1.0
Interaction Plot (data means) for Y 28
C audal 8 12
26 24
Mean
22
La interacción significativa es AB Los mejores resultados se obtienen con: Corriente = 230 Caudal = 12
20 18 16 14 12 10 230
240 Corriente
Página 91
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Cube Plot (data means) for Y 17.5
El cubo proporciona los valores de las respuestas en las diferentes combinaciones de los factores
20.0
15.0
17.5
240
Corriente
11.5
26.0 1
10.0
26.5
230
Es el mejor resultado
Velocidad 0.6
8
12
Caudal
La experimentación podría continuar en esta dirección
Diseño de experimentos fraccionales (1/2) de dos niveles: Ejemplo: Para mejorar la adherencia en un proceso de etiquetado se realiza el siguiente experimento: Factor Nivel Bajo A. Tipo de cola X B. Temperatura 30 C. Cantidad 2 D. Temp.sec. 80 E. Presión 1
Nivel Alto Y 40 3 90 1,5
Al principio se realizó un diseño fraccional de dos niveles y cinco factores, en cada condición se midió la fuerza de adhesión en 100 botellas y se tomó como respuesta el promedio. Paso 1. Generar el diseño
Stat > DOE > Factorial > Create Factorial Design Seleccionar 2-Level factorial (default values); Number of factors 5 Designs: Seleccionar 1/4 fraction Factors: Nombre de cada factor y sus niveles bajo y alto Options: Quitar bandera de Random
OK OK Paso 2. Introducir los datos en el diseño StdOrder 1 2 3 4 5 6 7 8
Temp Cola 30 30 40 40 30 30 40 40
Cantidad 2 2 2 2 3 3 3 3
Temp secado 90 80 80 90 90 80 80 90
Página 92
Presion 1,5 1 1,5 1 1 1,5 1 1,5
Y 24 16 22,5 24,5 25 16 24,5 23,5
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Tabla de confusiones (los efectos de los factores principales se confunden con interacciones) I + ABD + ACE + BCDE A + BD + CE + ABCDE B + AD + CDE + ABCE C + AE + BDE + ABCD D + AB + BCE + ACDE E + AC + BCD + ABDE BC + DE + ABE + ACD BE + CD + ABC + ADE Paso 3. Analizar el diseño
Stat > DOE > Factorial > Analyze Factorial Design Response Y Graphs: Seleccionar Normal Pareto Alpha = 0.05
OK OK La ecuación del modelo se puede obtener de los siguientes coeficientes:
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units Term Constant Cola Temp Cola Cantidad Temp secado Presion Temp Cola*Cantidad Temp Cola*Presion
Coef -36.0000 -2.00000 0.600000 0.500000 0.450000 5.00000 1.58579E-16 -0.200000
Los factores significativos se observan de las gráficas siguientes Pareto Chart of the Effects (response is Y, Alpha = .05) 2.823 F actor A B C D E
D A
Term
B E BE C BC 0
1
2
3
4
Effect Lenth's PSE = 0.75
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5
N ame C ola Temp C ola C antidad Temp secado P resion
Son significativos los factores A, B, D
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Normal Probability Plot of the Effects (response is Y, Alpha = .05)
99
Effect Ty pe Not Significant Significant
95 D
90
Percent
80
F actor A B C D E
B
70 60 50 40 30
N ame C ola Temp C ola C antidad Temp secado P resion
20 10
A
5 1
-4
-3
-2
-1
0 1 Effect
2
3
4
5
Lenth's PSE = 0.75
Paso 4. Obtener las gráficas factoriales para seleccionar los mejores niveles de operación
Stat > DOE > Factorial Plots Seleccionar Main Effects Plot: Setup: Response Y; A, B, D Seleccionar Cube Plot: SetUp >> OK Main Effects Plot (data means) for Y Cola
Temp Cola
24 23 22
Mean of Y
21 20 X
Y
30
40
Temp secado
La mejor respuesta es con: Cola = X Temp Cola = 40 Temp Sec = 90
24 23 22 21 20 80
90
Cube Plot (data means) for Y 24.0
23.5 40
Temp Cola
24.5 90
16.0 30
Temp secado 80
X
Cola
Y
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Después de este experimento de filtración se puede hacer otro más completo sólo con los factores A, B, D
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MODULO 8. TÓPICOS ESPECIALES 8.1 Series de tiempo Para la teoría ver archivo Series de Tiempo.Doc anexo.
INTRODUCCIÓN Definición de serie de tiempo: Es una secuencia ordenada de valores de una variable en intervalos de tiempo periódicos y consecutivos. Aplicación: la aplicación de estos métodos tiene dos propósitos: comprender las fuerzas de influencia en los datos y descubrir la estructura que produjo los datos observados. Ajustar el modelo y proceder a realizar pronósticos, monitoreo, retroalimentación y control en avance.
Análisis de tendencias Modelan componentes en una serie que normalmente son fáciles de ver en una serie de tiempo. Las instrucciones de Minitab son las siguientes: Se utiliza el archivo EMPLOY.MTW anexo que contiene los datos de empleo de los últimos 60 meses.
