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PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

La mecánica de los fh udos comu una tte las ciencias básicas en la ingenieria, es una rama de ta mecánica que se aplica al estudio del comportamiento dc los fluidos, ya sea que éstos se encucnneri en reposo o en movimiento. Para su debida comprensión, su estudio debe iniciarse con cl conocimicnto dc las propiedades físicas de los fluidos, entre las cuales las más destacadas son la dc:rindan y la viscosidad, ya que estas se emplean comúnmente en los cálculos de los cscurrimicntos en distintos tipos de conductos. DENSIDAD

La densidad de un cuerpo es la relación que existe entre la masa del mismo dividida por su unidad de volumen.

En el sistema internacional de unidades la densidad del •sua es de 1000 kg/m³ a una temperatura de 4ºC. La densidad relativa dc un cuerpo es un número adimeiisional establecido por la relación entre el peso dc un cuento y cl peso de un volumen igual de una sustancia que se toma como referencia. Los sólidos y líquidos toman como referencia al agua a una temperatura de 2t1‘C, mientras que los gases se refieren al aire a una temperatura de 0ºC y una atmósfera de presión, como condiciones normales o estándar.

El peso esJieci ficti de una sustancia .se puede ilefinir como la relación entre el peso de la sustnnc ia por su unidad de volumen.

peso volumen Problema Si la densidad de un liquido es de 835 kg/m’, determinar sii peso específico y su densidad relativa.

ç = p x g —— 835 kg/m' x 9.8 l in/s'- 8.2 kN

= 0.835

Problema Comprobar los valores de la densidad y del peso especifico del aire a 30W dados en la Tabla 1(B).

P 10336 kg/m' TR 303‘ K x 29.3 ru/ ’K y g

= l .lb42 kg/m'

1.1642 kg/m' = 0. 1186 kg.scg'/m .m = 0. 1186 UTM/m 9.81 ru/s

Problema Comprobar los valores de los pesos cspecificos del anhídrido carbónico y del nitrógeno dados en la Tabla l(A). P

’ R.T + C)

latmósfem _

19.2 m/' K(273.33‘K

l .033 kg/cm 'x 10’ cm'lm' 19.2 x 193.33

= 1.83525 kg/m' 1.033 kg/cm' x 10’ cm' 30.3 x 293.33

’

— 1.1630 kg/m’

Problema A qué presión tendrá el aire un peso específico de 18.7 kN/m' si la temperatura es de 49 ºC?

P, = l ,033kg/m' x

18.7

ü l76kPa

l .1194 16

VlSCoSIDAD

La viscosidad de un fl uitlo indica el movimiento relativo entre sus moléculas, debido a la fricción o rozamiento entre las mi.sanas y se puede definir como la propiedad que de:encima la canti‹lail de resistencia opuesta a las fuerzas cortantes. Esta propiedad es la responsable por la resistencia a la ilcformación de los fluidos. En los gasés tÍlSLléltOS, esta propiedad es imponantc cuando se trabaja con grsndcs presiones. Al gaines líquidos presentan esta propiedad con mayor intensidad que otros, por ejemplo ciertos aceites pesados, las melazas y el alquitrán fluyen más lentamente que el a¡;ua y el alcohol. Newton formuló una ley que explica el comportamiento de la viscosidad en los fluidos que se que se mueven en trayectorias rectas o paralelas. Esta Iey indica que el esfuerzo de corte de un fluido, es proporcional a la viscosidad para una rapidez de deformación angular dado. Es importante destacar la influencia de la temperatura en la diferencia de comportamiento entre la viscosidad de un gas y un líquido. El aumento dc temperatura incrementa la viscosidad de un gas y la disminuye cn un liquido. F:sto se debe a que en un liquido, predominan las fuerzas de cohesión que existen entre las moléculas, las cuales son mayores que en un gas y por tanto la cohesión parece ser la causa predominante de la viscosidad. Por el contrario en un gas cl efecto dominante para determinar la resistencia al corte, corresponde a la transfcrcnc ia en la cantidad de movimiento, la cual se incrementa directamente con la tcmpcratura. Para presiones comunes. la viscosidad es i ndcpcndicntc de la presión. La viscosidacl asi ilcfi nida, se conoce como viscosidad absoluta o dinámica. Existe otra iiiniici« de expresar la visciisidad dc una sustancia y es la llamada viscosidad cinemática que relaciona la viscqsidail absoluta con la densidad.

derisiclad(p) Problema

Determinar la viseosidail absoluta del mercurio en kg—s,²m' si en poises ce igual a 0.015 8‘!

l Poise = 98. kg — sim l y p, - 16. I x l0‘ 4 kg — s l m’ Problema Si la viscosidad absoluta de un aceite es de 510 poises. ¿Cuál es la viscosidad en el sistema kg-m-s?

Poises l Poises l

l kg - s/ru'= 5.210 kg - s/m' 98.

Problema

Qué valores tiene la viscosidad absoluta y cinemática en el sistema técnico de unidades (kg- m-s) de un aceite que tiene una viscosidad Saybolt de 155 segundos y una densidad relativa de 0.932?

,ii - 0.309 Poises = 3.156 x 10 ' kg - s/m' l ,35 l55

v = 0.332 stokes = 0.332 m‘/s x l m' / 10‘ cm’ v = 33.2 x l0

m' Es

Problema Dos superficies planas de grandes dimensiones están separadas 25 mm y el espacio entre ellas está lleno con un liquido cuya viscosidad absoluta es 0. 10 kg. seg'm². Suponiendo que el gradiente de velocidades es lineal, ¿Qué fuerza se requiere para arrastrar una placa de muy poco espesor y 40 dm' de área a la velocidad constante de 32 cm/s si la plaza dista 8 mm de una dc las superficies?

Por producirse dos esfuerzos cortantes, se necesitan dos fuerzas para mover Ia

F, = 0. J 0 kg - s/m 'x Ü.4 m' x

F, = 0, 10 kg - s/m' x 0.4 m' x

, . .

