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• Romina Nieva

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Tinta Fresca

SUMA Y RESTA Fernanda Penas

¿Qué significa enseñar a sumar y a restar? La enseñanza de las operaciones ha sido interpretada .históricamente como una de las grandes tareas de la escuela. Es habitual la preocupación de los docentes por lograr estos aprendizajes en los niños. Tradicionalmente se propone primero enseñar a sumar y, luego, problemas donde se aplica ese conocimiento. Posteriormente se enseña la resta y, por ende, los problemas que se presentan, son... ¡de resta! Algunos alumnos advierten que el tipo de operaciones que resuelven los problemas son las que se están enseñando. Otros en cambio preguntan: "¿Qué cuenta hay que hacer?". En este último caso, si bien manejan los algoritmos, no pueden tomar una decisión sobre cuál realizar frente a ese problema. Orientar la mirada hacia la enseñanza y poner en juego otro tipo de enfoque de trabajo hará modificar estas situaciones compartidas por muchos docentes. Enseñar a sumar y a restar significa mucho más que enseñar las operaciones. Es poner en funcionamiento los diferentes sentidos sobre estos conocimientos. Los niños construirán los sentidos de las operaciones a través del tipo de problemas que se seleccionen, de la interpretación y análisis de diversos procedimientos y de sus escrituras matemáticas.

¿Qué tipo de problemas ayudan a comprender los diferentes sentidos de la suma y de la resta? Sugerimos que el maestro presente una serie de problemas aditivos 1 donde estén involucrados diferentes sentidos de la suma y de la resta. Es decir, proponemos que simultáneamente se trabajen ambas operaciones. En el primer ciclo se trabajará el significado de estos sentidos que se ampliarán en el segundo ciclo. Los que siguen son solo algunos de los tipos de problemas2 posibles de trabajar. a. Problemas donde se busca el estado final Los primeros sentidos que los niños construyen de las operaciones están ligados con el aumento y la disminución de una colección: se trata de agregar o quitar elementos. En general los primeros problemas tienen 1

"Problemas aditivos son todos aquellos cuya solución requiere de adiciones o sustracciones", Vergnaud, Gérard (1991). 2 Broitman. Claudia (1999).

un mismo tipo de estructura y la pregunta del problema refiere al estado final de la situación. • Juan tiene 35puntos en el tiro al blanco. Juega otra vez y obtiene 60 puntos. ¿Cuántos puntos tiene en total? • Ana tenía 25 fíguritas. Perdió 10. ¿Cuántas le quedaron? En el primer problema hay ana medida inicial, 35, que se ve transformada positivamente porque ha ganado puntos. El segundo problema es de estructura similar, pero la transformación es negativa. Ambos problemas buscan cómo ha sido transformada esa medida y preguntan por el estado final. Este tipo de problemas son los más habituales a la hora de trabajar con las operaciones. Son los primeros sentidos que aprenden los niños, aumento para la suma y disminución para la resta. b. Problemas que buscan la transformación • Juan tenía 8 figuritas. Ahora tiene 12. ¿Cuántas ganó durante el recreo? •Juan tenía 12 figuritas. Ahora tiene 8. ¿Cuántas perdió?

En los dos problemas se busca la transformación de estas colecciones de figuritas pero los diferencia el tipo de transformación. En el primer problema es positiva y en el segundo es negativa. Es importante observar que el primer problema es "de ganar" pero se resuelve "restando". Por el tamaño y proximidad de los números involucrados, los niños pueden ir sumando las figuritas que tenían hasta llegar a las que tiene ahora, 8 + ... = 12. De esta forma, no observan que la resta es un procedimiento que resuelve este problema. Por otro lado, en este procedimiento, el resultado queda escrito en el medio de la cuenta, y no después del signo igual. Cuando aparecen estas escrituras es interesante debatirlas en la clase, porque están en relación con el procedimiento que pensaron los niños. Analizar escrituras matemáticas de los niños donde el resultado les quede escrito "al final" y otras donde el resultado les quede "en el medio" amplía el trabajo con los sentidos de la suma y la resta. Durante un tiempo convivirán estas escrituras pero es tarea del docente tratar de modificarlas. Observemos un ejemplo donde, por los números involucrados, el procedimiento de ir aproximando sumas hasta llegar al resultado no resulta eficaz y deberán buscar otro.