Open Worksheet EMPLOY.MTW. o copiar los datos del archivo anexo. Ejecutar Stat > Time Series > Trend Analysis. En Variable, poner Trade. En Model Type, seleccionar Quadratic. Seleccionar Generate forecasts y poner 12 en Number of forecasts. Seleccionar Storage . Seleccionar Fits (Trend Line) , Residuals (detrended data), y Forecasts. Los resultados son los siguientes:
Fitted Trend Equation Yt = 320.762 + 0.509373*t + 0.0107456*t**2 Accuracy Measures MAPE 1.7076 MAD 5.9566 MSD 59.1305
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Se muestra una tendencia creciente aunque no es muy exacta por la estacionalidad, se sugiere utilizar el método de descomposición: Método de Descomposición Se usa para pronosticar cuando hay un componente de estacionalidad en la serie de tiempo o si se quiere analizar la naturaleza de los componentes. Separa las series de tiempo en componentes de tendencia lineal y estacionalidad así como el error. Se puede usar componente de estacionalidad en modo aditivo o multiplicativo con la tendencia. Las intrucciones de Minitab son las siguientes: Después de correr el ejemplo de Análisis de Tendencias con el archivo EMPLOY.MTW
Stat > Time Series > Decomposition. En Variable indicar RESI1 (columna donde se guardaron los residuos de Trend Analysis - Tendencias) En Seasonal length, poner 12. En Model Type, seleccionar Additive. En Model Components, seleccionar Seasonal only. Seleccionar Generate forecasts y poner 12 en Number of forecasts. Seleccionar Storage . Seleccionar Forecasts y Fits. Seleccionar OK en cada cuadro de diálogo
Los resultados se muestran a continuación: Time Series Decomposition for RESI1 Additive Model Data RESI1 Length 60
Forecasts Period Forecast 61 62 63 64 65
-8.4826 -13.3368 -11.4410 -5.8160 0.5590
Variable A ctual Fits Trend Forecasts
RESI1
10
A ccuracy Measures MA PE 881.582 MA D 2.802 MSD 11.899
0
-10
-20 1
7
14
21
28
35 42 Index
49
56
63
70
Component Analysis for RESI1 Additive Model
Original Data 10
Data
Accuracy Measures MAPE 881.582 MAD 2.802 MSD 11.899
Additive Model
20
0 -10 -20 1
6
12
18
24
30 Index
36
42
48
54
60
48
54
60
Seasonally Adjusted Data Seas. Adj. Data
Seasonal Indices Period Index 1 -8.4826 2 -13.3368 3 -11.4410 4 -5.8160 5 0.5590 6 3.5590 7 1.7674 8 3.4757 9 3.2674 10 5.3924 11 8.4965 12 12.5590
Time Series Decomposition Plot for RESI1
10 0 -10 -20 1
6
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12
18
24
30 Index
36
42
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66 67 68 69 70 71 72
3.5590 1.7674 3.4757 3.2674 5.3924 8.4965 12.5590
Seasonal Analysis for RESI1 Additive Model
Seasonal Indices
Original Data, by Seasonal Period
10
10 0
0
-10 -10 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
-20
1
Percent Variation, by Seasonal Period
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Residuals, by Seasonal Period 10
12
5
8
0 4 -5 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Time Series Decomposition Plot for RESI1 Additive Model
20
Variable A ctual Fits Trend Forecasts
RESI1
10
A ccuracy Measures MA PE 881.582 MA D 2.802 MSD 11.899
0
-10
-20 1
2
3
4
5
6 7 Index
8
9
10
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11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
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La descomposición genera tres tipos de gráficas: Una gráfica de serie de tiempo mostrando los datos originales con la línea de tendencia ajustada, valores estimados y pronósticos Un análisis de componentes con gráficas separadas para la serie, datos sin tendencia, datos ajustados con estacionalidad y los datos ajustados estacionalmente y sin tendencias (los residuos). Un análisis estacional, mostrando los índices estacionales y la variación porcentual dentro de cada estación respecto a la suma de la variación por estación y gráficas de caja de los residuos por periodo estacional. METODO DE WINTERS Se aplica cuando en la serie de tiempo se presentan los patrones de tendencia y estacionalidad. Instrucciones de Minitab
Open Worksheet EMPLOY.MTW. Ejecutar Stat > Time Series > Winters' Method. En Variable, poner Food. In Seasonal length, 12 . En Model Type, seleccionar Multiplicative. Seleccionar Generate forecasts poner 4 en Number of forecasts. Seleccionar OK.
Winters' Method for Food Multiplicative Method Smoothing Constants
Multiplicative Method
85
Variable Actual Fits Forecasts 95.0% PI
80 75
Smoothing Constants Alpha (level) 0.2 Gamma (trend) 0.2 Delta (seasonal) 0.2
70 Food
Alpha (level) 0.2 Gamma (trend) 0.2 Delta (seasonal) 0.2 Accuracy Measures MAPE 1.88377 MAD 1.12068 MSD 2.86696
Winters' Method Plot for Food
65
Accuracy MAPE MAD MSD
60 55 50 1
7
Interpretación de los resultados Página 98
14
21
28
35 42 Index
49
56
63
70
Measures 1.88377 1.12068 2.86696
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La gráfica muestra los valores de la serie y los valores estimados (un periodo adelante) y 12 pronóst.
8.2 Regresión múltiple - Matriz de correlaciones Se utiliza el archivo COCHES.MTW anexo en los archivos de trabajo del Módulo 2. Cargar los datos a Minitab
Stat > Matrix Plot: Simple Graph Variables: Num. Cil.; Cil. (cc); Pot. (CV); Velo.max
Matrix Plot of Num.Cil., Cil.(cc), Pot.(CV), Velo.max 0
2500
5000
160
240
320 12 8
Num.Cil. 4
5000 Cil.(cc)
2500 0
400
Pot.(CV)
200
0
320 240 Velo.max 160 4
8
12
0
200
400
Parece que la relación entre Potencia y Velocidad máxima es cuadrática. Cambiando la escala horizontal del número de cilindros a 4 a 6, se identifica que un coche tiene 5 cilindros, con Brush y Set ID Variables indicando Marca y Modelo se ve que es un VOLVO 850 GLT (renglón 244) Evaluando la fuerza de la relación entre los predictores por medio de un análisis de correlación se tiene:
Stat > Basic statistics > Correlation Display Variables 'Num.Cil.' 'Cil.(cc)' 'Pot.(CV)'
Correlations: Num.Cil., Cil.(cc), Pot.(CV) Num.Cil. Cil.(cc) Cil.(cc) 0.852 0 Pot.(CV) 0.829 0.854 0.000 0.000 Cell Contents: Pearson correlation Aquí se observa que hay MULTICOLINEALIDAD entre las variables predictoras. por lo que el modelo puede ser inestable.
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Regresión múltiple
Stat > Regression > Regression Response Velo.max Predictors Num.Cil, Cil.(cc), Pot.(CV) Graphs: Four in One Residuals versus variables Options: Prediction intervals for new observations 4 1124 100
Pot.(CV)
Se obtienen los siguientes resultados: Regression Analysis: Velo.max versus Num.Cil., Cil.(cc), Pot.(CV) The regression equation is Velo.max = 157 - 5.72 Num.Cil. - 0.00218 Cil.(cc) + 0.521 Pot.(CV) 244 cases used, 3 cases contain missing values Predictor Coef SE Coef T P Constant 157.178 2.562 61.34 0.000 Significativo (P value < 0.05) Num.Cil. -5.7177 0.9893 -5.78 0.000 No significativo (Pvalue > 0.05) Cil.(cc) -0.002178 0.001610 -1.35 0.177 Significativo (P value < 0.05) Pot.(CV) 0.52092 0.01927 27.03 0.000
S = 9.76245 R-Sq = 89.1% Analysis of Variance Source DF SS Regression 3 187887 Residual Error 240 22873 Total 243 210760 Source Num.Cil. Cil.(cc) Pot.(CV)
DF 1 1 1
R-Sq(adj) = 89.0% Coef. De determinación MS 62629 95
F 657.14
R residuos con más de 2 sigmas
Seq SS 98419 19841 69627
Unusual Observations Obs Num.Cil. Velo.max 10 6.0 222.000 22 4.0 211.000 24 8.0 235.000 25 6.0 250.000 26 8.0 235.000 28 12.0 250.000 46 8.0 295.000 47 12.0 302.000 48 2.0 127.000 76 4.0 232.000 102 8.0 270.000 106 6.0 216.000 117 8.0 250.000 118 12.0 250.000 129 4.0 150.000 130 4.0 170.000 144 6.0 233.000 164 4.0 252.000 165 6.0 280.000 179 8.0 210.000 180 8.0 200.000
P 0.000
X residuos muy alejados del grupo normal
Fit 195.351 189.259 218.470 291.719 218.470 274.371 301.772 306.890 160.358 248.215 274.250 194.581 267.300 280.769 181.879 195.591 205.988 252.816 302.562 213.943 213.943
SE Fit 1.123 0.705 2.254 2.707 2.254 3.822 3.109 3.838 1.396 2.335 2.646 1.514 2.249 3.738 0.697 0.820 1.059 2.499 3.060 5.300 5.300
Residual 26.649 21.741 16.530 -41.719 16.530 -24.371 -6.772 -4.890 -33.358 -16.215 -4.250 21.419 -17.300 -30.769 -31.879 -25.591 27.012 -0.816 -22.562 -3.943 -13.943
St Resid 2.75R 2.23R 1.74 X -4.45RX 1.74 X -2.71RX -0.73 X -0.54 X -3.45R -1.71 X -0.45 X 2.22R -1.82 X -3.41RX -3.27R -2.63R 2.78R -0.09 X -2.43RX -0.48 X -1.70 X
R denotes an observation with a large standardized residual. X denotes an observation whose X value gives it large influence.
