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INSTITUCIÓN EDUCATIVA SANTO DOMINGO SAVIO Reconocimiento oficial de estudios según resolución N° 04001 de septiembre 20 de 2012 Código DANE 17355000601 Registro Educativo 125168 - NIT 809.005.101-3 PLANADAS - TOLIMA

SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS La suma o la resta de dos o más polinomios pueden realizarse sumando o restando sus términos semejantes. Estas operaciones pueden hacerse en vertical y en horizontal o en fila. • En vertical: se ordenan los polinomios en orden decreciente y se disponen uno sobre el otro, de forma que en la misma columna se encuentren los términos semejantes: Suma: Ejemplo: Sean los polinomios:

P  x   –5 x 4  7 x 2  3x – 15 Q  x   5x  9 x – 6 x – 7 3

2

Realizar P  x   Q  x   Se ordenan verticalmente y en orden decreciente.

P  x   –5x 4  0 x3  7 x 2  3x – 15 Q  x 

0 x 4  5x3  9 x 2 – 6 x – 7 –5x 4  5x3 16 x 2 – 3x – 22 /Rta

Resta: Realizar P  x   Q  x   Hay que tener en cuenta que el signo negativo afecta todo el polinomio, por tanto hay que multiplicar el signo.

Q  x   5x3  9 x 2 – 6 x – 7

Q  x     5 x3  9 x 2 – 6 x – 7  Q  x    5 x3  9 x 2  6 x  7

Al ordenar verticalmente y en orden decreciente queda.

P  x   –5x 4  0 x3  7 x 2  3x – 15 Q  x   0 x 4  5 x3  9 x 2  6 x  7 –5 x 4  5 x3  2 x 2 + 9 x – 8 /Rta • En horizontal o en fila: se ordenan los polinomios, escritos entre paréntesis, en orden decreciente, uno a continuación del otro y separados por el símbolo de la

operación; a continuación se suman o se restan los términos semejantes: Suma: Ejemplo: Sean los polinomios:

R  a   –5a 4  7a 2  3a – 14 T  a   5a3  9a 2 – 6a  7 Realizar R  a   T  a  

  –5a 4  7a 2  3a – 14  +  5a 3  9a 2 – 6a  7   –5a 4  7a 2  3a – 14  5a 3  9a 2 – 6a  7  5a 4  5a3  16a 2  3a  7

/Rta

Resta: Realizar R  a   T  a  

  –5a 4  7a 2  3a – 14    5a 3  9a 2 – 6a  7   –5a 4  7a 2  3a – 14  5a3  9a 2  6a  7  5a 4  5a3  2a 2  9a  21 /Rta Ejercicios: 1. Dados los siguientes polinomios:

P  x   – 7 x4  6 x2  6 x  5

Q  x   – 2 x 2  2  3x5 R  x   x3 – x5  3x 2 Calcular:

a) P  x   Q  x 

d) P  x  – Q  x  – R  x 

b) P  x  – Q  x 

e) R  x   P  x  – Q  x 

c) P  x   Q  x   R  x 

f )P  x  – R  x   Q  x 

2. Realiza las siguientes operaciones.

a)8x2 – 2 x  1 – 3x2  5 x – 8  b) 2 x3 – 3x2  5 x – 1 –  x2  1 – 3x   c) 7 x4 – 5x5  4 x2 – 7    x3 – 3x2 – 5  x  –  –3x4  5 – 8 x  2 x3   d)  –5z  2 y  –  2 z – 5 y – 7 x –1   –3z – 4 y – 9 x  –  –4 y  8 x – 5  e)  xy 2 – 3x2 – y 2  x2 y  –  x2 y  5x 2    3xy 2 – y 2 – 5x2  

INSTITUCIÓN EDUCATIVA SANTO DOMINGO SAVIO Reconocimiento oficial de estudios según resolución N° 04001 de septiembre 20 de 2012 Código DANE 17355000601 Registro Educativo 125168 - NIT 809.005.101-3 PLANADAS - TOLIMA

Multiplicación y división de polinomios. Para multiplicar o dividir se debe tener en cuenta la ley de los signos y las propiedades de los exponentes. Multiplicación: para multiplicar dos o más polinomios es importante seguir el orden de la multiplicación:  El producto de dos o más polinomios es otro polinomio que tiene por grado final la suma de los grados de cada uno de los términos del polinomio.  Orden de multiplicación: Es conveniente, aunque no necesario, ordenar (en sentido decreciente) los términos del polinomio. •Se puede multiplicar en cualquier sentido, de derecha a izquierda o de izquierda a derecha, pero siempre es más conveniente multiplicar el de menos términos por el de más términos. •La multiplicación se va haciendo por partes, el primer término de uno de los factores por todos los términos del otro, sumar luego el producto del segundo de los términos multiplicado por todos los términos del segundo, y así sucesivamente hasta agotar todos los términos del primer factor. •Por último se reducen todos los términos semejantes y se ordena el polinomio resultante. Ejemplo: Sean los polinomios

P( x)  x 2  4

realizar

P ( x) Q ( x)

Q( x)  x 3  2 x 2  1 Solución

P ( x) Q ( x)   x 2  4   x 3  2 x 2  1

  x 2   x3    x 2   2 x 2    x 2   1   4   x3    4   2 x 2    4   1

  x 23    2 x 2 2     x 2    4 x3    8 x 2    4   x5  2 x 4  x 2  4 x3  8 x 2  4  x5  2 x 4  4 x3  9 x 2  4

/Rta

División: en la división de polinomios vamos a distinguir dos casos: la división de un polinomio entre un monomio y la división de un polinomio entre otro polinomio. División de un polinomio entre un monomio.

