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FÓRMULAS Y REGLAS DE INTEGRACIÓN (INTEGRALES INMEDIATAS) (k, n, a, b y C son constantes; f, g, h son funciones)

� 𝑘𝑘 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑘𝑘𝑘𝑘 + 𝐶𝐶

𝑥𝑥 𝑛𝑛+1 � 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = + 𝐶𝐶 𝑛𝑛 + 1 𝑛𝑛

� 𝑎𝑎 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 =

𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰 𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰

� 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑥𝑥 + 𝐶𝐶 � 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 + 𝐶𝐶

(𝑛𝑛 ≠ −1)

𝑎𝑎 𝑥𝑥 + 𝐶𝐶 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑎𝑎

�

1 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � 1 + 𝑡𝑡𝑡𝑡2 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑥𝑥 + 𝐶𝐶 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝑥𝑥

� 𝑒𝑒 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑒𝑒 𝑥𝑥 + 𝐶𝐶

� 𝑓𝑓´(𝑥𝑥) 𝑒𝑒 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑒𝑒 𝑓𝑓(𝑥𝑥) + 𝐶𝐶

� �

1 � 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑙𝑙𝑙𝑙|𝑥𝑥| + 𝐶𝐶 𝑥𝑥

�

�

𝑓𝑓´(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑙𝑙𝑙𝑙 |𝑓𝑓(𝑥𝑥)| + 𝐶𝐶 𝑓𝑓(𝑥𝑥)

𝑥𝑥 2

𝑑𝑑𝑑𝑑 1 = 𝑙𝑙𝑙𝑙 |𝑎𝑎𝑥𝑥 ± 𝑏𝑏| + 𝐶𝐶 𝑎𝑎𝑥𝑥 ± 𝑏𝑏 𝑎𝑎

� 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑥𝑥 𝑙𝑙𝑙𝑙 |𝑥𝑥| − 𝑥𝑥 + 𝐶𝐶

(se hace por partes)

1

1

√1 − 𝑥𝑥 2

√𝑎𝑎 − 𝑥𝑥 2 �

�

1 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 (𝑥𝑥) + 𝐶𝐶 +1

1 𝑥𝑥 √𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 � � + 𝐶𝐶 (𝑎𝑎 > 0) + 𝑎𝑎 𝑎𝑎 √𝑎𝑎 �

�

𝑥𝑥 2

−1

𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 (𝑥𝑥) + 𝐶𝐶

𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 � −1

√1 −

𝑥𝑥 2

𝑥𝑥

√𝑎𝑎

� + 𝐶𝐶 (𝑎𝑎 > 0)

𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎(𝑥𝑥) + 𝐶𝐶

𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 � � + 𝐶𝐶 (𝑎𝑎 > 0) 2 √𝑎𝑎 − 𝑥𝑥 √𝑎𝑎

𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰 𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰

1 Es lineal

�[𝑎𝑎𝑎𝑎(𝑥𝑥) + 𝑏𝑏𝑏𝑏(𝑥𝑥)]𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑎𝑎 � 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝑏𝑏 � 𝑔𝑔(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑

𝟐𝟐. 𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳:

�

𝒇𝒇´(𝒙𝒙) 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝒍𝒍𝒍𝒍 |𝒇𝒇(𝒙𝒙)| + 𝑪𝑪 𝒇𝒇(𝒙𝒙)

𝟑𝟑. 𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬

� 𝒇𝒇´(𝒙𝒙) 𝒆𝒆𝒇𝒇(𝒙𝒙) 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝒆𝒆𝒇𝒇(𝒙𝒙) + 𝑪𝑪

𝟑𝟑. 𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬

� 𝑓𝑓´(𝑥𝑥) 𝑎𝑎𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑 =

𝟒𝟒. 𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰ó𝒏𝒏 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷:

𝑎𝑎𝑓𝑓(𝑥𝑥) + 𝐶𝐶 ln 𝑎𝑎

� 𝒖𝒖 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝒖𝒖 𝒗𝒗 − � 𝒗𝒗 𝒅𝒅𝒅𝒅

Fórmulas trigonométricas útiles para integración 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 𝑥𝑥 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝑥𝑥 = 1 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑥𝑥 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥⁄cos 𝑥𝑥

1 + 𝑡𝑡𝑔𝑔2 𝑥𝑥 = 1/ cos2 𝑥𝑥

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(2𝑥𝑥) = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝑥𝑥 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(2𝑥𝑥) = 2 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 𝑥𝑥 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2

1 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(2𝑥𝑥) − 2 2

1 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(2𝑥𝑥) 𝑥𝑥 = + 2 2

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦) = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑦𝑦 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑦𝑦 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦) = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑥𝑥 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑦𝑦 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑦𝑦

2 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦) + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥 − 𝑦𝑦) 2 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦) + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)

2 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 = −𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦) + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑥𝑥 − 𝑦𝑦) www.academiamolina.com