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CAMPOS ELECTRICOS Y LEY DE GAUSS INTRODUCCION A TEMAS ELECTRICOS

FUERZAS ELECTRICAS Y CAMPOS ELECTRICOS. ¿Has probado a frotar un bolígrafo de plástico en un jersey de lana y acercarlo a un grupo de pequeños papeles? Si no lo has hecho todavía podrás comprobar que los trocitos de papel son atraídos por tu bolígrafo e incluso algunos pueden quedar suspendidos en él.

Esta fuerza de atracción capaz de vencer la fuerza de la gravedad, denominada fuerza eléctrica, es y ha sido objeto de estudio por numerosos científicos a lo largo de la historia. Y es que esta capacidad que poseen algunos objetos al ser rozados, ya era conocida por los antiguos griegos. En concreto, Tales de Mileto (s. VII a.C.) comprobó que al frotar ciertos cuerpos con un paño aparecían ciertas fuerzas "inexplicables" y que eran mucho más intensas en el ámbar, en griego, elektron. Sin embargo, no se comienza a comprender estos fenómenos hasta la llegada del Renacimiento. A principios del siglo XVII, William Gilbert (1554-1603) descubrió numerosos materiales que poseían un comportamiento similar al ámbar, a los que llamó "eléctricos". Basándose en este hecho, estableció una clasificación que diferenciaba entre sustancias eléctricas y no eléctricas. Años más tarde, dicha clasificación fue rechazada por Charles François de Cisternay du Fay (1698-1739), quién descubrió que existen dos tipos de electricidad estableciendo la teoría del doble fluido eléctrico: vítreo (opuesto al ámbar) o resinoso (como el ámbar).

Por otro lado Benjamin Franklin (1706-1790), en el siglo XVIII estableció que la electricidad era un fluido que puede encontrarse en exceso (carga positiva) o en defecto (carga negativa), estableciendo así lo que se conoce como la teoría del fluido eléctrico único. Sin embargo en ese mismo siglo, Michael Faraday (1791-1867), determinó que Franklin estaba parcialmente equivocado y que la electricidad no se trataba de un fluido si no de partículas con carga. Esa carga fue bautizada por el físico George Johnstone Stoney (18261911) como electrón (en honor al ámbar), aunque no sería hasta 1897 cuando Joseph John Thomson (1856-1940) lo descubre por medio de una serie de experimentos con rayos catódicos. Posteriormente, Ernest Rutherford encontró otra partícula subatómica con carga opuesta al electrón que llamó protón.

Hoy en día sabemos que la materia es intrínsecamente eléctrica porque las partículas que componen los átomos poseen esta propiedad.

Todos estos estudios condujeron a una importante conclusión, y es que: La interacción que se produce entre dos cuerpos electrizados por frotamiento, denominada interacción electrostática, puede ser de carácter atractivo o repulsivo.

CAMPO ELECTRICO La ley de Coulomb es un ejemplo de lo que se conoce como una ley de “acción a distancia”. Proporciona una manera directa de calcular la fuerza sobre una carga dada cuando se conoce su posición relativa con respecto a la carga fuente. La ley de Coulomb no incluye la descripción de como “Sabe” la primera carga que la otra se encuentra ahí. Por ejemplo, si se varía la posición de la carga fuente, la fuerza ejercida sobre la otra carga también varía y se obtiene nuevamente por la ley de Coulomb. Esto implica que la variación ocurre instantáneamente, pero no hay indicación de cómo se pasa a este estado alterado. Como resultado de estas y otras consideraciones similares, se ha encontrado conveniente y útil realizar una división mental de la interacción entre ambas cargas, para presentar dos aspectos:  Se asume que la carga fuente produce “algo” sobre el punto de campo  Este “algo” actúa sobre la carga que se encuentra en el punto del campo produciendo de esta manera la fuerza que actúa sobre ella. Este “algo”, que funciona como una especie de intermediario entre las dos cargas, recibe el nombre de campo eléctrico y es lo que se estudiara en este tema. Las fuerzas de campo se pueden discutir de diversas maneras, pero un método desarrollado por Michael Faraday (1791–1867) es el más práctico. En este método se dice que existe un campo eléctrico en la región del espacio alrededor de un objeto cargado. El campo eléctrico ejerce una fuerza eléctrica sobre cualquier otro objeto cargado en el campo. Esto difiere del concepto de la ley de Coulomb sobre una fuerza ejercida una distancia en que la fuerza es ejercida ahora por algo (el campo) que está en la misma ubicación que el objeto cargado.

+

+

+

+

+ + + + +

+ Carga de Prueba

Fuente de Carga Fig. 1 El campo 𝐸⃗ producido por una carga Q en la ubicación de una pequeña carga de “prueba” 𝑞0 se define como la fuerza eléctrica 𝐹 ejercida por Q sobre 𝑞0 dividida entre la carga de prueba 𝑞0 . 𝐸⃗ =

𝐹 𝑞0

𝑁 𝐶

𝐸𝑐. 1

Cuando se usa una carga de prueba positiva, el campo eléctrico siempre tiene la misma dirección que la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba, lo que se deduce de la ecuación 1. Por lo tanto, en la figura 1, la dirección del campo eléctrico es horizontal y hacia la derecha. El campo eléctrico en el punto A en la figura 2a es vertical y hacia abajo, porque en ese punto una carga de prueba positiva sería atraída hacia la esfera cargada negativamente.

E

A E

P

q0 + P

+ - - - + ++ + ++ + + + c a

b

Fig 2

Una vez que se conoce el campo eléctrico debido a un determinado arreglo de cargas en algún momento, la fuerza sobre cualquier partícula con carga q colocada en ese punto se puede calcular a partir de un arreglo de la ecuación 1 𝐹 = 𝐸⃗ ∗ 𝑞

𝐸𝑐. 2

Decimos que un campo eléctrico existe en un punto si una carga de prueba en ese punto está sujeta a una fuerza eléctrica. Considere una carga puntual q situada a una distancia r de una carga de prueba 𝑞0 . De acuerdo con la ley de Coulomb, la magnitud de la fuerza eléctrica de la carga q sobre la carga de prueba es 𝐹 = 𝑘𝑒 ∗

|𝑞| ∗ |𝑞0 | 𝑟2

𝐸𝑐. 3

Debido a que la magnitud del campo eléctrico en la posición de la 𝐹 carga de prueba se define como 𝐸⃗ = , se ve que la magnitud del 𝑞0

campo eléctrico debido a la carga q en la posición de 𝑞0 es 𝐸 = 𝑘𝑒 ∗

|𝑞 | 𝑟2

𝐸𝑐. 4

La ecuación 4 indica una propiedad importante de los campos eléctricos que los hace cantidades útiles para describir los fenómenos eléctricos. Como indica la ecuación, un campo eléctrico en un punto dado depende solo de la carga q sobre el objeto que establece el campo y la distancia r desde ese objeto hacia un punto específico en el espacio. Como resultado, se puede decir que existe un campo eléctrico en el punto P en la figura 13.11 ya sea que haya o no una carga de prueba en P. Ejemplo 1 Pequeñas gotas de aceite adquieren una pequeña carga negativa mientras caen por el vacío (presión 0) en un experimento. Un campo 𝑁 eléctrico de magnitud 5.92 𝑥 104 apunta hacia abajo. 𝐶

a) Se observa que una gotita en especial permanece suspendida contra la gravedad. Si la masa de la gota es de 2.93 𝑥 10−15 𝑘𝑔, encuentre la carga que tiene la gota.

