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d) Señale algunos de los análisis estadísticos que se hicieron. Determinación inicial del nivel de calidad aceptable Determinación de la unidad muestral Determinación del tamaño de la muestra Nivel y tipo de inspección Obtención de una muestra aleatoria e) Cuáles fueron los beneficios obtenidos con el proyecto de mejora. Darse cuenta de que se debían prospectar por áreas o tomar muestras más pequeñas, y comprobar que los métodos utilizados son convenientes para el área a estudiar, así como el control y verificación de la calidad aceptable. 25. Haga algo similar a lo que se propone en el ejercicio anterior, pero ahora donde se proponga alguna metodología o estrategia de mejora. El método que utilizaron se ha inspiró en el de inspección por atributos, computaron el número de defectos (yacimientos o hallazgos no encontrados) por la superficie que se inspecciona calculada en número de unidades de prospección controladas. El grado de disconformidad se expresa en número de defectos (yacimientos no encontrados) en cada 100 unidades de muestreo o cuadrículas. De este modo obtuvieron el NCA: NCA = (yacimientos no encontrados/n unidades inspeccionadas) x 0,01

CAPITULO 2 CONCEPTOS CLAVE Capacidad de un proceso. Consiste en conocer la amplitud de la variación natural del proceso para una característica de calidad dada; esto permitirá saber en qué medida tal característica de calidad es satisfactoria. Estadísticos. Cantidades o mediciones que se obtienen a partir de los datos de una muestra y que ayudan a resumir las características de las mismas. Tendencia central. Valor en torno al cual los datos o mediciones de una variable tienen a aglomerarse o concentrarse. Media. Medida de tendencia central que es igual al promedio aritmético de un conjunto de datos, que se obtienen al sumarlos y el resultado se divide entre el número de datos. Mediana. Medida de tendencia central que es igual al valor que divide a la mitad a los datos cuando son ordenados de menor a mayor Moda. Medida de tendencia central de un conjunto de datos que es igual al dato que se repite más veces.

Desviación estándar muestral. Medida de la variabilidad que indica que tan esparcidos están los datos con respecto a la media. Desviación estándar del proceso. Refleja la variabilidad de un proceso. Para su cálculo se debe utilizar un número grande de datos que hayan sido obtenidos en el transcurso de un lapso amplio. Rango. Medición de la variabilidad de un conjunto de datos que es resultado de la diferencia entre el dato mayor y el dato menor de tal conjunto. Coeficiente de variación. Medida de variabilidad que indica la magnitud relativa de la desviación estándar en comparación con la media. Es útil para contrastar la variación de dos o más variables que están medidas en diversas escalas. Desigualdad de Chebysev. Resultado teórico que relaciona X y S, y establece el porcentaje mínimo de datos que caen en el intervalo (X- kS,X + kS), con k> 1. Regla empírica. Resultado práctico que relaciona a X y S, y establece el porcentaje de datos de la muestra que cae dentro del intervalo (X-leS, X+ k5) con k= 1, 2, 3 Limites reales. Se obtienen con Jl- 30'y Jl+ 30', e indican de dónde a dónde varía la salida de un proceso Histograma. Representación gráfica de la distribución de un conjunto de datos o de una variable, donde los datos se clasifican por su magnitud en cierto número de clases. Permite visualizar la tendencia central, la dispersión y la forma de la distribución. Tabla de frecuencias. Representación en forma de tabla de la distribución de unos datos, a los que se clasifica por su magnitud en cierto número de clases. Distribución sesgada. Forma asimétrica de la distribución de unos datos o una variable, donde la cola de un lado de la distribución es más larga que la del otro lado. Distribución multimodal. Forma de la distribución de unos datos en la que se aprecian claramente dos o más modas (picos). Dato raro o atípico. Medición cuta magnitud es muy diferente a la generalidad de las mediciones del conjunto de datos correspondiente. Rango intercuartílico. Es igual a la distancia entre el cuartil inferior y el superior, y determina el rango en el que se ubican SO% de los datos que están en el centro de la distribución. Estratificación. Consiste en clasificar y analizar datos de acuerdo con las distintas fuentes de donde proceden, como, por ejemplo por máquinas, lotes, proveedores, turnos, etcétera. Sesgo. Es una medida numérica de la asimetría en la distribución de un conjunto de datos.

Curtosis. Estadístico que mide qué tan elevada o plana es la curva de la distribución de unos datos respecto a la distribución normal. Cuantiles. Medidas de localización que separan por magnitud un conjunto de datos en cierto número de grupos o partes que contienen la misma cantidad de datos. Por ejemplo, los deciles dividen los datos en 10 grupos.

PROBLEMAS 2.1 Con sus palabras y apoyándose en gráficas, conteste los siguientes incisos. a) ¿Qué es la tendencia central y que es la variabilidad de un proceso o unos datos? La tendencia central: Es un valor en torno al cual los datos o mediciones de una variable tienden a aglomerarse o concentrarse. Variabilidad de un proceso: Es saber que tan diferentes son entre sí. Desviación estándar muestral: Medida de la variabilidad que indica qué tan esparcidos están los datos con respecto a la media. Desviación estándar del proceso: Refleja la variabilidad de un proceso. Para su cálculo se debe utilizar un número grande de datos que hayan sido obtenidos en el transcurso de un lapso amplio. Se denota c Rango: Medición de la variabilidad de un conjunto de datos que es resultado de la diferencia entre el dato mayor y el dato menor de tal conjunto. Coeficiente de variación: Medida de variabilidad que indica la magnitud relativa de la desviación estándar en comparación con la media. Es útil para contrastar la variación de dos o más variables que están medidas en diversas escalas b) Represente de manera gráfica y mediante curvas de distribución, dos procesos con la misma variabilidad pero diferente tendencia central.

c) Elabore la gráfica de dos procesos con la misma media pero diferente dispersión.

d) Represente dos procesos cuya forma de distribución es diferente.

2.2. Si una característica de calidad debe estar entre 30 ± 2, y se sabe que su media es = 29.9; entonces, ¿se tiene buena calidad, se cumple con las especificaciones? Paso 1. Datos: Paso 2. Fórmula: Paso 3. Procedimiento :

-

Paso 4. Gráfica:

Paso 5. Resultados, interpretacione s y toma de decisiones.

