• Author / Uploaded
• Kelly Jauregui

Citation preview

Taller Tres

Aplicaciones de la Integral 1. Calcular el ´area de las regiones seg´ un la gr´ afica

2. Calcule el ´area de la regi´ on S limitada por y = A(S) = ln(10)

2|x| , el eje x y las rectas x = −2 y x = 1 R: 1 + x2

3. Calcule el ´area de la regi´ on limitada por la par´ abola y = x2 + 4x, el eje x y las rectas x = −2 y x = 2. R: A = 16 4. Halle el ´area de la regi´ on R limitada por las gr´ aficas de y = x2 , y = x3 , x = −1 , x = 2. R: 25 A(R) = 12 5. Halle el a´rea de on R limitada por las gr´ aficas de y = 4 − x2 , y = ln(2x − 3) , y = 1. R: √ la regi´ e 13 A(R) = 2 + 2 3 − 3 Fig.1 6. * Halle el ´area de la regi´ on R limitada por las gr´ aficas de y = |x3 − 4x2 + x + 6|, 3y + x2 = 0, x = 0, x = 4, (Fig.1) R: A(R) = 341 18

7. Halle el ´area de la regi´ on R que se encuentra en el primer cuadrante y est´ a limitada por las curvas xy = 1 , xy = 3 , x − xy = 1 , x − xy = 3. (ver Fig 2.) R: A(R) = ln 729 256 8. Halle el ´area de la regi´ on R, ubicada en el primer a limitada por las gr´ aficas √ cuadrante y que est´ de y = x2 , x2 = 4y, x + y = 6. R: A(R) = 31 (28 7 − 62)

9. * La regi´ on R, limitada por la curva y = 10x − 5x2 y el eje x, es dividida en dos partes √ iguales por una recta que pasa por el origen. Halle la ecuaci´ on de dicha recta. R: y = (10 − 5 3 4)x

Fig.2

10. Determine m de manera que la regi´ on que est´ a por encima de y = mx y debajo de la par´ abola y = 2x − x2 tenga ´area igual a 36. R: m = −4 11. Una par´ abola de eje vertical corta a la curva y = x3 + 2 en los puntos (−1, 1) y (1, 3). Si se sabe que las curvas mencionadas encierran una regi´ on de ´ area 2, halle la ecuaci´ on de la par´ abola. R: 2y = 3x2 +2x+1 ´o 2y = 7+2x−3x2

1

Banco de ejercicios de C´ alculo Integral. H. Fabi´ an Ram´ ırez

Universidad Nacional de Colombia

12. Calcule el ´area la regi´ on R limitada por las curvas dadas. y + x = 0,

y=

ˆ

x

f (t)dt,

0

  3t2 donde f (t) =  −2t − 1,

√ 23 14 − 58 R: 3 t≥2

t 0, ∀ x > 1. Para todo a > 1, el volumen del s´ olido generado por la rotaci´on de la regi´ on limitada por las gr´ aficas de y = f (x), x = 1, x = a y el eje x, alrededor del eje x es: 3 1 √ 2 V = a3 + 2a2 − 73 . Determine f (x). R : f (x) = √ x + 4x. π ˆ x −4t 12. Calcule el volumen de la regi´ on infinta R comprendida entre la curva y = dt, (x ∈ R) y su as´ıntota y el 2 3 0 (t + 1) 2 eje de rotaci´on es su as´ıntota. V = 3π 16 13. Cada una de las integrales representa el volumen de un s´ olido de revoluci´on. Identificar a) la regi´ on plana que se gira y b) el eje de revoluci´ on. a) 2π

ˆ

2

ˆ

1

x3 dx

c) 2π

0

6

ˆ

1

(y + 2)

