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• MANUEL CASTILLO

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Profesor Roberto Zorgno-Versión Preliminar-

Notas de Clase sobre valuación de Swaps de tasas de interés y de monedas. 1- Valuación de un swap de tasas de interés. Si se asume que no existe posibilidad de default un swap de tasas de interés puede ser valuado como una posición comprada en un bono a tasa fija y otra posición vendida en un bono a tasa flotante o bien como un portafolio de contratos forward. Valuación de un swap como si se tratara de una posición de bonos. Considérese el caso donde la compañía B (CB) entra en un swap con un banco donde CB paga tasa fija y recibe tasa flotante. Las compensaciones son trimestrales y coincidentes con el settlement de las transacciones de los futuros de Eurodólares. El swap es por dos años considerando un de $ 10 millones. Conceptualmente, la transacción puede interpretarse de la siguiente manera: 1- CB ha emitido y vendido al banco bonos que pagan tasa Libor de 3 meses por $ 10 millones. 2- El banco ha emitido bonos a tasa fija y los mismos han sido comprados por CB $ 10 millones. La tasa fija aún no se ha determinado. Dadas las interpretaciones anteriores un swap de tasas de interés se puede asociar con dos posiciones de bonos, por el mismo valor nocional, compradas y vendidas por cada una de las contrapartes. Inicialmente, la diferencia entre los valores de los bonos es nula dado que de otro modo alguna de las contrapartes debería pagar una compensación para que se realizara la transacción. La tarea básica es determinar la tasa fija que iguala los flujos de fondos del bono a tasa fija con el bono a tasa flotante Algebraicamente, en el momento inicial se define el valor del Swap como (1) V= B1 - B2 Donde V es el valor del swap, B1 es el valor del bono a tasa fija y B2 es el valor del bono a tasa flotante. A continuación se utilizará Q como el nocional en el contrato de swap correspondiente. Desde ya que las tasas de descuento utilizadas en la valuación de los bonos deben reflejar apropiadamente el riesgo de los cash flow. Así es oportuno utilizar una tasa de descuento con un nivel de riesgo correspondiente a la tasa flotante utilizada en el swap (LIBOR) y por lo tanto el nivel de riesgo asociado con el mercado interbancario. El cuadro que sigue muestra los datos vigentes al 16/2/94 , fecha teórica en la que se realizó el swap, de la cotización de los contratos de Eurodólares hasta el 20/3/96 cuando ya habría expirado el swap.

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Cuadro anexo tasa de1: Cálculocero del interés cero cupón cupón y de de un de la tasa Reset day string de interés eurodólare equivalente (1) 14/02/1994 14/03/1994 13/06/1994 19/09/1994 19/12/1994 13/03/1995 19/06/1995 18/09/1995 18/12/1995

Payment date

Days

(2) 16/02/1994 16/03/1994 15/06/1994 21/09/1994 21/12/1994 15/03/1995 21/06/1995 20/09/1995 20/12/1995 20/03/1996

(3)

Días totales

Future Price at expiration (4) 28 91 98 91 84 98 91 91 91 763

96,35 96,02 95,68 95,28 95,10 94,86 94,65 94,39

Implied future rate

Discount factor

Numerales

(5)

(6)

(7)