𝑚 𝑎 = ∑ 𝐹 = −𝑚 𝑔 + 𝐸 𝑞 𝑚 (2.93 𝑥 10−15 𝑘𝑔) (9.80 2 ) 𝑚𝑔 𝑠 = 4.85 𝑥 10−19 𝐶 𝑞= = 4 𝐸 −5.92 𝑥 10

b) Otra gota de la misma masa cae 10.3 cm a partir del reposo en 0.250 s, otra vez moviéndose a través del vacío. Encuentre la carga que tiene la gota. ∆𝑦 =

1 2 𝑎𝑡 + 𝑣0 𝑡 2

1 −0.103 𝑚 = 𝑎 (0.250 𝑠)2 + 0 (0.250 𝑠) 2 𝑚 = −3.30 2 𝑠

→

𝑎

𝑚 𝑚 (2.93 𝑥 10−15 𝑘𝑔)(−3.30 2 + 9.80 2 ) 𝑚(𝑎 + 𝑔) 𝑠 𝑠 𝑞= = 𝑁 𝐸 −5.92 𝑥 104 𝐶 = −3.22 𝑥 10−19 𝐶

Ejemplo 2 La carga 𝑞1 = 7.00 𝜇𝐶 está en el origen y la carga 𝑞2 = −5.00 𝜇𝐶 está sobre el eje x, a 0.300 m del origen como se ve en la figura.

a) Encuentre la magnitud y la dirección del campo eléctrico en el punto P, que tiene coordenadas (0, 0.400) m.

E1 E Φ θ

P

E2 0.500 m

0.400 m

θ

+

0.300 m

q1

q2

𝑁 𝑚2 (7.00 𝑥 10−6 𝐶) 𝐸1 = 𝑘𝑒 2 = (8.99 𝑥 10 ) 𝐶2 (0.400 𝑚)2 𝑟1 𝑁 = 3.93 𝑥 105 𝐶 |𝑞1 |

9

𝐸1𝑥 = 𝐸1 cos 900 = 0 𝐸1𝑦 = 𝐸1 sen 900 = 3.93 𝑥 105

𝑁 𝐶

𝑁 𝑚2 (5.00 𝑥 10−6 𝐶) 𝐸2 = 𝑘𝑒 2 = (8.99 𝑥 10 ) 𝐶2 (0.500 𝑚)2 𝑟2 𝑁 = 1.80 𝑥 105 𝐶 |𝑞2 |

9

cos 𝜃 =

𝑎𝑑𝑦 (0.300) = = 0.600 ℎ𝑖𝑝 0.500

sen 𝜃 =

𝑜𝑝𝑠 (0.400) = = 0.800 ℎ𝑖𝑝 0.500

𝑁 𝑁 𝐸2𝑥 = 𝐸2 cos 𝜃 = (1.80 𝑥 105 ) (0.600) = 1.08 𝑥 105 𝐶 𝐶 𝑁 𝐸2𝑦 = 𝐸2 sen 𝜃 = (1.80 𝑥 105 ) (−0.800) 𝐶 𝑁 = −1.44 𝑥 105 𝐶

∑ 𝐸𝑥 = 𝐸1𝑥 + 𝐸2𝑥 = 0 + 1.08 𝑥 105 ∑ 𝐸𝑦 = 𝐸1𝑦 + 𝐸2𝑦 = 3.93 𝑥 105 ∑ 𝐸𝑦 = = 2.49 𝑥 105

𝑁 𝑁 = 1.08 𝑥 105 𝐶 𝐶

𝑁 𝑁 + 1.44 𝑥 105 𝐶 𝐶

𝑁 𝐶

𝐸 = √𝐸𝑥2 + 𝐸𝑦2 = 2.71 𝑥 105

𝑁 𝐶

𝑁 2.49 𝑥 105 𝐸 𝑦 𝐶 = 66.60 𝜑 = tan−1 = tan−1 𝑁 𝐸𝑥 1.08 𝑥 105 𝐶 b) Determine la fuerza sobre una carga de 2.00 𝑥 10−8 𝐶 colocada en P. 𝑁 𝐹 = 𝐸𝑞 = (2.71 𝑥 105 ) (2.00 𝑥 10−8 𝐶 ) = 5.42 𝑥 10−3 𝑁 𝐶

FLUJO ELECTRICO Y LEY DE GAUSS La ley de Gauss es en esencia una técnica para calcular el campo eléctrico promedio sobre una superficie cerrada, desarrollado por Karl Friedrich Gauss (1777–1855). Cuando el campo eléctrico, debido a su simetría, es constante en todas partes de esa superficie y perpendicular a esta, se puede encontrar el campo eléctrico exacto. En estos casos especiales, la ley de Gauss es mucho más fácil de aplicar que la ley de Coulomb. La ley de Gauss relaciona el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada y la carga total dentro de esa superficie. Una superficie cerrada tiene un lado interior y uno exterior: un ejemplo es una esfera. El flujo eléctrico es una medida de cuánto penetran los vectores campo eléctrico a través de una superficie dada. Si, por ejemplo, los vectores campo eléctrico son tangentes a la superficie en todos los puntos, no penetran la superficie y el flujo eléctrico que pasa a través de la superficie es cero. Estos conceptos se discutirán con más profundidad en las dos subsecciones siguientes. Como se verá, la ley de Gauss establece que el flujo eléctrico que pasa a través de una superficie cerrada es proporcional a la carga contenida dentro de la superficie.

Flujo Eléctrico. El flujo eléctrico o flujo del campo eléctrico Φ𝐸 es una magnitud escalar que representa el número de líneas de campo que atraviesan una determinada superficie. Su unidad en el Sistema Internacional es el newton por metro cuadrado y por culombio

𝑁 𝑚2 𝐶

ver figura 1.