0

0

b) 2π

ˆ

y − y 3/2 dy

d ) 2π

0

3

p

6 − ydy

(4 − x)ex dx

Banco de ejercicios de C´ alculo Integral. H. Fabi´ an Ram´ ırez

e) π

ˆ

5

g) 2π

(x − 1)dx

1

f ) 2π

Universidad Nacional de Colombia

ˆ

0

2

y[5 − (y 2 + 1]dy

h) π

ˆ

ˆ

0

Ejercicio 14

Ejercicio 15

4

0 2

x x( )dx 2

[16 − (2y)2 ]dy

Ejercicio 16

Ejercicio 17

14. Se corta una cu˜ na curva de una cilindro con radio 3 en dos planos. Uno de los planos es perpendicular al eje del cilindro; el otro cruza al primero formando un ´angulo de 45◦ en el centro del cilindro ver figura. Determinar el volumen de la cu˜ na. 15. Sea una esfera de radio r que se corta por un plano, formando un casquete esf´erico de altura h. Mostrar que el volumen de este segmento es 13 πh2 (3r − h). 16. Calcule el volumen de un tronco de un cono circular recto cuya altura vertical es h, base inferior de radio r2 , y radio de la parte superior r1 . 17. Considerar la gr´ afica y 2 = x(4 − x)2 (ver la figura 2). Encontrar los vol´ umenes de los s´ olidos que se generan cuando la espira de esta gr´ afica se gira alrededor a) del eje x, b) del eje y y c) la recta x = 4. 1 1 18. Sean V1 y V2 los vol´ umenes de los s´ olidos que resultan cuando la regi´ on plana limitada por y = , y = 0, x = , y x 4 1 x = c (c > ) se gira alrededor del eje x y el eje y, respectivamente. Encontrar el valor de c para el cual V1 = V2 . 4 19. Halle el volumen de los siguientes s´ olidos sabiendo que:

a) Las secciones transversales al eje x son discos circulares con di´ametros en el plano xy. b) Las secciones transversales al eje x son cuadrados con base en el plano xy. c) Las secciones transversales al eje x son cuadrados con diagonales en el plano xy. d ) Las secciones transversales al eje x son tri´angulos equil´ ateros con bases en el plano xy. √ √ 20. El s´ olido se encuentra entre los planos x = 0 y x = 4 y las par´ abolas y = − x y y = x. Halle el volumen si: a) Las secciones transversales son discos circulares con di´ ametros en el plano xy. b) Las secciones transversales son cuadrados con bases en el plano xy. c) Las secciones transversales son cuadrados con diagonales en el plano xy. d ) Las secciones transversales son tri´angulos equil´ ateros con bases en el plano xy. 21. La regi´ on limitada por la elipse s´ olido generado. V = 34 ab2 π

x2 a2

+

y2 b2

= 1 con 0 < b < a gira alrededor de su eje mayor. Calcule el volumen del

4

Banco de ejercicios de C´ alculo Integral. H. Fabi´ an Ram´ ırez

Universidad Nacional de Colombia

22. * Calcule el volumen del s´ olido de revoluci´on que se obtiene al girar alrededor de la recta x = 1 la regi´ on limitada por las gr´ aficas de y = |x2 − 2x − 3|, y + 1 = 0, x − 1 = 0, x − 4 = 0, 23. La regiones que se muestra a continuaci´on se hace girar alrededor del eje x para generar un s´ olido. ¿Cu´ al de los m´etodos (el de discos, el de arandelas, o el de casquillos) podr´ıa utilizarse para determinar el volumen del s´ olido? ¿Cu´ antas integrales son necesarias en cada caso? Explique.

1.1.

Longitud de arco

1. Determinar la longitud de la astroide Fig 1, donde las ecuaciones param´etricas son x = cos3 t

y = sen3 t,

0 ≤ t ≤ 2π

2. Un fabricante necesita hacer hojas de metal corrugado de 36 pulgadas de ancho con secciones transversales con la forma de la curva y=

1 sen(πx) 2

0 ≤ x ≤ 36

¿Qu´e ancho deben tener las hojas originales extendidas para que el fabricante produzca estas hojas corrugadas? Ayuda: Use Simpson n = 6

3. Determine la longitud de la curva  1 + √sec2 x + 1  p 2 y = sec x + 1 − ln , sec x

π π ≤x≤ 4 3

4. Encuentre la longitud de la curva cuya ecuaci´ on es y = x = −1. L =

21 16

L=

√

Fig 1

3−1

x4 1 + desde x = −2 hasta 2x2 16

5. Halle el per´ımetro del tri´angulo curvil´ıneo limitado por el eje de√las abscisas y por las P = π2 + 2 ln( 2 + 1) curvas cuyas ecuaciones son: y = ln(cos x),

