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CAPÍTULO 9 SISTEMAS DE ECUACIONES Y DESIGUALDADES

40 P0, 4,

encuentre el año en el que la cantidad de CO2 en la atmósfera se habrá duplicado.

Q1, 4,

R3, 0

38 P5, 5,

Q2, 4,

R2, 4

R1, 10,

S(2, 2)

41 Si f(x)  ax3  bx2  cx  d, encuentre a, b, c y d si la gráfica de f pasa por (1, 2), (0.5, 2), (1, 3) y (2, 4.5).

Ejer. 37-38: Encuentre la ecuación de la circunferencia de la forma x2 + y2 + ax + by + c  0 que pase por los puntos dados. 37 P2, 1,

Q1, 2,

42 Si f(x)  ax4  bx3  cx2  dx  e, encuentre a, b, c, d y e si la gráfica de f pasa por (2, 1.5), (1, 2), (1, 3) (2, 3.5) y (3, 4.8).

Ejer. 39-40: Encuentre la ecuación del polinomio cúbico f(x)  ax3 + bx2 + cx + d que pase por los puntos dados. 39 P0, 6,

Q1, 11,

R1, 5, S(2, 14)

9.6 El álgebra de matrices

Definición de igualdad y suma de matrices

Las matrices se introdujeron en la sección 9.5 como ayuda para hallar soluciones de sistemas de ecuaciones. En esta sección explicamos algunas de las propiedades de matrices, que son importantes en campos avanzados de matemáticas y en aplicaciones. En la siguiente definición, el símbolo (aij) denota una matriz A m  n del tipo que se ve en la definición de la página 674. Usamos notaciones semejantes para las matrices B y C.

Sean A  (aij), B  (bij), y C  (cij) matrices de m  n. (1) A  B si y sólo si aij  bij para toda i y j. (2) C  A  B si y sólo si cij  aij  bij para toda i y j.

Observe que dos matrices son iguales si y sólo si tienen el mismo tamaño y sus elementos correspondientes son iguales. ILUSTRACIÓN

Igualdad de matrices



1 28 3

 

0 5 12  2 3 2 2

0 9



225

2

Usando la notación de paréntesis para matrices, podemos escribir la definición de suma de dos matrices m  n como aij  bij  aij  bij.

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9.6 El álgebra de matrices

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Entonces, para sumar dos matrices, sumamos los elementos en posiciones correspondientes en cada matriz. Dos matrices se pueden sumar sólo si tienen el mismo tamaño.

  

ILUSTRACIÓN

4 0 6

5 3 4  7 1 2

2 4

3 2  1 4

2 43 4  07 1 6  2

           1 0

 

Adición de matrices

3 5

3 0  1 0

2 0  4 0

0 0

5  2 7 4  4  7 11 8

0 0

0 1  0 0

3 0 2



2 4

3 5

La matriz cero m  n, denotada por O, es la matriz con m renglones y n columnas en la que todo elemento es 0. ILUSTRACIÓN

 

Matrices cero

  0 0

0 0 0

0 0



0 0 0

0 0

0 0

0 0



0 0

La inversa aditiva –A de la matriz A  (aij) es la matriz (aij) obtenida al cambiar el signo de cada elemento de A diferente de cero. ILUSTRACIÓN

Inversa aditiva





2 1

3 0

 

4 2  5 1

3 0



4 5

La demostración del siguiente teorema se deduce de la definición de adición de matrices. Teorema sobre propiedades de matrices

Si A, B y C son matrices m  n y si O es la matriz cero m  n, entonces (1) A  B  B  A (2) A  B  C  A  B  C (3) A  O  A (4) A  A  O

La sustracción de dos matrices m  n está definida por A  B  A  B.

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CAPÍTULO 9 SISTEMAS DE ECUACIONES Y DESIGUALDADES

Usando la notación de paréntesis, tenemos aij  bij  aij  bij  aij  bij. Entonces, para restar dos matrices, restamos los elementos en posiciones correspondientes. ILUSTRACIÓN

Sustracción de matrices

   4 0 6

Definición del producto de un número real y una matriz

5 3 4  7 1 2

2 43 4  07 1 6  2

 

5  2 1 4  4  7 11 4

7 8 0

El producto de un número real c y una matriz A m  n  (aij) es cA  caij.

Nótese que para hallar cA multiplicamos cada elemento de A por c. ILUSTRACIÓN

Producto de un número real y una matriz

3

   4 2

1 34  3 32

 

3  1 12  33 6



3 9

Podemos demostrar lo siguiente.