Esta definición comprende dos conceptos importantes: 



Por un lado, el número de líneas de fuerza, que como ya estudiamos anteriormente es siempre proporcional al módulo de la intensidad del campo eléctrico. Por otro, la superficie que atraviesan dichas líneas de fuerza. Cada superficie plana se puede representar por medio de un vector 𝑆 que se caracteriza porque o 𝑆 es siempre perpendicular a dicha superficie. o El módulo de 𝑆 equivale al área de la superficie.

Fig 1

Fig 2

En resumen podemos decir que el número de líneas de campo es proporcional al producto del campo eléctrico y el área, llamado flujo eléctrico y representado por el símbolo Φ𝐸 Φ𝐸 = 𝐸⃗ 𝐴

𝐸𝑐. 1

En el caso que la superficie considerada no es perpendicular al campo eléctrico, como en la figura 2, la expresión para el flujo eléctrico es. Φ𝐸 = 𝐸⃗ 𝐴 cos(𝜃)

𝐸𝑐. 2

Donde un vector perpendicular al área A está a un ángulo 𝜃 respecto al campo. Con frecuencia se dice que este vector es normal a la superficie, y nos referiremos a él como “vector normal a la superficie”. El número de líneas que cruzan esta área es igual al número de líneas que cruzan el área proyectada 𝐴′ , que es perpendicular al campo. Vemos que las dos áreas están relacionadas por 𝐴′ = 𝐴 cos(𝜃). De la ecuación 2, se ve que el flujo a través de una superficie de área fija tiene el valor máximo 𝐸𝐴 cuando la superficie es perpendicular al campo (cuando 𝜃 = 0°) y que el flujo es cero cuando la superficie es paralela al campo (cuando 𝜃 = 90°). Por convención, para una superficie cerrada, las líneas de flujo que entran al volumen son negativas y las que salen del volumen son positivas. Esta convención es equivalente a requerir que el vector normal de la superficie apunte hacia afuera cuando se calcula el flujo que pasa a través de una superficie cerrada.

LEY DE GAUSS La ley de Gauss, también conocida como teorema de Gauss fué enunciada por el matemático alemán Karl Friederich Gauss (17771855). Dicho matemático determinó en esta ley una relación entre el flujo eléctrico que atraviesa una superficie cerrada y la carga eléctrica que se encuentra en su interior. El teorema de Gauss establece que el flujo de campo eléctrico que atraviesa una superficie cerrada es igual a la carga neta situada en su interior dividida por la constante dieléctrica del medio. Φ𝐸 = ∮ 𝐸 𝑑𝑆 =

𝑄𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝜀0

𝐸𝑐. 3

Si observas con atención la expresión anterior puedes deducir fácilmente que el flujo eléctrico no depende de la forma de la superficie cerrada, tan solo de la carga que posee en su interior y de la constante dieléctrica del medio. El caso más simple para calcular el flujo eléctrico es el del campo creado por una carga q contenida en una esfera de radio r. Tal y como estudiamos en el apartado de intensidad del campo eléctrico, la intensidad del campo eléctrico generado por una carga se obtiene por medio de la siguiente expresión: 𝐸 = 𝐾𝑒

𝑞 1 𝑞 = 𝑟2 4𝜋𝜀 𝑟 2

Figura 3

𝐸𝑐. 4

⃗ En este caso, como en cada punto de la esfera se cumple que 𝐸 el flujo a través de la superficie esférica es:

𝑦 𝑑𝑆

son paralelos,

Φ𝐸 = ∮ 𝐸 𝑑𝑆 = ∮ 𝐸 𝑑𝑆 cos(0) = 𝐸 ∮ 𝑑𝑆 = 𝐸 𝑆 La superficie de una esfera está dado por 𝑆𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 = 4 𝜋 𝑟 2 entonces tenemos que. Φ𝐸 = 𝐸⃗ 𝐴 =

𝑞 𝑞 2) ( 4 𝜋 𝑟 = 4𝜋𝜀𝑟 2 𝜀

Probablemente ya te habrás dado cuenta que independientemente del radio r que posea la esfera el flujo eléctrico es el mismo, pero no solo eso. Si observas la siguiente figura puedes darte cuenta de que independientemente de la figura que empleemos, todas ellas poseen el mismo flujo eléctrico cuando contienen a q en su interior. Ejemplo 1 Un cascarón conductor esférico de radio interior a y radio exterior b tiene una carga total +Q distribuida en la superficie de un cascarón conductor (figura 4). La cantidad Q se considera positiva.

Figura 4 a) Determine el campo eléctrico en el interior del cascarón conductor, para 𝑟 < 𝑎

Φ𝐸 = 𝐸⃗ 𝐴 =

𝑞 𝑄𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 2) ( 4 𝜋 𝑟 = = 0 𝑃𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝐸 = 0 4𝜋𝜀𝑟 2 𝜀0

b) el campo eléctrico fuera del cascarón, para 𝑟 > 𝑏.

Φ𝐸 = 𝐸⃗ 𝐴 =

𝑞 𝑄𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑄 2) ( 4 𝜋 𝑟 = = 4𝜋𝜀𝑟 2 𝜀0 𝜀0

𝑄 Φ𝐸 𝑄 𝜀0 ⃗ = Φ𝐸 = 𝐸⃗ 𝐴 → 𝐸⃗ = → 𝐸⃗ = → 𝐸 𝐴 4 𝜋 𝑟2 4 𝜋𝜀0 𝑟 2 c) Si se coloca en el centro una carga adicional de -2Q, encuentre el campo eléctrico para 𝑟 > 𝑏. Φ𝐸 = 𝐸⃗ 𝐴 =

𝑞 𝑄𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑄 𝑄 − 2𝑄 𝑄 2) ( 4 𝜋 𝑟 = = = = − 4𝜋𝜀𝑟 2 𝜀0 𝜀0 𝜀0 𝜀0

