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• gabriela

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I.-TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS

II.- PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA

 a du  a u  c u 2. u du  c  n 1 du 3.  u  ln u  c a 4. a du  c  ln a 5.  e du  e  c 6.  sen u du   cos u  c 7.  cos u du  sen u  c 8. tan u du   ln (cos u)  c  9. cot u du  ln sen u  c  10. sec u du  ln (sec u  tan u)  c  11. csc u du  ln (csc u  cot u)  c  12. sec u du  tan u  c  13. csc u du   cot u  c  14. sec u tan u du  sec u  c  15. csc u cot u du   csc u  c  1.

1. La integral indefinida de la suma o resta de dos o más funciones es igual a la suma o resta de sus integrales.

n 1

n

  f ( x)  g( x) dx   f ( x) dx   g( x) dx

u

u

u

2. El factor constante se puede sacar del signo de la integral.

u

 c f ( x) dx  c  f ( x) dx III.- INTEGRACION POR CAMBIO DE VARIABLE En algunos casos, para obtener integrales que no se pueden calcular en forma inmediata, se arregla el integrando mediante un cambio de variable de tal manera que tome la forma de una integral inmediata. Esto es, si la integral existe en la forma

f ( x ) dx   f ( g ( x ))     

2

2

16.



du

u 18. u 17.

19.

a u du 2

u

2

 a2

 a u du 21.  u a du

20.

2

2

2

22. 23.

 

2

a u

2





u a

2

IV.- INTEGRACION POR PARTES Cuando la integral no es inmediata, pero el integrando es igual al producto o al cociente de dos funciones; es decir, de la forma

1 ua ln c 2a u  a

  f  g dx

1 au  ln c 2a a  u 2

du 

1

u

2

a u

2



du 

1 2

1

2

a arc sen

2 2

u u a

2



1 2

2



u

c

a 2

o

f

 1

  g  dx   f  g  dx ,

la integración se hace aplicando la fórmula de integración por partes:

 ln  u  u 2  a 2   c   2

2

 f ( x) dx   f (u) du

1 u arc tan  c a a a du 1 u  arc sec  c a a u2  a 2 2

du 2

2

Derivada de la funcion int erna

haciendo el cambio de variable: u = g (x) y por tanto du = g’(x) dx , se facilita la integración

u c a

 arc sen

Funcion int erna

Inte gra l no inmediata

g ' ( x ) dx   

a ln u  u  a

2



c

 u dv  uv   v du 1

2

donde se debe: 1) Identificar a las funciones u y dv 2) Determinar du diferenciando, y v integrando 3) Sustituir el resultado de du y v en la fórmula de integración por partes y calcular la integral

 v du V.- INTEGRACION POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA Si el integrando contiene una expresión de la forma:

a 2  u2 , u2  a 2

o

a 2  u2

elevada a cualquier exponente, la integración se realiza mediante una sustitución trigonométrica, de acuerdo con la siguiente tabla: FORMA DEL SUSTITUCION RADICAL a 2  u2

a 2  u2

u2  a 2

TRIANGULO RECTANGULO sen  = u / a a sen  = u a cos  d = du tan  = u / a a tan  = u a sec2  d = du

VI.- INTEGRACION DE FRACCIONES PARCIALES La integración por el método de fracciones parciales consiste en descomponer una fracción propia de la forma P (x) / Q (x) , en una suma de dos o más fracciones parciales. Los denominadores de las fracciones parciales se obtienen mediante la factorización de Q (x) en factores lineales y cuadráticos. Se tienen así los siguientes casos: 1.- Los factores de Q(x) son todos lineales y ninguno se repite, es decir, el denominador se descompone en raíces reales de primer grado y diferentes. La descomposición se da en la forma:

P( x ) A B C D      Q( x) x  a x  b x  c x  d 2. Los factores de Q(x) son todos lineales y algunos se repiten; es decir, las raíces del denominador son números reales, repitiéndose algunos de ellos. A cada factor de Q(x) de la forma (ax + b)n le corresponde una suma de n fracciones parciales :

A1 A2 A3 An      ax  b  ax  b 2  ax  b 3  ax  b n 3. El denominador Q(x) tiene factores cuadráticos con raíces complejas que no se repiten. Para cada factor cuadrático ax2 + bx + c existe la fracción parcial

Ax  B

a x 2  bx  c

sec  = u / a a sec  = u a sec  tan  d = du

4. El denominador Q(x) contiene factores cuadráticos con raíces complejas que se repiten. A cada factor cuadrático (ax2 + bx + c)n le corresponde la suma de n fracciones parciales

A1 x  B1 ax 2  bx  c



A2 x  B2

ax

2

 bx  c



2



An x  Bn

ax

2

 bx  c

2



n

3

VIII.SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO

Si se realiza el giro alrededor del eje y , el volumen se calcula mediante la fórmula:

V 

Si f es una función continua en [a , b  y F (x) una función primitiva de f, entonces:



b

a

f ( x ) dx   F ( x)  F (b)  F (a ) b a

IX.- AREA ENTRE DOS CURVAS Si f y g son dos funciones continuas en [a , b  , y si g (x)  f (x) para toda x en [a , b  entonces el área entre f y g está dada por la fórmula:

A



b

a

   f ( x )  g ( x )  dx       mayor menor  

Es bastante útil graficar las funciones f y g , y encontrar los límites de integración resolviendo la ecuación resultante de f (x) = g (x). intersección de las funciones.

V 

L



1   f ' ( x ) dx , 2

a

cuando se conoce el intervalo [ a , b  y la expresión algebraica de la función f.

XI.- VOLUMEN DE SÓLIDOS DE REVOLUCION

  f ( x ) a

   f 2 ( x )  g 2 ( x )  dx     menor   mayor

XII.- IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS Las identidades que más se aplican al calcular integrales trigonométricas son:

1) tan 

5) cot  

sen 

2) cot  

cos  1

4) sec  

sen  1

tan 2 2 7) 1  tan   sec 

cos  sen  1 cos 

2 2 6) sen   cos   1 2 2 8) 1  cot   csc 

1 2 9) sen    1  cos 2  2 1 2 10) cos    1  cos 2  2

11) sen 2  2 sen  cos 

Al hacer girar alrededor del eje x el área bajo una función f (x) continua en [ a , b  , donde f(x)  0 , se obtiene un sólido de revolución, cuyo volumen se determina con la fórmula: b 2

V 



b

a

3) csc  

b

2 g ( y ) dy   a

El volumen del sólido que se genera al girar alrededor del eje x dos funciones positivas f (x) y g (x) , continuas en [ a , b  , y que satisfagan f (x)  g (x) para toda x en [ a , b  , se calcula con la fórmula:

X..- LONGITUD DE UNA CURVA La longitud de una curva se determina con la fórmula:

b

dx

12) sen  cos   13) sen  sen   14) cos  cos  

1 2 1 2 1 2

sen (

  )  sen (   )



cos (   )  cos (   ) cos (   )  cos (   ) 3