•Ana tenía $ 1.350. Cobró una cuenta y ahora tiene $ 1.795 ¿Cuánto cobró? En este caso ir "sumando" requerirá mucho control sobre los números y luego sumarlos para determinar el resultado. La intervención del docente, modificando los números, hará que los alumnos comiencen a pensar en otros procedimientos más económicos para solucionar este problema. c. Problemas de búsqueda del estado inicial con varias operaciones

• María tiene $ 45. Compró una pollera a $59 y un pantalón a $ 70. ¿Con cuánto dinero salió de su casa?

Este es un problema con cierto grado de complejidad para los primeros años de escolaridad, porque hay varias operaciones involucradas. Para averiguar la cantidad inicial hay que sumar lo gastado y luego restárselo a lo que tiene, o sumar lo que gastó y lo que le quedó. En la gestión de la clase el docente puede preguntar si este problema se resuelve con una sola cuenta o más de una, con cuáles y por qué. Aparece, entonces, un significado de suma: permite averiguar el estado inicial cuando la transformación es negativa (gasto de dinero). d. Problemas donde los datos están en relación • Ana le debe a Juan $ 850 y Juan le debe o Ana $ 240 ¿Quién le tiene que dar a quién para que queden saldadas ambas deudas? ¿Cuánto?

Los problemas en los que se comparten deudas mutuas son de mayor complejidad porque los datos están "en relación" y hay una simultaneidad en el tiempo, es decir, ocurren al mismo tiempo. En este caso, para responder a la primera pregunta hay que comparar las deudas, y luego restar 850 - 240 para contestar la segunda pregunta. e. Complemento y diferencia El primer sentido de la resta que los niños aprenden está asociado con la pérdida, disminución de cantidades, retroceso en un juego de pistas, etc. Otro sentido de la resta es el de complemento o diferencia. Analizar problemas con este sentido hará que se amplíe el campo de problemas que la resta puede resolver. En efecto: la resta permite hallar la distancia o diferencia entre dos números o cantidades que no han sufrido transformaciones negativas. Por ejemplo:

• Estoy en el casillero 32, ¿cuántos casilleros me faltan para llegar al 68? *Tengo 55 fichas en una caja y 78 en otra. ¿Cuántas más hay en la segunda caja? •Juan quiere llegar a tener $ 100. ¿Cuánto le falta si tiene 64,50? Al igual que el ejemplo trabajado sobre problemas que buscan la transformación, el tipo de números involucrados hará que los niños pasen de procedimientos de complemento a procedimientos donde se utilice la resta por la economía que proporciona. Estos son algunos de los tipos de problemas posibles, para trabajar los sentidos déla suma y la resta3. En los años superiores se profundizarán estas relaciones a través del trabajo que realice el docente sobre variables didácticas. Es decir, teniendo en cuenta: ■ el tipo de números involucrados (naturales o racionales: fraccionarios o decimales); ■ las magnitudes discretas o continuas que incluyan en los problemas (fichas, figuritas, kilómetros, litros, etc.); ■ la presentación de la información (cuadros de doble entrada, tablas, gráficos, el orden de presentación de la información). Para que los alumnos construyan relaciones entre la suma y la resta, deben resolver diversos problemas. Se procurará en cada problema que los niños busquen y ensayen soluciones, expliquen, defiendan y comparen sus procedimientos con los de otros compañeros y, por último, elaboren y registren sus conclusiones.

