Solucionario1 MATEMATICAS 1-unlocked.pdf
Cuaderno de trabajo Doris Cetina E. Verónica Jiménez © Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica. Secundaria A
Views 258 Downloads 28 File size 11MB
Recommend stories
- Author / Uploaded
- Lici Torres
Citation preview
Cuaderno de trabajo
Doris Cetina E. Verónica Jiménez
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
Secundaria
Autoría Doris Guadalupe del Carmen Cetina Vadillo Elisa Verónica Jiménez Gutiérrez Gerencia editorial Salvador Yolocuauhtli Vargas Rojas Coordinación editorial María Teresa Peralta Ferriz Edición Miguel Quintero Revisión técnica René Antonio Núñez Mejía José Luis Núñez Mejía Isabel Lorena Vega Gordillo Juan Daniel Garay Saldaña
Matemáticas 1. Cuaderno de trabajo. Secundaria D. R. © 2018, Ek Editores, S. A. de C. V. Avenida Pío X núm. 1210, Col. Pío X, Monterrey, Nuevo León, C. P. 64710. Tel.: (81) 83 56 75 05 y 83 35 17 04 Ciudad de México: Calle Sur 26 núm. 16, Col. Agrícola Oriental, Del. Iztacalco, C. P. 08500. Tel.: (55) 51 15 15 40 y 22 35 71 12 Lada sin costo: 01800 841 7005 www.ekeditores.com
Asistencia editorial Perla M. Maldonado Almanza
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Reg. Núm. 3728
Corrección de estilo Adriana Sánchez Escalante
ISBN de la obra: 978-607-8521-49-4
Gerencia de diseño Marcela Novelo
Primera edición: mayo de 2018
Coordinación de diseño Ivonne A. Lozano Rodríguez
Prohibida la reproducción y transmisión parcial o total de esta obra en cualquier forma electrónica o mecánica, incluso fotocopia o en cualquier sistema para recuperar información, sin permiso escrito del editor.
Diseño de interiores y diagramación Claudia Cantú Itzel Davila V. Stephanie Mtz. Solis
Impreso en México / Printed in Mexico
Diseño de portada Mauro Machuca Iconografía © Shutterstock, Inc. © Wikimedia Commons: 57. Producción Ángel Calleja Bonilla
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
Presentación Estimado estudiante: Con base en los Aprendizajes Clave para la educación integral del Nuevo Modelo Educativo (NME) y el campo de formación academica de Pensamiento Matemático, Ek Editores pone en tus manos Matemáticas 1. Cuaderno de trabajo. Secundaria, una herramienta que tiene la función de complementar tu trabajo en el aula. Conscientes de que las matemáticas pueden ser un desafío para la mayoría de los alumnos, esta obra incluye diversas actividades que están diseñadas para que pongas en práctica los procedimientos y las estrategias que adquieras en tus clases y fortalezcas las habilidades, actitudes y destrezas matemáticas, a fin de brindarte oportunidades para el logro de los aprendizajes esperados de la asignatura. Matemáticas 1. Cuaderno de trabajo. Secundaria se encuentra estructurado en prácticas divididas en tres bloques, para que lo lleves a cabo como te indique tu docente o de forma autónoma e identifiques los contenidos fácilmente a la par que los estudias en tu salón de clase. Las prácticas están diseñadas: Para cubrir en su totalidad los temas del programa educativo. Como una herramienta de consulta, ya que presenta un breve resumen con los conceptos principales que te servirán para reconocer lo más importante de cada tema. Con el espacio suficiente para hacer tus operaciones, anotaciones, dibujos, bosquejos, gráficas y esquemas, que te ayudarán a identificar errores y fortalezas. Al final de cada bloque se incluye una evaluación para que midas tu aprendizaje, así como una sección de retos con problemas interesantes y de mayor dificultad para que apliques tus conocimientos. Estamos seguros que Matemáticas 1. Cuaderno de trabajo. Secundaria te facilitará el camino para que adquieras una actitud positiva y crítica hacia las matemáticas, desarrolles confianza en tus capacidades y perseverancia al enfrentarte a los problemas y seas capaz de tomar tus propias decisiones.
Los editores
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
3
Índice Conozco mi libro
6
Eje: Número, álgebra y variación
Bloque 1
8
Tema Número AE Convierte fracciones decimales a notación decimal y viceversa. Aproxima algunas fracciones no decimales usando la notación decimal. Ordena fracciones y números decimales.
Práctica 1. Fracciones y decimales Práctica 2. Orden de fracciones y decimales
10 14
Tema Adición y sustracción AE Resuelve problemas de suma y resta con números enteros, fracciones y decimales positivos y negativos.
Práctica 3. Problemas de suma y resta de fracciones Práctica 4. Problemas de suma y resta de decimales Práctica 5. Problemas de suma de fracciones y decimales Práctica 6. Suma y resta de números positivos y negativos
20 24 26 30
Tema Multiplicación y división AE Resuelve problemas de multiplicación con fracciones y decimales y de división con decimales.
Práctica 7. Problemas de multiplicación de fracciones Práctica 8. Problemas de multiplicación de decimales Práctica 9. Problemas de división con decimales AE
38 42 44
Determina y usa la jerarquía de operaciones y los paréntesis en operaciones con números naturales, enteros y decimales (para multiplicación y división, sólo números positivos).
Práctica 10. Jerarquía de operaciones
46
Tema Proporcionalidad AE Resuelve problemas de cálculo de porcentajes, de tanto por ciento y de la cantidad base.
Práctica 11. Porcentajes
48
Evaluación Retos
54 56
Eje: Número, álgebra y variación
Bloque 2
4
58
Tema Patrones, figuras geométricas y expresiones equivalentes AE Formula expresiones algebraicas de primer grado a partir de sucesiones y las utiliza para analizar propiedades de la sucesión que representan.
Práctica 12. Sucesiones
60
Tema Proporcionalidad AE Calcula valores faltantes en problemas de proporcionalidad directa, con constante natural, fracción o decimal (incluyendo tablas de variación).
Práctica 13. Regla de tres Práctica 14. Proporcionalidad directa Práctica 15. Relaciones de proporcionalidad
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
66 68 70
Tema Ecuaciones AE Resuelve problemas mediante la formulación y solución algebraica de ecuaciones lineales.
Práctica 16. Ecuaciones
74
Tema Funciones AE Analiza y compara situaciones de variación lineal a partir de sus representaciones tabular, gráfica y algebraica. Interpreta y resuelve problemas que se modelan con estos tipos de variación.
Práctica 17. Gráficas de proporcionalidad
76
Evaluación Retos
80 82
Eje: Forma, espacio y medida
Bloque 3 84 Tema Figuras y cuerpos geométricos AE Analiza la existencia y unicidad en la construcción de triángulos y cuadriláteros y determina y usa criterios de congruencia de triángulos.
Práctica 18. Trazo de triángulos y cuadriláteros Práctica 19. Criterios de congruencia de triángulos Tema Magnitudes y medidas AE Calcula el perímetro de polígonos y del círculo y áreas de triángulos y cuadriláteros desarrollando y aplicando fórmulas.
Práctica 20. Perímetro y área de polígonos Práctica 21. Perímetro del círculo AE
98 102
Calcula el volumen de prismas rectos cuya base sea un triángulo o un cuadrilátero, desarrollando y aplicando fórmulas.
Práctica 22. Volumen
Eje: Análisis de datos
86 94
104
Tema Probabilidad AE Realiza experimentos aleatorios y registra los resultados para un acercamiento a la probabilidad frecuencial.
Práctica 23. Experimentos aleatorios
106
Tema Probabilidad AE Realiza experimentos aleatorios y registra los resultados para un acercamiento a la probabilidad frecuencial. Tema Estadística AE Recolecta, registra y lee datos en gráficas circulares.
Práctica 24. Frecuencia absoluta y relativa Práctica 25. Representaciones gráficas
108 110
Tema Estadística AE Usa e interpreta las medidas de tendencia central (moda, media aritmética y mediana) y el rango de un conjunto de datos y decide cuál de ellas conviene más en el análisis de los datos en cuestión.
Práctica 26. Propiedades de la moda, media y mediana
114
Evaluación Retos
116 118
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
5
Conozco mi libro Matemáticas 1, Cuaderno de trabajo. Secundaria, contiene:
Entrada de bloque Presenta un problema inicial que te permitirá utilizar varias habilidades y conocimientos, los cuales necesitarás en las prácticas del bloque.
Prácticas Contenidos Cada práctica señala el Eje, Tema y Aprendizaje esperado vinculado con el Programa del Nuevo Modelo Educativo.
Texto explicativo
Matemáticas rápidas
Las preguntas de esta sección se basan en los aspectos básicos que debes conocer. Están planteadas para que las respondas rápidamente, de preferencia al inicio de una sesión de clase, como introducción al trabajo en tu cuaderno.
6
El libro está dividido en prácticas que incluyen ejercicios y actividades para aplicar lo aprendido en clase y perfeccionarlo.
Al inicio de cada práctica encontrarás un resumen sencillo y útil de lo que has aprendido en clase. Te resultará provechoso para despejar dudas y como fuente de consulta. Las palabras clave están resaltadas.
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
Actividades Aquí encontrarás la parte fundamental de tu cuaderno de trabajo. Tiene diversidad de ejercicios que te servirán para practicar tus habilidades y resolver problemas. Podrás trabajarlos individualmente o en equipo, durante la clase o de tarea.
Preguntas de reflexión
En esta sección contestarás preguntas útiles para profundizar en el tema que estás estudiando.
Evaluación En cada bloque se presenta una evaluación que te ayudará a medir tu aprendizaje.
Retos Al final de cada bloque encontrarás una serie de problemas con mayor grado de dificultad, más interesantes y que buscan plantearte un desafío. Resolverlos te permitirá avanzar en tu dominio de las matemáticas.
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
7
Bloque 1 Eje: Número, álgebra y variación Tema
Número
Tema
Adición y sustracción
Tema
Multiplicación y división
Tema Proporcionalidad
8
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
Pro b le m a
e ta ble ro. Ob se rva el sig uie nt qu e ex ist e An ali za la re lac ión de l ta ble ro entre los nú m eros cruz , co m o en qu e fo rm an un a m plo s. los sig uie nt es eje
79
2 11
27
13
12
88
89 99
22
90
36
37 47
38
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
13
14
15
16
17
18
19
20
11
22
23
24
25
26
27
28
29
30
21
32
33
34
35
36
37
38
39
40
31
42
43
44
45
46
47
48
49
50
41
52
53
54
55
56
57
58
59
60
51
62
63
64
65
66
67
68
69
70
61
72
73
74
75
76
77
78
79
80
71
82
83
84
85
86
87
88
89
90
81 91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
lo sig uie nt e: ca da un o re ali za en y s te en er dif glo s Se lec cio na 5 ar re lo qu e ob se rva s. nú m eros. Es cr ibe co cin los de io ed Ca lcu la el prom m ero es m últ ipl o. y se ña la de qu é nú os er m nú ra do el co cin Su m a los ab ajo. Eleva al cu ad o de ar rib a y el de er m nú l de L.) to uc (R. uesta libre Ca lcu la el prod ob se rva s? Resp y ré st ale 100 . ¿Q ué ro nt ce l de o er m nú y pa ra ca da un o de nt ro de l ta ble ro uz cr en s glo re ar s Co ns ide ra distinto e . R. L. nt uie co nt esta lo sig e el ar re glo ? m eros qu e inc luy
ab aj o? 1 ¿C uá les so n los nú o de ar rib a y el de ión entre el nú m er lac re a la un alg ay 2 ¿H la izq uie rd a y el de tre el nú m ero de en ión lac re a un 3 ¿E xiste alg
4
s so n los de re ch a? ¿C uá l? pu ed e sa be r cu ále e está ar rib a ¿s e qu o er m nú el ce Si se co no
de m ás ? r o im pa r? co nú m eros es pa ero de l ce nt ro ? 5 ¿La su m a de los cin ar rib a co n el nú m de o er m nú el ne 6 ¿Q ué relac ión tie la fil a de l ce nt ro ? tres nú m eros de los n ne tie ión 7 ¿Q ué relac na de l ce nt ro ? m eros de la co lum nú es tr los n ne 8 ¿Q ué relac ión tie
An drew De re r en la activ ida d de Pro ble ma ba sa do A+ Co mp as s of er an d Ar t St on er In no va tio n Ce nt ce ien Sc th Ma de
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
9
1
Fracciones y decimales
Eje Número, álgebra y variación
Los decimales y las fracciones son similares debido a que ambos representan una parte de un entero.
Tema Número
Por ejemplo, si un entero se divide en cinco partes iguales, cada una se puede representar como un decimal o como una fracción.
1 5
5. ¿Cuál es la mitad 1 de 3 ? 1 6
10
Milésimas
Diezmilésimas
1 1000
1 10000
Milésimas
Unidades
Centésimas
12.4 m2
1 100
Centésimas
Número
7
8
9
.
4
1
3
Diezmilésimas
4. ¿Cuál es el área de un rectángulo que mide 4 m de base y 3.1 m de altura?
1 10
Por ejemplo, para el número 789.413 tenemos:
Unidades
3. ¿Cuál es el 60% de 150? 90
.
Décimas
Decenas
1
Décimas
Centenas
10
Millares
Valor 1 000 100 posicional
26 m
25 cm2
Se divide el número de partes sombreadas entre el número de partes en que se divide el entero.
El valor de los números decimales se define según las posiciones que ocupan sus cifras. Observa la siguiente tabla.
1. ¿Cuál es el perímetro de un cuadrado cuyo lado mide 6.5 m?
2. ¿Cuál es el área de un cuadrado cuyo lado mide 5 cm?
1 ÷ 5 = 0.2
El numerador es el número de partes sombreadas y el denominador es el número de partes iguales en que está dividido el entero.
Decenas
Matemáticas rápidas
Decimal
Fracción
Centenas
AE Convierte fracciones decimales a notación decimal y viceversa. Aproxima algunas fracciones no decimales usando la notación decimal. Ordena fracciones y números decimales.
Para obtener el valor del número, cada cifra se multiplica por su valor posicional y se suman los resultados: 1
1
1
(7 × 100) + (8 × 10) + (9 × 1) + (4 + 10 ) + (1 × 100 ) + (3 × 1 000)
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
Práctica
Cada uno de los resultados es el valor relativo de la cifra correspondiente. A esta forma de escribir un número se le llama notación desarrollada. Los decimales pueden ser: Finitos. Cuando terminan en una posición. Por ejemplo: 0.4, 0.8, 2.54 Infinitos. Cuando no terminan en una posición. Por ejemplo: 4.4237…, 3.1415…, 2.893457… Periódicos. Cuando sus cifras se repiten en un orden fijo. Se utiliza una línea horizontal para indicar los dígitos que se repiten. Por ejemplo:
0.2222 = 0.2, 0.717171 = 0.71, 3.45353535 = 3.4535.
Para convertir un número decimal a fracción se utiliza como denominador el valor de la posición de la cifra con menor valor relativo. El numerador es el número que se forma con las cifras que se encuentran a la derecha del punto decimal; la parte entera está dada por las cifras a la izquierda del punto. Ejemplos: 8
2
0.80 = 100 = 25 5
1
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
6.5 = 6 10 = 6 2 28
14
7
7.028 = 7 1 000 = 7 500 = 7 250 33 792
0.33792 = 100 000 Todas las fracciones se pueden expresar como un decimal con cierto grado de exactitud. Las fracciones que pueden expresarse con denominador 10, 100, 1000 o cualquier potencia de 10, se llaman fracciones decimales. Ejemplos: 75 100 3 10 23 1 000
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
11
Práctica
1 Para convertir una fracción decimal en un número decimal basta con analizar el denominador. Si el denominador es 10 se refiere a décimos, si es 100 a centésimos. Veamos algunos ejemplos: 75 = 0.75 y se lee: setenta y cinco centésimos 100 3 = 0.3 y se lee: tres décimos 10 23 = 0.023 y se lee: veintitrés milésimos 1000
Hay fracciones que no pueden expresarse con denominador de alguna potencia de 10. En estos casos, para convertir la fracción a decimal se divide el numerador entre el denominador. Ejemplos: 5
5
1 12 = 1 + 12 = 1.41666... = 1.416 1 = 1 ÷ 3 = 0.333... = 0.3 3 9 = 9 ÷ 11 = 0.818181... = 0.81 11
1
Representa como decimal y fracción las partes sombreadas de las siguientes figuras.
a)
b) Decimal: 0.6
Fracción: 2 3
c)
Decimal: 0.4
Fracción: 4 9
12
Fracción: 5
Decimal: 0.8c
Fracción: 5 6
Decimal: 0.5
Fracción: 2
Decimal: 0.75
Fracción: 3 4
8
f)
Decimal: 0.5
6 Fracción: 12
g)
Decimal: 0.625
d)
e)
1
h) Decimal: 0.4
Fracción: 2 5
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
Actividades
2
Escribe los siguientes decimales en forma fraccionaria. b) 0.75 = 3
c) 0.03 = 100
7 d) 0.007 = 1000
77 e) 0.154 = 500
91 f) 0.728 = 125
1 g) 1.001 = 1 1000
7 h) 0.35 = 20
1 i) 0.010 = 100
j) 0.723 = 723
2 k) 0.08 = 25
l) 0.012 = 250
1 m) 0.1 = 10
1 n) 0.0002 = 5000
o) 0.234 = 117 500
25
4
1000
67
3
523
q) 5.523 = 5 1000
1 s) 6.025 = 6 40
t) 10.0 = 10
1
r) 10.008 = 10 125
1
Identifica cuáles de las siguientes fracciones son decimales y exprésalas con denominador 10, 100, 1000… 1
60
25
a) 5 = 100
b) 4 = 100
1 c) 6 = No es fracción decimal
d) 2 = 50 100
5 e) 3 = No es fracción decimal
8 f) 25 = 100
1 2
3
27
g) 25 = 12 100
h) 1 50 = 77 = 154 50 100
7
i) 4 = 175 100 © Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
3
p) 3.335 = 3 200
3
1
No es fracción decimal
3
No es fracción decimal
j) 9 =
1
k) 8 = No es fracción decimal
4
3
a) 0.04 = 1
l) 8 =
Escribe cada una de las siguientes fracciones en su forma decimal. 1
1
a) 3 = 0.3
b) 10 = 0.1
2
5
d) 3 = 0.6
e) 6 = 0.83
9
1
g) 10 = 0.9
h) 18 = 0.05
15
11
k) 99 = 0.1
j) 20 = 0.75 11
34
m) 2 = 5.5
n) 12 = 2.83
21
73
p) 5 = 4.2 s)
q) 4 = 18.25
821 = 3.45714285 35
t)
1
c) 8 = 0.125 4
f) 9 = 0.4 17
i) 18 = 0.94 19
l) 21 = 0.904761 58
o) 13 = 4.461538 97
r) 9 = 10.7
2 544 100 = 25.44
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
13
Práctica
2
Eje Número, álgebra y variación Tema Número AE Convierte fracciones decimales a notación decimal y viceversa. Aproxima algunas fracciones no decimales usando la notación decimal. Ordena fracciones y números decimales.
