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SISTEMAS DE CONTROL APLICADO NOTAS DE CÁTEDRA

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Ing. Walter J. D. Cova Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional La Rioja Departamento de Ingeniería Electrónica

Actualización Año Académico 2017

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO

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Prefacio Al escribir estas notas para las clases de Sistemas de Control Aplicado, lo hago con el objeto de exponer una presentación estructurada del contenido de la asignatura y facilitar al estudiante el acceso a la masa de conocimientos que se integran en la misma. Considero que es misión del docente formar a sus alumnos en las tendencias actuales de la especialidad, organizando su presentación de una manera que armonice con los conocimientos básicos previamente adquiridos y sea acorde con el nivel de profundización requerido en cada tema. Una consecuencia inmediata de este enfoque, es que los apuntes producidos manifiestan una tendencia al crecimiento y la evolución que los diferencian de los libros de texto. Las notas de clases no pueden de manera alguna sustituir a los textos, sino que constituyen un complemento didáctico para su estudio. En este sentido de complementariedad, los apuntes resultan un producto de la formación del docente, de sus experiencias y –¿porqué no?– de sus preferencias personales. Habiendo reconocido la inevitable componente subjetiva que opera sobre la exposición de los temas que integran estas notas, resulta justo, equitativo y saludable que el compilador brinde un balance de sus deudas intelectuales. En primer lugar y en el ámbito de las relaciones personales, vaya un respetuoso y agradecido recuerdo para los Profesores Gilberto A. Lamarque, Winfried Oppelt y Henning Tolle, quienes influyeron preponderantemente en mi vocación y formación de controlista. Y también un amistoso reconocimiento para mi colega y mentor, el ingeniero Edison Rosas Damonte, a quien debo el concepto de ‘utilizar la misma neurona para trabajar que para enseñar’, una bellamente sintética manera de indicar que no se deben enseñar cosas inútiles o, simétricamente, que estamos obligados a recordar en la práctica los enfoques teóricos sobre los que insistimos en clase. Cursos, conferencias y lecturas constituyen otra fuente de influencias en la orientación del docente. En este aspecto los textos de GillePellegrin-Decaulne, Oppelt, Houpis-Lamont, Tolle, Weber, Föllinger, Leonhard, Greensite, Csáki, Takahashi, Ogata, Ackermann, ÅströmHägglund, Doyle-Tannenbaum, Zhou, Celier, Doyle, Chiasson, Goodwin-Graebe-Salgado y Nise entre otros, han ejercido una

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innegable inflencia sobre mi formación y actualización profesional. La aparición y consolidación de Matlab y Simulink como herramientas de cálculo de amplia difusión en el ambiente científico y académico, reafirmaron mi interés en el modelado y simulación de sistemas y facilitaron su integración al núcleo de los trabajos prácticos de la asignatura. Recorriendo la información disponible en Internet para discernir unos contenidos actuales compatibles con el nivel de esta asignatura de grado, encontré una planificación similar en sus objetivos y alcances en los cursos de Técnicas de Control Discreto y No Lineal que se dictan en el Institut für Regelungstecknik de la Universidad Técnica de Braunschweig (Alemania), de donde se han extraído muchos ejemplos y enfoques didácticos incorporados a estas notas. Luego de exponer de quienes soy deudor, corresponde que asuma las responsabilidades que me alcanzan por los errores que pudieran haberse deslizado en la redacción de estas notas que, sin pretensiones de originalidad, se ponen a disposición de los alumnos de la asignatura. Será cordialmente agradecida la comunicación de errores detectados a la dirección electrónica [email protected]. La Rioja, Junio de 2017.

Ing. Walter J. D. Cova Departamento de Ingeniería Electrónica Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional La Rioja.

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Contenido Capítulo 1. COMPLEMENTOS de CONTROL CONTINUO. 1.1. Controlador PID. 1.2. Consideraciones de robustez. 1.2.1. 1.2.2. 1.2.3. 1.2.4.

Controladores con dos grados de libertad. Atenuación de perturbaciones. Variaciones del proceso. Ruidos de medición y saturación.

1.3. Diseño con 2 grados de libertad aplicando filtrado de ruidos. 1.3.1. Filtrado. 1.3.2. Asignación de peso al punto de ajuste.

1.4. Ajuste de parámetros mediante reglas empíricas. 1.4.1. Métodos de Ziegler-Nichols. 1.4.2. Reglas de Chien, Hrones y Reswick.

1.5. Ajuste de parámetros aplicando constante de tiempo equivalente. 1.5.1. Constante de tiempo equivalente. 1.5.2. Dimensionamiento en base a la constante de tiempo equivalente. 1.5.2.1. Dimensionamiento de otros controladores standard. 1.5.2.2. Comparación con las reglas empíricas.

1.6. Control en cascada. 1.6.1. 1.6.2. 1.6.3. 1.6.4.

Generalidades. Dimensionamiento de un control en cascada. Cálculo por aproximación. Control en cascada para una planta integradora. Método del óptimo simétrico. Consideraciones finales.

1.7. Interacción de integradores con actuadores saturables. 1.7.1. El problema del windup. 1.7.2. Solucionando el windup. 1.7.2.1. Limitación del Punto de Ajuste. 1.7.2.2. Algoritmos Incrementales. 1.7.2.3. Cálculo Retrógrado y Seguimiento. 1.7.2.3.1. Controladores con Modo de Seguimiento.

1.8. Controladores basados en modelos. 1.8.1. Diseño por compensación. 1.8.2. Controladores parametrizados. 1.8.2.1. Caso general. 1.8.2.2. Predictor de Smith.

1.9. Diseño por asignación de polos.

1.9.1. Ejemplo inicial. 1.9.2. Consideraciones para la asignación de polos. 1.9.3. Agregado de requerimientos. 1.9.3.1. Inclusión de integradores. 1.9.3.2. Cancelación de polos de la planta. 1.9.4. Aplicación al dimensionamiento de controladores PID.

1.10. Control por adelanto de señal.

1.10.1. Adelanto de perturbaciones. 1.10.2. Adelanto de la señal de comando.

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1.10.3. Seguimiento de modelo. 1.10.4. Generador de variables de comando. 1.10.5. Desacoplamiento de plantas multivariables. Ejemplo: Control de caudal y temperatura de una mezcla de líquidos.

Capítulo 2. CONTROLADORES IMPLEMENTADOS MEDIANTE PROCESADORES DIGITALES. 2.1. Generalidades sobre Control Digital.

2.1.1. Problemas derivados del muestreo. 2.1.2. Dispositivos de Retención. 2.1.3. Cuantificación (discretización de amplitud).

2.2. Modelos matemáticos de sistemas discretos. 2.2.1. 2.2.2. 2.2.3. 2.2.4.

Modelado de convertidores A/D y D/A. Descripción de un sistema discreto sencillo. Interconexión de sistemas muestreados. Relación entre la secuencia temporal y la posición de los polos de su transformada z.

2.3. Resolución de sistemas discretos.

2.3.1. Un sistema intrínsecamente discreto. 2.3.2. Respuesta de un sistema con componentes continuos. 2.3.3. Aplicación de la transformada z modificada a sistemas continuos con tiempo muerto.

2.4. Respuesta en frecuencia de los sistemas muestreados. 2.5. Espectro de una señal muestreada.

Capítulo 3. ESTABILIDAD DE SISTEMAS DISCRETOS. 3.1. Discretización de sistemas continuos.

3.1.1. Conversión a ecuación de diferencias de la ecuación diferencial de un elemento continuo. 3.1.2. Transformación z exacta. 3.1.3. Transformación z aproximada. 3.1.4. Comparación gráfica de las transformaciones z exacta y sus aproximaciones.

3.2. Análisis de estabilidad.

3.2.1. Definiciones y condiciones generales de estabilidad. 3.2.2. Condiciones numéricas de estabilidad. 3.2.2.1. Transformación bilineal. 3.2.2.2. Condiciones necesarias. 3.2.2.3. Condiciones suficientes. 3.2.2.4. Test de Jury. 3.2.3. Análisis gráfico de la estabilidad – Lugar de Raíces.

3.3. Análisis en estado de régimen.

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Capítulo 4. REALIZACIÓN DE CONTROLADORES DISCRETOS. 4.1. Métodos para el diseño de controladores discretos. 4.1.1. Diseño simplificado en el plano s. 4.1.2. Método completo en s. 4.1.3. Diseño directo en z. Método de compensación.

4.2. Efecto del tiempo finito de cálculo del procesador. 4.3. Realización práctica de controladores discretos.

4.3.1. Discretización de la ley de control PID. Enfoque aplicativo. 4.3.2. Aspectos Operativos. 4.3.3. Pseudocódigo de computadora.

4.4. Controladores para tiempo de respuesta finito.

Capítulo 5. SISTEMAS DISCONTINUOS Y NO LINEALES. 5.1. Empleo de elementos conmutantes en sistemas de control.

5.1.1. Introducción.. 5.1.2. Linealización por accionamiento periódico. Ejemplos de aplicación. 5.1.3. Lazos de control con elementos conmutantes. 5.1.4. Ejemplo de Análisis: controlador de dos estados y planta de primer orden con tiempo muerto 5.1.5. Presentación de un conmutador con doble realimentación

5.2. Controladores biestables. 5.2.1. Ejemplo de análisis. 5.2.2. Aplicaciones.

5.3. Conmutador triestable e integrador.

5.3.1. Linealización por actuación periódica. 5.3.2. Controlador triestable con frecuencia de conmutación mínima. 5.3.2.1. Conmutador sin realimentación. 5.3.2.2. Conmutador con realimentación complementaria.

Capítulo 6. ESTABILIDAD DE SISTEMAS NO LINEALES. 6.1. Introducción 6.2. Funciones descriptivas.

6.2.1. Cálculo de la función descriptiva de la no linealidad de saturación (limitador). 6.2.2. Característica de transferencia con saturación y zona muerta. 6.2.3. Elementos no lineales con histéresis. 6.2.4. Ejemplo de aplicación.

6.3. Criterios generalizados de estabilidad. 6.3.1. Normas de señales y de sistemas. Teorema de la ganancia pequeña. 6.3.2. El criterio de Popov. 6.3.2.1. Aplicación a una planta lineal de segundo orden. 6.3.2.2. Aplicación a una planta lineal de tercer orden. 6.3.3. Criterio del círculo (Tsypkin).

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Apéndice A - Tablas de transformadas de Laplace, transformadas z y z-modificada. Apéndice B - Propiedades de las transformadas z y z-modificada.

