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Lecciones de Física Resultados de los Problemas

M. R. Ortega Girón

Autor: Manuel R. Ortega Girón. Ilustrado, x+238 pág., 17×24 cm, rústica. Contenido: Ondas progresivas. Fenómenos ondulatorios. Ondas estacionarias. Acústica física. Acústica musical y arquitectónica. Apéndices.

Termología

Lecciones de Física Mecánica 1 Autor: Manuel R. Ortega Girón. Ilustrado, xii+360 pág., 17×24 cm, rústica. Contenido: Introducción. Álgebra vectorial. Vectores deslizantes. Análisis vectorial. Cinemática de la partícula. Cinemática del sólido rígido. Principios de la Mecánica Clásica. La ley de la inercia. Segunda y tercera leyes de Newton. Conservación de la cantidad de movimiento. Las fuerzas de la Naturaleza. Sistemas de referencia en rotación. Trabajo y energía. Conservación de la energía. Momento angular. Fuerzas centrales. Movimiento armónico simple. Oscilaciones amortiguadas y forzadas. Superposición de movimientos armónicos simples.

Mecánica 2 Autor: Manuel R. Ortega Girón. Ilustrado, xii+386 pág., 17×24 cm, rústica. Contenido: Geometría de masas. Sistemas de partículas. Sistemas de masa variable. El problema de dos cuerpos. Colisiones. Estática del sólido rígido. Dinámica del sólido rígido. Trabajo y energía en el movimiento general del sólido rígido. Ecuaciones de Euler. Dinámica impulsiva del sólido rígido.

Mecánica 3 Autor: Manuel R. Ortega Girón. Ilustrado, x+332 pág., 17×24 cm, rústica. Contenido: La ley de la Gravitación Universal. El campo gravitatorio. Elementos de elasticidad. Elastostática. Estática de los fluidos. Tensión superficial. Cinemática de los fluidos. Dinámica de los fluidos ideales. Dinámica de los fluidos reales. Flujo viscoso.

Mecánica 4

Autores: Manuel R. Ortega Girón. José A. Ibáñez Mengual Ilustrado, xii+430 pág., 17×24 cm, rústica. Contenido: Conceptos previos. Temperatura y dilatación. Gases ideales y reales. Ecuaciones térmicas de estado. El calor y su medida. Propagación del calor. Primer principio de la Termodinámica. Segundo Principio de la Termodinámica. Potenciales termodinámicos. Transiciones de fase. Teoría cinética de los gases. Física estadística. Apéndices matemáticos. Tablas.

Prácticas de Física (Física General) Autor: Manuel R. Ortega Girón Ilustrado, viii+328 pág., 17×24 cm, rústica. Contenido: Un total de 50 prácticas de Mecánica, Ondas, Termología, Electricidad y Magnetismo, Electrónica y Óptica apropiadas para los laboratorios de Física de Primer Ciclo de las Facultades y Escuelas Técnicas.

Problemas de Física Autor: Manuel R. Ortega Girón Ilustrado, viii+450 pág., 17×24 cm, rústica. Contenido: Un total de 450 problemas de Mecánica, Ondas, Termología, Electricidad y Magnetismo apropiados para lo estudiantes de Primer Ciclo de las Facultades y Escuelas Técnicas.

Lecciones de Física ● R de P ● M. R. Ortega

Lecciones de Física Resultados de los Problemas

Manuel R. Ortega Girón

Departamento de Física Aplicada. Universidad de Córdoba.

Lecciones de Física Resultados de los Problemas Décima edición: diciembre 2011

© Copyright. Reservados todos los derechos. Ninguna parte de este libro puede ser reproducida por cualquier medio, incluidas las fotocopias, sin el permiso por escrito del autor.

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© Copyright:

Manuel R. Ortega Girón

Editor:

Manuel R. Ortega Girón CL Santa Cruz, 10 14.012 Córdoba. España. Tfnos.: +34 957 280051 e-mail: [email protected] http://www.uco.es/users/mr.ortega

Impresión:

Reprografía Don Folio 14.013 Córdoba. España.

I.S.B.N. Depósito legal:

ISBN 84-404-4290-4 DP Lecciones de Física

Prólogo del autor Este libro está destinado a los alumnos de Primer Ciclo de las Facultades de Ciencias y Escuelas Técnicas. Durante su elaboración he pretendido la consecución de dos objetivos principales que entiendo que deben orientar la docencia de las asignaturas de Física de Primer Ciclo de los estudios universitarios: familiarizar al alumno con el conjunto de los conceptos y leyes básicas que constituyen la esencia de la Física y desarrollar en el estudiante la habilidad para manejar esas ideas y para aplicarlas a situaciones concretas. Además, creo que estas asignaturas, y muy especialmente la asignatura correspondiente al Primer Curso Universitario, deben proponerse unos objetivos de cimentación y estructuración de los conocimientos adquiridos en los cursos de enseñanza media, lo que será de gran utilidad en los estudios universitarios más avanzados de grado y postgrado. Desde la más remota antigüedad, la enseñanza se ha enfrentado con dos problemas cardinales: decidir qué conocimientos se deben transmitir (contenidos) y acertar con cómo puede hacerse esa transmisión (forma). A lo largo de los sucesivos cursos en los que he participado en la docencia de la Física de Primer Ciclo, en las Universidades de Sevilla, Autónoma de Barcelona y Córdoba, he tenido ocasión de ir perfilando los programas de las asignaturas que se imparten a este nivel, tratando de encontrar el punto de equilibrio entre la extensión de los programas y el nivel y profundidad en el tratamiento de cada uno de los temas. Durante este proceso de estructuración y perfeccionamiento, siempre he tenido muy presente que los programas de estas asignaturas, aunque pueden plantearse de muy diversas formas, con enfoques diferentes, con una gran variedad en cuanto a sus contenidos,... de ningún modo pueden ser una simple suma de temas inconexos o poco relacionados entre sí, por muy interesantes y bien estructurados que estén cada uno de ellos. Entiendo que el propósito primario de estas asignaturas debe ser dar al estudiante una visión unificada de la Física a través de la compresión de los conceptos, leyes y principios que constituyen el aspecto más fundamental de esta ciencia. Existen muchos y excelentes libros adecuados a este nivel, que satisfacen en gran medida los requisitos anteriormente expuestos. Muchos de ellos son de procedencia foránea, lo que los distancia, hasta cierto punto, de la problemática de la enseñanza en nuestras Universidades. Para soslayar este inconveniente, los profesores suelen recurrir a recomendar a sus alumnos varios libros de texto, como complemento de los apuntes que éstos tomen en clase. Otros, han sido preparados, con encomiable ilusión y entrega, por compañeros docentes universitarios, a fin de facilitar al alumno el aprovechamiento de las clases poniendo a su disposición un texto base, aunque ello no Manuel R. Ortega Girón