Orden de fracciones y decimales La recta numérica es una línea en la que se representan cantidades. Después de fijar una posición para el cero, a su derecha se sitúan los números positivos, de menor a mayor. La parte fraccionaria de un número se encuentra a la derecha de su parte entera, antes del entero que le sigue.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Ejemplos: El número 1.4 se encuentra entre el 1 y el 2. Para ubicar su parte fraccionaria se divide el espacio entre estos enteros en diez partes iguales y se localizan las 4 décimas.
1.4
1. ¿Cuál es el 75% de 28? 21 2. ¿Cuál es el perímetro de una circunferencia de 1 cm de radio? (Considera pi como 3.1416) 6.2832 cm 3. ¿Cuánto es 100 veces 0.1? 10 4. ¿Cuál es la mitad de 1.5? 0.75 5. ¿Cuántas veces es mayor 0.5 que 0.02? 25
14
1
1.5
2
El número 3.73 se encuentra entre el 3.7 y el 3.8. Para ubicarlo, se divide el espacio entre ellos en diez partes iguales (cada una es una centésima) y se localiza la tercera.
3.7
3.73
3.8
3
El número 4 no tiene parte entera y se localiza entre el 0 y el 1. El denominador indica que el espacio entre ellos se divide en cuatro partes iguales. El numerador indica en cuál de las divisiones se encuentra el número (en este caso, en la tercera).
0
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
3 4
1
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
Matemáticas rápidas
1
El número 5 3 tiene 5 enteros, entonces se encuentra entre el 5 y el 6. El denominador indica que el espacio entre 5 y 6 se divide en tres partes iguales. El número se localiza en la primera de las tres divisiones que indica el numerador.
0
5
1 3
1
Un entero también puede representarse mediante figuras. Una fracción puede representarse mediante parte de esas mismas figuras. Ejemplos:
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
Si
Si
Si
= 1, entonces
= 1, entonces
=
1 6
= 1, entonces
=
2 3
=6
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
15
2
Práctica
Actividades Escribe en cada recta numérica el número decimal que se indica.
1 a)
b) 11.6
11
12
6.45
6.4
c)
6.5
d) 4.4
4
6
8.428 8.43
8.42
e) 3.74
3.7
3.8 Escribe en cada recta numérica la fracción que se indica.
2
b)
a) 93
9
5 9 6
5
10
4
10
d)
c) 20
20 1
0
1
21
2
2 5
2
3
9
e) 2
5
Localiza en cada recta numérica el número que se indica.
a) 5.8 5
5.8
6
c) 8.93 8.9
8.93
9
e) 3.295 3.295 3.3
3.2
g) 7.47 7.47
7.4
7.5
d) 3
f) 9
2 5
2 3
4 10
h) 7
1 4
1 2
1
2
5
3 2
3
4
3
94
9
10
10
7
7 1 4
8
1
i) 5.175 5.17
16
b) 1
5.175
5.18
j) 10 6
10 10 1 6
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
11
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
3
1 2
4
Indica la estatura de cada niño. 1.60 m
1.65 m
1.70 m
1.50 m
1.68 m 1.61 m
1.55 m
1.50 m
5
1.55 m
1.60 m
1.40 m
Escribe la fracción que representa la figura con respecto a la unidad.
a)
b)
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
1.48 m
c)
d)
e)
Si
Si
Si
Si
Si
= 1, entonces
= 1, entonces
=
1 2
1 3
=
=
= 1, entonces
= 1, entonces
= 1, entonces
=
=
2
1 1 2
1 3
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
17
2
Práctica
Escribe la fracción que representa la figura con respecto a cada suma.
6 a) Si
+
= 1, entonces
=
1 4
b) +
Si
= 1, entonces
1 3
=
c) = 1, entonces
=
+
1 1
d) +
Si
= 1, entonces
+
1 6
=
e)
Si
18
+
+
= 1, entonces
+
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
+
=
1 1 3
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
+
Si
7
Escribe la fracción que representa la figura con respecto a cada resta. a) +
Si
−
= 1, entonces
=
2 3
b) Si
−
= 1, entonces
=
−
1 4
c) −
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
Si
=
= 1, entonces
1 1 2
d) −
−
Si
= 1, entonces
=
1 2
e)
Si
+
+
+
−
+
= 1, entonces
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
=
2
19
Práctica
3
Eje Número, álgebra y variación Tema Adición y sustracción AE Resuelve problemas de suma y resta con números enteros, fracciones y decimales positivos y negativos.
Problemas de suma y resta de fracciones Para sumar o restar fracciones se deben seguir las siguientes reglas. Si las fracciones tienen el mismo denominador, se suman los numeradores y el denominador permanece igual. Por ejemplo: 2 1 3 + = 5 5 5
Si las fracciones tienen distinto denominador, se encuentra el mínimo común múltiplo de los denominadores y se escribe una fracción equivalente a cada una con el mínimo común múltiplo como denominador. Luego, se suma o resta. Por ejemplo: 1 4 5 4 9 + = + = 4 20 20 20 20
Si se tienen números con parte entera y parte fraccionaria (llamados también fracciones mixtas), cada una se escribe como una fracción impropia antes de sumar o restar. Por ejemplo: 3
1
27
10
81
40
121
1
6 4 + 3 3 = 4 + 3 = 12 + 12 = 12 = 10 12 Muchos problemas pueden resolverse sumando y restando números fraccionarios.
Matemáticas rápidas 1. 2286.9 ÷ 9 = 254.1
Ejemplos: Calcula el perímetro de la siguiente figura. 3
3
1
1
23
23
10
10
69
69
40
40
5 4 + 5 4 + 3 3 + 3 3 = 4 + 4 + 3 + 3 = 12 + 12 + 12 + 12 3
Escribe el símbolo >, < o = según corresponda:
1
3 3 cm
1
3 3 cm
2. 67 843 > 67 834 218
1 3. 100 = 0.01 4. 6 066 ÷ 6
72 ÷ 10
3
1
Si Martín mide 1 5 de metro y en el último año creció 20 de metro, ¿cuánto medía hace un año? 3
1
8
1
32
1
31
11
1 5 − 20 = 5 − 20 = 20 − 20 = 20 = 1 20 11
Hace un año, Martín medía 1 20 m, es decir, 1.55 m.
20
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
5 4 cm
Actividades 1
Resuelve las siguientes sumas y restas de fracciones. a) 5 + 5
1
3
= 4 5
b) 7 + 7
5
6
= 11 7
10
2
=2 2 3
13
5
= 4 7
11
7
= 1 3
c) 3 − 3 d) 14 − 14 e) 12 − 12 6
5
= 11 3 8
1
2
=3 4 5
f) 4 8 + 6 8 g) 6 5 − 2 5 h) 7 + 3
5
2
8 = 1 21
4
4
= 16 45
5
7
= 1 11 18
1
3
= 1 4
i) 5 − 9 j) 6 + 9
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
k) 2 − 12 l) 2 3 + 3 2
1
1
=5 5 6
5
2
=3 3 8
m) 7 8 − 4 8 4
=3 4 5
n) 3 + 5 1
3
o) 1 + 3 + 4
2
1 = 2 12
Resuelve los siguientes problemas. a) En el tiempo que duró un apagón de energía eléctrica, Viviana utilizó dos velas: la primera le duró
3 2 de hora y la segunda la necesitó por los 4 de 3
hora restantes que se mantuvo el apagón. ¿Cuánto tiempo duró el apagón? 1 5 de horas 12
¿A qué hora regresó la electricidad si el apagón comenzó a las 8:15 p.m.? 9 horas 40 minutos de la noche
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
21
Práctica
3 b) En una ferretería se venden clavos de cualquier tamaño a 20 pesos por 1
1
1
kilo. Si Juan, el carpintero, compra 4 kg de clavos de 2 pulgada, 2 kg de 1 2 1 de pulgada y 8 kg de 8 de pulgada, ¿cuántos kilos de clavos compró 4 en total y cuánto dinero gastó? 1 kg de clavos $20.00 pesos
c) Tres candidatos competían para la alcaldía de una ciudad. El primer can2
7
didato obtuvo 5 partes de los votos y el segundo 15 de los votos. ¿Qué fracción de los votos obtuvo el tercer candidato? 2 de los votos 15
¿Cuál candidato ganó la elección? El segundo
d) Elisa inscribió a su perro en una escuela de entrenamiento. Si cada sesión 3
1
2 1 horas 2
1
e) La familia Oliveros pasó la mitad de sus vacaciones en Oaxaca, 3 de ellas en Veracruz y el resto en Chiapas. ¿Qué fracción de sus vacaciones pasaron en Chiapas? 1 de sus vacaciones en Chiapas 6
f) La familia Rincón gasta una tercera parte de su salario en renta, una cuarta parte en alimentos y una quinta parte en servicios médicos. ¿Qué parte de su salario le queda a la familia para otros gastos? 13 de su salario 60
22
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
dura 4 de hora y el perro estuvo solamente 3 sesiones y 4 de hora, ¿cuántas horas el perro estuvo en la escuela?
g) ¿Cuál es el perímetro del siguiente cuadrilátero? 28 2 cm 3
7 1 cm 2 5 1 cm
6 cm
3
9 5 cm 6
h) ¿Qué fracción del área total del círculo representa el área sombreada?
1 12
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
1 4
i) ¿Qué fracción de la siguiente figura es roja?
1 es roja 4
j) ¿Qué parte de la siguiente figura es azul?
1 es azul 4
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
23
Práctica
4
Problemas de suma y resta de decimales Para sumar y restar decimales se siguen los siguientes pasos:
Eje Número, álgebra y variación
1. Escribimos un decimal debajo del otro alineando los puntos decimales. De esta manera quedan colocadas las posiciones de los números (décimos debajo de décimos, unidades debajo de unidades, etc.). 2. Suma o resta.
Tema Adición y sustracción AE Resuelve problemas de suma y resta con números enteros, fracciones y decimales positivos y negativos.
Ejemplos: Suma 33.05 + 182.573 33.050 + 182.573 215.623 Resta 284.56 - 120.1 284.56 − 120.10 164.46
Matemáticas rápidas
2. 36 = 4 × 9 3. ¿Cuáles son los cuatro primeros múltiplos de 9? 9, 18, 27, 36 4. ¿Cuál es el nombre de la siguiente figura:
Dodecágono
24
Actividades 1
Haz las siguientes operaciones. Acomoda los números de manera vertical. a) 2.1 + 24.11 + 1.143 + 183 = 210.353
b) 0.915 + 12.6 + 100.8 + 0.1 + 42.648 = 157.063
c) 1875.234 − 23.65 = 1851.584
d) 237.1 − 111.89 = 125.21
e) 4.25 + 12 + 8.7 = 24.95
f) 98.125 − 0.7569 = 97.3681
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
1. 49 ÷ 7 = 7
2
Resuelve los siguientes problemas. a) En una carrera de relevos de 800 m, los cuatro corredores tuvieron los siguientes tiempos: 27.43 s, 31.2 s, 29,52 s y 28 s. ¿Cuál es el tiempo total? 116.15 segundos
b) ¿Cuál sería el tiempo total si cada corredor lograra bajar su tiempo 0.30 segundos en promedio? 114.95 segundos
c) Renata tiene $2 840.75 en su cuenta de banco. Si expidió dos cheques, uno de $1 020.30 y otro de $214.80. ¿Cuánto le quedó en su cuenta? $1605.65
d) En los últimos 5 días, la cantidad de lluvia fue: 2.35 cm, 2 cm, 0.92 cm, 0.8 cm y 1.82 cm. ¿Cuánta lluvia cayó en los últimos 5 días? 7.89 cm
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
e) Una palmera mide 7.5 metros y un árbol de mango mide 3.43 metros. ¿Cuál es la diferencia entre las alturas de los árboles? 4.07 metros
f) Juan pesaba 63.7 kg y aumentó 2.5 kg el mes pasado. Este mes bajó 1.75 kg. ¿Cuánto pesa Juan? 64.45 kg
g) Un número es 5.27 menor que la suma de 13.8 y 25.81. ¿Cuál es el número? 34.34
h) El precio de descuento de un artículo electrónico es $1 903.50 menor que el precio regular. Si el precio regular es de $7 830.90. ¿Cuál es el precio del artículo con descuento? $5 927.40
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
25
Práctica
5
Eje Número, álgebra y variación
Problemas de suma de fracciones y decimales Actividades 1
Tema Adición y sustracción AE Resuelve problemas de suma y resta con números enteros, fracciones y decimales positivos y negativos.
Matemáticas rápidas
Utiliza la equivalencia de fracciones, el cálculo mental y la estimación de resultados, para indicar el valor aproximado de las siguientes operaciones. Explica tu procedimiento.
Ejemplo: 1 12 1 12 + ≈ 1 porque 50 es casi 0 y 13 es casi 1 50 13
6
1
30
a) 13 + 100 + 31
≈ 1 +0+1=1 1 2
2
1. 27.39 ÷ 11
2. ¿Qué fracción de la figura está sombreada? 1 4
17
3
≈ 1 + 0.5 = 1 1
15
20
≈2+1=3
22
11
≈3+ 1 =3 1
1
11
23
≈0+2+2=4
4
4
1
≈1+2+0=3
6
3
b) 18 + 5
2
c) 7 + 21
d) 7 + 20 3. ¿Qué porcentaje de la figura está sombreado? 25%
2
e) 30 + 5 + 12
2
4. 0.00073 × 1000 0.73
f) 5 + 2 + 5
5. 986.14 ÷ 100 9.8614 g) 7 + 4
26
≈1+1=2
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
2.49
2
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
3
Escribe dos números distintos de cero cuya suma sea el número que se indica. Respuesta libre (R. L.) a) 0.98
0.9 + 0.08
b) 0.607
0.6 + 0.007
c) 0.1001
0.1 + 0.0001
d) 5.002
5 + 0.002
e) 0.0034
0.0017 + 0.0017
f) 0.423
0.4 + 0.023
g) 0.002
0.001 + 0.001
h) 0.011
0.01 + 0.001
i) 3.25
3 + 0.25
Las siguientes mediciones son aproximaciones que se hicieron después de realizar el cálculo correcto. Escribe para cada caso si es conveniente o no considerar las aproximaciones y por qué. a) Una cancha de futbol mide 48.7 m. Aprox. 50 m b) Después de un examen de la vista al cliente, sus lentes deben tener 1.25 dioptrías. No se puede aproximar, el número debe ser exacto. c) Para extraer la catarata en un ojo la incisión debe ser de 2.8 mm. El corte debe ser exacto, sería irresponsable aproximar. d) La inclinación de las trabes de un puente deben ser de 24.6º. No podemos aproximar, la medida del ángulo debe ser exacta. e) El peso de un bebé es de 8.475 kg. Podemos aproximar y decir que su masa es de 8.5 kg.
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
27
Práctica
5 4
Resuelve los siguientes problemas. 1
a) Lucas recorre 6.7 km en metro, 3.8 km en metrobús y 4 km caminando para llegar a la Facultad de Medicina. ¿Cuál es la distancia total que Lucas recorre desde que se sube al metro hasta que llega a la Facultad? Lucas recorre 10.75 km desde que sube al metro hasta que llega a la Facultad. b) Helena entra a trabajar a las 8 a.m., se tarda 40 minutos para arreglarse, 25 minutos para desayunar y 3 de hora para llegar a su trabajo. ¿A qué 4
hora debe levantarse?
1 hr 50 min, debe levantarse a las 6:10 a.m.
c) En un debate, cada uno de los cuatro participantes tiene 2.5 minutos para 1
exponer su propuesta, 1 2 minutos para hacer su comentario de cierre y 8.5 minutos para responder preguntas de la audiencia.
¿Cuánto tiempo dispone cada candidato en total? 12.5 min
¿Cuanto tiempo dura el debate?
3
d) Amanda recorrió media hora en taxi para ir al aeropuerto, esperó 1 4 de hora para que saliera el avión, el viaje duró 2
3 de hora y el taxi a casa de 4
su abuela tardó 5 de hora en llegar. ¿Cuánto tiempo empleó Amanda en el viaje?
8
de hora. 5 horas y 5 8
e) José organizó una función de cuatro películas continuas: la primera dura 1
1
1 2 horas; la segunda, 2.3 horas; la tercera, 1.75 horas; y la cuarta, 2 10 horas. ¿Cuánto tiempo durará la función? 7.65 horas.
28
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
El debate dura 50 min.
f) En la siguiente tabla aparecen las puntuaciones de dos gimnastas. Para obtener la puntuación se calcula el promedio de las cuatro calificaciones. Indica cuál de las gimnastas obtuvo el primer lugar y cuál fue la diferencia de puntuación. Modalidad
Gimnasta 1
Gimnasta 2
Caballo
18.892
20.476
Barras asimétricas
19.253
18.876
Barra de equilibrio
19.141
21.111
Manos libres
21.889
18.711
Gimnasta 1 obtuvo 14.74375 puntos de promedio. Gimnasta 2 obtuvo 19.7935 puntos de promedio. El primer lugar lo obtuvo la gimnasta 1. La diferencia en la puntuación fue 0.00025.
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
5
Completa los siguientes cuadrados de tal forma que la suma de cada columna, renglón y diagonal, sea el mismo resultado.
3 5
1 5
1.2
4.5
0.6
1
1
2
4 5
1.8
5
1.5
4
5 2
7 2
3
5.5
1
2 5
2 5
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
29
6
Eje Número, álgebra y variación
Suma y resta de números positivos y negativos Para sumar números negativos y positivos podemos utilizar el siguiente método:
Tema Adición y sustracción
−
AE Resuelve problemas de suma y resta con números enteros, fracciones y decimales positivos y negativos.