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Predicted Values for New Observations Obs Fit SE Fit 95% CI 95% PI 1 183.951 1.161 (181.663, 186.239) (164.584, 203.318) Values of Predictors for New Observations Obs 1
Num.Cil. 4.00
Cil.(cc) 1124
Pot.(CV) 100
Los residuos muestran un comportamiento normal por lo que el modelo es adecuado Residual Plots for Velo.max Normal Probability Plot of the Residuals
Residuals Versus the Fitted Values
99.9
20
90
Residual
Percent
99
50 10 1
0 -20 -40
0.1
-40
-20
0 Residual
20
40
150
Histogram of the Residuals
200
250 Fitted Value
300
Residuals Versus the Order of the Data
80
Residual
Frequency
20 60 40 20
0 -20 -40
0
-40
-30
-20
-10 0 Residual
10
1
20
20
40
60
80
100 120 140 160 180 200 220 240
Observation Order
El comportamiento de los residuos vs Potencia sugiere que es necesaria una transformación de variables por ejemplo sacarle raíz cuadrada. Residuals Versus Pot.(CV) (response is Velo.max)
30 20
Residual
10 0 -10 -20 -30 -40 -50 0
100
200
300
400
500
Pot.(CV)
Transformando la variable Pot.(CV) por Pot2 = raiz cuadrada de Pot.(CV) se tiene:
Regression Analysis: Velo.max versus Num.Cil., Cil.(cc), Pot2 The regression equation is Velo.max = 73.5 - 1.42 Num.Cil. - 0.00699 Cil.(cc) + 12.8 Pot2 Predictor Constant Num.Cil. Cil.(cc) Pot2
Coef 73.502 -1.4201 -0.006988 12.8232
SE Coef 2.258 0.6770 0.001202 0.3177
T 32.56 -2.10 -5.82 40.36
Página 101
P 0.000 0.037 0.000 0.000
Significativo
(P value < 0.05)
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S = 7.03547
R-Sq = 94.4%
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R-Sq(adj) = 94.3% Mejora el ajuste
Predicted Values for New Observations Obs Fit SE Fit 95% CI 95% PI 1 1342.286 29.024 (1285.111, 1399.461) (1283.455, 1401.117)XX XX denotes a point that is an extreme outlier in the predictors. Values of Predictors for New Observations Obs Num.Cil. Cil.(cc) Pot2 1 4.00 1124 100 Residual Plots for Velo.max Normal Probability Plot of the Residuals
Residuals Versus the Fitted Values
99.9
20
90
Residual
Percent
99
50 10
0 -20
1 0.1
-40
-20
0
-40
20
150
200 250 Fitted Value
Residual
Histogram of the Residuals
300
Residuals Versus the Order of the Data 20
Residual
Frequency
40 30 20
0 -20
10 0
-30.0 -22.5 -15.0
-7.5 0.0 Residual
7.5
-40
15.0
1
20
40
60
80
100 120 140 160 180 200 220 240
Observation Order
Los residuos vs Pot2 ya tienen un mejor comportamiento más aleatorio: Residuals Versus Pot2 (response is Velo.max)
20 10
Residual
0 -10 -20 -30 -40 5.0
7.5
10.0
12.5
15.0
17.5
20.0
22.5
Pot2
Selección de la mejor ecuación: Best Subsets Permite obtener un "buen modelo" en función de su sencillez o facilidad de interpretación.
Stat > Regression > Stepwise
Variables candidatas a entrar en el modelo Variables forzadas a entrar en los modelos Página 102
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Mínimo numero de variables en el modelo 1 Máximo número de variables en el modelo todas Número de ecuaciones que aparecen con 1, 2, 3.... Variables regresoras
Los resultados son los siguientes:
Best Subsets Regression: Velo.max versus Num.Cil., Cil.(cc), ... Response is Velo.max 244 cases used, 3 cases contain missing values
Vars 1 1 2 2 3 3 4
R-Sq 92.5 86.6 94.3 93.6 94.8 94.4 94.9
R-Sq(adj) 92.5 86.5 94.2 93.6 94.8 94.3 94.8
Mallows C-p 109.0 385.3 29.3 58.0 3.9 26.5 5.0
S 8.0783 10.813 7.0849 7.4544 6.7261 7.0355 6.7269
N u m . C i l .
C i l . ( c c )
P o t . ( C V )
P o t 2 X Buenos modelos
X X
X Incluye sólo Cil.(cc) y Pot2 X X X X X X X X Incluye Num.Cil, Cil.(Cc), Pot2 X X X X
Selección de la mejor ecuación: Stepwise Se usa cuando el número de variables es muy grande mayor a 31, antes da los mismos resultados que el método anterior:
Variable de respuesta
Variables candidatas a entrar en lós modelos
Página 103
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Criterio para la entrada y salida de variables El método implica que las variables puedan ir entrando o saliendo. Iniciando con ninguna. Las variables van entrando pero ya no salen Las variables van saliendo a partir de tomar todas y no vuelven a entrar
Permite mostrar en cada paso las mejores opciones además de la seleccionada y el número de pasos entre pausas.
