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• THE BASAT BROTHERS

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Actividad de aprendizaje 1 1. Construya la tabla de verdad para la siguiente composición compuesta (p→q)↔(pɅ(~q)) (p → q) ↔ (p Ʌ (~ q) ) V V V F V F F V V F F F V V V F F V V F F F F V F V F F F F V F 1 3 1 4 1 3 2 1 2. Sin usar tablas de verdad, demuestre que la siguiente proposición es una tautología. (pɅq)→(p↔q) ̴(pɅq)V(p↔q) Definición del condicional (~pV~q)V(p↔q) Ley de Morgan (~pV~q)V[(p→q)Ʌ(q→p)] Definición del bicondicional (~pV~q)V[(~pVq)Ʌ(~qVp)] Definición del condicional [(~pV~q)V(~pVq)]Ʌ[(~pV~q)V(~qVp)] Ley distributiva [(~pV~p)V(~qVq)]Ʌ[(~pVp)V(~qV~q)] Ley asociativa [~pV V]Ʌ[V V~q] Idempotencia y complemento V Ʌ V Identidad V Conjunción

3. Sean 𝑝, 𝑞, 𝑟 proposiciones, supongamos que 𝑝 es verdadera, 𝑞 es falsa y 𝑟 es verdadera; determine el valor de verdad de la siguiente proposición: [𝑝 ∨ (∼ 𝑞)] ↔ [𝑞 ∧ 𝑟]. [p V (~ q)] ↔ [q Ʌ r] V V V F F F F V 1 3 2 1 4 1 3 1

4. Si 𝑝 es falsa, 𝑞 es verdadera y (𝑝 ∧ 𝑞) ↔ [𝑞 ∧ (∼ 𝑟)] es verdadera; determine el valor de verdad de la proposición 𝑟. (p Ʌ q) ↔ [q Ʌ [q Ʌ (~ r) ] F F V V V F V F F V 1 4 1 5 1 4 1 3 2 1 5. Sean 𝑝, 𝑞, 𝑟 proposiciones. Obtenga la negación de la proposición siguiente. Exprese el resultado solo con los tres conectores fundamentales (𝑝 → 𝑞) ↔ (∼ 𝑞 ∧ 𝑟) (¬p V q) ⟷ (¬ q Λ r) Def. de condicional [(¬p V q) ⟶ (¬ q Λ r)] Λ [(¬ q Λ r) ⟶ (¬p V q)] Def. Bicondicional [¬(¬p V q) V (¬ q Λ r)] Λ [¬(¬ q Λ r) V (¬p V q)] Def. Condicional [(p Λ ¬q) V (¬ q Λ r)] Λ [(q V ¬r) V (¬p V q)] De De Morgan {[(p Λ ¬q) V ¬ q] Λ [(p Λ ¬q) V r]} Λ [(q V q) V (¬ r V ¬ p) Distr. Y Asoc. {¬ q Λ [(p Λ ¬q) V r]} Λ [q V (¬ r V ¬ p)] Absorción e Idemp. {[¬ q Λ (p Λ ¬q)] V (¬ q Λ r)} Λ [q V (¬ r V ¬ p)] Distrib. {¬ q V (¬ q Λ r)} Λ [q V (¬ r V ¬ p)] Asociat. ¬ q Λ [q V (¬ r V ¬ p)] Absor. (¬ q Λ q) V [¬ q Λ (¬ r V ¬ p)] Distr. F V [¬ q Λ (¬ r V ¬ p)] Complem. ¬ q Λ (¬ r V ¬ p) Identidad ¬ q Λ ¬(r Λ p) De De Morgan ¬ [q V (r Λ p)] De De Morgan ¬{¬ [q V (r Λ p)]} Negación de la prop. q V (r Λ p)

6. Demuestre la siguiente equivalencia lógica, no use tablas de verdad. 𝑝 → (𝑞 ∨ 𝑟) ≡ (𝑝 → 𝑞) ∨ (𝑝 → 𝑟) (𝑝 → 𝑞) ∨ (𝑝 → 𝑟) ≡ (~pVq)V(~pVr) ≡ Def. de condicional (~pV~p)V(qVr) Asociativa

~(p Ʌ p)V(qVr) ~pV(qVr) p→(qVr)