Teorema sobre propiedades de matrices

Si A y B son matrices m  n y si c y d son números reales, entonces (1) cA  B  cA  cB (2) c  dA  cA  dA (3) cdA  cdA

La siguiente definición, del producto AB de dos matrices, puede parecer poco común pero tiene numerosos usos en matemáticas y aplicaciones. Para la multiplicación, a diferencia de la adición, A y B pueden tener tamaños diferentes pero el número de columnas de A debe ser igual que el número de renglones de B. Entonces, si A es m  n, entonces B debe ser n  p para alguna p. Como veremos, el tamaño de AB es entonces m  p. Si C  AB, entonces un método de hallar el elemento cij en el renglón i y columna j de C está dado en las siguientes directrices.

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9.6 El álgebra de matrices

Directrices para hallar cij en el producto C  AB si A es m  n y B es n  p

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1 Destacar el i-ésimo renglón, Ri, de A y la j-ésima columna, Cj, de B:

⎡ a11 a12 . . . a1n ⎤ . . ⎥ ⎢ . . . ⎥ ⎢ .. . . ⎥ ⎢ ⎢ ai1 ai2 . . . ain ⎥ ⎢ . . . ⎥ . . ⎥ ⎢ . . . ⎥ ⎢ . ⎣ am1 am2 . . . amn ⎦

⎡ b11 . . . b1j . . . b1p ⎤ ⎢ b21 . . . b 2j . . . b2p ⎥ ⎢ . . . ⎥ . . ⎥ ⎢ .. . . ⎥ ⎢ ⎣ bn1 . . . bnj . . . bnp ⎦

2 Simultáneamente muévase a la derecha a lo largo de Ri y abajo hasta Cj,

multiplicando pares de elementos, para obtener ai1b1j, ai2b2j, ai3b3j, . . ., ainbnj. 3 Sumar los productos de los pares de la directriz 2 para obtener cij:

cij  ai1b1j  ai2b2j  ai3b3j      ainbnj

Usando las directrices, vemos que el elemento c11 de la primera fila y la primera columna de C  AB es c11  a11b11  a12b21  a13b31      a1nbn1. El elemento cmp de la primera fila y la última columna de C  AB es cmp  am1b1p  am2b2p  am3b3p      amnbnp. La exposición precedente está resumida en la siguiente definición.

Definición del producto de dos matrices

Sea A  (aij) una matriz m  n y sea B  (bij) una matriz n  p. El producto AB es la matriz C  (cij) de m  p tal que cij  ai1b1j  ai2b2j  ai3b3j      ainbnj para i  1, 2, 3, . . ., m y j  1, 2, 3, . . ., p.

El siguiente diagrama puede ayudar a recordar la relación entre tamaños de matrices al trabajar con un producto AB. tamaño de A

tamaño de B

mn

np igual

el tamaño de AB es m  p

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CAPÍTULO 9 SISTEMAS DE ECUACIONES Y DESIGUALDADES

La siguiente ilustración contiene algunos casos especiales. ILUSTRACIÓN

Tamaños de matrices en productos Tamaño de A

Tamaño de B

Tamaño de AB

23

35

25

42

23

43

31

13

33

13

31

11

53

35

55

53

53

AB no está definida

En el siguiente ejemplo encontramos el producto de dos matrices específicas. EJEMPLO 1

Hallar el producto de dos matrices

Encuentre el producto AB si



1 A 4

2 0



3 2

y



5 B  1 7

4 6 0

2 3 5



0 1 . 8

La matriz A es de 2  3 y la matriz B es de 3  4. Por tanto, el producto C  AB está definido y es de 2  4. A continuación usamos las directrices para hallar los elementos c11, c12, . . . , c24 del producto. Por ejemplo, para hallar el elemento c23 destacamos el segundo renglón, R2, de A y la tercera columna, C3, de B, como se ilustra a continuación y luego usamos las directrices 2 y 3 para obtener SOLUCIÓN

c23  4  2  0  3  2  5  2.



1 4

2 0

3 2



5 1 7

4 6 0

2 3 5



0 1  8

2



Del mismo modo, para hallar el elemento c12 el renglón 1 y la columna 2 del producto, procedemos como sigue: c12  1  4  2  6  3  0  8



1 4

2 0

3 2



5 1 7

4 6 0

2 3 5



0 1  8

8 2



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9.6 El álgebra de matrices

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Los elementos restantes del producto se calculan como sigue, donde hemos indicado el renglón de A y la columna de B que se usan cuando se aplica la directriz 1. Renglón de A Columna de B

Elemento de C

R1

C1

c11  1  5

 2  1  3  7  18

R1

C3

c13  1  2

23

 3  5  7

R1

C4

c14  1  0

21

 3  8  22

R2

C1

c21  4  5

 0  1  2  7  6

R2

C2

c22  4  4  0  6

 2  0  16

R2

C4

c24  4  0

 2  8  16

Por lo tanto, AB  

 

1 4

2 0

18 6

01



3 2

5 1 7

4 6 0

8 16

7 2

22 . 16

2 3 5





0 1 8

L

Multiplicar matrices en calculadora graficadora es muy sencillo. Comprobemos los resultados del ejemplo 1. Introduzca las matrices A (2  3) y B (3  4):



1 A 4

2 0



3 2

y



4 6 0

5 B  1 7



2 3 5

0 1 8

Ahora introduzca la operación en la pantalla inicial. TI-83/4 Plus

TI-86

2nd

MATRX

1



2nd

MATRX

2

ENTER

ALPHA

A

Para ver los elementos de la cuarta columna, presione la tecla





ALPHA

.

