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República Bolivariana de Venezuela Universidad Nacional Experimental Politécnica “Antonio José de Sucre” Vice-Rectorado “Luis Caballero Mejías” Asignatura: Controles Automáticos Sección 01

SISTEMAS DE CONTROL

Profesor: Juan Arrechedera

Integrantes: Nelson Correa Exp:200520668 Paola Rojas Exp:2011203068 Oscar Mas y Rubí Exp:2009200023

Caracas, septiembre del 2018

INTRODUCCIÓN

En este trabajo de investigación veremos la familia de controladores P, PI, PID que mostraron ser Importante en muchas aplicaciones y son los que más se utilizan en la industria. La acción de control proporcional constituye un amplificador con ganancia ajustable. La variable medida se resta de la entrada para formar una señal de error. Este tipo de acción de control no tiene en cuenta el tiempo por lo que es importante unirla con alguna parte de acción integral o derivativa. En algunos controladores lo que se utiliza es la banda proporcional que no es más que la modificación expresada en porcentaje de variación de entrada al controlador e(t), requerida para producir un cambio del 100%. Un sistema de control proporcional es un tipo de sistema de control de realimentación lineal. Dos ejemplos mecánicos clásicos son la válvula flotadora de la cisterna del aseo y el regulador centrífugo.

El Controlador proporcional-integral tiene como propósito disminuir y eliminar el error en estado estacionario, provocado por el modo proporcional. El control integral actúa cuando hay una desviación entre la variable y el punto de control, integrando esta desviación en el tiempo y sumándola.

La estructura de un controlador PID es simple, aunque su simpleza es también su debilidad, dado que limita el rango de plantas donde pueden controlar en forma satisfactoria (existe un grupo de plantas inestables que no pueden estabilizadas con ningún un miembro de la familia PID). Se estudiará los enfoques tradicionales al diseño de controladores PID. Las mejoras tales como el uso de un lazo de control PID ayudarían a compensar las variables adicionales como los picos, donde la cantidad de energía necesaria para un cambio de velocidad dada variaría.

CONTENIDO

SISTEMA DE CONTROL Un sistema de control se define como un “conjunto de componentes que pueden regular su propia conducta o la de otro sistema con el fin de lograr un funcionamiento predeterminado, de modo que se reduzcan las probabilidades de fallos y se obtengan los resultados buscados”.

El principio de todo sistema de control automático es la aplicación del concepto de realimentación o feedback (medición tomada desde el proceso que entrega información del estado actual de la variable que se desea controlar) cuya característica especial es la de mantener al controlador central informado del estado de las variables para generar acciones correctivas cuando así sea necesario. Este mismo principio se aplica en campos tan diversos como el control de procesos químicos, control de hornos en la fabricación del acero, control de máquinas herramientas, control de variables a nivel médico e incluso en el control de trayectoria de un proyectil militar.

Hay dos tipos de sistemas de control automático: de lazo abierto y de lazo cerrado. Los sistemas de control de lazo abierto son sistemas de control que se caracterizan por carecer de sensores que informen al sistema del estado en el que se encuentra. El proceso automatizado se hace siempre igual sin poder comprobar si se hace correctamente. Ejemplos: la luz de una escalera, un semáforo, etc.

Los sistemas de control de lazo cerrado son sistemas de control que se caracterizan por tener sensores que vigilan el proceso automatizado (por

ejemplo, encender y apagar una farola en función de la luz ambiental o el sistema de cisterna que permite dejar de llenarla cuando el agua ha alcanzado una determinada altura). Dichos sensores controlan la salida del sistema e incluyen dicha información en la entrada del sistema. La realimentación es un mecanismo por el cual una cierta proporción de la salida de un sistema se redirige a la entrada, con objeto de controlar su comportamiento”.