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1. Complementos de Control Continuo. Ampliando nuestros conocimientos sobre diseño de controladores lineales continuos, desarrollaremos en este capítulo algunas técnicas adicionales, considerando especialmente el caso –muy frecuente por cierto– en que no se cuenta con una caracterización analítica completa de la planta controlada.

1.1. Controlador PID. Estudiaremos inicialmente el problema de la determinación de los parámetros de un controlador PID. Para fijar la nomenclatura y las convenciones adoptadas, nos referiremos a la Fig. 1.1. El haber seleccionado justamente este tipo de controlador para su análisis no es caprichoso: un relevamiento publicado por Desbourough y Miller1 en 2002, realizado sobre más de 11.000 controladores en refinerías, industrias químicas y papeleras, arrojó como resultado que el 97% de ellos poseían estructura PID, reafirmándose así su difusión y vigencia a pesar de todos los avances teóricos y tecnológicos de los últimos 50 años.

r(t) +

e(t)

u(t) PID

y(t) Proceso

–

r(t) variable de referencia u(t) señal de control y(t) variable controlada e(t)=r(t)-y(t) error actuante

Fig. 1.1. Lazo de control realimentado.

El algoritmo teórico elemental del controlador PID es: t  1 de(t )  u (t )  K e(t )   e( ) d  Td  Ti 0 dt  

(1.1)

La señal de control resulta entonces igual a la suma de tres términos: el término P (que es proporcional al error), el término I (proporcional a la integral del error) y el término D (que es proporcional a la derivada del error). Los parámetros del controlador son la ganancia proporcional K, el tiempo de integración Ti y el tiempo de derivación Td. Decimos que (1.1) es una expresión puramente teórica, ya que incluye un término derivador puro, totalmente inadecuado en presencia de ruido en la medición de la variable controlada (más adelante retomaremos el tema). Los efectos de las acciones proporcional, integradora y derivadora se ilustran en las Figs. 1.2, 1.3 y 1.4 respectivamente en las que se muestran, para un proceso de tercer orden, las respuestas 1

L. Desbourough, R. Miller: Increasing customer value of industrial control performance monitoring – Honeywell’s experience. Sixth International Conference on Chemical Process Control, AIChE Symposium Series Number 326, vol. 98, 2002.

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temporales de y(t) para una variación en escalón unitario de la variable de referencia o punto de ajuste (en inglés: set-point).



Fig. 1.2. Simulación de un sistema a lazo cerrado con control proporcional. La función de transferencia del proceso es P(s)=1/(s+1)3.

Con control puramente proporcional, el error en estado de régimen disminuye cuando K aumenta, pero el sistema se hace más oscilatorio.



Fig. 1.3. Simulación de un sistema a lazo cerrado con control proporcional-integrador (PI). La función de transferencia del proceso es P(s)=1/(s+1)3 y la ganancia del controlador es K=1.

Al agregar la componente integradora comprobamos que su efecto se incrementa a medida que Ti disminuye. En la Fig. 1.3 observamos que el error de régimen desaparece. La tendencia a la oscilación crece a medida que Ti se va haciendo más pequeño.

Fig. 1.4. Simulación de un sistema a lazo cerrado con controlador PID. La función de transferencia del proceso es P(s)=1/(s+1)3 y los restantes coeficientes se indican.

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La Fig. 1.4 muestra el efecto derivador. Los parámetros K y Ti elegidos hacen oscilatorio (con Td nulo) al sistema de lazo cerrado (con un período de aproximadamente 6 segundos) . A medida que crece Td aumenta el amortiguamiento, pero éste vuelve a decrecer si Td se hace demasiado grande. Teniendo en cuenta que la acción derivadora puede interpretarse como una predicción basada en una extrapolación lineal durante el tiempo Td, vemos que esa predicción resulta inútil si Td se hace grande respecto del período de oscilación no amortiguado. La relación de Td con la dinámica del sistema se explicita en la Fig. 1.5.

e(t)

epredic.  Td

2

de(t ) dt

1

Td Td t

everdadero  e(t  Td )  e(t )

Fig. 1.5. Se compara el efecto predictivo de la acción derivadora y su relación con la dinámica del sistema. La predicción (1) es aceptable, mientras que la (2) no lo es, debido al empleo de un valor excesivamente prolongado para Td.

1.2. Consideraciones de Robustez. Con la finalidad de incorporar las definiciones necesarias para nuestro estudio, picotearemos algunas migajas conceptuales en los terrenos del Control Robusto. Para ello, expandiremos el lazo de control elemental de la Fig. 1.1 detallando la estructura general del controlador y las perturbaciones y ruidos que inciden sobre el proceso y las variables controladas.

d

r F



e

u C



n

v

x P

–1 Controlador

Proceso

Fig. 1.6. Diagrama en bloques de un sistema de control realimentado.



y

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 1 - pág. 1-4

En la Fig. 1.6 el proceso P se encuentra sometido a diversas perturbaciones: la perturbación de carga d (que representan aquellos efectos que apartan al proceso de su comportamiento deseado) y el ruido de medición n. La variable de proceso x es la verdadera variable física que se desea controlar, pero el control se basa en la señal medida y que se encuentra corrompida por el ruido n. El controlador se muestra dividido en dos partes: el compensador de realimentación C y el compensador por adelanto (feedforward) F, también llamado filtro de comandos. El proceso es influido por el controlador a través de la variable de control u. En conjunto, estamos en presencia de un sistema de tres entradas (u, d, n) y una salida (y). En la Fig. 1.6 se muestra la perturbación de carga actuando a la entrada del proceso, pero en realidad la perturbación puede ingresar al proceso en una multitud de maneras diferentes, habiéndose adoptado la representación mostrada a los efectos de evitarnos innecesarias complicaciones. La atenuación de perturbaciones es a menudo el objetivo primario del control. Las perturbaciones de carga son señales que pertenecen típicamente al rango de las bajas frecuencias. El ruido de medición por su parte posee componentes de alta frecuencia con valor medio nulo e introduce errores en los valores de la variable controlada. Haciendo un resumen de las consideraciones generales de diseño para un controlador, podemos formular los requerimientos básicos:  Estabilidad  Capacidad de seguir señales de referencia  Reducción de los efectos de perturbaciones de carga  Reducción de los efectos del ruido de medición  Rechazo de variaciones de parámetros del proceso y/o incertezas en el modelo empleado. Dependiendo de la aplicación específica, uno o más de los requerimientos indicados prevalecerá o prevalecerán sobre los restantes. El sistema realimentado de la Fig. 1.6 posee, como dijimos, tres entradas: r, d y n que afectan a tres variables u, x e y que son de gran interés para el sistema de control. Suponiendo al sistema lineal existen entonces nueve relaciones expresables como funciones de transferencia entre las variables de entrada y las de salida. Si con X, Y, U, D, N, R representamos las transformadas de Laplace de x, y, u, d, n, r, dejando de lado el argumento complejo s en beneficio de la sencillez, podemos escribir P PC PCF D N R 1  PC 1  PC 1  PC P 1 PCF Y D N R 1  PC 1  PC 1  PC PC C CF U  D N R 1  PC 1  PC 1  PC X

(1.2)

Observamos en (1.2) que varias de las funciones de transferencia son iguales y que todas las relaciones están expresadas como combinaciones del siguiente conjunto de seis funciones, al que designaremos como el «Sexteto Mayor».

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 1 - pág. 1-5

PCF 1  PC CF 1  PC

PC 1  PC C 1  PC

P 1  PC 1 1  PC

(1.3)

Las funciones de transferencia de la primera columna determinan las respuestas de la variable de proceso (x) y la variable de control (u) al set-point (r) o variable de comando. La segunda columna da las mismas señales para el caso de realimentación pura de error (F=1). La función P /(1  PC ) en la tercera columna define la reacción de la variable de proceso (x) a una perturbación de carga (d), mientras que C / (1 P C ) da la respuesta de la señal de control al ruido de medición. El sistema con F=1 se denomina control de realimentación de error puro. En este caso el sistema queda completamente caracterizado por el «Cuarteto» de funciones de transferencia:

1 1  PC PC 1  PC P 1  PC C 1  PC

función de sensibilidad función de sensibilidad complementaria (1.4)

función de sensibilidad a la perturbacion de carga función de sensibilidad al ruido

Los nombres de las funciones integrantes del Cuarteto se deducen a partir de considerar la función de transferencia de lazo cerrado (T) del sistema y de la variación que sufre si la planta (P) experimenta una pequeña perturbación alrededor del valor nominal de sus parámetros: T

PC ; 1  PC

dT 

C

1  PC 

2

dP

(1.5) dT 1 dP  T 1  PC P

 S

dT T 1  dP P 1  PC

La función de sensibilidad S permite entonces expresar la variación relativa de la función de transferencia de lazo cerrado ante pequeñas variaciones del proceso. De acuerdo a las (1.5) tenemos que (1.6) S T 1 razón por la cual a la función de transferencia de lazo cerrado (T) se la suele denominar también función de sensibilidad complementaria. Algo que no debe perderse nunca de vista es que la estabilidad de funcionamiento del sistema, implica que cada una de las seis funciones de transferencia integrantes del sexteto mayor habrá de ser individualmente estable.

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 1 - pág. 1-6

1.2.1. Controladores con Dos Grados de Libertad. Antes de adentrarnos en consideraciones de diseño, dejemos aclarado que el diagrama en bloques de la Fig. 1.6 que adoptamos como representación estandarizada, es totalmente equivalente a otras configuraciones posibles. Así por ejemplo, el clásico esquema de adelanto de la señal de comando de la Fig. 1.7 puede ser llevado a la forma de la Fig. 1.6 si imponemos F=A/C.

r

d

A e

C



u



n

v

P

x



y

–1 Controlador

Proceso

Fig. 1.7. Realización alternativa para el feedforward.

