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Universidad Nacional de Colombia- Sede Medellín Escuela de Matemáticas Cálculo en varias Variables. Semestre 01 de 2016 11 Taller 13.

Integral de línea. Área de super…cies, integrales de super…cie

1. Evalúe las siguientes integrales de línea, donde C es la curva dada. Z p p x dy, C es el arco de la curva y = x de (1; 1) a (4; 2) : a. x2 y 3 ZC b. sen x dx + cos y dy, C está formada por la mitad superior de la circunferencia x2 + y 2 = 1 de (1; 0) a C

( 1; 0) y el segmento de recta de ( 1; 0) a ( 2; 3) : Z c. z dx + x dy + y dz; C : x = t2 ; y = t3 ; z = t2 ; 0 t 1: C Z d. x2 dx + y 2 dy + z 2 dz; C está formada por segmentos de recta de (0; 0; 0) a (1; 2; 1) y de (1; 2; 1) a C

(3; 2; 0) :

R ~ 2. Sean C la recta que une a (1; 1; 1) con (2; 3; 1) y F~ (x; y; z) = xy~i + y 2~j + ez~k. Halle C F~ dr. Z ~ para la función vectorial F~ y curva C dada por 3. En los siguientes ejercicios evalúe la integral de línea F~ dr C

la parametrización a. F~ (x; y) = xy ~i + 3y 2~j; ~r(t) = 11t4 ~i + t2~j; 0 t 1: b. F~ (x; y; z) = (x + y ) ~i + (y z) ~j + z 2~k, ~r(t) = t2 ~i + t3~j + t2~k; 0 t c. F~ (x; y; z) =sen x ~i + cos y ~j + xz ~k, ~r(t) = t3 ~i t2~j + t ~k; 0 t 1: d. F~ (x; y; z) = z ~i + y ~j + x ~k, ~r(t) = t ~i+sen t ~j + cos t ~k; 0 t :

1:

! ! ! 4. Halle el trabajo realizado por el campo de fuerzas F (x; y) = x i + (y + 2) j ; al mover un cuerpo a lo largo ! ! de un arco de cicloide ! r (t) = (t sen t) i + (1 + cos t) j , 0 t 2 : ! y2 ! 1 ! x j ; al mover una partícula 5. Halle el trabajo realizado por el campo de fuerzas F (x; y) = 1+x 2 i + 2y tan ! ! 2! a lo largo de la curva C dada por r (t) = 2t i + t j , 0 t 1: ! 6. Halle el trabajo realizado por el campo de fuerzas F (x; y; z) = < y + z; x + z; x + y > sobre una partícula que se mueve a lo largo del segmento de recta que va de (1; 0; 0) a (3; 4; 2). 7. Encuentre la integral de línea del campo vectorial 2 2 F~ (x; y; z) = cos(x + y); 2yzey z + cos(x + y); y 2 ey z

a lo largo de la curva slinky (ver Figura 1) ~r(t) = (sen(40t); (2 + cos(40t)) cos(t); (2 + cos(40t))sen(t));

con 0

8. Considere el campo vectorial F~ (x; y; z) =

xexy yexy ; + z 3 ; 3yz 2 1 + e2xy 1 + e2xy

y la curva C con parametrización

con 0

t

~r(t) = ((2 + cos(8t)) cos t; (2 + cos(8t))sen t; sen (8t)) ; Z 2 ; (ver Figura 2) . Halle la integral de línea F~ d~r. C

1

t

:

Figura 1 9. Sea C = (x; y) 2 R2 : 4y 2 = x; x

Figura 2 4 orientada en sentido horario. Calcule la integral de línea

Z

tan

1

y dx +

C

2 x + 2yey 1 + y2

dy:

10. ¿Cuál de los siguientes es un campo vectorial conservativo? Si el campo es conservativo, encuentre una función ! f tal que F = rf: ! ! ! (a) F (x; y) = (2x 3y) i + ( 3x + 4y 8) j ! ! ! (b) F (x; y) = ex sen y i + ex cos y j ! ! ! (c) F (x; y) = ex cos y i + ex sen y j ! ! ! (d) F (x; y) = 3x2 2y 2 i + (4xy + 3) j ! (e) F (x; y) = ex sen y x21+1 + y; ex cos y + 2x ! (f) F (x; y) = ex sen y

1 x2 +1

+ y; ex cos y

3y 2

3y 2

! (g) F (x; y) = (ex sen y + y; ex cos y + 2x) ! (h) F (x; y) = ex sen y x21+1 ; ex cos y 3y 2 : R ! ~ 11. En los siguientes ejercicios, encuentre una función f tal que F = rf y use el resultado para calcular C F~ dr a lo largo de la curva dada C: ! ! ! (a) F (x; y) = x2 i + y 2 j ; C es el arco de la parábola y = 2x2 de ( 1; 2) a (2; 8) :

! ! ! (b) F (x; y) = xy 2 i + x2 y j ; C : ~r(t) =

t + sen

t 2

; t + cos

t 2

; para 0

t

1:

y2 ! ! ! ! i + 2y arctan x j ; C : ~r(t) = t2 i + 2t j ; para 0 t 1 1 + x2 ! ! ! ! (d) F (x; y; z) = yz i + xz j + (xy + 2z) k ; C es el segmento de recta de (1; 0; 2) a (4; 6; 3) : ! (c) F (x; y) =

12. Muestre que el valor de la integral de línea Z

tan y dx + x sec2 y dy

C

es el mismo para cualquier trayectoria C que una (1; 0) con (2; =4) :

