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• Kevin Cuevas Castañeda

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DESARROLLO DE LOS EJERCICIOS DE RANALD GILES CAPITULO X

10.61 . Designando por Yn la profundidad en la Figura 10.3, deducir una expresión para el flujo laminar a lo largo de una placa plana de anchura infinita, considerando el cuerpo libre en la Figura 10.3 con anchura unidad.

Solucion Para el flujo laminar en canales abiertos amplios de ancho unitario la distribucion de velocidades se expresa como:

Despejando:

10.62 . El coeficiente de fricción de Darcy 1 se asocia generalmente a tuberías. Sin embargo, para el Problema 10.61 evaluar el coeficiente de Darcy f, empleando la solución dada para dicho problema. Solucion Para una tuberia llena:

𝑌𝑛2 =

𝐷2 ..........I 16

Para la solucion del problema :

𝑌𝑛2 =

3𝑣𝑉 ..........II 𝑔𝑆

Igualando I y II

𝐷 2 3𝑣𝑉 = 16 𝑔𝑆 𝐷2 =

𝑓=

48𝑣𝑉 48𝑣𝑉𝐿 = ℎ𝑓 𝐿𝑉 2 𝑔 𝑔𝑓 𝐿 𝐷2𝑔 96𝑉 96 = 𝑉𝐷 𝑅𝑒

10.63.

Demostrar que la velocidad media V puede expresarse de la forma : 1

𝑅6 0.32𝑉 𝑛 Demostracion: Sabemos que la velocidad su formula es :

*

𝑣=

𝑽=

𝟏 𝟐 𝟏 𝑹𝟑 𝑺𝟐 𝒏

𝑔𝑅𝑠 =

𝑔𝑅𝑠 2

𝑣

1

1

1 𝑔𝑅 2

= 𝑠2

Reemplazando en I

𝑉=

𝑉=

𝑉=

1 2 𝑅3 𝑛

1 2 𝑅3 𝑛

𝑣 1

𝑔𝑅 2

𝑣 1

3.19𝑅2

1 2 −1 𝑣 𝑅3𝑅 2 𝑛 3.19 1

𝑉 = 0.32𝑉

𝑅6 𝑛

…......I

10.64.

Demostrar que los coeficientes n de Manning y f de Darcy se relacionan entre sí por la expresión: 1 1

𝑛 = 0.113𝑓 2 𝑅6

Demostracion: Sabemos: 8𝑔 1 1 = 𝑅6 𝑓 𝑛

8 ∗ 9.81 1 1 = 𝑅6 𝑓 𝑛

𝑛=

1 1 𝑓𝑅 6 8.86

1 1

𝑛 = 0.113𝑓 2 𝑅6

10.65.

Calcular la velocidad media en el canal rectangular del Problema 10.7 sumando el área bajo la curva profundidad-velocidad.

Solucion: Ralizamos un primer calculo:

∇𝑖 =

2.261 + 2.243 = 2.7132𝑚/𝑠 2 ∆𝐻 = 0.1𝑚

𝑁

𝑉𝑖 + 𝑉(𝑖 + 1) ∇= ෍( ) ∗ ∆𝐻 = 2.087𝑚/𝑠 2 𝑖=1

10.67.

¿Con qué pendiente se trazaría el canal representado en la Figura 10.17 para transportar 14,79 m3 /s? (C = 55).

Hallamos el Area:

Area= 2.4 ∗ 1.2 +

1.8∗1.2 2

= 3.96𝑚2

Ph=1.2+3.3=7.2 R=3.96/7.2=0.55m Q=V*A

𝑉=

𝑄 14.8𝑚3 /𝑠 = = 3.737𝑚/𝑠 𝐴 3.96𝑚2

*Utlizamos chezy:

𝑽 = 𝒄 𝒓𝒔 𝑽𝟐

𝟑.𝟒𝟑𝟕𝟐

S= 𝒄𝟐𝒓 = 𝟓𝟓𝟐 (𝟎.𝟓𝟓) S=0.00839%

10.68.

El canal representado en la Figura 10.18 se traza con una pendiente de 0,00016. Cuando llega a un terraplén de una vía de tren, el flujo se transporta mediante dos tuberías de hormigón (n = 0,012) trazadas con una pendiente de 2,5 m sobre 1.000 m. ¿Qué dimensión deberán tener las tuberías?

Solucion: S=0.00016

2 tuberias de hormigon (n=0.012) S=0.0025

Igualamos caudales Qcanal=Qtuberia 2 1

2 1

reemplazando

𝐴𝑅 3 𝑆 2 2𝐴𝑅 3 𝑆 2 = 𝑛 𝑛 6 ∗ 1.2 +

1.2 + 1.2 2

3 2

7.92 1.2 + 6 + 1.697 1

1

𝑆2 =

2𝜋𝑑2 4

1

𝜋𝑑2 4 𝜋𝑑

2 3

7.92 ∗ 0.892 ∗ 0.000162 𝜋𝑑2 𝑑 2 = ∗ ( )3 ∗ 4.166 0.020 2 4 2

8

1.7848 = 𝑑2 𝑑3 = 𝑑3

d=1.24m

0.0025

1 2

10.69. Por un canal semi-cuadrado circula un caudal de 2.22m3/s. El canal tiene 1220m de largo y un desnivel de 0.610m en esa longitud. Aplicando la fórmula de Manning y n=0.012, determinar las dimensiones.