No sabemos si se cumple con las especificaciones porque no conocemos la desviación estandar de la población (proceso). Todo parece indicar que el proceso está ligeramente descentrado por la izquierda No tenemos informacion suficiente (desconocemos Cp) para evaluar la calidad, pero podemos suponer que no es buena porque el proceso no está centrado.

2.3 ¿De qué manera afectan los datos raros o atípicos a la media? Explique su respuesta. Un dato raro es una medición cuya magnitud es muy diferente a la generalidad de las mediciones del correspondiente conjunto de datos. Para poder determinar la media, se necesita de cierta cantidad de mediciones ya que si obtendríamos datos raros causaría una dificultad al realizar el cálculo porque no sería una respuesta correcta, 2.4 Un grupo de 30 niños va de paseo en compañía de tres de sus maestras. La edad de los niños varía entre 4 y 8 años, la mitad tiene 5 años o menos. La edad que se repite más es la de 4. La edad de las tres maestras es diferente, pero es cercana a los 30 años. Con base en lo anterior, incluyendo a las tres maestras, proponga un valor aproximado para la media, la moda, y la mediana de la edad de los 33 paseantes. Argumente sus propuestas. Paso 1 Datos Paso 2 Formula Paso 3 Procedimiento Paso 4 Gráfica

X =33 -

-

Paso 5 Resultado

Media: 11, aproximadamente ya que hay valores extremos. Moda: 4, La tendencia central de los datos es la cantidad que más se repite. Mediana: 5, este es el valor medio, ya que menciona 50% tiene una edad inferior a 5 años.

2.5 En una empresa se llevan los registros del número de fallas de equipos por mes; la media es de 4 y la mediana de 6. Paso 1. Datos Paso 2. Fórmula Paso 3. Procedimiento Paso 4. Gráficas Paso 5. Resultados interpretaciones y toma de decisiones.

a) Si usted tiene que reportar la tendencia central de fallas, ¿qué número reportaría? ¿Por qué? Reportaría el 6, porque da el valor medio de fallas que ocurrieron en cada mes. Es decir; que el 50% de fallas es inferior a 6 y el otro 50% es superior a 6. b) ¿La discrepancia entre la media y la mediana se debió a que durante varios meses ocurrieron muchas fallas? Si, por que al haber distintas fallas en unos meses y en otros no. Esto proporciona valores extremos que influyen en el análisis de los datos, perdiendo representatividad el valor que se tiene de la media.

2.6. De acuerdo con los registros de una empresa, el ausentismo por semana del personal de labor directa es de 25 personas en promedio, con una desviación estándar de 5. Con base en esto, conteste: a) ¿Entre qué cantidad se espera que usualmente varíe el número de personas que no acuden a trabajar por semana? La cantidad de personas que no está yendo a trabajar varía entre aproximadamente 20 personas, lo que es un 68% de los casos.

b) Si en la última semana hubo 34 ausencias, ¿significa que pasó algo fuera de lo normal, por lo que se debe investigar qué sucedió y tomar alguna medida urgente para minimizar el problema? Significa que algo está incorrecto, ya que si la media poblacional es de 25 personas y el registro de ausentismo en la última semana está demasiado elevado, significa que se debe analizar y tomar medidas urgentes para minimizar el problema. 2.7 En una empresa se lleva un registro semanal del número de empleados que acuden a la enfermería de la empresa a recibir atención médica. De acuerdo con los datos de los primeros seis meses del año se tiene que el número promedio por semana es de 16, y la desviación estándar es de 3.5. Con base en esto conteste los siguientes dos incisos: Paso 1: Datos Paso 2: Fórmula Paso 3: Procedimiento Paso 4: Resultados

a) ¿Entre qué cantidades se espera que varíen usualmente el número de empleados que acuden a la enfermería por semana? Se espera que acudan a la enfermería por semana entre 26 y 5 empleados. A pesar de que los datos se ven afectados por datos demasiado aleatorios que afectan a la media y a la desviación estándar.

b) Si en la última semana acudieron a la enfermería 25 personas, esto significa que en esa semana pasó algo fuera de lo usual. Conteste sí o no y explique por qué. No, porque se refiere a la última semana en la que se contó para tomar la media, por lo tanto, existen datos que se encuentran alejados y afectan a la media. 2.8. De acuerdo con cierta norma, a una bomba de gasolina en cada 20 L se le permite una discrepancia de 0.2 L. En una gasolinera se hacen revisiones periódicas para evitar infracciones y ver si se cumplen las especificaciones (El = 19.8, ES= 20.2}. De acuerdo con los resultados de 15 inspecciones para una bomba en particular, la media y la desviación estándar de los 15 datos son 19.9 y 0.1, respectivamente. De acuerdo con esto, ¿se puede garantizar que la bomba cumple con la norma? Argumente su respuesta.

Paso 1. Datos El = 19.8, ES= 20.2,

Paso Fórmula

2.

Paso 3. Procedimiento Paso Gráficas

Calculado en Minitab

4.

Paso 5. Resultados, interpretación y decisiones

Para garantizar que se cumple c0on la norma, los limites reales deben estar dentro de los límites de las especificaciones. Con los resultados obtenidos se puede evidenciar que el LRI es menor a EI, lo cual indica que la bomba no cumple con la norma.

2.9 La desigualdad de Chebyshev y la regla empírica establecen la relación entre la media y la desviación estándar. Explique esta situación y señale si se aplica para el caso muestra poblacional o para ambos. Si una variable aleatoria tiene una desviación estándar pequeña, esperaríamos que la mayoría de los valores se agrupen alrededor de la media. Por lo tanto, la probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor dentro de cierto intervalo alrededor de la media es mayor que para una variable aleatoria similar con una desviación estándar mayor si pensamos en la probabilidad en términos de un área, esperaríamos una distribución continua que el área este extendida. Sin embargo, una desviación estándar pequeña debería tener la mayor parte de su área cercana a µ. 2.10.- Dos máquinas, cada una operada por una persona, son utilizadas para cortar tiras de hule, cuya longitud ideal es de 200 mm, con una tolerancia de ±3 mm. Al final del turno un inspector toma muestras e inspecciona que la longitud cumpla

especificaciones. A continuación se muestran las últimas 110 mediciones para ambas máquinas: Paso 1. Datos