Matemáticas rápidas 1. ¿Cuánto vale el área de un rectángulo de 1 base m y de 2
altura 2 m? 1 m2 2. ¿Cuánto vale el área de un cuadrado cuyo lado mide 5 cm? 25 cm2 3. ¿Cuál es la mitad 1 de ? 1 10
5
4. ¿Cuál es la
+
En un recuadro como el anterior se representan de un lado los números positivos y del otro los negativos. Cada sumando se acomoda representado por la misma cantidad de marcas en el recuadro que le corresponda a su signo. Como cada marca representa un mismo valor, es decir, una unidad, una marca positiva y una negativa, se pueden anular. Se tachan por parejas, una negativa y una positiva. Una vez que ya no se puedan completar parejas para anular, uno de los lados del recuadro quedará aún con marcas. La cantidad de marcas sobrantes será el valor del resultado de la suma, dependiendo el lado del recuadro en el que quedaron, será el signo que tendrá. Ejemplo:
−3+7
En el recuadro se ponen 3 marcas del lado de los negativos y 7 del lado de los positivos. Se tacha uno de cada lado hasta que ya no queden pares por tachar.
−
+
expresión decimal 3 8
de ? 0.375 5. ¿Cuál es el 25% de 40? 10
30
Quedaron cuatro marcas sin tachar del lado positivo. Por tanto, − 3 + 7 = 4.
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
Práctica
Para restar números negativos o positivos se utiliza un procedimiento similar al anterior:
Pregunta de reflexión
El número al que se le restará otro, se colocará representado por la misma cantidad de marcas en la parte del recuadro que le corresponde según su signo. Los números que se le restarán se acomodan en el recuadro en la parte contraria a su signo: » Si el que se resta es un número positivo, éste se coloca en la parte negativa del recuadro, representado por la misma cantidad de marcas. » Si el que se resta es un número negativo, éste se coloca en la parte positiva del recuadro, representado por la misma cantidad de marcas. Se anulan por pares, uno de cada lado. El resultado es la cantidad de marcas sobrantes con el signo dependiendo del lado donde se encuentren.
Si sumas dos números negativos, el resultado: Es un número positivo. Es un número negativo. Puede ser positivo o negativo, dependiendo de cuáles sean los números.
Ejemplo:
−4 − (−5)
Por lo tanto: −4 − (−5) = 1
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
−
+
−4 − (5) Por lo tanto: −4 − (5) = −9
−
+
Si a un número positivo le restas un número negativo, el resultado: Es un número positivo. Es un número negativo. Puede ser positivo o negativo, dependiendo de cuáles sean los números. Si a un número negativo le restas un número negativo, el resultado: Es un número positivo. Es un número negativo. Puede ser positivo o negativo, dependiendo de cuáles sean los números.
Para sumar fracciones o decimales positivos y negativos se siguen las mismas reglas que al sumar enteros.
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
31
Práctica
6 Actividades
32
Resuelve las siguientes sumas utilizando los recuadros.
a) −3 + 6 =3
−
+
b) −7 + 8 =1
−
+
c) −1 + 4 =3
−
+
d) −5 + 7
−
+
e) 2 + (−2) =0
−
+
f) −3 + (−4)
−
+
g) −4 + (−3) = −7
−
+
h) −5 + 5
−
+
i) −6 + 3 = −3
−
+
j) −6 + 4
−
+
k) −9 + 1 = −8
−
+
l) 3 + (−8)
−
+
=2
= −7
=0
= −2
= −5
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
1
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
2
Resuelve las siguientes sumas utilizando los recuadros. a) 4 − 6 = −2
−
+
b) 5 − 7 = −2
−
+
c) 2 − 5 = −3
−
+
d) −2 − 2 = −4
−
+
e) −1 − 2 = −3
−
+
f) −4 − (−1) = −3
−
+
g) 2 − (−4) =6
−
+
h) −7 − (−6) = −1
−
+
i) 8 − 12 = −4
−
+
j) −5 − (−2) = −3
−
+
k) 4 − 9 = −5
−
+
l) −10 − (−12) =2
−
+
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
33
6 3
Completa las siguientes tablas de sumas.
+
−3
−1
0
1
2
3
−4
−7
−5
−4
−3
−2
−1
−2
−5
−3
−2
−1
0
1
0
−3
−1
0
1
2
3
2
−1
1
2
3
4
5
4
1 3 4 5 6 7
+
−1 −2
−4 −6
4
34
0
1
2
−5
−4
−3
−2
−3
−4 −5
−3
−2
−1
−2
−4
−1 −2
0
−3 −1
−3
−1 −2
0
1
Escribe el número que falta para que se cumpla la igualdad. a) 5 −
3
c) −4 +
(−5)
=2
= −9
6
b) 2 −
d)
−11
−3
e)
−2
− 6 = −8
f)
g)
2
− 5 = −3
h) 4 −
= −4
+ 9 = −2
+7=4 (−2)
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
=6
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
Práctica
5
Resuelve las siguientes operaciones. 13 1 1 103 + 1 − 2 = − 30 5 2 3 3 c) 1 4 − 12 = −10 1 4
a) −
e) −
(
)
3 3 = 13 − −2 + 20 4 5
d) − f)
5 1 −5 = − 107 9 9 3
5 1 +2 = 5 3 6 2
3 1 − (− ) = 13 12 4 3
g) −5.4 + (−8.3) = −13.7
h) 5.9 + (−8.7) − (1.2) = −4
i) 9.6 − 11.3 = −1.7
j) −6.7 − (−5.4) + (−1.1) = −2.4
(
) (
(
) (
)
1 2 2 −− + − =− 3 5 3 5 3 2 3 5 5 m) − − − + − − 3 =− 4 3 2 4 12
k) −
o)
) ( )
3 3 + (− ) = 3 10 5 10
l) 0.8 + (−1.3) − (−5.3) − (2.8) = 2 n) 3.1 + (−2.4) + 8.3 + 4.2 + (−13.5) = −0.3 p) −11.2 + (−2.3) − (4.5) − (−3.1) = −14.9
q) 123.19 − (−32.5) + (−201.2) = −45.51
6
b) −6
r) −23.7 + (−12.1) − (−0.64) + (−11.8) = −46.96
Resuelve los siguientes problemas.
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
a) Sara compró siete dulces que cuestan $3.45 cada uno. ¿Cuánto gastó en total? $ 24.15 b) Marco compró cinco discos para su fiesta de cumpleaños. Dos discos le costaron $150.30 cada uno y los otros tres le costaron $99.99 cada uno. ¿Cuánto pagó por los cinco discos? $600.57 3
c) Felipe lleva coloreado 7 partes de un dibujo. ¿Qué fracción del dibujo le falta por colorear? 4 7
d) ¿Qué fracción representa la parte azul de la siguiente figura? 3 16
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
35
Práctica
6 2
e) Alejandra se comió 12 de un pastel y le regaló a su hermana la mitad de lo que quedaba. ¿Qué fracción del pastel sobró? 5 12
f) En una mañana de invierno, el termómetro registró una temperatura de −3°C. Si la temperatura aumentó 17°C máximo ese día, ¿cuál fue la temperatura máxima que se alcanzó? 14°C g) Elisa pagó con un cheque sin fondos por $150 y su banco le cobró una multa de $50. Ella depositó inmediatamente $100 en su cuenta. ¿Cuál es su saldo? −$100
h) Un submarino descendió −40.5 m y más tarde descendió −38.6 m. ¿A qué profundidad se encuentra ahora? Se encuentra a −79.1 metros.
7
Explica cómo puedes averiguar cuál de las siguientes fracciones es 1 3 menor: − y− 2
4
Una manera de averiguarlo es localizarlas en la recta numérica y ver cuál de ellas está más cerca del cero, ésa será la mayor. 1 es mayor ya que está más cerca 2
−1
del cero.
8
−
3 1 − 4 2
−
1 4
0
1 4
Explica cómo puedes averiguar cuál de los siguientes números es mayor: −0.6 y −0.25. Una manera de averiguarlo es localizarlos en la recta numérica y ver cuál de ellos está más cerca del cero. En este caso, −0.25 está más cerca del cero que −0.6 Entonces el mayor es −0.25.
9
Escribe , = , según corresponda. a) −
7 4
1
c) 9 e) −1.45
36
< >
3 2
− − >
b) −8.75
− 2
0.01
f) −
3 5
=
−0.6
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
−
10 Resuelve los siguientes problemas. a) Ricardo pagó con su tarjeta de crédito en el almacén y como resultado su estado de cuenta señala que su saldo es de -$620. Inmediatamente depositó $55 y al día siguiente $190. ¿Cuál es su saldo actual? Su saldo actual es de −$375 b) Una receta para preparar ensalada de manzana indica que se necesita un kilo y medio de manzanas. En el supermercado venden paquetes de
1 kg. ¿Cuánta manzana sobra después de preparar la ensalada? 4 3 Sobra kg de manzana 4
2
c) En el atlas de Geografía se señalan las alturas de ciertas montañas y la profundidad de algunas fosas marinas: Fosa de las Marianas
Pacífico sur (Islas Marianas)
−11.034 km
Fosa de las Caimán
Mar Caribe (S Cuba)
−7.680 km
Fosa de Sigsbee
Golfo de México
−3.750 km
Pico del Aconcagua
Mendoza, Argentina
6.959 km
Pico de Orizaba
Orizaba, Veracruz
5.702 km
Volcán Popocatépetl
Estado de México
5.452 Km
Utiliza la tabla anterior para responder las siguientes preguntas:
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
¿Cuál es la diferencia de profundidad entre la fosa de las Marianas y la fosa de Sigsbee? −7.284 km ¿Cuál es la diferencia de altura entre el Pico de Orizaba y el volcán Popocatépetl? 250 metros ¿Cuál es la diferencia entre el Pico del Aconcagua y la fosa de las Marianas? 17 993 km
11 Completa la siguiente tabla. Escribe los resultados en forma fraccionaria. a
b
a+b
a−b
b−a
−8.5
3.2
3 −5.3= −5 10
7 −11.7 = −11 10
7 11.7 = 11 10
3 4
−1.5
−2.25 = −2 1 4
0.75 = 3 4
−0.75 = − 3 4
3.8
−9.6
−5.8 = −5 4 5
13.4 = 13 2 5
−13.4 = −13 2 5
−
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
37
7
Práctica
Problemas de multiplicación de fracciones
Eje Número, álgebra y variación
Para multiplicar dos fracciones se multiplica el numerador por el numerador y el producto es el numerador de la nueva fracción; el producto de los denominadores es el denominador de la nueva fracción.
Tema Multiplicación y división
Cuando el producto de dos fracciones es 1, se dice que una de las fracciones es el inverso multiplicativo de la otra.
AE Resuelve problemas de multiplicación con fracciones y decimales y de división con decimales.
Ejemplos: 5
4
2
3
1
6
1
2
El inverso multiplicativo de 4 es 5 . El inverso multiplicativo de 3 es 2 . El inverso multiplicativo de 6 es 1 . El inverso multiplicativo de 2 es 1 . Para dividir dos fracciones, el resultado es el producto de la primera fracción por el inverso multiplicativo de la segunda. Ejemplos: 2 5 2 4 8 ÷ = × = 3 4 3 5 15 3 2 3 3 9 ÷ = × = 5 3 5 2 10
Matemáticas rápidas
6 1 6 2 12 ÷ = × = 7 7 2 7 1
1. 64 ÷ 8 = 8 2. 60 = 4 × 15
1
3. 63 = 9 × 7 3
Actividades Escribe qué parte de la figura está sombreada en cada uno de los siguientes cuadrados.
32
1
4. 5 + 9 = 45
1 5
5. Escribe como fracción impropia 3
a2 7 .
38
17 7
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
1 2
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
4 1 4 6 24 ÷ = × = 9 9 6 9 1
2
En la siguiente figura están unidas las dos figuras del ejercicio 1. Indica 1
1
qué parte representa 2 de 5 . 1 10
3
1
Escribe qué parte de las figuras está sombreada y qué parte representa 3 2 de 5 , cuando se unen las figuras. 1 3
4
1 de 2 es 2 3 5 15
2 5
Traza las líneas necesarias en cada figura para que represente la multiplicación que se indica. Escribe el resultado. 1
1
1
2
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
1 × 1 = 1 1 2 2 a) 2 de 3 = b) 3 de 3 = 3 × 3 = 9 2 3 6
5
1
2
1 2 2 c) 4 de 3 = 4 × 3 = 12
Elabora un diagrama, similar a los del ejercicio anterior, que ilustre las siguientes multiplicaciones. Escribe el resultado. 3
1
1
3
1
3
3 × 1 a) 4 de 2 = b) 5 de 4 = 5 × 4 4 2
3
2
c) 4 de 3 =
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
3 × 2 4 3
39
7 6
Apóyate en el diagrama y completa lo que falta para indicar de qué multiplicación se trata:
1
1
1 a) 2 de 1 = 12 6
1 b) 3 de 1 = 18 6
d) 2 de 1 =
e) 4 de 5 = 20
3
5
2 15
3
7
Realiza las siguientes operaciones y simplifica el resultado.
5
= 25 = 5 40 8
b ) 8 × 11 = 99 8
5
3
= 3 = 15 40 8
d) 2 × 7
3
1
3 = 14
4
7
= 7 = 28 48 12
f) 7 × 2
5
3
= 15 14
1
5
5 = 1 = 20 4
h) 4 × 3
25
7
= 175 12
c) 4 × 10
e) 6 × 8
g) 10 × 2
6 de 3 = 12 4
6
5
a) 4 × 10
40
2
c) 2 3
9
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
Práctica
8
Pregunta de reflexión
Resuelve los siguientes problemas. 3
a) Jacinto entrena en una pista de 800 m. Empieza trotando los primeros 4 de la pista y después corre a toda velocidad. ¿Cuántos metros trota? Avanza 600 m trotando. 1
b) Roxana está vendiendo un terreno en 4 de millón de pesos. Para que se venda pronto, decidió reducir el precio a la mitad. ¿Cuánto cuesta el terreno ahora? $ 125 000
Como 0.001 es igual 1
que 1 000 , dividir 1
entre 1 000 es lo mismo que: Encontrar la milésima parte. Dividir entre 1 000.
c) Carolina y Alfredo están haciendo carreras en bicicleta. Juan da la señal de
Multiplicar por 1 000.
4
salida y les indica cuándo deben detenerse. Carolina avanzó 5 de kilómetro, 2 mientras que Alfredo recorrió 3 de lo que avanzó Carolina. ¿Cuánto avanzó Alfredo?
533.3 km 1
d) En la clase de carpintería el maestro dividió una tabla de 3 2 m en 6 pedazos iguales. ¿Qué parte de metro mide cada pedazo? 7 12 m 1
1
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
e) Arturo utilizó 1 4 litros de pintura para pintar 3 de la sala. ¿Cuántos cuartos de pintura necesita para pintar la sala completa? 10 4 litros. 2
f) La maestra reportó que nueve de sus estudiantes reprobaron y que sólo 3 aprobaron. ¿Cuántos alumnos hay en la clase? 27 alumnos. g) Paulina recibe un pago de $60 la hora. Si trabaja 3 horas al día, de lunes a viernes, ¿cuánto recibe de pago a la semana? $900 a la semana. h) Antonio quiere nadar 300 m en una alberca de 33 metros de largo. ¿Cuántas vueltas debe dar a la alberca? 9 vueltas.
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
41
Práctica
8
Eje Número, álgebra y variación Tema Multiplicación y división
Problemas de multiplicación de decimales Actividades 1
Resuelve las siguientes multiplicaciones. a)
0.3 ×4 1.2
b)
0.7 ×3 2.1
c)
3.6 ×5 18
d)
1.2 ×7 8.4
1. 10.2 0.9 + 8.01 271
e)
7.8 ×9 70.2
f)
1.1 × 3.2 3.52
2. Calcula el 20% de 30. 6
g)
2.7 × 6.0 16.2
h)
5.6 × 7.2 40.32
i)
7.24 × 6.16 44.5984
j) 32.7 × 0.41 13.407
k)
313.00 × 94.90 29 703.7
l)
42.901 × 12.20 523.3922
n)
1.112 × 0.310 0.34472
AE Resuelve problemas de multiplicación con fracciones y decimales y de división con decimales.
Matemáticas rápidas
3. + 5.34 16
21.34
3 4. 8 de 24 9
5. Un almuerzo para una excursión contiene una naranja de $5.10, una zanahoria de $1.25, un sándwich de $15.50, una galleta de $3.75 y un cuarto de leche de $5.40. ¿Cuál será el precio que hay que pagar por 10 almuerzos?
m) 0.280 × 7.3 2.044
$310
42
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
290.11
2
o) 38.700 × 5.170 200.079
p)
q) 9.979 × 0.3021 3.0146559
r)
s)
t) 72.900 × 1.600 116.64
0.302 × 53 76.406
13.312 × 7.540 100.37248
1.401 × 12.01 16.82601
Pregunta de reflexión Cuando multiplicamos por un número decimal menor que uno, ¿cuándo es más chico el producto que los factores? Nunca Siempre Algunas veces
Resuelve los siguientes problemas. a) En un restaurante el menú de niños cuesta $45.80. ¿Cuánto cuesta llevar a 10 niños a comer? $458
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
b) En una tienda venden agua embotellada a $7.75 cada una. Si compras 8 botellas, ¿cuánto gastarás? $62 c) Una pista para correr mide 3.450 km. Si Ana corre 3 vueltas diarias, ¿cuántos kilómetros corre diariamente? ¿Cuántos kilómetros corre en una semana si descansa un día a la semana? 10.35 km diarios. 62.1 km a la semana. d) Un chef calcula que cada persona se come en promedio 0.275 kg de carne de un asado. ¿Cuánta carne necesita para 35 personas? 9.625 kg e) Si el salario mensual de Juan es de $10 500 y cada mes ahorra 0.25 de su sueldo, ¿cuánto ahorra en un año? $31 500
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
43
Práctica
9
Eje Número, álgebra y variación Tema Multiplicación y división
Problemas de división con decimales Actividades 1
Resuelve las siguientes divisiones. a) 15 ÷ 10
= 1.5
b) 3 600 ÷ 10
=360
c) 5 738 ÷ 100
= 57.38
d) 9 000 ÷ 10 000
= 0.9
e) 8 516 ÷ 1 000 000
= 0.008516
f) 67 ÷ 3
= 22.3
3. Escribe los primeros cuatro múltiplos de 7.
g) 4 545 ÷ 7
= 649.28
h) 13 488 ÷ 55
= 245.23
2 4. 9 de 27 = 6
i) 6 782 ÷ 13
= 521.6
j) 11 496 ÷ 49
= 234.6
k) 2.54 ÷ 4
= 0.635
l) 23.68 ÷ 3
= 7.893
m) 11.24 ÷ 7
= 1.605
n) 388.5 ÷ 15
= 25.9
AE Resuelve problemas de multiplicación con fracciones y decimales y de división con decimales.
Matemáticas rápidas 1.