Los resultados obtenidos son los siguientes:
Stepwise Regression: Velo.max versus Num.Cil., Cil.(cc), Pot.(CV), Pot2 Alpha-to-Enter: 0.15 Alpha-to-Remove: 0.15 Response is Velo.max on 4 predictors, with N = 244 N(cases with missing observations) = 3 N(all cases) = 247 Step Constant Pot2 T-Value P-Value
1 78.97 10.41 54.66 0.000
Cil.(cc) T-Value P-Value
2 71.48 12.69 40.50 0.000
3 43.58 17.41 18.33 0.000
-0.00845 -8.58 0.000
-0.00722 -7.48 0.000
Pot.(CV) T-Value P-Value S R-Sq R-Sq(adj) Mallows C-p
Variables que entran en cada paso y su calidad de ajuste
-0.206 -5.23 0.000 8.08 92.51 92.48 109.0
7.08 94.26 94.21 29.3
6.73 94.85 94.78 3.9
Modelo adecuado
8.3 Análisis Multivariado Se usa el archivo IBEROAMERICA.MTW de indicadores sociales de los 22 países iberoamericanos de 1998. Página 104
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Componentes principales: Calcula nuevas variables ("Componentes") en función de las variables disponibles que sintetizan la información que estas contienen. Estas pocas variables vitales son las que mejor explican el comportamiento de los datos.
Stat > multivariate > Principal components Todas Número de componentes principales (5)
En Scores se almacenan las coordenadas de cada observación (país) en los ejes de los componentes principales
Componentes: Primero C13, segundo C14, tercero C15 Los valores propios o eigenvalores representan la proporción de la variabilidad total explicada por ese componente.
Principal Component Analysis: Población (m, Superficie (, % menores 15, Esperan Eigenanalysis of the Correlation Matrix Eigenvalue Proportion Cumulative
Eigenvalue Proportion Cumulative
5.5117 0.501 0.501
0.0475 0.004 0.996
2.0441 0.186 0.687
0.0350 0.003 0.999
1.4691 0.134 0.820
0.8631 0.078 0.899
0.5554 0.050 0.949
0.2638 0.024 0.973
0.1386 0.013 0.986
0.0056 0.001 1.000
Valores propios asociados a cada componente principal Valores propios = 5.5117 + 2.0441 + 1.4691 + ........... + 0.0056 = 11 Proporción = 50.1% + 18.6% + ...... + 0.001 = 100% Abajo se presenta la aportación de cada variable a cada compenente principal:
Variable Población (miles) Superficie (km2)
PC1 0.016 -0.024 Página 105
PC2 0.667 0.679
PC3 0.150 0.076
PC4 0.023 0.004
PC5 0.191 0.122
0.0660 0.006 0.992
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% menores 15 años Esperanza vida al nacer Tasa de mortalidad infan Teléfonos por 1.000 hab Usuarios Internet por 1000 hab PIB $/hab % PIB Agricultura % PIB Industria % PIB Servicios
-0.398 0.358 -0.370 0.387 0.310 0.380 -0.334 0.272 0.019
-0.076 -0.157 0.162 -0.033 0.030 0.085 -0.093 0.122 -0.066
El primer componente esta formado por aportaciones de las variables ligadas al desarrollo
0.008 0.140 -0.111 0.010 0.053 0.018 -0.062 -0.555 0.791
0.073 -0.125 0.096 0.266 0.625 0.235 0.561 -0.314 -0.197
0.013 0.564 -0.487 -0.320 0.045 -0.352 0.330 -0.067 -0.228
El tercero está centrado en la distribución del PIB y servicios
El segundo componente está relacionado con el tamaño del país Gráfica de Pareto de los valores propios que permite visualizar la importancia de cada uno de los componentes
Scree Plot of Población (miles), ..., % PIB Servicios 6 5
La primera componente representa el 50% y la segunda el 18.6% de la variación total
Eigenvalue
4 3 2 1 0 1
2
3
4
5 6 7 Component Number
8
9
10
11
La siguiente gráfica representa cada una de las observaciones (países) en las coordenadas de los dos primeros componentes. Para identificar a que país corresponde cada punto puede usarse la opción de Brush.
TAMAÑO
DESARROLLO Página 106
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Agregando etiquetas a cada punto, seleccionar la gráfica y:
Add > Data Labels: Use Labels from Column: Pais Score Plot of Población (miles), ..., % PIB Servicios 6
Brasil
5
Second Component
4 3 2
México A rgentina
1
Perú
Boliv ia
Venezuela
C olombia Ecuador C hile Guatemala C uba Rep. Dominicana El Salv ador Honduras Nicaragua Paraguay Uruguay PanamáC osta Rica
0 -1
Portugal
Puerto Rico
España
-2 -4
-3
-2
-1
0 1 2 First Component
3
4
5
No siempre se le puede dar un nombre a los componentes La siguiente gráfica muestra las variables en las coordenadas que corresponden a sus valores en las dos componentes principales. Loading Plot of Población (miles), ..., % PIB Servicios Superficie (k m2)
0.7
Población (miles)
0.6
Second Component
0.5 0.4 0.3 0.2 Tasa de mortalidad infan
% PIB Industria PIB $/hab
0.1
Usuarios Internet por 1000 hab
0.0
% PIB Serv icios
% menores 15 años
-0.1
Teléfonos por 1.000 hab
% PIB A gricultura Esperanza v ida al nacer
-0.2 -0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0.0 Desarrollo
0.1
0.2
0.3
0.4
La tercera componente que explica el 1.34% de la variabilidad, está relacionada con la distribución del PIB en la industria y servicios, se puede obtener la gráfica de la tercera vesus la primera componente como sigue: Scatterplot of C15 vs C13 3 Panamá México
Tercer Componente
2 C olombia
C osta Rica
1
Uruguay A rgentina C hile
El Salv ador Guatemala
0
Paraguay
Perú
Boliv ia
-1
España Brasil
Nicaragua Honduras
Rep. Dominicana Puerto Rico
Ecuador Venezuela C uba
Portugal
-2 -4
-3
-2
-1
0 1 2 Primer Componente
3
Página 107
4
5
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Si se guardan previamente los coeficientes de las variables y después se grafican en una grafica de dispersión, se pueden btener gráficas de un tercer componente vesrus el primero, haciendo una columna con los títulos de las variables para usarse como títulos en los puntos de una gráfica de dispersión, como sigue: Columna de variables
Pais Población (miles) Superficie (km2) % menores 15 años Esperanza vida al nacer Tasa de mortalidad infan Teléfonos por 1.000 hab Usuarios Internet por 1000 hab PIB $/hab % PIB Agricultura % PIB Industria % PIB Servicios Scatterplot of C18 vs C16 % PIB Industria
0.75 0.50
C18
0.25
Pais
-0.25
% menores 15 años Usuarios Internet por 1000 hab
Superficie (k m2) 0.00 PIB $/hab
Población (miles)
Teléfonos por 1.000 hab Tasa de mortalidad infan
Esperanza v ida al nacer
-0.50
% PIB A gricultura
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0.0 C16
0.1
0.2
0.3
0.4