De De Morgan Idempotencia Def. condicional

7. Simplifique las siguientes proposiciones a su mínima expresión. [∼ (𝑝 → 𝑞) ∧ (∼ 𝑝)] ⟷ [𝑞 ⊻(𝑞 → (∼ 𝑝))] [∼ (∼𝑝 V 𝑞) ∧ (∼ 𝑝)] ⟷ [𝑞 ⊻ (∼𝑞 V ∼ 𝑝)] Def. de condicional [(p Λ ∼q) Λ ∼ p] ⟷ [q ⊻ ∼ (q ʌ p)] De De Morgan [(p Λ ∼ p) Λ ∼ q] ⟷ [(q ⊻ ∼ (q ʌ p)] Asociativa [F Λ ∼ q] ⟷ [(q ⊻ ∼ (q ʌ p)] Complemento F↔ [(q ⊻ ∼ (q ʌ p)] Identidad F↔ {[q V ∼ (q ʌ p)] ˄ ∼[q V ∼ (q ʌ p)]} Disyun. Exclusiva F ↔ {[q V ∼ (q ʌ p)] ˄ [∼q ˄ (q ʌ p)]} De De Morgan F ↔ {[ q V ∼ q V∼ p] ˄[∼q ˄ q ʌ p]} De De Morgan F ↔ {[ (q V ∼ q) V∼ p] ˄[(∼q ˄ q) ʌ p]} Asociativa F ↔ {[ V V∼ p] ˄[ Vʌ p]} Complemento F ↔ { V ˄ p} Identidad F↔p Identidad (F⟶p) ˄ (p ⟶ F) Bicondicional (∼F V p) ˄ (∼ p V F) Condicional (V V p) ˄ (∼ p V F) Negación V˄∼p Identidad ∼p Identidad 8. Determine el valor de 𝑝, si se sabe que ∼ 𝑞 es una contradicción de la siguiente tautología: (𝑝 ∨ (∼ 𝑞)) ∧ (∼ 𝑝 → 𝑞)

(p V

V V

¬ q) V

Λ V

(¬p F

⟶ V

q) V

9. Demuestre la validez de los siguientes razonamientos a) 𝑝 → 𝑞 b) ∼ (𝑟 ∧ (∼ 𝑠)) c) ∼ 𝑟 → 𝑝 d) ∼ 𝑠 Conclusión: 𝑞 e) ∼ 𝑟 V 𝑠 f) r ⟶ s g) ¬ r h) p i) q

De Morgan en b) de e) def. cond. MTT caso 1 entre f) y d) MPP entre c) y g) MPP entre a) y h)

10.¿Qué conclusión se deduce de la siguiente premisa? a) Si el Ecuador explotara su propio petróleo, entonces el Ecuador tendría mayores ingresos económicos. El Ecuador explota su propio petróleo.

p: El Ecuador explota su propio petróleo q: El Ecuador tendría mayores ingresos 1. p ⟶ q 2. p C. q MPP (El Ecuador tendría mayores ingresos) 11. Simbolice el siguiente razonamiento y de una deducción completa de la conclusión a) Cada número divisible por dos es par b) Cuatro o es impar o es un número divisible por dos c) Cuatro no es impar Conclusión: cuatro es par

P(x) ⟷ x es un número par, D(x) ⟷ x es divisible por dos, Z conjunto de los números enteros, entonces se escribe: 1. (∀𝑥 ∈ 𝑍)(𝑃(𝑥) → 𝐷(𝑥))

Premisa

2. ~𝑃(4) ⋁ 𝐷(4) Premisa 3. P(4) Premisa 4. 𝑃(4) → 𝐷(4) Definición condicional en 2 5. 𝐷(4) 4 es divisible por dos MPP 4 y 3 6. 𝑃(4) Premisa 1 12.Determine el valor de verdad de la siguiente proposición, y luego desarrolle su negación (∀𝑥 ∈ ℝ)(𝑥 + 4 ≥ 0) → (∃𝑥 ∈ ℝ)(2𝑥 - 5 < 0) x≥-4 ⟶ x < 5/2 F ⟶ V V NEGACIÓN: ¬ (∀𝑥 ∈ ℝ)(𝑥 + 4 ≥ 0) ˅ (∃𝑥 ∈ ℝ)(2𝑥 - 5 < 0) (∃𝑥 ∈ ℝ)(𝑥 + 4 < 0) ˅ (∀𝑥 ∈ ℝ)(2𝑥 - 5 ≥ 0) X 0) (6𝑥 − 4)(6𝑥 + 3) =0 6 2(3𝑥 − 2)3(2𝑥 + 1) =0 6 (3𝑥 − 2)(2𝑥 + 1) = 0 2 1 𝑥= ; 𝑥=− 3 2 Es falsa, porque la ecuación se cumple para un valor de x menor que cero. NEGACIÓN: ¬ [(∀𝑥 ∈ ℝ)¬(6𝑥2 - 𝑥 - 2 = 0) ˅ (𝑥 > 0)] (∃𝑥 ∈ ℝ)(6𝑥2 - 𝑥 - 2 = 0 ˄ ¬ (x > 0)) (∃𝑥 ∈ ℝ)(6𝑥2 - 𝑥 - 2 = 0 ˄ x ≤ 0)