F, = 0.75 + 1.6 = 2.35 kg

En el estudio del comportamiento de los fluidos, especialmente ¡;ases, en algunas ocasiones se producen condiciones de trabajo en las cualcs, sc mantiene constante la temperatura (isotérmica) y en otras no existe intercambio de calor entre el gas y su entorno (adiabáticas o isentrópicas). Eti el caso de cou‹liriones isotérmicas, la aplicación de la ley dc Jos gases ideales, es adecuada para explicar las relaciones que se producen entre volumen y presión. Para condiciones adiabáticas, se introduce en la ecuación de los gases una constante k, que relaciona los valores espccíficos de las sustancias a presión y volumen constante. Esta constante se conoce con el nombre del exponente adiabá tico.

Problema Dos metros cúbicos dc ar re, inicialmente a la presión atmosférica, se comprimcn hasta ocupar 0,500 m³. Para una comprensión isotérmica, ¿,Cuál será la presión final?

2m'

= 4. 132 kg/cm'

En rI problema anterior, ¿Cm será la presión final si no hay p£ididaa de calor durante la compresión?

K - 1.4 dc tabla l(A) Mecánica - Hidráulica de Fluidos R. Gilcs V'

'

= 1.033 x

2

'“

— 7.20kg/cm '

Otra propiedad que se destaca en cl estudio dc los fluidos us la tensión superficial, que indica la cantidad dc trabajo que debe realizarse para llevar una molécula del interior de un líquido hasta la superficie. La pmpicdad se produce debido a Ia ación de faa diferentes fuerzas a quu sc cocucnba sometida una nxildculacolocadacn la superficie de un líquido.

¿Qué fuerza será necesario para separar dc la superficie dcl agua a 20ºC, un aro de alambre fino dc 45 nun dc dihnctro? El poco del slambm us despreciable. Le tensión superficial (x) es dc 7.42*lf t³ Itg/m

0.045 Perímetro del aro -- 2 n: r =2n ' != 0.t4 l 37 »t 2 f = 2*Fensiiiii supei¡jlcinf *Z'erímeirn = 2* 7.42 *l0 'kg/m* 0.14137 i×

Z - 2.098*t 0"’t;g*9.81›x la' Z = 0.020ó›Y

tante consideren una propiedad llamada eapilaiidad, que eensiatc en la capacidad que ánnc une columna dc un líquido p×ia ascender y descender en un medio poioao. La capilaridad está influenciado por la tensión superficial y depende dc las magnitudes relativas entiu las funizae de cohesión del líquido y les fuerzas dc ×ilhmión dcl liquido y

las paicdm medio.

del

y = 998 kg l m 2 r cos ir

2 * 0.00742 • 998 * 0.0009 r= l .65* l0

m

d = 2r = 2 * l .65 * l0

m =33. l rim

La compresibilidad en un fluido se encuentra expresada por un modulo, Ilamado de elasticidad volumétrica. Expresa la relación entre la variación de la presión con respecto a la variación de volume:i ¡›or unidad de volumen.

Problema Determinar la variación de volumen dc 0.283 1 7 in' de agua a 26.7°C cuando se somete a una presión de 3 5.0 kg/cm². El módulo x'olumétrico de elasticidad a esa tem— peratura es igual. aproximadamente, a 22. 750 k¡ycm². -—’

dv ---

dv l v 35 kg l cm’ •0.28317 tu’ 22150 kg / cm' 35 kg / cm • 10’ciii' / m • 0.28317 m'

dv --

22750 #g / cm' • 10‘cu' / m’

dv -— 0.436 •l0 'm’

ProbléFl2 B

¿Qué presión se ha de aplicar. aproximadamente, al agua para reducir su volumen en un 1.25% si su módulo volumétrico de elasticidad es 2. 19 Gpa? E ---

dp

dv l v

dp —-- E

de

Presión inicial = 2. 19 GPa * I = 2. 19 GPa Presión final = 2. J 9 GPa * (1 - 0.0 125)= 2. 1626 GPa Presión aplicada = Presión inicial - Presión final Presión aplicada = 2. 19 GPa — 2. 1626 GPa = 0.0274 GPa

CAPITULO ll

ESTÁTICA DE FLUIDOS

ONCEPTO DE PRESIÓN

De iiiuiicra particular la presión puede expresarse como presión manométrica y presión absoluta. Estos conceptos dc la presic›n se encuentran referidos a uri ilivel de presión determinado(nivel de referencia de la presión), que en el caso de la presión absoluta es cerq, que es la minima presión alcanzable cuando se tiene el vació absoluto. Las prcsioncs manométricas sc encuentran referidas a la presión atmosférica.

Los manómetros son dispositivos que se utilizan para medir la presión. Existen diferentes dispositivos para medir la presión cntrc los cuales es conveniente mencionar el medidor de Bourdon y los manómetros de columna de 1íqiii‹1o. El medidor de Bourdon es un dispositis o mecánico, de tipo metálico, que eii general se encuentra comercialmente y que basa su principio dc funcionamiento en la capacidad para medir la difcrcnc ia de presión entre cl extcrior y el interior de un tubo eliptico, conectado a una aguja por incdio de un resorte, enc••sª•dose la aguja de seflalar en una carátula la prcsión registrada para cada situación particular. Los manómetros de columna liquida, miden diferencias dc presión más pequeñas, referidas a la presión atmosférica, al determinar la loiigitucl de una columna dc líquido. Generalmente el dispositivo más sencillo para mcdi r In prcsicin atmosférica es cl tubo piezométrico. cl cual debe tener por lo mcnos 1 0 mm de diámetro con el fin de disminuir los e fectos debidiis a la capilarida‹l, F:n algunas ocasiones cl tubo piezométrico adopta una li›rma dc U, con el objeto de faci litar la ‹determinación nc lu presií›n y en otras la instalación dc un tubo piezométrico entre dos recipientes, permite determinar la Ii ferencia id‹: pri;s¡ún or:ire los fluidos que ocupan los rcci¡›icntcs. Cuando se requiere

medir presiones muy pequeñas, se utilizan manómetros de tubo inclinado, el cual permite una escala amplia de lectura.

Problema En la figura se muestra un tubo de vidrio en U abierto a la atmósfera por los dos extremos. Si el tubo contiene aceite y agua, tal como se muestra, determinar la densidad relativa del aceite.

IOOO* O.3 Densidad relativa -

857

= 0.86

1000

Problema El depósito de la figura contiene un aceite de densidad relativa 0.750. Determinar la lcctum dcl manómetro A en kg/cm'.