Para agregar líneas a la gráfica, insertar celdas de ceros en las columnas corresponientes a los coeficientes del tercer y primer componentes (entre cada una de sus celdas): Seleccionar la gráfica y agregar líneas con: Add > Calculated Line; Y tercer comp; X primer comp Comp 3 0,1498280 0,0000000 0,0764970 0,0000000 0,0080330 0,0000000 0,1395810 0,0000000 -0,1109600 0,0000000 0,0098170 0,0000000 0,0527510 0,0000000 0,0179240 0,0000000 -0,0616860 0,0000000
Scatterplot of Comp 3 vs Comp 1 % PIB Industria
0.75 0.50
Servicios Industrai
Comp 1 0,0156420 0,0000000 -0,0238230 0,0000000 -0,3978570 0,0000000 0,3576520 0,0000000 -0,3701140 0,0000000 0,3873530 0,0000000 0,3095390 0,0000000 0,3799270 0,0000000 -0,3335910 0,0000000
0.25
Pais Población (miles)
% menores 15 años Teléfonos por 1.000 hab
Superficie (k m2)
0.00
Usuarios Internet por 1000 hab Tasa de mortalidad infan
PIB $/hab Esperanza v ida al nacer
-0.25 -0.50
% PIB A gricultura
-0.4
Página 108
-0.3
-0.2
-0.1
0.0 Desarrollo
0.1
0.2
0.3
0.4
TALLER DE APLICACIÓN DE MINITAB PARA LA MEJORA Y SOLUCIÓN DE PROBLEMAS 0,2722960 0,0000000 0,0191980 0,0000000
Dagoberto Salgado Horta
-0,5545960 0,0000000 0,7907320 0,0000000
Análisis de Clusters Se trata de distribuir las observaciones en grupos afines inicialmente no conocidos. Ahora se trata de dividir los países en grupos similares (conglomerados) de acuerdo con la información disponible:
Stat > Multivariate > Cluster observations Linkage Method: Single Distance Measure: Euclidean Number of Clusters 3 Seleccionar Show Dendogram En Storage poner C13 - Para tener identificado a que cluster corresponde cada observación OK Se muestra la secuencia de formación de Clusters, cada uno tiene un color diferente: Dendrogram with Single Linkage and Euclidean Distance
Similarity
81.25
87.50
Los Clusters se identifican fácilmente ya que para cada uno las líneas son de diferente color
93.75
100.00
1
2 14 9
5
8 18 11 6 15 7 12 3 16 4 13 17 20 10 19 22 21 Observations
1er
Fila del País
Con esto se puede hacer una gráfica de dispersión para analizar los clusters, por ejemplo para Esperanza de vida y PIB por habitante se tiene: Seleccionando la gráfica y editando los símbolos por grupos correspondientes a los clusters.
Scatterplot of Esperanza vida al nacer vs PIB $/hab 80
C luster 1 2 3
España
Esperanza vida al nacer
C osta Rica C uba
75
70
Portugal Puerto Rico
C hile
Panamá Venezuela México Rep. Dominicana C olombia Ecuador Paraguay El Salv ador Nicaragua
Perú
A rgentina
Uruguay
Brasil
Honduras
65
Guatemala
Boliv ia
60 0
Step
2000
Number of clusters
4000
6000
8000 10000 PIB $/hab
Similarity level
12000
Distance level Página 109
14000
16000
Clusters joined
New cluster
of obs. in new cluster
TALLER DE APLICACIÓN DE MINITAB PARA LA MEJORA Y SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
99.6131 99.4939 99.2755 99.2675 98.9909 98.9137 98.7540 98.7458 98.1957 97.9917 97.9498 97.2457 96.6741 95.7750 95.4151 94.7709 93.5426 87.1791 85.3070 84.7016 81.2502
54.06 70.73 101.25 102.37 141.02 151.81 174.12 175.28 252.15 280.66 286.51 384.91 464.79 590.44 640.73 730.75 902.41 1791.70 2053.32 2137.93 2620.26
2 7 2 2 8 2 3 2 6 3 2 2 13 1 1 1 1 19 10 10 1
14 12 9 5 18 8 16 11 15 4 6 7 17 2 3 13 20 22 19 21 10
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2 7 2 2 8 2 3 2 6 3 2 2 13 1 1 1 1 19 10 10 1
Primer 2 Cluster Segundo Cluster 2 Tercer 3 con 3 observaciones 2, 14, 9 4 etc.. 2 6 2 7 2 3 9 11 2 12 15 17 18 2 3 4 Se22forma un solo Cluster al final
Final Partition Number of clusters: 3
Cluster1 Cluster2 Cluster3
Number of observations 18 3 1
Within cluster sum of squares 36798918 7382783 0
Average distance from centroid 1151.26 1319.42 0.00
Maximum distance from centroid 3319.75 1962.60 0.00
Cluster Centroids Variable % menores 15 años Esperanza vida al nacer Tasa de mortalidad infan Teléfonos por 1.000 hab Usuarios Internet por 1000 hab PIB $/hab % PIB Agricultura % PIB Industria % PIB Servicios
Cluster1 34.50 70.59 32.31 78.78 2.78 2442.39 14.09 29.71 56.57
Cluster2 23.0 74.5 13.2 284.3 8.0 10251.0 2.9 43.6 53.6
Cluster3 16.0 77.9 5.5 385.0 31.0 14350.0 5.9 37.8 56.3
Grand centroid 32.09 71.45 28.48 120.73 4.77 4048.45 12.19 31.96 56.15
Distances Between Cluster Centroids
Cluster1 Cluster2 Cluster3
Cluster1 0.0 7811.4 11911.6
Cluster2 7811.37 0.00 4100.32
Cluster3 11911.6 4100.3 0.0
Ejemplo: Se trata de distribuir las variablies en grupos afines inicialmente no conocidos. Otro ejemplo con el archivo COCHES.MTW
Stat > Multivariate > Cluster Variable Linkage Method: Single Distance Measure: Correlation Number of Clusters 7 Seleccionar Show Dendogram Página 110
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En Storage poner C13 - Para tener identificado a que cluster corresponde cada observación OK Dendrogram with Single Linkage and Correlation Coefficient Distance
Similarity
59.47
72.98
86.49
100.00
P PV
t.( Po
) CV
l .( Ci
) cc
m Nu
il. .C C
m su on
. ng Lo
o
. ch An
so Pe
al M
e. et V
ax m o. l e
. tu Al
e. el Ac
Variables
Cluster 1 formado por 6 variables afines
Los otros 6 clusters se forman de una variable cada uno indicados con un color diferente
Análisis discriminante Este análisis se aplica cuando ya se sabe a que grupo pertenece cada observación y lo que se desea saber es cómo la variables disponibles afectan a la clasificación para poder asignar una nueva observación de la que se conocen los valores de las variables pero no el grupo al que pertenece. Ejemplo: Con los datos del archivo COCHES.MTW se usan los primeros 150 coches y considerando solo los de 4, 6 y 8 cilindros:
Data > Code > Numeric to Numeric Code Data from columns 'Num.Cil' Into Columns 'Num.Cil' Original Values 2, 5, 12 por New * OK
Data > Subset worksheet Name: Coches 1:150 Seleccionar Especify which rows to include: Row Numbers 1:150 OK Utilizando esta nueva hoja ahora se realiza el análisis discriminate con:
Stat > Multivariate > Discriminant Analysis Groups: 'Num.Cil' Predictors: PVP 'Cil(cc)' - 'Acele.' Linear Discriminant function C15 C16 C17 - Columnas para la función de discriminación OK
Linear Discriminant Function for Groups 4 6 8 Constant -1136.2 -1098.4 -1136.1 PVP -0.0 -0.0 -0.0 Cil.(cc) -0.0 0.0 0.0 Página 111
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Pot.(CV) Long. Anch. Altu. Malete. Peso Consumo Velo.max Acele.
