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INTEGRANTES: - Esteban Rivera Rivera.

PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

- Didier Harley Angarita Martínez. - David Santiago Navas Cuta. SOLUCION TALLER 3 CORTE 2.77 En un grupo de 100 estudiantes de bachillerato que están cursando el ultimo ano, 42 cursaron matemáticas, 68 psicología, 54 historia, 22 matemáticas e historia, 25 matemáticas y psicología, 7 historia pero ni matemáticas ni psicología, 10 las tres materias y 8 no cursaron ninguna de las tres. Seleccione al azar a un estudiante de este grupo y calcule la probabilidad de los siguientes eventos: a) Una persona inscrita en psicología y cursa las tres materias; b) Una persona que no está inscrita en psicología y este cursando historia y matemáticas. SOL: 10 𝟓 a) 𝑃 ( 𝑀 ∩ 𝑃 ∩ 𝐻 ) = 68 = 𝟑𝟒 = 𝟎. 𝟏𝟒𝟕𝟏 b)

𝑃 ( 𝐻 ∩ 𝑀 |𝑃′ ) =

𝑃 ( 𝐻 ∩ 𝑀 ∩ 𝑃′ ) 𝑃 ( 𝑃′ )

=

22−10 100−68

=

12 32

=

𝟑 𝟖

= 𝟎. 𝟑𝟕𝟓

2.83 La probabilidad de que un vehículo que entra a las Cavernas Luray tenga matricula de Canadá es 0.12, la probabilidad de que sea una casa rodante es 0.28 y la probabilidad de que sea una casa rodante con matricula de Canadá es 0.09. .Cual es la probabilidad de que… a) ¿una casa rodante que entra a las Cavernas Luray tenga matricula de Canadá? b) ¿Un vehículo con matrícula de Canadá que entra a las Cavernas Luray sea una casa rodante? c) ¿Un vehículo que entra a las Cavernas Luray no tenga matricula de Canadá o no sea una casa rodante? SOL: Evento A > Que el vehículo sea una casa rodante. Evento B > Que el vehículo tenga matricula de Canadá: a)

𝑃(𝐵|𝐴)=

b)

𝑃(𝐴|𝐵)=

c)

𝑃(𝐴∩𝐵) 𝑃(𝐴) 𝑃(𝐴∩𝐵) 𝑃(𝐵)

= =

0.09 0.28 0.09 0.12

= =

𝟗 𝟐𝟖 𝟑 𝟒

= 𝟎. 𝟑𝟐𝟏𝟒𝟑 = 𝟎. 𝟕𝟓

𝑃 ( 𝐵 ′ ∪ 𝐴′ ) = 1 − 𝑃 ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) = 1 − 0.09 = 𝟎. 𝟗𝟏

2.85 La probabilidad de que un doctor diagnostique de manera correcta una enfermedad específica es 0.7. Dado que el doctor hace un diagnostico incorrecto, la probabilidad de que el paciente entable una demanda legal es 0.9. ¿Cuál es la probabilidad de que el doctor haga un diagnostico incorrecto y el paciente lo demande? SOL: Evento A > El doctor hace un diagnóstico correcto. Evento B > El paciente entabla una demanda. 𝑃 ( 𝐴′ ∩ 𝐵 ) = 𝑃 ( 𝐴′ )𝑃 ( 𝐵 | 𝐴′ ) = (0.3)(0.9) = 𝟎. 𝟐𝟕 2.89 Una ciudad tiene dos carros de bomberos que operan de forma independiente. La probabilidad de que un carro específico esté disponible cuando se le necesite es 0.96. a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno esté disponible cuando se necesite? b) ¿Cuál es la probabilidad de que un carro de bomberos esté disponible cuando se le necesite? SOL: Los eventos A y B representan a cada uno de los carros de bomberos a) 𝑃 ( 𝐴′ ∩ 𝐵 ′ ) = 𝑃( 𝐴′ ) 𝑃 ( 𝐵′ ) = (1 − 0.96)(1 − 0.96) = (0.04)(0.04) = 𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟔 b) 𝑃 ( 𝐴 ∪ 𝐵 ) = 1 − 𝑃 ( 𝐴′ ∩ 𝐵 ′ ) = 1 − 0.0016 = 𝟎. 𝟗𝟗𝟖𝟒

2.93 En la figura 2.11 se muestra un sistema de circuitos. Suponga que los componentes fallan de manera independiente. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema completo funcione? b) Dado que el sistema funciona, ¿cuál es la probabilidad de que el componente A no funcione?

