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Lista 8 de CF368 - Eletromagnetismo I Fabio Iareke 10 de dezembro de 2013 Exerc´ıcios propostos pelo prof. Ricardo Luiz Viana , retirados de [1]. Obs.:

Resolu¸c˜ oes (Solu¸c˜ aorlv ) foram ’baseadas’ na resolu¸c˜ao do professor.

Cap´ıtulo 11 11-2 Uma barra met´ alica de um metro de comprimento gira em torno de um eixo, que passa por uma das extremidades e ´e perpendicular `a barra, com uma velocidade angular de 12 rad/s. O plano de rota¸c˜ ao da barra ´e perpendicular a um campo magn´etico uniforme de 0, 3 T. Qual a fem induzida por movimento entre as extremidades da barra? Solu¸ c˜ aorlv : B = 0, 3 T, l = 1 cm, ω = 12 rad/s fem de movimento ~ · ~l × ~v = Blv = bl2 ω = 3, 6 V V =B 11-3 Num acelerador b´etatron, um ´ıon de carga q e massa m move-se numa ´orbita circular a uma distˆ ancia R do eixo de simetria da m´aquina. O campo magn´etico tem simetria cil´ındrica, isto ´e, a componente z ´e Bz = B(r) no plano da ´orbita, onde r ´e a distˆancia a partir do eixo de simetria. Demonstre que a velocidade do ´ıon ´e v = qB(R)R/m. Se o campo magn´etico for aumentado vagarosamente, demonstre que a fem induzida em torno da ´orbita do ´ıon ´e tal que o acelera. Demonstre que a varia¸c˜ao radial do campo B dentro da ´orbita deve satisfazer a seguinte condi¸c˜ ao para que o ´ıon permane¸ca em sua ´orbita: a m´edia espacial do aumento de B(r) (m´edia tomada sobre a ´ area compreendida pela ´orbita) deve ser igual ao dobro do aumento de B(R) durante o mesmo intervalo de tempo. Solu¸ c˜ aorlv :

~ ; para uma ´orbita circular de raio R F~ = q E FB =

mv 2 = q vB(R)
R

v=

qB(R)R m

~ induzido Lei de Faraday → E I

~ · d~l = d Φ = d E dt dt C

Z

(1)

~ ·n B ˆ da

d (BA) dt onde B ´e o campo magn´etico m´edio ao longo da ´orbita. E(2πR) =

E= 1

1 ˙ RB 2

(2)

for¸ca el´etrica ~ = m~v˙ F~E = q E 1 d F~E · ~v = m~v˙ · ~v = m (~v · ~v ) 2 dt se v  c → energia cin´etica K=

1 m~v · ~v 2

dK ~ · ~v = F~E · ~v = q E dt

(3)

De (2) → 1 ˙ dK = q RBv dt 2 Condi¸c˜ ao para que R permane¸ca constante   dK d 1 =v qRB = vFE dt dt 2 {z } | FE

d dt

FE =



1 qRB 2

 =

dp 1 ⇒ p = mv = qRB dt 2

De (1) → m

1 qB(R)R = qRB ⇒ B = 2B(R) m 2

11-4 O gerador homopolar de Faraday consiste num disco met´alico que gira num campo magn´etico uniforme perpendicular ao plano do disco. Demonstre que a diferen¸ca de potencial produzida entre o centro do disco e sua periferia ´e V = f Φ, onde Φ ´e o fluxo atrav´es do disco e f ´e sua freq¨ uˆencia de rota¸c˜ ao. Qual ser´ a a voltagem se f = 3000 rot/min e Φ = 0, 1 Wb? Solu¸ c˜ aorlv : V =

Z

~ · d~l × ~v dV = B Z R 1 ~ B · d~r × ~v = Bω r dt = BωR2 2 0

11-5 Um alternador se comp˜ oe de uma bobina de N espiras de ´area A, que gira num campo B, segundo um diˆ ametro perpendicular ao campo, com uma freq¨ uˆencia de rota¸c˜ao f . Encontre a fem na bobina. Qual ser´ a a amplitude da voltagem alternada se N = 100 espiras, A = 10−2 m2 , B = 0, 1 T e f = 2.000 rot./min? Solu¸ c˜ aorlv :

ω = 2πf Z d d d ~ ·n E =− B ˆ da = − N BA cos θ = −N BA cos ωt = N BAω sin ωt dt dt dt E = N BA2πf sin(2πf t) Emax = 2πf N BA