Decimos que el controlador de la Fig. 1.6 posee dos grados de libertad porque el bloque C forma parte del lazo cerrado, mientras que el bloque F es exterior al mismo. Este hecho posibilita una atractiva subdivisión del problema de diseño: así C puede ser proyectado para proporcionar el debido rechazo de las perturbaciones de carga e incertezas en el proceso, mientras que F es dimensionado para lograr una buena respuesta a las señales de referencia. El diseño de C solamente considera el cuarteto, mientras que en el proyecto de F intervienen las dos funciones de transferencia restantes que completan el sexteto mayor. Para describir al sistema con propiedad, es entonces necesario mostrar las respuestas de las seis funciones de transferencia, cosa que hemos hecho en las figuras siguientes, donde mostramos las respuestas al escalón y las respuestas en frecuencia de cada integrante del sexteto. Las respuestas temporales de la Fig. 1.8 muestran que el feedforward mejora sustancialmente el tiempo de respuesta. El tiempo de respuesta es notablemente menor, 4s contra 25s, sin sobrepasamiento (comparar Fig. 1.8.a. con 1.8.b.). Esto también se refleja en las curvas de respuesta en frecuencia, que muestran (Fig. 1.9.a.) un mayor ancho de banda sin pico de resonancia para la función de transferencia con adelanto de señal (comparar con 1.9.b.). Las funciones de transferencia CF/(1+PC) y C/(1+PC) representan la transmisión de señal de la variable de referencia a la variable de control, y del ruido de medición a la variable de control, respectivamente. La respuesta temporal de la Fig. 1.8.d, demuestra que la reducción del tiempo de respuesta que se logra por adelanto de señal, requiere un esfuerzo de control substancial. El valor inicial de la variable de control se encuentra fuera de escala en 1.8.d. pero la respuesta en frecuencia 1.9.d. muestra que la ganancia de alta frecuencia para CF/(1+PC) es 16, que debe ser comparado con el valor 0.78 para C/(1+PC). La respuesta rápida requiere entonces señales de control considerablemente mayores. Independientemente del valor que tome la función de transferencia del bloque de adelanto de señal (feedforward), la Fig. 1.8.c. nos informa que el rechazo a un escalón de perturbación de carga se completará en aproximadamente 20 a 25 segundos.

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 1 - pág. 1-7

d

r F



e

u



C

n

v

x P



y

–1 Controlador

Proceso

X Y ; R R

U  X ; D N

U R

X Y ; D D

Y N

U N

Fig. 1.8. Respuestas al escalón del sexteto. El proceso es P(s)=1/(s+1)4. El controlador aplicado es PI con K=0.775, Ti=2.05. El bloque F de adelanto de señal se ha diseñado para obtener la función de transferencia 1/(0.5s+1)4 de la entrada r a la salida y.

X ; R

Y R

U ; D

U N

X N

X ; D

Y D

Y N

U R

Fig. 1.9. Respuestas en frecuencia del sexteto, para la misma situación representada en la Fig. 1.8.

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 1 - pág. 1-8

El hecho que se necesitan 6 relaciones para capturar la totalidad de las propiedades de un lazo básico de control es a menudo pasado por alto en la literatura, reduciéndose muchas publicaciones a mostrar tan sólo la respuesta de la variable del proceso a cambios en el punto de ajuste, brindando una información muy parcializada del comportamiento del sistema. Ilustraremos lo expresado mediante un ejemplo. Sea el proceso caracterizado por la función de 1 transferencia que es controlado por realimentación pura de error P( s )  ( s  1)( s  0.02) 50s  1 empleando el compensador PI , resultando la función de transferencia de lazo C ( s)  50s 1 abierto L( s)  . s( s  1) La Fig. 1.10 muestra que las respuestas a un escalón de la variable de referencia son muy aceptables. Basados en estas respuestas podríamos ceder a la tentación de dar el diseño por bueno. Para explorar nuestro sistema algo más en profundidad, debemos calcular el cuarteto ya que F=1.

PC 1  2 ; 1  PC s  s  1

P s  ; 1  PC ( s  0.02)( s 2  s  1)

C ( s  0.02)( s  1)  ; 1  PC s2  s  1

1 s( s  1)  2 ; 1  PC s  s  1

Obsérvese que el polo del proceso ubicado en s = –0.02 es cancelado por el cero del controlador PI. Esto hace que la función de transferencia de lazo abierto sea de segundo orden aunque el sistema de lazo cerrado es de tercer orden, con la ecuación característica (s  0.02)(s 2  s  1)  0 .

Fig. 1.10. Respuestas a un escalón de la variable de referencia.

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 1 - pág. 1-9

La presencia del polo lento s = –0.02 en la función de transferencia P/(1+PC), da por resultado que la respuesta a una perturbación en la carga decaiga muy lentamente, según e -0.02t. El controlador PI no responderá a la señal e -0.02t porque el cero en s = –0.02 bloqueará su transmisión. Esto se ve con claridad en la Fig. 1.11 en la que se observa que una perturbación de carga es rechazada en aproximadamente 200 segundos. El comportamiento ilustrado es típico de la cancelación de polos y ceros, y corresponde a la excitación de un modo observable pero no controlable en el sistema de lazo cerrado. Surgen aquí algunos de los interrogantes que iremos respondiendo a lo largo de nuestro curso: ¿cuáles son las condiciones de controlabilidad y observabilidad de un sistema dinámico? ¿Cómo influyen estas condiciones en el diseño de los controladores?

Fig. 1.11. Respuestas a un escalón de perturbación de carga.

1.2.2. Atenuación de Perturbaciones. A efectos de discutir la influencia de las perturbaciones y su atenuación, consideraremos la operación a lazo abierto y a lazo cerrado del sistema de la Fig. 1.6 haciendo nula la señal de referencia (r = 0). A lazo abierto la salida del sistema vale Ya  P(s) D(s)  N (s)

(1.7)

mientras que, cerrando el lazo, es Yc 

P ( s ) D( s )  N ( s )  S ( s)  P( s) D( s)  N ( s)  S (s) Ya 1  P( s ) C ( s )

(1.8)

La atenuación de perturbaciones puede entonces visualizarse mediante la curva de Bode de S(j). La frecuencia más baja donde la función de sensibilidad tiene módulo 1 se denomina frecuencia de cruce de la sensibilidad cs.

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 1 - pág. 1-10

El módulo máximo de la sensibilidad

M s  max S ( j )  max 



1  S ( jms ) 1  P( j ) C ( j )

(1.9)

es un parámetro importante ya que define la máxima amplificación de las perturbaciones. Ese máximo ocurre para la frecuencia ms.

Fig. 1.12. Diagrama de Bode de la f.t. de sensibilidad correspondiente al sistema de la Fig.1.8. Se explicitan módulo máximo, frecuencia del máximo y frecuencia de cruce de sensibilidad.

La función de sensibilidad puede ser escrita en la forma S ( s) 

Fig. 1.13. Diagrama de Nyquist de la función de transferencia de lazo abierto correspondiente al sistema de la Fig. 1.8.

1 1  1  P ( s ) C ( s ) 1  L( s )

(1.10)

y como solamente depende de la función de transferencia de lazo abierto L(s), puede ser visualizada en el diagrama de Nyquist de L(j). El número complejo 1+L(j) es representado por el vector trazado desde el punto –1 al punto L(j) sobre la curva de Nyquist (Fig. 13). La sensibilidad es entonces menor que 1 para todos los puntos exteriores al círculo de radio unitario centrado en –1. Las perturbaciones correspondientes a estas frecuencias son atenuadas por efecto de la realimentación.

1.2.3. Variaciones del Proceso. Los sistemas de control se diseñan sobre la base de modelos simplificados de los procesos, cuya dinámica puede variar durante la operación. La sensibilidad del sistema de lazo cerrado ante variaciones en la dinámica del proceso controlado, constituye un aspecto crucial del diseño. El riesgo de inestabilidad es el principal peligro en los sistemas realimentados, por lo que resulta de interés investigar si las variaciones del proceso pueden desencadenarla. Las funciones de

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sensibilidad brindan en este aspecto informaciones de suma utilidad. La Fig. 1.13 muestra que la mayor sensibilidad está dada por la recíproca de la menor distancia entre la curva de Nyquist de la función de transferencia de lazo abierto y el punto crítico –1 + j0. La función de sensibilidad complementaria también resulta de utilidad para evaluar las variaciones admisibles en el proceso. Sea un sistema realimentado con un proceso P y controlador C, cuyo diagrama de Nyquist de lazo abierto se muestra en la Fig. 1.14. Si el proceso varía de P a P+P la función de lazo abierto cambia de PC a PC+CP como se ilustra en la figura. La distancia del punto crítico al punto L es |1+L|. Esto significa que la curva de Nyquist perturbada no alcanzará el punto crítico –1 en tanto se cumpla |CP| < |1+L|. Esta condición debe ser válida para todos los puntos sobre el diagrama de Nyquist. La condición de estabilidad puede ser reescrita de la manera siguiente si en la desigualdad precedente dividimos ambos miembros por | PC | : P( j ) 1 (1.11)  P( j ) T ( j )

También se requiere que la perturbación P(s) sea una función de transferencia estable a fin de satisfacer la condición de rodeos de Nyquist. La condición (1.11) es conservadora ya que de la Fig. 1.14 se deduce que la perturbación crítica es la que se produce en la dirección hacia el punto –1. Resultan entonces admisibles perturbaciones mayores en otras direcciones. La fórmula (1.11) explicita una de las razones por las cuales los sistemas realimentados funcionan tan bien en la práctica. La Ec.(1.11) implica que el sistema a lazo cerrado será estable ante variaciones sustanciales en la dinámica del sistema. Una estimación conservadora de las variaciones admisibles en el proceso que no originarán inestabilidad está dada por: P( j ) P( j )



Fig. 1.14. Diagrama de Nyquist de la función nominal de lazo abierto y la incerteza originada en la variaciones P del proceso.

1 Mt

donde Mt es el mayor valor de la sensibilidad complementaria

M t  max T ( j )  max 



P( j ) C ( j ) 1  P( j ) C ( j )

(1.12)

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Vemos que el valor de Mt es influido por el diseño del controlador, o viceversa: si se conoce el rango de variación a que puede estar sometida la función de transferencia del proceso, resultará posible calcular el controlador prefijando un margen de estabilidad aceptable.

Fig. 1.15. Diagrama de Nyquist de la f.t. de sensibilidad complementaria T(j) correspondiente a la Fig. 1.9.b. Los círculos muestran las regiones de incerteza |P|=1/|T| calculadas para el controlador PI con K=0.775 y Ti =2.05 en las frecuencias angulares  =0, 0.46, 0.75 y 1.