3,35% 3,65% 3,98% 4,32% 4,72% 4,90% 5,14% 5,35% 5,61%

0,9974 0,9883 0,9777 0,9671 0,9566 0,9440 0,9319 0,9195 0,9066

0,07758 0,24982 0,26615 0,24447 0,22321 0,25698 0,23556 0,23242 0,22917 2,01534

La primera columna indica la fecha en la cual se fija la tasa de interés que será utilizada para el período de días que figuran en la tercer columna. La segunda columna marca el día de la compensación o intercambio de flujos del swap. Los días han sido calculados como diferencia entre los días de compensación. La cuarta columna es la de los precios de mercado para los contratos que tienen expiración en la segunda columna. La quinta columna es la tasa de interés implícita en el precio del futuro. La sexta columna computa el factor de descuento utilizando las tasas de interés implícitas en los contratos de futuros. La última columna surge del cálculo de una serie de numerales donde cada número equivale al factor de descuento por la cantidad de días del período dividido 360. La “par rate” o la tasa fija que iguala el flujo de fondos del bono a tasa fija con el bono a tasa flotante surgiría de despejar R en la siguiente ecuación: 10.000.000*R{ 0.9974 *(28/360) + 0.9883 *(91/360) +0.9777 *(98/360) + 0.9671 *(91/360) +0.9566 *(84/360) + 0.9440 *(98/360) +0.9319 *(91/360) + 0.9195*(91/360) +0.9066 (91/360) }+ 0.9066 * 10.000.000 = 10.000.000 Donde el lado izquierdo de la ecuación corresponde al valor presente del bono a tasa fija ( que es R) donde los factores de descuento se han calculado a partir del mercado de Eurodólares. El lado derecho de la igualdad es el valor presente del bono a tasa flotante que es el principal de $10 millones dado que los cupones se indexan y se descuentan por las mismas tasas implícitas en el string de eurodólares. Resolviendo se obtiene R= 4.63% anual con base 360 días o R^= 4.70 % anual sobre 365 días. De modo que inicialmente el swap de tasa flotante por tasa fija sólo tiene valor nulo al principio si la tasa fija es del 4.63% anual en base de 360 días. Si el banco le cargara una comisión del 0.15 % anual a CB

3 el swap se haría a una tasa fija del 4.78% ( porque CB paga tasa fija) por Tasa Libor. Si por alguna razón, CB quisiera recibir en el swap Libor + 0.5 % anual la tasa fija de equilibrio sin comisión sería 4.88% siempre sobre base de 360 días. 1 Si como otra alternativa CB quisiera cobrar tasa fija del 6% la tasa flotante de equilibrio sería Libor más 275 puntos anuales (2.75%). 2 Hasta aquí se ha valuado el swap y se ha calculado la “par rate” al momento inicial, por lo tanto el valor del swap es nulo. Si luego de 45 días de realizado el swap se desea conocer su valor el trader debería remitirse nuevamente al mercado de futuros de eurodólar. Los datos del cuadro anterior se “aggiornan” para simular un incremento de 20 puntos básicos anuales a lo largo de la curva de rendimientos: Cuadro anexo 2: Cálculo del Desplazami cero de cupón ento 20 de un puntosday Payment Reset string básicosdeen date 14/03/1994 13/06/1994 19/09/1994 19/12/1994 13/03/1995 19/06/1995 18/09/1995 18/12/1995

02/04/1994 15/06/1994 21/09/1994 21/12/1994 15/03/1995 21/06/1995 20/09/1995 20/12/1995 20/03/1996

Days

74 98 91 84 98 91 91 91

días totales 718

Future Implied Discount Price at future rate factor expiration

96,15 95,82 95,48 95,08 94,9 94,66 94,45

3,50% 3,85% 4,18% 4,52% 4,92% 5,10% 5,34% 5,55%

0,9929 0,9826 0,9723 0,9621 0,9494 0,9373 0,9249 0,9121

Numerales

0,20409 0,26747 0,24577 0,22450 0,25845 0,23694 0,23378 0,23055 1,90156

Teniendo en cuenta los factores de descuento computados en el cuadro anterior se procede a evaluar el valor de mercado que tendría la pata del swap equivalente a la contraparte que recibe tasa fija y paga tasa flotante. Desde ya que esta contraparte estaría comprada en un bono a tasa fija y vendida en un bono a tasa flotante. En el cuadro que sigue se detalla el procedimiento utilizado. Para calcular el valor presente del bono a tasa fija, se determinan los pagos del cupón correspondiente; vale decir la tasa fija de 4.63% anual proporcional en 90 días por el nocional del swap. Así se obtiene un cupón de $ 115.750 por tirmestre, cada uno de esos valores es llevado al momento de la valuación