Aplicando la fórmula de Manning tenemos: 1 1 𝐶 = ∗ 𝑅ℎ6 𝑛

DATOS: Q= S= n=

2.22 m3/s 0.0005 m3/s 0.012

Determinando el área, perímetro y radio hidráulico. 𝑏 2

𝑨𝒉 = 𝑏 ∗ =

𝒃𝟐 𝟐

𝑏 2

𝑏 2

𝑷𝒉 = + 𝑏 + = 2b 𝐴 𝑃

𝑹𝒉 = = 2

𝑹𝒉 3 =

𝒃𝟐 𝟐

𝟐𝐛

=

𝒃 𝟒

2

𝒃 3 𝟒

Por tanto remplazando en la ecuación de Manning: 2

1 𝑛

1

𝑄 = ∗ 𝑨𝒉 ∗ 𝑹𝒉 3 * 𝑆 2 2.22 = 8 𝒃3

=

1 𝒃𝟐 ∗ 0.012 𝟐

2

∗

1 𝒃 3 * 0.00052 𝟒

2.22 ∗ 0.012 ∗ 2 ∗ 𝟒

2 3

1

0.00052

Hallando y:

b=

1.96 m

y=

0.98

10.70. Circula agua con una profundidad de y=1.90m . en un canal rectangular de b=2.44m de ancho. La velocidad media es de v=0.579m/s. ¿Con qué pendiente probable estará trazado el canal si C=55? DATOS: C= b= y= v=

55 2.44 m 1.9 m 0.579 m/s

𝑅ℎ =

𝑅ℎ =

𝐴ℎ 𝑏∗𝑦 = 𝑃ℎ 𝑏 + 2𝑦

2.44 ∗ 1.90 2.44 + 2 ∗ 1.90

Rh =

Aplicando la fórmula de Chezy:

𝑽 = 𝑪 𝑹𝑺 𝑆=

𝑉 𝐶

0.579 𝑆= 55 𝑆= S=

2

∗

1 𝑅

∗

1 0.7473

2

0.335241 2247.575

0.00014917

0.742949 m

10.71

Un canal labrado en roca (n = 0,030) es de sección trapezoidal con una anchura de solera de 6,10 m y una pendiente de los lados de 1 sobre 1. La velocidad media permitida es de 0,76 mis. ¿Qué pendiente del canal producirá 5,66 m3/s7

Solucion

𝑉 = 0.75

𝑚 𝑠

S=?

Q=5.40m3/s

Q= 𝑽𝑨 𝑉 = 𝑐 𝑅𝑠

𝐴=

𝑄 5.66𝑚3/𝑠 6+2 1∗1 +6 = = 7.5𝑚2 = ∗𝑦 𝑉 0.76𝑚/𝑠 2

Y=1.025

𝑃 = 𝑏 + 2𝑦 22 + 1 𝑃 = 6.10 + 2 1.025

22 + 1 = 8.9𝑚

𝑨 𝟐 𝑹𝒉𝟑 = ( )𝟑 = 𝟎. 𝟖𝟔𝟖𝟐 𝑷 Sabemos :

𝑄𝑛 5.66 ∗ 0.03 2 ( 2/3 )2 = 𝑆 = ( ) 7.2 ∗ 0.8682 𝐴𝑅 0.012

10.72.

¿Cuál es el caudal de agua en una tubería de alcantarillado vitrificada nueva de 61 cm de diámetro, estando la tubería semillena y teniendo una pendiente de 0,0025?

Solucion El coeficiente de rugosidad n=0.013 El valor de m=0.29

1 1 2 𝐴𝑟𝑒𝑎 2 (4 𝜋𝑑 ) 𝑅= = 1 𝑃 2 𝜋𝑑 R=0.15 m Usando Manning: 𝟏 𝟐 𝟏 𝑸 = 𝑨( )𝑹𝟑 𝑺𝟐 𝒏

𝑄=

1 1 𝜋 ∗ 0.62 2 4

2 1 1 0.153 0.00252 = 0.154 𝑚3/𝑠 0.013

10.73.

Un canal (n = 0,017) tiene una pendiente de 0,00040 y una longitud de 3.050 m. Suponiendo que el radio hidráulico es 1,46 m, ¿qué corrección debe realizarse en la pendiente para producir el mismo caudal si el coeficiente de rugosidad cambia a 0,020?

Solucion Usando Manning 𝑸=𝑨

𝟐 𝟏 𝟏 𝟏 𝟐 𝟏 𝑹𝟑 𝑺𝟏𝟐 = 𝑨( )𝑹𝟑 𝑺𝟐𝟐 𝒏𝟏 𝒏𝟐

𝑆11/2 𝑆21/2 = 𝑛1 𝑛2 1

𝑆2 = ((𝑆1)2 ∗

S2=0.000554

𝑛2 2 ) 𝑛1

10.74.

¿Qué profundidad tendrá el flujo de agua en una acequia en V con ángulo de 90° (n = 0,013), trazada con una pendiente de 0,00040 si transporta 2,55 m3 /s?

Solucion Tenemos: 𝟐 𝟏

𝑨𝑹𝟑 𝑺𝟐 …......I 𝑸= 𝒏

𝐿 𝐴=𝐿∗ 2 P=2L

𝑷 𝑨𝑳∗ 𝟐 𝐿 ∗𝐿 𝐿 𝑹𝒉 = = = 𝑚 𝑷 𝟐𝑳 2𝐿 4 Reemplazando en la ecuacion I

𝟐. 𝟓𝟓 =

𝑳∗

𝟏 𝑳 𝑳 𝟐𝟑 ∗ ( ) (𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟒)𝟐 𝟐 𝟒 𝟎. 𝟎𝟏𝟑

L=2.1769m *Cos45º=Y/P 𝑌 = 𝐿𝑐𝑜𝑠45º Y=1.57m

10.75.