La Fig. 1.15 muestra el trazado de Nyquist de T(j) del sistema considerado en nuestro ejemplo, junto con los círculos que acotan las regiones de incerteza para algunas frecuencias de interés. Observamos que en nuestro caso Mt se hace máxima para  = 0.46 que es donde se produce el mínimo de la variación |P| admisible para la planta. La situación ilustrada es típica de muchos procesos, donde se requiere una buena aproximación a la función de transferencia de la planta (es decir baja incerteza) en las cercanías de la frecuencia de cruce de lazo abierto, siendo admisibles elevados valores de incerteza a frecuencias superiores e inferiores. Una consecuencia práctica de lo dicho es que un simple modelo que describa correctamente la dinámica del proceso en las cercanías de la frecuencia de cruce, resulta suficiente para el diseño. Una excepción a esta regla la constituyen los procesos que poseen resonancias múltiples, ya que su función de transferencia puede poseer ganancias elevadas también en altas frecuencias. Hemos podido constatar que la función de sensibilidad S y la función de sensibilidad complementaria T brindan mucha información acerca del comportamiento del sistema realimentado. Resulta de acuerdo a las ecuaciones (1.5) y (1.8) que es conveniente un bajo valor de la función de sensibilidad, y se deduce de (1.11) que un bajo valor de la sensibilidad complementaria vuelve admisible una incerteza elevada para el proceso. Dado que, de acuerdo a la (1.6) es S ( s)  T ( s)  1

deducimos que S y T no pueden ser simultáneamente pequeñas. La función de transferencia de lazo abierto L(s) posee típicamente valores elevados para baja frecuencia y se aproxima a cero a medida que s tiende a infinito. En consecuencia S es típicamente de valor reducido para s pequeño, y tiende a 1 para s elevado. Recíprocamente T es 1 para s 0 y se anula cuando s .

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 1 - pág. 1-13

Salvo para procesos muy particulares, la función de sensibilidad S no puede ser hecha pequeña sobre un rango extendido de frecuencias. Para sistemas de control típicos, existen restricciones muy severas sobre la función de sensibilidad. Bode demostró que si la función de transferencia de lazo abierto posee pk polos en el semiplano derecho y tiende a cero con mayor rapidez que 1/s para altas frecuencias, la función de sensibilidad satisface la siguiente integral:





0



log S ( j ) d   log 0

1 d    Re  pk  1  L( j ) k

(1.13)

esta expresión demuestra que si se hace pequeña para algunas frecuencias a la función de sensibilidad, ésta debe incrementarse para otras frecuencias. Lo que significa que si la atenuación de perturbaciones mejora en un cierto rango de frecuencias, necesariamente deberá empeorar en otro rango (efecto colchón de agua). Para funciones de lazo abierto sin polos en el semiplano derecho, la (1.13) se reduce a





0

log S ( j ) d  0

(1.14)

esta fórmula posee una simple interpretación geométrica que se muestra en la Fig. 1.16: el área por arriba del eje horizontal debe se exactamente igual al área por debajo del eje. Para una demostración de las integrales de Bode, se recomienda el texto2 de Lewis.

Fig. 1.16. Interpretación geométrica de la integral (1.14).

Podemos considerar al pico de sensibilidad como un indicador de estabilidad más compacto que los márgenes de ganancia y de fase. Con referencia a la Fig. 1.16b, el margen de ganancia indica el valor de la ganancia adicional que llevaría al sistema de lazo cerrado a la condición de inestabilidad. El margen de fase cuantifica el retardo de fase puro que debiera ser adicionado para alcanzar la misma condición crítica. Nótese que es muy fácil concebir un ejemplo donde tanto el margen de ganancia como el de fase sean buenos, pero con un pico de sensibilidad muy grande, lo que indicaría una condición delicada de estabilidad. 2

A.D. Lewis: A Mathematical Approach to Classical Control. Queen’s University, Dept. Of Mathematics & Statistics. Kingston, Canada. Update 22/10/2004.

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 1 - pág. 1-14

1/MG

MF C

Fig. 1.16b. Márgenes de ganancia y de fase, comparación con MS.

1.2.4. Ruidos de Medición y Saturación. Dado un sistema con realimentación de error puro (de un solo grado de libertad), resulta intuitivamente razonable afirmar que una respuesta rápida al comando requiere de un controlador con elevada ganancia. Pero cuando el controlador tiene alta ganancia, también el ruido de medición es amplificado e inyectado al sistema, lo que ocasionará variaciones en la señal de control y en la variable controlada. Es preciso que las fluctuaciones así originadas en la señal de control no sean tan grandes como para ocasionar una saturación del actuador. Dado que el ruido de medición es típicamente de alta frecuencia, éste y la saturación del actuador proporcionan una cota superior a la ganancia del controlador en alta frecuencia, limitando en consecuencia la rapidez de respuesta del sistema. Existen muchas fuentes de ruido de medición: el ruido puede ser inherente a la naturaleza del sensor o puede ser originado por la electrónica asociada. En sistemas controlados por computadora es también causado por la resolución de los convertidores A/D y D/A. Considérese un sistema controlado por computadora, con convertidores analógico-digitales y digitalesanalógicos de 12 bits. Como 12 bits corresponden a 4096, se infiere que para una ganancia de alta frecuencia del controlador Mc=4096 un bit de error de conversión dará por resultado un cambio de rango completo en la señal de control. Para un sistema razonable se requiere que las fluctuaciones en la señal de control debida a los errores de medición no superen el 5% del rango de señal. Esto significa que para nuestro ejemplo, la ganancia de alta frecuencia del controlador deberá restringirse a 200. Los análisis precedentemente efectuados sobre rechazo de perturbaciones, variaciones en el proceso controlado, ruidos de medición y saturación, contribuyen en conjunto a subrayar las ventajas inherentes al diseño de controladores con dos grados de libertad, donde resulta posible separar los problemas de la respuesta al comando, del rechazo a la perturbación de carga y la

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 1 - pág. 1-15

sensibilidad a variaciones en los parámetros del proceso. Así, teniendo en cuenta las expresiones (1.3), el proceso de diseño puede ser dividido en dos pasos independientes:  

En primer término diseñar el controlador de realimentación C que reduzca los efectos de las perturbaciones de carga (PS) y la sensibilidad a variaciones del proceso, sin introducir demasiado ruido de medición al sistema (CS). Luego diseñar la función de transferencia de adelanto de comando que proporcione la respuesta deseada al punto de ajuste (FT).

Por cierto que si el ruido de medición se convierte en un factor condicionante, no deberá perderse de vista la alternativa de cambiar los sensores por otros de mejor calidad a fin de superar el problema.

1.3. Diseño con 2 Grados de Libertad aplicando Filtrado de Ruidos. 1.3.1. Filtrado. Como la diferenciación es muy sensible al ruido, la forma de la función de transferencia que se deduce de la expresión (1.1) debe ser modificada a fin de limitar la ganancia de alta frecuencia del término derivativo, mediante el uso de un filtro. Si se emplea un filtro de primer orden se tendrá para la función de transferencia entre la variable medida y y la salida del controlador u (véase la Fig. 1.6):   sTd 1 C ( s )   K 1   (1.15)  sT 1  sT N i d   este controlador posee la ganancia de alta frecuencia lim C (s)   K (1  N ) . s 

(1.16)

Teniendo en cuenta la anterior discusión sobre robustez ante variaciones del proceso, resulta altamente deseable que la ganancia del controlador sea decreciente en alta frecuencia (es decir que presente un ‘roll-off’), lo que se puede lograr mediante un acondicionamiento de la señal de control a través del filtro F ( s) 

1

1  sTf



n

(1.17)

donde Tf es la constante de tiempo y n es el orden del filtro empleado. Si la estructura del controlador es PID se elegirá Tf = Td /N ; si la estructura es tan sólo PI puede tomarse Tf = Ti /N Típicamente los valores de N se encuentran en el rango de 8 a 20. El controlador también puede ser implementado como   1 1 C ( s )   K 1   sTd  2  sTi  1  sTd N 

(1.18)

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 1 - pág. 1-16

Esta estructura posee la ventaja de permitir el uso de un proceso de diseño iterativo. Primero se calcula un controlador PID ideal para el proceso P(s). El diseño proporciona el valor del parámetro Td, a partir del cual se recalcula el controlador ideal pero ahora para el proceso P(s) (1  sTd / N )2 , lo que arrojará un nuevo valor de Td, y así sucesivamente. El procedimiento descripto brinda también una clara visión del compromiso que existe entre performance y filtrado.

1.3.2. Asignación de Peso al Punto de Ajuste. Al usar la ley de control (1.1), resulta claro que un cambio en escalón de la señal de referencia originará un impulso en la señal de control, situación que no es de manera alguna deseable en la mayoría de los casos. Por esta razón la acción derivativa frecuentemente no es aplicada sobre la señal de referencia. Otra posibilidad es que la acción proporcional sea aplicada tan sólo sobre una fracción de la señal de referencia. Esto se denomina asignación de peso al punto de ajuste. El controlador PID dado por (1.1) se convierte entonces en t  1  dr (t ) dy(t )   u (t )  K br (t )  y (t )   e( ) d  Td  c   T dt dt    i 0 

(1.19)

donde b y c son parámetros adicionales. El término integral debe depender del error a fin de proporcionar la respuesta deseada en estado de régimen. El controlador definido por (1.19) posee una estructura de dos grados de libertad ya que los caminos de señal de y a u y de r a u son diferentes, resultando las funciones de transferencia

  U ( s) 1  Cr ( s)  K  b   csTd  ; R( s ) sTi  

  U ( s) 1  C y ( s )   K 1   sTd  Y ( s)  sTi 

(1.20)

De acuerdo con la segunda de las (1.20), el controlador (1.19) reaccionará ante una perturbación en la carga de la misma manera que lo hace un controlador de un solo grado de libertad; la respuesta a cambios en la variable de referencia se verá influida por los parámetros b y c.

1 Ti s

– R(s)

b

c

+

– –

K

U(s)

Td s

Fig. 1.17a. Estructura del controlador con punto de ajuste

P( s )

Y(s)

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 1 - pág. 1-17

Fig. 1.17b. Respuesta a un escalón en la variable de referencia para diferentes factores de peso del punto de ajuste (b=0, 0.5, 1; c=0 ). Función de transferencia del proceso P(s)=1/(s+1)3. Los parámetros del controlador son K=3, Ti=0.5, Td=0.5 .

Obsérvese que el sobrepasamiento y el tiempo de respuesta dependen del factor de peso b. El valor de c es normalmente cero para evitar grandes transitorios en la señal de control debido a variaciones abruptas del punto de ajuste. El controlador (1.19), puede también ser realizado bajo la forma de un controlador PI-PD como se muestra en la figura siguiente: R(s) +

E(s)

U(s) PI

Y(s) Proceso

–

PI:

k’ + k’i /s

PD: 1 + k’d s PD

Fig. 1.18. Diagrama de bloques de un controlador PI-PD.