A continuación, se presenta el siguiente diagrama de bloque:

Figura 1 En la Figura 1 se presenta el diagrama de bloques de un sistema de control retroalimentado. Cada bloque representa una parte del proceso de control, que a continuación es explicada.

El bloque llamado PLANTA representa el proceso del sistema, tanques y tuberías cuyo nivel y flujo son precisamente las variables del proceso que se desean controlar.

El TRANSMISOR envía al controlador la magnitud de la variable del proceso a controlar.

El CONTROLADOR es el dispositivo que recibe datos de los transmisores de presión y los sensores de nivel, compara dichos valores con el de referencia y envía al actuador una señal de control correctiva.

El ACTUADOR recibe una orden del controlador, es la parte final del dispositivo de control que produce un cambio físico en el elemento final de control y en función de éste manipula una variable del proceso.

TIPOS DE CONTROLADORES

En un sistema con un sistema de control, según sea la forma en que conteste el actuador, distinguiremos distintos tipos de acciones de control, algunas de ellas solamente utilizarán acciones llamadas básicas, aunque lo más común es que respondan mediante una combinación de estas acciones básicas.

Figura 2

Controlador de acción Proporcional (P) En estos controladores la señal de accionamiento es proporcional a la señal de error del sistema. La Señal de error es la obtenida en la salida del comparador entre la señal de referencia y la señal realimentada.

Es el más sencillo de los distintos tipos de control y consiste en amplificar la señal de error antes de aplicarla a la planta o proceso.

La función de transferencia de este tipo de reguladores es una variable real, denominada Kp (constante de proporcionalidad) que determinará el grado de amplificación del elemento de control.

Si y(t) es la señal de salida (salida del controlador) y e(t) la señal de error (entrada al controlador), en un sistema de control proporcional tendremos:

Que, en el dominio de Laplace, será:

Por lo que su función de transferencia será:

Donde Y(s) es la salida del regulador o controlador, E(s) la señal de error y Kp la ganancia del bloque de control.

Figura 3

Teóricamente, en este tipo de controlador, si la señal de error es cero, también lo será la salida del controlador. La respuesta, en teoría es instantánea, con lo cual el tiempo no intervendría en el control. En la práctica, no ocurre esto, si la variación de la señal de entrada es muy rápida, el controlador no puede seguir dicha variación y presentará una trayectoria exponencial hasta alcanzar la salida deseada.

Figura 4

Figura 5

Controlador de acción Integral (I) La integral (algunas veces llamado reset o control flotante) es una acción de control que provoca un cambio en la señal de salida respecto del tiempo a una razón proporcional de la cantidad de error (la diferencia entre el valor de PV y SP). La acción integral del controlador responde a un error acumulado en el tiempo, cambiando la señal de salida tanto como se necesite para eliminar completamente el error. Si la acción proporcional (P) le dice a la salida tanto desplazarse cuando un error aparece, la acción integral (I) le dice a la salida que tan rápido moverse cuando un error aparece. Si la acción proporcional (P) actúa en el presente, la acción integral (I) actúa en el pasado. Por tanto, que tan rápido la señal de salida es controlada por la acción integral depende de la historia del error en el tiempo: cuanto error existió, y que duración. Cuando pensemos en “la acción integral” (I), pensemos en “impaciencia”: esta acción de control maneja la salida para aumentar y aumentar su valor conforme haya una diferencia entre PV y SP.

Matemáticamente, la acción integral se define como el cociente entre la velocidad de salida y el error de entrada: 

El valor integral (repeticiones por minuto) = Velocidad de Salida / Error de Entrada



El valor integral (repeticiones por minuto) = (dm/dt)/e

Una manera alternativa de expresar la acción integral es usar su unidad reciproca en “minutos por repetición”. Si definimos la acción integral en esos términos, la ecuación se definiría:



El valor integral (repeticiones por minuto) = Ti = Error de Entrada / Velocidad de Salida



El valor integral (repeticiones por minuto) = Ti = e / (dm/dt)