iii

implique la renuncia a la consulta de otros libros de texto y de obras más especializadas. Fruto de estas convicciones y de mi larga trayectoria docente en el ámbito de la Física Universitaria es el presente libro, en el que pretendemos cubrir los contenidos que normalmente se desarrollan en las disciplinas de Física de Primer Ciclo de nuestras Facultades y Escuelas Técnicas. No debería considerarse esta obra como un libro más de Física Universitaria o General, en la acepción que tradicionalmente tienen estas denominaciones, ya que tanto su nivel como su extensión son notablemente superiores a los que encontramos normalmente en los libros de texto de tal denominación. Mi intención ha sido desarrollar un programa en el que tengan cabida aquellos temas de la Física Clásica que configuran los contenidos de la Física que se enseña en los primeros cursos universitarios, en sus vertientes científica y técnica, prestando una atención especial a las asignaturas que se imparten en Primer Curso, de modo que los profesores puedan seleccionar los temas que sean apropiados a los Planes Docentes de sus Centros. Incluso algunos temas de esta obra, que normalmente se incluyen en el programa de la asignatura de Primer Curso, tienen un nivel algo superior al que normalmente encontramos en los textos de Física General Universitaria. De este modo, el profesor podrá graduar el nivel de sus enseñanzas al de la preparación previa de sus alumnos, evitando así que la Física que se enseña en los primeros cursos universitarios sea, en algunos casos, una mera repetición de la correspondiente al Curso de Orientación Universitaria. Este libro viene a completar y mejorar mi anterior obra Lecciones de Física, que ha tenido una amplia y buena acogida, durante más de dos décadas, en diversas Universidades Españolas. En ese contexto, debo expresar una vez más mi agradecimiento a todos aquellos compañeros que de un modo u otro colaboraron en los albores de la misma, muy especialmente a mis amigos y colegas los Dres. José A. Ibáñez Mengual (U. Murcia) y Alejo Vidal-Quadras Roca (UAB), y a cuantos compañeros en las tareas docentes que con la buena acogida que dispensaron a aquellas Lecciones y con sus útiles comentarios y sugerencias han hecho posible que esta obra salga hoy a la luz. Córdoba, diciembre 2011.

iv

Lecciones de Física

A Estela y Olga

Desde la infancia he sido criado en el estudio de las letras y, como quiera que me aseguraban que por medio de éstas se podía adquirir un conocimiento claro y seguro de todo aquello que es útil para la vida, yo tenía un vivísimo deseo de aprenderlas. Pero cuando acabé el curso de los estudios, al finalizar los cuáles es costumbre ser admitido en la jerarquía de los doctos, cambié enteramente de opinión. Por que me encontraba turbado y confuso entre tantas dudas y errores que me parecía no haber obtenido otro provecho, al procurar instruirme, que el descubrir cada vez mejor mi ignorancia. RENÉ DESCARTES (1596-1650) El Discurso del Método.

Manuel R. Ortega Girón

v

vi

Lecciones de Física

Lecciones de Física Resultados de los Problemas

Manuel R. Ortega Girón

vii

Lecciones de Física Mecánica 1 1. Álgebra vectorial. 2. Vectores deslizantes. 3. Análisis vectorial. 4. Cinemática de la partícula. 5. Cinemática del sólido rígido. 6. Principios de la Mecánica Clásica. La ley de la inercia. 7. Segunda y tercera leyes de Newton. Conservación de la cantidad de movimiento. 8. Las fuerzas de la Naturaleza. 9. Sistemas de referencia en rotación. 10. Trabajo y energía. 11. Conservación de la energía. 12. Momento angular. Fuerzas centrales.

Mecánica 2 13. Movimiento armónico simple. 14. Oscilaciones amortiguadas y forzadas. 15. Superposición de movimientos armónicos simples. 16. Geometría de masas. 17. Sistemas de partículas. 18. Sistemas de masa variable. El problema de 2-cuerpos. 19. Colisiones. 20. Estática del sólido rígido. 21. Dinámica del sólido rígido. 22. Trabajo y energía en el movimiento general del sólido rígido. 23. Ecuaciones de Euler. 24. Dinámica impulsiva del sólido rígido.

Mecánica 3 25. La ley de la Gravitación Universal. 26. El campo gravitatorio. 27. Elementos de elasticidad. 28. Elastostática. 29. Estática de los fluidos. 30. Tensión superficial. 31. Cinemática de los fluidos. 32. Dinámica de los fluidos ideales. 33. Dinámica de los fluidos reales. 34. Flujo viscoso.

Mecánica 4 35. Ondas progresivas. 36. Fenómenos ondulatorios en medios ilimitados. 37. Fenómenos ondulatorios en medios limitados. 38. Ondas estacionarias. 39. Acústica física. 40. Acústica musical y arquitectónica. Apéndices.

Termología 1. Conceptos previos. Temperatura y dilatación. 2. Gases ideales y reales. Ecuaciones térmicas de estado. 3. El calor y su medida. 4. Propagación del calor. 5. Primer principio de la Termodinámica. 6. Segundo Principio de la Termodinámica. 7. Aplicación simultánea del Primer y Segundo Principios. 8. Potenciales termodinámicos. 9. Transiciones de fase. 10. Teoría cinética de los gases. 11. Física estadística. Apéndices y Tablas.

Problemas de Física Prácticas de Física

viii

Lecciones de Física

1.- Álgebra vectorial. 1.1.

a) B=0 b) A B c) A⊥B d) A⊥B

1.2.

s/c

1.3.

3 (i 3

⎛A λ ⎜ ⎝A

j

70.53° 1.14. 52, 8, -34

1.15.

3.5u-2.5v-0.5w

1.16.

a=(2 2 4); b=(1 -4 1)

1.17.

X

C A2

1.18.

X

C×A A2

mA

1.19.

X

c A A2

1 (C×A) A2

1.20.

a) prod. esc. diagonales b) prod. vect. diagonales.

1.21.

7.8 unid. de área

k)

B⎞ ⎟ B⎠

1.4.

OP

1.5.

s/c 1.6. s/c

1.7.

sen(α cos(α

1.8.

A = 2u+u+3w

1.9.

A = 10e+b con b=-3i+4j+7k

1.10.

a) A B=B C=C A=0; A×B=71C b) eA=(1.39 0.82 -0.51) eB=(0.35 0.37 1.29) eC=(0.90 -1.06 0.06)

β) β)

1.13.

senα cosβ cosα cosβ

cosα senβ senα senβ

x

1.22.