𝑄 − Φ𝐸 𝑄 𝜀0 ⃗ = − Φ𝐸 = 𝐸⃗ 𝐴 → 𝐸⃗ = → 𝐸⃗ = → 𝐸 𝐴 4 𝜋 𝑟2 4 𝜋𝜀0 𝑟 2

ENERGIA POTENCIAL ELECTRICA Y POTENCIAL ELECTRICO. La energía potencial eléctrica y el potencial eléctrico son conceptos estrechamente relacionados. El potencial eléctrico resulta ser solo la energía potencial eléctrica por unidad de carga. Esta relación es similar a la que existe entre la fuerza eléctrica y el campo eléctrico, que es la fuerza eléctrica por unidad de carga. Recuerde que el trabajo realizado por una fuerza conservativa ⃗𝑭 sobre un objeto depende solo de las posiciones inicial y final del objeto y no de la trayectoria que se toma entre esos dos puntos. Esto, a su vez, significa que existe una función de energía potencial 𝑈𝑝 . Como hemos visto, la energía potencial es una cantidad escalar con el cambio de energía potencial igual por definición al negativo del trabajo realizado por la fuerza conservativa: ∆𝑈𝑝 = 𝑈𝑓 − 𝑈𝑖 = −𝑊𝑓 . Tanto la ley de fuerza de Coulomb como la ley la gravitación universal son proporcionales a 1/r2. Debido a que tienen la misma forma matemática y como fuerza de gravedad es conservativa, se educe que la fuerza de Coulomb también es conservativa. Al igual que con la gravedad, es posible asociar una función de energía potencial eléctrica con esta fuerza. Para hacer estas ideas más cuantitativas, imagine una pequeña carga ⃗, positiva colocada en el punto A en un campo eléctrico uniforme 𝑬 como en la figura 1. Para simplificar, considere primero solo los Campos eléctricos constantes y las cargas que se mueven paralelas a ese campo en una dimensión (que se toma como eje x). El campo eléctrico entre placas paralelas de carga igual y de signo opuesto es un ejemplo de un campo que es aproximadamente constante. Conforme la carga se mueve desde el punto A al punto B bajo la influencia del campo eléctrico 𝐸⃗ , el trabajo hecho sobre la carga por el campo eléctrico es igual a la parte de la fuerza eléctrica 𝑞𝐸⃗ que actúa paralela al desplazamiento∆𝑥 = 𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 :

𝑊𝐴𝐵 = 𝐹𝑥 ∆𝑥 = 𝑞𝐸𝑥 (𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 ) ⃗ En esta expresión q es la carga y 𝐸𝑥 es la componente vectorial de 𝑬 ⃗ ). A diferencia de la magnitud de en la dirección x (no la magnitud de 𝑬 ⃗ , el componente 𝐸𝑥 puede ser positivo o negativo, dependiendo de 𝑬 la dirección de ⃗𝑬 , aunque en la figura 1 𝐸𝑥 es positivo. Por último, observe que el desplazamiento, así como q y 𝐸𝑥 , también pueden ser positivos o negativos, dependiendo de la dirección del desplazamiento. La expresión anterior para el trabajo realizado por un campo eléctrico sobre una carga que se mueve en una dimensión es válida para las cargas tanto positivas como negativas y para los campos eléctricos constantes que apuntan en cualquier dirección. Cuando los números se sustituyen con signos correctos, de manera automática se obtiene el signo correcto global. En lugar de ello, en algunas veces se usa la expresión 𝑊 = 𝑞𝐸𝑑, donde E es la magnitud del campo eléctrico y d es la distancia que la partícula viaja. ¡La debilidad de esta formulación es que no permite, desde el punto de vista matemático, el trabajo eléctrico negativo sobre cargas positivas, ni el trabajo eléctrico positivo sobre cargas negativas! Sin embargo, la expresión es fácil de recordar y útil para encontrar las magnitudes: la magnitud del trabajo realizado por un campo eléctrico constante sobre una carga que se mueve paralela al campo siempre está dada por |𝑊 | = |𝑞|𝐸𝑑. Podemos sustituir nuestra definición de trabajo eléctrico en el teorema trabajo-energía (suponga que no hay otras fuerzas): 𝑊 = 𝑞𝐸𝑥 ∆𝑥

La fuerza eléctrica es conservativa, por lo que el trabajo eléctrico depende solo de los puntos finales de la trayectoria, A y B, no de la trayectoria que se sigue. Por lo tanto, a medida que la carga acelera hacia la derecha en la figura 1, gana energía cinética y pierde una cantidad igual de energía potencial. Recuerde que el trabajo hecho por una fuerza conservativa puede reinterpretarse como el negativo del cambio en una energía potencial asociada con esa fuerza. Esta interpretación motiva la definición del cambio en la energía potencial eléctrica: El cambio en la energía potencial eléctrica, ∆𝑉, de un sistema que consiste en un objeto de carga q que se mueve a través de un desplazamiento ∆𝑥 en un campo eléctrico constante 𝐸⃗ está dado por ∆𝑉 = −𝑊𝐴𝐵 = −𝑞𝐸𝑥 ∆𝑥

𝐸𝑐. 1

Donde 𝐸𝑥 es la componente x del campo eléctrico y ∆𝑥 = 𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 es el desplazamiento de la carga a lo largo del eje x. Ejemplo 1 Un protón se libera a partir del reposo en 𝑥 = −2 𝑐𝑚 en un campo 𝑁 eléctrico constante con magnitud 1.50 𝑥 103 , apuntando en la 𝐶 dirección x positiva. a) Calcule el cambio en la energía potencial eléctrica asociada con el protón cuando llega a 𝑥 = 5 𝑐𝑚. ∆𝑉 = −𝑞𝐸𝑥 ∆𝑥 ∆𝑉 = −(1.60 𝑥 10−19 )(1.50 𝑥 103 )(0.050 𝑚 − (−0.020 𝑚)) ∆𝑉 = (−1.68 𝑥 10−17 𝐽)

b) Ahora se dispara un electrón en la misma dirección desde la misma posición. ¿Cuál es el cambio en la energía potencial eléctrica asociada con el electrón si llega a 𝑥 = 12 𝑐𝑚?

∆𝑉 = −𝑞𝐸𝑥 ∆𝑥 ∆𝑉 = −(−1.60 𝑥 10−19 )(1.50 𝑥 103 )(0.120 𝑚 − (−0.020 𝑚))

∆𝑉 = (+3.36 𝑥 10−17 𝐽)

c) Si se invierte la dirección del campo eléctrico y se libera un electrón a partir del reposo en 𝑥 = 3 𝑐𝑚, ¿cuánto ha cambiado la energía potencial eléctrica cuando el electrón llega a 𝑥 = 7 𝑐𝑚?