Por ejemplo, si un error de 5% aparece entre PV y SP entonces un controlador integral (solo integral) con un valor integrativo de 3 repeticiones por minuto (ó un tiempo integral de 0.333 minutos por repetición), la salida empezara a cambiar a una tasa de 15% por minuto (dm/dt = Valor Integral x e, o dm/dt = e/Ti). En múltiples controladores PI y PID, la respuesta integral también es multiplicada por la ganancia proporcional, entonces para las mismas condiciones del ejemplo anterior aplicado a un controlador PI (con ganancia de 2) resultaría que la salida cambiaría a una tasa de 30% por minuto (dm/dt = Valor Ganancia x Valor Integral x e, o dm/dt = Valor Ganancia x e/Ti). La dirección de este cambio en relación a la dirección (signo) del error depende si el controlador está configurado con una acción directa o reversa

El modo de control Integral tiene como propósito disminuir y eliminar el error en estado estacionario, provocado por el modo proporcional. El control integral actúa cuando hay una desviación entre la variable y el punto de consigna, integrando esta desviación en el tiempo y sumándola a la acción proporcional. El error es integrado, lo cual tiene la función de promediarlo o sumarlo por un período determinado; Luego es multiplicado por una constante I. Posteriormente, la respuesta integral es adicionada al modo Proporcional para formar el control P + I con el propósito de obtener una respuesta estable del sistema sin error estacionario.

El modo integral presenta un desfasamiento en la respuesta de 90º que sumados a los 180º de la retroalimentación (negativa) acercan al proceso a tener un retraso de 270º, luego entonces solo será necesario que el tiempo muerto contribuya con 90º de retardo para provocar la oscilación del proceso. > Se caracteriza por el tiempo de acción integral en minutos por repetición. Es el tiempo en que delante una señal en escalón, el elemento final de control repite el mismo movimiento correspondiente a la acción proporcional.

Figura 6 El control integral se utiliza para obviar el inconveniente del offset (desviación permanente de la variable con respecto al punto de consigna) de la banda proporcional.

La fórmula de la integral está dada por:

Ejemplo: Mover la válvula (elemento final de control) a una velocidad proporcional a la desviación respeto al punto de consigna (variable deseada).

Controlador de acción proporcional, integral y derivativa (PID) Es un sistema de regulación que trata de aprovechar las ventajas de cada uno de los controladores de acciones básicas, de manera, que, si la señal de error varía lentamente en el tiempo, predomina la acción proporcional e integral y, mientras que, si la señal de error varía rápidamente, predomina la acción derivativa. Tiene la ventaja de ofrecer una respuesta muy rápida y una compensación de la señal de error inmediata en el caso de perturbaciones. Presenta el inconveniente de que este sistema es muy propenso a oscilar y los ajustes de los parámetros son mucho más difíciles de realizar.

La salida del regulador viene dada por la siguiente ecuación:

Que, en el dominio de Laplace, será:

Y por tanto la función de transferencia del bloque de control PID será:

Donde Kp, Ti y Td son parámetros ajustables del sistema. La respuesta temporal de un regulador PID sería la mostrada en la figura siguiente:

Figura 6

Figura 7

Figura 8

Transformada de Laplace en sistemas de control Automático TRANSFORMADA DE LAPLACE

La Transformada de Laplace es una técnica Matemática que forma parte de ciertas transformadas integrales como la transformada de Fourier, la transformada de Hilbert, y la transformada de Mellin entre otras. Estas transformadas están definidas por medio de una integral impropia y cambian una función en una variable de entrada en otra función en otra variable. La transformada de Laplace puede ser usada para resolver Ecuaciones Diferenciales Lineales y Ecuaciones Integrales. Aunque se pueden resolver algún tipo de ED con coeficientes variables, en general se aplica a problemas con coeficientes constantes. Un requisito adicional es el conocimiento de las condiciones iniciales a la misma ED. Su mayor ventaja sale a relucir cuando la función en la variable independiente que aparece en la ED es una función seccionada.