2

(V×A)

y

1 x

1.23.

1.24.

3.7

4

z

y

5

z

1 1.25. a)

5 1 3 3

14 7

1.11.

s/c

1.26.

18x+6y-3z+18=0

1.12.

a) 5.48 b) (4 6 6) c) 16 d) 55° e) 2.92 f) (18 -14 2) g) (0.79 -0.61 0.087)

1.27.

x+2y+3z-21=0

Manuel R. Ortega Girón

m cualquiera

2 1

2

V cualquiera

5 4 2

335

336

Resultados de los problemas

1.28.

x

20 3

y

1 14

1.29.

6x-11y+3z+7=0

1.30.

-6/11 1.31.

1.32.

s/c 1.33. 2 3

z 20

25 / 57

a) (3.23 1.60 4.00) b) (0.23 3.60 4.00)

1.41.

⎡ 2 cos θ x′2 ⎢⎢ 2 ⎣ A

1

s/c

2.- Vectores deslizantes. 2.1.

a) (18 0 -12) b) (13 5 -7) c) s/c

2.2.

a) 8, -7, 2 b) -3/14 (2 3 1) c) 15/19 (2 3 -5)

2.3.

4,

2.4.

s/c

2.6.

a=1, b=-2, c=5; (-4 2 -1)

2.7.

a)

x

3

5

2

2y

b) 6

6

1 2 1

5 6 6

1 2 1

d)

6 6

1 22

a) (4 -3 2), (3 1 1)

2.13.

(4.00 1.32 2.95) en (0, 0, 0); (0.00 -0.32 -0.95) en (3.16, -8.43 0.00)

2.14.

(0 1 0) en (0, 0, 0); (0 0 1) en (1, -1, 0) 155x 142 155y 59 155z 33 5 7 9

2.16.

(0 2 0) en (0, 0, -0.50)

2.17.

(0 0 1) en (0, 1, 0)

2.18.

a) A=8πaλk; M0=6πa2λ(4j+3k) b) x=-3, y=0; {8πaλk;18πa2λk}

2.19.

{(1 3 2); 2.5(1 3 2)} en (9, -1, -3)/14

2.20.

s/c

2.23.

a) 14; x+3y+2z=14 b) (1.07, 3.07, 1.86)

2.24.

a) (20, 19, 19)/11; ídem b) lo mismo

2.25.

s/c

2.21. s/c

3.1.

2 5;

3.3.

s/c

3.4.s/c

2.8.

a) (20/11, 19/11, 0) b) 11; no está definido.

2.9.

(0 -1 1)

3

3.2. s/c

3.5. s/c

3.6. s/c

2

a) (t /2+t t /3 t )+C b) (4.5 3 3) ∂A ∂x

∂2A ∂x 2 3.9.

8 33 11

2

3.8.

13

2.22. s/c

3.- Análisis vectorial.

3.7.

1 2 1

c)

2.12.

z 2

2.5. s/c

5 6 6

a) F1=0, F2, F3=F4 b) F1=F3, F2=0, F4=0

2.15.

⎤ sen2θ ⎥ ⎥ B2 ⎦ ⎤ cos2θ ⎥ ⎥ B2 ⎦

⎡ 2 sen θ y′2 ⎢⎢ 2 ⎣ A 1 1⎤ 2 x′y′ ⎡⎢ ⎥senθ cosθ 2 B2 ⎦ ⎣A 1.42.

2.11.

1.37. s/c

1.38. s/c 1.39. (2 4 3) 1.40.

(-1 2 3); (5/3, 5/3, 0)

b) (4 -3 1), 5/13 (4 -3 1)

1.34. a) 27 b) -27

1.35. s/c 1.36. (0 -3 -18)

2.10.

r

2yi r0

v0t

un proyectil

2xyi

zj ∂2A ∂x∂y

3z 2k 2xi

...

1 2 gt k ; disparo de 2

3.10.

s/c

3.11.

a) si b) esféricas concéntricas en (0,0,0)

337

Resultados de los problemas

3.12.

paraboloides de revolución de eje z

3.13.

a) si b) radiales

3.14.

a) s/c b) φ(a) = -a2;

3.15.

a) 4/3 b) 1 c) 1.5 d) 37/30 e) 17/12 f) -11/60 g) no

3.16.

12π; no 3.17. a) 3 b) 4π c)

3.18.

q/

3.19.

a) 2r b) (y3, z3, x3) c) (2xy/z3, x2/z3, -3x2y/z4) d) [sen(yz)-yzsen(xz), xzsen(yz)+cos(xz), xycos(yz)-xysen(yz)] e) (-xsenx+cosx+yz, xz, yz]

3.20. 3.21.

0

4.4.

4.5.

a) x=3+2t+t3 cm b) a=6t cm/s2 c) 41 cm/s 1 v c) v

2

t t 2.078 ln t0 0.618 b) 37.08 min c) 672 m

4.7.

x=3.07 sen(3t+1.35); v=9.21 cos(3t+1.35)

4.8.

3.75 10-3 m-1; 267 m

4.9.

a) x2+y2=R2; antihorario b) r v=0 c) a=-ω2r d) r×v=ωR2k=cte

4.10.

a)

3 1 ; 2 14

14

d) 2

5

3.22.

A 3.23. a) 3r b) (12/5)πR

3.24.

a) ∇×A=0 b) φ=(x4+y4+z4)/4+xyz+φ0 c) 18.5

3.25.

a) 12 b) φ=x+y+z+xyz+φ0 c) 12

3.26.

a) no b) -(12+2π) c) 0 d) -(8+6π)

3.27.

a) 4 b) φ=x2+y2+z2+xyz+φ0 c) 4

3.28.

A=-er/r2; (-1, 0, 0)

3.29.

a) φ=r+cte b) 0

3.30.

s/c 3.31. s/c 3.32. s/c

3.33.

a) s/c b) 4πk c) 0 d) ∇×A=0 e) φ=k/r f) s/c 4πkR5

3.35.

a) s/c b) ∇ v=0; Φ=0

4.1.

2.34 m

4.2.

a) 2.54 s, 19.18 m b) -4.90 m/s; +4.90 m/s

4.3.

amín

(v1

v 2)

2

x2 a2

y2 b2 ω 2(a 2

at

b 2) senω t cosω t b 2cos2ω t

ω 2ab a 2sen2ω t

e) κ

1 ρ

b 2cos2ω t

(a 2sen2ω t

ab b 2cos2ω t)3/2

x1x˙ 1

x˙ 2

h2 2

h 2x˙ 1

x¨ 2

4.12.

