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UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER SEDE BARBOSA CÁLCULO II UNIDAD TEMÁTICA: APLICACIONES DE LA INTEGRAL 1. Calcule el área de la región comprendida entre las gráficas de las f ( x) = 3x 3 − x 2 − 10 x y g ( x) = − x 2 + 2 x funciones

5. Calcule el área de la región acotada por las gráficas de f ( x ) = x − 1 y

f ( x ) = ( x − 1)

3

6. Para el lanzamiento de una nueva marca de calzado se planea realizar una campaña publicitaria a través de un dirigible que se eleve por el cielo de la ciudad con el nombre de la marca. Los ingenieros encargados de su elaboración, plantean su diseño a través de la rotación alrededor del eje x del lazo de la curva

9 y 2 = x (3 − x )

2

2. Calcule el área de la región acotada por las gráficas de

x = y +1;

x = 3 − y2

y

calcule también el volumen del cuerpo generado al hacer girar la región anterior en tono de la recta y = 4.

3. Calcule el volumen del sólido de revolución formado al hacer girar la región acotada por la gráfica de

f ( x) = sen x

y el eje x ( 0 ≤

x ≤ π)

en torno al eje x.

4. Un fabricante diseña un objeto metálico en forma de esfera con un radio de 5 pulgadas, y con un orificio cilíndrico en su interior como muestra la figura. El hueco tiene un radio de 3 pulgadas. ¿Cuál es el volumen del objeto metálico resultante?

con x y y medidos en metros). Hallar la cantidad de material sintético requerido para la construcción del dirigible con estas especificaciones. 7. El tanque para almacenamiento de agua de un camión cisterna mide 16 pies de largo, y sus secciones transversales son elipses, como se muestra en la foto. Si en cierto momento se encuentra parcialmente lleno de agua como lo muestra la figura de la sección transversal, determinar el trabajo que debe realizar una bomba para desaguar el tanque, sabiendo que esta debe elevar el agua hasta la parte superior del mismo.

8. Un tanque esférico de almacenamiento de agua de POSTOBON de 4 m de radio está instalado de modo tal que su parte superior queda a 20 m sobre el piso. Si en cierto momento se encuentra lleno de agua hasta la mitad de su capacidad se pide indicar (no calcular) la integral que permita determinar el trabajo que debe realizar una bomba para desaguar parcialmente el tanque, sabiendo que esta debe elevar el agua hasta la parte superior del mismo, pero que se desean dejar veinte centímetros de agua al fondo.

1

9. Durante una tormenta de 12 horas de duración, la velocidad del agua en los primeros 20 m de la columna de agua se pudo describir mediante la siguiente función: v(t ) = 0.001 − 3t 4 + 80t 3 − 726t 2 + 2520t + 10 donde v es la velocidad de en m/s y t es el tiempo en horas. Hallar la velocidad promedio en el transcurso de la tormenta.

(

)

10. Calcula el área de la zona del plano limitada por el eje de abscisas y la gráfica de la función: f ( x) = x 1 − x , entre los puntos en que se cortan la gráfica y el eje mencionado. 11. Calcula el volumen del cuerpo que genera la zona del plano limitada por el eje de abscisas y la gráfica de la función: f ( x) = x 1 − x , al girar alrededor del eje, entre los puntos en que se cortan la gráfica y el eje mencionado. 12. Se requiere una fuerza de 150 N para mantener estirado 8 cm un resorte de 24 cm de longitud natural. Hallar el trabajo necesario para estirarlo desde el triple hasta el quíntuplo de su longitud natural. 13. Un recipiente en forma de cilindro parabólico como el que se muestra en la figura, está lleno de agua hasta las tres cuartas partes de su altura: Calcule el trabajo requerido para evacuar toda el agua por la parte superior que está tres pies por encima y la fuerza hidrostática sobre las paredes parabólicas.