Por una acequia en V con ángulo de 60°, circula agua a una velocidad de 1,2 mis. Si la pendiente es 0,0020, determinar la profundidad del flujo de agua.

Solucion 𝐴=𝐿∗

𝐿 2

𝟐 𝟏

𝑨𝑹𝟑 𝑺𝟐 𝑸= 𝒏

P=2L 𝑷 𝑨𝑳∗ 𝟐 𝐿 ∗𝐿 𝐿 𝑹𝒉 = = = 𝑚 𝑷 𝟐𝑳 2𝐿 4 Reemplazando en la ecuacion I

1.2=

𝑳 𝟐

𝑳 𝟒

𝟐

𝟏

𝑳∗ ∗( )𝟑 (𝟎.𝟎𝟎𝟐𝟎)𝟐 𝟎.𝟎𝟏𝟑

L=1.24m *Cos45º=Y/P 𝑌 = 𝐿𝑐𝑜𝑠45º 𝑌 = 1.24 ∗ 𝑐𝑜𝑠45º Y=0.877m

10.76.

Para construir una acequia de sección triangular se emplea madera aserrada. ¿Cuál deberá ser el ángulo en el vértice para poder transportar el máximo caudal con una pendiente dada?

Solucion Tenemos

Rh=

𝐴=𝑏∗

ℎ 2

𝑨

𝒃∗𝒉

𝑷

=

𝑃=

𝑏 2 + ℎ2

𝟐 𝒃𝟐 +𝒉𝟐

𝟐 𝟏

𝟏

𝟐 𝒃𝒉 𝑨𝑹𝟑 𝑺𝟐 𝑺𝟐 𝒃𝒉 𝑸= = ( )𝟑 ∗ 𝒏 𝒏 𝟐 𝒃𝟐 +𝒉𝟐 𝟐

Sabemos:

Si:

𝑚 = 𝑇𝑔𝜃 =

ℎ 2ℎ = 𝑏 𝑏 2

𝜃 = 45º 2 𝑇𝑔45 = 1 =

ℎ 𝑏 2

entonces : b=2h

Reemplazando valores 𝟏

𝟐 𝟐𝒉 𝑺𝟐 𝟐𝒉 ∗ 𝒉 𝑸= ( )𝟑 ∗ 𝒏 𝟐 𝟒𝒉𝟐 +𝒉𝟐 𝟐 𝟐 𝟏

𝟖 𝟏

𝒉𝟑 𝑺𝟐 𝒉𝟑 𝑺𝟐 𝑸= ∗ 𝟎. 𝟓𝟖 ∗ 𝒉𝟐 = 𝟎. 𝟓𝟖 𝒏 𝒏

Cuando

𝜃 < 45º

Q sera menor

10.77: Por un canal rectangular de 6.10m ancho, n = 0.013 y s = 0.0144, circula agua con una profundidad de o.914m. ¿Qué profundidad tendría para poder transportar el mismo caudal con una pendiente de 0.00144?

DATOS 6.10

ancho n: s: profundidad

m

0.013 0.00144 0.914

m

A.- Hallamos el Area: =

5.5754

𝑚2

B.- hallamos el radio hidraúlico:

=

C.-Hallamos el caudal:

Q

=

#¡REF!

m3/ s

D.-Hallamos la produndidad con s=0.00144

0.72273 =

Y = 0.7765

0.70325429 m

10.78. Una acequia desagua 1.19m3/s con una pendiente de 0.50m sobre1000m.La seccion es rectangulary el coeficiente de rugosidad es n=0.012 .Determinar las dimensiones optimas,es dicir,las dimensiones que dan el menor perimetro mojado

DATOS 3

1.19 m / s. 0.0005 0.012

Q: s: n:

A.- Hallamos b ; condicion b=2y

1.19 =

1.19

1 𝑏 ∗ 𝑦 2/3 ( ) (0.0005)1/2 ∗ (𝑏 ∗ 𝑦)2 0.012 2𝑦 + 𝑏

1 ( 0.012

b 2 ) 2 / 3 (0.0005)1 / 2 * (b * b ) 2 b 2 2* b 2 b*

b2/3 *b2 b=1.55m y=0.775m

3.218

10.80. Un canal rectangular revestido de 4.88 m de anchura, transporta un caudal de 11.55 m3/s con una profundidad de 0,863 m. Hallar N si la pendiente del canal es de 1 m sobre 497 m ( aplicar formula de Manning)

SOLUCION 𝐴 = 4.21144 𝑄 = 𝐴.

𝑅ℎ = 2 1

𝑛=

𝐴𝑅3 𝑆 2 𝑄

1 2 1 𝑅3. 𝑆 2 𝑛

4.21144 = 0.63751 6.606 2

=

1

4.21144𝑋0.63753 𝑋0.0020122 11.55

= 0.01211

10.81. Hallar la tensión cortante media sobre el perímetro mojado en el problema 10.80.

SOLUCION

𝛾 = 𝛿𝑅𝑆 = 1000 𝑘𝑔/𝑚3 ∗ 0.63751 ∗ 0.002012 = 1.2826

𝑘𝑔 𝑚2

10.82. Aplicando la fórmula de Manning, demostrar que la profundidad teórica para una velocidad máxima en un conducto circular es 0.81 veces el diámetro.