∆𝑉 = −𝑞𝐸𝑥 ∆𝑥 ∆𝑉 = −(−1.60 𝑥 10−19 )(−1.50 𝑥 103 )(0.070 𝑚 − 0.030 𝑚) ∆𝑉 = (−9.60 𝑥 10−17 𝐽)

Ejemplo 2 a) Encuentre la rapidez del protón en 0.050 𝑚 en el inciso a) del ejemplo 1. ∆𝐸𝑐 + ∆𝐸𝑝 = 0 𝑣2 = −

2 𝑚𝑝

∆𝐸𝑝

1 → ( 𝑚𝑝 𝑣 2 − 0) + ∆𝐸𝑝 = 0 2 2

𝑣 = √− ∆𝐸𝑝 𝑚 𝑝

2

𝑣 = √− (1.67 (−1.68 𝑥 10−17 𝐽) 𝑥 10−27 𝑘𝑔)

= 1.42 𝑥 105

𝑚 𝑠

b) Determine la rapidez inicial del electrón (en𝑥 = −2 𝑐𝑚) en el inciso b) del ejemplo 1 dado que su rapidez ha caído a la mitad cuando llega a 𝑥 = 0.120 𝑚. ∆𝐸𝑐 + ∆𝐸𝑝 = 0

1 1 → ( 𝑚𝑒 𝑣𝑓 2 − 𝑚𝑒 𝑣𝑖 2 ) + ∆𝐸𝑝 = 0 2 2

1 𝑣𝑖 2 1 3 ( 𝑚𝑒 2 − 𝑚𝑒 𝑣𝑖 2 ) = −∆𝐸𝑝 → − 𝑚𝑒 𝑣𝑖 2 = −∆𝐸𝑝 2 2 2 8 8

8

𝑣𝑖 = √ ∆𝐸𝑝 = √ ( (3.36 𝑥 10−17 𝐽) 3𝑚𝑒 3 9.11 𝑥 10−31 𝑘𝑔) 𝑚 𝑣𝑖 = 9.92 𝑥 106 𝑠

Potencial Eléctrico La diferencia de potencial eléctrico ∆𝑉 entre los puntos A y B es el cambio en la energía potencial eléctrica cuando una carga q se mueve de A a B dividida entre la carga q: ∆𝐸𝑝 𝐸𝑐. 2 𝑞 Debido a que la energía potencial eléctrica es una cantidad escalar, el potencial eléctrico también es una cantidad escalar. De la ecuación 14.2, se observa que la diferencia de potencial eléctrico es una medida del cambio en la energía potencial eléctrica por unidad de carga. Alternativamente, la diferencia de potencial eléctrico es el trabajo por unidad de carga que una fuerza tendría que hacer para mover una carga desde el punto A hasta el punto B en el campo eléctrico. La unidad SI de potencial eléctrico es el joule por coulomb, llamada volt (V). A partir de la definición de esa unidad, se debe hacer 1 J de trabajo para mover una carga de 1 C entre dos puntos que están a una diferencia de potencial de 1 V. En el proceso de desplazamiento a través de una diferencia de potencial de 1 V, la carga C gana 1 J de energía. Para el caso especial de un campo eléctrico uniforme como el que existe entre placas paralelas cargadas, al dividir la ecuación 1 entre q se obtiene ∆𝑉 = 𝑉𝑏 − 𝑉𝑎 =

∆𝑈 = −𝐸𝑥 ∆𝑥 𝑞 Al comparar esta ecuación con la 2, encontramos que ∆𝑉 = −𝐸𝑥 ∆𝑥

𝐸𝑐. 3

Ejemplo 1 En los aceleradores de átomos (también conocidos como ciclotrones y aceleradores lineales) las partículas cargadas aceleran de la misma manera en que aceleran en los tubos de televisión: a través de diferencias de potencial. Suponga que se inyecta un protón a una 𝑚 velocidad de 1.00 𝑥 106 entre dos placas separadas 5 𝑐𝑚, como se 𝑠

muestra en la figura. Posteriormente el protón acelera a través de la brecha y sale por la abertura.

a) ¿Cuál debe ser la diferencia de potencial eléctrico si la velocidad 𝑚 de salida es de 3 𝑥 106 ? 𝑠

∆𝐸𝑐 + ∆𝐸𝑝 = 0 ∆𝐸𝑐 ∆𝑉 = − 𝑞

→ ∆𝐸𝑐 + 𝑞∆𝑉 = 0

→

1 1 𝑚𝑝 𝑣𝑓 2 − 𝑚𝑝 𝑣𝑖 2 2 ∆𝑉 = 2 𝑞

∆𝑉 =

𝑚𝑝 (𝑣 2 − 𝑣𝑖 2 ) 2𝑞 𝑓

∆𝑉 =

1.67 𝑥 10−27 𝑘𝑔 𝑚 2 𝑚 2 6 6 ((3 𝑥 10 ) − (1 𝑥 10 ) ) 2(1.60 𝑥 10−19 𝐶) 𝑠 𝑠

∆𝑉 = −4.18 𝑥 104 𝑉

b) ¿Cuál es el campo eléctrico entre las placas, suponiendo que es constante? La dirección x positiva está a la derecha. ∆𝑉 4.18 𝑥 104 𝑉 𝑁 𝐸= − = − = 8.36 𝑥 105 ∆𝑥 0.050 𝑚 𝐶

Potencial Eléctrico y Energía Potencial Debida a Cargas Puntuales. El campo eléctrico de una carga puntual se extiende a través del espacio, por lo que su potencial eléctrico también lo hace. El punto cero del potencial eléctrico podría tomarse en cualquier lugar, pero por lo general se considera a una distancia infinita de la carga, lejos de su influencia y de la de otras cargas. Con esta elección, los métodos de cálculo se pueden usar para mostrar que el potencial eléctrico creado por una carga puntual q a cualquier distancia r de la carga está dado por 𝑉 = 𝐾𝑒

𝑞 𝑟

𝐸𝑐. 4

Esta muestra el potencial eléctrico, o trabajo por unidad de carga, requerido para mover una carga de prueba positiva desde el infinito a una distancia r desde una carga puntual positiva q aumenta conforme la carga de prueba se acerca a q. El potencial eléctrico de dos o más cargas se obtiene aplicando el principio de superposición: el potencial eléctrico total en algún punto P debido a varias cargas puntuales es la suma algebraica de los potenciales eléctricos debidos a las cargas individuales. Así como en el caso de campos eléctricos constantes, existe una relación entre el potencial eléctrico y la energía potencial eléctrica. Si 𝑉1 es el potencial eléctrico debido a la carga 𝑞1 en un punto P (figura 7a) el trabajo requerido para llevar la carga 𝑞2 desde el infinito hasta P sin aceleración es 𝑞2 𝑉1 . Por definición, este trabajo es igual a la energía potencial 𝐸𝑝 del sistema de dos partículas cuando las partículas están separadas por una distancia r (figura 7b).