4

3

14. Un resorte se encuentra estirado una longitud de 10 cm. Si se precisan de 10 J de trabajo para estirarlo 5 cm más y de otros 14 J para estirarlo 5 cm adicionales, ¿cuáles son la longitud natural L y la constante k de este resorte? 15. Una compuerta en forma de un triángulo equilátero de dos metros de altura se instala sobre la pared vertical de un enorme tanque en forma de paralelepípedo rectangular de 20 metros de largo, 12 metros de ancho y 8 metros de profundidad, de tal modo que uno de sus lados queda apoyado horizontalmente un metro antes de llegar al fondo del tanque. Si el tanque se llena con agua salada con una densidad de 1200 Kg/m3, se pide plantear (no resolver) la integral que permite calcular la fuerza hidrostática en kilonewtons sobre la compuerta. 16. Se tiene un reservorio semicilíndrico lleno de agua de diámetro 1m y 2m de longitud dispuesto como muestra la figura. Se desea calcular el trabajo necesario para evacuar el tanque llevando el agua a un nivel 2m por encima del borde superior del reservorio.

2m

1m

17. La base de cierto sólido es la parábola x = 4 − y 2 con y ∈ [− 2, 2] . Las secciones transversales perpendiculares al eje x son triángulos equiláteros; encontrar el volumen del sólido.

4 3

8

18. Se corta una cuña de un tronco cilíndrico de radio 2cm dando dos cortes con una sierra mecánica que llegan hasta el centro del tronco. Si uno de los cortes se hace perpendicular y el otro formando un ángulo de 20° con el primero, ¿qué volumen tendrá la cuña

2

26. Una alberca circular con tres metros de radio y tres metros de profundidad está completamente llena de agua. La alberca se desea vaciar para su limpieza, calcular el trabajo que se realiza al bombear todo el líquido hasta 4 metros por arriba del nivel del piso.

19. Un ducto de 6 metros de diámetro se encuentra semilleno. Hallar la fuerza que ejerce el agua sobre la compuerta que cierra el ducto.

20. Hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar alrededor de la recta vertical x=1, la región que está comprendida entre el eje x, las rectas verticales x=2, x=3, y la curva

y = 2 − x 2 − 2x 21. Hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar, alrededor del eje y, la región que está delimitada por la parábola y = − x 2 + 4 x − 3 , por la cúbica y = x 3 − 6 x 2 + 12 x − 5 y por las verticales x = 1 y x = 3. 22. Se quiere fabricar un candelabro macizo a partir de la figura de

( x − 2 )2 + 1, x ∈ [0,2] revolución determinada por  al girar sobre el eje 1, x ∈ [2,4] OX, cuyas magnitudes vienen expresadas en decímetros. Calcula el precio de dicho objeto fabricado en cobre valorado en 2,50 dólares /cm3 23. Se va a diseñar un contenedor de papel para reciclar con la forma de una pirámide truncada, en la que las bases inferior y superior son cuadrados de lado 100 y 60cm, respectivamente. ¿Qué altura debe tener el contenedor para que su volumen sea exactamente un metro cúbico?

27. Considere que el tanque de la figura está completamente lleno de agua. Calcular el trabajo requerido para bombear todo el líquido por la salida mostrada en la figura.

28. Halla el peso de una plancha de cobre de un centímetro de espesor limitada por la función f ( x ) = senx y la recta y = 2x, donde x e y se miden en metros, sabiendo que cada centímetro cúbico de plancha pesa 8.92 gramos. Expresa el resultado en kilogramos. 29. La figura muestra el depósito de combustible de un camión diesel, con las dimensiones en pies. El motor está 2 pies por encima de la parte superior del depósito y el combustible pesa 55,6 libras/pie3. Calcular el trabajo requerido para bombear todo el combustible hasta el nivel del motor.

24. Halle la longitud de la curva y = arcsen(e − x ) , desde x = 0 hasta x = 1. 25. Encuentre la longitud del arco de la curva x =

y = 1 hasta y = e .

1 2 1 y − ln y , desde 4 2

30. Una placa plana en forma de triángulo rectángulo isósceles, cuya base es de 6 metros y su altura es de 3 metros, se sumerge verticalmente, con la base hacia arriba, 2 metros por debajo de la superficie de un tanque con agua. Determinar la fuerza ejercida por el agua contra un lado de la placa.

3

31. Localice el centroide del área plana mostrada en cada figura. Suponga densidad constante:

superior y 30m en la inferior. Determinar la fuerza total que se ejerce sobre la pared de una compuerta de un dique de 20 metros de profundidad, que contiene agua hasta una altura de 16 metros. 33. Encuentre el área de la superficie obtenida por la rotación de la curva 9 x = y 2 + 18, 2 ≤ x ≤ 6 en el eje X. 34. Encuentre el área de la superficie al hacer girar alrededor del eje y la hipérbola: x 2 − y 2 = 16 entre y=0 y y=8 35. Un tanque hemisférico, colocado de modo que su parte superior es la región circular de radio 6 pies, se llena de agua hasta una altura de 4pie. Calcule el trabajo realizado al bombear el agua hasta 3 pie por encima de la parte superior del tanque.