Nótese que la ganancia proporcional del controlador PD debe ser unitaria para obtener un error de régimen nulo. La relación de entrada-salida para el controlador completo vale ki' U ( s)  k R( s)   R( s)  Y ( s)  (k '  kd' ki' ) Y (s)  k 'kd' sY (s ) s '

Operando algebraicamente sobre (1.21) y comparando con (1.19) se deducen las equivalencias

(1.21)

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 1 - pág. 1-18

k '  kd' ki' k ' kd' k' K  k  k k ; Ti  ; Td  ' ; b ' ; ki' k  kd' ki' k  kd' ki' '

' ' d i

c  0.

Nótese que la estructura definida por (1.19) es ajustable de manera más sencilla, ya que los parámetros K, Ti, Td pueden ser determinados en primer término para compensar perturbaciones de carga, ruido de medición y variaciones del proceso. Una vez hecho ésto, se puede ajustar la respuesta a la variable de comando, seleccionando los valores de b y c. Los parámetros del controlador aparecen de un modo mucho más complicado en la estructura PI-PD.

1.4. Ajuste de parámetros mediante reglas empíricas. Cualquiera de los métodos generales de diseño pueden ser aplicados para el control PID. Una cantidad de reglas prácticas han sido desarrollados especialmente para los controladores PID y éstas son, en general, denominadas reglas de ajuste o sintonía (tuning). Ampliamente conocidos son los métodos desarrollados por Ziegler y Nichols3, que han marcado su influencia sobre la práctica del control de procesos por más de medio siglo. Si bien los resultados que brindan son moderadamente buenos, su difusión se debe a su extrema simplicidad, ya que se basan en la caracterización del proceso mediante unos pocos parámetros y el empleo de fórmulas de ajuste muy sencillas. 1.4.1. Métodos de Ziegler-Nichols.

Fig. 1.19. Caracterización de la respuesta al escalón según Ziegler-Nichols

Uno de los métodos de ajuste de Ziegler-Nichols se basa en la información obtenida acerca del proceso a partir de un ensayo de respuesta al escalón a lazo abierto. La respuesta y(t) es caracterizada por tan sólo dos parámetros: a y L que se determinan en base a la tangente de máxima pendiente a la curva y(t), tal como se muestra en la Fig. 1.19. Los parámetros para cada tipo de controlador definidos por Ziegler y Nichols en base al ensayo de lazo abierto, se muestran en la Tabla 1.1. En la misma tabla se muestra el valor estimado del período de oscilación Tp del sistema a lazo cerrado.

3

"Optimum Settings For Automatic Controllers" – es el nombre del paper original de J.G. Ziegler and N.B. Nichols y publicado en la edición de Noviembre de 1942 de las Transactions of the American Society of Mechanical Engineers. Un facsímil del original puede obtenerse accediendo a www.driedger.ca/Z-N/Z-n.pdf .

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 1 - pág. 1-19

Controlador P PI PID

K 1/a 0.9/a 1.2/a

Ti

Td

3L 2L

L/2

Tp 4L 5.7L 3.4L

Tabla 1.1. Parámetros de controladores según Ziegler-Nichols en base a la respuesta al escalón.

Un segundo método también desarrollado por Ziegler y Nichols se basa en una muy simple caracterización de la respuesta en frecuencia del proceso controlado. El diseño se funda en el conocimiento de un único punto del lugar de Nyquist del proceso: el punto donde P(j) corta por primera vez al eje real negativo, que corresponde a la frecuencia 180 (ver Fig. 1.20). Los parámetros de este punto pueden ser determinados experimentalmente de la manera siguiente: conéctese un controlador puramente proporcional cerrando el lazo del proceso e increméntese suavemente la ganancia hasta que el sistema comienza a oscilar. La ganancia para la cual ocurre esto es K0 y el período de oscilación que se registra es T0. Los parámetros del controlador sugeridos por Ziegler y Nichols son los que se consignan en la Tabla 1.2, donde también se indica un valor aproximado del período Tp del modo dominante de la respuesta del sistema a lazo cerrado.

Fig. 1.20. Caracterización de la respuesta en frecuencia según Ziegler-Nichols.

Controlador P PI PID

K 0.5 K0 0.4 K0 0.6 K0

Ti

Td

0.8 T0 0.5 T0

0.125 T0

Tp T0 1.4 T0 0.85 T0

Tabla 1.2. Parámetros de controladores según Ziegler-Nichols en base a la respuesta en frecuencia.

Las reglas de ajuste de Ziegler y Nichols fueron desarrolladas para brindar una buena atenuación de perturbaciones a lazo cerrado. Los métodos se basaron en simulaciones extensivas, y el criterio de diseño empleado es el conocido como atenuación de un cuarto de amplitud, es decir

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 1 - pág. 1-20

que la amplitud de una oscilación ha ser reducida en un factor de cuatro luego de transcurrido un período de la onda. Ésto corresponde a un factor de amortiguamiento =0.2 para los polos dominantes de lazo cerrado, lo que brinda una performance muy pobre.

Fig. 1.21. Comparación de los métodos de Ziegler-Nichols. El proceso es P(s)=e-2s/(1+s)4. La respuesta al escalón es la mostrada en la Fig. 1.19, y la curva de Nyquist es la de la Fig. 1.20. El controlador es PI. Se muestran las respuestas a un escalón en la variable de referencia para t =0 seg, seguido de una perturbación de carga en t =100 seg.

Contemplando la Fig. 1.21, se nos ocurre pensar que ningún ingeniero de control de la década de 1950 puede haberse sentido feliz con las respuestas temporales que obtenía al aplicar los métodos de Ziegler-Nichols. La pregunta que surge es: ¿qué razón subyacía y/o subyace a la popularidad de estos procedimientos, en vista de la tristeza que dimana de los resultados obtenidos de su aplicación? La respuesta es elemental: la sim-pli-ci-dad. Tanto el método de respuesta al escalón, como el basado en la respuesta en frecuencia, son sumamente fáciles de aplicar y los resultados obtenidos constituyen un punto de partida confiable, para que el ingeniero de planta ejercite la habilidad de sus neuronas, a fin de lograr mejoras palpables en la salida del proceso. 1.4.2. Reglas de Chien, Hrones y Reswick. Por cierto que no fueron Ziegler y Nichols los únicos en incursionar por el florido prado de las fórmulas sintéticas que pretenden brindar una panacea al problema de la sintonía de los lazos de control... Si damos una ojeada a la literatura del último medio siglo en esta área, nos encontramos con textos, como el enciclopédico de W. Oppelt4, donde se describen los métodos de: Cohen y Coon; Chien, Hrones y Reswick; Hazebroek y Van der Waerden; Oldenburg y Sartorius; Takahashi; Ziegler y Nichols; etc. Las reglas de Chien, Hrones y Reswick fueron desarrolladas en 1952 como consecuencia de intensivas simulaciones realizadas con la ayuda de computadoras analógicas. Presentan la ventaja de haber sido calculadas por separado para las respuestas al comando y a la perturbación de carga, encontrándose a su vez diferenciadas en reglas para respuestas aperiódicas y reglas para respuestas oscilatorias con 20% de sobrepasamiento frente a una excitación en escalón. Estas reglas se basan en caracterizar los procesos mediante los parámetros: ganancia estática Ke, máxima pendiente de la respuesta Ke/Ta y tiempo de retardo Tr, obtenibles de la respuesta al escalón (Fig. 1.22).

4

W. Oppelt: Kleines Handbuch Tecnischer Regelvorgänge. Verlag Chemie GmBH, Weinheim/Bergstr., 1972.

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 1 - pág. 1-21

Fig. 1.22. Respuesta al escalón unitario de un proceso y procedimiento empleado para determinar los valores de Ke, Ta y Tr.

Respuesta aperiódica de tiempo mínimo al escalón de comando

K

P

K

PI

PID

K

0.3 Ta  K e Tr

0.35 Ta  ; Ke Tr

0.6 Ta  ; Ke Tr

al escalón de perturbación

K

K

Ti  1.2 Ta

Ti  Ta ;

Td  0.5 Tr

K

0.3 Ta  K e Tr

0.6 Ta  ; Ke Tr

0.95 Ta  ; Ke Tr

Ti  4 Ta

Ti  2.4 Ta ;

Td  0.42 Tr

Tabla 1.3. Parámetros de controladores según CHR para respuesta aperiódica.

Respuesta oscilante con 20% de sobrepasamiento al escalón de comando

K

P

K

PI

PID

K

0.95 Ta  ; Ke Tr

al escalón de perturbación

0.7 Ta  K e Tr

0.6 Ta  ; K e Tr

K

Ti  Ta

Ti  1.35 Ta ;

Td  0.47 Tr

K

K

0.7 Ta  K e Tr

0.7 Ta  ; Ke Tr

1.2 Ta  ; Ke Tr

Ti  2.3Ta

Ti  2 Ta ;

Td  0.42 Tr

Tabla 1.4. Parámetros de controladores según CHR para respuesta oscilante con 20% de sobrepasamiento.

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 1 - pág. 1-22

A fines comparativos, los valores de ajuste para respuesta aperiódica y oscilante de las Tablas 1.3 y 1.4, han sido aplicados al mismo proceso P(s)=e-2s/(1+s)4 que utilizáramos al tratar los ajustes de Ziegler-Nichols, mostrándose los resultados para controladores PI en los gráficos de la Fig. 1.23.

Fig. 1.23. Conjunto de ajustes CHR. El proceso es P(s)=e-2s/(1+s)4. La respuesta al escalón es la mostrada en la Fig. 1.22, con los parámetros Ke=1; Tr=3.425seg; Ta=4.464seg. El controlador es PI. Se muestran las respuestas a un escalón en la variable de referencia para t =0 seg, seguido de una perturbación de carga en t =100 seg.