199.2 199.7 201.8 202 201 201.5 200 199.8 200.7 201.4 200.4

201.7 201.4 201.4 200.8 202.1 200.7 200.9 201 201.5 201.2 201.3

200.9 200.7 200.5 201.2 201.7 201.2 201.2 200.5 200.1 201.4 200.2

201 201.4 201.4 201.1 201.2 201 200.6 202 201 201.5 201.6

200.6 200.1 201.3 200.6 200.7 201.8 200.5 200.5 200.8 200.3 200.7

199.5 198.6 200.3 198.5 198.2 199.6 198.2 198.4 199 199.7 199.7

199 198.4 199.1 198.8 198.3 198.9 199.6 199 198.7 200.5 198.4

199.2 198.8 198.5 198.9 198.8 198.7 199.2 199.3 199.7 197.8 199.9

199 199 198.7 199.1 200.3 200.5 198.1 198.3 199.6 199 199.7

198.9 199.2 197.9 200.3 199.6 199.4 198.7 198.5 198.7 198.6 198.5

Paso 2. Fórmula Paso 3. Procedimiento

Calculado en Minitab

Paso 4. Gráfica

Paso. 5 Resultados, interpretaciones y toma de decisiones

a) Obtenga las medidas de tendencia central y con base en ellas señale si la tendencia central del proceso es adecuada. Las medidas de tendencia central del proceso son: Las modas son 199, 200.5, 201.4 La mediana es 200.1 La media es 200

b) Calcule la desviación estándar y una aproximación de los límites reales. A partir de éstos decida si la variabilidad de los datos es aceptable. La desviación estándar es 1.16 Los límites reales son aproximadamente 198.97 y 201. c) Obtenga un histograma e interprételo (tendencia central, variabilidad, acantilados, sesgos, etc). d) Con la evidencia obtenida antes, cuál es su opinión acerca de lo adecuado o no de la longitud de las tiras que se cortaron en el periodo que representan las mediciones. La longitud no es la adecuada, ya que presenta diversas variaciones dando como resultado un proceso con una distribución multimodal, es decir, presenta 3 realidades diferentes. e) utilizando el sesgo y curtosis estandarizadas, y la evidencia gráfica, ¿qué puede decir respecto a la normalidad de los datos? Debido a que la curtosis es negativa, la curva es plana, lo que quiere decir es que las diferencias entre los datos son menos fuertes, sin embargo afectan de manera seria la capacidad del proceso.

2.11 En el caso del ejercicio anterior, considere que los primeros 55 datos (ordenados por renglón) corresponden a una máquina, y los últimos 55 a otra. Ahora conteste lo siguiente. a) Evalué las dos máquinas en cuanto a su centrado (tendencia central) y con respecto a la longitud ideal (200). Estadísticos descriptivos: Maquina 1, Maquina 2 N para Variable Media Desv.Est. Mediana Modo Maquina 1 201.12 1.35 201.00 201.4 Maquina 2 199.01 0.677 199.00 199

moda 6 6

La máquina 2 es más exacta que la máquina 1. b) Analice la dispersión de ambas maquinas utilizando la desviación estándar y la regla empírica. Estadísticos descriptivos: Maquina 1, Maquina 2 Variable Desv.Est. Varianza

Q1

Q3 Curtosis

Maquina 1 1.35 1.83 200.60 201.40 33.69 Maquina 2 0.677 0.458 198.50 199.60 -0.25 De acuerdo a las especificaciones ambas máquinas cumplen las tolerancias permitidas. Pero la máquina 2 es la más exacta a la media ideal de 200 mm, porque su desv. Est. es menor a la de la máquina c) Haga un histograma para cada máquina e intérprete cada uno de ellos.

La máquina 1: Tiene un sesgo positivo y tiene hacia la izquierda. La máquina 2: Tiene un sesgo negativo y tiende hacia la derecha. d) De acuerdo a lo anterior, ¿cuál es el problema de cada máquina? La máquina 1 tiene menor precisión, la mayoría de sus valores son inferiores a la media ideal (200 mm). La máquina 2 es más precisa, pero la mayoría de sus valores son superiores e inferiores. e) Considere que cada máquina es operada por una persona diferente, y determine cuáles son las posibles causas de los problemas señalados en el inciso anterior y señale qué haría para corroborar cuáles son las verdaderas causas Causas: a) Puede ser que la persona que está operando la máquina no esté revisándola constantemente, ya que la máquina puede ser muy antigua y se descontrole fácilmente. b) El operario no ha sido capacitado correctamente. Precauciones: a) Revisar constantemente la máquina. b) Evaluar al operario

f) Vuelva a analizar el histograma realizado en el inciso c) del ejercicio anterior y vea si de alguna forma se vislumbraba lo que detectó con los análisis realizados en este ejercicio. En ambas graficas se demuestra que la máquina 2 es más precisa, aunque la mayoría de sus valores son superiores e inferiores. 2.12 En un área de servicios dentro de una empresa de manufactura se realiza una encuesta para evaluar la calidad del servicio proporcionado y el nivel de satisfacción de los clientes internos. La encuesta consiste de 10 preguntas, y cada una de ellas evalúa diferentes aspectos del servicio proporcionado. Las respuestas para cada pregunta es un número entre O y 10. Para hacer un primer análisis de los resultados obtenido s se suman los puntos obtenidos de las 10 preguntas para cada cuestionario. A continuación se muestran los puntos obtenidos en 50 cuestionarios. Paso 1 Datos

78 78 82 85 81 86 80 73 84 78

68 84 75 78 76 76 82 85 91 80

70 87 77 82 84 48 49 39 39 43

35 42 34 44 49 34 30 43 31 34

Paso 2 Formula Paso 3 Procedimiento Paso 4 Gráfica

Calculado en Minitab

41 42 45 42 35 38 39 42 43 29

Paso 5 Resultado

a) Calcule las medidas de tendencia central, de dispersión a los datos anteriores y dé una primera opinión acerca de la calidad en el servicio : La media de los datos de satisfacción es 59.80 La mediana de los datos de satisfacción es 58.50 Las modas de los datos de satisfacción son 42 y 78 La varianza de los datos de satisfacción es 446.29 La desv. Estandar es de los datos de satisfacción es 21.13 b) Realice el histograma e interprételo con cuidado. El conjunto de datos de satisfacción está ligeramente descentrado por la izquierda. La distribución es bimodal c) ¿Qué es lo más destacado que observa en el histograma? Que la distribución es bimodal d) ¿Tendría alguna utilidad hacer un análisis por separado de cada una de las preguntas? Explique. Si, por que los datos presentan mucha variación y no permiten precisar en qué aspectos hay menor satisfacción e) ¿Hay normalidad en los datos? Argumente. No, ya que el valor P es mayor a 0.089, Y el estadístico AD