Utilice la fórmula anterior para recalcular la par rate. Piense cómo modificar la fórmula anterior para realizar el cálculo. Pista: tome el valor presente del bono a tasa fija con cupón 6% descontado por los mismo factores de descuento y calcule luego cuántos puntos anuales sobre Libor son necesarios para igualar los flujos de fondos. 1 2

4 considerando los factores de descuento computados en el cuadro anterior. De este modo, el valor presente del bono a tasa fija asciende a $ 10.004.173. En lo que respecta al bono a tasa flotante, se sabe que al momento del próximo reset de la tasa de interés el valor del mismo será de $ 10.000.000. A este importe debe adicionarse el valor presente del cupón que se fijó al inicio del swap para el primer trimestre. Entonces, el valor presente del bono a tasa flotante es de $ 10.019.168. Atento a los datos presentados, la parte que recibe fija y paga flotante tendría una pérdida de $ 14.995 ante un incremento de 20 puntos básicos en la estructura de intertemporal de tasas de interés. Resumen. Nocional Cupón inicial Libor cupón flotante

Valores presentes Bono Fijo Bono Flotante Diferencia 10.004.173 10.019.168 -14.995

10.000.000 4,63% 3,65%

1- Bono a Tasa Fija Fechas 15/06/1994 21/09/1994 21/12/1994 15/03/1995 21/06/1995 20/09/1995 20/12/1995 20/03/1996

Cupón

Principal 115.750 115.750 115.750 115.750 115.750 115.750 115.750 115.750

Servicio

Factor desc. Valor presente

10.000.000

115.750 115.750 115.750 115.750 115.750 115.750 115.750 10.115.750

0,9929 0,9826 0,9723 0,9621 0,9494 0,9373 0,9249 0,9121

114.923 113.731 112.542 111.368 109.896 108.497 107.052 9.226.164

10.000.000

10.091.250

0,9929

10.019.168

Bono a Tasa Flotante 15/06/1994

91.250

Valuación de un swap como si fuera una posición de contratos forwards. En esta metodología se puede considerar la valuación de un swap como si fuera un conjunto de contratos forward. Donde el resultado de cada contrato es la diferencia entre la tasa fija y la tasa implícita en cada contrato de eurodólar. Esa diferencial de tasas debe computarse sobre un nocional dado por la cantidad de días de cada período de pago. Luego debe calcularse el valor presente neto de esa diferencia en virtud de los factores de descuento utilizados más arriba. Antes de realizar los cálculos correspondientes debe señalarse que la tasa fija que resulta de calcular la par rate no es estrictamente comparable con la tasa forward que surge de los contratos de Eurodólares. En efecto, la tasa fija es una tasa anual mientras que la tasa flotante es una tasa de 90 días que se

5 debería componer 4 veces en un año. En equilibrio y en una estructura de tasas de interés planas; vale decir todas iguales la relación de equilibrio sería: (1 + tasa anual) = (1+tasa flotante/4) 4 De donde, la equivalencia de las tasas flotantes para transformarlas en tasas anuales sería: Tasa anual equivalente= (1+tasa flotante/4) 4 -1 Transformadas las tasas forwards de acuerdo con esa fórmula se procedió a computar los diferenciales de tasas de interés comentados más arriba. El cuadro que sigue ilustra los cálculos realizados. Evaluación del swap Nocional 15/06/1994 21/09/1994 21/12/1994 15/03/1995 21/06/1995 20/09/1995 20/12/1995 20/03/1996

Tasa Fija

10.000.000 10.000.000 10.000.000 10.000.000 10.000.000 10.000.000 10.000.000 10.000.000