Cuando se resuelven ED usando la técnica de la transformada, se cambia una ecuación diferencial en un problema algebraico. La metodología consiste en aplicar la transformada a la ED y posteriormente usar las propiedades de la transformada. El problema de ahora consiste en encontrar una función en la variable independiente tenga una cierta expresión como transformada.

En ingeniería es usual describir los sistemas lineales mediante sus funciones de transferencia en vez de con sus ecuaciones diferenciales de la forma. Por ejemplo, el siguiente sistema de control mediante retroalimentación, dado por el siguiente diagrama:

En este sistema buscamos obtener la solución transformada Y(z) mediante el siguiente proceso. Inicialmente obtenemos X(z) a partir del sistema dado por la función de transferencia F(z). La función X(z) se transforma en el sistema dado por G(z) obteniéndose S(z). Finalmente, E(z) = Y(z) — S(z), que a su vez vuelve a ser utilizada para obtener una nueva X (z) mediante el proceso dado por la función de transferencia F(z). Buscamos la función de transferencia.

Para ello utilizamos que:

Como:

De donde:

A partir de esta función de transferencia puede la estabilidad del sistema de control por retroalimentación planteado calculando los polos de T(z).

Por ejemplo, supongamos que:

Es inmediato ver que:

y resolviendo la ecuación:

Obtenemos como posibles raíces

por lo que el sistema

será inestable. Además, podemos expresar la ecuación diferencial lineal que define el sistema teniendo en cuenta que de donde:

Y definiendo:

Sabiendo como se construye la función de transferencia, tenemos que el sistema vendrá dado por las ecuaciones:

Para finalizar, podemos comprobar el carácter inestable del sistema de retroalimentación del ejemplo anterior considerando la función rampa.

cuya gráfica es:

Entonces su Transformada de Laplace es:

De donde la Transformada de Laplace de x viene dada por:

Obtenemos su Transformada inversa:

Donde:

De la función x en el intervalo [1, 20] es:

Lo cual ejemplifica la inestabilidad de este sistema concreto.

TRANSFORMADA DE LAPLACE EN UN CONTROL DE PROCESO DE UN SISTEMA MECÁNICO

Se comenzará planteando las ecuaciones que corresponden al comportamiento de este sistema:

Al aplicar la transformada de Laplace a estas últimas dos ecuaciones, se consigue:

Funciones Transferencia Del Sistema Y Diagrama De Bloque:

Conclusión En Este trabajo se mencionó varios conceptos de controladores Proporcional (P), Proporcional Integral (PI) y Proporcional Integral Derivativo (PID), utilizando modelado matemático, estos controladores son un sistema de regulación que trata de aprovechar las ventajas de cada uno de los controladores de acciones básicas, de manera de que, si la señal de error varía lentamente en el tiempo, predomina la acción proporcional e integral y, mientras que si la señal de error varía rápidamente, predomina la acción derivativa. Tiene la ventaja de ofrecer una respuesta muy rápida y una compensación de la señal de error inmediata en el caso de perturbaciones. Presenta el inconveniente de que este sistema es muy propenso a oscilar y los ajustes de los parámetros son mucho más difíciles de realizar.

Con un control proporcional, es necesario que exista error para tener una acción de control distinta de cero. Con acción integral, un error pequeño positivo siempre nos dará una acción de control creciente, y si fuera negativo la señal de control será decreciente. Este razonamiento sencillo nos muestra que el error en régimen permanente será siempre cero. Muchos controladores industriales tienen solo acción PI. Se puede demostrar que un control PI es adecuado para todos los procesos donde la dinámica es esencialmente de primer orden. Lo que puede demostrarse en forma sencilla.

Se mostraron algunas aplicaciones reales de la transformada de Laplace en sistemas de control y problemas mecánicos