2

x1

v a

2

(h 2

x1 )x1x¨ 1 2

(h 2

a) y

x1 )3/2

⎛π ⎞ 4 sen⎜ x⎟ ⎝2 ⎠ 4 16π 2cos2π t 4π 2senπ t

2

4.13.

2v0 cos2θ0

(tgθ0

g cosα

tgα)

4.14.

a) tgθ0=h/D b) v0
π+1;

v0

R 2g

2g

2v0

2

Rg

4 cosω t 3 , τ=4/25; 25/4

4.25.

d) 6x 3x 6x

c) vt

2

1 5

x

R

b) tf

ω 2R

a

2Rvt

l2 2Rv

p 4.33.

l2

l

θ

2

b) at

R senθ (l Rθ)cosθ (l Rθ)senθ Rcosθ

2

v0

5.- Cinemática del sólido rígido. 5.1.

a) no b) si c) si

5.3.

s/c

5.6.

a) (-9 0 0) b) (0 -54 27)

5.7.

(7 2 -6)

5.8.

a) ω=(0 1 3); vO=(-9 6 -2) z b) x 2 ; y 2.7

5.4. s/c

5.2. avA/b

5.5. s/c

vmín=0 c) (-10 9 -3)

0.9 ; 3

339

Resultados de los problemas

5.9.

a) (0 0 2) en (0,1,0); (1 1 -1) en (1,0,0) b) x-1 = y = -z

5.10.

s/c

5.11.

a) si b) (0 1 2) c) x=2; 2y-z=6 d) {(0 1 2);2(0 1 2)}

5.12.

a) si b) (-1 0 1) c) x=1; x+z=2 d) {(-1 0 1);(0 0 0)}, rodadura

5.13.

(0 -1 -1) en (0,1,0), (1,1,0), ...

5.14.

a) a=1, b=1, c=0 b) {(0 0 1);(0 0 0)} c) x=0, y=1

5.15.

a) (-2 2 0); (-2 2 3) b) (-4 -4 3); (-4 -13 9)

5.16.

16.5°

5.18.

a) s/c b)

v0 ⎛ ⎜1 2 ⎜ ⎝

x l2

b) ω c) aB

v

⎛ ⎜ ω 2R cosφ ⎜ ⎜ ω 1R senφ ⎜ ⎜ ω R cosφ 1 ⎝

a

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

a)

x2

⎞ 0 ⎟ ⎟ ⎠

⎛ 0 ⎜ ⎜ ⎜ ωr ⎜ ⎝ 2Ωr

b)

⎛ ⎜ 2 vM sen⎜θ0 ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

⎞ ⎟ ⎟ 2 2 (ω 1 ω 2) R cosφ α1R senφ ⎟ ⎟ 2 ⎟ ω 1R senφ α1R cosφ ⎠ 2ω 1ω 2R senφ

α2R cosφ

x2 ⎞ 2vM ⎟ t⎟ l ⎠

a

a l

⎛ senθ cos2θ l vA ⎜⎜ vB cos3θ a/l a a ⎜⎜ 0 ⎝ ⎛ 2 3 cos2θ ⎞ ⎟ ⎜ l vA ⎜ ⎟ cos3θ 3 senθ cosθ ⎟ ⎜ a2 ⎜ ⎟ 0 ⎠ ⎝

vA cos2θ0

5.20.

6 cm/s, 10 cm/s, 4 rad/s

5.21.

a) vC=ωl, aC=ω2l/2

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

aC

ω l⎛ θ θ ⎞ cos 0⎟ ⎜sen 2 ⎝ 2 2 ⎠

sen

θ ⎞ 0⎟ 2 ⎠

2

5.22.

(ω[R+h] 0 0); (α[R+h] -ω2h 0)

5.23.

a) generatriz de contacto b) (ωR 0 0); (0 0 0) c) (ωy -ωx 0); (-ω2x -ω2[y-R] 0) d) (0 0 0); (0 ω2R 0)

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

2Ω 2)r cosφ ⎞⎟ ⎟ αr cosφ ω 2r senφ ⎟ ⎟ 0 ⎠

αr senφ

(ω 2

a) x=-1/π; y=0; v=82.83 m/s b) x=-20/(20π+0.1); y=0; v=82.93 m/s

5.28.

a) mov. helicoidal tangente b) 636.23 m/s; 394 784 m/s2

5.29.

a) 0 cm/s; 3.33 rad/s b) 300 cm/s; 0 rad/s c) 0 cm/s; 3.33 rad/s

d)

vA ω

⎛ ω R senθ ⎜1 ⎜ ⎝ cosω 9

θ ⎛ ω l ⎜cos 2 ⎝

⎛ (ω 2 2Ω 2)r ⎜ ⎜ αr ⎜ ⎜ 0 ⎝

5.27.

Ω

b) v B

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ a ⎟ ⎠

⎛ ω r senφ ⎜ ⎜ ω r cosφ ⎜ ⎜ Ωr (1 cosφ ) ⎝

v

l v0 2 l2

a) cos3θ0

a) ω1=20π rad/s; ω2=10π rad/s b) 628 cm/s; 45228 cm/s2

5.26.

v

vM

5.19.

5.25.

5.17. 9 cm/s; 1.125 cm/s2

vM

c) vB

5.24.

⎞ ⎟ ⎟ sen2θ ⎠

cosθ 9

sen2θ

5.30. vA

aA

⎞ ⎛ R cosθ ω R senθ ⎜1 ⎟ ⎜ 2 2 2 ⎟ l R sen θ ⎠ ⎝ ⎞ ⎛ l 2cos2ω t R 2sen4ω t ⎟ ω 2R ⎜⎜cosθ R ⎟ (l 2 R 2sen2θ)3/2 ⎠ ⎝

5.31.

20 cm/s; 30 cm/s2

5.32.

0.16 s; 79.4°

340

5.33.

Resultados de los problemas

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

a) 0 2v0 0 ; ⎛ ⎜ ⎜ ⎝

b) v0 0 0 ;

3r 3 0

v

3r

r

v

c)

⎞ ⎟ 0 0 ⎟ ⎠

2

4v0

2 0

⎞ ⎟ 0 ⎟ ⎠

vB

⎛ senθ ⎜ ⎜ v senθ ⎜ cosθ ⎜ ⎝ 0

vB

⎛0 ⎜ ⎜ v senθ ⎜ 1 ⎜ ⎝0

5.41. Prob. 5.34 5.34.

5.35.

5.36.

2ω R sen

ωt 2

a

a) at

ω 2R cos

ωt 2

an

ω 2R sen

b) ρ

1 κ

ωt ; 2

ρ

con

e

5.39.

