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Taller 5 Ecuaciones Diferenciales 10008-11039-19003 1.- Un objeto que pesa 8 libras queda suspendido de un resorte estir´andolo 6 pulgadas. Una vez que la pesa queda en reposo en la posici´on de equilibrio es empujada hacia abajo a una velocidad de 4 pies/segundo. Describa el desplazamiento de la pesa en funci´on del tiempo. ¿ Cu´al es la velociodad de la pesa cuando se encuentra tres pulgadas arriba de la posici´on de equilibrio y cae? Respuesta. x(t) =

1 2

√ sen(8t), v = 2 3.

2.- Cuando una pesa de 3 libras se suspende de un resorte ´este alarga el resorte 1 pulgada. Se une una pesa de 29 libras al resorte y todo el sistema se hace descender hasta llegar a un dep´osito de aceite, produci´endose una fuerza de amortiguamiento de 12v libras, donde v es la velocidad de la pesa. Luego, la pesa se eleva 6 pulgadas de su posici´on de equilibrio y se suelta. Obtenga y resuelva la ecuaci´on diferencial del movimiento. Respuesta. x(t) = −2e−6t (1 + 6t). 3.- Una pesa de 16 libras queda suspendida de un resorte, alarg´andolo 6 pulgadas. La pesa es jalada otras 3 pulgadas abajo de esta posici´on de equilibrio y liberada. En 1 este instante, se aplica al sistema una fuerza igual a cos(6t). Calcule la funci´on de 8 desplazamiento, suponiendo que no hay amoriguaci´on. Respuesta. x(t) =

1 112

cos(6t) +

27 112

cos(8t).

4.- Calcule el movimiento de la pesa del problema anterior si hay una fuerza de amortiguamiento de 8v libras, donde v es la velocidad de la pesa. Respuesta. = − 251 cos(6t) + 3 sen(6t) 28  x(t) √ √ √ 93 15 sen( cos( 15 t) + 15 t) . + e−7t 129 30 14 8 5.- Una pesa de 16 libras queda suspendida de un resorte, alarg´andolo de pie. Luego 11 se sumerge la pesa en un l´ıquido que impone una resistencia al avance de 2v libras. Todo el sistema queda sometido a una fuerza externa de 4 cos(wt). Determine el valor de w que minimiza la amplitud de la soluci´on estacionaria. ¿ Cu´al es esta amplitud m´ınima? √ √ Respuesta. x(t) = e−2t (c1 cos(2 10 t) + c2 sen(2 10 t)) + (44−w2 8)2 +16w2 ((44 − w2 ) cos(wt) + 4w sen(wt)). w = 6.

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