−

π π 0 107 142 C = ( 110 , 275 )

5. Halle el centro de gravedad de la regi´ on infinita, en el prim er cuadrante, comprendido entre la curva y = xe−x y el 1 eje x. C = (2, 8 ) 6. El centro de gravedad de la regi´ on acotada por las curvas x2 = 4y, y = mx es un punto de abscisa igual a 2. Determine el valor de m m = 1 7. La placa triangular que se muestra en la fig 1 tiene una densidad constante de ρ = 3g/cm3 . Determinar (a) el momento, My , de la placa respecto del eje y. My = 2 (b) la masa, m, de la placa. m = 2 (c) la coordenada x ¯ del centro de masa de la placa. x ¯=

2 3

Fig 1 8. Usando el teorema de Pappus, halle los vol´ umenes de los s´ olidos que se general rotar las regiones limitada por las siguientes curvas a) y = x2 , x = −y 2 alrededor de la recta x + y = 3. 7

Banco de ejercicios de C´ alculo Integral. H. Fabi´ an Ram´ ırez

Universidad Nacional de Colombia

b) y = x3 , x = y 3 alrededor de la recta x + y = 2. √ c) y = −x2 + 2x, y = −4 x alrededor de la recta: (a) x = 4, (b) y = 2, (c) y = x + 2.

d ) y = −x2 , y 2 = x alrededor de la recta y = −2x + 3.

e) y = 4x − x2 , 0 ≤ x ≤ 4 alrededor de la recta x = −1.

se encuentra 9. Sea R una regi´ on cualquiera totalmente contenida en el tercer cuadrante de ´area 10 3 y tal que su centroide √ sobre la recta y = x. si el volumen del solido generado al girar R respecto a la recta y = −x es 20 2. Halle a) El centroide de R. b) Momento respecto al eje x de R. c) Volumen del solido generado al rotar respecto a la recta y = 1. 10. * La regi´ on limitada por las gr´ aficas de y = x2 , y = 5 gira alrededor de una recta oblicua √ que pasa por el punto P (1, 0). Halle la ecuaci´ on de dicha recta, si el volumen del s´ olido generado es igual a 40 5π. Sol: 3x − 4y − 3 = 0.

1.4.

Trabajo

1. Se requiere una fuerza de 10 lb para mantener estirado un resorte 4pulg m´as de su longitud natural. ¿Cu´ anto trabajo se realiza al estirar el resorte desde su longitud natural hasta 6 pulg m´as de su longitud natural? Ayuda: recuerde que 4 pulg = 1/3pies 2. Determinar el trabajo requerido para comprimir un resorte desde su longitud natural de 1 pie a una longitud de 0,75 pies, si la constante del resorte es k = 16 lb/pie W = 0,5 lb-pies 3. Si una persona saca de un pozo una cubeta de 20 kg y realiza un trabajo equivalente a 6000 J, ¿Cu´ al es la profundidad del pozo? 4. Un resorte tiene una longitud natural de 1 m. Una fuerza de 24N lo estira hasta una longitud de 1,8 m. a) Determinar la constante k del resorte. k = 30 N/m b) ¿Cu´ anto trabajo se requerir´a para estirar el resorte hasta 2 m m´as que su longitud natural? W = 60J c) ¿Hasta qu´e longitud se estirar´ a el resorte si le aplicamos una fuerza de 45 N ? x = 32 m 5. El tanque de la Figura 2 tiene 8 pies de altura y 2 pies de radio en su parte superior. Si se llena de hasta una altura de 6 pies con un aceite que tiene un peso de γ = 60 lb/pies3 , encuentre el trabajo requerido para bombear todo ese aceite por el borde superior del tanque. W = 2160 ≈ 6785, 84lb.pie