¿Cómo pasar del cálculo horizontal a los algoritmos? Una enseñanza centrada desde un inicio, en diferentes procedimientos de cálculo, hará que los niños comprendan cómo funcionan los algoritmos y posean estrategias de control sobre las acciones que realizan con los números. El trabajo sobre el cálculo (mental o escrito) es una vía de ingreso al algoritmo y a la vez una herramienta de control sobre el mismo4. Los algoritmos5 tienen la particularidad de llegar a un resultado exacto siempre y cuando se realicen todos los pasos y reglas necesarios. En cambio, si el niño olvida

alguna de las reglas involucradas, no llega al resultado esperado. Habitualmente algunos niños omiten o no recuerdan estas técnicas operatorias y para realizar 27 + 14 obtienen como resultado un número de ¡tres cifras! 27 + 14 311 Por ello, desde este enfoque didáctico, se privilegia la enseñanza del cálculo horizontal. Así, no solo se comprenderá mejor el funcionamiento de los algoritmos sino que también los cálculos serán una herramienta de control sobre los mismos. Una particularidad de este modo de trabajo es que, cuando calculan, los niños usan de modo implícito las propiedades de las operaciones (conmutan, asocian, realizan descomposiciones) y según los números involucrados toman diferentes decisiones. En definitiva, cada cálculo se transforma en un verdadero problema. Las descomposiciones aditivas (154 como 100 + 50 + 4)6 realizadas sobre el sistema de numeración, serán el punto de partida para comprender los cálculos. Los algoritmos aún están en la escuela y hay que enseñarlos, y dependiendo de la situación y de los números, en ocasiones son más económicos. Por ejemplo, para 273 - 56 =, se realiza un algoritmo, pero para 1 + 1,24-2, 10 + 10, no se debería a cierta altura de la escolaridad, realizarlo. ¿Cómo se comprende el funcionamiento de los algoritmos? Para comprender su funcionamiento hay que comparar procedimientos y reflexionar sobre ellos. Observemos el siguiente ejemplo de una misma cuenta y las preguntas que el docente puede realizar para reflexionar a propósito de los mismos.

3

Por razones de espacio quedan fuera de este análisis: problemas donde se combinan varias operaciones, problemas de composición de dos medidas, problemas donde se componen dos transformaciones, etc. Se sugiere la lectura de Broitman. Claudia (1999). ♦■ Parra. Cecilia (1994). 5 ' Algoritmo: "Serie finita de reglas a aplicar en un orden determinado a un número finito de datos para llegar con certeza en un número finito de etapas a cierto resultado" (Bouvier, A., citado por Parra. Cecilia, 1994). 6

- En el artículo "Sistema de numeración", en este libro se mencionan las descomposiciones aditivas.

Victoria? • ¿Por qué Manuel suma 60 + 15? Otro ejemplo con números más grandes y nuevas estrategias para calcular puede ser el siguiente. Luz 149 + 125=-

Candela 1

100 + 100=200

149 + 125

75 - 1 = 74 200 + 74 = 274

274

:

¿Por qué, ante un problema, los niños preguntan qué operación realizar?¿Cómo intervenir frente a esta situación?

En el primer caso, Luz suma 100 + 100 porque conoce el valor del 1 en cada número, luego decide considerar el 49 como 50-1 (le resulta más fácil sumar 50 que 49), tiene memorizado el resultado de 50 + 25 = 75; a ese número le resta el 1; por último, suma los resultados parciales. También aquí el docente tiene que realizar preguntas en torno a la interpretación de estos dos modos de resolver. Por ejemplo: •¿Por qué Luz hace 50+ 25 y luego le resta 1, si la cuenta no tiene un "50"? • ¿Qué significa el l que Candela escribe arriba del 4? Analicemos algunos procedimientos para restar 35 - 17. Ezequiel 3517 35-15 = 20 20-2 = 18

Se descomponen los números aditivamente y luego se los resta. En este caso se transparenta que 5 - 7 "no se puede", por eso, "pido 10 al 30" que queda en 20. Estamos a un paso de comprender la lógica del algoritmo convencional. La idea es hacer más transparente el funcionamiento del algoritmo. No se piensa en que el segundo ejemplo se instale como nuevo algoritmo en las aulas, sino que el docente conozca esta estrategia para quienes lo necesiten. Las interpretaciones que los niños realicen, como resultado de comparar procedimientos de resolución, ayudarán a comprender el funcionamiento de los algoritmos.