Tomando en cl piezómetro un nivel de referencia aa’

Tomando como nivel de referencia la presión atmosférica

×n *7

q,p,, x 0.23 - 0

P, -- 3121.1 kg/m' zisi

i — m + 7×

×

Pg — - 3121.1 kg/m' + 750kg/m’ z 3m - - 8.711xl0" kg/cm’

Un depósito cerrado contiene 60 cm de mercurio, 150 cm de agua y 240 cm de un aceite de densidad relativa 0.750, conteniendo aire el espacio sobre el aceite. Si la prcsión manométrica en el fondo del depósito es de 3.00 kg/cm², ¿cuál será la lectum manométríca en la parte superior del depósito?

P - Presión abajo

P - Presión arriba

Problema Con referencia a la figura, cl punto A está 53 cm por debajo dc la superficie de un líquido con densidad relativa 1.25 en cl recipiente. ¿Cuál es la prcsión manométrica en A si cl mcmurio asciende 34.30 cm en el tubo?

Pg — - 46545 kg/m' + 662.5 kg/m'- - 0.4 kg/cm' Problema En la figure, calcular cl peso del pistón si la lectura dc presión manométrica es dc 70 Kpa.

Presión aceite = Presión manómetro + Presión columna Presión aceite = 70000 N/m' + 8601:g / m’ * lm *9.8 l m / s' Prcsión aceite= 70000 N/m'

+ 8437 /\/ / m'—78436.6 P /ri ’ Presión pistón = Presión aceite

Peso pistón = 78.4 KN/in’ *a

= 61.6 KN

Despreciando el rozamiento entre el pistón A y el cilindro que contiene el gas, determinar la presión manométrica en B, en cm de agus. Suponer que el gas y el aire tienen pesos específicos constaiitcs c iguales, respectivamente, a 0560. _u»¿ |

.‘

|

eis

×: = ’

x 1600000 kg

= 565.8

kg/m'

D

P, = 565.8 kg/m' + 50.4 kg/m'= 6 16.2 kg/m'

P, - P

x 20 m =› P, = P¡

P = 612.2 kg/111 '— 7 x2OJ1t = 605 kg/m'= 0.605m (columna agua) Problema

Los recipientes A y B que contienen aceite y glicerina de densidades relativas 0.780 y l .250, respectivamente, están conectados mediante un manómeao diferencial.

El mercurio del manómetro está a uri8 elevación de 50 cm eii el lado de A y a una eleva-

ción dc 35 cm en el lado dc B. Si la cota dc la superficie bTnu dc h glicerina en ¢1 dcp6aito B u dc 6.40 m. ¿A quii cota natá la superficie libre dcl aceite un El rncipicnin A?

P, - Pp + 9 (6.05m) — 10336 kg/m ' + l25O kg/in '×6.O5m = 17898,5 kg/in '

P - Pp + yg xh + y x 0.1 5m= 10336 kg/ia' + 780h’ +13590 kg/m'z 0. 15m

hp - h’ + 0.5m - 7.58m US IB Bltitra de la superficie libre en el tanque A, $ la distancia h scr£ la superficic libre dcl aceite.

Un depósito A, a una elevación dc 2.50 m conáenc agua a una prmión dc 1.05 kg/ cm'. o depósito B, a una elevación de 3.70 m contiene un líquido a una presión de 0.70 kg/scQ. Si la lectura de un nianómeho diferencial es dc 30 cm dc mercurio, estando la perte m£a bBj8 en el ledo dc JÁ y a iins cosa dc 30 8TlI, detcnninar la densidad relativa dcl líquido contenido en B.

P =y

(2,5m - 0.3m) + l05tO kg/m'= 12700 kg/m'

Z'J = 7000 kg/m' + 13b00 x 0.3 + y

P -- P¿ m y

(3.7 -0.6

——522.58 kg/m’

D.IC= 0.525 Problema Ill sin dcl recipiente dc la izquierda dc la figura nstá n una prcsión du • 23 cm dc IltfifDttfÍD. OfllflFfIl.tD84' lR GD18 dDl lÍQltÍdO ££t8 1OROO NO IB (18f1B derecho en A.

Para uri nivel de referencia AA’ en el tubo piezométrico

P —— 0.20 kg/cm' + yp p (33.5 - 32) + y ., - ³ El aire del recipicnte d¢ la izquierda está a -23 cm de mercurio. 76 cm de mercurio equivalen a 10336 kg/m’ - 23 cm de memurio equivalen a -3128 kg/m²

Igaal ando ( l ) = (2)

Cota del punto a = 32 m - 5.71 m - 26.3 m

Los compartimentos 8 y C de la siguiente figura están cerrados y llenos de aire. La lectura barométrica en l .020 Kg/cm'. Cuándo los manómetros A y D maman las lecturss indicadas, ¿Qué valor tendrá X en el manómetro E dc mercurio?

Se toman dos niveles de referencis. El primero (l - l ’) en el piezómetro exterior y el scgundo (3-3 ’) en el piezómetro interior.

2.

’

'’

B

.2

+

.

El cilindro y ¢1 tubo mostmdoa en la figura conáenen acniic de dnnaidad mlaáva 0,902. Para una futura manorn trica dc 2.20 kg'cm². ¿Cuál es cl pcao real del piaión y lB pisa W?

Problema Determinar la presión diferencial entre las tubeñas A y B para 18 lectura dcl manómetro diferencial que se muestra en la figura.

En la figura se muestra un depósito cerrado que contiene aceite bajo presión dc un colchón dc aire. Determinar la elevación de la superficie lisa del aceite cnel piczómr-

Presión columna de aceite= Presión aire P, = 35 £Pn +

*2

Pp -35 £Po + 830 *2 *9.81 P = 51284.6 Pu

C'on referencia a la siguimtc figura, ¿quii presión manométrica du A hail que la glicerina suba kasta c] nivel B7 Los pesos específicos dcl arcitc y glicerina son 832 y 1250 kg/m’, rcspecfivarnentc.

I', = P -- (90 — 3.6)xl 250kg/m’- 6750kg/m' Pp =- P - (y,,,,,,, x h) - 6750- (75 -3.6)x832kg/m'= 3505.2 kg/m'0.35Ig/cm'

26

Para levantar una plataforma de 10 toneladas se util iza un gato hidráulico. Si en el pistón actúa una presión de 12 kg/cm² y es transmitida por un aceite de densidad relativa 0.810, qué diámetro se requiere’!