5.40.

ω 2R

4R

⎛ ωy ⎞ ⎛ ω 2x αy ⎞⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ v ⎜ ω x⎟ a ⎜ ω 2(y R) αx⎟⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎝ 0 ⎠ ⎠ ⎝ a) OP

5.38.

5.42.

c) v

5.37.

2r cos(ω t

θ )e 2

θ ) sen(ψ 2

⎛ ⎜ cos(ψ ⎝

b) v

2ω r sen(ω t

c) a

ω OP

θ ⎞ ) 0 ⎟ 2 ⎠

θ )e 2

base: circunferencia, radio h/2 y centro en C; ruleta: circunferencia radio h y centro en O′. base: coincide con el aro; ruleta: circunferencia, radio 2R, centro en A. h

ruleta: h 2x′2 b) ω

h2

hv v 2t 2

2vA

a) ω

R

sen2

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠B′

θ 2

6.- Principios de la Mecánica Clásica. La ley de la Inercia. 6.1.

86 164 s

6.2.

a) permanece vertical b) hacia atrás: tgθ=a/g c) hacia adelante: tgθ=a/g d) hacia el exterior

6.3.

a) 45 m/s b) 15 m/s c) 33.54 m/s

6.4.

a) 37 s b) 333 s c) 83 s

6.5.

3.11 s

6.7.

a) x′=0, y′=-(6t+t2) b) v′=(0 6-2t 0); a′=(0 -2 0)

6.8.

verá al otro acercarse en una dirección constante.

6.9.

s/c

6.10.

a) OO′=½a0t2; OO″=v0t+½a0t2

6.6. 70.5 km/h, 45.3 km/h

b) x′=x-½a0t2; x″=x-v0t-½a0t2 c) v′=(vx-a0t vy vz); v″=(vx-v0-a0t vy vz)

1 2 x h y′2 (y′2

a) 7ω antihorario b) ω/3 antihorario c) base: x2+y2=(20R/7)2; ruleta: x′2+y′2=(R/7)2 d) vs=20ωR/21

ωt 2

2

a) base: y

⎞ ⎛ senθ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ a B vω ⎜ cosθ ⎟ ⎟ ⎜ ⎠B′ ⎝ 0

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠B

b) base: y2=2R(x-R/2); ruleta: y′2=2R(x′+R/2)

a) s/c b) vide figura

4 R sen

⎞ ⎛ sen2θ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ a vω ⎟ ⎜ cos2θ B ⎟ ⎜ ⎠B ⎝ 0

d) a′=(ax-a0 ay az); a″=(ax-a0 ay az) h 2)

e) x=½a0t2; x′=0; x″=-v0t

341

Resultados de los problemas

6.11.

1 4π

a) S: F e

e2 k ; S′: igual h2

0

µ0 e 2v k ; S′: no 4π h 2

b) S: F m hay

7.- Segunda y tercera leyes de Newton. Conservación de la cantidad de movimiento. 7.1.

x=(3t2-2t3) cm; v=(6t-6t2) cm/s

7.2.

r=(52/3 5 14) m; v=(8 8 12) m/s

7.3.

a) s/c b) F=-mω2r

7.5.

7.4. s/c

2

mg x

Ft

v

4 0

g 2x 2

7.6.

a) 9.8 N b) 19.6 N

7.7.

a) 55.36 m b) 9800 N

7.8.

T

7.9.

a) v

7.10.

v

4 0

±

2k m

1 x

π x0

mx0

2

2k

vf

g L

L2

tf

L g

ln

7.19.

a) 48.19° con la vertical b) c) 0.125 R

1 x0

7.20.

a) (12000 20785 0) kg m/s b) 163.3 kg (centrípeta)

7.21.

a) -8.25 kg m/s; -8.25 N s b) 4125 N

7.22.

a) s/c b) 3 ms c) 60 cm

7.23.

a) -100 000 kg m/s, -50 000 N b) -12 500 KG M/S; -62 500 N c) se conserva cant. mov. Tierra-auto.

7.24.

F

7.25.

a) 16 N b) -16 N

7.27.

8.08 g

7.29.

a) 5v0(1/e-1)=-126.4 N b) -(5v0/2)(1/e+1)=-136.8 N

7.30.

a) pB=kt b) pB=kt-p0 c) FA=-k; FB=k

7.31.

a) 11.74 km/h b) 260.870 kN

7.32.

a) 148° b) 12.13 10-21 kg m/s

7.34.

L2 b

2 gR 3

2ρ

2

A 7.26. 44.041 g

7.28.

7.33. a) 2.731 10-25 kg m/s; 2.731 10-25 kg m/s; b) 2.731 10-24 kg m/s; 2.731 10-24 kg m/s; c) 2.731 10-23 kg m/s; 2.745 10-23 kg m/s; d) 1.366 10-22 kg m/s; 1.577 10-22 kg m/s; e) 2.595 10-22 kg m/s; 8.309 10-22 kg m/s;

b2

L

a) 680.3 m b) 560 kg

g 2x 2

l g

2π

b) t

mgv

Fn

2 0

7.18.

b2

7.11.

0.78 s

7.12.

a) 22.3 kg b) a0=-3.2 m/s2 c) cero

7.13.

a) "caída libre" b) parando motores

7.14.

a) 42.6 s b) 273.6 km/h; 2 225 m

7.15.

84.6 min 7.16. M = mv2/rg

7.17.

a) 3.13 m/s b) 6 kg c) 18 kg

8.23 kg; 5.88 kg; 7.06 kg

7.35. a) 3.68 m/s2; 1.88 kg b) 0.61 m/s2; 2.80 kg c) 0.12 m/s2; 2.56 kg d) 2.45 m/s2; 3.75 kg e) 1.33 m/s2; 3.41 kg f) 7.45 m/s2; 5.28 kg g) 2.56 m/s2; 1.28 m/s2; 2.61 kg h) 3.46 m/s2; 6.92 m/s2; 0.88 kg; 1.76 kg i) 0.58 m/s2; 1.15 m/s2; 2.67 kg; 5.29 kg j) 2.45 m/s2; 3.75 kg 7.36.

a) no hay mov. b) ídem c) 0; 4.9 m/s2 d) 2.45 m/s2; 14.7 m/s2

7.37.

a) 40 kg b) 42 kg c) 35.9 kg

342

Resultados de los problemas

8.- Las fuerzas de la Naturaleza. 8.1.

4π 4 GM

k

2L sen θ

q

8.3.

a) s/c b) xmín

4π 0mg tgθ 1 4π

2Qq 2

mv0

0

8.4.

a) 5 kg b) 5 kg c) 6 kg

8.5.