Martín 20

= 18

Sebastián

10

35

.21 _

_ 35 _ 20 + 5 17 10 + 7 10 + 8 =

17 18

El primer procedimiento, en forma de cálculo horizontal, muestra control y conocimiento sobre los números. El alumno resta 15 al 35 porque es más fácil y luego resta 2 controlando los 17 que tiene que restar, es decir, sabe que 17 = 15 + 2. El segundo procedimiento es muy cercano al algoritmo tradicional.

Esta es una pregunta frecuente que realizan los niños en el aula que sugiere que no pueden independizarse de esta ayuda del docente para resolver los problemas que se plantean. La escuela debe asumir la enseñanza de la resolución de problemas otorgando espacio para ello. Un trabajo sostenido hará a los niños más autónomos e independientes para comenzar a analizar lo que cada situación problemática les plantea. Ahora bien, ¿cómo intervenir? ¿Con qué propuestas didácticas? Al inicio de este artículo se planteó que el sentido de una operación se construye a través del tipo de problemas y se analizó un campo de problemas aditivos que incluyen problemas de resta. El sentido de una operación se construye, también, por los problemas que no permite resolver. Son problemas que permiten, de este modo, analizar los datos en cuestión. Así, al enseñar suma, resta, multiplicación y división se pueden proponer problemas que no se resuelvan con dicha operación. Es decir, podemos presentar una serie de problemas que permitan aprender a resolver problemas. Algunos de ellos pueden ser los siguientes. ■ Problemas donde faltan datos Juan tenía autitos. Su mamá le compró 5 más. ¿Cuántos tiene ahora? ■ Problemas con datos de más Luz tiene 7 años. Su mamá le compró 15figuritas. Durante el recreo, ganó 8 más. ¿Cuántas tiene ahora? ■ Problemas con datos contradictorios Lucas tenía 15 bolitas. Dice que en el primer recreo perdió 10 y en el segundo recreo perdió 6. ¿Puede ser?

■ Problemas con muchas soluciones, una única solución o sin solución María tiene billetes de S 20, $ 10, $ 5 y $ 2. ¿Cómo puede hacer para pagar $ 34, $ 7 y $ 3? La tarea del docente resulta de gran importancia. No se trata de que anticipe que los problemas poseen datos de más o datos en contradicción o que subraye antes las palabras claves, sino que sostenga el debate, el diálogo, la discusión buscando en el grupo argumentos que del tipo: »"elproblema de los autitos de carrera no se puede resolver porque no se sabe cuántos autitos tenía antes"; • "en el problema de las figuritas, el número 7 no se usa para resolver el problema"; • "nopuede ser que Lucas perdiera 10 y luego 6 bolitas porque tenía menos"; • "hay muchas maneras de armar $ 34, una sola manera de armar $7 y no se puede armar $3 con estos billetes, nos falta una moneda". También se pueden presentar situaciones que remiten al análisis y tratamiento de la información que puede estar dada en un gráfico, una tabla, un cuadro, una imagen, un texto con mucha información, etc. Por ejemplo: •

Observen la siguiente tabla deposiciones y luego respondan a las preguntas. Equipos

Puntos

River

32

Partidos jugados 15

Goles a favor 32

Boca

25

14

34

Independiente

29

12

29

San Lorenzo

20

15

16

¿Qué equipo va primero? ¿Cuál va segundo? ¿Cuántos goles hizo Independiente? ¿Todos jugaron la misma cantidad de partidos?

• "Un grupo de 5 pescadores fue a pasar el día al río. Cada uno llevó 2 gaseosas y 3 manzanas. Uno de ellos hizo 15 empanadas. En el río había 39 personas que querían pasear en bote. En un bote solo podían viajar 4 personas por vez. Los 5 pescadores tenían que pagar un permiso de pesca de $ 5 por caña." Realicen preguntas que puedan contestarse a partir del texto. Las preguntas no pueden contestarse "mirando el texto", como por ejemplo; ¿cuántos pescadores fueron al río?