36. Una placa de metal ha sido fijada a una presa. Hallar la fuerza hidrostática ejercida sobre la placa. Todas las medidas están dadas en m.

37. Encuentre el volumen del casquete de una esfera con radio r y altura h. 38. Determine el centro de masa de una lámina de acero cuya densidad es constante, determinada por la región acotada entre las gráficas y = x 2 y 32. Determinar la fuerza total que se ejerce sobre la pared de una compuerta de un dique de 20metros de profundidad, lleno de agua, si la compuerta tiene una forma trapezoidal simétrica de 50m en su parte

y = x 3 − 2x 39. Determine el centro de masa de un alambre delgado de densidad constante δ y que tiene forma de una semicircunferencia de radio a. 4

40. Encontrar la longitud del arco parabólico intersecado por el lado recto de la parábola dada por

forma vertical) que sobresale 2cm de su parte superior ¿qué trabajo se requiere para succionar todo el jugo por el pitillo?

x 2 = 4 py

46. Supongamos que un estudio indica que, entre las 13:00 horas y las 16:00 horas de un día laborable típico, la velocidad (en Km/h) del tráfico de una cierta salida de autopista viene dada por la fórmula f (t ) = 2t 3 − 21t 2 + 60t + 20 donde t es el número de horas después del mediodía. Halle la velocidad media del tráfico entre las 13:00 y las 16:00 horas.

41. Encuentre el área de la superficie al hacer girar alrededor del eje y la hipérbola: x − y = a entre las rectas y=0 y x = 5a 2

2

2

42. Encuentre el volumen del sólido de revolución que se obtiene girando la región limitada por y = 2 x 2 − x 3 y y= 0, alrededor del eje y 43. La gasolina de una estación de servicio se guarda en un tanque cilíndrico enterrado a un lado de la estaciín, de modo que la parte más alta del tanque está a 5pies debajo de la superficie. El tanque tiene 6pies de diámetro y 10pies de de largo. La densidad de la gasolina es una constante γ libra/pie3. ¿Cuánto trabajo se realizará para vaciar toda la gasolina de este tanque inicialmente lleno hasta las ¾ partes de su diámetro? 44. Una bombilla ornamental ha sido diseñada con la forma de la superficie de revolución obtenida al girar la curva

y=

3 1 12 1 x − x 2; 0 ≤ x ≤ 3 3

alrededor del eje x, donde x e y se miden en cm. 45. Un vaso lleno de jugo de guanábana (de densidad 1720kg/m3), tiene la forma de un cono truncado, de 15cm de altura, 3cm de radio en su base y 5cm de radio en su parte superior. Se introduce un pitillo en el vaso (en

47. En un Hospital, acaban de construir un nuevo contenedor de agua (véase la figura). Sus elementos principales consisten, en un tanque esférico que tiene un radio interno de 10 pies y un largo tubo para llenar de 30 pies de largo. El tubo para llenar es cilíndrico con radio interno de 1 pie. Suponga, que se bombea agua desde el piso hasta el tanque, por medio del tubo. ¿Cuánto trabajo se necesita para llenar el tubo y el tanque con agua? 48. Suponga que una presa tiene la forma de un trapecio con una altura de 1000 pies, 300 pies de largo en la parte superior y 200 pies de largo en el fondo. ¿Cuál es la fuerza total que ejerce el agua sobre la presa, cuando el nivel del agua detrás de la presa llega hasta su parte superior? 49. Un tanque de agua tiene forma de cono circular recto, descansando sobre su base. El radio de dicha base es de 2 m y su altura 4 m, inicialmente se encuentra completamente lleno y en t = 0, comienza a vaciarse a través de un orificio situado en el fondo del mismo. ¿Cuánto tiempo tarda en vaciarse? 50. Un tanque en semiesférico de radio 6 pies está lleno de agua y se abre en el fondo del tanque un agujero circular de ½ pulgada de diámetro. ¿Cuánto tardará el tanque en vaciarse completamente? 51. Encuentre el volumen del sólido de revolución que se obtiene girando la región limitada por y = x − x 2 y y= 0, alrededor de la recta x=2.

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