11-10 Uma bobina toroidal, de N espiras, como a mostrada na Fig. 11-2, ´e enrolada sobre uma forma n˜ ao magn´etica. Se o raio m´edio da bobina for b e o raio da se¸c˜ao reta √ da forma for a, demonstre que a auto-indutˆ ancia da bobina ser´a dada por L = µ0 N 2 (b − b2 − a2 ). 2

Solu¸ c˜ aorlv :

Auto-indutˆ ancia L=N

dΦ dI

Lei de Amp`ere I

~ · d~l = µ0 N I ⇒ B(2πR) = µ0 N I ⇒ B(R) = µ0 N I B 2πR Z Z Z µ0 N I da ~ ·n Φ= B ˆ da = B(R) da = 2π R b = R + r cos θ ∴ R = b − r cos θ

( 0≤π≤a onde 0 ≤ θ < 2π Φ=

µ0 N I 2π

Z

a

,

da = r dr dθ 2π

Z r dr

0

dθ 0

1 µ0 N I =  b − r cos θ 2π 

Z

a

r dr √

0

 2π  = µ0 N I 2 b − r2

a

Z |0

r dr √ b2 − r 2 {z }

√ =b− b2 −a2

h i p Φ = µ0 N I b − b2 − a2 h i p L = µ0 N 2 b − b2 − a2 11-11 Um circuito se constitui de duas cascas cil´ındricas coaxiais de raios R1 e R2 (R1 > R2 ) e de comprimento comum L, conectadas por placas de extremidades planas. A carga flui por uma casca e regressa pela outra. Qual ´e a auto-indutˆancia deste circuito? Solu¸ c˜ aorlv :

Z Φ= I

~ ·n B ˆ da

~ · d~l = µ0 I B B=

µ0 I 2πr

  Z da µ0 Il R2 dr µ0 Il R2 = = ln r 2π R1 r 2π R1     µ0 l R2 L µ0 R2 dΦ = ln → = ln L= dI 2π R1 l 2π R1

µ0 I Φ= 2π

Z

11-15 S˜ ao dados dois circuitos: um fio reto muito comprido e um retˆangulo de dimens˜oes h e d. O retˆ angulo est´ a num plano que passa pelo fio, sendo os lados de comprimento h paralelos ao fio e estando a distˆ ancias r e r + d deste. Calcule a indutˆancia m´ utua entre os dois circuitos.

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Solu¸ c˜ aorlv : M21 =

dΦ21 dI1

µ0 I1 ˆ θ 2πr   Z Z Z r+d Z dr da2 µ0 I1 h µ0 I1 r+d µ0 I1 ~ dz = = h ln = B1 · n ˆ 2 da2 = |{z} 2π r 2π 0 r 2π r r B1 =

Φ21

θˆ

M21

dΦ21 µ0 h = = ln dI1 2π



r+d r



11-17 Uma linha de transmiss˜ ao se comp˜oe de dois fios muito longos de raio a, separados por uma distˆ ancia d. Calcule a auto-indutˆancia por unidade de comprimento, supondo d  a, de modo que o fluxo dentro dos pr´ oprios fios possa ser ignorado. Solu¸ c˜ aorlv :

~ 1 (r) = µ0 I n B ˆ 2πr

,

~ 2 (r) = B

Z

~ ·n B ˆ da

Φ= ~ =B ~1 + B ~2 B

,

µ0 I n ˆ 2π(d − r)

da = dr l

.. .  d−a a   dΦ L µ0 d L= → = ln −1 dI l 2π a µ0 Ih ln Φ= 2π



µ0 d L ≈ ln l 2π a 11-22 Demonstre que a fem num circuito fixo C ´e dada por I d ~ · d~l, A − dt C ~ ´e o potencial do vetor. onde A Solu¸ c˜ aorlv : E =−

d dt

Z

d ~ ·n B ˆ da = − dt S

Z S

~·n ∇×A ˆ da = −

d dt

I

~ · d~l A

C

11-23 Suponha que a corrente num solen´oide muito comprido esteja aumentando linearmente com o tempo, tal que ∂B/∂t = K. Encontre o campo E dentro e fora do solen´oide.

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Solu¸ c˜ aorlv :

B = B0 + Kt

(a) fora do solenoide r > R I

Z

~ · d~l = − d E dt

E(r) · 2 πr = − E(r) = −

~ ·n B ˆ da

d B( πR2 ) dt KR2 2r

(b) dentro do solenoide r < R E(r) · 2 π
r = −

d B( πr2 ) dt

E(r) = −

Kr 2

Referˆ encias [1] John R. Reitz, Frederick J. Milford, Robert W. Christy Fundamentos da Teoria Eletromagn´etica 3a edi¸c˜ ao, Editora Campus Ltda. Rio de Janeiro

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