Comparando las Figs. 1.21 y 1.23, no encontramos razones para sentirnos demasiado felices. Podemos, eso sí, decir que los ajustes según CHR producen respuestas subjetivamente mejores que los de Z-N. Tampoco debemos caer en el error de juzgar la bondad de un método por su aplicación a un único caso, donde con toda probabilidad hemos tenido la mala suerte de toparnos con un proceso P(s) mal acondicionado. Como síntesis podemos decir que en su conjunto, las reglas empíricas, constituyen un punto de partida viable para la determinación del ajuste de controladores, hecho que resulta particularmente ventajoso cuando no se cuenta con un modelo analítico preciso del proceso controlado. Recientemente se han realizado ulteriores aportes al área de las reglas empíricas de ajuste, destacándose los trabajos de Hägglund y Åström5 que se encuentran sintetizados en una de las publicaciones6 de esta Cátedra. 5

T. Hägglund, K.J. Åström: Revisiting the Ziegler-Nichols Tuning Rules for PI Control. Asian Journal of Control, vol. 4, No. 4, (Dec. 2002), págs 364-380. K.J. Åström, H. Panagopoulos, T. Hägglund,: Design of PI Controllers based on Non-Convex Optimisation. Automatica, vol. 34, No. 5, (1998), págs. 585-601. 6

W. Cova: Control PID – un enfoque descriptivo. Universidad Tecnológica Nacional, F. R. La Rioja. 2005.

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 1 - pág. 1-23

1.5. Ajuste de parámetros aplicando constante de tiempo equivalente. 1.5.1. Constante de tiempo equivalente. En la industria de procesos, a menudo resulta imposible contar con un modelo preciso del comportamiento de la planta. Esto en general ocurre porque el sistema no responde a un modelo de parámetros concentrados, por lo que mal puede ser representado por ecuaciones diferenciales ordinarias. En estos casos, se obtienen buenos resultados si se procede a caracterizar la dinámica de la planta controlada por medio de una constante de tiempo equivalente. El empleo de la constante de tiempo equivalente, es particularmente aconsejable para el caso de plantas aperiódicas y bien amortiguadas. El valor de la constante de tiempo equivalente, corresponde a la de aquel sistema de primer orden que mejor aproxime la respuesta al escalón de la planta en cuestión, en el sentido de tener la misma ganancia estática e igual superficie de control. La superficie de control de un sistema proporcional (es decir sin polos en el origen) está definida como la superficie encerrada entre la curva de respuesta al escalón y el valor final alcanzado (Fig. 1.24-a). Para un sistema de primer orden cuya función de transferencia es P1 ( s) 

Ke Te s  1

la respuesta ante un escalón vale  t   1 Ke   T   K e 1  e e     s Te s  1

L 1  

y la superficie de control (Fig. 1.24-b) se calcula como





0

 t    t   t   Te Te Te  K  K 1  e dt  K e dt  (  T ) K e d   t   K eTe  e e e 0 e   e Te  0    

_ +

(a) Fig. 1.24. Superficies de control.

(b)

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 1 - pág. 1-24

Fig. 1.24. Definición de la planta sustituta en base a un sistema de primer orden con constante de tiempo equivalente. Las áreas sombreadas por debajo y por arriba de la exponencial se compensan.

La expresión analítica de la superficie de control de un planta proporcional cualquiera es sencilla. Partiendo de una planta con función de transferencia racional bn s n  P( s)  an s n 

 b1s  b0 ;  a1s  a0

con an  1;

bi  0 para i  m

(1.22) 

b0 b s   a0 a s  ' n n ' n n

 b s 1 ;  a s 1 ' 1 ' 1

bi' 

bi ; b0

ai' 

ai ; a0

Ke 

b0 a0

se puede calcular el valor de la superficie buscada, excitando a la planta con un escalón unitario  (t ) utilizando un integrador y previa sustracción del valor final Ke  P(0) de acuerdo al diagrama en bloques

Ke

 (t )

P( s)

_

1s

Ac

P1 ( s ) Fig. 1.26. Diagrama para el cálculo de la superficie de control Ac.

y con

P1 ( s)  P(0)  P( s)  K e  P( s)   bn' s n   K e  1  ' n  an s 

 (an'  bn' ) s n   (a1'  b1' ) s   b1' s  1    Ke     a1' s  1 an' s n   a1' s  1  

(1.23)

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 1 - pág. 1-25

se calcula la superficie de control Ac

b a b  1  1  Ac  lim s      P1 (s)    K e  a1'  b1'   0  1  1  . s 0 a0  a0 b0   s  s

(1.24)

De modo que la función de transferencia sustituta de primer orden resulta ser Pe ( s) 

Ke Te s  1

b con K e  0 ; a0

a b Te  1  1 a0 b0

(1.25)

Podemos constatar además que las plantas con tiempo muerto también son representables mediante una función de transferencia sustituta

P( s)  K e  e Tm s  K e 

 Ke 

1 T s (T s ) 2 1 m  m  1! 2!

(1.26)

1 1  Tm s

ya que eliminando del desarrollo en serie del denominador de (1.26) los términos de orden superior al primero, nos encontramos de nuevo ante una función de transferencia sustituta de primer orden. De esta manera, una función de transferencia generalizada P( s)  eTm s 

bm s m  an s n 

 b1s  b0  a1s  a0

(1.27)

posee la constante de tiempo equivalente Te  Tm 

a1 b1  . a0 b0

(1.28)

Un ejemplo de cálculo servirá para afirmar nuestros conocimientos. Sea entonces la planta de tercer orden con tiempo muerto y un cero en el semiplano derecho, cuya función de transferencia es T1s  1 T2 s  1 P( s)  K e eTm s  s 2 2  T3 s  1    s  1  0  0  Operando en numerador y denominador para llevar a P( s) a la forma general (1.22) tenemos

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 1 - pág. 1-26

b1 b0

P( s )  K ee Tm s

2 TT 1 2 s  (T1  T2 ) s  1 T3 3  1 2 T3  2  2  s  2   s   T3  s 1 2 0 0  0   0  a1 a0

y calculamos la constante de tiempo equivalente de la planta sustituta como Te  Tm  T3 

2

0

 T1  T2 .

Si bien el ejemplo demuestra la influencia de los diferentes componentes de una planta sobre el valor de Te , no debemos perder de vista que este método es de aplicación cuando tan sólo se cuenta con los datos empíricos procedentes del registro gráfico del comportamiento de la planta en respuesta a una excitación en escalón. En tal caso, se procede a determinar el valor de la ganancia estática K e y a estimar el área Ac de la superficie de control. Por aplicación de las expresiones (1.24) y (1.25), la constante de tiempo equivalente se calcula como Te 

Ac . Ke

(1.29)

La función de transferencia sustituta de primer orden, brinda una buena aproximación a la respuesta en fase para bajas frecuencias (hasta   1/ Te ) de la f.t. de la planta original. El caso más desfavorable para tal aproximación ocurre cuando la constante de tiempo equivalente corresponde a polos con iguales constantes de tiempos (es decir planta con polos múltiples). En consecuencia, luego de dimensionar un controlador empleando la constante de tiempo equivalente, se deberá verificar que la frecuencia de cruce (c ) de lazo abierto del sistema compensado, se encuentre por debajo del valor 1/ Te , lo que equivale a decir que c debe pertenecer al dominio de validez del método. A los efectos de justificar eso de que «el caso más desfavorable para la aproximación ocurre cuando la constante de tiempo equivalente corresponde a polos con iguales constantes de tiempos (es decir planta con polos múltiples)», vamos a considerar una planta de segundo orden

P( s ) 

1

T1s  1T2 s  1

en la que sin pérdida de generalidad hemos supuesto ganancia unitaria. Si ponemos T1 = T y además T2 = qT se puede escribir

P( s ) 

1 1  2 2 Ts  1 qTs  1 qT s  1  q  Ts  1

La planta equivalente de primer orden Pe(s) resultante por aplicación de la expresión (1.25) es

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 1 - pág. 1-27

Pe ( s) 

1 Te s  1

con Te  1  q  T

La pregunta que nos planteamos responder es: ¿para qué valor de q se hace máxima la diferencia entre la planta equivalente Pe(j) y la planta original P(j) a la frecuencia  =1/Te ? Podemos escribir Pe ( j )   1  Pe ( j )   Te

P( j )  

1 1 q T



1 1 q T



1 1 = j 1 2

1   qT j  1    1  q 2 T 2   

e j 4 1



 q  1  1    1  q 2   

2

2

e

  j tan 1  1  

  1 q    1 q 2    

Procederemos ahora a analizar para qué valor de q se produce la máxima diferencia de módulos. Resulta obvio que el valor de q buscado será el que minimice la expresión del subradical correspondiente al módulo de P(j), es decir 2   d   q   1  1   0 dq   1  q 2     2 2 1  2q  q  2q  2q  0



1  q   2q 1  q   0  4 1  q 



1  q2  0

2



q 1

Por cierto, el mismo valor de q que se acaba de calcular es el que maximiza la diferencia de los argumentos angulares, puesto que q=1 hace máximo el valor del argumento de P(j), como resulta fácil comprobar. Recursivamente podríamos reproducir el anterior argumento para plantas de tercero, cuarto y enésimo orden. En definitiva, se deduce que el peor caso para la aproximación por constante de tiempo equivalente se da cuando la planta posee polos múltiples. La consecuencia es que si se puede demostrar la estabilidad para el caso de plantas con polos múltiples, quedará automáticamente asegurada la estabilidad para plantas con polos disímiles. 1.5.2. Dimensionamiento en base a la constante de tiempo equivalente. El controlador más simple que puede ser dimensionado en base a Te es el tipo I (integrador puro). La función de transferencia de lazo abierto correspondiente es L( s ) 

Ke 1  ; Ti s (Te s  1)

La f.t. de lazo cerrado resulta ser

y normalizando

Ti  TiN Ke

resulta L( s) 

1 . TiN s(Te s  1)

(1.30)

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 1 - pág. 1-28

T ( s) 

L( s ) 1 1   2 2 1  L( s) TiN Te s  TiN s  1  s  2 s 1     0  0

(1.31)

y en función del amortiguamiento  el tiempo de integración normalizado es TiN  4 2Te .