Si para el grupo esta última actividad es novedosa, el docente puede iniciar con una pregunta elaborada por él. A partir de la frecuencia de presentación de este tipo de actividades, los niños van perfeccionando sus preguntas. Algunas preguntas que pueden surgir de este texto pueden ser: • ¿Cuántas gaseosas llevaron entre todos? ¿Y manzanas? • ¿Cuántas empanadas comieron los cinco pescadores si las repartieron en forma equitativa? • ¿Cuántos botes necesitaron para que las 39 personas crucen el río? • ¿Cuánto dinero pagaron en total por el permiso de pesca? La resolución de problemas variados, con estructuras diferentes, permitirá que los niños busquen y desplieguen procedimientos de resolución cada vez con mayor autonomía.

¿Tiene sentido proponer cuentas sueltas? Cuando los docentes hacen esta pregunta, generalmente piensan en la ejercitación de técnicas algorítmicas de suma y resta, sin un problema o una situación que las sustente. Este enfoque didáctico, fundamentado en la resolución de problemas, no deja de lado el dominio de algunos conocimientos. Es por ello que los cálculos en forma algorítmica o en forma de cálculo horizontal se pueden ofrecer teniendo diferentes propósitos para el docente. Por ejemplo pueden ofrecerse para que los alumnos: ■ tomen conciencia del repertorio del que disponen; ■ incorporen un nuevo repertorio; ■ extiendan algunas relaciones que ya dominan para ciertos números a otros campos numéricos o a otros rangos numéricos; ■ discutan cómo, a partir de un cálculo conocido, se pueden obtener otros; ■ analicen qué cálculos saben y sistematicen este análisis en sus cuadernos; ■ tomen conciencia de lo que aún no saben y tienen que aprender. Así, las cuentas se pueden transformar en verdaderos problemas por el análisis posterior que el docente puede realizar. La discusión colectiva favorece el debate acerca de las estrategias utilizadas y cuáles son las más convenientes. Cuando se resuelve un algoritmo no hace falta utilizar en todo momento los conocimientos acerca del sistema de numeración (Wolman, 1999). En ellos, se suman o restan primero las unidades y luego las decenas y centenas y esto puede realizarse sin pensar en lo que las cifras involucradas representan. Muchos alumnos, para 25 + 17, hacen 5 + 7 y luego 2 + 1 como números

aislados sin tener en cuenta el valor que la posición les otorga. En el artículo "Sistema de numeración" 7 nos referimos a un ambiente alfabetizador. Una estrategia posible para sistematizar el domino de ciertos cálculos son los carteles con cálculos fáciles, sumas de números de una cifra, de dos cifras, etc. Sirven para sistematizar el dominio de ciertos cálculos. Sumas y restas con 1

Restas que den l0

Sumas de 10 a un número de dos cifras

90 - 80 = 10 40 - 30 = 10 38 - 28 = 10 ………………

Sumas con . números de dos cifras repetidas 20 + 20 = 40 30 + 30 = 60 50 + 50 = 100 ……………..

10 + 1=11 26 + 1=27 38 - 1 = 37 49-1=48

……………..

……………..

10 + 78 = 88

10 + 27 = 37 10 + 35 = 45 10 + 65 - 75

En instancias posteriores a la resolución algunas conclusiones que pueden sistematizarse en el cuaderno pueden ser: ■ sumar y restar 1 a un número es fácil porque es el número posterior o anterior; ■cuando se suma 10 a un número de 2 cifras cambian los dieces; ■cuando se suma 100 a un número de 3 cifras cambia la centena. Para los algoritmos también se pueden poner en juego algunas estrategias. Por ejemplo: Juan hace muchas cuentas en su negocio. Él empieza a resolverías por las unidades, pero a veces cambia el orden en que suma estos números, ¿Cómo lo harías vos para resolver esta cuenta? Explica porqué- elegiste este camino. 87 + 4 35 25 Por lo analizado hasta aquí, consideramos-que el trabajo en tomo a los cálculos puede transformarse en la clase en un verdadero problema para los niños. Nuevamente, es tarea del docente provocar un análisis, promover la interpretación de procedimientos y reflexionar en relación con los mismos. 7

Artículo 7, página 39 de este libro.