Despejando el diámetro D- 32.57 cm

Si el peso especifico de la glicerina es 1260 kg/m³, qué presión de succión se requerirá para elevar la glicerina 22 cm en un tubo de 12,50 mm de diámetro? Presión = yH

Presion = 1260 kg lm'(— 0.22rn) —277.2 kg lm' El resultado negativo indica que se presenta una succión En una gota de agua, actúa la tensión superficial, dando lugar a una presión en el interior de la gota, superior a ta presión del exterior. Para el análisis de esta situación se realiza un balance de las fuerzas que están actuando sobre la superficie de una gota de agua, descomponiendo las fuerzas en los componentes en los tres ejes, lo cual permite relacionar la fuerza que actúa sobre la gota de agua, considerando una proyección sobre una superficie plana, con la fuerza de tensión superficial que actúa sobre el perímetro de la gota Problema ¿Cuál es el valor de la prcsión interior en una gota dc 1tux'ia de 1,50 mm de diámetro si la temperatura es de 2 l °C?

27

P = 19.6664Ig / tu' Intcrpolando para T - 21°C

T

o

20 21

0.007380 0.007374

25

0.0D7350

CAPITULO III

FUERZAS HIDROSTATICAS SOBRE SUPERFICIES

La acción de una fuerza ejercida sobre una supetficie plana, da como resultado uea presión, que en el caso de un liquido, determina la existencia de numerosas fuerzas distribuidas normalmente sobre la superficie que se encuentra eii contacto con el liqui- do. Sin embargo desde el punto de vista Óe análisis estático, es conveniente reemplazar éstas fuerzas, por una fuerza resultante únicI+ equ›valente. En el caso de una superficie horizontal, ésta se encuentra expuesta a una presión constante. Cuando la superficie es inclinada con relación a la superficie del fluido en reposo. la línea de acción de la fuerza resultante, se locatizará no en el centm de gravedad de la superficie, sirio en pueto Ilamado el centro de presión, el cual se encuentra localizado en la superficie, a una distancia mayor desde la superficie libre, que la distancia al centro de gravedad dc la placa. La determinación del centro de presión de una superficie sumergida pucdc ser determinada, aplicando el teorema de leas niomcntos, en cl cual el momento de la fuerza resultante con relación a un puriltj t)e referencia, debe ser igual a los momentos de las fuerzas elementales que ejercen su acción sobre la superficie. Cuando uri líquido en reposo actúa sobre una superficie curva, la fuerza resultante producida por el efecto del l iquido sobre la placa, está conformada por dos componentes. Una com{ioncnte de tipo horizontal que se calcu la como la fuerza ejercida sobre la proyección vertical de la superficie, actuando esta componente sobre el centro de pre• sión de la proyección vertical y otra componente de ti{io vertical. que corresponde a la fuerza hidrostática o peso del líq uiilo eJ ercida por cl cucrpo, que actúa sobre el centro de gravedad del vol umcn. En las presas, las fuerzas hidrostática.s tienden a product r dcsl izamientos honzontales y volcamientos que en las presas dc gravedad dcben ser contmrrestados por una a‹lcri uda distribución de cargas vol umétricas. E:n estos casos es conv ent ente conside-

nir la estabilidad de la presa, para lo cual deben determinarse coeficientes de seguridad contra el volcamiento y el deslizamiento y la presión sobre la base de la presa

Problema Encontrar para la compuerta, AB de 2.5 m de longitud, la fuerza de comprensión sobre el apoyo CD, por la presión del agua. (B, C y D son puntos articulados)

Solución al problema por la metodología formulada en el estudio de la estática: La fuerza total ejercida por cl agua aobrr la compuerta AB u puede aplicar en un solo punto. Esu punto es llamado el centro de gravedad del sistema. W l — (l 100) (0.6) (0.9) (2.5) - 1350 kilogramos W2 = (l0Ol) (0.5) (0.9) • (l .56) (2.5) - 1753.7 kilogramos

Componente de peso

Rectángulo 1 Triángulo l Z

El peso (w), se encuentra aplicado a 0.36 m del punto B W,- W, + W, = 3103.7 Kilogramos fuerza.

Componente Empuje Triángulo

Area (in') 0.94 1.22 2.16

y (m) 0.78 O.52

y a jin’ 0.73 0.63 1.36

y ZA = Z y A —

- 0.63 — 1.36 2.16 El empuje (E) se encuentra aplicado a 0.63 m del punto B - Ej + Ej 5375.8 kg

Realizando simcoía dc momentos con respecto al punto B

+ 1Z M = 0 - W (0.36) - E (0.63) + R (0.64) = 0

R -

(3103.7)(0.36) + (5375.8$(0.63)

— 7.037kg

Solución al problema por métodos planteados en mecánica de fluidos:

hp - Y, Sen 60’ - 0.9 Sen 60' = 0.78 m hp

-0.60 + 0.78 - 1.38m -

h

-1.59 Sen 60'

- l .2 15 m 4

— l .76 m

Longitud total 00'

"

0.6

= 0.69

Sen 600

longitud Total 0B '= 0.69 + 1.8 - 2.49 m Longitud brazo B B = 0' B - Yh, = 2.49 - 1.76 - 0.73 m

Tomando momentos con respecto del punto B

F .0.73 = F, Cos 45'. 0.9 F, - 7140 kg Problema Una compuerta rectangular AB de 3.6 m de alto y l .5 m de ancho, esta colocada verticalmente y puesta a 0. IE m abajo del centro de gravedad de la compuerta. La profundidad total es dc 6 m. ¿Cuál es la fuerza F horizontal que debe ser aplicada en la base de la compuerta para encontrar el equilibrio?

Fi = 22680 Kg

Y, -2.4 + ³

.6

— 4.2 m + 4.2 - 4.46 m

Y = Y, - Yq = 6 - 4.46 = 1.54 in x + y = 1.65 m x - 1.65 - 1.54 - 0. l l m Tomando momentos con respecto al eje de giro

F, X = F ª 1.65 F—

22680 x 0. l

'-1473 kg

l .65 Segundo método E , = 2.4 y • 3.6 • 1.5 - 12960 kg 15

, b - 0. l5 m

9720 kg , b, - 0.45 m

Problema Encontmr la dimensión Z para que la tensión en la barra BD, no supere por 8000 kg, cuando el ancho de la compuerta es de l .2m y considerando que loc puntos B y D están articulados.