2

13. Al frente de cada ecuación vectorial escriba el número de la grá…ca de la super…cie que parametriza la ecuación. ~r (u; v) = v sen u ~i + v cos u ~j + u ~k ~r (u; v) = 2 sen u ~i + 3 cos u ~j + v ~k ~r (s; t) = s; t; t2

s2

~r (s; t) = s sen 2t; s2 ; s cos 2t ~r ( ; ) = (4 cos ~r ( ; ) =sen

+ cos

cos

cos ) ~i + (4sen

~i+ sen

sen

+ cos

~j + cos

I

~k

II

IV

III

V

14. Halle el área super…cial de la porción del cono z =

~k

cos ) ~j+ sen

VI p

x2 + y 2 que está entre el plano y = 4 y el cilindro y = x2 :

15. Halle el área super…cial de la porción del paraboloide z = x2 + y 2 que está debajo de z = 4 y en el primer octante. 1 16. Halle el área super…cial de la super…cie con ecuaciones paramétricas x = u2 ; y = uv; z = v 2 ; 0 2 1; 0 v 2: 17. Calcule el área super…cial de la esfera (x

a)2 + (y

b)2 + (z

u

c)2 = R2 .

18. Parametrice la super…cie S dada por S = f(x; y; z) j z = 4

x2

y 2 ; x2 + (y

1)2

1g;

y plantee su área super…cial como una integral doble. Ver Figura 1. 19. Halle el área de la super…cie de la esfera x2 + y 2 + z 2 = a2 que se encuentra dentro del cilindro x2 + y 2 = ax. Ver Figura 2 3

Figura 1 20. Evalúe

ZZ

Figura 2

ydS donde S es la parte de la esfera x2 + y 2 + z 2 = 4 que está dentro del cilíndro x2 + y 2 = 1 y

S

arriba del plano xy. ZZ 21. Evalúe xyzdS donde S es el cono con ecuaciones paramétricas x = u + v; y = u

v; z = 1 + 2u + v; 0

S

u

1; 0 v : ZZ 22. Evalúe x2 + y 2 dS donde S es la super…cie con ecuación vectorial ~r (u; v) = 2uv; u2

v 2 ; u 2 + v 2 ; u2 +

S

v2

1.

23. Evalúe

ZZ

xydS donde S es la región triangular con vértices (1; 0; 0) ; (0; 2; 0) y (0; 0; 2) :

24. Evalúe

ZZ

xydS donde S es la parte del plano x + y + z = 1 que está en el primer octante.

25. Evalúe

ZZ

ydS donde S es la super…cie z =

S

S

2 3=2 x + y 3=2 ; 0 3

x

1; 0

y

1:

S

2 2 26. Halle el ‡ujo del campo vectorial F~ (x; y; z) = ( y; x; ex z ) a través de la super…cie S = f(x; y; z) j x2 + y 2 = 4; 0 z 3g, orientada de tal manera que la normal apunta hacia “afuera” de S.

27. Una helicoide se de…ne como 0 2 y 0 r 1.

: D ! R3 , donde

(r; ) = (r cos ; r sin ; ) y D es la región de…nida por

a. Halle su área. b. Ahora suponga que esta super…cie tiene una densidad de masa dada por (x; y; z) = la masa de la helicoide. 28. Halle el ‡ujo del campo F~ (x; y; z) = (x; y; 1) a través de la super…cie S = f(x; y; z)=x2 + y 2 + z 2 = 4; 1

x2 + y 2

4g;

con la normal apuntado hacia afuera. Ver Figura 3. 29. Considere el campo magnético de…nido por F~ (x; y; z) = (x; y; 1) y la super…cie S = f(x; y; z)=x2 + y 2

z 2 = 1; x2 + y 2

4

4; 0

zg;

p x2 + y 2 + 1. Halle

con el vector normal apuntando hacia arriba. Calcule el ‡ujo magnético

ZZ

~ Ver Figura 4. F~ dS.

S

Figura 3

Figura 4

Figura 5

30. Considere el campo magnético de…nido por F~ (x; y; z) = (y; x; 1) y la super…cie S = f(x; y; z)=x2 + y 2

z 2 = 1; x2 + y 2

4; 0 zg; ZZ ~ F~ dS. con el vector normal apuntando hacia arriba. Calcule el ‡ujo magnético S

31. Suponga que un campo vectorial está dado por F~ (x; y; z) = ( x; y; 1). Calcule el ‡ujo de F~ a través de la super…cie p S = f(x; y; z)=z = x2 + y 2 ; 1 x2 + y 2 4g;

la cual está orientada con el normal apuntando hacia arriba. Ver Figura 5. RR ~ si F~ (x; y; z) = (xz; xy; yz) y S es la super…cie del tetraedro formado por los planos 32. Calcule S F~ dS, coordenados y el plano x + y + z = 1, con el vector normal apuntando hacia “afuera”, es decir, con orientación positiva.

Soluciones de algunos problemas 1.a. 243=8 3.c. 6=5 sen 1 8. 0

p

cos 1

cos 2+ sen 3

1.c 3=2 2

1.d. 35=3

4. 2

9. 2

11.(a) 171

11.(b) 2

16. 4 un2

19. 2a (

p

15.

2

23. 1= 6

173

1 =24

p

26. 0

27.a.

31. 23 =3

32. 1=8

p

24.

2 + ln

p

2+1

p

(2)

2)

2. 71=6

3.a 247=5

6. 26

7.

11.(c)

11.(d) 77

20. 0

21.

3=24

27.b. 8 =3

5

5. tan

1

3.d. -

p

14. 32 2un2 22.

1.b. cos 1

25. 28. 0

29. 3

3.b 17=15

2 sen 3

p

14 11 (10

4 105

30. 3

+2

2

8

3

p p 2+4 2+9 3

3

4

)