(1.32)

La frecuencia de cruce de lazo abierto c es calculable también en función de la relación de amortiguamiento  1  L( jc ) 

1 TiN c (Tec ) 2  1

;

(1.33) 1  4 2Tec (Tec ) 2  1

Operando algebraicamente sobre (1.33) se obtiene

cTe 

1  2

1

1 4 4

1

(1.34)

deduciéndose que la frecuencia de cruce c  1/ Te para   (1/ 32)1/ 4  0.4204 , lo que nos asegura que el amortiguamiento óptimo  = 0.707 conducirá a un dimensionamiento del controlador compatible con el dominio de validez del método TiN  2Te  Ti  2Te Ke empleado. 1.5.2.1. Dimensionamiento de otros controladores standard. El método de la constante de tiempo equivalente es utilizable para calcular los parámetros de controladores P, PI y PID. De acuerdo a las consideraciones de peor caso realizadas precedentemente, asumiremos que la constante de tiempo equivalente surge de una planta con polos múltiples. Controlador P: Una vez calculadas la ganancia estática Ke y la constante de tiempo equivalente Te , suponemos que Te es originada por una planta con un polo doble en s = –2/Te , por lo que la función de transferencia de lazo abierto del sistema compensado será L( s )  K 

Ke

; y normalizando K N  K K e 2  Te   s  1 2  KN KN resulta L(s)= con la f.t. de lazo cerrado T ( s)  2 2  Te   Te  s  1 s  1      KN 2  2 

(1.35)

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 1 - pág. 1-29

Procediendo de la misma manera que hiciéramos con el controlador I, una relación de amortiguamiento  = 1/2 en la f.t. de lazo cerrado nos conduce a K N  1  K  1/ Ke . Para K N  1 es L( jc )  1 solamente para c  0 con lo que se verifica la condición c  1/ Te .

Controlador PI: En este caso también supondremos que Te es originada por una planta con un polo doble en s = –2/Te , por lo que nos queda la función de transferencia de lazo abierto L( s )  K

Ti s  1 Ke  2 Ti s  Te   s  1 2 

(1.36)

Si en (1.36) compensamos un polo de la planta con el cero del controlador, adoptamos el dimensionamiento del tiempo de integración Ti  Te / 2

(1.37)

Reemplazando el valor calculado en (1.37) y simplificando obtenemos L( s ) 

Ke K  Te  Te s  s  1 2 2 

y si llamamos TN 

Te , 2 KK e

es: L( s) 

1 T  TN s  e s  1 2 

(1.38)

Comparando la (1.38) con la Ec.(1.30), determinamos que ambas son formalmente idénticas, por lo que sin más trámite importamos los resultados obtenidos al tratar el controlador I, teniendo por cierto el cuidado de respetar el valor de Te/2 del denominador de (1.38). En estas condiciones, la Ec.(1.34) conduce a que la frecuencia de cruce será c  1/ Te para valores de amortiguamiento de lazo cerrado   (1/ 5)1/ 4  0.6687 , por lo que usando  = 0.707 aseguramos la condición de frecuencia de cruce. Con dicho valor de amortiguamiento la (1.32) nos conduce a Te 1 (1.39) TN  Te   Te y, en consecuencia: K  2 KKe 2Ke quedando completado el dimensionamiento del controlador PI. Controlador PID: Para este controlador debemos partir del supuesto que la constante de tiempo equivalente Te es originada por una planta con un polo triple en s = –3/Te ; para el controlador utilizaremos la forma PI-PD que es más fácil de dimensionar que la forma standard. Con el controlador:

 1  C ( s )  K 1   1  Td s   Ti s  calculamos la f.t. de lazo abierto

(1.40)

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 1 - pág. 1-30

L( s )  K

1  Ti s 1  Td s   Ti s

Ke  Te   s  1 3 

(1.41)

3

Resulta inmediato que si se elige

Te 3

Ti  Td 

(1.42)

podemos simplificar en la (1.41) dos ceros contra dos polos, de modo que procediendo según lo hiciéramos en (1.38) tendremos que: L( s ) 

Ke K  Te  Te s  s  1 3 3 

y poniendo TN 

Te , 3KK e

es: L( s) 

1 T  TN s  e s  1 3 

(1.43)

Vemos que podemos repetir los cálculos del caso PI, cuidando ahora de respetar el valor de Te/3 del denominador de (1.43). Así, la (1.34) nos conduce a un límite de la relación de amortiguamiento   (9 / 28)1/ 4  0.753 para asegurar que c  1/ Te . Ello nos obliga a seleccionar por ejemplo  = 1 que, a través de (1.32) nos conduce a 4 TN  Te 3



Te 4  Te 3KKe 3

y, por lo tanto: K 

1 4Ke

(1.44)

1.5.2.2. Comparación con las reglas empíricas. Al objeto de completar el conjunto de resultados comparativos que hemos venido elaborando hasta el presente, ajustaremos el controlador PI de nuestra planta de referencia P(s)=e-2s/(1+s)4 por el método de la constante de tiempo equivalente. Por simple inspección de P(s) y aplicando (1.28) deducimos el valor de la ganancia estática Ke=1 y de la constante de tiempo equivalente Te=6 seg. Reemplazando en (1.37) y (1.39) obtenemos para el controlador Ti =Te/2=3 seg.; K=1/2. Los resultados de la simulación se muestran en la Fig. (1.27).

Fig. 1.27. Ajustes por constante de tiempo equivalente Te para controladores PI y PID operando con la planta P(s)=e-2s/(1+s)4. Se muestran las respuestas a un escalón en la variable de referencia para t =0 seg, seguido de una perturbación de carga en t =100 seg.

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 1 - pág. 1-31

En la misma figura hemos graficado las respuestas para un controlador PID calculado de acuerdo a (1.42) y (1.44). Comparando las figuras (1.21), (1.23) y (1.27) vemos que los resultados obtenidos tanto por aplicación de reglas empíricas como por el método de la constante de tiempo equivalente, son muy parecidos. Este hecho no nos sorprende en absoluto: por más que el procedimiento de cálculo por medio de la constante de tiempo equivalente aparezca a nuestros ojos como “más analítico”, se basa en aproximar el comportamiento de la planta por una función sustituta de primer orden a partir de la cual se calculan los parámetros. Pero también las reglas de ZieglerNichols y de Chien, Hrones y Reswick se basan en una aproximación de este tipo; como consecuencia, los resultados deben ser necesariamente similares.

1.6. Control en cascada. 1.6.1. Generalidades. Hasta el presente, hemos caracterizado a las plantas controladas, como un único bloque dinámico. Especialmente en la industria de procesos, en instalaciones de calefacción o en equipamientos eléctricos de accionamiento, es conducente considerar la planta subdividida en bloques parciales. De tal manera se pueden representar con facilidad los puntos de aplicación de perturbaciones, sirviendo además para simplificar el análisis del control. Si con la modelización por bloques se representa la estuctura física de la planta, entonces con toda seguridad se deseará asegurar que las variables intermedias se mantengan acotadas, aun en presencia de perturbaciones. Designaremos como variables intermedias, a las salidas de los bloques parciales que integran la planta controlada. Consideremos como ejemplo una instalación de calefacción. Por efecto de la variación de entalpía la caldera puede calentarse rápidamente, mientras que la temperatura del ambiente calefaccionado recién se modifica tras un largo tiempo de retardo. Si se empleara un único controlador para regular la temperatura ambiente y si la potencia calefactora de la caldera fuera la variable manipulada, existe el peligro (especialmente durante la puesta en marcha) que una brusca variación del punto de ajuste origine un sobrecalentamiento de la caldera antes que el controlador reduzca la señal de control como consecuencia del aumento de la temperatura de la habitación. C

PC

H

Temperatura Caldera

Potencia Calefacción Caldera T1  5 min

Temperatura Habitación Habitación T2  60 min

Fig. 1.28. Modelo simplificado de una instalación de calefacción.

Se desea monitorear la temperatura de caldera mediante un sensor de modo de evitar que se produzcan valores peligrosos; para ello se utilizará un controlador adicional cuya salida, adecuadamente limitada, constituirá el valor de referencia para la temperatura de la caldera. Queda así formado un sistema de control en cascada.

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 1 - pág. 1-32

Controlador Temperatura Caldera

Controlador Temperatura Habitación

Cref

Href

Temp.. deseada

_

C

H

_ PI+Limitador

Caldera

PI

Habitación

Fig. 1.29. Control en cascada de calefacción.

En el ejemplo que acabamos de exponer, aparece una relación típica del control en cascada: el lazo interno de control (la regulación de temperatura de caldera) posee una constante de tiempo mucho menor que el lazo exterior (regulación de la temperatura de la habitación). En general un control en cascada consiste en una planta constituida por la conexión serial de bloques dinámicos, que representan “plantas parciales”. De acuerdo a la Fig. (1.30) la función de transferencia de la planta completa vale P(s)  P4 (s)  P3 (s)  P2 (s)  P1 (s)

_o

C1

_

o

C2

_o

C3

_

o

C4

P4

(1.45)

P3

P2

P1

Fig. 1.30. Control en cascada.

Con cada variable intermedia se encuentra asociado un sensor que realimenta su valor al controlador correspondiente ( C1, C2, C3, C4). Tan sólo la señal de control del lazo más interno se aplica directamente a la entrada de la planta; las señales de control de los lazos externos constituyen las señales de comando de los lazos sucesivos. En la práctica, un control en cascada resulta más fácil de dimensionar que un control de lazo único. Si la planta contiene integradores y constantes de tiempo de valor elevado, resultaría necesario emplear (en un control de lazo único) varios adelantadores de fase a fin de asegurar la estabilidad del conjunto. El resultado final no es satisfactorio, por la fuerte amplificación que los adelantadores de fase proporcionan a las componentes de alta frecuencia del ruido de medición. Resulta mucho más conveniente emplear sensores adicionales e implementar un control en cascada, cuidando de asegurar que cada controlador proporciona una caída de alta frecuencia suficiente para atenuar los ruidos. El control en cascada hace posible una puesta en marcha secuencial de los lazos de control comenzando del más interno y concluyendo con el exterior. Así, en nuestro ejemplo de la calefacción, puede ponerse en marcha la regulación de temperatura de la caldera y posteriormente cerrar el lazo del control de temperatura del ambiente.

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 1 - pág. 1-33

d

_

Te  2

Te  10

P2

P1

_ C1

C2

Fig. 1.31. Perturbación en un control en cascada.

Otras de las ventajas del control en cascada está dada por el mejoramiento de la velocidad de rechazo de perturbaciones que afecten los lazos internos. Refiriéndonos a la Fig. 1.31, el controlador del lazo interno está dimensionado para la menor de las constantes de tiempo de la planta, por lo que la perturbación d será compensada en un lazo de alta velocidad de respuesta, siendo consecuentemente reducida su influencia sobre el lazo de control externo. Conceptualmente d puede representar tanto una variable física perturbadora, como una variación de los parámetros de la planta parcial P2. Observamos entonces que el control en cascada hace más insensible al sistema frente a variaciones de la planta, y en consecuencia mejora su robustez.