Solución al problema por métodos planteados en estática:

Peso (W) = y • Area • h = y • Area * L base = 2 + Z

almra = 2 + Z Peso (W) =y Ein p

•

• l .2

’e (E) —

(2 + 2

+ ‘ Z MA = 0

F • brazo - Peso • brazo - Empuje • brazo -0

2+Z'*

Z) "’ - 0.6 ;r ( 3

22627 - 0.4 y (2 + Z)’- o Z = l .84 m Solución al probléma por métodos planté6dos en mecánica de fluidos

Cos 45

0 hT

'— 0.67 Y

Cos 45 h = 2 Cos 45'= 2.83m + ‘ Z MA -0

- F • y + Fh -0

Z = h , - 2 = l .85 m Problema Un aceite de densidad relativa 0.3 actúa sobre un área triangular cuyo vértice está en la superficie del aceite. El área del triángulo es de 3. m de base por 2,7 m de altura. Un área rectangular de 3.6 m de base y 2.4 m de altura se une al área triangular y está sumergida en aguic Enconnar el módulo y posición de la fuerza resultante para el área entero Fuerza sobre el aceite

Fuerza sobre el agua

.4 l c0 (3.6 • 2,4)- 29030.4 kg F = 2.7 * 80s + ' Fuerza Total = ¢›?96.4 + 29L›3 0.4 = 3¢›026, 6 kg

Punto de aplicación del empuje ejemido por el accitc

bh’ 36

3.s (2.7)' = l .9683 m 4 36

Punto de aplicación del empuje ejercido por el aga a Tomando un nivel imaginario del aceite y convirtiendo éste a un nivel equivalente de agua.

3.36(2.4)(3.6) Realizando una diferencia entre la superficie original del aceite y la columna equivalente del agua: 2.7 m - 2.16 m = 0.54 m E J puiiki de qu:aciúi de fi fuerza Y p, se toma con respecto del original Y — 3.5 m + 0.54 m = 4,04 m Por suma de momentos 6998.4 + 2.025 + 29030.4 + 4.04 = 36028.8 • y y -3.63 m Problema La compuerta AB está fija eii B y tiene I .2 m de ancho ¿Qué fuerza vertical, aplicada en su centro de gravedad, será necesaria para mantener la compuerta en equilibrio, si pesa ZOO kg? 36

Rectángulo

Empuje -Presión • Área

Empujc -3 y (1.5 • l.2)-5400 kg,

=07]m

=-= h

be,

3

3

Empuje, - 1.5 y (1.5 • l .2)- 2700 kg, be

Peso= 2000 kg ,

bw —

-0.75 m

que es la fuerza aplicada pam mantener la compuerta cerrada tomando momentos alrededor del punto B +1Z Mb -0 5400 • 0.75 +2700 • 0.5 -2000 • 0.75 +F •0.75 F -5200 kg

Problema En un tanque dc 6 m de longitud y una sección transversal, cl agua está en el nivel AE, encuentre: a} La fúerza totat que actúa en cl Iado BC b) IB fuerza total que actúa sobre el área ABCDB en

3.6

F, -1000 * 2

* (3.6 *3.6)= 23328 kg

3.6 * (3..6)'/12 (3.6 * 3.6) *1.8+ 1.8 — 2.4 m

2 °ri

3.6 * (2.4)’ /36 + 3.6 (3.6 * 2.4) * 3.6 + + 2.4

2.4 -4.47 m 3

Tommdomommnmscon rospoo!o&4 punto0 ]3328 * 24+ I4(D8•4474]]6•Y Y = ].33m Fuerza total sobre la superficie ABCDE F - l 0IO • (3.6 + 1.2) + (3.6) - 86400 kg

En ls figure por encima dc la compuerta en scmicirculo de 1.2 m dc aie»‹×«›, hay una altura de agua de 90 cm. La profundidad del cilindro ne de 1.0 iix Si el coeficiente de fricción entrn la compuerta y lea gulaa va de 0.1 detnmiine Is fuerza P requerida Q8f8 fllflYar lB tl0£flQllflll8 que pcea 500 kg.

Fv - ²

n (0.6)'

•i — 565.5 kg

+ 1Z Fy - 0

Fv + P - W - Fr -0 P = 500 + 252 • 565.5 - 186.5 kg Problema Un depósito de paredes laterales contiene un 1 m de mercurio y 5.5 m dc agua. Determinar la fuerza totnl sobre una pomión cuadrada dc 0.5 m por 0.5 m, la mitad dc la cual se encuentra aumergida en el inemurio: Lee lados dcl cuadrado están situados vertical y horizontales respecüvarnentc.

E, = PresiÓº‘ '7 • (base* altum) rectángulo El — 5.25y • (0.250.5)- 656.25 kg

-I E.63Ig

Haciendosumatoriade momentos

+ 1£ M -0 l572• Y -671.875* 5.375+ 900• 5.625 Y,$ = 5.52 m

Problema Uri triángulo isósceles que tiene 6 m dc base y 8 m de altura está sumergido vertical- mente en an aceite de D.R. = 0.8, con su eje de simetría horizontal. Si la altura del aceite sobre el eje horizontal es de 4.3 m, determine la fuerza total sobre una de las caras del triángulo y local ice verticalmente el centro de presión.

6.0 2 L = 3’ + 8 m Cos 8 —

v —

8.6 -82560 kg 2

8.54

b

bh 36

+ 3.72 -4.68 m

Problema Qué ian abajo de la superficie dcl agus puedc ser sumergido un cubo dc 4 m dc lado, para que el ccetm dc presión este 0.25 m por dibujo del centro de gravedad. ¿Cuál será la fuerza total sobre el cuadrado? q ’ cg '

25

Yq = 0.25 + Y, (l)

(2) Igualando ( 1) y (2)

0.25 A

* 2 ’/12 0.25 (2 * 2) = l .53

2 h = 5.33 - 2 = 3.33 m F - 1000 * 5.33 * 16 - 85333 kg Problema En la figura el cilindro de radio - l m y 2 m dC longitud está sumergido en B tlB B l8 izquierda y a la derecha en un aceite de densidad relativa 0.8. C+lcu1ar: a) la fuerza normal en el punto B si el cilindro pesa 6000 kg. b) la fuerza horizontal debida BI BGCÍtfi y al agua si el nivel del aceite desciende 0.San a) Fuerza normal (N) en el punto B Peeo del volumen del líquido desalojado