B

ENTER

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CAPÍTULO 9 SISTEMAS DE ECUACIONES Y DESIGUALDADES

Una matriz es una matriz renglón si tiene sólo un renglón. Una matriz columna tiene sólo una columna. La siguiente ilustración contiene algunos productos que contienen matrices de renglón y columna. El estudiante debe comprobar cada entrada de los productos. Productos que contienen matrices renglón y columna

     

ILUSTRACIÓN

2 4 0 1 5 3 2 1 3



8 2  1 1 7

5 

2 3

3



 

1

2

 

10 15

1 5

2 0 5

4 1  4 3

19

2  13 3

La operación de producto para matrices no es conmutativa. Por ejemplo, si A es 2  3 y B es 3  4, entonces AB se puede hallar porque el número de columnas de A es igual que el número de renglones de B. No obstante, BA no está definida porque el número de columnas de B es diferente del número de renglones de A. Incluso si AB y BA sean definidas, a menudo son estos productos diferentes. Esto se ilustra en el siguiente ejemplo, junto con el hecho de que el producto de dos matrices diferentes de cero puede ser igual a una matriz cero. EJEMPLO 2

Si A 



2 1

La multiplicación de matrices no es conmutativa



 

2 1 yB 1 1

2 , demuestre que AB  BA. 2

SOLUCIÓN Usando la definición del producto de dos matrices, obtenemos lo siguiente:

AB 



        

2 1

BA 

1 1

2 1

2 2

1 1

2 4  2 2

8 4

2 1

2 0  1 0

0 0

Por tanto, AB  BA. Nótese que la última igualdad muestra que el producto de dos matrices diferentes de cero puede ser igual a una matriz cero.

L

Aun cuando la multiplicación de matrices no es conmutativa, es asociativa. Por tanto, si A es m  n, B es n  p y C es p  q, entonces A(BC)  (AB)C. Las propiedades distributivas también se cumplen si las matrices de que se trata tienen el número apropiado de renglones y columnas. Si A1 y A2 son matrices m  n y si B1 y B2 son matrices n  p, entonces A1B1  B2  A1B1  A1B2 A1  A2B1  A1B1  A2B1.

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9.6 El álgebra de matrices

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Como caso especial, si todas las matrices son cuadradas, de orden n, entonces se cumplen la propiedad asociativa y la distributiva. Concluimos esta sección con una aplicación del producto de dos matrices. EJEMPLO 3

Una aplicación de un producto de matrices

(a) Tres inversionistas, I1, I2 e I3, poseen cada uno de ellos cierto número de participaciones de cuatro acciones, S1, S2, S3 y S4, de acuerdo con la matriz A. La matriz B contiene el valor presente V de cada participación de cada acción. Encuentre AB e interprete el significado de sus elementos. número de participaciones de acción

valor de participación



50 100 100

I1

inversionistas I2 I3

S2

100 150 50

S3

S4

V





S1 25 S 30  A, acciones 2 S3 100

30 10 40

 ⎧ ⎨ ⎩

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ S1

S4

20.37 16.21 B 90.80 42.75

(b) La matriz C contiene el cambio en el valor de cada acción durante la última semana. Encuentre AC e interprete el significado de sus elementos.



S1 S2 acciones S3 S4

 

1.03 0.22 C 1.35 0.15

SOLUCIÓN

(a) Como A es una matriz 3  4 y B es una matriz 4  1, el producto AB es una matriz 3  1:



50 AB  100 100

100 150 50

30 10 40

   

25 30 100

20.37 6432.25 16.21  6659.00 90.80 10,754.50 42.75

El primer elemento del producto AB, 6432.25, se obtuvo del cálculo 50(20.37)  100(16.21)  30(90.80)  25(42.75) y representa el valor total que el inversionista I1 tiene en las cuatro acciones. Del mismo modo, los elementos segundo y tercero representan el valor total para los inversionistas I2 e I3, respectivamente. (continúa)

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CAPÍTULO 9 SISTEMAS DE ECUACIONES Y DESIGUALDADES

(b)



50 AC  100 100

100 150 50

   

30 10 40

1.03 7.25 0.22  61.00 1.35 53.00 0.15

25 30 100

El primer elemento del producto AC, 7.25, indica que el valor total que el inversionista I1 tiene en las cuatro acciones bajó $7.25 en la última semana. Los elementos segundo y tercero indican que el valor total que los inversionistas I2 e I3 tienen en las cuatro acciones subió $61.00 y $53.00, respectivamente.

