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• Diego Nicolás Chavarro

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´ DE CALDAS UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSE ESTAD´ ISTICA TALLER 2

1. El tiempo dedicado al uso del correo electr´onico por sesi´on tiene una distribuci´on normal, con µ = 8 minutos y σ = 2 minutos. Si se selecciona una muestra aleatoria de 25 sesiones. a) ¿Cu´al es la probabilidad de que la media muestral se encuentre entre 7,8 y 8,2 minutos? b) ¿Cu´al es la probabilidad de que la media muestral se encuentre entre 7,5 y 8 minutos? c) Si se selecciona una muestra aleatoria de 100 sesiones, ¿cu´al es la probabilidad de que se encuentre entre 7,8 y 8,2 minutos? 2. La cantidad de tiempo que un cajero de banco dedica a cada cliente tiene una media poblacional de µ = 3,1 minutos y una desviaci´ on est´ andar de σ = 0,4 minutos. Si se selecciona una muestra aleatoria de n = 16 clientes. a) ¿Cu´al es la probabilidad de que el tiempo medio dedicado a cada cliente sea al menos de 3 minutos? b) ¿Existe un 85 % de posibilidades de que la media muestral se encuentre debajo de cuantos minutos? c) Si se selecciona una muestra aleatoria de 64 clientes, existe un 85 % de posibilidades de que la media muestral se encuentra debajo de ¿cu´antos minutos?. 3. Usted planea realizar un experimento de marketing en el que los estudiantes deben probar una de dos marcas de bebidas gaseosas distintas. Su labor consiste en identificar correctamente cual es la marca que probaron. Usted selecciona una muestra aleatoria de 200 estudiantes y se supone que no cuentan con facultades para distinguir entre ambas marcas. (Nota: Si un individuo carece de facultades para distinguir entre las dos bebidas gaseosas, entonces ambas marcas tienen la misma probabilidad de ser seleccionadas). a) ¿Cu´al es la probabilidad de que la muestra obtenga entre 50 % y 60 % de identificaciones correctas? b) Hay una probabilidad del 90 % de que el porcentaje muestral se encuentre dentro de ¿Cu´ ales l´ımites sim´etricos del porcentaje poblacional? c) ¿Cu´al es la probabilidad de que el porcentaje muestral de identificaciones correctas sea mayor del 65 %? d ) ¿Qu´e es m´ as probable que ocurra: m´as del 60 % de identificaciones correctas en la muestra de 200, o m´as del 55 % de identificaciones correctas en una muestra de 1000? Explique porqu´e. 4. Sea X1 , X2 , ..., Xn una muestra aleatoria. Se define: S :=

n X (Xi − µ)2 i=1

σ2

Demuestre que S tiene distribuci´ on Ji-cuadrado con n − 1 grados de libertad. 5. Demuestre que la varianza de S 2 para muestras aleatorias de tama˜ no n de una poblaci´on normal disminuye (n − 1)S 2 a medida que aumenta n. (Sugerencia: primero calcule la varianza de ). σ2 6. Demuestre que S 2 es un estimador insesgado del par´ametro poblacional σ 2 . 7. Suponga que Y1 , Y2 , Y3 denotan una muestra aleatoria de una distribuci´on exponencial con funci´ on de densidad:    1 e −y θ y>0 θ f (y|θ) :=  0 e.o.c Considere los siguientes cinco estimadores de θ: θˆ1 = Y1 Y1 + Y2 θˆ2 = 2 Y + 2Y2 1 θˆ3 = 3 θˆ4 = m´ın{Y1 , Y2 , Y3 } θˆ5 = Y

a) ¿Cuales de estos estimadores son insesgados?. b) Entre los estimadores insesgados, ¿cual tiene varianza m´as peque˜ na?. 8. Determine el MLE para una distribuci´ on: a) Distribuci´ on Beta de par´ ametros θ = (θ1 , θ2 ). fx (x|θ) =

1 xθ1 −1 (1 − x)θ2 −1 I(0,1) β(θ1 , θ2 )

b) Distribuci´ on Pareto de par´ ametros θ = (θ1 , θ2 ). fx (x|θ) =

θ2 θ1θ2 I xθ2 +1 (θ1 ,∞)

c) Distribuci´ on Normal de par´ ametros θ = (θ1 , θ2 ). 1 fx (x|θ) = √ exp 2πθ2



−(x − θ1 )2 2θ2



d ) Distribuci´ on Gamma de par´ ametros θ = (θ1 , θ2 ). fx (x|θ) =

θ2θ1 θ1 −1 −θ2 x x e I(0,∞) Γ(θ1 )

9. Si es posible, determine un estimador de θ mediante el m´etodo de los momentos, en los items anteriores.