SOLUCION

𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 ℎú𝑚𝑒𝑑𝑜 = 𝑝𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 – 𝐿 = 2𝜋𝑟 − 2𝑟𝜃 𝑦−𝑟 = 2𝜋𝑟 − 2𝑟 𝑎𝑟𝑐 cos( ) 𝑟 𝐴𝑟𝑒𝑎 ℎ𝑢𝑚𝑒𝑑𝑎 = 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 − 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝐴𝑟𝑒𝑎 ℎ𝑢𝑚𝑒𝑑𝑎 = 𝜋𝑟 2 − 𝑟 2

𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝑦 − 𝑟 𝑟

𝑦−𝑟 2𝜋𝑟 − 2𝑟 𝑎𝑟𝑐 cos( 𝑟 )

− (𝑦 − 𝑟) 2𝑟𝑦 − 𝑦 2

2 𝐴ℎ 2 3 =( 𝑅ℎ = ( ) )3 1 𝑦−𝑟 𝑃ℎ 𝜋𝑟 2 − 𝑟 2 (𝑎𝑟𝑐 cos − (𝑦 − 𝑟) (2𝑦𝑟 − 𝑦 2 )2 𝑟 2

𝑑𝑦 3 =0 𝑑𝑥 𝑦 = 0.81𝑑

10.83. UNA ACEQUIA DE SECCIÓN RECTANGULAR CON UNA PENDIENTE DE 0.0028 TRANSPORTA UN CAUDAL DE AGUA DE 1,42 M3/S . DETERMINE LAS DIMENSIONES DE LA SECCIÓN RECTA DEL CANAL, SI LA ANCHURA ES IGUAL AL DOBLE DE LA PROFUNDIDAD. UTILIZAR N = 0.017.

SOLUCION

𝒔 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟐𝟖

𝑸 = 𝟏. 𝟒𝟐

𝑨 = 𝒃𝒚

𝒎𝟑 𝒔

𝒏 = 𝟎. 𝟎𝟏𝟕

→ 𝑨 = 𝟐𝒚 𝒚 = 𝟐𝒚 𝟐

𝑷 = 𝟐𝒚 + 𝟐𝒚 = 𝟒𝒚 Por maning 2 1

𝐴𝑅 3 𝑆 2 𝑄= 𝑛

𝟎. 𝟎𝟎𝟐𝟖 𝟏. 𝟒𝟐 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟖

𝟐𝒚𝟐 𝟒𝒚

𝒚 = 𝟎. 𝟔𝟖𝟑𝟐 𝒎

𝟓 𝟑 𝟐 𝟑

10.84. RESOLVER EL PROBLEMA 10.83 AL SUPONER QUE LA ANCHURA SEA IGUAL A LA PROFUNDIDAD. OBSÉRVESE CUÁL DE LAS SOLUCIONES DA UN ÁREA DE LA SECCIÓN RECTA MENOR (Y, POR TANTO , DE MAYOR RENDIMIENTO)

SOLUCION

𝒔 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟐𝟖

𝒎𝟑 𝑸 = 𝟏. 𝟒𝟐 𝒔 𝑨 = 𝒃𝒚

𝒏 = 𝟎. 𝟎𝟏𝟕

→𝑨 =𝒚 𝒚 = 𝒚𝟐

𝑷 = 𝒚 + 𝟐𝒚 = 𝟑𝒚 Por maning 2 1

𝐴𝑅 3 𝑆 2 𝑄= 𝑛

𝟎. 𝟎𝟎𝟐𝟖 𝟏. 𝟒𝟐 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟖

𝒚𝟐

𝟓 𝟑

𝟑𝒚

𝟐 𝟑

10.85. POR UN CANAL RECTANGULAR(N=0.011) DE 18 M DE ANCHURA, CIRCULA UN CAUDAL DE AGUA DE 35 M3 /S . LA PENDIENTE DEL CANAL ES 0.00078. DETERMINAR LA PROFUNDIDAD DEL FLUJO.

SOLUCION

𝑛 = 0.011

𝑏 = 18𝑚

𝑚3 𝑠

𝑄 = 35

𝑠 = 0.00078

2 1

𝐴𝑅 3 𝑆 2 𝑄= 𝑛 0.00078 35 = 0.011

18𝑦

5 3

18 + 2𝑦

𝑦 = 0.884651 𝑚

2 3

10.86. DISEÑAR EL CANAL TRAPEZOIDAL ÓPTIMO PARA TRANSPORTAR 17M3/S A UNA VELOCIDAD MÁXIMA DE 0.915 M/S. EMPLEAR N = 0.025 Y COMO PENDIENTE DE LAS PAREDES 1 VERTICAL SOBRE 2 HORIZONTAL.

SOLUCION

𝑌 v 𝐴 𝑏𝑦 + 2( 2 )(2𝑦) 𝑅ℎ = = = 𝑂 𝑏 = 2𝑦 5 − 4𝑦 … … … . . . (1) 2 𝑃 𝐵 + 2𝑦 5 𝑄

A=𝑉=

17 𝑚3/𝑠 1 𝑚/𝑠

= 17𝑚2 = 𝑏𝑦 + 2𝑦2 𝑜

𝑏 = 17 − 2𝑦2 𝑦 … … . (2)

Igualando (1) y (2)

2𝑦 5 − 4𝑦 =

17 − 2𝑦2 𝑦

2𝑦 2 5 − 4𝑦 2 = 17 − 2𝑦 2

𝑦 2 2 5 − 2 = 17

𝑦=

17 (2 5 − 2)

= 2.622 𝑚

Sustituyendo en b 𝑏=

𝑆=

𝑉𝑛 2 𝑅3

(17−2(2.62))2 2.62

=(

= 1.24 𝑚

1 ∗ 0.25 2.622 2

2 2) = 3

0.000436

10.87. CALCULAR LA PENDIENTE DEL CANAL DEL PROBLEMA 10.86.

SOLUCION

𝑺=

𝑽𝒏 𝟐 𝑹𝟑

=(

𝟏 ∗ 𝟎. 𝟐𝟓 𝟐. 𝟔𝟐𝟐 𝟐

𝟐 𝟑

)𝟐 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟒𝟑𝟔

10.88. ¿CUÁL DE LOS DOS CANALES REPRESENTADOS EN LA FIGURA 10.19 CONDUCIRÁ EL MAYOR CAUDAL SI AMBOS ESTÁN TRAZADOS CON LA MISMA PENDIENTE?