48 8 = 6
2. 4 × N = 36, ¿cuánto vale N? N=9
5. En el gimnasio de una escuela hay 65 asientos rojos, 40 lugares para permanecer de pie y 142 asientos azules. ¿Cuántos asientos hay en total? 207
44
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
7, 14, 21, 28
o) 714.84 ÷ 64
p) 8 777.25 ÷ 16.2
= 11.16
q) 9 320.41 ÷ 1.50
= 6 213.60
s) 10 927.532 ÷ 0.172 = 63 532.1
2
= 541.8
r) 332.925 ÷ 10.211 = 32.60
t) 11 415 ÷ 25.9
= 440.7
Pregunta de reflexión Al dividir un número entre un decimal menor a uno, el cociente será: Mayor que el dividendo. Menor que el dividendo. A veces mayor y a veces menor que el dividendo.
Resuelve los siguientes problemas. a) En una rifa se recaudaron $278 071. Si se van a repartir las ganancias entre cuatro asociaciones de beneficencia en partes iguales, ¿cuánto dinero obtendrá cada asociación? $69 517.75 b) Si Andrea obtuvo las calificaciones mostradas en la tabla, ¿cuál es su promedio bimestral?
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
8.83 3er bimestre Materia
Calificación
Español
7.7
Matemáticas
9.5
Biología
8.3
Inglés
8.3
Educación Física
10
Arte
9.2 m
c) La gravedad terrestre es aproximadamente igual a 9.81 s2 . Si la gravedad lunar es aproximadamente una sexta parte de la terrestre, calcula la gravedad lunar. 1.635
m s2
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
45
10
Práctica
Jerarquía de operaciones
Eje Número, álgebra y variación
Cuando en una expresión aparecen varias operaciones, algunas de las cuales están entre paréntesis, se buscan los resultados de cada una de ellas, yendo de los paréntesis internos hacia los externos. Los paréntesis indican, por lo tanto, el orden en que deben hacerse las operaciones.
Tema Adición y sustracción AE Determina y usa la jerarquía de operaciones y los paréntesis en operaciones con números naturales, enteros y decimales (para multiplicación y división solo números positivos).
Ejemplo: 4 × [3 + (10 ÷ 2)] = 4 × [3 + (5)] = 4 × [8] = 32 [(4 × 3) + 10] ÷ 2 = [(12) + 10] ÷ 2 = [22] ÷ 2 = 11 (4 × 3) + (10 ÷ 2) = (12) + (5) = 17 Observa cómo los resultados varían según se colocan los paréntesis. Si en una expresión con varias operaciones no hay paréntesis, existe una serie de reglas que permiten llevarlas a cabo de manera única. Estas reglas se conocen como jerarquía de operaciones y son las siguientes:
Matemáticas rápidas 1. El costo de inscripción a un periódico es de $24.50 a la semana. ¿Cuánto cuesta la inscripción anual?
Se resuelven potencias y raíces (si las hay). Multiplicaciones y divisiones (si las hay). Las sumas y restas (si las hay).
$1 274
2. Resuelve las siguientes operaciones: 2 3 2 3 2 3 2 3
3 5 3 ÷ 5 3 + 5 3 − 5 ×
=
8 × 4 − 5 × 2 32 − 10 = = 22 = 2 11 11 11
la división entre 11 es la última que se hace.
3 5 10
= 9 =
19 15
=
1 15
Actividades 1
Resuelve las siguientes multiplicaciones. a) 20 + 5 × 3
c)
46
50 ×5−6×3−2 10
= 35
b) 8 × 5 − 25 ÷ 5
= 35
=5
d) 4 + 32 − 9
=4
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
Algunas operaciones funcionan como paréntesis. Por ejemplo, para resolver:
e) (8 + 2)2 − 8 × 40
= –220
f) 8 × 4 − 5 × 3
= 17
g) 12 ÷ 3 − 5 + 4 ÷ 2 + 27
= 28
h) 7 × 6 − 40 ÷ 5 + 62 ÷ 18 + 18
= 54
i) 5 × 20 + 23 + 3
= 126
j) 2(64 − 4 ÷ 2)
= 124
k) 2(64 − 4 ÷ 2)
= 124
l) 72 ÷ 2 + 18 ÷ 3 − 125 + 18 ÷ 9
= –81
=8
n) 8.4 × 5 − 2.5 ÷ 5
= 41.5
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
m)
1 3 +5× 2 2
o)
5 1 20 ×5− ×3− 3 3 3
q)
(8 + 2)2 − 8 + 40 10
s)
2 1 2 7 ÷ + ×2+ 5 7 5 5
2
p)
42 + 32 −9 5
= –4
= –22
r) 3.1 × 2 + 2.45 × 4
= 16
=5
t) 7 × 1.6 − 40.5 ÷ 5 + 62 ÷ 1.8 −
= 361
v)
2
u) 15 × 20 + 6.1 × 10
w)
= 3
3 1 1 2 5 1 3 ÷ + ÷ − + ÷ 4 2 2 5 4 3 2
31
= 18
2(64 − 4 ÷ 2) 124
x) 1.8 ÷ 0.9 + 1.7 × 0.2
1 = 23 10
=1
= 2.34
En las siguientes operaciones, coloca paréntesis de tal forma que obtengas el resultado que se indica. a) 42 − 32 × 9 = −65
= 42 – (32 × 9) = 16 – 81 = −65
b) 6 × 5 − 25 ÷ 4 = −30 = [6 × (5 − 25)] ÷ 4 = −120 ÷ 4 = −30 c) −20 + 4 ÷ 3 = −8
= −(20 + 4)÷ 3 = −8
d) −42 − 4 ÷ 2 × = 6
= [(−4)2 − 4] ÷ 2 = (16 − 4) ÷ 2 = 6
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
47
Práctica
11
Eje Número, álgebra y variación Tema Proporcionalidad
Porcentajes Un porcentaje es una fracción con denominador 100. Para representarlo gráficamente utilizamos una retícula con 100 cuadritos, donde cada cuadrito representa el 1%.
AE Resuelve problemas de cálculo de porcentajes, del tanto por ciento y de la cantidad base.
Matemáticas rápidas 1. ¿Cuántos milímetros son 43.5 cm?
1%
Observa cómo están representados los siguientes porcentajes: 75%
14%
98%
435 mm
14.4 m
3. Memo trabaja de medio tiempo en una escuela y gana $280 por hora. ¿Cuánto gana en 12 días si trabaja 5 horas diarias?
14 100 = 0.14
75 100 = 0.75
98 100 = 0.98
Los 100 cuadritos representan el entero. Si el entero es 120, ¿cuánto representa cada cuadrito?
120 ÷100 = 1.2
$16 800
4. Calcula 657.05 × 9. 5 913.45
5. Cada uno de los cuatro miembros de la familia de Juan come una toronja en el desayuno diariamente. ¿Cuántas docenas de toronja consumen en una semana?
Dos docenas y cuatro toronjas
48
1.2
Por tanto, si queremos calcular el 20% de 120, procedemos de la siguiente manera: si el 1% de 120 es 1.2, entonces el 20% será 1.2 x 20 = 24 Para calcular el tanto por ciento de una cantidad: 1. Se calcula el 1% dividiendo la cantidad entre 100. 2. Se multiplica el resultado por el porcentaje que queremos calcular.
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
2. Un 75% de la altura de un edificio equivale a 10.8 metros. ¿Cuánto mide el edificio completo?
Ejemplos: 12% de 300
60% de 40
150% de 90
300 ÷ 100 = 3 3 × 12 = 36
40 ÷ 100 = 0.4 0.4 × 60= 24
150 ÷ 100 = 1.5 1.5 × 90 = 135
Si conocemos el porcentaje y queremos averiguar el valor del entero, es decir, 15% de = 30, se realiza lo siguiente: 1. Se divide 30 ÷ 15 = 2 para averiguar el valor de un cuadrito. 2. Este valor se multiplica por 100 para averiguar cuál es el entero 2 × 100=200 Ejemplos: = 175 35% de 175 ÷ 35 = 5 5 × 100 = 500
= 166 83% de 166 ÷ 83 = 2 2 × 100 = 200
= 180 40% de 180 ÷ 40 = 4.5 4.5 × 100 = 450
35% de 500 = 175
83% de 200 = 166
40% de 450 = 180
Si conocemos el valor del porcentaje y el valor del entero y queremos averiguar qué tanto por ciento es, es decir, % de 150 = 120, se procede de la siguiente manera: 1. El entero vale 150, entonces podemos averiguar el 1%: 150 ÷ 100 = 1.5 2. Para conocer qué porcentaje de 150 es igual a 120, dividimos 120 ÷ 1.5 = 80
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
Ejemplos: % de 25 = 5 25 ÷ 100 = 0.25 5 ÷ 0.25 = 20
% de 90 = 40.5 90 ÷ 100 = 0.9 40.5 ÷ 0.9 = 45
% de 90 = 63 90 ÷ 100 = 0.9 63 ÷ 0.9 = 45
20% de 25 = 5
45% de 90 = 40.5
70% de 90 = 63
Actividades 1
Representa gráficamente los siguientes porcentajes. Escríbelos en forma de fracción y decimal. b) 55%
a) 40% Fracción: 40
Fracción: 55
Decimal: 0.40
Decimal: 0.55
100
100
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
49
Práctica
11 d) 3%
c) 8% Fracción: 8
3 Fracción: 100
Decimal: 0.08
Decimal: 0.03
100
e) 170% Fracción: 170 100
Decimal: 1.7
Representa gráficamente y calcula el tanto por ciento de la cantidad que se indica.
2
150 ÷ 100 = 1.5
220 ÷ 100 = 2.2
1.5 x 18 = 27
2.2 x 30 = 66
d) 1.5% de 80
c) 2% de 32
32 ÷ 100 = 0.32 0.32 × 2 = 0.64
e) 12% de 2 340
f) 0.5% de 12
2340 ÷ 100 = 23.40
12 ÷ 100 = 0.12
23.40 × 12 = 280.8
50
80 ÷ 100 = 0.8 0.8 × 1.5 = 1.2
0.12 × 0.5 = 0.06
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
b) 30% de 220
a) 18% de 150
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
3
Calcula los porcentajes que se indican. a) 15% de 60
=9
b) 8% de 200
= 16
c) 33% de 9
= 2.97
d) 14% de 560
= 78.4
e) 56% de 320
= 179.2
f) 67% de 386
= 258.62
g) 46% de 2 783
= 1 280.18
h) 18% de 0.37
= 0.0666
i) 38% de 34.6
= 13.148
j) 70% de 0.436
= 0.3052
k) 0.2% de 930
= 1.86
l) 0.63% de 852
= 5.3676
m) 256% de 3
= 7.68
n) 25% de 27
= 6.75
o) 75% de 4.655
= 3.49125
p) 34% de 15
= 5.1
q) 40% de 2 000
= 800
r) 1 000% de 36
= 360
s) 0.05% de 6 325
= 3.16
t) 20% de 930
= 186
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
51
Práctica
11 4
Calcula qué tanto por ciento es la primera cantidad de la segunda. 20 % de 35 = 7 a) b) 131.42 % de 35 = 46
c) d)
83
% de 300 = 249
66
% de 27 = 17.82
e)
140
% de 56 = 78.4
f)
62
% de 16 = 9.92
g) h)
2.5
% de 400 = 10
1
% de 900 = 9
k) l)
16.75 % de 18 = 3.015 31.25 % de 1472 = 460 15
% de 27.86 = 4.179
104
% de 56 = 58.24
m) 14 % de 165 = 23.1 n) 42.19 % de 374 = 157.8 o) p)
4.33 % de 978 = 42.34 50
% de 187.3 = 93.65
q) r)
723
% de 99 = 716
s) t)
52
7.11 % de 8.15 = 0.58 10
% de 290 = 29
60
% de 2 430 = 1 458
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
i) j)
5
Completa correctamente las afirmaciones. a) 9% de 122.2 b) 25% de
Pregunta de reflexión
= 11
2 960 = 740
c) 0.05% de 90 000 = 45
d) 10% de
9.04
= 0.904
e) 73% de
7.07
= 5.16
¿De qué número 5 400 es el 300%? 16 200 162 1 800 3 600
f) 210% de 625.71 = 1314 g) 19% de 3 221 = 612
h) 36% de 704.7 = 253.7 i) 1.05% de 0.476 = 0.005 j) 150% de 5 593.3 = 8 390 k) 20% de
625
= 125
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
l) 0.34% de 441.2 = 1.5 m) 57% de 253.2 = 144.3 n) 66% de 124.2 = 82 o) 25% de
160
= 40
p) 95% de
66.4
= 63.07
q) 45% de 1600
= 720
r) 13.02% de
69.1
=9
s) 73.8% de 2 760.2 = 2 037 t) 80% de 31.25 = 25
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
53
Evaluación Subraya la respuesta correcta. 3
1. 4 escrito en su forma decimal es:
a) 7.5
b) 0.133
c) 1.33
d) 0.75
3
1
2. Para cercar una barda de 6 4 metros de largo, Nicolás compró 8 2 metros de alambre. ¿Cuánto alambre le sobró?
1
1
a) 2 2 m
3
b) 1 2 m
1
c) 1 4 m
d) 1 4 m 1
3. De un tinaco que estaba lleno de agua se extrajo la mitad y luego 5 del volumen original. ¿Qué parte del tinaco quedó con agua? 2
3
a) 7
1
b) 10
7
c) 2
d) 10
4. El número 0.125 escrito como fracción irreducible es igual a: 1
125
a) 8
12
b) 10
125
c) 5
d) 100
1
5. El resultado de escribir 3 en forma decimal es:
a) 0.13
b) 0.3
c) 0.33
d) 0.333
6. Al resolver la operación 5 + 8 × 2 − 24 ÷ 4 + 1.5 × 4 se obtiene:
a) 8
b) 26
c) 25
d) 6
precio de los zapatos sin el impuesto del IVA?
a) $ 957
b) $732
c) $809
d) $711.20
8. El 40% de 1 200 es:
a) 48
b) 480
c) 4 800
d) 4.8
9. En el mercado el precio de la manzana es de $28.50 el kilo. ¿Cuánto debo 1
pagar por 3 4 kg?
a) $99.75
b) $106.90
c) $96.90
d) $92.60
3
10. 5 del total de alumnos de una escuela son niños y la tercera parte quiere pertenecer al equipo de futbol. ¿Qué parte del total quiere estar en el equipo de futbol? 1
a) 5
54
1
b) 3
5
c) 9
3
d) 5
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
7. Si un par de zapatos tenis cuestan $825 con 16% de IVA incluido, ¿cuál es el
11. En cuál de las siguientes rectas están localizados correctamente los siguientes números:
a)
1 3
7, 1 , 2 5 2 6 3 3 y 6
5 6
7 6
2
1
b)
5 6
1 3
2 7 6
c)
7 6
5 6
d)
5 6
2 3
2
3 2
1 1 3
3 2
1 1 3
2 3
2 3
2 7 6
3 2
1
2 3
2
3
12. El termómetro marcó −5 ºC a las 6 a.m. y tres horas después la temperatura aumentó 3 ºC. ¿Qué temperatura marcó el termómetro a las 9 a.m.?
a) −8 ºC
b) 2 ºC
c) −2 ºC
d) 8 ºC
13. A las 5 a.m. Renata observó que la temperatura era -1 ºC y al mediodía había
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
aumentado 8 ºC. ¿Cuál era la temperatura al mediodía?
a) 9 ºC
b) −7 ºC
c) 7 ºC
d) -9 ºC
14. Después de la escuela Eugenia tiene 4 horas para sus actividades vesper1
tinas. Ocupa la mitad de ellas en hacer su tarea y 4 en su clase de karate. ¿Cuánto tiempo ocupa para hacer su tarea y cuánto para la clase de karate?
a) Tarea: 1 hora y karate: 1 hora c) Tarea: 2 horas y karate: 2 horas
b) Tarea: 1 hora y karate: 2 horas d) Tarea: 2 horas y karate: 1 hora
15. Al multiplicar 6.487 x 0.7 el resultado es:
a) 45.409
b) 454.09
c) 4540.9
d) 4.5409
16. La altura del Nevado de Toluca es de 4 680 metros. A una tercera parte de su
altura se encuentra un refugio para los alpinistas. ¿A qué altura se encuentra el refugio?
a) 1 560 m
b) 1 650 m
c) 3 120 m
d) 3 210 m
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
55
Retos
Para finalizar tu trabajo, te proponemos los siguientes desafíos.
1. Seguramente has resuelto cuadrados mágicos. El primero y más básico de ellos es el que usa los números del 1 al 9. Colócalos, sin repetición, en las casillas, de manera que todos los renglones, las columnas y las diagonales sumen 15. R. L. 6
7
2
1
5
9
8
3
4
2. Averigua si el siguiente cuadrado es mágico: R. L. 8 3
1 3
2
1
5 3
7 3
4 3
3
2 3
3. Completa los siguientes cuadrados de forma que sean cuadrados mágicos:
56
13
6
11
8
10
12
9
14
7
17 2
12
1 2
4
15 2
23 2
5 2
7 2
7
8
2
3
13 2
10
11
5
6
19 2
21 2
3 2
11 2
9
25 2
1
9 2
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
R. L.
Alberto Durero es un pintor alemán que nació en Núremberg, Alemania, en 1528. Es el artista más famoso del renacimiento alemán. Una de sus obras más misteriosas es Melancolía I. Observa el cuadro que aparece en el extremo superior derecho.
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
En el siguiente cuadro se reproduce el que aparece en la obra. 16
3
2
13
5
10
11
8
9
6
7
12
4
15
14
1
4. Comprueba que el cuadrado de Durero es un cuadrado mágico. Suma de columna 1
34
Suma de fila 1
34
Suma de diagonal 1
34
Suma de columna 2
34
Suma de fila 2
34
Suma de diagonal 2
34
Suma de columna 3
34
Suma de fila 3
34
Suma de columna 4
34
Suma de fila 4
34
Otra maravilla del cuadrado mágico de Durero: Suma los números de las esquinas Suma los 4 números del centro
34
34
¿Qué observas? R. M. Todos los resultados son iguales.