4,63% 4,63% 4,63% 4,63% 4,63% 4,63% 4,63% 4,63%

Tasa Flotante 3,55% 3,91% 4,25% 4,60% 5,01% 5,20% 5,45% 5,68%

Días 74 98 91 84 98 91 91 91

Diferencia 22.278 19.710 9.707 766 -10.386 -14.367 -20.674 -26.202

Discount factor 0,9929 0,9826 0,9723 0,9621 0,9494 0,9373 0,9249 0,9121

Valor Presente 22.119 19.367 9.438 737 -9.861 -13.467 -19.121 -24.207

Diferencia

Como puede verse los resultados obtenidos con ambas metodologías son estrictamente equivalentes. Enconces como puede establecerse que un swap es equivalente a la sumatoria de un conjunto de contratos forwards también puede concluirse que cuando la estructura de tasas de interés es creciente los contratos más cercanos al origen tendrán valor positivo para la parte que recibe tasa fija mientras que los contratos más lejanos tendrán valor negativo para la misma. Si la estructura de tasas de interés estuviera invertida las conclusiones del párrafo anterior también se revierten. 2- Swaps de monedas. La motivación de este tipo de contratos es idéntica a la planteada en el caso de swap de tasas de interés: existe la ventaja comparativa de alguna contraparte de endeudarse en un moneda sobre otra. Dado la siguiente situación

C. A C.B

En u$s 8% 10%

En BP 11.6% 12%

-14.995

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Como puede verse la compañía B es más riesgosa que la A en ambos mercados pero tiene ventajas comparativas para endeudarse en B.P. De este modo, si las empresas se endeudaran en aquella moneda donde tuvieran ventajas comparativas, vale decir la CA en dólares y la CB en BP, la ganancia del swap puede estimarse como el ahorro en dólares ( dos puntos) menos la pérdida relativa en BP ( 40 puntos básicos anuales). Si adicionalmente la CA quisiera endeudarse en BP y la CB en u$s , podría identificarse una ganancia en la ingeniería de un swap del 1.6% anual Haciendo participar un banco podría plantearse el siguiente contrato. CA recibe del Banco el 8% anual en dólares y le paga el 11% en libras. CB recibe del Banco 12% en libras y le paga 9.4% en dólares. Los cash flows se ven modificados de la siguiente forma: CA: termina pagando 11% en BP CB: termina pagando 9.40% en dólares Banco: tiene un descalce entre un flujo de 1.4% anual en dólares y -1% en BP, ambos calculados sobre el nocional de cada moneda. Así, el banco debe hedgear su posición de BP en el mercado de futuros para determinar su ganancia en dólares. Como se concluye en el párrafo anterior, el swap requiere de la explicitación de los montos de ambos nocionales que deben ser computados tanto al principio como al final de la vida del swap. Los mismos son escogidos a los efectos de que la razón entre los mismos sea aproximadamente igual al tipo de cambio de ese momento. Si en el ejemplo citado se considera un tipo de cambio de u$s 1.50 por cada BP puede considerarse un nocional de u$s 15 millones contra un nocional de BP de 10 millones. Cada año la compañía A le paga al Banco u$s 1,20 millones mientras que recibe BP 1.10 millones. Volviendo al caso del Banco realiza una ganancia de u$s 210.000 mientras que tiene una pérdida de BP 100.000. Este riesgo de cambio puede ser eliminado comprando forwards o futuros sobre ese monto durante toda la vida del swap. Valuación por el método de bonos calzados. En ausencia de riesgo de default un swap de monedas puede descomponerse entre dos posiciones de bonos: una comprada en la moneda externa y otra vendida en la moneda doméstica o viceversa dependiendo de las contrapartes. V = S*Bf- Bd Donde S es el tipo de cambio spot entre ambas monedas, Bf es el bono correspondiente a la posición en moneda extranjera y Bd es la posición en el bono correspondiente a la moneda doméstica.