1.1 -0.3 12.1 3.0 -0.3 -0.0 -15.1 11.2 10.1
1.1 -0.3 11.8 3.0 -0.3 -0.0 -14.6 5.6 10.3
1.1 -0.4 12.1 2.9 -0.2 -0.0 -15.7 8.2 10.8
Se van a aplicar estas funciones de discriminación de los primeros 150 coches a los 97 restantes:ç Manip > Subset Worksheet Name: Coches 151:247 Specify which rows to include Row numbers 151:247 OK Copiar columnas C15, C16 y C17 de la hoja COCHES 1:150 que corresponden a las funciones de discriminación a la hoja COCHES 151:247. Por medio de Matrices se tiene: 1. Insertar una columna de unos entre Modelo y PVP 2. Crear la matriz de datos y las matrices con los coeficientes de las funciones de discriminación
Editor > Enable comands MTB > copy c3 c4 c6-c15 m1 - c5 (no. cil.) se excluye ya que es el valor que se trata de predecir. MTB > copy c16 m2 MTB > copy c17 m3 Matrices de coeficientes de las tres funciones de discriminación MTB > copy c18 m4 para 4, 6 y 8 cilindros 3. Obtener las funciones de discriminación para cada observación MTB > multi m1 m2 m5 MTB > multi m1 m3 m6 MTB > multi m1 m4 m7
Valores de la función de discrimianción para 4, 6 y 8 cilindros
4. Pasar los valores de las matrices del paso 3 a las columna C19, C20 y C21
Editor Enable comands MTB > copy m5 c19 MTB > copy m6 c20 MTB > copy m7 c21 5. Identificar cual es la función que da el valor máximo para cada coche MTB > rmax c19-c21 c22 (Calc > Row Statistics) MTB > let c23=c19=c22 MTB > let c24=c20=c22 MTB > let c25=c21=c22 6. Colocar en c26 el número de cilindros asignado MTB > let c26=4*c23+6*c24+8*c25 Para poner * en los valores missing de las funciones discriminantes en C26 Página 112
MTB MTB MTB MTB MTB MTB MTB MTB MTB MTB MTB MTB MTB MTB MTB MTB MTB
> > > > > > > > > > > > > > > > >
copy c3 c4 c6-c15 m1 copy c16 m2 copy c17 m3 copy c18 m4 multi m1 m2 m5 multi m1 m3 m6 multi m1 m4 m7 copy m5 c19 copy m6 c20 copy m7 c21 rmax c19-c21 c22 let c23=c19=c22 let c24=c20=c22 let c25=c21=c22 let c26=4*c23+6*c24+8*c25 code (18) '*' c26 c26 .
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MTB > Code (18) '*' c26 c26 7. Para comparar mediante una tabla cruzada Stat > Tables > Descrpitive statistics Categorical variables: For rows 'Num.Cil.' For columns 'c26' OK
Tabulated statistics: Num.Cil., C26 Rows: Num.Cil. Columns: C26 4 6 8 Missing All 80 3 0 83 4 4 6 6 0 5 1 1 8 0 0 0 2 0 Missing 0 1 0 0 * All 80 8 1 * 89 Cell Contents: Count De los 89 coches se han acertado a clasificar como de 4 cilindros 80. De los 6 de 6 cilindros se han clasificado bien 5 y el de 8 cilindros no se clasificaron 2. La mejor discriminación fue con los de 4 por tener mas coches en la muestra. 8.4 Confiabilidad La confiabilidad permite determinar la probabilidad de funcionamiento de un sistema bajo condiciones establecidas Ejemplo: Una empresa fabrica bombas de inyección diesel, los datos se encuentran el el archivo INYECCION.MTW anexo, que contiene datos de funcionamiento de 40 bombas. Datos censurados se refieren a algunos elementos que todavía funcionaban cuando se paró elç experimento. Análisis no paramétrico Modelo para estimar la confiabilidad y sus funciones para datos completos o censurados por la derecha y sin suponer ningún modelo teórico. Stat > Relibility/survival > Distribution Analysis (Right Censoring) > Nonparamtric Distribution Analysis Variables: Duración Censor: Si los datos son completos no tocar, si no especificar cuantos hay censurados por la derecha Graphs: Surival Plot Hazard Plot Nonparametric Survival Plot for Duracion Kaplan-Meier Method Complete Data
100
Table of S tatistics M ean 71060.1 M edian 51710 IQ R 84266
Percent
80
60
40
20
0
0
50000
100000
150000 200000 Duracion
250000
300000
Página 113
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Nonparametric Hazard Plot for Duracion Empirical Hazard Function Complete Data
1.0
Table of S tatistics M ean 71060.1 M edian 51710 IQ R 84266
0.8
Rate
0.6
0.4
0.2
0.0
0
50000
100000
150000 200000 Duracion
250000
300000
Resultados Distribution Analysis: Duracion Censoring Information Count Uncensored value 40 Nonparametric Estimates Characteristics of Variable Standard 95.0% Normal CI Mean(MTTF) Error Lower Upper 71060.1 10634.4 50216.9 91903.2 Median = 51710 IQR = 84266 Q1 = 12504 Q3 = 96770 Kaplan-Meier Estimates Momento falla Bombas que Unidades Confiabilidad siguen función que fallan empírica Number at Number Survival Standard Time Risk Failed Probability Error 3607 40 1 0.975 0.0246855 4100 39 1 0.950 0.0344601 5734 38 1 0.925 0.0416458 5768 37 1 0.900 0.0474342 7025 36 1 0.875 0.0522913 8089 35 1 0.850 0.0564579 9411 34 1 0.825 0.0600781 10640 33 1 0.800 0.0632456 10681 32 1 0.775 0.0660256 12504 31 1 0.750 0.0684653 13030 30 1 0.725 0.0706001 17656 29 1 0.700 0.0724569 22339 28 1 0.675 0.0740566 28698 27 1 0.650 0.0754155 31749 26 1 0.625 0.0765466 34585 25 1 0.600 0.0774597 36863 24 1 0.575 0.0781625 43403 23 1 0.550 0.0786607 49389 22 1 0.525 0.0789581 51710 21 1 0.500 0.0790569 56084 20 1 0.475 0.0789581 63311 19 1 0.450 0.0786607 68135 18 1 0.425 0.0781625 71329 17 1 0.400 0.0774597 Página 114
95.0% Normal CI Lower Upper 0.926617 1.00000 0.882459 1.00000 0.843376 1.00000 0.807031 0.99297 0.772511 0.97749 0.739344 0.96066 0.707249 0.94275 0.676041 0.92396 0.645592 0.90441 0.615810 0.88419 0.586626 0.86337 0.557987 0.84201 0.529852 0.82015 0.502188 0.79781 0.474972 0.77503 0.448182 0.75182 0.421804 0.72820 0.395828 0.70417 0.370245 0.67975 0.345051 0.65495 0.320245 0.62975 0.295828 0.60417 0.271804 0.57820 0.248182 0.55182
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77223 77629 87564 94596 96104 96770 101214 102993 123815 140341 142312 148521 168021 204471 242796 272193