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
57
Bloque 2 Eje: Número, álgebra y variación Tema
Patrones, figuras geométricas y expresiones equivalentes
Tema
Proporcionalidad
Tema
Ecuaciones
Tema Funciones
58
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
Pro b le m a
do ra y sig ue ce l en la co m pu ta Ex a m ra og pr l de cá lcu lo Ab re un a ho ja de uc cio ne s: tr ins las sig uie nt es o ini cia l. ro du ce un nú m er er o En la ce lda A5 int e de cir qu e el nú m A5 *7.5 ”, esto qu ier “= ibe cr es B5 lda En la ce . m ult ipl ica po r 7.5 re su lta do de la ce lda A5 se to sig nif ica qu e al es ibe “= B5 + 30 .48 ”, cr es C5 lda ce la 3 En su m a 30 .48 . de la ce lda B5 se le cir qu e el re su lta do 9”, esto qu ier e de 16. * C5 “= ibe cr es 4 En la celda D5 ult ipl ica po r 16. 9. de la ce lda C5 se m qu e el re su lta do de /18 .2” , esto sig nif ica D5 “= ibe cr es E5 5 En la celda su lta do es el fin al. entr e 18.2 . Este re la ce lda D5 se div ide
1 2
30 285 . e el re su lta do es 28. A5 . Co m prue ba qu lda ce la en 0 o er l? Introd uc e el nú m l es el nú m ero ini cia fin al es 87 .65 , ¿c uá cia l? ini Cu an do el nú m ero o er uá l es el nú m fin al es 36 0.8 47 5, ¿c o er m nú el fin al? do an Cu de co n el nú m ero o ini cia l, ¿q ué su ce er m nú el ca ex pres ión pli du Cu an do se de cá lcu lo co n la oc es o en la ho ja pr el a ion lac re Ex pli ca có m o se 16.9 (7. 5n + 30 .48 ).
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
59
Práctica
12
Sucesiones
Eje Número, álgebra y variación
Una sucesión numérica es un arreglo de números que siguen un orden basado en una regla. Podemos encontrar la regla de una sucesión si analizamos el patrón que sigue.
Tema Patrones, figuras geométricas y expresiones equivalentes
Ejemplos: 2, 8, 14, 20, 26, 32…
AE Formula expresiones algebraicas de primer grado a partir de sucesiones y las utiliza para analizar propiedades de la sucesión que representan.
Regla: Sumar 6 cada vez. 4, 20, 22, 110, 112, 560... Regla: Multiplicar por 5 y sumar 2 alternadamente.
Actividades 1
Encuentra la regla mediante la cual se forman las siguientes sucesiones numéricas y calcula el siguiente término en cada caso. a) 9, 19, 28, 38, 47, 57,
66
Regla: Suma 10 y suma 9
1. Encuentra el mínimo común múltiplo de 20 y 15 60 2. 50% de 80 40 3. 75% de 80 60 4. 25% de 80 20 5. 20% de 80 16
43
b) 10, 11, 21, 22, 32, 33,
Regla: Suma 1 y suma 10 c) 7, 10, 15, 18, 23, 26,
31
Regla: Suma 3 y suma 5 d) 1, 11, 21, 31, 41, 51,
61
Regla: Suma 10 e) 9, 18, 22, 31, 35, 44,
48
Regla: Suma 9 y suma 4 f) 1, 10, 15, 24, 29, 38,
43
Regla: Suma 9 y suma 5 g) 4, 11, 17, 24, 30, 37,
43
Regla: Suma 7 y suma 6
60
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
© Todos los derechos reservados, EK Editores S. A. de C. V.
Matemáticas rápidas
36
h) 6, 10, 16, 20, 26, 30,
Regla: Suma 4 y suma 6 38
i) 8, 9, 18, 19, 28, 29,
Regla: Suma 1 y suma 9 49
j) 4, 9, 19, 24, 34, 39,
Regla: Suma 5 y suma 10 55
k) 10, 28, 25, 43, 40, 58,
Regla: Suma 18 y resta 3 51
l) 3, 23, 19, 39, 35, 55,
Regla: Suma 20 y resta 4 32
m) 5, 25, 14, 34, 23, 43,
Regla: Suma 20 y resta 11 42
n) 6, 24, 18, 36, 30, 48,
Regla: Suma 18 y resta 6 23
o) 5, 17, 11, 23, 17, 29,
Regla: Suma 12 y resta 6 14
© Todos los derechos reservados, EK Editores S. A. de C. V.
p) 8, 25, 10, 27, 12, 29,
Regla: Suma 17 y resta 15 q) 5, 2, 14, 11, 23, 20,
32
Regla: Resta 3 y suma 12 r) 9, 2, 13, 6, 17, 10,
21
Regla: Resta 7 y suma 11 s) 8, 4, 13, 9, 18, 14,
23
Regla: Resta 4 y suma 9 2
Diseña tu propia sucesión y dásela a un compañero para que encuentre la regla. R. L.
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
61
Práctica
12 3
Encuentra la regla de las siguientes sucesiones numéricas y calcula el siguiente término en cada caso. a) 3, 21, 22, 154, 155, 1085 Regla: Multiplica por 7 y suma 1 b) 3, 24, 38, 304, 318, 2544, 2558 Regla: Multiplica por 8 y suma 14 c) 4, 20, 21, 105, 106, 530,
531
Regla: Multiplica por 5 y suma 1 d) 7, 63, 69, 621, 627, 5643, 5649 Regla: Multiplica por 9 y suma 6 e) 7, 56, 69, 552, 565, 4520, 4533 Regla: Multiplica por 8 y suma 13 f) 10, 80, 82, 656, 658, 5 264, 5266 Regla: Multiplica por 8 y suma 2 g) 1, 19, 20, 380, 381, 7239, 7240 Regla: Multiplica por 19 y suma 1
Regla: Multiplica por 18 y suma 11 i) 3, 9, 17, 51, 59, 177,
185
Regla: Multiplica por 3 y suma 8
4
Imagina que existe una máquina transformadora de números que al introducir una cantidad se le aplica una regla y sale otro número.
Si el es el número que entra y es el que sale, encuentra el número que sale de la máquina en cada caso y escribe la regla que lo transformó.
62
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
© Todos los derechos reservados, EK Editores S. A. de C. V.
h) 5, 90, 101, 1818, 1829, 32922, 32933
1
3
1
1
1
13
2
5
2
2
2
19
3
7
3
3
3
25
4
9
4
4
4
31
5
11
5
5
5
37 43
13
6
6
6
10
21
10
10
10
67
100
201
100
100
100
607
26
53
20
20
9
61
6
© Todos los derechos reservados, EK Editores S. A. de C. V.
=
=
•2+1
=
•1
•6+7
1
6
1
6
1
3
2
9
2
11
2
3
3
12
3
16
3
3
4
15
4
21
4
3
5
18
5
26
5
3
6
21
6
31
6
3
10
33
10
51
10
3
100
303
100
501
100
3
8
27
7
36
R. L.
3
=
•3+3
=
•5+1
= 3
1
1
1
2
1
9
2
3
2
5
2
18
3
5
3
8
3
27
4
7
4
11
4
36
5
9
5
14
5
45
6
11
6
17
6
54
10
19
10
29
10
90
100
199
100
299
100
900
87
37
110
9
81
44 =2
− 1
=3
− 1
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
=9
63
12
1
1
1
0
1
12
1
22
2
9
2
2
2
32
3
18
3
22
3
42
4
27
4
3
4
5
1 2
5
36
5
1 2
5
6
1 2
6
45
6
4
6
7
1 2
10
81
10
6
10
11
1 2
100
891
100
51
100
101
1 2
11
90
12
7
11
=9
1
3
= 1 2
−9
5
+1
1 1
1
12 2 +1 1 2
=
Las siguientes figuras están formadas con palillos. Para obtener las reglas que permiten calcular cuántos palillos se necesitan para formarlas, llena las tablas en cada caso. Considera que h representa la altura, b la base y n el número de palillos. a)
b
1
n
4
2
7
3
4
10
10
13
31
Regla: n= 3b + 1 b)
64
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
© Todos los derechos reservados, EK Editores S. A. de C. V.
Práctica
b
1
2
3
4
10
n
7
12
17
22
52
b
1
2
3
4
10
n
10
17
24
31
73
b
1
2
3
4
10
n
13
22
31
40
94
Regla: 5b + 2 c)
Regla: 7b + 3
© Todos los derechos reservados, EK Editores S. A. de C. V.
d)
Regla:
9b + 4
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
65
Práctica
13
Regla de tres
Eje Número, álgebra y variación
La regla de tres es un procedimiento que se utiliza cuando se conocen tres cantidades y se busca una cuarta, bajo la suposición de que dichas cantidades tienen un comportamiento directamente proporcional. Para resolver una regla de tres simple, a partir del planteamiento, se hace una multiplicación cruzada y se simplifica.
Tema Proporcionalidad AE Calcula valores faltantes en problemas de proporcionalidad directa, con constante natural, fracción o decimal (incluyendo tablas de variación).
Ejemplo: 10 calculadoras cuestan 900 pesos. a) ¿Cuánto cuestan 12 calculadoras? Como hay un comportamiento proporcional, las razones son iguales, entonces: 10 calculadoras 12 calculadoras = 900 pesos x pesos
(900 pesos)(12 calculadoras) = (10 calculadoras)(x pesos) Para saber el valor de x:
Matemáticas rápidas
x=
(900 pesos) (12 calculadoras) 10 calculadoras
x=
10 800 = 1080 pesos 10
2. 60 = 5 × 12
Actividades
3. 72 = 9 × 8
1
8
4
4. 9 × 5 =
32 45
5. Escribe como fracción impropia 1
Resuelve los siguientes problemas utilizando la regla de tres. a) Si cinco boletos para una obra de teatro cuestan 1400 pesos, calcula el costo de: 7 boletos $ 1960
57 36 7
13 boletos $ 3640 15 boletos $ 4200
66
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
© Todos los derechos reservados, EK Editores S. A. de C. V.
1. 82 ÷ 9 = 9
1
b) Un panadero utiliza 2 kg de harina para hacer dos baguettes de pan. Calcula cuánta harina necesita para hacer: Pregunta de reflexión
3 baguettes 3 4 kg
7 baguettes 13 4 kg 12 baguettes 3 kg c) Un lavacoches cobra 150 pesos en un fraccionamiento por lavar cinco coches. Calcula cuánto cobraría por lavar: 10 coches $ 300 18 coches $ 540 35 coches $ 1050
¿Por qué la regla de tres no funciona para cambiar grados Centígrados a grados Fahrenheit? Porque la relación entre ºC y ºF no es una relación directamente proporcional. Porque la relación entre ºC y ºF involucra una fracción. La regla de tres sí funciona para convertir ºC a ºF. Ninguna de las anteriores.
© Todos los derechos reservados, EK Editores S. A. de C. V.
d) En un avión comercial caben 255 pasajeros. Calcula cuántos pasajeros caben en: 3 aviones 765 pasajeros 5 aviones 1275 pasajeros 8 aviones 2040 pasajeros 3
e) Ana tarda 4 de hora en promedio para realizar dos ejercicios de matemáticas. ¿Cuánto tardará en realizar tres ejercicios? 9 8 h
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
67
Práctica
14
Proporcionalidad directa
Eje Número, álgebra y variación
Una razón se utiliza para comparar dos números. Se escribe como una fracción simplificada.
Tema Proporcionalidad
Ejemplo:
AE Calcula valores faltantes en problemas de proporcionalidad directa, con constante natural, fracción o decimal (incluyendo tablas de variación).
Si hay 7 niñas y 12 niños en un salón de clase, la razón de niñas a niños se puede escribir de las siguientes formas: 7 , 7 a 12 o 7:12 12
Una proporción está formada por dos razones equivalentes. Si dos razones no son equivalentes, no son proporcionales. En una proporción los productos cruzados son iguales. Ejemplo:
Matemáticas rápidas
Encuentra si las razones siguientes son proporcionales. 5 20 y 8 32
1. Dibuja la figura simétrica de A respecto al eje E.
5 × 32 = 8 × 20 160 = 160
E
Por lo tanto, son proporcionales. Encuentra el valor faltante n en la siguiente proporción.
A
n 3 = 5 30
n × 30 = 3 × 5
1.3
30 1 n= 2
cm
1.2 cm
P = 3 cm A= 0.3 cm2 3. Escribe los múltiplos de 7 que se encuentran entre 40 y 71. 42, 49, 56, 63, 70 4. 5204 − 3979 = 1225 5. 6829 − 1294 = 5535
68
n= 3×5
Actividades 1
Escribe las siguientes razones como fracciones simplificadas. a) 60 minutos a 15 minutos
4 1 1
b) 20 minutos a 60 minutos 3 7
c) 7 días a 2 semanas 2 1
d) 3 minutos a 120 segundos 40
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
© Todos los derechos reservados, EK Editores S. A. de C. V.
0.5 cm
2. Encuentra el área y el perímetro de la siguiente figura.
e) 3 meses a 1 año 3 1 5
f) 10 metros a 4 metros 2 7
g) 7 aciertos de 10 preguntas 10 1 h) 4 metros : 200 centímetros 50 2
i) 2 canastas de 5 tiros 5 5
j) 25 estudiantes aprobados de 60 estudiantes 12
2
Determina si las siguientes razones son proporcionales. 4
8
Sí
a) 5 y 10 8
No
c) 6.44 y 5 12
5
4
No
7
21
Sí
d) 9 y 27
f) 2.15 y 8.420 No
g) 1.55 y 30
No
h) 2.25 y 8.820
i) 31.3 y 93.7
No
j) 10 y 0.11
6
© Todos los derechos reservados, EK Editores S. A. de C. V.
9
No
e) 120 y 500
3
b) 15 y 6
1
No No
Encuentra el valor que cumple cada una de las siguientes proporciones. 3
n
y
1
7
n
18
6
12
9
a) 15 = 45 n = 9 c) 6 = 2
y=3
e) 5 = 15 n = 21 g) k = 5 i) 2 = y
x
9
k
12
m
8.4
b) 3 = 27
x=1
d) 8 = 16 k = 6 f) 5 = 20 1.4
n
k = 15
h) 1.2 = 6
y = 1.5
j) 17 = x
3
21
m = 2.1 n=7 x = 119
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
69
15
Práctica
Relaciones de proporcionalidad
Eje Número, álgebra y variación
Una relación de la forma y = kx describe una variación directamente proporcional, en la que x es la variable independiente, y la variable dependiente y k es la constante de proporcionalidad.
Tema Proporcionalidad AE Calcula valores faltantes en problemas de proporcionalidad directa, con constante natural, fracción o decimal (incluyendo tablas de variación).
Actividades 1
Completa cada una de las siguientes tablas y escribe la expresión algebraica que relaciona a las variables que aparecen en ella. a)
Matemáticas rápidas
8
4.2
5.7
8.1
9.4
y
25.3
46.2
62.7
89.1
103.4
Escribe una expresión algebraica que representa esta situación. y = 11x ¿Cuál es el valor de k? 11 b)
6 4
d
4
6
8
10
12
c
12.56
18.84
25.12
31.4
37.68
Escribe una expresión algebraica que representa esta situación. c = 3.14d
2 0
2.3
Verde Blanco Azul
1 ¿Cuántas personas respondieron la encuesta? 12000
¿Cuál es el valor de k? 3.14 c)
2. ¿Cuántas personas no escogieron el color blanco? 7000 3. ¿Qué fracción del total prefiere el color azul? 1 12
4. ¿Cuántas personas encuestadas prefieren el color azul? 1000
y
300
423
501
732
810
z
90
126.9
150.3
219.6
243
Escribe una expresión algebraica que representa esta situación. z = 0.3y ¿Cuál es el valor de k? 0.3 d)
v
9
12
15
18
21
p
720
960
1200
1440
1680
Escribe una expresión algebraica que representa esta situación. P = 80 v ¿Cuál es el valor de k? 80
70
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
© Todos los derechos reservados, EK Editores S. A. de C. V.
Número de personas en miles
La gráfica muestra los resultados de una encuesta sobre la preferencia de colores.
x
e)
x
2.4
6.3
10.4
16.08
20.32
y
4.8
12.6
20.8
32.16
40.64
Escribe la expresión algebraica que representa esta situación. y = 2x ¿Cuál es el valor de k? 2 f)
m
6.3
8.1
9
9.9
108
r
2.1
2.7
3
3.3
36 1
Escribe la expresión algebraica que representa esta situación. r = 3 m ¿Cuál es el valor de k? 1 3
2
Resuelve los siguientes problemas. a) Si para cubrir el piso de una habitación de 24 m2 se gastaron 2800 pesos, ¿cuál será el costo para cubrir el piso de una habitación de 53 m2 con los mismos materiales? $6183.33
Escribe una expresión algebraica que representa esta situación. C = 116.66 A
© Todos los derechos reservados, EK Editores S. A. de C. V.
¿Cuál es el valor de k? 116.66 b) Se necesitan 14 m de tela para hacer los trajes de ocho alumnos del grupo de baile. ¿Cuánta tela se necesitaría si bailaran 12 alumnos? 21 m
Escribe una expresión algebraica que representa esta situación. T = 1.75 A ¿Cuál es el valor de k? 1.75 m
c) Para acelerar un auto a 2 s2 se requiere de una fuerza de 2700 N. ¿Qué m fuerza se necesita para acelerar el mismo auto a 3.4 s2 ? 4590 N
Escribe una expresión algebraica que representa esta situación. F = 1 350a ¿Cuál es el valor de k? 1350
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
71
Práctica
15 d) Un estudiante escribe, en promedio, 215 palabras en 3 horas. Si tiene que entregar un trabajo de 1 400 palabras, ¿cuánto tiempo tardará en escribirlo? 19.5 horas
Pregunta de reflexión Si dos cantidades no son directamente proporcionales, entonces: si una aumenta, la otra no puede aumentar. si una disminuye, la otra no puede aumentar. no existe un número fijo con la característica de que si una de ellas se multiplica por el número, se obtiene la otra.