2.13. En una fábrica de piezas de asbesto una característica importante de la calidad es el grosor de las láminas. Para cierto tipo de lámina el grosor óptimo es de 5 mm y se tiene una discrepancia tolerable de 0.8 mm, ya que si la lámina tiene un grosor menor que 4.2 mm se considera demasiado delgada y no reunirá las condiciones de resistencia exigidas por el cliente. Si la lámina tiene un grosor mayor que 5.8 mm, entonces se gastará demasiado material para su elaboración y elevarán los costos del fabricante. Por lo tanto, es de suma importancia fabricar las láminas con el grosor óptimo, y en el peor de los casos dentro de las tolerancias especificadas. De acuerdo con los registros de las mediciones realizada en los últimos tres meses se aprecia un proceso con una estabilidad aceptable, el grosor medio es = 4.75, la mediana 4.7, y la desviación estándar = 0.45

Paso 1. Datos la mediana 4.7 Paso 2. Fórmula Paso 3. Procedimiento Paso 4. Gráfica

Calculado en Minitab

a) De acuerdo con la media y la mediana, ¿el centrado del proceso Paso 5. es adecuado? Resultados interpretacione El centrado del proceso no es el adecuado, todo parece indicar que el s y toma de proceso esta descentrado con mucha variabilidad. decisiones b) Si considera sólo la media y la mediana, ¿puede decidir si el proceso cumple con las especificaciones? El proceso no es adecuado para el trabajo, y no cumple con las especificaciones, requiere de modificaciones serias. c) Calcule los límites reales, haga la gráfica de capacidad y señale si el proceso cumple con especificaciones. Si cumple con las especificaciones ya que la media cae dentro de los límites reales. 2.14 En el problema anterior, con el propósito de mejorar la calidad que se tenía en cuanto al grosor de las láminas, se implementó un proyecto de mejora siguiendo la metodología Seis Sigma (vea el capítulo 16). Varios de los cambios implementados fueron relativos a mejora y estandarización de los procedimientos de operación del proceso. Para verificar si el plan tuvo éxito, se eligieron láminas de manera aleatoria y se midió su grosor. Los 120 datos obtenidos durante tres días se muestran a continuación: Paso 1: Datos

4.8 4.7 4.7 4.9 4.9 4.6 4.2

4.3 5.7 4.1 4.8 5.00 5.00 4.5

4.8 4.5 5.1 4.7 5.00 4.6 5.3

5.1 5.3 5.00 5.1 5.3 4.8 5.1

4.9 4.4 5.00 5.1 5.1 4.7 4.8

4.6 5.1 4.9 5.3 5.1 4.9 4.4

4.9 4.6 4.6 5.1 4.5 4.4 4.7

4.6 4.9 4.9 5.00 5.2 4.5 5.3

5.00 4.2 5.2 5.3 4.1 5.3 5.1

4.9 4.6 4.8 5.00 5.1 5.3 4.7

4.8 5.3 4.7 5.1 4.9 4.4 4.7

4.5 5.2 5.1 5.2 4.9 5.00 4.8

5.00 5.00 4.9 5.2 5.6 5.3 4.9 5.00 4.4 4.9 4.4 5.00 4.5 5.00 5.2

5.1 5.2 4.5 4.7 4.6 5.3 4.7 5.00 5.3

4.6 4.8 5.6

5.2 4.9 5.00 4.7 4.6 5.1 5.00 5.00 4.5

Proyecto Mediana = 4.7

= 4.75

= 0.45

Nuevo Mediana = 4.90

= 0.3155

Paso 2: Fórmula Paso 3: Procedimiento Paso 4: Datos

Paso 5: Fórmula

Paso 6: Procedimiento

Paso 7: Gráfica

Calculado en Minitab

0.3155

Paso 8: Resultados

a) Calcule la media y mediana de estos datos, y compárelas con las que se tenían antes del proyecto, decida si con los cambios se mejoró el centrado del proceso. En comparación con las medidas que se tenían antes, sin embargo, no se encuentra en lo óptimo, si no dentro de los límites tolerables. Se puede en el histograma que aún está descentrado y con mucha variabilidad. b) Calcule la desviación estándar y, con ésta, obtenga una estimación de los nuevos límites reales y decida si la variabilidad se redujo. Se redujo la variabilidad en comparación con las medidas que se tenían antes, ya que esta disminuye de acuerdo con la desviación estándar, más los límites si son capaces de ser cumplidos ya que la media de los mismos se encuentra entre ellos, aunque aún sigue habiendo variabilidad, lo cual significa que debe reducirse debido a que no es lo óptimo. c) Construya un interprételo.

histograma,

inserte

las

especificaciones

e

Se observa que el histograma se encuentra descentrado y con mucha variabilidad. Tiene una curva leptocúrtica, por lo tanto, no es lo normal. d) De acuerdo con todo lo anterior, ¿el proyecto dio buenos resultados? Argumente. Los resultados son aceptables, más sin embargo, no son los óptimos, ya que aún existe variabilidad. Lo bueno es que los límites y las medias están dentro de las especificaciones dadas por el proyecto. e) Si se observaron mejoras, ¿son suficientes para garantizar un producto dentro de especificaciones? No, puede haber la probabilidad de que funcione, aunque esto no es asegurable, de acuerdo con lo mencionado anteriormente.

2.15 En la elaboración de envases de plástico primero se elabora la preforma, para la cual se tienen varios criterios de calidad, uno de ellos es el peso de esta. Para cierto envase se tiene que el peso debe estar entre 28.00 ± 0.5 g. A co ntinuación se muestran los últimos 112 datos obtenidos mediante una carta de control para esta variable.

Paso 1. Datos.