0.466

8.6.

a) a1

6F 9m1 4m2

6F

3(3m1 9m1

a2

2 a 3 1

a2

2 a 3 1

2m2)

4m2

8.17.

a) v

2gr senθ

N

b) v

2gr

3mg

a) F

8.8.

a) 84.6 kg b) 0.39 m/s2

8.9.

a) 69.68° b) 1.01 m/s2

8.10.

a) 80 cm b) no

8.11.

a) 2.64 m/s2 b) 2.26 N, tensora a) 23° b) 5.12 m/s

v0

2gy0

N N0

3mg senθ

(4y0

1)mg

8.19.

a) 0 b) -0.412 m/s c) 1.412 m/s2

8.20.

a) a0=g tgθ b) 2.63 m/s2

8.21.

tgθ=g/a0

8.22.

a) 9.7° b) 14.3° c) 18.8°

8.23.

a) g/µ b) 4.9 m/s2; 2 h/g

8.24.

a)

8.25.

s/c

8.27.

a) 70.7 kg b) 100 kg; 141 kg c) 61 kg; 70.7 kg; 15 kg d) 200 kg; 173.2 kg e) 173.2 kg; 200 kg f) 193.2 kg; 273.2 kg

8.28.

17.98°; 10.67° (con la vertical)

8.29.

a) T

8.30.

68.786°; 0.842mg

µ mg b) 26.6° µ senθ cosθ

8.7.

8.12.

s/c

8.18.

8.2.

b) a1

8.16.

2

m2 m1

(M

m1

m2) g b)

m2g 2 (m1

m2)

8.26. 58.2 kg

mg b) ½mg cotgθ 2 senθ 8.31. s/c

2

8.13. a)

9.- Sistemas de referencia en rotación.

N1 N (senθ µ cosθ) µN1 N (cosθ µ senθ) m1(g a1) N (senθ µ cosθ) µN2 m2a2 N2 N (cosθ µ senθ) m2g a1 a2 tg θ

b) a1=a2=3.32 m/s2 c) µ>0.268 8.14.

a)

v a x

b) vlím 8.15.

mg ⎛ mg ⎞ ⎟e ⎜v0 k k ⎠ ⎝ kt mg ⎞ k ⎛ ⎟e ⎜g k ⎠ ⎝ ⎛ ⎜ m(vlím v0) vlímt ⎜ k ⎝ mg k

a) s/c b) t

2.996 α

x

kt m

⎞ ⎟ 1⎟e ⎠

2.046

9.1.

s/c

9.2.

vabs=(-14 8 -12); aabs=(-149 59 140)

9.3.

a) vide fig. b) vide fig. c) no d) no

kt m

Prob. 9.3

vlím α

9.4.

x=V0tcosωt; y=-V0tsenωt: x2+y2=(V0t)2

343

Resultados de los problemas

9.5. a) (0 ΩR+2ωr 0); (ω2r-(ΩR+ωr)2/(R-r) 0 0) b) (ωrsenθ ΩR+ωr(1-cosθ) 0); (-ω2rcosθ-(ΩR+ωr)2/(R-r) -ω2rsenθ 0) 9.6. a) (-(Ω+ω)rsenθ ωR0+(Ω+ω)rcosθ 0); (-ω2R0-(Ω+ω)2rcosθ -(Ω+ω)2rsenθ 0) b) ω/Ω=r/(R0-r); (-(R02/r-R0+2r)ω2 0 0) 9.7. v abs

a abs

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

9.8.

a)

⎞ ⎟ ⎟ α1R senφ (ω ω )R cosφ ⎟ ⎟ 2 ⎟ α1R cosφ ω 1R senφ ⎠ α2R cosφ

a abs

2ω 1ω 2R senφ 2 1

v abs ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ω 2R cosφ ⎜ ⎜ ω 1R senφ ⎜ ⎜ ω R cosφ 1 ⎝

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

2 2

v cosθ r

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

9.13.

⎞ ⎟ ⎟ cosθ) ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

ω 2r(1 v2 senθ r

a

9.14.

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ (ω ω )r cosθ 2ω 1v0 senθ ⎟ ⎟ 2 ⎟ ω 1r senθ 2ω 1v0 cosθ ⎠ 2ω 1ω 2r senθ 2 1

(-ωR -2v 0); (4ωv-αR -ω2R -v2/r)

9.10.

(2v-ΩR 0 0); (0 -3v2/R-Ω2R+4Ωv -v2/r)

9.11. v abs

a abs

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

⎛ v(1 r cosθ ⎜ R ⎜ ⎜ ω r senθ ⎜ ⎜ ⎝ ω r cosθ

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ 2 v r (1 cosθ) ⎟⎟ ω 2r cosθ R R ⎟ ⎟ 2 ω r senθ ⎠ 2ω v

r senθ R

2ω 2v0 cosθ

2 2

v ω R cosλ 0

a) v

b) (-2ωr 0 v); (0 -v2/r-2ω2r 0) c) (-ωr -v 0); (2ωv -ω2r -v2/r) d) (0 0 -v); (0 v2/r 0) e) (-ωr v 0); (-2ωv -ω2r v2/r) 9.9.

cosθ)

⎞ ⎛ ω 2r cosθ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜v0 cosθ ω 1r senθ⎟ ⎟ ⎜ ⎜v senθ ω r cosθ⎟ 1 ⎠ ⎝0

v

⎞ cosθ) ⎟ ⎟ v senθ ⎟ ⎟ v cosθ ⎠

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

⎞ ⎟ 2ω v cosθ ⎟ ⎟ ⎟ 2 v ⎟ senθ ω 2r senθ ω v senθ ⎟ r ⎟ ⎟ ⎟ 3 v2 cosθ ⎟ 2 r ⎠ ω 2r (1 2

v2 cosθ 2r

ω r (1

2ω v senθ 2

9.12. ⎛ v senθ ω r senθ ⎜ 2 ⎜ ⎜ ⎜ v cosθ ω r (1 cosθ) ⎜ 2 ⎜ ⎜ ⎜ 3 v senθ ⎜ 2 ⎝

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

a

ω 2R senλcosλ ⎞⎟ 2ω v senλ ⎟⎟ ⎟ ω 2R cos2λ ⎠ 0 2mω v senλ 0

b) F cor

c) v=(-40 355.8 0) m/s; a=(-16.68 -3.75 -19.88) mm/s2; Fcor=(0 3.75 0) N 9.15.

27°

9.16. 0.33

9.18.

a) 16.7 m b) 16.7°

9.19.

z

9.20.

3’ 21"; plomada

9.21.