Escribe una expresión algebraica que representa esta situación. P = 71.66t ¿Cuál es el valor de k? 71.66
3
Resuelve los siguientes problemas escribiendo las proporciones correspondientes. a) Una foto de 12 × 15 cm se amplía a 30 × n cm, ¿cuál es el valor de n? 37.5
b) Raúl gana $150 por tres horas de trabajo. ¿Cuántas horas deberá de trabajar para ganar $1000? 20 h
d) Si un automóvil recorre 550 km en 5 horas, ¿cuánto tiempo le llevará recorrer 800 km? 7.27 h 7 h, 16.2 min
e) Marco ahorra 20 pesos de cada 100 pesos que gana. Si en el año ahorró $24000, ¿cuál fue su salario mensual promedio? $120000
f) En la fila para comprar boletos para un concierto se tardan aproximadamente 1.5 min en atender a cada persona. Si tienes el turno 297, ¿cuánto tiempo tendrás que esperar para comprar tu boleto en cuanto abran la taquilla? 445.5 min
72
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
© Todos los derechos reservados, EK Editores S. A. de C. V.
c) Si 2 kg de carne cuestan $80.60, ¿cuánto costarán 5 kg? $201.50
g) El récord olímpico de atletismo en el año 2008 fue de 9.69 segundos en km 100 m. Si un automóvil va a una velocidad de 30 , ¿podrá el corredor h ir más rápido que el automóvil? km
Sí, el corredor iría a 37.17 h
h) Renata va a su trabajo en bicicleta. Su recorrido fue de 36 km en 12 días. ¿En cuántos días recorrerá 84 km, si diario recorre la misma distancia? En 28 días.
i) En el mercado, 4 toronjas cuestan $34. ¿Cuál será el precio de 19 toronjas? $161.50
© Todos los derechos reservados, EK Editores S. A. de C. V.
j) La receta para preparar arroz indica que para 4 personas se utilice una taza y media de agua por cada taza de arroz. Eugenia va a preparar arroz para 16 personas. ¿Cuántas tazas de arroz y cuántas de agua deberá utilizar? 4 tazas de arroz y 6 tazas de agua.
k) La receta que utiliza Eugenia para preparar panqué de chocolate, indica que se necesitan 2 y media tazas de cocoa para un panqué de 4 personas. ¿Cuántas tazas de cocoa necesitará si va a preparar panqué para 60 personas? Necesitará 37.5 tazas de cocoa.
l) Ana recorre 180 km en dos horas. ¿Cuánto tiempo tardará en recorrer 540 km si va siempre a la misma velocidad? 6 horas.
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
73
Práctica
16
Eje Número, álgebra y variación Tema Ecuaciones AE Resuelve problemas mediante la formulación y solución algebraica de ecuaciones lineales.
Matemáticas rápidas Escribe el nombre de los siguientes cuerpos. 1.
Pirámide pentagonal 2.
Ecuaciones
Una ecuación es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas que se llaman incógnitas. Ejemplos: 6 + 3x = 9 + x y − 10 = 20 − y 2 − 5m = 10 + m
La cantidad desconocida es x. La cantidad desconocida es y. La cantidad desconocida es m.
Para resolver una ecuación de primer grado es necesario conocer y aplicar las propiedades de la igualdad. A continuación, te mostramos algunas. En toda igualdad: Si se suma el mismo número a ambos lados, la igualdad se sigue conservando. Si se resta el mismo número a ambos lados, la igualdad se sigue conservando. Si se multiplica por el mismo número a ambos lados, la igualdad se sigue conservando. Si se divide entre el mismo número a ambos lados, la igualdad se sigue conservando. Una igualdad tiene la siguiente propiedad: si a + b = c entonces c = a + b. Resolver una ecuación significa encontrar el valor de la incógnita que satisface la ecuación, es decir, el valor de la incógnita que hace que la igualdad se cumpla.
3.
Ejemplo: 6 + 3x = 9 + x Se resta x de cada lado:
Cono 4.
Se resta 6 de cada lado:
6 + 3x − x = 9 + x − x 6 + 2x = 9
6 + 2x − 6 = 9 − 6 2x = 3 Se divide entre 2 cada lado: 3
Prisma triangular 5.
Cubo
74
x = 2 = 1.5 Para comprobar la respuesta se sustituye 1.5 en el lugar de x. 6 + 3(1.5) = 9 + 1.5 6 + 4.5 = 10.5 10.5 = 10.5 Si en ambos lados de la igualdad se obtiene el mismo resultado, esto significa que x = 1.5 es la solución.
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
© Todos los derechos reservados, EK Editores S. A. de C. V.
Cilindro
Actividades 1
Comprueba las siguientes soluciones. a) Si y − 10 = 20 − y entonces y = 15 15 − 10 = 20 − 15 entonces 5 = 5 b) Si 2x + 5 = x − 4 entonces x = − 9 2(−9) + 5 = −9 −4 entonces − 13 = −13 4
c) Si 2 − 5m = 10 + m entonces m = − 3
2 – 5(– 4 ) = 10 – 4 entonces 2 + 20 = 10 – 4 , es decir 26 = 26 3 3 3 3 3 3
2
Resuelve las siguientes ecuaciones. a) 2x + 5 = 9 x = 2 4 b) 3x + 1 = 5 x = 3
c) 7x + 5 = 2x + 20
x=3
d) 3x − 8 = x + 2 x = 5 e) 1.5x − 2.3 = 0.25x + 2 x = 3.44
© Todos los derechos reservados, EK Editores S. A. de C. V.
f) 2 (3x − 1) = 4 (x − 3) x = −5 3 1 1 g) 5( 4 x − 5 ) = 4( 2 x − 3) x = 44 7
3
Plantea la ecuación que corresponde a cada uno de los siguientes problemas y resuélvela. a) El perímetro de un rectángulo es 38 m. Si su largo es 7 m más que el ancho, ¿cuánto mide de largo y cuánto mide de ancho? Ancho = 6 cm Largo = 13 m b) Una cuerda de 27 cm de largo se divide en dos partes. Una parte es 8 cm más grande que la otra. ¿Cuánto mide cada parte? Una parte mide 9.5 cm y la otra parte mide 17.5 cm
c) La suma de la cuarta parte y la tercera parte de un número es igual al doble del número menos 17. ¿Cuál es el número? 12
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
75
17
Práctica
Eje Número, álgebra y variación Tema Funciones AE Analiza y compara situaciones de variación lineal a partir de sus representaciones tabular, gráfica y algebraica. Interpreta y resuelve problemas que se modelan con estos tipos de variación.
Matemáticas rápidas 16
1. Escribe 12 de tres formas distintas. 1 4 ,1.3 , 8
Una relación matemática puede representarse gráficamente en un sistema de coordenadas. Una relación de proporcionalidad y = kx es una expresión que permite encontrar las parejas ordenadas (x, y) en las que cada valor de y se encuentra al multiplicar un valor de x por el número k. Ejemplo: y = 2x x
−3
−1
0
2
3
y
−6
−2
0
4
6
De la tabla se obtienen los puntos (−3, −6), (−1, −2), (0, 0), (2, 4), (3, 6). Como los valores seleccionados para x son parte de una infinidad de valores posibles, se representa la relación uniendo estos puntos con una línea recta continua, como se muestra en la siguiente figura. y
6
4
2. 2.01 × 4 = 8.04
2
3
3. Calcula 4 ÷ 12. 1 16
1
−4
4. Calcula 16 ÷ 2 . 32
2
4
x
−2 −4
3
5. Escribe 8 en forma decimal y en porcentaje. 0.375 37.5%
−2
La gráfica de una relación de proporcionalidad: Es una línea recta. Pasa por el origen de coordenadas, es decir, que pasa por (0, 0). El valor de k determina la inclinación de la recta.
76
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
© Todos los derechos reservados, EK Editores S. A. de C. V.
12
Gráficas de proporcionalidad
Actividades 1
Completa la siguiente tabla, traza la gráfica de la relación y = 1.5x y contesta las preguntas. x
0.5
1.5
2.5
3.5
y
0.75
2.25
3.75
5.25
Con base en la gráfica, ¿cuál es el valor de y cuando x = 3? = 4.5 ¿Cuál es el valor de y cuando x = 4? =6 y 6 5 4 3 2 1 0
© Todos los derechos reservados, EK Editores S. A. de C. V.
2
1
2
3
x
4
1
Completa la siguiente tabla y traza la gráfica de la relación y = 2 x. x
0
1
3
4
10
y
0
0.5
1.5
2
5
y
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
77
17
Práctica
3
Calcula el valor de k a partir de la siguiente tabla. Dibuja la gráfica que corresponde. k = 0.5 x
−2
−1
0
1
y
−1
−0.5
0
0.5
y 4 3 2 1 –4
–3
–2
–1
1
2
3
4
x
–1 –2 –3
4
Dibuja la gráfica utilizando los datos de la siguiente tabla, emplea una escala adecuada. Determina si la relación correspondiente es una relación de proporcionalidad y establece la expresión matemática. y = 11x x
20
21
22
23
y
220
231
242
253
y 300 200 100 1
78
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
x
© Todos los derechos reservados, EK Editores S. A. de C. V.
–4
5
Encuentra la expresión matemática de la relación de proporcionalidad que corresponde a las siguientes gráficas. a) y = 2.5 x y 2 1 −2
−1
1
2
2
4
x
−1 −2
b) y = 4 x
© Todos los derechos reservados, EK Editores S. A. de C. V.
3
y
4 2 −4
−2
x
−2 −4
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
79
Evaluación 1. El número de segmentos que contiene la figura que ocupa el quinto lugar en la sucesión siguiente es:
1
2
a) 9
3
b) 10
4
c) 11
d) 8
2. ¿Cuál es la regla algebraica que permite hallar cualquier término de la sucesión anterior? a) y = 2 ×
− 1
b) y = 2 ×
+2
c) y = 4 ×
d) y = 3 ×
−2
3. Para hacer chocolates hay que comprar 3 kg de azúcar por cada 6 kg de cacao. ¿Cuánto cacao hay que comprar para 25 kg de azúcar? a) 12.50
b) 50 kg
c) 20 kg
d) 40 kg
4. Indica la ecuación que describe la siguiente situación: el triple de un número más 18 es igual a 42. x
a) 3 + 18 = 42
b) 3x + 18 = 42
c) 3x − 42 = 18
d) 3 − 18 = 42
5. Si el salario de Miguel es x, indica la ecuación que describe la siguiente situa3 partes del salario de Miguel son $18 000. 4 1 4 a) 4 x = 18 000 b) 3 x = 18 000 3 c) 4 x = 18 000 d) 4x = 18 000
ción: las
6. Si 7.5 n = 183.75, ¿cuánto vale n? a) 24.5
b) 1378.125
c) 0.408
d) Ninguna de las anteriores 1
7. María mando reducir una foto de 36 cm de largo a 4 de su tamaño. Des1 pués, la redujo nuevamente 4 . ¿Cuál es la longitud final de la foto reducida? 9
a) 4 cm
b) 6.75 cm
c) 20.25 cm
d) 27 cm
8. Marco leyó 20 páginas diarias y terminó su libro en 33 días. ¿Cuánto habría tardado si hubiera leído 30 páginas diarias? a) 10 días
80
b) 22 días
c) 25 días
d) Ninguna de las anteriores
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
© Todos los derechos reservados, EK Editores S. A. de C. V.
x
9. Nicolás tiene que escribir un problema que se resuelva planteando la ecua-
ción 7x + 12 = 47. ¿Cuál de las siguientes opciones es un enunciado correcto para el problema? a) La edad de Renata es 47 años multiplicada por 7 y aumentada en 12. b) Lya tiene 7 años aumentados en 12, que en total es 47. c) 7 veces la edad de Regina, aumentada en 12 es igual a 47. d) La edad de Ricardo es 47, 12 veces más que la edad de Helena aumentada en 7.
10. Al resolver la ecuación x − 15 = 20 el resultado es: a) x = 5
b) x = 20
c) x = 40
d) x = 35
11. Señala la ecuación algebraica que describe la siguiente situación: el triple de la suma de un número y 20 es igual a 90. a) 3(x + 20) = 90 b) 3x + 20 = 90
c) 3x + 90 = 20
d) 3(x + 90) = 20
12. Los primeros 4 términos de la sucesión cuya regla algebraica es y = 3x + 2 son:
a) 5, 8, 11 y 15
b) 5, 8, 11, 14
c) 5, 7, 9 y 11
d) 2, 5, 8, 1
13. y = −2x + 3 se puede representar en una tabla como:
© Todos los derechos reservados, EK Editores S. A. de C. V.
a)
b)
c)
d)
x
y
x
y
x
y
x
y
−3
9
−3
−9
−3
−3
−3
3
−1
5
−1
−5
−1
1
−1
−1
1
1
1
−1
1
5
1
−5
3
−3
3
3
3
9
3
−9
14. La representación algebraica de la siguiente gráfica es: y 5
a) y = − 2x + 1
4 3
b) y = 2x + 1
2
-5
-4
-3
-2
-1
1 0 −1 −2
0 1
2
3
4
5
x
c) y = 2x − 1 d) y = − 2x − 1
−3 −4 −5
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
81
Retos
Para finalizar tu trabajo, te proponemos el siguiente desafío.
1. Escribe los tres términos que siguen en la siguiente sucesión: 1 2 4 8 16 , , , , ,… 5 15 45 135 405 32 , 64 , 128 1215 3645 10935
Los matemáticos han inventado distintas clasificaciones de los números relacionadas con la divisibilidad. Existen los llamados números perfectos, que son aquellos que son iguales a la suma de sus divisores (excluyéndolos a ellos mismos). Ejemplo: Los divisores de 6 son: 1, 2 y 3. Si los sumamos se obtiene 1 + 2 + 3 = 6. Por tanto, 6 es un número perfecto.
2. Muestra que 28 y 496 son números perfectos. 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 Se conocen como números abundantes aquellos en los que la suma de los divisores es mayor que el número mismo. Ejemplo: Los divisores de 12 son: 1, 2, 3, 4 y 6. Si los sumas 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16, 16 >12. Por tanto, 12 es un número abundante.
18, 24, 30, etc.
Los números amigos son parejas de números en los que la suma de los divisores de uno es igual al otro, y viceversa. Ejemplo: Para la pareja 220 y 284: Los divisores de 220 son: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110. Al sumarlos da el otro número: 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284 Los divisores de 284 son: 1, 2, 4, 71, 142, 284 Al sumarlos da el otro número: 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220 Por tanto, 220 y 284 son números amigos.
82
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
© Todos los derechos reservados, EK Editores S. A. de C. V.
3. Encuentra cinco números abundantes.
4. Muestra que 1184 y 1 210 son números amigos.
Suma de divisores de 1184: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 37 + 74 + 148 + 296 + 592 = 1210 Suma de divisores de 1210: 1 + 2 + 5 + 10 + 11 + 22 + 55 + 110 + 121 + 242 + 605 = 1184
Otra clasificación de los números se refiere a su acomodo a través de figuras. Un número triangular es aquel que puede representarse con puntos que formen un triángulo equilátero.
1
3
6
10
15
21
5. ¿Cuáles serán los dos números triangulares que siguen? 28 y 36 Un número cuadrado se obtiene multiplicando otro número por sí mismo. Por ejemplo: 16 se obtiene multiplicando 4 × 4, entonces 16 es un número cuadrado.
1
2
3
4
5
6
1×1=1
2×2=4
3×3=9
4 × 4 = 16
5 × 5 = 25
6 × 6 = 36
© Todos los derechos reservados, EK Editores S. A. de C. V.
6. Dibuja el número cuadrado que sigue.
7 × 7 = 49
La siguiente figura muestra los primeros cinco números pentagonales.
1
5
12
22
35
7. Explica por qué se llaman así. R. M. Se clasifican por la formación de pentágonos.
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
83
Bloque 3 Eje: Forma, espacio y medida Tema
Figuras y cuerpos geométricos
Tema
Magnitudes y medidas
Eje: Análisis de datos
84
Tema
Probabilidad
Tema
Estadística
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
Pro b le m a
cm de ar ist a cu bo s az ule s de 1 ó od om ac na xa Ro m ás gran de de e fo rm ó un cu bo de ta l m an era qu ir el cu bo sp ué s, va a re cu br 10 cm de ar ist a. De ist a. ro jos de 1 cm de ar az ul co n cu bit os
728 cubitos cu br ir el cu bo az ul? ra pa a sit ce ne jos ro ¿C uá nt os cu bit os 0 cm3 de az ul? 1 00 an gr bo cu l de en o ¿C uá l es el vo lum z qu e ha ya qu ed ad en de l cu bo un a ve ¿C uá l será el vo lum cm3 os ro jos ? 1 728 cu bie rt o co n cu bit
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
85
Práctica
18
Eje Forma, espacio y medida Tema Figuras y cuerpos geométricos AE Analiza la existencia y unicidad en la construcción de triángulos y cuadriláteros y determina y usa criterios de congruencia de triángulos.
Trazo de triángulos y cuadriláteros
Los triángulos son figuras planas de tres lados y se clasifican según la medida de sus lados o ángulos. Según sus lados son: Equiláteros (tres lados iguales).
Isósceles (dos lados iguales).
Matemáticas rápidas
$106
Escalenos (tres lados diferentes).
Según sus ángulos son: Acutángulos (tres ángulos agudos).
2. Calcula mentalmente: 18 − 9, por 6, más 6, entre 2. 30
Rectángulos (un ángulo recto).
3. Calcula mentalmente: 24 + 5, menos 9, entre 2, por 6. 60
Obtusángulos (un ángulo obtuso).
4. Calcula mentalmente: 72 ÷ 8, por 3, más 3, entre 10. 3
86
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
1. El papá de Adriano le dio $200. Con ese dinero compró cuatro paquetes de harina que le costaron $23.50 cada uno. ¿Cuánto le dieron de cambio?
Los cuadriláteros son figuras planas de cuatro lados. Por el paralelismo de sus lados se clasifican como: Paralelogramos (dos pares de lados paralelos).
Trapecios (un par de lados paralelos).
Trapezoides (no tienen lados paralelos).
Los paralelogramos, a su vez, pueden ser:
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
Romboides (dos pares de lados y de ángulos iguales entre sí).
Rectángulos (cuatro ángulos rectos).
Rombos (cuatro lados iguales).
Cuadrados (cuatro lados iguales y cuatro ángulos iguales).
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
87
18
Práctica
Actividades Para cada uno de los siguientes triángulos señala todas las características que le correspondan.
Acutángulo 18
18
5
Obtusángulo Rectángulo
18
13
8.5
Escaleno
Escaleno
Isósceles
Isósceles
Equilátero
Equilátero
150
Acutángulo Obtusángulo 16
22.6
Rectángulo
Escaleno
Escaleno
Isósceles
Isósceles
Equilátero
Equilátero
Acutángulo
Acutángulo
Obtusángulo 216
28
35
Rectángulo Escaleno
88
16
Obtusángulo Rectángulo
216
Obtusángulo Rectángulo
10
Acutángulo
8.5
Acutángulo 8
Obtusángulo Rectángulo
30
Escaleno
Isósceles
Isósceles
Equilátero
Equilátero
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
1
2
Escribe los números de los cuadriláteros que cumplen con cada una de las siguientes características. a) Rectángulo: 3, 5, 12
1
b) Rombo: 1, 3, 6, 12 c) Cuadrado: 3, 12
6
3 2
d) Paralelogramo: 1, 3, 6, 5, 9, 12 e) Trapecio: 8, 11
9
5
4
8
7 11 10
12
f) Trapezoide: 7, 2, 4, 10
3
Utiliza tu juego de geometría y sigue los pasos para construir un triángulo con los siguientes segmentos. B
C
A
C
A
C
B
a) Mide el segmento AB con tu regla y reprodúcelo. b) Abre el compás con la medida del segmento AC. c) Apoya el compás en A y traza un arco. d) Abre el compás con la medida del segmento BC. e) Apoya el compás en B y traza un arco.