Fig 2. 6. * Consideremos un tanque cil´ındrico acostado cuya base es una regi´ on R del plano (no necesariamente circular). La longitud del cilindro es h y se encuentra completamente lleno con un l´ıquido de peso γ. Demuestre que el trabajo requerido para bombear todo el fluido hasta una altura por encima del nivel superior del l´ıquido, es igual al peso del 8

Banco de ejercicios de C´ alculo Integral. H. Fabi´ an Ram´ ırez

Universidad Nacional de Colombia

l´ıquido en el tanque multiplicado por la distancia vertical entre el punto de descarga y el centroide de R. Es decir, demuestre que W = G(k − y¯) Donde G representa el peso total del l´ıquido en el tanque y (k − y¯) es la distancia vertical entre el nivel del punto de descarga y el centroide de la base R del tanque. 7. Una part´ıcula se mueve a lo largo del eje OX mediante una fuerza impulsora dada por f (x) = ax2 + bx newtons: a = 3, b = −2 (a) Determine las constantes a y b si se sabe que se precisan 900 joules de trabajo para desplazar la part´ıcula 10m a partir del origen y que la fuerza es de 65 newtons cuando x = 5m. b) Si la part´ıcula se encuentra en la posici´on x = 2m, ¿hasta que posici´on aproximadamente puede ser desplazada si la fuerza puede realizar un trabajo de 1580 joules?

1.5.

Ecuaciones Diferenciales

1. Demuestre que la funci´on y = f (x) es una soluci´ on de la ecuaci´ on diferencial que se da. y=

1 x

ˆ

1

x

et dt, t

Ecu : x2 y ′ + xy = ex

y=√

1 1 + x4

ˆ

1

x

p

1 + t4 dt,

Ecu : y ′ +

2x3 y=1 1 + x4

2. Resuelva la ecuaci´ on diferencial dy = ey+senx dx dy e2x−y b) = x+y dx e

a) (sec x)

e) y ′ tan x = a + y,

y(π/3) = a,

c)

2t + sec2 t du = , dt 2u

u(0) = −5

d ) f ′ (x) = f (x)(1 − f (x)) y f (0) =

1 2

0 < x < π/2

3. Encuentre las trayectorias ortogonales de la familia de curvas y = cada familia

x . Haga un bosquejo de varios miembros de 1 + kx

4. Determine la familia de soluciones de la ecuaci´ on diferencial xdy − 2ydx = 0 y la familia de trayectorias ortogonales. Haga un bosquejo de ambas familias. 5. La gr´ afica de la izquierda es una soluci´ on de una de las siguientes ecuaciones diferenciales. Decida cu´ al es la ecuaci´ on correcta y justifique su respuesta. a) y ′ = 1 + xy

b) y ′ = −xy

c) y ′ = 1 − 2xy

6. Haga corresponder las ecuaciones diferenciales con su campo de pendientes. a) y ′ = x + y,

b) y ′ = y + 1,

c) y ′ = − xy ,

d) y = y 2 − x2

9

Banco de ejercicios de C´ alculo Integral. H. Fabi´ an Ram´ ırez

Universidad Nacional de Colombia

7. Explique por qu´e las funciones con las gr´ aficas dadas en la (figura derecha) NO pueden ser soluciones de la ecuaci´ on diferencial dy = et (y − 1)2 dt

1.6.

Param´ etricas y Polares

1. Elimine el par´ ametro para hallar la ecuaci´ on cartesiana de la curva y bosqueje la curva e indique con una flecha la direcci´on en la que se traza la curva cuando crece t a) x =

√ t,

b) x = sent t

c) x = e − 1,

d ) x = ln t,

y =1−t

y = csc t,

e) x = 0 < t < π/2

20t , 4 + t2

y=

5(4 − t2 ) . 4 + t2

f ) x = 3sent y = 4 tan t sec t. √ √ g) x = 3 t − 2 y y = 2 4 − t

2t

y=e √ y = t, t ≥ 1

2. Encuentre la ecuaci´ on cartesiana de las rectas tangente a la curva cuyas ecuaciones param´etricas son x = t2 + 1 y 3 y = t + 2t, en el punto donde t = −2. 7x + 2y − 11 = 0 3. Determine dy/dx y d2 y/dx2 . ¿Para qu´e valores de t la curva es c´oncava hacia arriba? a) x = t + ln t, y = t − ln t

b) x = 4 + t2 , y = t2 + t3

a) x = 10 − t2 , y = t3 − 12t

b) x = cos 3θ, y = 2 sen θ

4. Encuentre los puntos de las siguientes la curva donde la tangente es horizontal y vertical. 5. Encuentre el ´area acotada por la curva √ a) x = t2 − 2t, y = t y el eje y.