Por lo tanto, se puede expresar la energía potencial eléctrica del par de cargas como 𝐸𝑝 = 𝑞1 𝑉1 = 𝐾𝑒

𝑞1 𝑞2 𝑟

𝐸𝑐. 5

Si las cargas son del mismo signo, EP es positiva. Debido a que las cargas se repelen, un agente externo debe realizar el trabajo positivo sobre el sistema para forzar a las dos cargas a acercarse entre sí. Por el contrario, si las cargas son de signo opuesto, la fuerza es atractiva y la EP es negativa. Esto significa que se debe hacer trabajo negativo para evitar que las cargas diferentes aceleren una hacia la otra conforme se acercan. EJEMPLO 1 Una carga puntual de 5 𝜇𝐶 está en el origen, y una carga puntual 𝑞2 = 5 𝜇𝐶 está en el eje x en (3, 0) m, como en la figura.

(0, 4)

P

𝑟2

𝑟1

𝑞1

(0, 0)

𝑞2

(3, 0)

a) Si se considera que el potencial eléctrico es cero en el infinito, encuentre el potencial eléctrico debido a estas cargas en el punto P con coordenadas (0, 4.00) m. 𝑞1 𝑁 𝑚2 5 𝑥 10−6 9 𝑉1 = 𝐾𝑒 = (8.99 𝑥 10 ) = 1.12 𝑥 104 𝑉 2 𝑟1 𝐶 4𝑚 𝑞2 𝑁 𝑚2 −2 𝑥 10−6 9 𝑉2 = 𝐾𝑒 = (8.99 𝑥 10 ) = −0.36 𝑥 104 𝑉 𝑟2 𝐶2 5𝑚 𝑉𝑝 = 𝑉1 + 𝑉2 = 1.12 𝑥 104 + (−0.36 𝑥 104 ) = 7.6 𝑥 103 𝑉 b) ¿Cuánto trabajo se requiere para traer una tercera carga puntual de 4 𝜇𝐶 del infinito a P? 𝑊 = 𝑞3 ∆𝑉 = 𝑞3 (𝑉𝑝 − 𝑉∞ ) = (4 𝑥 10−6 𝐶 ) (7.6 𝑥 103 𝑉 − 0) 𝑊 = 3 𝑥 10−2 𝐽

CAPACITANCIA La figura 1 muestra un diseño típico para un capacitor. Consta de dos placas metálicas paralelas separadas por una distancia d. En un circuito eléctrico, las placas están conectadas a las terminales positiva y negativa de una batería u otra fuente de voltaje. Cuando se hace esta conexión, los electrones son extraídos de una de las placas, dejándola con una carga de +𝑄, y son transferidos a través de la batería a la otra placa, dejándola con una carga de +𝑄, como se muestra en la figura. La transferencia de carga se detiene cuando la diferencia de potencial a través de las placas es igual a la diferencia de potencial de la batería. Un capacitor cargado es un dispositivo que almacena energía que se puede recuperar cuando sea necesario para una aplicación específica.

La capacitancia C de un capacitor es el cociente de la magnitud de la carga sobre cualquier conductor (placa) a la magnitud de la diferencia de potencial entre los conductores (placas): 𝐶=

𝑄 ∆𝑉

𝐸𝑐. 1

CAPACITOR DE PLACAS PARALELAS La capacitancia de un capacitor de placas paralelas con placas separadas por aire como se muestra en la figura anterior se puede calcular fácilmente a partir de tres hechos. Primero, la magnitud del campo eléctrico entre dos 𝜎 placas está dada por 𝐸 = , donde 𝜎 es la magnitud de la carga por unidad 𝜖0

de área en cada placa. En segundo lugar, la diferencia de potencial entre dos placas es ∆𝑉 = 𝐸𝑑, donde d es la distancia entre las placas. Tercero, la carga sobre una placa está dada por 𝑄 = 𝜎𝐴, donde A es el área de la placa. La sustitución de estos tres hechos en la definición de la capacitancia proporciona el resultado deseado:

𝐶=

𝑄 𝜎𝐴 𝜎𝐴 = = 𝜎 ∆𝑉 𝐸𝑑 𝑑 𝜖0

→

𝐶 = 𝜖0

𝐴 𝑑

𝐸𝑐. 2

donde A es el área de una de las placas, d es la distancia entre las placas y 𝜖0 es la permitividad del espacio libre. De la ecuación 2, vemos que las placas con mayor área pueden almacenar más carga. Lo mismo es cierto para una separación pequeña d entre las placas porque entonces las cargas positivas sobre una placa ejercen una fuerza más fuerte sobre las cargas negativas en la otra placa, permitiendo que se mantenga más carga sobre las placas. La figura 2 muestra las líneas de campo eléctrico de un capacitor de placas paralelas más realista. El campo eléctrico es casi constante en el centro entre las placas, pero se hace menor cuando se aproxima a los bordes. Sin embargo, para la mayoría de los propósitos, el campo puede considerarse constante en toda la región entre las placas.

Ejemplo 1 Un capacitor de placas paralelas tiene un área 𝐴 = 2 𝑥 10−4 𝑚2 y una separación de placas 𝑑 = 1 𝑥 10−3 𝑚. a) Determine su capacitancia. 𝐴

𝐶2

𝑑

𝑁𝑚

𝐶 = 𝜖0 = (8.85 𝑥 10−12

)( 2

2 𝑥 10−4 𝑚2 1 𝑥 10−3 𝑚

) = 1.77 𝑝𝐹

b) ¿Cuánta carga hay en la placa positiva si el capacitor está conectado a una batería de 3 V? 𝐶=

𝑄 → 𝑄 = 𝐶 ∆𝑉 = (1.77 𝑥 10−12 𝐹 ) (3 𝑉 ) = 5.31 𝑥 10−12 𝐶 ∆𝑉

c) Calcule la densidad de la carga en la placa positiva, suponiendo que la densidad es uniforme 𝑄 5.31 𝑥 10−12 𝐶 𝐶 −8 𝜎= = = 2.66 𝑥 10 𝐴 2 𝑥 10−4 𝑚2 𝑚2 d) la magnitud del campo eléctrico entre las placas. ∆𝑉 5.31 𝑥 10−12 𝐶 𝐶 −8 𝐸= = = 2.66 𝑥 10 𝑑 2 𝑥 10−4 𝑚2 𝑚2

Capacitores en Serie Para una combinación en serie de capacitores, la magnitud de la carga debe ser la misma en todas las placas. Cuando una batería está conectada al circuito, los electrones con carga total -Q son transferidos desde la placa izquierda de 𝐶1 hasta la placa derecha de 𝐶2 a través de la batería, dejando la placa izquierda de 𝐶1 con una carga de +Q. Como consecuencia, las magnitudes de las cargas en la placa izquierda de 𝐶1 y la placa derecha de 𝐶2 deben ser las mismas. Ahora considere la placa derecha de 𝐶1 y la placa izquierda de 𝐶2 , en el centro. Estas placas no están conectadas a la batería (debido a la separación a través de las placas) y, juntas, son eléctricamente neutras. Sin embargo, la carga de +Q en la placa izquierda de 𝐶1 , atrae cargas negativas a la placa derecha de 𝐶1 . Estas cargas seguirán acumulándose hasta que las placas izquierda y derecha de 𝐶1 , juntas, se vuelvan eléctricamente neutras, lo que significa que la carga en la placa derecha de 𝐶1 es -Q. Esta carga negativa solo podría haber provenido de la placa izquierda de 𝐶2 , por lo que 𝐶2 tiene una carga de +Q. Por lo tanto, independientemente de cuántos capacitores estén en serie o cuáles sean sus capacitancias, todas las placas de la derecha ganan cargas de 2Q y todas las placas de la izquierda tienen cargas de 1Q (una consecuencia de la conservación de la carga).

