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UNIVERSIDAD ANTONIO NARIÑO CÁLCULO DIFERENCIAL TALLER 14. APLICACIONES DE LA DERIVADA

INTRODUCCIÓN En la primera parte, encontrará una lista de problemas de optimización y razones de cambio, los cuales son una muestra de aplicaciones en varias disciplinas y en donde la diferenciación juega un papel muy importante en la búsqueda de las soluciones. Los dos últimos puntos corresponden a ejercicios del manejo de la regla de L’Hôpital en el cálculo de límites de formas indeterminadas. OBJETIVOS  Utilizar la diferenciación en la solución de problemas aplicados a la industria, la vida cotidiana, la física, etc.  Desarrollar habilidades en la solución de este tipo de problemas.  Aplicar la diferenciación al cálculo de límites de formas indeterminadas usando la regla de L’Hôpital.

ACTIVIDAD 1.- Encuentre las dimensiones de un cilindro circular recto de volumen máximo que se puede inscribir en una esfera de radio 10cm. ¿Cuál es el volumen máximo? 2.- La figura muestra un rectángulo inscrito en un triángulo rectángulo isósceles, cuya hipotenusa mide 2 unidades de largo. (a) Exprese la coordenada y de P en términos de x. (b) Exprese el área del rectángulo en términos de x. (c) ¿Cuál es la mayor área posible del rectángulo y cuáles son sus dimensiones?

3.- Si se quiere hacer una caja rectangular abierta con una cartulina de 8 por 15 pulgadas, cortando en las esquinas cuadrados congruentes y doblando hacia arriba los lados. ¿Cuáles son las dimensiones de la caja que se puede hacer de esta manera con el mayor volumen, y cuál es ese volumen?

4.- Una parcela rectangular en una granja tendrá límites, por un lado, por un río, y por los otros tres mediante una cerca eléctrica con un solo alambre. Si se cuenta sólo con 800 metros de alambre, ¿cuál es la mayor área que puede ocupar la parcela y cuáles son sus dimensiones? 5.- Un hombre de 6 pies de alto camina a una razón de 5 pies/seg hacia un farol cuya luz está a 16 pies del piso. ¿A qué razón se mueve la punta de su sombra? ¿A qué razón cambia la longitud de su sombra cuando está a 10 pies de la base del farol? 6.- Una escalera de 13 pies está apoyada contra una casa cuando su base empieza a resbalarse. En el momento en que la base está a 12 pies de la casa, la base se está moviendo a una razón de 5 pies/seg. (a) ¿Qué tan rápido se está resbalando por la pared la parte superior de la escalera en ese momento? (b) ¿A qué tasa está cambiando el área del triangulo formado por la escalera, la pared y el suelo en ese momento? (c) ¿A qué tasa está cambiando el ángulo  entre la escalera y el suelo en ese momento? 7.- Use la regla de L'Hôpital para encontrar los límites de los siguientes ejercicios: sin x  cos x x  / 4 1  sin x (b) lim x  / 2 1  cos 2 x

(a) lim

x  / 4

(c) lim ( x  x 2  x ) x 

1 (d) lim x tan  x   x

8.- Encuentre el valor de c, de manera que la función f sea continua en x = 0  9 x  3 sin 3x , si x  0  f ( x)   5x 3  si x  0 c,