MEDIANA= Paso 2. Formula

Paso 3. Procedimiento Paso 4. Gráfica

Calculado en minitab

Paso 5. Resultados, interpretaciones y toma de decisiones.

a) Obtenga las medidas de tendencia central y señale si la tendencia central de las mediciones es adecuada. La media de los pesos es de 27.98 g. La mediana de los pesos de los envases es de 27.96g. La varianza de los pesos es de 0.021 La desviación estándar de los datos obtenidos es de 0.1437. La moda del peso de los envases es de 27.94 La tendencia central es la adecuada, puesto que está en el rango marcado por la empresa. b) Calcule la desviación estándar y una aproximación de los límites reales y con base en estos decida si la variabilidad de los datos es aceptable. La desviación estándar de los datos es de 0.1437. Es aceptable puesto que está dentro del rango de .5 que la empresa está manejando para el peso de sus botellas. c) obtenga un histograma e interprételo (tendencia central, variabilidad, acantilados, sesgos, etc.). Tendencia central: La media de los pesos es de 27.98 g. La mediana de los pesos de los envases es de 27.96g. La desviación estándar de los datos obtenidos es de 0.1437. La moda del peso de los envases es de 27.94 La tendencia central es la adecuada puesto que está en el rango marcado por la empresa. Variabilidad: Los valores de los datos no varían más de 1 del valor más pequeño al más grande, lo cual especifica la empresa, por lo tanto es aceptable. Acantilados: Con lo que se puede observar en el histograma mis pesos están saliendo en mayoría en el rango de -.5 y los que son +.5 son más dispersos. Sesgo:

Está un poco más inclinado al lado positivo, sin embargo es mínimo. d) ¿Es adecuado el peso de las preformas? Si es el adecuado puesto que está en el rango establecido por la misma empresa como rango de tolerancia. e) ¿Hay evidencias en contra de la normalidad de los datos? Se podrían tomar como evidencia en contra algunos datos que están un poco más dispersos que la mayoría, sin embargo están dentro del estándar.

2.16 Una característica clave en la calidad de las pinturas es su densidad, y un componente que influye en ésta es la cantidad de arenas que se utilizan en su elaboración. La cantidad de arena en la formulación de un lote se controla por medio del número de costales, que según el proveedor contienen 20 kg. Sin embargo, continuamente se tienen problemas en la densidad de la pintura que es necesario corregir con retrabajo y reprocesos adicionales. En este contexto se decide investigar cuánta arena contienen en realidad los costales. Para ello, se toma una muestra aleatoria de 30 costales de cada lote o pedido (500 costales). Los pesos obtenidos en las muestras de los últimos tres lotes se muestran adelante. Las especificaciones iniciales que se establecen para el peso de los costales de arena son de 20 ± 0.8 kg. Paso 1. Datos

Paso 2. Fórmula Paso 3. Procedimiento Paso 4. Gráfica

Calculado con minitab

Paso 6: Resultados

a) De acuerdo con los 90 datos, ¿el centrado del proceso es adecuado? El centrado es adecuado, pero requiere un debido control. b) ¿la variabilidad es poca o mucha? Apóyese en los estadísticos adecuados. La variabilidad es mucha ya que están muy alejados uno del otro. c) Obtenga un histograma especificaciones.

para

los

90

datos,

inserte

las

d) Dé su conclusión general acerca de si los bultos cumplen con el peso especificado. Los bultos no cumplen con el peso especificado ya que no están dentro de los límites permitidos. e) Haga un análisis de cada lote por separado y con apoyo de estadísticos y gráficas, señale si hay diferencias grandes entre los lotes. Si analizamos los 3 lotes juntos, tendríamos como resultado 2 realidades, ya que un conjunto de datos queda fuera de la curva, por lo tanto, el proceso no es el adecuado. f) ¿Las diferencias encontradas se podrían haber inferido a partir del histograma del inciso e)? Si los lotes se analizan por separado, podemos encontrar diversos resultados. El lote 1 está centrado por la izquierda, con una distribución bimodal, mientras que el lote 2 está centrado y el lote 3 está totalmente a la izquierda dejando un conjunto de datos fuera de la curva; por lo tanto concluimos que es mejor analizar los datos por separado, para tener una mejor visión de la realidad. g) Obtenga un diagrama de caja para cada lote y compárelos.

2.17 En una empresa que fabrica y vende equipo para fotocopiado utilizan como un indicador importante de la calidad en el servicio posventa, el tiempo de respuesta a solicitudes de apoyo técnico debido a fallas en los equipos. Para pro blemas mayores, en cierta zona del país se estableció como meta que la respuesta se de en un máximo de 6 horas hábiles; es decir, de que habla el cliente solicitando apoyo, y que si el problema se clasifica como grave no deben pasar más de 6 horas hábiles para que un técnico acuda a resolver el problema. A continuación se aprecian los tiempos de respuesta en horas para los primeros nueve meses del año (65 datos). Paso 1. Datos

Paso 2. Fórmula Paso 3. Procedimiento

Mediana=

x=

S=

Calculado en minitab

Paso 4. Gráficas

Paso 5. Resultados, interpretacione s y toma de decisiones

a) Calcule las medidas de tendencia central y con base en éstas, ¿cree que se cumple con la meta? De acuerdo a las medidas de tendencia central se llega a la conclusión de que los límites no sobrepasan y por esto se cumple la meta que se estableció. b) Aplique la regla empírica, interprete y diga qué tan bien se cumple la meta. Si se cumple la meta

c) Haga un histograma e interprete sus aspectos más relevantes. Se presenta mucha variabilidad y está descentrada. d) A partir del análisis que se ha realizado, ¿qué recomendaciones daría para ayudar a cumplir mejor la meta? Daría una clasificación menor de tiempo para los problemas que son considerados como graves.

2.18. Los siguientes datos representan las horas caídas de equipos por semana en tres líneas de producción. Paso 1. Datos.