Después de que un capacitor equivalente para una serie de capacitores esté completamente cargado, el capacitor equivalente debe terminar con una carga de -Q en su placa derecha y una carga de +Q en su placa izquierda. Aplicando la definición de capacitancia al circuito en la figura 3b, tenemos

∆𝑉 =

𝑄 𝐶𝑒𝑞

donde ∆𝑉 es la diferencia de potencial entre las terminales de la batería y 𝐶𝑒𝑞 es la capacitancia equivalente. Debido a que 𝑄 = 𝐶 ∆𝑉 puede aplicarse a cada capacitor, las diferencias de potencial a través de ellos están dadas por ∆𝑉1 =

𝑄 𝐶1

∆𝑉2 =

𝑄 𝐶2

De la figura vemos que ∆𝑉 = ∆𝑉1 + ∆𝑉2 donde DV1 y DV2 son las diferencias de potencial entre los capacitores C1 y C2 (una consecuencia de la conservación de la energía). La diferencia de potencial a través de cualquier número de capacitores (u otros elementos del circuito) en serie es igual a la suma de las diferencias de potencial a través de los capacitores individuales. Al sustituir estas 𝑄 expresiones en la ecuación anterior y observar que ∆𝑉 = , tenemos 𝐶𝑒𝑞

𝑄 𝑄 𝑄 = + 𝐶𝑒𝑞 𝐶1 𝐶2 Al eliminar Q, llegamos a la siguiente relación: 1 1 1 = + 𝐶𝑒𝑞 𝐶1 𝐶2 Si este análisis se aplica a tres o más capacitores conectados en serie, se comprueba que la capacitancia equivalente es 1 1 1 1 1 = + + + ⋯+ 𝐶𝑒𝑞 𝐶1 𝐶2 𝐶3 𝐶𝑛

Como se mostrará en el ejemplo 2, la ecuación anterior implica que la capacitancia equivalente de una combinación en serie es siempre menor que cualquier capacitancia individual en la combinación.

Capacitores en Paralelo Se dice que dos capacitores conectados como se muestra en la figura 14.18a están en paralelo. La placa izquierda de cada capacitor está conectada a la terminal positiva de la batería con un alambre conductor, de modo que las placas izquierdas están al mismo potencial. De la misma manera, las placas derechas, ambas conectadas a la terminal negativa de la batería, están también al mismo potencial. Esto significa que los capacitores en paralelo tienen la misma diferencia de potencial ∆𝑽 a través de ellos.

Cuando los capacitores se conectan por primera vez en el circuito, los electrones son transferidos de las placas de la izquierda a través de la batería hacia las placas de la derecha, dejando las placas de la izquierda cargadas positivamente y las de la derecha cargada negativamente. La fuente de energía para esta transferencia de carga es la energía química interna almacenada en la batería, que se convierte en energía eléctrica. El flujo de la carga se detiene cuando el voltaje a través de los capacitores es igual al voltaje de la batería, momento en el que los capacitores tienen sus cargas máximas. Si las cargas máximas sobre los dos capacitores son 𝑄1 y 𝑄2 , respectivamente, la carga total Q almacenada por los dos capacitores es 𝑄 = 𝑄1 + 𝑄2

𝐸𝑐.

Podemos reemplazar estos dos capacitores con uno equivalente que tiene una capacitancia de 𝐶𝑒𝑞 . Este debe tener exactamente el mismo efecto externo en el circuito que los dos originales, por lo que debe almacenar Q unidades de carga y tener la misma diferencia de potencial a través de él. Las cargas respectivas de cada capacitor son 𝑄1 = 𝐶1 ∆𝑉

𝑄2 = 𝐶2 ∆𝑉

La carga del capacitor equivalente es 𝑄1 = 𝐶𝑒𝑞 ∆𝑉 Al sustituir estas relaciones en la ecuación 14.10 se obtiene 𝑄 = 𝑄1 + 𝑄2

→

𝐶𝑒𝑞 ∆𝑉 = 𝐶1 ∆𝑉 + 𝐶2 ∆𝑉

𝐶𝑒𝑞 = 𝐶1 + 𝐶2 Vemos que la capacitancia equivalente de una combinación en paralelo de capacitores es mayor que cualquiera de las capacitancias individuales.

Ejemplo 1

a) Calcule la capacitancia equivalente entre a y b para la combinación de capacitores que se muestra en la figura 14.22a. Todas las capacitancias están en 𝜇𝐹. 𝐶𝑒𝑞 = 𝐶1 + 𝐶2 = 1.0 + 3.0

→

𝐶𝑒𝑞 = 4𝜇𝐹

𝐶𝑒𝑞 = 𝐶1 + 𝐶2 = 6.0 + 2.0

→

𝐶𝑒𝑞 = 8𝜇𝐹

𝐶𝑒𝑞 =

𝐶𝑒𝑞 =

1 1 1 + 𝐶1 𝐶2 1 1 1 + 𝐶1 𝐶2

=

=

1 1 1 + 4 4 1 1 1 + 8 8

𝐶𝑒𝑞 = 𝐶1 + 𝐶2 = 2.0 + 4.0

→

𝐶𝑒𝑞 = 2𝜇𝐹

→

𝐶𝑒𝑞 = 4𝜇𝐹

→

𝐶𝑒𝑞 = 6𝜇𝐹

b) Si una batería de 12𝑉 se conecta a través del sistema entre los puntos a y b, encuentre la carga en el capacitor de 4.0𝜇𝐹 en el primer diagrama y la caída de voltaje a través de este. 𝐶=

𝑄 → 𝑄 = 𝐶 ∆𝑉 = (4𝜇𝐹 ) (12 𝑉) → 𝑄 = 24𝜇𝐶 ∆𝑉

𝐶=

𝑄 𝑄 24𝜇𝐶 → ∆𝑉 = = → 𝑄 =6𝑉 ∆𝑉 𝐶 4𝜇𝐹

c) Un equipo totalmente cargado contiene 108𝜇𝐽 de energía almacenada en un capacitor de 6𝜇𝐹. Encuentre el voltaje necesario para almacenar 108𝜇𝐽 en la unidad.