2 *L Empujr del agua 1000 Empuje del aceite 8ID

-W+ N +W

N- W

-W

m’

2

m'

2

+W

=0

-W

N =6MD •3 l42 -2513 -34ó kg E F,

(Agua)

• (m ' ) • 2m - 3142 kg

' ’ • (m ' ) • 2m - 2513 kg

2 •(2• 2)- 8000 kg

£ Fx (aceite)

1.5

Pam un8 longitud de 3 m de la compuerta, determine el momento no balanceado para la bisagra o debido a la posición del agua en cl nivel A

Y -distancia vertical 9 IB Cuat actúa la fú6£Z8 ÓO£ÍZODtBÍ

Y = l m del punto 0 X -distancia hoñzontal a la que actpa la fuerza vertical -

4 •3

= 1.27

Fq = y h Acb

Fq = 1000 • 1.5 • (3 •4) - 18000 kg

•3' •4 - 28274.3 kg 4 + 1Z M 0 M -18000 • l + 28274.3 • 1.27 — 0 +

M-— 1177990088 KKg -- m

Problema

Un tanque cuya sección mnsversal se muestra en la figura tiene 2 m dc longitud y ac encuentra en un tanque Ileno de agua sometido a presión. Encuentro los componente de la fuerza requerida para mantener el cilindro en posición despreciando el peso del cilindro.

Fg - y • 0.75 • (1.5 • - 2250 kg Fy -P •A -1500 •l.5 •2.0= 4500 kg Fy -6750 kg

l x - l * Sen 60' -0.87 m

Fv, = PA - 1500 • (0.87 • 2) - 2610 kg Fv, - y V - y * Area •Profundidad - 1500 •1047 • 2 - 2094 kg

F TAL VERTIC

- 2610 + 2094 = 4704 kg

Prnbleais Dctcrnunar por metro dc longitud, les componentes horizontales y vriticalca dcl agua a prcsión que actua sobre la oompunta ápo Taiatcr.

Fg =1000 •1.5 •3 -4500 kg F = y V - y • A •L

Area lleta - Area sector circular - Area tñangular Area Sector Circular -n r’ 8

Área Triangulo -

) - 9 43 m

- 7.80 m'

KB Neta -9.43 - 7.80 -1.63 m'

Dctaiminar la fuerza vertical que actúa sobre lB bóveda s¢tmcilíndrica, cuando la prmión manométrica leldB DIt A flS de 0.6 kg'cní'. La bóveda tiene 2 m de longitud

h——

Ió00 kg/m'

-3.75 m

Fg - (1600 •3.75 • 1.2 • 2) -(² •

• 0.6 • 2)

2

Fg - 12590 kg Problema Si la bóveda del problema anterior es ahom hemisférica y el diámetro es de l .2 m ¿Cual es el valor de la fuerza vertical sobre la misma?

F, -y v Volumen neto (V,) -Volumen cilindro circular - Volumen media esfera V - b • x r'

V =(3.75 • × (0.36) 2

P - 1600 * 3.79 6064 kg Problema

•0.216 —3.79 m'

Determinar la fuerza ejemida por el agua sobre la sección AB de 0.6 m de diámetro y la fuerza total en el plano C.

Fuerza sobre AB = 1000 • 5•

r' 4

1000 • 5 • a 4

Fuerza total sobre C - y’

F total sobre C — 21.21 kg Problema El cilindro mostrado en la figura es de 3 m de longitud. Asumiendo una condición

hermética en el punto A y que el cilindro no rota, cual será el peso requerido del cilindro, para impedir el movimiento ascendente?

Y' Peso + Fuerza Fricción Empuje = 0 Peso = Empuje Euerza fricc ión Fucrza horizontal = 1000 • l .2 • 2.4 * 3 = 8640 kg

Fuerza Fricción = y • Fuerza horizontal = 0.15 * 8640 = 1296 kg Empuje = j' V = 1000 *" '* 3 = 6786 kg Peso = 6786 - 1296 = 5490 kg Problema Un tubo de madera de l m de diámetro interior es sujetado por bandas de acero de 10 cm de ancho y 1.5 cm de espesor. Para una tensión permitida de 1 200 kg/cm’ del acero y presión interna de l .2 kg/cm². Determinar el espaciamiento de las bandas. Dos veces la tensión total - sumatoria de todas las componentes horizontales de las fuerzas = 0

2 ( Área Acero •Tensión del Acero) = p' • Proyección Z del sernicilincFo

2 0.1 ni • 0.013 m • kg 1200 cm y - 0.36 m

'

Problema Para un dique de contención de sección parabólica, que momento eii el punto A por m de longitud del mismo se origina por la exclusiva acción de los 3 metros de prtifundidad del agua?

47

El peso específico del agua del mar es 1025 kg/m³.

*

= 2306.25

. Area parabola -— • (2.5)

X - 5 - 0.94 - 4.06 m a la izquierda del punto A + EM

- M - 5125 * 4.06 + 2306.25 • 2 = 0 M = 16200 kg

El tanque de la figura tiene 3 metros dc longitud y cl fondo indicado tiene 2.5 m dc ancho. ¿Cuál es la profundidad de men:uno que causa el momento resultante en el punto C debido al líquido de l40tO kg-m en cl sentido contrario a las manccillas del

a = 2.5 Sen 30 - 1.25 ru

b

cos 3tJ’

b - 2.5 Cos 30'- 2. l 7 m Área rectángulo (W, ) -1000

brazo =

2.17 2

• 2. 1 7 m • 1.8 m * 3 m — 11691 kg

= 1.09 m

Peso triángulo = 1000 kg q 2. 17 * brazo

b

2. 17

0.72 m

Empuje = Presión • Área = y h • altura • longitud

Empuje = 13600

3

• h( m) * (in) • 3ni — 211400 h' kg

h

brazo — —

11691 * 1.09 + 4069 • 0.72 - 20400 h'

gh

lso‹»

h = 0.63 m Problemii La compuerta de la figura tiene 6 m de longitud ¿Qué valores tienen las reacciones en el eje 0 debidas a la acción del agua? Comprobar que el par respecto de 0 es nulo.

o/2 -35' lb’

2 2

•(3)' -5.55 m' dcl sueter circular -—• 2 180

-o•A• L - 1000 kg • 5.55 m’ • 6 m = 33300 kg

Una placa plana con un eje dc giro en C time una forma exterior dada por la siguiente ecuación x² + 0.5y - 1 ¿Cual es la fuerza del acnitc sobre h placa y cual es el momento respecto a C debido a la scción del agua?