Paso 2. Formulas. MEDIANA= Paso3. Procedimiento

Calculado en minitab

Paso 4. Gráficas

Paso 5. Interpretación.

a) Analice los datos por cada línea y anote las principales características de la distribución de los datos. Linea 1 Media: 6.8720 Desv: 1.0498 Mediana: 7.100 Linea 2. Media: 6.9960 Desv: 1.0006 Mediana:6.9000 Linea 3. Media: 7.3280 Desv: 0.8754 Mediana: 7.500 Las Lineas 1 y 2 son muy parecidas en cuanto a su media y mediana, sin embargo la desv. Estándar de cada una es muy diferente. Por lo cual guiándonos por la Desv. Podemos decir que la línea 1 tiene menos control, sin embargo las demás líneas tienen mas caídas de producción. b) Compare las tres líneas, ¿Nota alguna diferencia importante? La línea 2 tiene caídas aparentemente similares y las líneas 1 y 3 tienen caídas parecidas.

2.19 Una característica importante en la calidad de la leche de vaca es la concentración de grasa. En una industria en particular se fijó 3.0% como el estándar mínimo que debe cumplir el producto que se recibe directamente. de los establos lecheros. Por me dio de muestreos y evaluaciones en cierta época del año se obtuvieron los siguientes 90 datos sobre concentración de grasa en cierta región.

Paso 1. Datos

Paso 2. Fórmula

Paso 3. Procedimiento

Calculado en minitab

Paso 4. Gráficas

Paso 5. Resultados, interpretación y toma de decisiones

a) Calcule las medidas de tendencia central y de variabilidad, y comente acerca del cumplimiento del estándar mínimo para la concentración de grasa. La media de los datos es de 3.18 La desviación estándar es de 0.31 La varianza de los datos es de 0.09 b) Obtenga un histograma, inserte el estándar mínimo e intérprete de manera amplia. El conjunto de datos de grasa está ligeramente descentrado por la derecha y la distribución es bimodal.

c) La población de donde provienen estos datos, ¿cumple el estándar mínimo? Si, cumple con los estándares fijados en el conjunto de datos d) ¿Se puede suponer distribución normal? Sí, porque los datos concuerdan y no existe mucha variabilidad.

2.20 En la elaboración de envases de plástico es necesario garantizar que cierto tipo de botella en posición vertical tenga una resistencia mínima de 20 kg fuerza. Para garantizar esto, en el pasado se realizaba una prueba del tipo pasa-no-pasa, donde se aplicaba la fuerza mínima y se veía si la botella resistía o no. En la actualidad se realiza una prueba exacta, en la que mediante un equipo se le aplica fuerza a la botella hasta que ésta cede, y el equipo registra la resistencia que alcanzó. ¿Qué ventajas y desventajas tiene cada método? En la prueba pasa-no-pasa la ventaja sería que puede que haya menos probabilidad de que las botellas se rompan, ya que la fuerza aplicada es mínima, sin embargo, el control de la calidad no sería tan eficiente, ya que el rango de fuerza aplicada es mínimo, y no se tiene una garantía de que la botella resista una fuerza mayor. En la prueba exacta, como su nombre lo dice, el control de calidad es más exacto, ya que se tiene un registro de la resistencia promedio que una botella puede soportar sin romperse, por lo tanto, ya se tiene una media de presión registrada y un control establecido, teniendo así mejores resultados y productos de mayor calidad. 2.21 En el caso del problema anterior, a continuación, se muestran 100 datos obtenidos en las pruebas destructivas de la resistencia de botellas.

Paso 1: Datos

Paso 2: Fórmula

Paso 3: Procedimiento

Calculado en minitab

Paso 4. Gráficas

Paso 5: Resultados

a) Calcule las medidas de tendencia central y de variabilidad. Se encuentran calculadas en el paso 3: Procedimiento.

b) Estime los límites reales y comente si las botellas cumplen la resistencia mínima que se desea garantizar. Si cumplen, ya que la media cae dentro de los límites reales, por lo tanto, se cumple con las especificaciones. c) Obtenga un histograma, inserte una línea vertical en el valor de la resistencia mínima e interprete ampliamente. Como se observa en el paso 4: gráficas, el histograma se encuentra un poco sesgado a la derecha, tiene mucha variabilidad, y no se muestra fácilmente el valor de la resistencia mínima, por lo tanto, puede que sea conveniente realizar otros ajustes. d) Con base en los análisis anteriores. ¿considera que el proceso cumple con la especificación inferior? No, ya que como mencionado anteriormente, no se muestra en el histograma que muchos datos cumplan con esa especificación. 2.22. En una empresa que elabora productos lácteos se tiene como criterio de calidad para la crema que ésta tenga un porcentaje de grasa de 45 con una tolerancia de ± 5. De acuerdo con los muestreos de los últimos meses se tiene una media de 44 con una desviación estándar de 1.3. Haga un análisis de capacidad para ver si se está cumpliendo con la calidad exigida, represente gráficamente los datos y comente los resultados obtenidos. Paso 1. Datos:

Paso 2. Fórmula:

Paso 3. Procedimiento:

Paso 4. Gráfica:

Paso 5. Resultados, interpretaciones y toma de decisiones.

Todo parece indicar que el proceso está descentrado por la izquierda. Se tiene información necesaria para evaluar la calidad donde es mayor que 1 pero menor que 1.33 cuando el proceso está centrado, donde el proceso está parcialmente adecuado, y requiere de un control estricto, pero podemos suponer que no es buena porque el proceso no está centrado.

2.23 El volumen en un proceso de envasado debe estar entre 310 y 330 mi. De acuerdo con los datos his bien en cuanto al volumen? Argumente su respuesta. Paso 1. Datos EI=310 Paso 2. Fórmula

Paso 3. Procedimiento

Paso 4. Gráficas

ES= 330

µ= 318

Paso 5. Resultados, interpretación y decisiones

Si hacemos una nalisis de la media poblacional y relacionamos con los limites de control esta se encuentra dentro de rango por lo tanto se puede afirmar que el proceso marcha bien mas sin embargo todo parece indicar que el proceso está descentrado por la izquierda. Se tiene información necesaria para evaluar la calidad donde es menor que 1 pero mayor que 0.67 cuando el proceso está centrado, donde el proceso no es adecuado para el trabajo. Es necesario un análisis del proceso. Requiere de modificaciones serias para alcanzar una calidad satisfactoria.