L

9.6

Ejercicios

Ejer. 1-8: Encuentre, si es posible, A  B, A  B, 2A, y 3B. 1 A 2 A

    5 1

B

0 , 2

B

1 0 , 4

3 B  1 6

3 1

 

6 2 3 A 3



5 A  4 6 A

7 A

3

 



3 0 3

8 A  2



2 1 2

1,

1 2

4 1

3 1



8 B 0 B  7

2,

7 , 16

4 3

 

2 7 , 4 3

0 4 A 5

   

2 , 3

B

1 5 0



4 1

0 4

0

 

5

11 9

  

2 4 , 1

B

4 2 1

0 1 3

B  3 1

5

Ejer. 9-10: Encuentre el elemento dado del producto matricial C  AB en el ejercicio citado. 9 c 21; Ejercicio 15

10 c 23; Ejercicio 16

Ejer. 11-22: Encuentre, si posible, AB y BA. 11 A 

 

2 6 , 3 4

B

  5 1

2 7

12 A 





B

2 , 1

4 2

   

  2 4

1 2

     

3 13 A  0 5

0 4 3

1 2 , 1

1 B 4 0

5 1 1

5 14 A  0 0

0 3 0

0 0 , 2

3 B 0 0

0 4 0





0 2 3

0 0 2

4 15 A  5

3 2

1 , 2

2 B 0 4

1 1 7

2 16 A  3 2

1 2 1

1 0 0 5 , 4 2

5 1 B 1 0

3 2 0 2

            

1 17 A  4 7

2 5 8

3 6 , 9

1 B 0 0

0 1 0

0 0 1

1 18 A  2 3

2 3 1

3 1 , 2

2 B 0 0

0 2 0

0 0 2

19 A  3

20 A  4

7

8,

2,

B

B

1 4 5

  3 2

1 0 4 3

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9.6 El álgebra de matrices



2 21 A  1 22 A  3

1

 



0 2

1 1 2

1 B 3 0

1 , 0

 

  

34 ABC  ABC

2 5

B

4,

33 AB  C  AB  AC

2 0 1

Ejer. 35-38: Sean



3 3 7 A 2 6 2 4 2 5

Ejer. 23-26: Encuentre AB. 23 A 

2 3 , 5

4 0 7



26 A 



1 4

1 0

B  5



3 , 4

0 2

Ejer. 27-30: Sea A

 

1 2 , 0 3

B

1

 

4 1 B 0 3

2 1 0 1

0 2 5 0

1 B  2 0

1 3 4

0 1 0

 

2 1 , 3 1

C

  3 2

1 . 0

28 A  BA  B  A  2AB  B 2

37 A  5B

38 A  A2  B  B2



Tamaño de la toalla

Colores Blanca Canela Beige Rosado Amarillo

Pequeña

400

400

300

250

100

Mediana

550

450

500

200

100

Grande

500

500

600

300

200

(a) Organice estos datos en una matriz A de inventario y una matriz B de precios para que el producto C  AB quede definido.

(c) Interprete el significado del elemento c51 en C.

2

40 Costos de construcción Un contratista de viviendas tiene pedidos para 4 unidades de 4 dormitorios, 10 unidades de dos dormitorios y 6 unidades de tres dormitorios. Los costos de mano de obra y materiales (en miles de dólares) están dados en la tabla siguiente.

29 AB  C  AB  AC 30 ABC  ABC Ejer. 31-34: Verifique la identidad para

 

36 3A  BA

(b) Encuentre C.

27 A  BA  B  A2  B 2, donde A2  AA y B2  BB.

b , d

35 A2  B2

39 Valor de inventario Una tienda tiene en existencia estos tamaños de toallas, disponibles en cinco colores: pequeña, a un precio de $8.99 cada una; mediana, a un precio de $10.99 cada una; y grande, a un precio de $12.99 cada una. El inventario actual de la tienda es como sigue:

2 0 3

Verifique el enunciado.

a A c



9 5 8 3 7 1 . 1 2 6

B

Evalúe la expresión matricial.





3 , 6

2 5

3 4

2

4 24 A  3 , 2 2 25 A  7



B

  y

 

p B r

q , s

C

  w y

x , z

Mano de obra Materiales

1 Dorm

2 Dorm

3 Dorm

70 90

95 105

117 223

y números reales m y n. 31 mA  B  mA  mB 32 m  nA  mA  nA

(a) Organice estos datos en una matriz A de pedidos y una matriz B de costos para que el producto C  AB quede definido. (b) Encuentre C. (c) Interprete el significado de cada elemento en C.