𝑊=

1 𝐶 ∆𝑉 2 2

∆𝑉 = 6𝑉

→

2𝑊 ∆𝑉 = √ 𝐶

→

∆𝑉 = √

2 (108𝜇𝐽) 6𝜇𝐹

GUIA DE ESTUDIO 1. Un dipolo eléctrico se define como una carga positiva q y una carga negativa –q separada por alguna distancia. Para el dipolo mostrado en la figura. Determine el campo eléctrico E en P debido a estas cargas, donde P está a una distancia y >> a desde el origen.

𝐸1 𝜃

𝐸

𝜃 𝑦

𝐸2

𝜃 𝑎

𝜃 𝑎

2. Un pequeño objeto de masa 3.80 𝑔 y carga −18 𝜇𝐶 se suspende inmóvil sobre el suelo cuando se sumerge en un campo eléctrico uniforme perpendicular al suelo. ¿Cuál es la magnitud y la dirección del campo eléctrico? 3. Una pequeña esfera de carga 𝑞 = +68 𝜇𝐶 y masa 𝑚 = 5.8 𝑔 está unida a una cuerda ligera y se ha colocado en un campo eléctrico uniforme 𝐸⃗ que hace un ángulo 𝜃 = 37° con la horizontal. El extremo opuesto de la cuerda se une a una pared y la esfera se encuentra en equilibrio estático cuando la cuerda se encuentra en posición horizontal como en la figura. a) Construya un diagrama de cuerpo libre para la esfera. Determine b) la magnitud del campo eléctrico y c) la tensión en la cuerda.

4. Tres cargas puntuales están ubicadas en un arco circular como se muestra en la figura. a) ¿Cuál es el campo eléctrico total en P, el centro del arco? b) Determine la fuerza eléctrica que podría ejercerse sobre una carga de −5.00 𝑛𝐶 colocada en P.

5. Un campo eléctrico uniforme de magnitud 𝐸 = 435 𝑁/𝐶 hace un ángulo de 𝜃 = 65.0° con una superficie plana de área 𝐴 = 3.50 𝑚2 como en la figura. Determine el flujo eléctrico a través de esta superficie.

6. Se aplica un campo eléctrico de intensidad 3.50 𝑘𝑁/𝐶 a lo largo del eje x. Calcule el flujo eléctrico a través de un plano rectangular de 0.350 𝑚 de ancho y 0.700 𝑚 de largo si a) el plano es paralelo al plano yz, b) el plano es paralelo al plano xy, y c) el plano contiene el eje y, y su normal hace un ángulo de 40.0° con el eje x.

7. Un campo eléctrico uniforme de magnitud 375 𝑁/𝐶 que apunta en la dirección x positiva actúa sobre un electrón, que está inicialmente en reposo. Después de que el electrón se ha movido a 3.20 𝑐𝑚, ¿cuál es a) el trabajo que realiza el campo sobre el electrón, b) el cambio en la energía potencial asociada con el electrón y c) la velocidad del electrón? 8. Una carga puntual 𝑞 = +40.0 𝜇𝐶 se desplaza de A a B separada por una distancia 𝑑 = 0.180 𝑚 en presencia de un campo eléctrico externo 𝐸⃗ de magnitud 275 N/C dirigido hacia la derecha como en la figura. Determine a) la fuerza eléctrica ejercida sobre la carga, b) el trabajo realizado por la fuerza eléctrica, c) el cambio en la energía potencial eléctrica de la carga y d) la diferencia de potencial entre A y B.

9. Las placas paralelas de carga opuesta están separadas por 5.33 mm. Existe una diferencia de potencial de 600 V entre ellas. a) ¿Cuál es la magnitud del campo eléctrico entre las placas? b) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza sobre un electrón entre las placas? c) ¿Cuánto trabajo debe hacerse en el electrón para moverlo a la placa negativa si se coloca inicialmente a 2.90 mm de la placa positiva? 10. Las dos cargas de la figura están separadas por 𝑑 = 2.00 𝑐𝑚. Determine el potencial eléctrico en a) el punto A y b) el punto B, que está a la mitad de la distancia entre las cargas.

11. Un capacitor de placas paralelas lleno de aire tiene placas de área de 2.30 𝑐𝑚2 separadas por 1.50 mm. El capacitor está conectado a una batería de 12.0 V. a) Encuentre el valor de su capacitancia. b) ¿Cuál es la carga en el capacitor? c) ¿Cuál es la magnitud del campo eléctrico uniforme entre las placas? 12. Un capacitor de placas paralelas con área de 0.200 𝑚2 y una separación entre placas de 3.00 mm está conectado a una batería de 6.00 V. a) ¿Cuál es la capacitancia? b) ¿Cuánta carga se almacena en las placas? c) ¿Cuál es el campo eléctrico entre las placas? d) Determine la magnitud de la densidad de carga en cada placa. e) Sin desconectar la batería, las placas se alejan más. Cualitativamente, ¿qué pasa con cada una de las respuestas anteriores? 13. Una carga puntual positiva 𝑞 = +2.50 𝑛𝐶 se encuentra en 𝑥 = 1.20 𝑚 y una carga negativa de −2𝑞 = −5.00 𝑛𝐶 se localiza en el origen como en la figura. a) Dibuje el potencial eléctrico en función de x apuntando a lo largo del eje x en el rango de −1.50 𝑚 < 𝑥 < 1.50 𝑚. b) Determine una expresión simbólica del potencial en el eje x en un punto arbitrario P entre las dos cargas. c) Encuentre el potencial eléctrico en 𝑥 = 0.600 𝑚. d) Encuentre el punto a lo largo del eje x entre las dos cargas donde el potencial eléctrico es cero.

14. Determine a) la capacitancia equivalente de los capacitores en la figura, b) la carga en cada capacitor y c) la diferencia de potencial a través de cada capacitor.

15. a) Encuentre la capacitancia equivalente entre los puntos a y b para el grupo de capacitores conectados como se muestra en la figura si 𝐶1 = 5.00 𝜇𝐹, 𝐶2 = 10.00 𝜇𝐹 y 𝐶1 = 25.00 𝜇𝐹. b) Si el potencial entre los puntos a y b es de 60.0 V, ¿qué carga se almacena en 𝐶3 ?