SOLUCION

Para el caudal rectangular

𝑄=

2 1 𝐴𝑅 3 𝑆 2

𝑛 𝐴=

4 16.2 ∗ 1.264 ∗ 3 = 0.015

1 2

𝑚3 = 1576.3 𝑠

(10.8 + 6.8) ∗ 1.8 = 15.84 𝑚2 2 𝑃 = 2𝑦 1 + 23 + 6 Con A y P se calcula el RH

𝑃 = 2 1.8

4 1 8

2

+ 6 = 12 𝑚

15.8 𝑚 2 𝑅ℎ = ( )3 12 𝑚 2

𝑅ℎ3 = 1.2 𝑚

𝑄=

15.84 ∗ 1.2 ∗ 0.01

4 2

2

= 3388.6

𝑚3 𝑠

Luego Q trapezoidal > Q rectangular

Luego Q trapezoidal > Q rectangular

10.89. UNA ALCANTARILLA DE SECCIÓN CUADRADA TIENE 2.44 M DE LADO Y SE INSTALA SEGÚN SE INDICA EN LA FIGURA 10.20. ¿CUÁL ES EL RADIO HIDRÁULICO SI LA PROFUNDIDAD ES 2,34 M?.

SOLUCION

𝜽=45° 𝑺𝒆𝒏 𝟒𝟓° =

𝟎. 𝟔 𝒙

𝒙 = 𝟎. 𝟖𝟓 𝒎 𝑷𝒎 = 𝟐. 𝟒 𝟐 + 𝟎. 𝟖𝟓 𝟐 = 𝟔. 𝟓 𝒎 𝑨𝟏 = 𝑨𝟐 = 𝟎. 𝟔 ∗ 𝟏. 𝟏 ∗ 𝟐 +

𝟐. 𝟒 ∗ 𝟐. 𝟒 = 𝟐. 𝟖𝟖 𝒎𝟐 𝟐

𝟎. 𝟔 ∗ 𝟎. 𝟔 ∗ 𝟐 = 𝟏. 𝟑𝟐 𝒎𝟐 + 𝟎. 𝟑𝟔𝒎𝟐 = 𝟏. 𝟔𝟖 𝒎𝟐 𝟐

𝑨𝒕 = 𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 = 𝟐. 𝟖𝟖 + 𝟏. 𝟔𝟖 = 𝟒. 𝟓𝟔 𝒎𝟐 𝑹𝒉 =

𝑨 𝟒. 𝟓𝟔 𝒎𝟐 = = 𝟎. 𝟕𝒎 𝑷 𝟔. 𝟓 𝒎

10.90 ¿CUÁL ES EL RADIO DE LA ACEQUIA SEMICIRCULAR B, REPRESENTADA EN LA FIGURA 10.21. SI SU PENDIENTE S = 0.020 Y C = 50?

SOLUCION

ℎ𝑓1 = 𝑇1(𝑄1)1.85

𝑇1 = 𝑇1 = 8.9449

10.675𝐿1 𝐶 1.85 𝐷4.87

𝑇2 = 69.205

𝑇3 = 3.047

𝑆𝑖 𝐸 = 64 ℎ𝑓2 = 0 ℎ𝑓1 = 4205 − 64 = 8.5 𝑚 = 𝑇1 𝑄1

1.85

ℎ𝑓3 = 64 − 36 = 2.8 𝑚 = 𝑇3 𝑄3

1.85

→ 𝑄1 = 0.9726

→ 𝑄3 = 3.3166

𝐸 < 64 𝑚 72.5 − 𝐸4 = 8.949(𝑄1)1.85 64 − 𝐸4 = 69.205𝑄21.85 𝐸4 − 36 = 3.047(𝑄3)1.85 𝑄1 + 𝑄2 = 𝑄3

Combinando (1)y (2)

𝑚3 𝑠

𝑚3 𝑠

Combinando (1)y (2) 8.949𝑄11.85 − 72.5 = 69.205 𝑄2

1.85

− 64(5)

Combinando (2) y (3) 69.205 (𝑄2)1.85 −64 = 36 − 3.047(𝑄1 + 𝑄2)1.85 69.205(𝑄2)1.85 −72.5

𝑄=

69.205 𝑄2

1.85

69.205 𝑄2

− 100 + 3.047

𝑄2 = 0.9345

𝑚3 𝑠

1.85

− 64 + 72.5 8.949

69.205 𝑄2 1.85 + 8.5 8.949

𝑄1 = 3.0295

ℎ𝑓 = 𝑇𝑄1.85 =

𝑚3 𝑠

1.85

1 1.85

+ 𝑄2

𝑄3 = 9.640

10.675𝐿𝑄1.85 𝐶 1.85 𝐷4.87

10.675𝑄1.85 𝑆 = ( 1.85 4.87 )⬚ 𝐶 𝐷 𝐷𝐸 = 4𝑅ℎ 𝑅ℎ =

1 1.85

𝐷𝐸 1.386 = = 0.3465 𝑚 4 4

𝑚3 𝑠

=0

10.91.POR UNA TUBERÍA DE HORMIGÓN DE 1 M DE DIÁMETRO Y PENDIENTE 0.0012 CIRCULA AGUA LLENANDO LA MITAD DE LA TUBERÍA. DETERMINAR EL CAUDAL.