Para dividir un polinomio entre un monomio se divide cada término del polinomio entre el monomio y se aplican las propiedades de los exponentes a cada termino ejemplo. Ejemplo:

dividir 4a 4b3  2a 3b 4  8a 2b5  4a 2b6 entre

 4a 2b 2

Indicamos la operación como un cociente y hacemos la partición de cada sumando del numerador dividido entre el denominador.

2a 3b 4  8a 2b5  4a 2b6  4a 2b 2 2a 4b 3 8a 2b5 4a 2 b 6    4a 2b 2 4a 2b 2 4a 2b 2  2 a 4 b3   8 a 2 b5   4 a 2 b 6     2 2   2 2   2 2   4 a b   4 a b   4 a b   1     a 42 b32    2 a 22 b52    1 a 22 b62   2  1   a 2b1  2a 0b3  1a 0b 4 2 1   a 2b  2b3  b 4 2 a 2b   2b3  b 4 /Rta 2 División de un polinomio entre otro polinomio: para dividir un polinomio entre otro polinomio se deben tener en cuenta los siguientes pasos:  Ordenar los polinomios en forma descendente.  Dividir el primer término del dividendo entre el primer término del divisor.  El producto del divisor por el término hallado en el paso anterior, se resta del dividendo.  Se baja el siguiente término del dividendo y se divide el primer término del dividendo parcial entre el primer término del divisor.  El proceso termina cuando el residuo es cero o tiene menor grado que el divisor. Ejemplo:

dividir 2 x3  3x 2  5 x  5 entre x 2  x

INSTITUCIÓN EDUCATIVA SANTO DOMINGO SAVIO Reconocimiento oficial de estudios según resolución N° 04001 de septiembre 20 de 2012 Código DANE 17355000601 Registro Educativo 125168 - NIT 809.005.101-3 PLANADAS - TOLIMA

2 x3  3x 2  5 x  5 2x 3  2 x 2

x2  x





0x 3  5 x 2  5 x



5x  5 x



2

0x

2

2x  5  Cociente

Ejercicios: resolver las siguientes divisiones de polinomios.

a) 12 x 6  9 x 5  6 x 4   3x 3 =

b) 15a 3  27a 2  12a  3a 5   3a 

 0x  5  Residuo de la división.

Cociente= 2x  5

c)  8m5  14m 4  5 x3    2m 2  5m  3 = d )  4r 2  19r  4r 3    3  2r  = e)  5 x 5  3 x 7  4 x 4  5 x 3   2 x 2 

Residuo= 5

f )  6 y 5  9 y 3  12 y 2   3 y 2 

Finalmente se comprueba la división:

Dividendo  divisor cociente  residuo





Dividendo   x  x 2



 2 x  5    5     

  x 2   2 x    x 2   5    x   2 x    x   5    5

g )  t 6  3t  t 3  3   t 2  3t   h)  2 x 5  3   2 x 2  4   Realiza las siguientes operaciones:

1) x5  2 x3  3 x 2  7

x 1

 2 x3  5 x 2  2 x 2  5 x  5  2 x3  3x 2  5 x  5

/Rta

Ejercicios: Resuelve los siguientes productos algebraicos:

1) 2) 3) 4)

x

 5 x   3 x  5  

2

 2 x  5  2 x 2  5 x   7 x3   5 xy  6   5 x 2 y 5  6 xy  

2) 3 

5 3 5 3 2 6   a  9ab   b – 4a b   4  2 

5)

 3x

6)

9 2 7 2 6 2 6 2 4 2 5 2  a b c  ad   ab c  a d    5 5 3 3  2

4

y 3v 2  4ab3   3x 2 y 3v 4  4a 5b  6 x 4  

Dados los siguientes polinomios.

P  x   – 7 x4  6x2 + 6x  5

3 2 Q  x   – x 2  x 3  3x5 5 3 3 5 R  x   x  x  3x 2 Encontrar:

a) P( x) Q( x)  b) P ( x ) R ( x ) 

c)Q( x) R( x)  d ) P ( x) Q( x) R ( x) 

1 3 1 1 x  x3  x 2   4 x5 4 2 4 2

3) m 2  3m 4  3  m

4)

9 5 45 3 3 2 a  a  a 4 8 2

x

m3

a

2 3

1 2