λ=43° 46’; βmáx=2° 29’

9.22.

s/c

9.23.

a)

ω2 2 (x 2g

t

1 l ln ω

v

ω

l2

9.17. 112.6 km/h

y 2)

l2 b b2

b2

344

Resultados de los problemas

2mω 2 l 2

b) Ncor

10.12. a) 1.225 J; 1.225 J b) 1.488 J; 1.488 J c) ref. inerciales.

b2

9.24.

s/c 9.25. 1.75 cm

9.26.

a) s/c b) -2.73 cm c) 613 km/h

9.27.

a) s/c b) 7.23 µm; 44 mm; 1.7 mm

9.28.

a) acor=0.0469 cm/s2, Oeste; Fcor=4.69 N, Este b) dcha. meridiano.

10.13. a) 151.33 erg b) 131.52 erg c) 130 erg d) no 10.14. a) ∇×F=0 b) Ep=-(x2y+xz3) c) 58 J

9.29.

efecto Coriolis; si m=65 kg, dif.idavuelta=484 g

9.30.

a) 0.34 b) Fcf=1332 dyn; Fcor=113 dyn

9.31.

a) s/c b) 2’ 30" c) 8h 29min 7s

10.15. 48π

10.17. a) F=-k(x y 0) b) F=-kr c) central; ley de Hooke.

C

1 2

1 t 2

1 2 t ; 6

1 t ; 3 1 2 t x 4

3 t 2

3 2 t 2

1 3 t 3

a v

b) P

a) a

1 2

1 x ; 3

3 (3 3 c) 152.5 mJ b) P

v

1 m (senθ 2

µ cosθ) g 2t 2 senθ

10.20. W

1 mgL (1 2

senθ0

10.21. Ep

1 4π

2x) 3x

1 3 t 18

3x

10.22. a)

1 4π

x2

0

2µ cosθ0)

qq′ r

0

q2 1 b) l 4π r

r0 r

2

0

Ep,0 e

2q 2 l r/r0

b) vide tabla c) vide figura; no d) 0.026; 0.047; 0.210; 38.443; 5.88r0

x2

10.3.

6.67 kN 10.4. s/c

10.5.

a) 19.739 mN b) 592 mJ; no

10.6.

a) helicoidal uniforme, R=mv/qB, m (v B) b) 0; no paso h 2π qB 2

10.7.

∆Ep

10.23. a) F 3 3

µ cosθ)2 g 2t 2

c) no; ∆E=Wf

c) 133.3 J 10.2.

1 m (senθ 2

10.19. a) ∆Ek

10.- Trabajo y energía. a)

F dr≠0 b) 2πRf(R)

10.18. a)

b)

10.1.

10.16. a) si b) 4k

a) W=pdV b) nRTln(V2/V1) c) (p1V1-p2V2)/(γ-1)

10.8.

a) 490.7 N b) 24.9 C.V. c) 5.5 C.V. d) 6.7%

10.9.

a) 162 km/h b) 65 km/h c) 294 km/h d) no hay límite.

10.10. 68 kW 10.11. a) 143 W b) -143 W

Prob. 10.23 10.24. a) s/c b) s/c c) s/c d) vide figura

e) F(r)

⎡ ⎢⎛ ⎞12 12Ep,0 ⎢⎜ r0 ⎟ ⎢⎜ ⎟ r ⎣⎝ r ⎠

f) r=r0; rr0 g) s/c

⎤ ⎛ ⎞6⎥ ⎜ r0 ⎟ ⎥ ⎜ ⎟⎥ ⎝r⎠⎦

345

Resultados de los problemas

Tabla Prob. 10.23 r/r0

F(r)/F(r0)

Ep(r)/Ep(r)

2

1.38×10-1

1.84×10-1

4

7.78×10-3

1.24×10-2

10

6.79×10-6

1.23×10-5

11.5.

inicialmente es v F en sentidos opuestos

11.6.

v

11.8.

2.90 m

gl/2

11.7. a) s/c b) s/c

11.9. s/c

11.10. a) 28.48 m b) si; 12.58 m/s 11.11. a) hn=fnh0 b) -∆En=mg(1-f)fn-1; -∆En/En-1=1-f c) 28 botes d) 38.36 s 11.12. a) N=mg(2cosθ-2) b) 38.2° 11.13. a) 8 kN b) 160 kJ c) 80 kJ d) masa variable 11.14. a) vmín

5gR b) 30°;

gR/2

11.15. a) 54.74°; 1.68 m/s b) 0.93 m

Prob. 10.24 10.25. a)

1 8π

Ek

0

e2 r

1 8π

E

0

10.26.

Prob. 11.16

1 1 mω 2A 2 kA 2 4 4

1 kR 4 b) Ep 2

0

e2 r

e2 r

1

2

b)

10.27. a) Ek

1 4π

Ep

1 kR 4 4

11.16. a) vide figura b) pozo de potencial c) -1.848; -0.765; 0.765; 1.848 d) -2.109; 2.109 11.17. a) x=0, Ep=0, estable; x=1, Ep=3.25, inestable b) vide c) -0.229; 0.455; 1.866 d) 1.49 cm e) 1.28 s

10.28. a)

n n

1 E 3

2 n

3

E

b) =-E; =2E

11.- Conservación de la energía. 11.1.

s/c 11.2. 80.4° 11.3. 2d

11.4.

a) Ep=mgRcosθ; Ek=mgR(1-cosθ) b) at=gsenθ; an=2g(1-cosθ) c) 48.2° d) mayor

Prob. 11.17 11.18. a) -a√2; 0; +a√2 F(x)

a 2E0

16a 4x 4a 2x 3 2x 5 (8a 4 x 4)2

346

Resultados de los problemas

2

b) v0

v∞ 1

d) α >

E0

4mv

2

9mv∞

e) ±a; ±1.87a

2

1

2

4E0

1

E0 2 ∞

1

c) α >

4m

4E0

2

9mv∞

Prob. 11.18 kx 2 2

11.19. a) Ep

b) x 2

E k

E2

c 2x 2 ck

k2

θ0)

sen(ω t

Prob. 11.21 Prob. 11.19 b) F c) ω

2π T

2

k m

11.23. a) v

11.20. a) 13.2 cm/s b) no pasa 11.21. a) (1,2), estable; (-1,-2), inestable; (-1,2), (1,-2), silla b) (1,3), silla c) (0,0), inestable; x2+x2=4, estable d) (0,0), estable; x2+y2=9, inestable 11.22. a) Ep

(ar

2

b) e

cr 2

A

2

a

bc ac

11.24. s/c

2acr (r 2 2

v0

A 2) e

2 U0 m

cr 2

c) s/c

b) s/c c) s/c

11.25. a) s/c b) s/c

11.26. s/c

11.27. a) 7.089m0 b) 12.42 c) 3.11 MeV 11.28. a) 1.18 pm b) no 11.29. 28.3 MeV/c2

347

Resultados de los problemas

11.30. a) 28.3 MeV b) 4.26×1024 MeV; 190 GW h

L 2 ⎛ 6k m ⎜⎝ r 4

e) F

L 2 (1 α2) mr 3

11.31. 1.022 MeV

12.- Momento angular. Fuerzas centrales. 12.1.

a) p=(4t 6 0) kg m/s; L=(0 0 30-6t2) kg m2/s b) (0 0 -12t) m N; igual

12.2.

a) (0 0 t6); (0 0 6t5) b) (0 0 6t5)

12.3.

a) (0 0 mabω); (0 0 0) b) fuerza central; tray. elíptica.