16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0.375 0.350 0.325 0.300 0.275 0.250 0.225 0.200 0.175 0.150 0.125 0.100 0.075 0.050 0.025 0.000
0.0765466 0.0754155 0.0740566 0.0724569 0.0706001 0.0684653 0.0660256 0.0632456 0.0600781 0.0564579 0.0522913 0.0474342 0.0416458 0.0344601 0.0246855 0.0000000
0.224972 0.202188 0.179852 0.157987 0.136626 0.115810 0.095592 0.076041 0.057249 0.039344 0.022511 0.007031 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
Dagoberto Salgado Horta
0.52503 0.49781 0.47015 0.44201 0.41337 0.38419 0.35441 0.32396 0.29275 0.26066 0.22749 0.19297 0.15662 0.11754 0.07338 0.00000
0,575 ¿Cuál es la fiabiliad después de 40,000 horas de funcionamiento? Identificación del mejor modelo para los datos Stat > Reliability/survival > Distribution Analysis (Right censoring) > Distribution ID Plot Variables: Duración Seleccionar Use all distributions OK Goodness-of-Fit Anderson-Darling Correlation Distribution (adj) Coefficient Weibull 0.776 0.977 Lognormal 1.072 0.977 Exponential 0.654 * Loglogistic 1.337 0.968 3-Parameter Weibull 0.653 0.992 3-Parameter Lognormal 0.849 0.982 2-Parameter Exponential 0.670 * 3-Parameter Loglogistic 1.117 0.971 Smallest Extreme Value 7.328 0.839 Menor es mejor
Mayor es mejor
Probability Plot for Duracion LSXY Estimates-Complete Data
Weibull
C orrelation C oefficient Weibull 0.977 Lognormal 0.977 E xponential * Loglogistic 0.968
Lognormal 99 90
50
P er cent
P er cent
90
10
50 10
1
1000
10000 100000 Dur acion
1 1000
1000000
E xponential
10000 100000 Dur acion
1000000
Loglogistic 99 90
50
P er cent
P er cent
90
10
50 10
1
1000
10000 100000 Dur acion
1000000
1 1000
10000 100000 Dur acion
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1000000
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La gráfica que muestra los puntos más alineados es la que mejor se adapta a los datos Análisis paramétrico Se usa la distribución identificada anteriormente: Stat > Reliability/survival > Distribution Analysis (Right censoring) > Parametric Distr. Analysis Variables: Duración Assumed Distribution: Exponential Graphs: Probability Plot All Points Display confidence intervals OK Probability Plot for Duracion Exponential - 95% CI Complete Data - LSXY Estimates
Percent
99
Table of M ean S tD ev M edian IQ R F ailure C ensor A D*
90 80 70 60 50 40 30
S tatistics 72651.5 72651.5 50358.2 79815.9 40 0 0.654
20 10 5 3 2 1
1000
10000 Duracion
100000
1000000
Table of Percentiles
Percent 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 60 70 80 90 91 92 93 94 95 96
Percentile 730.172 1467.76 2212.91 2965.78 3726.54 4495.34 5272.37 6057.80 6851.82 7654.60 16211.7 25913.0 37112.3 50358.2 66569.9 87470.5 116928 167286 174941 183498 193199 204399 217645 233856
Standard Error 116.736 234.657 353.788 474.153 595.779 718.692 842.919 968.489 1095.43 1223.78 2591.84 4142.83 5933.31 8051.00 10642.8 13984.3 18693.8 26744.9 27968.6 29336.7 30887.7 32678.2 34795.9 37387.7
95.0% Normal CI Lower Upper 533.752 998.875 1072.92 2007.89 1617.63 3027.26 2167.97 4057.18 2724.08 5097.90 3286.07 6149.62 3854.08 7212.60 4428.22 8287.06 5008.64 9373.27 A las 7654 horas, un 10% de las 5595.48 10471.5 bombas ya no funcionan por tanto 11850.7 22177.6 la confiabilidad es del 90% 18942.3 35448.9 27128.9 50769.5 36811.6 68890.0 48662.3 91067.6 63940.5 119659 85473.9 159958 122286 228847 127881 239319 134136 251025 141228 264296 149414 279617 159097 297737 170948 319915 Página 116
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97 98 99
254757 284215 334573
40729.2 45438.7 53489.7
186226 207759 244571
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348507 388805 457695
¿Cuál es la confiabiliad a las 40000 horas? Podemos usar el botón ESTIMATE Estimate survival probability 40000 OK
Table of Survival Probabilities
Time 40000
Probability 0.576619
95.0% Normal CI Lower Upper 0.470865 0.668669
La confiabilidad a las 40000 horas es del 0.5766 La confiabilidad noparamétrica fue de 0.755 muy parecida Forma rápida Una forma rápida de ver la confiabilidad y riesgo es a través de: Stat > Reliability/survival > Distribution Analysis (Right censoring) > Distrib. Overview Plot Variables: Duración Seleccionar: Parametric Distribution Exponential o Nonnparametric analysis OK Distribution Overview Plot for Duracion LSXY Estimates-Complete Data
P robability D ensity F unction
Table of M ean S tD ev M edian IQ R F ailure C ensor A D*
E xponential
0.000015 90
P DF
P er cent
0.000010
0.000005
0.000000 0
100000 200000 Dur acion
50
10
1
300000
1000
10000 100000 Dur acion
S urv iv al F unction
S tatistics 72651.5 72651.5 50358.2 79815.9 40 0 0.654
1000000
H azard F unction
100
Rate
P er cent
0.0000175
50
0.0000150 0.0000125 0.0000100
0 0
100000 200000 Dur acion
300000
0
100000 200000 Dur acion
300000
Distribution Overview Plot for Duracion Kaplan-Meier Estimates-Complete Data
Hazard Function 1.0
80
0.8
60
0.6
Rate
Percent
Survival Function 100
40
0.4
20
0.2
0
0
100000 200000 Duracion
300000
0.0
0
100000 200000 Duracion
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300000
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8.5 Comandos especiales Preguntas frecuentes No sale el indicador MTB > de comandos Temporal Permanente
Editor > Enable commands Activar ventana de sesión Tools > Options > Session Window > Submitting commands Seleccionar Enable (aparece MTB > al iniciar Minitab)
Algunas columnas en las que deberían haber datos están vacias Puede ser que la hoja de datos se muestre a partir de una fila mayor a 1 Una columna debe ser numérica sin embargo se muestra como texto Convertirla con:
Data > Change Data Type > Text to Numeric Change text column C1 Store numeric column C1
Copia de columnas con condiciones Usando el achivo PULSE.MTW Se calcula la diferencia entre Pulse1 y Pulse2 Calc > Calculator Store result in variable C10 (Incremento) Expression 'Pulse2' - 'Pulse1' Seleccionar solo las personas que han corrido Data > Copy > Columns to Columns Copy from columns 'Incremento' 'Sexo' Store Copied Data in columns C11 c12 Seleccionar Name the columns containing the copied data Subset the data: Seleccionar Rows that match Condition: Ran = 1 Diagrama de caja estratificado por sexo Graph > Boxplot > One Y:With groups Graph variables Incremento_1 Categorical variables 'Sex_1' Apilado y separación de columnas (se usa el archivo PAN.MTW) Columna con todos los pesos de las columnas correspondientes a la máquina 1 Data > Stack > Columns Stack the following columns 'Máquina 1, Pieza 1'....'Máquina 1, Pieza 4' Sel. store stacked data in Column of current worksheet 'Máquina 1' Codificación y ordenación de datos (se usa el archivo CLIENTES.MTW) Se desea codificar a los clientes según el valor de sus compras para el primer trimestre Categoría 3 Menos de 50,000; Cat. 2 entre 50,000 y 100,000; Cat. 1 Más de100,000 Calc > Row statistics Sumas Sel. Statistic Sum input vars. 'ENERO' - 'MARZO' store result in Total Codificación Data > Code > Numeric to numeric Code data from columns Total Into columns Categoría Original values New 00:49,9 3 50:100 2 100.1:999 1 Numeros de cliente en columnas separadas por categoría Data > Unstack columns Página 118
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Unstack the data in Total Sel. After last column in use Name the columns containing then stacked data Ordenar clientes por su rango de compras Data > Sort Sort Columns CLIENTE Total By columns Total seleccionar Descending Store sorted data in seleccionar Columns of current worksheet Clientes ordenados' 'Facturación' otra opción Manip > Rank Rank data in total Store ranks in C13 NOTA. Si dos clientes coinciden les pone el número promedio de ellos Personalización de Minitab Opciones de configuración
Tools > Options
Lenguaje de comandos
Session Window > Submiting Commands Seleccionar Enable Command Language
Configurar gráficas
Graphics > Regions > Graph Fill Pattern; Background color N
No pregunte al cerrar gráficas
Graphics > Graph Management Prompt to save a graph before closing Never
Cambios en barras de herramientas
Click sobre una barra de herramientas Botón derecho para ver la lista de barras disponibles o con Tools > Toolbars
Personalizar la barra de herramientas
Tools > Customize Commands para seleccionar y arrastrar cualquier opción nadicional del menu y dejarla en la barra de herramientas existente como en Office
Hacer una barra de herramientas nueva
Tools > Customize > Toolbars: New Se puede ir llenado la barra de herramientas vacía con opciones de menu
Comandos en la pantalla de sesión Histograma de 100 números aleatorios
Editor > Commands enable MTB > Random 100 c1 MTB > Histo c1 random 100 c1; normal 0,0,1,0. Histogram c1; Bar.
Solo se requieren las primeras 4 letras Un ; indica continuación de instrucción Un . Indica fin de la instrucción
Instrucciones ejecutables
Edit > Command Line Editor Escribir los comandos y al final pulsar Submit Commands para ejecutar
Archivos ejecutables
Se pueden grabar las instrucciones en un archivo ASCII y ejecutarlas File > Other Files > Run an Exe Random 100 c1; Number of times to execute 10 normal 10,3. Página 119
TALLER DE APLICACIÓN DE MINITAB PARA LA MEJORA Y SOLUCIÓN DE PROBLEMAS Select file (buscarlo en archivos con *.txt) Se pueden realizar varios histogramas como sigue:
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histo c1 # Random 100 c2; normal 10,4. histo c2
Gráficas personalizadas Hacer todos los cambios necesarios a las gráficas y copiar las instrucciones una vez seleccionada la gráfica: Editor > Copy Command Language Pegar las instrucciones en un archivo desde el que se puedan accesar Macros, panorama general Minitab contiene un lenguaje de programación sencillo para elaborar programas hechos a la medida incluye instrucciones de control generales IF/ELSEIF/ELSE/ENDIF, DO/ENDO, WHILE/ENDWHILE EXIT devuelve el control a la ventana del Minitab Simulador de media muestral Macros globales GMACRO GMACRO Nombre MacroG_SimulaMedia.txt (archivo) Cuerpo de la macro Let k2=1 ENDMACRO # WHILE k2 Options > General Let c2(k2) = k1 indicar carpeta en Initial directory Let k2=k2 +1 Let c3(1)=k2 Ejecución MTB > %Macrog_SimulaMedia.txt ENDWHILE # ENDMACRO Macros locales Permiten tener varias variables de entrada / salida de cualquier nombre MACRO Ident. Nombre + variables de entrada y salida Declaración de variables: constantes, vectores y matrices Cuerpo de la macro ENDMACRO MACRO Local_SimulMedia # Nombre itera n c_med + Variables c_conta de Entrada/Salida # # Significado de las variables utilizadas: # # itera: Núm. de iteraciones # n: Tamaño de las muestras # c_med: columna (vector) donde se van almacenando las medias # c_conta: Columna donde aparece el contador # i: número de iteración # media: valor de la media de la muestra # c_mues: nombre del vector que contiene la muestra generada # # MCONSTANT itera n i media # Declaración de constantes MCOLUMN c_mues c_med c_conta # Declaración de vectores # Página 120
TALLER DE APLICACIÓN DE MINITAB PARA LA MEJORA Y SOLUCIÓN DE PROBLEMAS brief 0 # LET i=1 WHILE i %Local_SimulaMedia.txt 5000 100 c1 c2 itera n c_med c_conta
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