2.24 En la elaboración de una bebida se desea garantizar que el porcentaje de co2 ( gas) esté entre 2.5 y 3.0. En el monitoreo del proceso se obtuvieron los siguientes 115 datos:

Paso 1. Datos

2.61 2.62 2.65 2.56 2.68 2.51 2.69 2.53 2.67 2.66 2.58 2.61 2.53 2.57 2.56 2.52 2.58 2.64 2.59 2.73 2.60 2.61 2.55 2.66 2.69 2.56 2.61 2.49 2.63 2.72 2.65 2.67 2.61 2.50 2.65 2.57 2.55 2.64 2.66 2.56 2.56 2.62 2.63 2.57 2.60 2.53 2.61 2.60 2.52 2.62 2.51 2.57 2.55 2.57 2.58 2.52 2.61 2.55 2.55 2.60 2.64 2.67 2.60 2.59 2.67 2.56 2.63 2.57 2.61 2.49 2.58 2.59 2.65 2.67 2.61 2.52 2.65 2.57 2.52 2.64

Paso 2. Fórmulas

Paso 3. Procedimiento

Calculado en Minitab

2.63 2.51 2.67 2.60 2.67 2.64 2.60

2.52 2.61 2.52 2.59 2.58 2.56 2.70

2.61 2.71 2.64 2.56 2.53 2.60 2.67

2.64 2.64 2.62 2.57 2.57 2.57 2.65

2.49 2.59 2.64 2.66 2.66 2.48 2.60

Paso. 4 Gráfica

Paso 5. Resultados, interpretaciones y toma de decisiones

a) Por medio de medidas de tendencia central determine si la tendencia central de las mediciones es adecuada. Media: 2.5989 Desv. Estándar: 0.0558 Varianza: 0.00311 Mediana: 2.6000 Moda: 2.61 b) Calcule la desviación estándar y una aproximación de los límites reales y, con base en éstos, decida si la variabilidad de los datos es aceptable. Variable N N* Media estándar Desv.Est. Mínimo % de Co2 115 0 2.6250 0.0259 0.2779 2.4800

Varianza 0.0772

CoefVar 10.59

c) Obtenga un histograma e interprételo (tendencia central, variabilidad, acantilados, sesgos, etc). Paso 4 d) Con la evidencia obtenida antes, ¿cuál es su opinión acerca de la capacidad del proceso referido? Hay una cierta cantidad que no cumple con el rango de calidad (falta agregar más Co2)

CAPITULO 3 CONCEPTOS CLAVE Experimento aleatorio: Su resultado no puede anticiparse aun cuando se repita bajo las mismas condiciones. Espacio muestra: Es el conjunto de resultados posibles de un experimento aleatorio. Evento: Es un subconjunto del espacio muestra de un experimento aleatorio. Variable aleatoria: Función que asocia un número a cada resultado de un experimento aleatorio. Variable aleatoria discreta: Variable a la que se pueden numerar los posibles valores que toma Distribución de probabilidad de X: Es una descripción del conjunto de los valores posibles de X con la probabilidad asociada a cada uno de estos valores Experimento Bemoulli: Ensayo aleatorio que sólo tiene dos resultados posibles llamados "éxito" y "fracaso". Distribución binomial , p: Proporciona la probabilidad de observar x éxitos en una secuencia den experimentos Bernoulli independientes con una probabilidad constante p de éxito. Distribución geométrica: Proporciona: la probabilidad de requerir X repeticiones independientes de un experimento Bernoulli para observar el primer éxito Distribución hipergeométrica: Da la probabilidad de obtener X éxitos en n experimentos Bernoulli, donde la probabilidad de éxito cambia de un experimento al siguiente. Distribución normal: Es una distribución continua cuya densidad tiene forma de campana. Es muy importante tanto en la estadística teórica como en la aplicada. Gráfica de probabilidad: Procedimiento que permite determinar si los datos muéstrales se ajustan a una distribución específica.

PROBLEMAS 3.1 Señale qué es una variable aleatoria e incluya un par de ejemplos de variables aleatorias discretas y otro par de continuas. Es la función que asocia un número a cada resultado de un experimento aleatorio. a) Variable aleatoria discreta: (Conjunto finito o numerable) Una recepcionista recibe 20 llamas por día, Una muestra de tornillos defectuosos en un proceso es de 15. b) Variable aleatoria continua: (Intervalo finito o infinito) Peso, volumen, longitud.

3.2. ¿Qué es una distribución de probabilidad? Es una descripción del conjunto de los valores posibles de X con la probabilidad asociada a cada uno de estos valores. 3.3. ¿Qué es una función de densidad de probabilidades y qué requisitos debe cumplir? La distribución se representa a través de una tabla que relaciona resultados con probabilidades, o bien, por medio de una fórmula. En el caso discreto, la función f(x) = P(X = x) que va del rango de X al intervalo [0, 1] recibe el nombre de función de probabilidad, y cumple con las siguientes propiedades: l.f(x) = P(X = x). 2.f(x) O para toda x (no hay probabilidades negativas). 3.lf(x) = 1 (la suma de las probabilidades de todos los posibles valores de X es igual a 1). 3.4 Explique en cada caso qué tipo de variables siguen una distribución binomial, de Poisson e hipergeométrica. Mencione dos ejemplos de cada una de ellas. a) Distribución binomial: determinado criterio. La probabilidad de éxito es constante. Un proceso produce 5% de piezas defectuosas si se encuentran X número de piezas defectuosas en las siguientes 20. Un virus está afectando al 20% de la población si X cantidad de las siguientes 30 personas estudiadas lo tienen. b) Distribución de Poisson: La variable que calcula la distribución de Poisson es la cantidad de defectos en un sistema. Numero de impurezas en un líquido dado su volumen. Numero de defectos en una línea de producción. c) Distribución Hipergeometrica: En esta distribución, la probabilidad de éxito del experimento no se mantiene constante, muestra es muy pequeño. Se toma una muestra de una línea de producción que se sabe contiene defectos. Se estudia el efecto de una vacuna en una porción de la población que se sabe contiene viruela. 3.5 ¿Cuál es la relación entre la distribución normal y la distribución ji-cuadrada? Si a es un número entero, entonces r(a) = (a- 1). La media y la varianza de una distribución jicuadrada con k grados de libertad están dadas por E (X) = k y 2) =? Variable

Calculado en minitab

Paso 5. Resultados, interpretación y toma de decisiones

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el porcentaje muestra de defectuosos sea mayor a 10%? La probabilidad del porcentaje de muestra es de 0.0716 b) ¿cuál es la probabilidad de obtener una o menos piezas defectuosas? La probabilidad para obtener las piezas que son defectuosas es de 0.0736

3.8 Un proceso de producción de partes trabaja con un porcentaje promedio de defectos de 5%. Cada hora se toma una muestra aleatoria de 18 artículos y se prueban. Si la muestra contiene más de un defecto el proceso deberá detenerse.