Y -4.7 Seo 30º - 2.35 m X -4.7 Cos 30º 4.07 m

Empuje Aceite - y r -y h A = 800 Empuje Agua - 1000

kg

kg

* 2.35 m * (2 * l) m’ = 3760

kg

• 2.35 m • (2 • 1) m' = 4700 kg

4.07 * 2 Brazo del empuje - Í -

-

0.78 brazo = 1.0m -0.78 m 0.22 m brazo del

- 1.36 ru

brazo - 2.34 - 1.36 - 0.983 m

+ 1Z Mc - 0 - 4700 *0.22 - 4782.25 *0.983 + Mc - 0 Mc - 5735 kg - m Problema La compuerta ABC de forma paraból ica puede girar alrededor de A y está sometida a la acción de un aceite de peso específico 800 kg/m³. Si el centro de gravedad de la compuerta está en B ¿Qué peso debe tener la compuerta por metro de longitud (perpendicular al dibujo) para que esté en equilibrio? El vértice de la parábola es A.

— 3a 3 q x -— —— 0.6 - 0.45 m 4

3h Empuje

* 1.2 -0.36 m =800 •1 .2 m * l *1 (m') -960 kg m kg _ 0.6 *

'" *1(m ) - 192 kg

+ 1Z Ma -0

- 0.45 W + 960 *0.36 - 192 *0.45 - 0

La compuerta automática ABC pesa 3300 kg/m dc longitud y su centro de gravedad está situado × 180 cm a la derecha dcl qjc dc giro A ¿ac sbrirá la compuerta con la profundidad que se muesbn en la figure?

Empuje del agua = 1.8y • 1.8 • 1= 3240 kg

brazo del empuje

= 0.6 m a partir de la base

Peso Compuerta -3300 m + 1ZMa -0

Ma - W •1.8+ 3240 •0.6 -0 Ma -3240 • 0.6 + W • 1.8- - 1944 kg - m + 5940 kg - m Ma -3996 kg -

de longitud

La compuerta si se abre.

EMPUJE Y FLDTACION

ESTAB£LIDAD DE

UERPOS ÑUMERGIDOE Y FLOTANTES

Para que un cuerpo sumergido tens• estabilidad. El centro de gravedad del mismo Jebe estar directamente debajo dcl ccntro dcl empuje o ceti0o dc gravedad del líquido despla— zado. Cudndo los lo.s puntos coinc\d€n, el cuerjx› se encuentra en un cquilibno neutro.

En la e.stabilidad de cilindros y esferas flotantes cl ccntro dc gravedad dcl cuerpo debe estar por debajo del centro de empuje. En otros cuerpos flotantes como en el caso de embarcaciones la estabilidad depende de la capacidad de la nave para mantener alineado el centro ble gravedad y el centro de empuje.

Problema Un objeto pesa 30 kg. en el aire y 19 kg. en el agua; determinar su x'ol umen y su densidad relativa.

Dr -

Peso objeto Peso de un volumen agua

30 kg. 19 — 30 + PV = 0 FV= t l kg.

Empuje = Peso líquido desplazado 11 kg. = 1000 kg/m³ x V

Dr =

1 1 kg

Dr - 2.73

Volumen - l . l x l 0-' m'

Problema Un cuerpo pesa 30 kg en el aire y 19 kg sumergido en un aceite con una densidad relativa (Dr) i¡;ual 0.75U, determinar su volumen y densidad relativa. Z fy=0 -30 + 19 + PV = 0 PV = l l kg. 1 l kg = 750 kg. /m³ x V V = 0.0147 m’ 30 kg Dt =l l .025 kg Dr = 2.72

Problema Si el peso específico del aluminio es 2700 kg/m³. ¿Cuánto pesará una eslem de 30 cm de diámetro sumergida en agua? Cuánto si está sumergido en un aceite de densidad rel8t iva (Dr = 0.750)’'

W(ESF½2700 kg/m’ x 0.01 m' W = 38. 17 kg Z Fy =0

ZFy =0

14. 14 kg. — 38. 17 kg. + T-0 10.60 kg. — 38.17 kg. + T=0 T

24 03 k

T ×c;''Í.57 kg.

Problema Un cubo de aluminio de 15 cm. De arista pesa 5.5 kg sumergido en agua. ¿Qué peso aparente tciidrá al sumergirl o eii un liquido de densidad relativa = l .25? E Fy = 0 W=(0. l San)’ x 2700 kg/m’ 55 Kg —9. 11 kg + PV - 0 W — 9. l l kg P. V = 3.61 kg P. V = V x y ZFy —0 P. V=3.37 x 10 ’ x l ,25 T-9. 11 kg.+ 4.2 l kg = 0 P. V = 4.2 l kg T — 4.89 kg

Problema Una e.sfera de 120 cm de diámetro flota en agua salada (W = 1025 kg/m ), la mitad de ella sumergida. (,Qué peso mínimo de cemento (W = 2400 kg/m³), utilizado como anclaje, será necesario para sumergir completamente ta esfera? P * V = 1025 Kg/m’ x 0.45 P * V = 462.7 kg

9 7. + 2 V -463.7 + 4 37 V - 63.7 V . 37 ' . W-8

7 ' g

V

'

Problema Un iceberg de peso específico 912 kg'm³ flota en el océano (1025 kg'm') emergierido del agua un volumen de 600m’. ¿Cuál es el volumen total del iceberg? W = 600m³ x 9 12 kg/m² W = 547200 kg

P * V = 1025 kg/m‘ x V ZFy = 0 PV — W + 547200 kg = 0 PV = V x 912 + 547200 1025 x V - V x 912 + 547200 V(1025 - 912) = 547000 V(l 13) = 547200 V - 4842.5 m’ V = 600 m’ + 4842.5 m‘ V = 5442.5 m’

Problema Un globo vacío y su equipo pesa 50 kg, al inf larl o con un gas de peso especifico 0.553 k¡;/ m’. el globo adopta esfera de 6m de diámetro. ¿Cuái es la máxima carga que pa ede elevar el globo si el W = l .230 kg/m' del aire?