B
A
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
f) Marca la intersección de los dos arcos. Llama C a este punto. g) Une los puntos A y C, y C y B. h) Comprueba con tu regla que los lados del triángulo que se formó miden lo mismo que los segmentos.
4
Escribe si los siguientes enunciados son verdaderos (V) o falsos (F). a) Todos los trapezoides son cuadriláteros.
V
b) Todos los cuadriláteros son cuadrados.
F
c) Todos los paralelogramos son rectángulos.
F
d) Todos los cuadrados son trapezoides.
F
e) Todos los rectángulos son cuadriláteros.
V
f) Todos los rombos son cuadrados.
F
g) Todos los cuadrados son rombos.
V
h) Un trapecio isósceles es paralelogramo.
F
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
89
Práctica
18 5
A
Describe cada uno de los pasos que se muestran para construir un triángulo a partir de dos de sus ángulos y el lado adyacente a éstos.
A
B
B
Paso 1 Localizo un punto A.
A
Paso 2 Mido AB con el compás.
B
Paso 3 Trazo el segmento AB.
A
Paso 4 Con centro en el ] A señalo un arco y tomo la medida de la abertura. A
90
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
A
Paso 5
A
B
Sobre el lado AB y con centro en A trazo un arco y señalo la medida de la abertura del ] A. Paso 6 Trazo el ] A.
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
A
B
Paso 7 Sigo el mismo procedimiento con el ] B y trazo el triángulo. C
A
B
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
91
Práctica
18 6
Utiliza tu juego de geometría y sigue los pasos para trazar un triángulo a partir de dos de sus lados y del ángulo comprendido entre ellos.
C
A
a) Mide con tu regla el lado AB y reprodúcelo. B
A
b) Traza un arco sobre el ángulo A. c) Reproduce el mismo arco sobre el segmento AB con vértice en A. d) Mide la abertura del ángulo A abriendo el compás sobre las intersecciones del arco con los lados del ángulo.
A
e) Traslada la abertura del ángulo A al segmento AB poniendo la punta del compás en A y cortando el arco que trazaste. f) Mide la abertura del ángulo A y abre el compás sobre las intersecciones del arco con los lados del ángulo.
C
g) Traza el ángulo A. h) Toma la medida del lado AC con el compás y trasládala sobre el lado del ángulo. B
7
i) Une B con C.
Utiliza tu juego de geometría y sigue los pasos para construir la perpendicular de un segmento que pasa por uno de sus extremos. R. L.
a) Traza un segmento AB. b) Escoge un punto cualquiera fuera del segmento y llámalo D. c) Con centro en D, traza un arco que pase por A y llama C a esta intersección. d) Traza el diámetro que pasa por D desde el punto C. e) Traza la recta que conecta A con el otro extremo del diámetro. Esta línea es perpendicular al segmento original.
92
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
A
8
Utiliza tu juego de geometría y traza los triángulos con los datos que se te indican. Señala, en cada caso, qué tipo de figura se obtiene. a)
Triángulo obtusángulo escaleno
b)
Triángulo escaleno c) 4 cm, 5 cm, 3 cm.
Triángulo rectángulo escaleno
Triángulo obtusángulo escaleno d)
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
M
M
N
N
Triángulo acutángulo isósceles e)
F
F
G
G
f) Triángulo acutángulo
a
b
K
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
93
19
Eje Forma, espacio y medida Tema Figuras y cuerpos geométricos AE Analiza la existencia y unicidad en la construcción de triángulos y cuadriláteros y determina y usa criterios de congruencia de triángulos.
Criterios de congruencia de triángulos
Las figuras congruentes son las que tienen la misma forma y el mismo tamaño. Es decir, cada una de sus partes coincide entre ambas figuras. Cuando los ángulos y los lados de dos figuras congruentes coinciden, se les llama correspondientes. Para identificar los lados y ángulos correspondientes se utiliza la misma marca. B
A Matemáticas rápidas 1. Alicia obtuvo las siguientes puntuaciones jugando boliche: 230, 197, 176, 195 y 206. ¿Cuál fue su promedio en estos cinco juegos? 200.8 2. Calcula 3 − 4
1 1 −2 . 15 2
5
3. Ordena de menor a mayor los números 0.7, 0.07, 7.00007, 0.007. 0.007 < 0.07 < 0.7 < 7.00007 4. 5 −
C
F
Los ángulos: A y D son correspondientes, están marcados con un arco. B y E son correspondientes, están marcados con dos arcos. C y F son correspondientes, están marcados con tres arcos. Para indicar que dos triángulos son congruentes se utiliza el símbolo (≅). Para nombrar dos triángulos congruentes, sus vértices deben ser escritos en el mismo orden, por ejemplo: R I 12 km 69° S
35 km
21°
32 km
35 km 32 km 21°
J = 91.5
D
Los segmentos: BC y EF son correspondientes, están marcados con una raya. AC y DF son correspondientes, están marcados con dos rayas. AB y DE son correspondientes, están marcados con tres rayas.
3 = 22 5 5
5. 0.50 45.75
E
69° 12 km
H
Como I = T, J = R y H = S, entonces: ΔIJH ≅ ΔTRS
94
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
T
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
Práctica
Criterios de congruencia de triángulos Dos triángulos son congruentes si los tres lados y los tres ángulos de uno de ellos son congruentes a los tres lados y los tres ángulos del otro. La congruencia de dos triángulos puede demostrarse con ciertas condiciones mínimas a las que llamamos criterios de congruencia. Criterio LLL (Lado-Lado-Lado) Dos triángulos son congruentes si los tres lados de uno son respectivamente correspondientes a los del otro. Criterio LAL (Lado-Ángulo-Lado) Dos triángulos son congruentes si dos lados y el ángulo comprendido entre ellos de un triángulo son respectivamente correspondientes a dos lados y al ángulo comprendido entre ellos del otro triángulo. Criterio ALA (Ángulo-Lado-Angulo) Dos triángulos son congruentes si un lado y los ángulos adyacentes de un triángulo son respectivamente correspondientes a un lado y a los ángulos adyacentes del otro triángulo.
Actividades 1
La figura muestra dos triángulos congruentes. ΔABC ≅ ΔPQR.
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
B
P
Q A C
R
a) Escribe cuáles son los lados correspondientes.
AB y PQ
BC y QR
CA y RP
b) Escribe cuáles son los ángulos correspondientes
A y P
B y Q
CyR
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
95
Práctica
19 Encuentra los lados y los ángulos que se piden.
2
a) ΔCAB ≅ ΔXVW
W
C
92 cm
A
50 cm
50 cm 57° V
CA = 77 cm C = 33º
33° 77 cm
B = 57º
B X
b) ΔOMN ≅ ΔRTS
S 50 cm
O
61° 78°
45 cm M
61°
41° 50 cm
T
O = 78º R
33 cm
OM = 33 cm ST = 45 cm
N
c) ΔFHG ≅ ΔXVW V 33 km
VW = 50 km
F 78° H
96
G = 40º
40°
45 km W
62° 50 km
X
FH = 33 km WX = 45 km
G
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
41°
3
La siguientes figuras muestran parejas de triángulos congruentes, completa: a) ΔABC ≅ Δ DFE
b) ΔBAC≅ Δ
IHJ I
A
6
F E B
B C
70°
A
c) ΔCAB ≅ Δ
H
80°
6
D
J
C
FED D
A
2.6 E
4.5
2.6 B
5.7
4.5
C F
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
4
Las siguientes parejas de triángulos son congruentes. Indica qué criterio de congruencia se puede utilizar para demostrarlo, según los datos que se dan. a) A P 40º
B
b)
C
70º
Q
R
4
R
3 5
B
Q
LLL o LAL A
P 35º
35º
B
P
C
5
ALA c)
4
3
40º
70º
A
C
Q
R
LAL
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
97
Práctica
20
Eje Forma, espacio y medida Tema Magnitudes y medidas
Perímetro y área de polígonos Un polígono es una figura plana, cerrada y formada por segmentos de recta llamados lados; a la intersección de sus extremos se les llama vértices. Ejemplo:
vértice
AE Calcula el perímetro de polígonos y del círculo y áreas de triángulos y cuadriláteros desarrollando y aplicando fórmulas.
lado
Rectángulo Para obtener el área del rectángulo podemos contar las unidades cuadradas que contiene o multiplicar la base del rectángulo por la altura.
1. Encuentra el valor faltante en la siguiente proporción: 14 x = 7 15
x = 30
2. Escribe 0.34 en forma de fracción irreducible. 17 50
3. Calcula mentalmente: 120 ÷ 2, ÷ 3 , ÷ 4.
El perímetro se obtiene sumando los cuatro lados. 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3
Área = b × h Área = 4 × 3 Área = 12 cm2
Simplificando: Perímetro = 2b + 2h Perímetro = 2(4) + 2(3) Perímetro = 14 cm
4 Otros cuadriláteros y triángulo El perímetro de todas las figuras se logra sumando sus lados y las fórmulas para obtener el área se pueden obtener a partir de la fórmula del área del rectángulo. A continuación, se presentan las fórmulas: Cuadrado
5
4. Calcula mentalmente: 2 × 10, − 8, ÷ 3 , × 7.
Perímetro = b + h + b + h
Triángulo
a
l
c
h
28
5. Calcula mentalmente: 54 ÷ 6, × 5, + 4, ÷ 7. 7
98
b l P = 4l A = l2
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
P=a+b+c A=
b×h 2
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
Matemáticas rápidas
Trapecio
Romboide
b c
a
d
h
h b
B P=B+b+c+d A=
P = 2a + 2b A=b×h
(B + b) × h 2
Para calcular el perímetro de un polígono regular se multiplica la medida de los lados por el número de lados del polígono. Ejemplo: 8u
8u
8u
8u 8u
Para calcular el área de un polígono, se divide en triángulos uniendo el centro del polígono con cada uno de sus vértices. Como todos los triángulos son iguales, se calcula el área de uno y se multiplica por el número de triángulos. A la medida de la altura de cada triángulo se le llama apotema (a), y es la distancia del centro del polígono al punto medio de uno de sus lados. a
Área = l × 2 × número de lados
apotema
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
Perímetro = (número de lados) (medida del lado) = (5)(8 u) = 40 u
a=3u
8u
Ejemplo: a
3
Área = l × 2 × número de lados = 8 × 2 × 5 = 60 u2
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
99
Práctica
20 Actividades Escribe si las siguientes figuras son o no polígonos de acuerdo con la definición anterior.
1 a)
b)
c) Sí
No
d)
e)
f)
No
No
Sí
Calcula el perímetro y el área de las siguientes figuras. b)
2 cm
c)
2 cm
5 cm
4 mm
4 cm
11 cm
13 cm 2 mm Perímetro = 8 cm Área = 4 cm2 d)
Perímetro = 12 mm Área = 8 mm2 e)
3 cm
Perímetro = 29 cm Área = 26 cm2
15 cm 12 cm
10 cm
9 cm
12 cm
10 cm Perímetro = 35 cm Área = 58.5 cm2
100
21 cm
27 cm Perímetro = 75 cm Área = (21 × 15) + (12 × 9) = 315 + 108 = 423〖cm2
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
2 a)
No
Calcula el área y el perímetro de los siguientes polígonos regulares. b)
Área = 25 882.5 u2 Perímetro = 580 u
e)
f)
67 u
Perímetro = 335 u Área = 7 721.75 u2
58 u
78 u 67.54 u
33 u
15.69 u
46.1 u
d)
c)
Área = 2 492.4 u2 Perímetro = 186 u
78 u
Área = 29 374.8 u2 Perímetro = 624 u
4
31 u
89.25 u
94.15 u
a)
26.8 u
3
Área = 2 071.08 u2 Perímetro = 264 u
Perímetro = 468 u Área = 15 804.36 u2
Calcula el área de la parte sombreada en las siguientes figuras. a)
b)
35 m
32 cm
35 m
28 cm
18 m
20 cm
18 m Área = 352 −〖182 = 901 m2
Área = (28 × 32) −〖(22 × 20) = 456 cm2
c)
14 mm
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
22 cm
25 mm
14 mm 24 mm Área =
24 × 25 14 × 14 −〖 = 300 − 98 = 202 mm2 2 2
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
101
Práctica
21
Perímetro del círculo
Eje Forma, espacio y medida
La relación que existe entre la medida del diámetro y la medida de la circunferencia, es decir, su perímetro, es una relación lineal de la siguiente forma:
Tema Magnitudes y medidas
Perímetro = k × Diámetro
AE Calcula el perímetro de polígonos y del círculo y áreas de triángulos y cuadriláteros desarrollando y aplicando fórmulas.
La constante de proporcionalidad (k) es un número cuyo valor aproximado es 3.1415926535… y recibe el nombre de Pi(π). Entonces:
Perímetro = π × Diámetro
Como es un número irracional, al realizar cálculos se utiliza como 3.1416 o 3.14. De esta manera, si se quiere encontrar el perímetro de un círculo, basta con multiplicar el diámetro por π.
Actividades Matemáticas rápidas 1. 27.39 ÷ 3 = 9.13
1
Encuentra el perímetro de los siguientes círculos. Considera π = 3.14 a)
b) 6 cm
1 1 + =1 2 2
P = 37.68 cm
4.
1 1 + = 5 6 2 3
c)
d)
10 m
1 1 × = 1 4 2 2
13 cm
3.
P = 43.96 cm
P = 31.4 cm 5. 986.1 × 3 = 2 958.3
e)
P = 81.64 cm f)
9 cm
P = 28.26 cm
102
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
m 2 c 5
P = 2.51 cm
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
2.
14 m
g)
h)
m 6.5
m 1 c 4
P = 20.41 m2
2
Pregunta de reflexión Al dividir el perímetro del círculo entre el diámetro, se obtiene:
P = 0.785 cm2
La rueda de un camión tiene 180 cm de diámetro. ¿Cuánto avanza si dio 100 vueltas? 56 520 cm
3
La longitud de una cuerda La longitud del radio El número pi Ninguna de las anteriores
Un parque de forma circular de 7 m de radio tiene al centro una fuente de 6 m de diámetro. Dibuja el esquema del parque y la fuente y calcula el perímetro de cada uno.
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
Perímetro del parque: 43.98 m Perímetro de la fuente: 18.85 m
4
Se va a construir una barda de alambre alrededor de un jardín en forma de semicírculo. ¿Cuánto alambre se necesita? 25.7 m de alambre
10 m
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
103
Práctica
22
Volumen
Eje Forma, espacio y medida
El volumen de un cubo se calcula multiplicando la medida de su lado tres veces.
Tema Magnitudes y medidas AE Calcula el volumen de prismas rectos cuya base sea un triángulo o un cuadrilátero desarrollando y aplicando fórmulas.
V = l × l × l = l3
l l l
El volumen de un prisma es el producto del área de su base por su altura: V = Abase × altura = A × h Matemáticas rápidas
El volumen de una pirámide es la tercera parte del prisma construido sobre la misma base y con la misma altura:
1. Encuentra el área y el perímetro de un cuadrado de lado 5.6 cm. P= 22.4 cm A= 31.36 cm2
V = Ab ×
Los prismas y las pirámides se clasifican de acuerdo con la forma de su base. Cuando la base es un polígono regular, se calcula su área con la fórmula: A = lado ×
12 75 18 2. 100 = 16 = 24 3. − 4.85 3.9763 –0.8737
5. Calcula 5 − 1.82. 3.18
104
apotema 2
Para calcular alguna de las cantidades que aparecen en las fórmulas de volumen, se despeja la variable de la cantidad que se quiere conocer. Ejemplo: A partir del volumen de un cubo se puede conocer cuánto mide su lado. Si el volumen del cubo es 125, entonces: V = l3 = 125 l = 3 √125
Actividades 1
En una caja caben 10 cubos a lo largo, 6 a lo ancho y 5 de profundidad. a) ¿Cuántos cubos caben en la base de la caja? 60 b) ¿Cuántos cubos caben en total en la caja? 300 c) Si los cubos miden un centímetro de lado cada uno, ¿cuál es el volumen de la caja? 300 cm3
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
4. El periódico El diario del Este tuvo un tiraje de 4 439 200 durante el mes de mayo. ¿Cuál fue su promedio de circulación por día? 143 200
h 3
2
Se quiere calcular el volumen de un prisma de base cuadrada. En la base caben, de cada lado del cuadrado, 3 cubos de 1 cm3 y hacia arriba del prisma caben 7 cubos de 1 cm3. a) ¿Cuál es el área de la base? 9 cm2
b) ¿Cuál es el volumen del prisma? 63 cm3
3
¿Cuál es el volumen de una pirámide con base cuadrada de 3 cm de lado y 7 cm de altura? V = Ab x h = 21cm3 3
4
Resuelve los siguientes problemas. a) Se requiere construir una cisterna con una capacidad de 4 m3 de agua en una superficie rectangular. Si la base es un rectángulo de 2 m de largo por 1.3 m de ancho, ¿cuál debe ser la profundidad de la cisterna? h = 1.5 m b) Un litro de leche está empacado en una caja en forma de prisma cuadrangular. Si la altura del empaque es de 20.5 cm, ¿cuánto mide de lado la base del empaque? Recuerda que un litro es igual a 1000 cm3.
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
7 cm
c) Se necesitan tapas de plástico para un juego de seis vasos que son prismas octagonales. El apotema mide 3 cm y el área de las tapas debe ser de 300 cm. ¿Cuál es la longitud de cada lado de la tapa? 25 cm d) La Gran Pirámide de Egipto ocupaba un volumen total de 7.6 millones de metros cúbicos aproximadamente y su base cuadrada mide 230.3 m por lado. Se piensa que estaba coronada por una pequeña pirámide de oro sólido que desapareció. Si la altura actual de la Gran Pirámide es de 137 m, ¿cuál habría sido la altura máxima de la pequeña pirámide de oro? 6.3 m e) Se tienen dos recipientes en forma de prisma rectangular y se sabe que las dimensiones del recipiente más pequeño miden la mitad de las dimensiones del recipiente más grande. ¿Qué fracción del volumen del recipiente grande representa el pequeño? La octava parte
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
Pregunta de reflexión Supón que tienes varios primas y pirámides con la misma base. ¿Cuáles tienen el mismo volumen? Pirámide de altura 2x y prisma de altura x Pirámide de altura a y prisma de altura 1 a 3
Prisma de altura 2m y pirámide de altura 6m Prisma de altura 3s y pirámide de altura s
105
Práctica
23
Experimentos aleatorios
Eje Análisis de datos Tema Probabilidad
Un experimento es aleatorio cuando no se puede predecir el resultado.
