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• jhon kleider

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Universidad Nacional de Colombia- Sede Medellín Escuela de Matemáticas Cálculo en varias Variables. Semestre 01 de 2016 TALLER 10

Taller 11. 12: Longitud de arco, integral de línea de funciones escalares, campos vectoriales 1. Sea C la curva de intersección del paraboloide z = 2x2 + y 2 y el plano y = z = 4. Halle la longitud de arco de C. Ver Figura 1.

p

2x, que se encuentra debajo de

2. Un alambre se enrolla sobre el cilindro x2 + y 2 = 4 con punto inicial (2; 0; 0), de manera que la altura z de cada punto del alambre es una función lineal del ángulo t de enrollamiento hasta el punto. Suponga que en una vuelta el alambre alcanza una altura de 2 . Calcule la masa de la primera vuelta del alambre, si en cada punto la densidad lineal de masa es igual a la altura z del punto. Ver Figura 2.

Figura 1

Figura 2

3. Una circunferencia inicialmente en la posición x2 + (y 1)2 = 1, se hace rodar sobre el eje x con velocidad angular de 1rad=seg. El punto P que inicialmente se halla en el origen describe una curva llamada cicloide. Parametrice la cicloide tomando el tiempo t como parámetro y halle la longitud de la curva descrita en un giro de la circunferencia. Ver Figuras 3a,3b y 3c.

Figura 3a

Figura 3b

4. Sean C la recta que une a (1; 1; 1) con (2; 3; 1) y f (x; y; z) = xy 2 + ez . Halle

Figura 3c R

C

f (x; y; z) : ds.

5. La fuerza gravitacional F~ ejercida por una masa m1 situada en el origen sobre otra masa m2 , situada en un punto (x; y; z), es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre las masas y va dirigida hacia el origen. Halle la expresión para F~ y haga un bosquejo de dicho campo vectorial. Encontrar el trabajo realizado por F~ para traer a m2 desde el punto (5; 0; 0) hasta el punto (1; 1; 1) a lo largo de una curva C que une ambos puntos.

1

6. Empareje cada campo vectorial F~ en R2 con su diagrama respectivo (etiquetados como I-IV). Explique los motivos. F(x; y) = hx; yi

CampoVectorial Grá…ca

I

F(x; y) = h x; y >

II

F(x; y) = hy; xi

F(x; y) = hy; xi

III

IV

7. Sean F~ (x; y; z) = (2xy 2 + z; 2x2 y + 2y; x) y C la curva con parametrización ~r(t) = sin8 con t 2 [0; 1]. Hallar

R

C

2

t + 1; t3 ; t8 ;

~ F~ dr.

8. Calcular la integral de linea

Z

(3 + 2xy) dx + (x2

3y 2 ) dy;

C

donde C es cualquier curva suave que va de (0; 1) a (0; e ). 9. Sea C la curva con parametrización ~r(t) = t; sin t; t2 cos t ; para 0 R 2 Sea f (x; y; z) = z 2 ex y + x2 y F~ = rf . Hallar C F~ d~r.

t

:

10. Escriba la integral que da la longitud de arco de la curva slinky

~r(t) = (sen(40t); (2 + cos(40t)) cos(t); (2 + cos(40t)) sen(t)); con 0

t

. Ver Figura 4.

Figura 4

Figura 5 2

11. Escriba la integral que da la longitud de arco de la curva de intersección del cilindro x2 + (y paraboloide z = 4 x2 y 2 . Ver Figura 5

1)2 = 1 y el

12. Suponga que f y sus primeras derivadas parciales son continuas en la región cerrada R en el plano xy. Muestre que si es la medida del área de la super…cie z = f (x; y) que está sobre R, entonces ZZ = jrg(x; y; z)j dxdy R

donde g(x; y; z) = z

f (x; y).

13. Empareje cada campo vectorial F~ en R3 con su diagrama correspondiente (etiquetados como I-IV). Explique los motivos CampoVectorial Grá…ca

I

F~ (x; y; z) = hx; y; zi

F~ (x; y; z) = h x; y; zi

II

III

F~ (x; y; z) = hx; 0; 0i

F~ (x; y; z) = h1; 2; 1i

IV

10. Empareje cada campo vectorial gradiente con su diagrama respectivo (etiquetados como I-IV). Explique los motivos. p Campo Gradiente deCampo f (x; y) = x2 y 2 f (x; y) = x2 + y 2 f (x; y) = xy f (x; y) = x2 y 2 . Grá…ca

I

II

III

3

IV

.