b) x = 1 + et , y = t − t2 y eje x

6. Determine la longitud de la curva de t a) x = ,y = ln(1 + t), 0 ≤ t ≤ 2. 1+t

b) x = cos t + ln(tan 12 t), y = sent, π/4 ≤ t ≤ 3π/4

7. ¿Qu´e pares de coordenadas polares representan el mismo punto? (3, 0)

(−3, π)

(−2, π/3)

(−r, θ)

(−3, 0)

(2, π/3)

(2, 2π/3)

(−3, 2π)

(2, −π/3)

(2, −2π/3)

(2, 7π/3)

(−2, −π/3)

(r, θ + π)

(−2, 2π/3)

(r, θ)

(−r, θ + π)

8. Ubique en el plano los puntos cuyas coordenadas polares son:

A(3,

π ), 6 E(3,

B(−4, 11π ), 4

π ), 4

5 2π C(− , − ) 2 3

F (3, −1)

9. Exprese en coordenadas rectangulares los siguientes puntos dados en coordenadas polares. 10

Banco de ejercicios de C´ alculo Integral. H. Fabi´ an Ram´ ırez

Universidad Nacional de Colombia

a) P (3, 3π/4) b) P (−2, π)

c) P (4, −2π/3)

e) P (−1/2, −π/4)

d ) P (−2, −5π/12)

f ) P (3, 2)

10. Exprese en coordenadas polares (±r, θ) los siguientes puntos dados en coordenadas rectangulares. a) P (3/2, −3/2) √ b) P (1, − 3)

√ c) P (− 3, 1) √ √ d ) P ( 8, 2)

e) P (−8, 8) √ f ) (4, 4 3)

11. Identifique la curva mediante la determinaci´ on de una ecuaci´ on cartesiana para la curva. a) r = tan θ sec θ b) r = 2senθ + 2 cos θ

e) r = 4senθ (Circ) 2 f) r = (Elip) 2 − cos θ

c) rsenθ = ln r + ln cos θ 5 d) r = senθ − 2 cos θ

12. Encuentre una ecuaci´ on polar para la curva representada por la ecuaci´ on cartesiana dada. e) (x2 + y 2 )2 = a2 (x2 − y 2 )R: r2 = a2 cos2 (2θ)

a) x + y = 9 b) 6xy = 5

f ) y2 =

c) x2 + (y − 2)2 = 4

x3 R: r = 2a tan θ sen θ 2a − x

g) 3(x − 2)2 + 4y 2 = 16 R: r(2 − cos θ) = 6

d ) x2 + xy + y 2 = 1

13. Muestre que la ecuaci´ on polar r = asenθ + b cos θ, donde ab 6= 0, representa un c´ırculo, y encuentre su centro y radio.

14. Haga un bosquejo de la regi´ on definida por las desigualdades −1 ≤ r ≤ 2

y

− π/2 ≤ θ ≤ π/2

15. Muestre que la ecuaci´ on polar r = asenθ + b cos θ, donde ab 6= 0, representa un c´ırculo, y encuentre su centro y radio.

16. Trace la gr´ afica de cada una de las siguientes ecuaciones. a) r = θ, b) r = ln θ,

θ ≥ 0,

d ) r = 4 cos(3θ), rosa de 3 p´etalos

θ≥1

e) r = 4 sen(5θ), rosa de 5 p´etalos

c) r(1 − 2 cos θ) = 4

f ) r = 3(2 + cos θ), caracol de Pascal.