AE Realiza experimentos aleatorios y registra los resultados para un acercamiento a la probabilidad frecuencial.
Ejemplo: Al lanzar un dado puede salir 1, 2, 3, 4, 5 o 6, pero no se sabe con certeza qué número se obtendrá. Al conjunto de los posibles resultados de un experimento aleatorio se le llama espacio muestral. Ejemplo: El espacio muestral al lanzar un dado es el conjunto de números 1, 2, 3, 4, 5 y 6. La probabilidad que se dé un resultado en un experimento aleatorio se mide calculando la frecuencia con la que ocurre, es decir, el número de veces que puede suceder entre el total de resultados posibles, este valor puede estar entre 0 y 1.
Matemáticas rápidas 1. 30 × 100 = 3 000
Si A es un evento, entonces: P(A) =
2. Escribe los primeros 4 múltiplos de 20. 20, 40, 60, 80
4. Una moneda de oro vale $26 000. Si Cecilia tiene 50 monedas de oro, ¿cuánto dinero tiene? $ 1 300 000
106
Si P(A) = 0, el evento A no ocurre bajo ninguna circunstancia, es un evento imposible. Si P(A) = 1, el evento A siempre ocurre, se trata de un evento seguro. Ejemplo: Al tirar una moneda, el total de posibilidades es 2 (águila o sol). La probabilidad de que caiga sol es
1 . 2
Actividades 1
Escribe el espacio muestral para cada uno de los siguientes experimentos aleatorios: a) Lanzar una moneda. Águila, sol. b) Extraer una bola de una urna que contiene 5 bolas de color: verde, rojo, amarillo, negro y blanco. Bola roja, bola verde, bola amarilla, bola blanca, bola negra.
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
3. Las medallas olímpicas de natación obtenidas por Estados Unidos, Gran Bretaña y Rusia son: 5, 1 y 4, respectivamente. ¿Qué porcentaje de medallas en natación ganó Estados Unidos? 50%
número de veces que puede suceder un evento total de resultados posibles
c) Extraer una carta de una baraja. As, 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8, 9, 10, J, Q, K y cada una puede ser: corazón, diamante, espada o trébol: 52 cartas.
d) Tirar dos dados. (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6) (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6) (3, 1) (3,2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6) (4, 1) (4 ,2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6) (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6) (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)
2
Escribe la probabilidad de que sucedan los siguientes eventos. a) Al tirar un dado se obtenga un número menor que 4. 1 P(A) = 3 6 = 2
Pregunta de reflexión Si un evento tiene una probabilidad igual a uno, ¿cuál de los siguientes adverbios utilizarías para describirlo? Posiblemente Tal vez
b) Al tirar dos dados la suma de las caras sea menor que 5. 6 P(A) = 36 = 1 6
Definitivamente Ninguno de las anteriores
c) Al tirar dos dados la suma de las caras sea mayor que 7.
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
5 P(A) = 15 36 = 12
d) Al tirar dos dados la suma de las caras sea múltiplo de 3. 1 P(A) = 12 36 = 3
3
Los siguientes datos son los resultados de realizar 9 veces un experimento que consistió en dejar caer 20 cerillos sobre una rejilla de alambres paralelos. Número de cerillos que caen a través de la rejilla: 5, 7, 4, 6, 8, 5, 3, 5, 7. a) Calcula la probabilidad de que un cerillo atraviese la rejilla.
50 5 P(A) = 180 = 18
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
107
24
Eje Análisis de datos Tema Probabilidad AE Realiza experimentos aleatorios y registra los resultados para un acercamiento a la probabilidad frecuencial. Tema Estadística AE Recolecta, registra y lee datos en gráficas circulares.
Matemáticas rápidas 1. 2 × 5 × 3 = 30 2. En el número 4.06, ¿qué dígito ocupa el lugar de las décimas? El cero 3. (5 + 3)2
Frecuencia absoluta y relativa
Cuando se realiza un estudio estadístico se reúne la información en una tabla. La frecuencia absoluta es el número de veces que aparece un dato. La frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta y el número de datos. Ejemplo: Rosalía realizó una encuesta para saber el medio de transporte que utilizan sus compañeros para ir a la escuela y registró los resultados en la siguiente tabla. Medio de transporte
Frecuencia absoluta
Frecuencia relativa
Frecuencia relativa expresada en porcentaje
Ángulo
A pie
2
0.066
6.6%
24º
Bicicleta
2
0.066
6.6%
24º
Transporte público
1
0.033
3.3%
12º
Automóvil
13
0.433
43.3%
156º
Transporte escolar
12
0.4
40%
144º
Total
30
1
100%
360º
Para mostrar esta información en una gráfica circular se calcula el ángulo que corresponde a cada alumno, el cual está dado por: 360º
ángulo por alumno = 30 = 12º En la última columna de la tabla se muestra el dato correspondiente dependiendo del número de alumnos o frecuencia absoluta. La gráfica quedaría de la siguiente forma.
= 64 4. ¿Cuál es el mínimo común múltiplo de 7 y 8? 56 5. Calcula mentalmente: 63 ÷ 7, × 6, − 8, + 4, ÷ 10. 5
108
Medio de transporte para llegar a la escuela 2
2
1
A pie Bicicleta
13
Transporte público 12
Automóvil Transporte escolar
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
Práctica
Actividades 1
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
2
Completa la siguiente tabla que muestra el número de horas que Germán dedica a sus actividades.
Actividad
Número de horas (frecuencia absoluta)
Frecuencia relativa
Frecuencia relativa expresada en porcentaje
Ángulo
Dormir
8
0.333
33.3%
120°
Ir a la escuela
5
0.208
20.8%
75°
Hacer tarea
4
0.166
16.6%
60º
Comer
3.5
0.146
14.6%
52.5°
Ver televisión
1
0.041
4.1%
15°
Jugar
2.5
0.104
10.4%
37.5°
Total
24
1
100%
360º
Construye la gráfica circular que representa los datos de la tabla anterior.
Jugar Ver televisión
Domir
Comer
Hacer tarea Ir a la escuela
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
109
25
Eje Análisis de datos Tema Probabilidad AE Realiza experimentos aleatorios y registra los resultados para un acercamiento a la probabilidad frecuencial. Tema Estadística AE Recolecta, registra y lee datos en gráficas circulares.
Representaciones gráficas
Así como las gráficas de barras indican la frecuencia de un suceso, el ángulo central en una gráfica circular lo hace. La cantidad de ángulos centrales en los que se divide el círculo indica el número de opciones del suceso. Para calcular de cuánto es, primero se calcula lo que equivale para una unidad dividiendo 360º entre la suma de las frecuencias, y después se suman las unidades que indica cada frecuencia en particular. Ejemplo: En la siguiente tabla se muestran los datos de una encuesta sobre el medio de transporte que utiliza un grupo de 23 niños para ir a la escuela.
Matemáticas rápidas 1. Encuentra el máximo común divisor de 24 y 36. 12
2. Encuentra el área y el perímetro de un rectángulo cuyos lados miden 3 cm y 5 cm.
Medio de transporte
Registro
Frecuencia
Caminando
|||
3
Bicicleta
|||
3
Automóvil
|||| ||||
9
Autobús
|||| |||
8
Total
23
En la gráfica de barras se representan los medios de transporte en el eje X y la frecuencia en el eje Y. Queda de la siguiente manera.
10
3. Escribe los múltiplos de 8 que se encuentran entre 39 y 73. 40, 48, 56, 64, 72
4. 7 204 − 7 179 = 25
5. 2 423 − 2 324
Cantidad de niños
P = 16 cm A = 15 cm2 5
0
Caminando
Bicicleta
Automóvil
Medio de transporte
= 99
110
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
Autobús
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
Práctica
Para elaborar la gráfica circular correspondiente, primero se calcula el ángulo para una unidad: 360º = 15.652º 23
Entonces, para conocer el ángulo central que abarcará en el círculo cada medio de transporte, a cada frecuencia se le multiplica por 15.652º. De esta manera, se anota el ángulo en la columna correspondiente. Medio de transporte
Registro
Frecuencia
Ángulo correspondiente
Caminando
|||
3
46.96º
Bicicleta
|||
3
46.96º
Automóvil
|||| ||||
9
140.87º
Autobús
|||| |||
8
125.22º
23
360º
Total
Al construir una gráfica circular los ángulos dan exactos cuando:
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
La gráfica circular queda de la siguiente forma.
El total de encuestados es factor de 360º.
Caminando
El total de encuestados es múltiplo de 360º.
Autobús 46.96° 125.22°
Pregunta de reflexión
Bicicleta 46.96°
140.87°
El total de encuestados es un número primo. El total de encuestados es un número impar.
Automóvil
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
111
Práctica
25 Actividades 1
A un grupo de 30 niños se les preguntó cuál era su sabor de helado favorito. La siguiente tabla muestra los resultados.
Sabor
Registro
Frecuencia
Ángulo
Vainilla
||||
5
60°
Chocolate
|||| |||
8
96°
Fresa
|||| ||||
9
108°
Napolitano
|||| |||
8
96°
30
360º
Total
a) Representa la información en una gráfica de barras. 10 9 8 7 6 5 4 3 2 0
Vainilla
Chocolate
Fresa
Napolitano
b) Calcula el ángulo que representa a cada persona, indica el que correspondería para cada sabor y representa la información en una gráfica circular. 12 ° Vainilla Napolitano
Chocolate
Fresa
112
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
1
2
Realiza una encuesta en tu salón sobre la preferencia de los sabores de helados de la tabla. Registra en la tabla los resultados que obtengas y elabora la gráfica circular que corresponde. R. L. Sabor
Registro
Frecuencia
Ángulo correspondiente
Vainilla Chocolate Fresa Napolitano Total
3
360º
En el siguiente pictograma se muestra la información que registró una escuela sobre la cantidad de niños de cada grado de secundaria que utilizan la bicicleta para ir a la escuela. Grado
Cantidad de niños
Primero
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
Segundo
Tercero
a) ¿Cuál fue el total de alumnos encuestados? No se puede saber b) ¿Cuál fue la frecuencia en cada uno de los grupos? 1° : 15, 2° : 18, 3° : 10 c) Si tuvieras que representar la información en un gráfica de barras o circular, ¿cuál elegirías y porqué? R. L.
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
113
Práctica
26
Eje Análisis de datos Tema Estadística AE Usa e interpreta las medidas de tendencia central (moda, media aritmética y mediana) y el rango de un conjunto de datos y decide cuál de ellas conviene más en el análisis de los datos en cuestión.
Propiedades de la moda, media y mediana
Media o promedio es el resultado de la suma de los valores de un conjunto de datos dividido entre el número de datos. Ejemplo: Las calificaciones de Renata al final del curso fueron las siguientes. Español
10
Inglés
9
Geografía
9.8
Matemáticas
10
Dibujo
9
Computación
9.3
Biología
9
Ed. Física
9.8
Formación Cívica y Ética
9
Su promedio general es:
10 + 10 + 9 + 9.8 + 9 + 9 + 9 + 9.8 + 9.3 84.9 = = 9.4 9 9
Moda es el dato que más se repite en un conjunto de datos. Ejemplo:
1. Ordena los siguientes números de menor a mayor: 4 8 5 , , , 0.25. 12 16 6 4 8 5 0.25 < 12 < 16 < 6
2. Calcula 80% de 200. 160
3. 17 86.19 5.07
4. 55 66 1.2
5. ¿Cuántos vértices tiene una pirámide hexagonal? 7 vértices
En las calificaciones de Renata, el dato que más se repite es 9, por tanto, la moda de ese conjunto de datos es 9. Mediana, dado un conjunto de datos, se ordenan en forma creciente o decreciente, la mediana será el dato que divide al conjunto en dos partes iguales. En el ejemplo que nos ocupa, al ordenar en forma decreciente las calificaciones de Renata, podemos ver que el número que está en el centro es 9.3, esa es la mediana. 10 10 9.8 9.8 9.3 9 9 9 9 Puede suceder que al ordenar los datos haya dos números al centro, por ejemplo, en el siguiente conjunto de datos hay dos números al centro: 24 24 23 23 22 21 21 20 19 19 En este caso, la mediana es el promedio de ambos, es decir ¿Cuándo usar la media, la mediana o la moda?
22 + 21 = 21.5 2
Usar el promedio puede dar información errónea si hay algún dato que se dispare de los demás. Por ejemplo: En un negocio de lavado de autos hay 10 empleados y un dueño. Los empleados ganan el salario mínimo, es decir, $88.36 al día y el dueño gana $10 000 al mes. Cada empleado gana $2 650.80 al mes. El promedio de estas cantidades es 3 318.90
2 650.80 × 10 + 10000 36 508 = = 11 11
El promedio de sueldos en este negocio es $3 318.90. Este dato no describe la situación salarial de la mayoría de los empleados, porque hay una cantidad, 10 000, que se desvía mucho del resto. En estos casos no conviene usar el promedio.
114
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
Matemáticas rápidas
Hay casos en lo que la moda no nos proporciona información relevante, por ejemplo, si hay dos o tres modas. La mediana puede ser útil siempre y cuando los demás valores no están desviados. En el ejemplo de los salarios de los empleados que lavan coches, la moda y la mediana describen mejor la situación salarial de los empleados.
Actividades 1
Los siguientes datos representan el número de hermanos que tienen los alumnos de un grupo de 1º de secundaria. Tabla 1 3
2
4
5
6
4
2
0
1
0
2
2
4
3
1
1
1
1
2
1
2
3
2
2
3
a) Acomoda los datos de menor a mayor: 0
0
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
4
4
4
5
6
2
Número de hermanos
Frecuencia
0
2
1
6
2
8
3
4
4
3
5
1
6
9 8 7 Frecuencia
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
b) Completa la tabla y verifica que coincida con la gráfica.
6 5 4 3 2 1 0
0
1
1
2
3
4
5
6
Número de hermanos
c) ¿Cuál es el número que más se repite, es decir, la moda? 2 d) ¿Qué significa eso? Que hay 8 alumnos en el grupo que tienen dos hermanos. e) Calcula el promedio con los datos de la tabla 1. 2.28 f) ¿Cuál es la mediana? 2
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
115
Evaluación 1. El perímetro de una circunferencia cuyo radio es 2.1 m es: (considera pi = 3.14)
a) 13.8474 m b) 13.188 m c) 55.3896 m d) Ninguno de los anteriores
2. Las calificaciones de Paola en el bimestre fueron las siguientes: 8.7, 6.5, 9.3, 8.3, 9.3, 10 y 7.2 ¿Cuál fue su promedio?
a) 9.88 b) 7.41 c) 8.47
d) Ninguno de los anteriores
3. ¿Cuántos tablones de 3.75 m de largo se necesitarán para cercar un terreno cuadrado de 30 m de lado? a) 8
b) 16
c) 24
d) 32
4. Un rodillo de piedra de 4.13 m de perímetro da 18.9 vueltas rodando de un extremo a otro del gimnasio. ¿Cuál es el largo del gimnasio? a) 40.273 m b) 78.057 m c) 50.471 m
d) Ninguno de los anteriores
5. ¿Cuánto mide el perímetro de un octágono regular de 8 cm de lado y 3 cm de apotema?
a) 24 cm b) 64 cm c) 96 cm
d) Ninguno de los anteriores
6. Indica la opción que aplica a los siguientes triángulos.
60° H
45°
a) ΔIHG ≅ ΔVUW
60° 75°
75° I
45°
b) ΔIHG ≅ ΔUWV
U
c) ΔIHG ≅ ΔUVW
d) ΔIHG ≅ ΔWUV
W
7. ¿Cuál de las expresiones es la correcta sobre la congruencia de los siguientes triángulos?
G V 22°
I
116
W 116° 42°
22°
42°
a) ΔIHG ≅ ΔVUW b) ΔIHG ≅ ΔUWV
116°
c) ΔIHG ≅ ΔUVW
U
d) ΔIHG ≅ ΔWUV
H
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
V
G
8. Indica qué criterio de congruencia se aplica. a) ALA b) LAL c) LLL d) Ninguno de los anteriores. Los triángulos no son congruentes
9. Indica qué criterio de congruencia se aplica. a) ALA b) LAL c) LLL d) Ninguno de los anteriores. Los triángulos no son congruentes
10. Indica qué criterio de congruencia se aplica. a) ALA b) LAL c) LLL d) Ninguno de los anteriores. Los triángulos no son congruentes
11. Indica qué criterio de congruencia se aplica. a) ALA
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
b) LAL c) LLL d) Ninguno de los anteriores. Los triángulos no son congruentes
12. Calcula el volumen del prisma. 7.5 cm
7.5 cm a) V = 585 cm3 b) V = 269.4 cm3 12 cm h = 6.5 cm
c) V = 296.4 cm3 d) Ninguno de los anteriores
7.5 cm
13. Indica la media, mediana y moda. 10, 11, 3, 5, 7, 10, 9, 14, 16, 10, 2, 5, 7, 8, 3, 12, 18, 6, 4, 10, 15, 10, 15, 13, 8, 17 a) Media: 9.5 Moda: 10 Mediana: 10
b) Media: 9 c) Media: 9.5 d) Media: 10 Moda: 10 Moda: 9 Moda: 9.5 Mediana: 9 Mediana: 10 Mediana: 9
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
117
Retos
Para finalizar tu trabajo, te proponemos los siguientes desafíos.
1. La siguiente bandera tiene una cruz roja colocada sobre fondo blanco. Ambos
brazos tienen el mismo ancho. Si el área de la cruz roja es igual al área de la parte blanca, ¿cuál es el ancho de los brazos de la cruz? 21 cm
60 cm
91 cm
se lee igual. ¿Cuál es el siguiente número que tiene esta característica? 6 009
118
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
2. El número 1961 tiene la característica que si se pone de cabeza, el número
3. Dos hexágonos regulares están inscritos y circunscritos a una circunferencia como se muestra en la figura.
Si el hexágono interior tiene un área de 3 u2, calcula el área del hexágono exterior. El hexágono exterior está formado por 24 triángulos iguales. El interior por 18. Si 18 triángulos representan 3u2, entonces:
© Todos los derechos reservados, Ek Editores, S. A. de C. V.
18 = 24 , donde x = 24 x 3 = a 72 = 4u2 3 x 18 18
4. A través de un espejo, Mariana ve el siguiente reloj. ¿Qué hora marca?
9:45 h
© Ek Editores S. A. de C. V. Versión electrónica.
119