12.4.

a) 80 cm/s; 64 kg cm2/s; 64 kerg; 3.2 kdyn b) 320 cm/s; 64 kg cm2/s; 1024 kerg; 205 kdyn c) 960 kerg

12.5.

s/c

12.6.

a) rmín=k; 2α=4k

12.8.

n 1 E n 3 óv. limitados

a) F

E

2 n

L2 r b) v mk 4 ⎛ 2 1 k 2 mv0 ⎜⎜ 2 2 ⎝r

c) Ep′

K r3

a)

b) 12.9.

1⎞ ⎟ r3 ⎠

d) F

v0 k

3

Em

2E r

⎞ r2 ⎟ ⎟ k4 ⎠

Prob. 12.9.....c)

Prob. 12.6.....a)

b) vr c) ar d) at

12.7.

θ 2 2 v θ v2 θ θ cos4 aθ sen cos3 2k 2 2k 2 2 v2 2k 3θ cos ρ 0 an 2k 2 θ cos3 2

v sen

θ 2

vθ

v cos

Prob. 12.10.....e) 12.10. a) L=cte b) φ (3t/k 2)1/3 c) r=kθ ⎞ ⎛ ⎜ 2mk 2 m ⎟ d) F ⎟ ⎜ 5 r3 ⎠ ⎝ r

a) F

L2 mr 3

K r3

e) Ep

b) F

L2 ⎛ 2 mk ⎜⎝ r 2

k⎞ ⎟ r3 ⎠

12.11. F

c) F

⎛ L 2 ⎜ 2k 2 m ⎜⎝ r 5

⎞ 1⎟ ⎟ r3 ⎠

⎛ m ⎜ k2 2 ⎜⎝ r 4

12.12. a) Ep

⎞ 1⎟ ⎟ Ep′ r2 ⎠

K r5 1 Kr 4 b) vide fig. 4

mk 2 2r 4

348

Resultados de los problemas

L2>mk: 1/r = r sen[Ω(θ-θ0)]

c)

L2=mk: 1/r = A (θ-θ0) (espiral) L2 0

12.40. 262 fm 12.41. a) σ(Θ) = R2/4 b) σt = πR2 12.42. a) s/c b) σt = πR2 12.43. a) s/c b) s/c

13.7.

120°

13.8.

a) s/c b) eje x: mov. unif.; eje y: m.a.s. c) 2 2 v 2 v0 ω 2y0 sen2ω t 2 a ω y0 cosω t

13.- Movimiento armónico simple.

d) F=(0 -ky 0); k=mω2 13.1.

a) si; T

13.2.

s/c

13.3.

a) 5 cm; 31.4 s; 0.0318 Hz; 30° b) cos(0.2t+0.5236); -0.2sen(0.2t+0.5236) c) 2.5 cm; 0.866 cm/s

13.4.

0.0, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0,

2 2h/g

1/ν b) no

13.9.

a) Amg b) 2kl

a) sen θ0

ω′

ω0 2

b 2γ 2m(L a)2 3 M x¨ 2 b) s/c

22.19. a) 6g sen θ (1 3cos2θ) l

Ω

ω

2

β

a

ω0

γ x˙

L

kx

gl 2a 2

a

k m

F0 sen ω t

22.20. a) 2 rad/s; 2 cm; 1.87 rad/s; 2.1 cm b) 60 mW; 56 mW

b) vB=2lωcosθ 22.6.

a)

2 3gR b) ω l

22.21. a) ω

31 mr 2 12 24( 2 1) g 31 r

b) ω

1.77

22.7.

a) 20.94 N; 60 vueltas b) s/c

22.23. 50.6 cm

22.8.

20 rad/s; 2 kJ

22.24.

22.9.

2

b)

2

ML ML 2

a) ω

a)

6md ω 0 1

22.10. a) 23.76 rad/s b) 92.16 rad/s c) 363 N d) 7.2 J

5g sen θ 0 7(R r) 5g θ si senθ ≈ θ ⇒ θ¨ 7(R r)

b) T

22.11. a) esfera, cilindro y aro b) no c) la inercia de rotación

θ¨

2π

22.25. a) vm

22.12. plano inclinado; baja antes la maciza. v 22.13. ω

22.15. T

22.16. ω 22.17.

M 2π

2k 22.14. ω 2m m 6k

3g 2l

8k 3m

7(R r) 5g

λ

0

7(R r) 5

27(R r)g b) 31.63°; 7 (R r) g sen 31.63°

22.26. a) ω

b) ω 6kh 2 ml 2

10(R r)g 17

22.22. 53.97°; v0

r

6 (2R h) g l 2 4h 2

22.27. 55.2°; θ˙ 0

3( 2 1)g 2l 12( 2 1)g 5l 4g/7r

22.28. a) 85.20 cm/s; 42.60 rad/s b) 198.80 cm/s; 19.88 rad/s c) -77 J

733

Resultados de los problemas

22.29. a)

2 mg sen θ cos θ 3(M m) 2m cos2θ 2 Mg sen θ cos θ 3(M m) 2m cos2θ 2 (M m) g sen2θ 3(M m) 2m cos2θ

a0 ax ay

b) vf 22.30.

ω2 Ω2 vc2

a0 th

6M 2 6M 2 8 M2 6M 2

2h ay

con th

8 M2 ⎛ R r ⎞g ⎟ 2 ⎜ 5Mm m ⎝ r 2 ⎠ 2 2m ⎛ R r ⎞g ⎟ 2 ⎜ 5Mm m ⎝ R 2 ⎠ 2 8Mm 2m R r g 5Mm m 2

23.- Ecuaciones de Euler.

23.14. a) s/c b) equilibrio estático c) 63.4°a) (0