3.9 Un fabricante de calculadoras electrónicas desea estimar la proporción de unidades defectuosas producidas, para ello toma una muestra aleatoria de 250 y encuentra 25 defectuosas. Con base en esto el fabricante afirma que el porcentaje de calculadoras defectuosas que se produce es de 10%, ¿es real esta afirmación? Argumente su respuesta.

3.10. Un fabricante de galletas desea que, con probabilidad de 0.95, cada galleta contenga al menos una pasa. Paso 1. Datos

Probabilidad =0.95

Paso 2. Formula Paso 3. procedimiento Paso 4. grafica

Paso 5. Resultados, interpretaciones y toma de decisiones

¿Cuántas pasas en promedio por galleta deberá agregar a la masa como mínimo? Deberá agregar a la masa como mínimo 0.6321 ¿Cuál es la probabilidad de que una galleta contenga más de seis pasas? La probabilidad de que una galleta contenga más de 6 pasas es del 0.00008324

3.11. En un almacén se inspeccionan todos los lotes de cierta pieza que se reciben; para ello, se emplean muestras de tamaño 100. Se sabe que el proceso genera 1% de piezas defectuosas y se tiene el criterio de rechazar el lote cuando se encuentran más de tres piezas defectuosas en la muestra. ¿Cuál es la probabilidad de aceptar un lote? ¿Cuál es la probabilidad de que se tengan que inspeccionar 10 lotes antes de rechazar el primero del día?

De acuerdo con la gráfica de distribución binomial, la probabilidad de aceptar un lote es de 0.01837.

3.12. Una caja contiene cuatro artículos defectuosos y ocho en buen estado. Se sacan dos artículos al azar. Paso 1. Datos Paso 2. Formula Paso 3. procedimiento

M=8 , k=4 , N=12, n=2 -

Paso 4. Gráfica

Paso5. Resultados interpretaciones y toma de decisiones

a) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno sea bueno? La probabilidad de que sea al menos uno bueno es de P(X>=1)=0.9091 b) ¿Cuál es la probabilidad de que los dos sean del mismo tipo (buenos o malos)? La probabilidad de que los dos sean del mismo tipo buenos o malos es

c) ¿Cuál es el valor esperado de los artículos buenos? Valor esperado=

3.13 Un gerente de producción de cierta compañía está interesado en probar los productos terminados que están disponibles en lotes de tamaño 50. Le gustaría retrabajar el lote si puede estar seguro de que 10% de los artículos están defectuosos en la muestra. Entonces, decide tomar una muestra de tamaño 10 sin reemplazo y retrabajar el lote si encuentra uno o más defectuosos en la muestra. ¿Es éste un procedimiento razonable? Argumente su respuesta.

Paso 1. Datos Paso 2. Fórmula Paso 3. Procedimiento

N=50 M=5 n=10 Calculado en minitab Calculado en minitab

Paso 4. Gráfica

¿Es éste un procedimiento razonable? Paso 5. Resultados, No ya que está tomando solo una pequeña muestra de toda la población y interpretaciones podría haber más defectuosas en el resto que no está tomando. y toma de decisiones 3.14. Una máquina llena cajas de cereal y lo hace siguiendo una distribución normal con varianza igual a 0.01 onzas. ¿Qué nivel de contenido deberá fijarse en la máquina sí se desea que sólo 1% de las cajas contenga menos de 20 onzas? Paso 1. Datos Paso 2. Fórmula

Calculado en Minitab

Paso 3. Procedimiento

Calculado en Minitab

Paso 4. Gráficas

Paso 5. Resultados, interpretaciones y toma de decisiones.

El nivel de contenido que deberá fijarse en la máquina para que el 1% de las cajas contenga menos de 20 onzas es de 20.02.

3.15 En una compañía aérea 40% de las reservaciones que se hacen con más de un mes de anticipación son canceladas o modificadas. En una muestra de 20 reservaciones ¿Cuál es la probabilidad de que 10,11 o 12 reservaciones no hayan cambiado? a) Conteste usando la distribución binomial.

b) Resuelva con base en la distribución normal con la media y la varianza de la binomial considerando el rango de 9.5 a 12.

3.16. Se hace un estudio de la duración en horas de 20 focos y se obtienen los siguientes datos: 138.62, 37, 62, 25.00, 59.36, 87.50, 75.49, 56.46, 33.86, 61.30, 323.52, 1.50, 186.34, 193.65, 11.34, 52.20, 381.41, 2.68.

Paso 1. Datos Paso 2. Fórmulas Paso 3. Procedimiento Paso 4. Gráfica

138.62, 37, 62, 25.00, 59.36, 87.50, 75.49, 56.46, 33.86, 61.30, 323.52, 1.50, 186.34, 193.65, 11.34, 52.20, 381.41, 2.68. 1 -x Calculado en minitab

Paso 5 Resultados, Interpretaciones y toma de decisiones

a) Encuentre, mediante gráficas de probabilidad, una distribución continua que se ajuste de manera adecuada a los datos.

La gráfica de probabilidad se encuentra en el paso 4 b) Considere una distribución exponencial con parámetro = 1 - x obtenga la probabilidad de que los focos duren más de 300 horas

La probabilidad de que los focos duren más de 300 horas es del 95%

3.17 Una máquina realiza cortes de manera automática de ciertas tiras metálicas con media µ=40,1 cm y una desviación estándar 0,2 cm. La media óptima de tales tiras debe ser de 40 cm con un tolerancia de más o menos 0,5 cm. Suponiendo distribución normal estime el porcentaje de las tiras que cumple con las especificaciones Paso 1. Datos

Paso 2. Fórmula Paso 3. Procedimiento

Paso 4. Gráficas

Media: µ=40.1 cm Desviación estándar: 0.2 cm Media Optima: 40 cm Tolerancia: 0.5 cm Especificación inferior= 39,5 Especificación Superior = 40,5 Z= (X-

P( 39,5 < X