SOLUCION

𝒔 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟐

𝒏 = 𝟎. 𝟎𝟐𝟓

𝑦= 𝐴=

𝐷 = 0.5 2

1 𝜋 𝜃 − 𝑆𝑖𝑛𝜃 𝐷2 = 8 8

1 𝑃= 𝐷 2 𝑃=

𝜋 2 5

1 𝐴3 1 𝑄= 𝑆2 𝑛 23 𝑃

𝑄=

1 0.025

𝜋 8 𝜋 2

5 3 2 3

0.0012

10.92. UNA TUBERÍA DE ALCANTARILLA CON N=0.014 ESTÁ TRAZADA CON UNA PENDIENTE DE 0.00018 Y POR ELLA CIRCULA UN CAUDAL DE 2.76 M3/S CUANDO LA PROFUNDIDAD ES DEL 80 POR 100 DE LA PROFUNDIDAD TOTAL. DETERMINAR EL DIÁMETRO REQUERIDO EN ESTA TUBERÍA. NO UTILIZAR LA FIGURA 10.1.

SOLUCION DATOS 𝑛 = 0.014

𝑠 = 0.00018 𝑄 = 2.76

𝐷 =? ?

DE LA TABLA 1.1 𝐴 = 0.6736 𝐷2

𝐴 = 0.6736𝐷2

𝑃 = 2.213 𝐷

𝑃 = 2.2143𝐷

REEMPLAZANDO LOS VALORES EN LA ECUACION DE MANING 5

1 𝐴3 1 2 𝑄= 2 𝑆 𝑛 𝑃3 𝐴5 𝑄𝑛 = 2 𝑃 𝑠

3

0.6736𝐷2 5 2.76 0.014 = 2 2.2143𝐷 0.00018 0.1386789014𝐷10 = 2.88005555 4.90312449𝐷 2 𝐷 8 = 101.8271039 𝐷 = 1.782308 𝑚

10.94. POR UNA TUBERÍA DE 1M DE DIÁMETRO CIRCULA UN CAUDAL DE AGUA DE 0.40 M3/S A UNA VELOCIDAD DE 0.80M /S DETERMINAR LA PENDIENTE Y LA PROFUNDIDAD DE LA CORRIENTE.

SOLUCION 𝑄 = 0.40

𝑚 𝑠

𝑉 = 0.80 0.5 =

𝑚 𝑠

𝐴 = 0.5 𝑚 2

1 𝜃 − 𝑠𝑒𝑛𝜃 8

𝜃 = 4°4°15.57"

D ℎ+𝑟 =𝑦

ℎ = 𝑟𝑠𝑒𝑛(4°4°15.57”) 𝑛 = 0.014

𝑃𝑚 =

1 1.499743 𝑚 2

𝑃𝑚 = 0.749871 𝑚

1 0.40 = ( 0.014

5

0.53 2 0.7498713

𝑠 2 = 0.0146744

1

)(𝑠)2

10.95. CALCULAR LA ENERGÍA ESPECIFICA CUANDO CIRCULA UN CAUDAL DE 6.23 M3/S POR UN CANAL RECTANGULAR DE 3.05 M DE ANCHO CON UNA

SOLUCION 𝑄 = 6.23

𝑚 𝑠

𝑉2 1 𝑄 𝐸=𝑌+ =𝑌+ 2𝑔 2 𝐴 1 6.23 𝐸 = 0.9 + 2 ∗ 9.81 3 ∗ 0.9

2

2

= 1.17136 𝐾𝑔

𝑚 𝑚

OTRA MANERA DE SOLUCIONARLO 𝑄=6

𝑚3 𝑠

𝑏 = 3.05

𝐸 =𝑦+

𝑞=

𝑦 = 0.9𝑚

𝑞2 2𝑔𝑦 2 𝑄 𝑏

𝑚3 6 𝑠 𝑚2 𝑞= =2 3𝑚 𝑠

𝑚 2 ) 𝑠 𝐸 = 0.9 + = 0.9 + 0.27136 = 1.17136 𝑚 19.6 𝑚 0.9 𝑚 𝑠 (2

10.96. CALCULAR LA ENERGÍA ESPECIFICA CUANDO CIRCULA UN CAUDAL DE 8.78 M3/S POR UN CANAL TRAPEZOIDAL CUYA SOLERA TIENE 2.44 M DE ANCHO, LAS PENDIENTES DE LAS PAREDES 1 SOBRE 1 Y LA PROFUNDIDAD 1.19 M.

SOLUCION SOLUCION

𝐸 =𝑌+

𝐴=𝜋

𝐸 = 1.2 +

1.8 4

1 𝑄 2𝑔 𝐴

2

2

= 2.54 𝑚2

1 2.18 2 ( ) = 1.24 𝑚 2 ∗ 9.81 2.54

10.97 UNA TUBERÍA DE ALCANTARILLADO DE 1.83 M DE DIÁMETRO INTERIOR TRANSPORTAN CAUDAL DE 2.28 M3/ S CUANDO LA PROFUNDIDAD ES DE 1,22 M. ¿CUÁL ES LA ENERGÍA ESPECIFICA?