TRASLACIóN Y ROTACIÓN DE MASAS LÍQUIDAS

En algunas situaciones un fluido puede cstar sometido a una aceleración constante, es decir sin movimiento relativo entrc sus particulas, como cu algunos casos cuando esta expuesto a movimientos dc traslac ión y rotación. Cuando esto succdc específicamente en cl caso dc mo› mientos horizontales, Is superfic\e l\bre del liquido adopta una posición incIina‹tn y en cstc caso la pcndicntc dc la supcrñcie libre se determina con la rctaclón entre la aceleración lineal ‹Jet recipiente y la aceleración de la brevedad. Cuando el movimiento es vertical. se producen variaciones dentro dcl volumcn dcl líquido, de tal íorms que la prcsión en cualquier punto Jet mismo, se determina conside- rando el producto de la presión hidrostática por

la relación entre la aceleración del recipiente y la aceleración de la gravedad, incrementada o rtlsminuida en una unidad, dependiendo si la aceleración se produce en sentido ascendente o descendente. Cuando una mnsn de un fluido rota en un rec\picntc abierto, la fonna dc la superficie libre del liquido, que gira con el recip›ent¢ que lo contiene, adopta la forma de un paralelepípedo de revolución, de tal manera qu ¢ cualquier plano vertical qu¢ pasa por el eje de revolución corta a la supcrficic libre según una parábola. En los recipientes cerrados como las bombas y las turbinas, la rotación de una

masa de un fluido, genera un incremento en la presión entre un punto situado en el eje y otro a una distancia x del eje, en el plano horizontal, Problema

Un recipiente parcialmente lleno de agua está sometido horizontalmente a una aceleración constante. La inclinación de la superficie libre es de 30º. ¿A qué aceleración está sometido el recipiente?

Aceleración lineal del recipiente, m, s ' Taiigeii te.8 —-Aceleración de la gravedad, m, s’ Dcspejaiido la fórmula:

Tamente 30’ x 9.81 m/s

= 5.66 m/s '

Problema Un depósito abierto de sección cuadrada de l .80 m dO l8do, pesa 350 kg y contiene 90 cm de agua. Está sometido a la acción de una fuerza no equilibrada de 1060 kg, paralela a uno de lps lados. ¿Cuál debe ser la altura de las paredes del depósito para que no se derrame el agua? ¿Qué valor tiene la fuerza que actúa sobre la pared donde Ia profundidad es mayor? F = m.a

a

F m

1.18 (l . 18xl .8)= 1253 kg 2

Pro6leme

Un depósito abierto de 9 m de longitud, l .20 m de ancho y l .20 m de profundidad está lleno con 1 .00 m de aceite de densidad relativa de 0.822, se acelera en la dirección de su longitud uniformemente desde el reposo hasta una velocidad de l4 m/s. ¿Cuál es el intervalo de tiempo mínimo para aceleren el depósito hasta dicha velocidad sin que se derrame el liquido?

a

Tan. 8 = —

gr

4.5

g(0.2 ) (9.8)(0.2) t = 32. 1 s

Un depósito rectangular abierto de 1 .50 m de ancho, 3.0 m de longitud y l , 80 m de profundidad, que contiene l .20 m de agua, se acelera horizontalmente. paralelo a su longitud e 4.90 rn/s². ¿Qué volumen de agua se Jer‹ama? Tan. B ——‘— =’= 0.5

9.8

g

La diferencia de niveles entre los extremos dc ta superficie = 3 Tan.8, es ilecir que 3(0.5)= l .5 m.

1.5

= 0. 75 m

2 d = l .2 - Y = l .2 - 0. 75 = 0.45 ni. Como la profundidad aumenta en l .95 - l .8 = 0. 15 entonces el v ol umen derramado

l ..5

l

)(1.5 — 1.2) = 0, 67 5 tu "

Problema ¿A qué aceleración debe someterse el depósito del problema anterior para que sea

nula ta profundidad en la arista anterior?

—

l .8 3

(9.8)

a = 5.88 m/s² Problema Un depósito abierto que contiene agua, está sometido a una aceleración de 4.90 ml s² hacia abajo sobre un plano inclinado ] 5”. ¿,CuáI es el ángvlo de inclinación de Ia superficic libre?

C‹›/ ü = tan .o +

Cot.8 = Tan s’

Tan.8

‘

/toc/o arriba

9.8 4.9 Cos. 15’ = 0.2679 + 2.07 - 2.33 85

- 2.33 65; Tan. 8 -

2.3 385

= 0.42762

8 = Are. Tan. 0.427624 8 = 23. l 5º

Cor. 8 = - Tao. o +

hacia abajo

g

a, Cos. iz

8= 29.019’

Problema Un recipiente que contiene aceite de densidad relativa 0.762 se mueve verticalmente hacia arriba con tina aceleración de + 2.45 m/s². ¿Qué presión existe en una profu n‹I idad de 180 cm?

P —— 762

kg

Problema Si eii cl problema 7 la aceleración es de -2.45 m/s². ¿Cuál es la presión a una profundidad de 180 cm?

a ; P = 762 kg/m’x1 .8m l l—— —

= 1029l:g / m'

Problema Una fuerza vertical no equilibrada y dirigida hacia arriba de módulo 30 kg, acelera un v'o1umen de 45 litros de agua. Si cl agaa ocupa una profundidad de 90 cm en un depósito cilíndrico, cuál es la fuerza que actúa sobre el fondo del depósito'? El peso del agua es W = V g = (4.5 x 10-³m’) 1000 kg/m’ W = 45 kg

6B

n = 6.53 m / s ' V = Ah 45 x 10 'm‘ = A (90 x 10 ’m) A = 0.05 m’ Para el movimiento vertical la presión en el fondo es:

a

A

F '—— 1000(90.rl 0 ’) l +

6.53

(0.05ui' )

9.8

F'-- 1$ kg Problema Un depósito abierto cilíndrico de 120 cm de diámetro y 180 cm de profundidad se llena de agua y se le hace girar a 60 rpm, ¿Qué volumen de líquido se derrama y cuál es la profundidad en el eje? Área del fondo del cilindro - A = nr² D A=« —

2

A = —D 4 W = 60 rpm

2x rad rad W = 60 60 seg = 2x =

(6,0x1 ü ‘') '= 0. 725