Figura 2.11: Diagrama para el ejercicio 2.93. SOL: a)

b)

𝑃 = [ ( 𝐴 ∩ 𝐵 )′ ( 𝐶 ∩ 𝐷 ∩ 𝐸 )′ ]′ 𝑃 = 1 − [ 1 − 𝑃 ( 𝐴 ) 𝑃 ( 𝐵 )][1 − 𝑃 ( 𝐶 ) 𝑃 ( 𝐷 ) 𝑃 ( 𝐸 )] 𝑃 = 1 − [ 1 − (0.7)(0.7)][1 − (0.8)(0.8)(0.8)] 𝑃 = 1 − (0.51)(0.488) 𝑷 = 𝟎. 𝟕𝟓𝟏𝟏𝟐 𝑃=

𝑃 ( 𝐴′ ∩ 𝐶 ∩ 𝐷 ∩ 𝐸) 𝑃 ( 𝐸𝐿 𝑆𝐼𝑆𝑇𝐸𝑀𝐴 𝐹𝑈𝑁𝐶𝐼𝑂𝑁𝐴 )

=

𝑃 ( 𝐴′ ) 𝑃 ( 𝐶) 𝑃 ( 𝐷 ) 𝑃 ( 𝐸 ) 0.75112

=

(1−0.7)(0.8)(0.8)(0.8) 0.75112

= 𝟎. 𝟐𝟎𝟒𝟓

REGLA DE BAYES 2.95 En cierta región del país se sabe por experiencia que la probabilidad de seleccionar un adulto mayor de 40 años de edad con cáncer es 0.05. Si la probabilidad de que un doctor diagnostique de forma correcta que una persona con cáncer tiene la enfermedad es 0.78, y la probabilidad de que diagnostique de forma incorrecta que una persona sin cáncer tiene la enfermedad es 0.06, ¿cuál es la probabilidad de que a un adulto mayor de 40 años se le diagnostique cáncer? SOL: Evento C > Tiene cáncer. Evento C’> No tiene cáncer. Evento D > Diagnosticado con cáncer. P (C) = 0.005; P (C’) = 1-P (C) = 1 – 0.05 = 0.95; P (D | C’) = 0.06; P (D | C) = 0.78 𝑃 (𝐷) = 𝑃 (𝐶 ∩ 𝐷) + 𝑃 (𝐶 ′ ∩ 𝐷) 𝑃 (𝐷) = 𝑃 (𝐶) 𝑃 (𝐷|𝐶) + 𝑃 (𝐶 ′ ) 𝑃 (𝐷 |𝐶′) 𝑃 (𝐷) = (0.05)(0.78) + (0.95)(0.06) 𝑃 (𝐷) = 0.039 + 0.057 𝑷 (𝑫) = 𝟎. 𝟎𝟗𝟔 2.96 La policía planea hacer respetar los límites de velocidad usando un sistema de radar en 4 diferentes puntos a las orillas de la ciudad. Las trampas de radar en cada uno de los sitios L1, L2, L3 y L4 operaran