SOLUCION

𝐸 =𝑦+

1 2𝑔

𝑄 𝐴

2

1.832 𝐴=𝜋 = 2.630219 4 𝐸 = 1.22 +

1 2𝑔

2.28 2.630219

𝐸 = 1.22 + 0.03829 𝑬 = 𝟏. 𝟐𝟓𝟖𝟐𝟗𝟖

10.98. EN EL PROBLEMA 10.95 ¿CON QUE PROFUNDIDADES DEBE CIRCULAR EL CAUDAL DE 6.23 M3/S PARA QUE LA ENERGÍA ESPECIFICA SEA DE 1.53 M.KP/KP?¿CUÁL ES LA PROFUNDIDAD CRÍTICA?

SOLUCION

𝑦𝑐 =

𝑞=

3

𝑞2 = 𝑔

3

𝑚2 (2.042622 𝑠 )2 9.81

𝑄 6.23 = = 2.042622 𝑚2 /𝑠 𝑏 3.05

Para las etapas alternativas de flujo 𝐸 =𝑞+

𝑦2 2𝑔

𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑉 =

𝑦𝑐 = 0.762 2𝑔 𝐹 − 𝑦

→ 𝑄 = 𝑉𝐴

𝑄 = 𝐴 2𝑔 𝐹 − 𝑦 → 𝑄 =

2𝑔 𝐸 − 𝑦

Con esta ecuación se grafica q contra y, cuando E es constante =1.5 se grafica la variación de q vs y, de 𝑦 = 0 𝑦 = 𝐸

𝒒=

𝟐𝒈 𝑬 − 𝒚 𝒚

Según la gráfica se tiene que entre 0.4 y0.5 → 𝑞 = 2 𝑚3 /𝑠 →𝑞 = 2 𝑚2 /𝑠

y entre 1.2 y 1.4

Con los valores de la gráfica se tiene que: 𝑦1 = 1.395 𝑚 𝑞 = 1.345 19.6 1.5 − 1.345 = 2.0012

𝑦2 = 0.435 → 𝑞 = 19879

𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑓𝑢𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑛:

𝑦1 = 1.395 𝑚

10.99. EN UN CANAL RECTANGULAR DE 3.05M DE ANCHO EL CAUDAL ES DE 7.5 M3/S . CON PROFUNDIDADES DE 0.610 M, 0.914 M Y 1.219M , DETERMINAR SI EL FLUJO ES SUBCRITICO O SUPERCRÍTICO.

SOLUCION

𝑦𝑐 =

𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑦 = 0.610

3

𝑞2 =𝑞 =𝑦∗𝑣 𝑔

𝐴 = 1.8605

𝑦𝑐 =

3

𝑦𝑐 =

3

𝑞 = 0.610 ∗

7.5 1.8605

𝑞2 =𝑞 =𝑦∗𝑣 𝑔

2.459016 9.81

2

= 0.851042 𝑚

Como 0.61< yc El flujo es súper critico: Para : 𝑦 = 1.219 𝑞 = 1.219

7.5 3.71795

𝑞 = 2.459016 3

𝑦𝑐 =

2.459016 9.81

2

= 0.851042 𝑚

= 2.459016

10.100 EN UN CANAL RECTANGULAR DE 3.05 M DE ANCHO EL CAUDAL ES DE 7.5 M3/S CUANDO LA VELOCIDAD ES DE 2.44M /S. DETERMINAR LA NATURALEZA DE FLUJO.

SOLUCION

𝑞 = 2.386

3

𝑦𝑐 =

𝐸 𝑚𝑖𝑛 =

2.386 9.81

𝑚3 𝑠

2

= 0.834 𝑚

3 0.834 𝑚 = 1.25 𝑚 2

1.25 = 𝑦 +

𝑚 2.4 𝑠 2𝑔

𝑦 = 1.25 − 0.294 = 0.957 𝑚

𝑌𝑐 < 𝑦 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑠𝑢𝑏𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑜

Para las condiciones dadas en el problema 10.83, determinar si el flujo es subcritico, critico y supercritico.

10.101

Q = 1.42 m3/s y = 0.685 m b = 1.370 m n = 0.017 s = 0.0028 Solucion:

·

•

Hallando el Área.

•

Hallando el radio hidráulico.

•

Hallando la velocidad

Determinando si el flujo es subcritico, critico y supercritico.

Q

V q

1.42 m 3 / seg

0.42m / seg 1.42 1.370

1.04m 3 / seg .ml

yc Vc

2 yc

1.17 m / sg

0.42 9.81 0.685 0.16

Por lo tanto, es un flujo sub. Crítico.

0.685m

1

0.16

Para una profundidad critica de 0,981 m en un canal rectangular de 3,048 m de ancho, calcular el caudal.

1.102. Datos Y= 0.981 m

A.- Hallando al qv = ¿?

qv =

= 4,11 m3/s. ml

RH1 =

=

C. - Hallando la

= 0,597 m2

minima

=

E=

D. - Hallando el “qv”

q= √(〖2 x 9.81 x ( 0.981)〗^2 (1.47-0,981)) q = 3.04m3/S. ml qu = Q= 3.04 X 3.048 Q= 9.28 m3/S.