17. Bosqueje el gr´ afico y halle los puntos de intersecci´on de los siguientes pares de curvas     π a a π , , , − a) r = a(1 − cos θ) y r = a cos θ 2 3 2 3 , polo         √ √3 , π , √3 , 2π , √3 , 4π , √3 , 5π b) 2r = 3 y r2 = −9 cos(2θ). 2 3 2 3 2 3 2 3 √  π c) r = 2 cos θ y r = 2 sen θ 2, 4 , (0, 0) d ) r = 4(1 + sen θ) y r(1 − sen θ) = 3

(6, π/6), (6, 5π/6), (2, 7π/6) y (2, 11π/6)

18. ¿Qu´e simetr´ıas tienen esas curvas? a) r2 = 4 cos 2θ,

b) r2 = −sen(2θ) √

19. Halle las ecuaciones cartesiana y polar de la recta tangente a la curva r2 = 9 cos(2θ) en el punto P ( 3 2 2 , π6 ). √ √ y = 3 2/4, rsenθ = 3 2/4 20. Demuestre que las curvas r = asenθ y r = a cos θ se cortan en ´angulos rectos. 21. Determine los puntos sobre la curva dada donde la tangente es horizontal o vertical b) r = eθ

a) r2 = sen2θ

11

Banco de ejercicios de C´ alculo Integral. H. Fabi´ an Ram´ ırez

Universidad Nacional de Colombia

22. Relacione las ecuaciones polares con las gr´ aficas I-VI. D´e razones para sus elecciones. (No use un dispositivo de graficaci´on.)

a) r = cos(θ/3), b) r = 1 + 2 cos θ c) r = 2 + sen3θ d ) r = 1 + 2sen3θ √ e) r = θ, 0 ≤ θ ≤ 16π f ) r = θ2 ,

0 ≤ θ ≤ 16π

23. En la figura se muestra la gr´ afica de r como una funci´on de θ en coordenadas cartesianas. Empl´eela para bosquejar la curva polar correspondiente.

24. Calcule el ´area de la regi´ on limitada por la curva r = 2 + cos θ y los ejes θ = 0 y θ = π/2. A = 25. Halle el ´area de la regi´ on limitada por las par´ abolas r(1 + cos θ) = 4 y r(1 − cos θ) = 4. A =

9π+16 8

64 3

√ 26. Calcule el ´area de la regi´ on que es interior a la curva r = 4 cos(3θ) y exterior a la circunferencia r = 2, A = 32 (2π+3 3) √ √ 27. Calcule el ´area de la regi´ on que es interior a las curvas 2r = 3 y r2 = −9 cos(2θ) A = 32 (6 + π − 3 3) 28. Encuentre el ´area de la regi´ on que est´ a acotada por la curva dada y yace en el sector especificado. √ 2 a) r = θ , 0 ≤ θ ≤ π/4 b) r = senθ, 0 ≤ θ ≤ π 29. Encuentre el ´area de la regi´ on que yace dentro de la primera curva y fuera de la segunda a) r = 2 cos θ, r = 1

b) r = 3senθ, r = 2 − senθ.

30. Determine el ´area de la regi´ on localizada dentro de ambas curvas. √ a) r = 3 cos θ r = senθ b) r = 3 + 2 cos θ, r = 3 + 2senθ,

c) r = 2 cos θ, r = 2senθ

31. Encuentre la longitud exacta de la curva polar. a) r = e2θ , 0 ≤ θ ≤ 2π b) r = θ2 , 0 ≤ θ ≤ 2π

c) r =

6 , 1 + cos θ

0 ≤ θ ≤ π/2

32. Determine el ´area de las superficies generadas al hacer girar las curvas respecto de los ejes indicados. √ √ 0 ≤ θ ≤ π/4 eje y b) 2eθ/2 , 0 ≤ θ ≤ π/2 eje x a) r = cos2θ, 33. Usando la gr´ afica derecha a) Encuentre el ´ area de la regi´ on sombreada en la figura. b) Parecer´ıa que la gr´ afica de r = tan θ, −π/2 < θ < π/2 es asint´ otica a las rectas x = 1 y x = −1. ¿Lo es? Justifique su respuesta.

12