7 Desde ya, la fórmula anterior expresa la valuación en la moneda doméstica. Puede formularse un ejemplo donde la estructura de tasas de interés se supone plana y no existe riesgo de default. Los datos son los siguientes: Tasas: Japón 4% anual y Estados Unidos 9% - ambas con capitalización continuaBanco: recibe 5% anual en yenes y paga 8% en dólares. El settlement por netting es sólo una vez por año, por comodidad se supone al final de cada ejercicio. Nocional: u$s 10 millones y Y 1200 millones. Duración: 3 años más. Tipo de cambio actual Y 110 = 1 dólar. Bd= 0.8 e-.09 + 0.8*e-.09 + 10.8 *e-.09 = $ 9.64 millones Bf= 60 e-.04 + 60*e-.04 + 1260 *e-.04 = Y 1230.55 millones. V= 1230.55 / 110 - 9.64 = u$s 1.55 Este es el valor corriente del swap para la institución financiera, para quien pagara yenes y recibiera dólares ese número sería un quebranto. El resultado obtenido más arriba también puede descomponerse haciendo jugar forwards de tipo de cambio. Valuación por el método de contrados forward. Siguiendo el ejemplo anterior, si la tasa spot es de 110 yenes por dólar en términos de yenes será : 1/110 = 0.00909 yenes por cada dólar. Así, los futuros de yen serán 0.00909 * e 0.05 = 0.0096 0.00909 * e 0.10 = 0.0100 0.00909 * e 0.15 = 0.0106 Vale la pena recordar que el exponente está elevado a la diferencial de tasas de interés. Entonces los flujos del bono en yenes puede transformarse en dólares, luego puede realizarse miembro a miembro la resta para obtener : ( 60 * 0.0096 - 0.8 ) e-.09 = -0.20 ( 60 * 0.0100 - 0.8 ) e-.18 = -0.16 ( 60 * 0.0106 - 0.8 ) e-.27 = -0.13 ( 1200 * 0.0106 - 10 ) e-.09 = 2.04 El valor total es -1.55 que es el resultado obtenido más arriba. En este caso valen las consideraciones realizadas en la sección anterior:

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Al principio del swap su valor es cero, lo que implica que la sumatoria de los contratos de forward es nula. Aún cuando habrá contratos con valor positivo que serán compensados con contratos con valor negativo. En el caso en que existe una diferencia de tasas de interés importe se verificará que la contraparte que paga la tasa de interés más baja enfrentará contratos de forward con valor positivo en el corto plazo mientras que los pagos finales tendrán valor negativo. En términos generales, la contraparte que paga la tasa menor el valor del swap tendrá una tendencia a mostrar un valor negativo a lo largo de su vida. Bibliografía Arditti, Fred “Derivatives” Harvard Business School Press, 1996. Hull, John “Option, Futures and other Derivative Securities”, Prentice Hall, 1993, Second Edition. Chapter 5. Kapner, Kenneth and Marshall, John “ The Swaps Handbook” NYIF 1990. Chapters 1,2.

9 Contratos Financieros y Derivados Profesor Roberto Zorgno Trabajo Práctico 3: Swaps de tasa y monedas. 1- Considere la siguiente situación Compañía A Compañía B

Tasa Fija 12% 13.4%

Flotante Libor +0.5 Libor + 1.0

La compañía A desea endeudarse a tasa flotante mientras que la B requiere tasa fija. Diseñe un swap con la intervención de un banco que mejore el costo de ambas. 2- Considere que la compañía A desea endeudarse en dólares y la B en yenes. Ambas compañías desean el mismo capital dado el tipo de cambio spot. Diseñe un swap en el que actúe un intermediario que gane 40 puntos básicos por año. Identifique el riesgo de cambio del banco. Qué pasa si parte de ese riesgo se transfiere a la contraparte B. Ejemplifique. Compañía A Compañía B

Yen 5.0% 6.50%

Dólar 9.60% 10%

3- Considere un seap de tasas cuyo nocional es de $ 50 millones. Le restan 10 meses hasta la expiración. El contrato establece el intercambio de Libor a 6 meses por tasa de 12% anual capitalizable para 6 meses. Las tasas de cero cupón para el corriente año son todas iguales al 10% anual. La tasa Libor hace dos meses era 9.60%. Calcule el valor del swap para cada una de las partes. 4- A un swap de monedas le restan todavía 15 meses. Los términos del contrato especifican 14% anual sobre GBP 20 millones contra 10% contra u$s 30 millones. La estructura intertemporal de tasas de ambos países es “flat”. En la actualidad las tasas son 8% en U.S. y 11% en U.K., y el tipo de cambio es de 1.65u$s por GBP. Cuál es el valor del swap ?