40%, 30 %, 20% y 30% del tiempo. Si una persona que excede el límite de velocidad cuando va a su trabajo tiene probabilidades de 0.2, 0.1, 0.5 y 0.2, respectivamente, de pasar por esos lugares, ¿cuál es la probabilidad de que reciba una multa por conducir con exceso de velocidad? SOL: 𝑃 ( 𝑅 ) = 𝑃 ( 𝑆1 ∩ 𝑅1 ) + 𝑃 ( 𝑆2 ∩ 𝑅2 ) + 𝑃 ( 𝑆3 ∩ 𝑅3 ) + 𝑃 ( 𝑆4 ∩ 𝑅4 ) 𝑃 ( 𝑅 ) = 𝑃 ( 𝑆1 ) 𝑃 ( 𝑅1 | 𝑆1 ) + 𝑃 ( 𝑆2 ) 𝑃 ( 𝑅2 | 𝑆2 ) + 𝑃 ( 𝑆3 ) 𝑃 ( 𝑅3 | 𝑆3 ) + 𝑃 ( 𝑆4 ) 𝑃 ( 𝑅4 | 𝑆4 ) 𝑃 ( 𝑅 ) = (0.2)(0.4) + (0.1)(0.3) + (0.5)(0.2) + (0.2)(0.3) 𝑃 ( 𝑅 ) = 𝟎. 𝟐𝟕 2.97 Remítase al ejercicio 2.95. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona a la que se le diagnostica cáncer realmente tenga la enfermedad? SOL: 𝑃(𝐶 ∩𝐷) 𝑃 (𝐶) 𝑃 (𝐷|𝐶) (0.05)(0.78) 0.039 𝑃(𝐶|𝐷)= = = = = 𝟎. 𝟒𝟎𝟔𝟐𝟓 𝑃(𝐷) 0.096 0.096 0.096 2.98 Si en el ejercicio 2.96 la persona es multada por conducir con exceso de velocidad en su camino al trabajo, ¿cuál es la probabilidad de que pase por el sistema de radar que se ubica en L2? SOL: 𝑃 ( 𝑆2 ∩ 𝑅2 ) 𝑃 ( 𝑆2 ) 𝑃 ( 𝑅2 | 𝑆2 ) (0.1)(0.3) 0.039 𝟏 𝑃 ( 𝑆2 | 𝑅2 ) = = = = = = 𝟎. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑃 ( 𝑅2 ) 0.27 0.27 0.27 𝟗 2.99 Suponga que los cuatro inspectores de una fábrica de película colocan la fecha de caducidad en cada paquete de película al final de la línea de montaje. John, quien coloca la fecha de caducidad en 20% de los paquetes, no logra ponerla en uno de cada 200 paquetes; Tom, quien la coloca en 60% de los paquetes, no logra ponerla en uno de cada 100 paquetes; Jeff, quien la coloca en 15% de los paquetes, no lo hace una vez en cada 90 paquetes; y Pat, que fecha 5% de los paquetes, falla en uno de cada 200 paquetes. Si un cliente se queja de que su paquete de película no muestra la fecha de caducidad, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido inspeccionado por John? SOL: Evento A > No coloca la fecha de caducidad Evento B1 > John; P (B1) = 0.20 y P (A | B1) = 1/ 200 = 0.005 Evento B2 > Tom; P (B2) = 0.60 y P (A | B2 ) = 1/ 100 = 0.010 Evento B3 > Jeff; P (B3) = 0.15 y P (A | B3) = 1/ 90 = 0.011 Evento B4 > Pat; P (B4) = 0.05 y P (A | B4) = 1/ 200 = 0.005 𝑃 ( 𝐵1 ∩ 𝐴 ) 𝑃 ( 𝐵1 ) 𝑃 ( 𝐴 | 𝐵1 ) 𝑃 ( 𝐵1 | 𝐴 ) = = 𝑃(𝐴) 𝑃(𝐴) 𝑃 (𝐵1 | 𝐴) =

(0.20)(0.005) 0.001 = = 𝟎. 𝟏𝟏𝟐𝟒 (0.20)(0.005) + (0.60)(0.010) + (0.15)(0.011) + (0.05)(0.005) 0.0089

2.101 Una cadena de tiendas de pintura produce y vende pintura de látex y semiesmaltada. De acuerdo con las ventas a largo plazo, la probabilidad de que un cliente compre pintura de látex es 0.75. De los que compran pintura de látex, 60 % también compra rodillos. Sin embargo, solo 30 % de los que compran pintura semiesmaltada compra rodillos. Un comprador que se selecciona al azar adquiere un rodillo y una lata de pintura. ¿Cuál es la probabilidad de que sea pintura de látex? SOL: Evento A > El cliente compra pintura de látex. Evento A’ > El cliente compra pintura semiesmaltada. Evento B > El cliente compra rodillos. 𝑃(𝐵|𝐴)𝑃(𝐴) (0.60)(0.75) 0.45 𝑃 (𝐴 | 𝐵) = = = = 𝟎. 𝟖𝟓𝟕 𝑃 (𝐵 | 𝐴) 𝑃 (𝐴) + 𝑃 (𝐵 | 𝐴′ ) 𝑃 (𝐴′ ) (0.60)(0.75) + (0.3)(1 − 0.75) 0.525