Q= qu x b

10.104: Un canal trapezoidal, cuyas paredes tienen una pendiente de 1 sobre 1, transporta un caudal de 20.04 m3/ s. para una anchura de solera de 4,88 m, calcular la velocidad critica. Solucion

DATOS 3

20.04 m / s. 4.88 m

Q: b:

A.- Hallando al qv = ¿? =

qv =

4.11

m3 / s

B.- Hallando la Prof. Critica (YC) YC =

=

1.3 m

=

DATOS 3

20.04 m / s. 4.88 m

Q: b:

A.- Hallando al qv = ¿? =

qv =

4.11

m3 / s

B.- Hallando la Prof. Critica (YC) YC =

=

=

1.3 m

10.105. Un canal rectangular de 1830m de longitud de 18.3m de ancho y 3.05m de profundidad transporta 50.94 m3/s de agua c=40. La limpieza del canal hace que C aumnete a 55. Si la profundidad en el extremo superior permanece en 3.05m. calcule la profundidad en el extremo inferior para el mismo caudal (aplicando un solo tramo)

•

Hallando los parámetros en el punto 2

Por el prinicipio de conservación de energía

itinerando valores

𝑦2=3.37𝑚

10.106.- Un canal rectangular(n=0.016) trazado con una pendiente de 0.064 transporta 17m3/s de agua. en condiciones de flujo critico¿ qué anchura debe tener el canal?

SOLUCIÓN 𝟏

Q=𝒏 X𝑹𝒉𝟐/𝟑 x𝒔𝟏/𝟐 xAh Q=bxq 17/b=q ………...(a) 17

( 𝑏 )2= yc3xg

b=

172 ………………….. (b) yc3xg

Remplazando

17m3/s

1 =0.016

172 𝑦𝑐 3 yc xg 172

X(

3

yc xg

)2/3 x0.0641/2 x

+2𝑦𝑐

tabulando y≈ 1.6376 reemplazando en: b=

b= 2.45

m

172 yc3xg

yc

10.107. En un canal rectangular de 3m de anchura y n = 0.014 transporta un caudal de 13.4m3/s. Determinar la profundidad critica, la velocidad y la pendiente del canal. Solucion DATOS 3 m

b= n=

0.014 13.4 m3/s

Q=

Hallando la profundidad crÍtica.

2.034 1.27 Hallando la velocidad

3.53 m/s Hallando la pendiente. ENTONCES

3.80090733

5.53393822

0.68683588 0.0040

10.108: Un canal rectangular(n=0.012) de 3.05m de ancho y trazada con una pendiente de 0.0049 transporta 13.6m3/seg. De agua para producir un flujo critico el canal de contrae. ¿Qué anchura deberá tener la sección contraída para cumplir esta condición si se desprecia las pérdidas producidas en la gradual reducción de la anchura?

DATOS n= s= Q= b=

0.012 0.0049 13.6 m3/s 3.05 m

Relación geométrica

Por Maning

Por maning:

por lo tanto

10.109. En un canal rectangular de 3,6 m de ancho, e = 55, S = 0,0225 el caudal es de 14, 15 m3 /s. La pendiente del canal cambia a 0.00250 ¿A qué distancia aguas abajo del punto de cambio de pendiente se tendrá la profundidad de 0,839 m? (Empléese un tramo.) Solucion

10.111. Usando los datos del Problema 10.109, a) calcular la profundidad crítica en el canal más plano , b)calcular la profundidad requerida para tener flujo uniforme en el canal más plano, c) calcular la profundidad justamente antes del resalto hidráulico, aplicando la ecuación del Problema 10.54. (Se observa que esta profundidad ocurre a 31,65 m del cambio de pendiente)

Solucion

.

B) Para flujo uniforme

Y=1,506m

10.112. Demostrar que la profundidad crítica en un canal rectangular es

Solucion

tiene una profundidad critica

Volviendo la ecuación inicial

10.113. Demostrar que la profundidad crítica en un canal triangular puede expresarse como 4/5 de la energía específica mínima. Solucion

10.114. Demostrar que la profundidad crítica en un canal parabólico es 3/4 de la energía específica mínima si las dimensiones del canal son Yc de profundidad y b' de anchura de la superficie libre del agua. Solucion

Se deriva para obtener (q Max) donde y crítico.

10.115. Para un canal rectangular, demostrar que el caudal Q por mtro de anchura es igual a 1,705E3/2min.

SOLUCIÓN Se sabe que: ……………… (1)

……………….(2) igualando (1) y (2)

10.116. Para un canal triangular demostrar que el caudal 𝑄 = 0.634(𝑏´/Yc)𝐸 5/2 𝑚𝑖𝑛

SOLUCIÓN

En cualquier sección transversal en condiciones críticas debe cumplirse:

...…………………(7.45)

Reemplazando esta ecuación del área de la ecuación del área en la expresión general.

Que es la ecuación de la velocidad critica en un canal triangular. De esto se obtiene. ………………..(7.46)

Convinando la ecuación (7.46) con el de energía específica en condiciones críticas se obtiene: ……………………..(7.47)

……………………..(7.48)

Ecuaciones que muestran la proporción en la que distribuye la energía específica

En condiciones críticas en un canal triangular. El gasto en condiciones críticas es el gasto máximo:

Sabemos que:

10.117. Para un canal parabólico, demostrar que el caudal Q = 1,107b' Solucion

Derivando para obtener Y crítico

10.118. En un canal rectangular de 3,6 m de ancho, e = 55, S = 0,0225, el caudal es de 14, 15 m3 /s. La pendiente del canal cambia a 0,00250. ¿A qué distancia aguas abajo del punto de cambio de pendiente se tendrá la profundidad de 0,839 m? (Empléese un tramo.) Solucion