1.6.2. Dimensionamiento de un control en cascada. Cálculo por aproximación. La dinámica de conjunto de un control en cascada es de orden elevado. Un cálculo analítico de los ajustes de los controladores, fracasa rápidamente frente al alto de grado de los polinomios que aparecen en las funciones de transferencia. Solamente para casos especiales de plantas con estructuras regulares pueden deducirse expresiones analíticas útiles. Una muy buena solución aproximada es la que brinda la aplicación del método de la constante de tiempo equivalente. De acuerdo a lo presentado en 1.5.2., sabemos calcular un controlador I para una planta de primer orden 1 (1.46) P( s)  Te s  1 1 (1.47) C ( s)  con Ti  4 2Te Ti s La función de transferencia de lazo cerrado resultante es, de acuerdo a (1.31): T ( s) 

1 1  2 2 2 TT 4 Te s  4 2Te s  1 i e s  Ti s  1 2

(1.48)

y aplicando la definición (1.28) encontramos el valor de la constante de tiempo equivalente de lazo cerrado (1.49) TeLC  4 2Te . Si la planta consiste en un función de transferencia sustituta y un elemento de primer orden en el lazo interior, con ulteriores elementos de primer orden en las etapas exteriores (Fig. 1.32), se pueden emplear controladores PI.

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 1 - pág. 1-34

_o

C1

_

o

C2

_o

V3

C3

Te

V2 T3

V1 T2

T1

Fig. 1.30. Control en cascada – Vi, Ti son las ganancias y constantes de tiempo de las etapas de primer orden.

Comenzando por el lazo interior se dimensionarán los controladores en forma sucesiva; en cada etapa, el cero del PI compensará una constante de tiempo conocida de la planta. Se empleará la misma relación de amortiguamiento  para todas las etapas. Ti 3 s  1 Ti 3 s V3 P3 ( s)  (Te s  1)(T3 s  1) C3 ( s)  K3

(1.50) (1.51)

El tiempo de integración de C3 es entonces

(1.52) Ti 3  T3 Planteando la f.t. de lazo cerrado y resolviendo en función de  obtenemos la ganancia K3 del controlador y la constante de tiempo equivalente Te3 del lazo más interno: K3 

T3 4 2Te V3

Te3  4 2Te

(1.53) (1.54)

La constante de tiempo equivalente Te3 será empleada para dimensionar C2(s). El adelanto de C2 compensará la constante de tiempo T2 de la planta, resultando  Ti 2  T2  T2 T2   K2  2 2 4 Te3 V2  4 2 T 2 V  e 2  2 Te 2  4 2Te3   4 2  Te2 

(1.55)

Con este procedimiento, vemos que las constantes de tiempo crecen de adentro hacia fuera con un mismo factor (1.56) b  4 2 . La velocidad de respuesta del sistema queda entonces determinada por la constante de tiempo equivalente del lazo más interno. Si se vuelve a dibujar el diagrama de bloques de la Fig. 1.30 considerando la simplificación de polos y ceros que provoca el dimensionamiento adoptado obtenemos:

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 1 - pág. 1-35

1 b Te s 3

_

1 b Te s 2

_

_

1 bTe s

1 Te s  1

Fig. 1.31. Control en cascada – diagrama reducido.

La Fig. 1.31 presenta la apariencia de varios controladores ocupados en regular una misma variable de salida. Un análisis detallado del comportamiento del sistema, nos conduce a que esta estructura es estable, con independencia de la cantidad de etapas involucradas, mientras se elija una relación de amortiguamiento   1/ 2 . Si una etapa de la planta contiene más de una constante de tiempo conocida, el correspondiente controlador puede dimensionarse como PID, seleccionando los parámetros de los ceros para producir la simplificación de los polos de la planta. El restante dimensionamiento puede realizarse según el mismo procedimiento que empleamos para el PI. 1.6.3. Control en cascada para una planta integradora. Método del óptimo simétrico. Si una etapa de la planta posee un integrador además de un componente de primer orden, surge un caso especial, que requiere un tratamiento diferente. Sea entonces la etapa que se representa en la siguiente figura.

W

C (s)

_

U

1 Te s  1

1 T1 s

Y

Fig. 1.32. Etapa integradora en una cascada.

Si elegimos para el controlador una estructura PI7 la función de transferencia de lazo abierto tiene la forma

L( s )  K

Ti s  1 1 K Ti s  1    Ti s T1 s Te s  1 Ti T1 s 2 Te s  1

(1.57)

No podemos simplificar el cero con el polo de la planta: si hiciéramos eso, al cerrar el lazo nos quedaría un oscilador precioso! Resulta evidente que, de las dos posibles distribuciones de polos y ceros que tenemos variando Ti , la correspondiente a Ti > Te da origen a un lugar de raíces estable.

7

A pesar de ser integradora la planta, resulta necesario que el controlador también posea acción integradora para cancelar las perturbaciones cuyo punto de entrada al sistema se encuentre antes del integrador.

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 1 - pág. 1-36

1  Ti

o

j  1  Te





1 Ti

 o 1  Te



Ti  Te

j 



Ti  Te

Fig. 1.33. Distribuciones de polos y ceros para (1.57).

El factor de adelanto-atraso de fase de (1.57) proporciona un adelanto de fase

  arctan Ti   arctan Te 

(1.58)

cuyo máximo corresponde a la frecuencia

m  que es la media geométrica entre

1 Ti Te

(1.59)

1 1 y . Te Ti

Si se define el factor a de la forma:

Ti  a 2Te

(1.60)

entonces resulta:

m 

1 a  . aTe Ti

(1.61)

La curva de fase de L(j) posee un máximo global a la frecuencia m (véase Fig. 1.34) Debido a la simetría que manifiesta la curva de fase, el presente método de dimensionamiento se conoce como método del óptimo simétrico8. El valor del máximo de fase, depende de la relación entre las constantes de tiempo, es decir depende de a.

max  arctan

Ti T 1   arctan e  arctan(a)  arctan    Te Ti a 2

(1.62)

Por lo tanto resulta criterioso elegir la ganancia K del controlador, de manera tal que m se corresponda con la frecuencia de cruce c haciendo L( jm )  1 , con lo que el valor de (1.62) corresponde al margen de fase del sistema.

8

Escarbando en las razones por las cuales aparece la palabra ‘óptimo’ en el nombre de este método, debemos consignar que su aplicación corresponde a maximizar la planitud de la respuesta en frecuencia del polinomio denominador de la función de transferencia de lazo cerrado, muy similarmente a como se procede al diseñar un filtro analógico de Butterworth.

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 1 - pág. 1-37

Fig. 1.34. Diagrama de Bode para ‘óptimo simétrico’. max es igual al margen de fase del sistema.

Sustituyendo en (1.57) Ti  a 2Te y tomando a como parámetro de dimensionamiento, la f.t. de lazo abierto se reescribe en la forma: a 2Te s  1 K L( s )  2  a Te T1 s 2 Te s  1

(1.63)

De acuerdo con (1.62) el parámetro a depende del margen de fase max que se pretenda lograr, por lo que prefijando este último valor quedan determinados tanto a como la frecuencia m que, como dijimos corresponde a la frecuencia de cruce del sistema.

Fig. 1.35. Relación de a vs .

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 1 - pág. 1-38

A la frecuencia m debe dimensionarse la ganancia K del controlador de modo que la f.t. de lazo abierto sea unitaria (a 2Te m )2  1 K 1  L( jm )  2  a Te T1m2 (Te m )2 s  1

(1.64)

Reemplazando en (1.64) a m por su valor, dado por (1.61) y operando algebraicamente se deduce: 1 T (1.65) K  1. a Te Si se reemplaza el valor calculado de K en la expresión (1.63) de la f.t. de lazo abierto y se simplifica: a 2Te s  1 (1.66) L( s )  2 a  aTe s  Te s  1 con (1.66) estamos ahora en condiciones de calcular la función de transferencia de lazo cerrado, llevando a como único parámetro, ya que Te depende exclusivamente de la planta (veáse fig. 1.32), T ( s) 

a 2Te s  1 L( s ) N ( s)   3 3 3 1  L( s) D( s) a Te s  a 3Te2 s 2  a 2Te s  1

(1.67)

El polinomio denominador de T(s) posee siempre un polo real en s  1 (aTe ) ; factoreando entonces a D(s) tendremos: 2 D( s)   aTe s  1  aTe s    a  1 aTe s  1  

 s  2 a  1     aTe s  1   s  1  m  m  

(1.68)

por lo que los dos polos restantes poseerán una relación de amortiguamiento

 

a 1 . 2

(1.69)

La Ec.(1.69) brinda un alternativa al problema del dimensionamiento del controlador: dado un amortiguamiento deseado, obtenemos a, valor con el que calculamos la frecuencia de cruce m y los parámetros K y Ti del controlador PI. Observamos que el valor de la constante de tiempo Te de la planta define la velocidad de respuesta del sistema.

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 1 - pág. 1-39

Fig. 1.36. Respuesta al escalón de (1.67)

Todas las respuestas al escalón exhiben sobrepasamiento, debido al efecto del cero en el numerador de T(s). Por otra parte, si aplicamos la definición de superficie de control (1.28) a la f.t. de lazo cerrado (1.67) obtenemos

Ac 

b0  a1 b1  2 2     a Te  a Te  0 a0  a0 b0 

(1.70)

Ello significa dos cosas: en primer lugar que la aplicación del método del óptimo simétrico produce una f.t. a lazo cerrado para la cual no es posible definir una constante de tiempo equivalente, y en segundo término que las áreas encerradas por arriba y por debajo del valor final (1) y la curva de respuesta al escalón, se compensan entre sí. Retornando ahora a nuestro punto de partida, es decir a la Fig. 1.32: si esta etapa, cuyo controlador C(s) acabamos de dimensionar, se encuentra integrada en una cascada, será necesario conectarle un filtro de comando con la constante de tiempo a2Te a fin de eliminar el cero del numerador de T(s) .

V

1 a Te s  1 2

C (s)

W

_

PI

U

1 Te s  1

1 T1 s

Y

Fig. 1.37. Etapa integradora con compensador y filtro de comando.

De esta manera, la función de transferencia de V a Y queda Y ( s) 1 1  2  T ( s)  3 3 3 3 2 2 V ( s) a Te s  1 a Te s  a Te s  a 2Te s  1

(1.71)

y procediendo en la forma acostumbrada, podemos reemplazar a (1.71) por su constante de tiempo equivalente para continuar con el dimensionamiento de los lazos de control exteriores.

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 1 - pág. 1-40

1.6.4. Consideraciones finales. Los lazos internos de un control en cascada se implementan con el objeto de limitar ciertas variables físicas (p.ej.: temperatura de caldera, corriente de inducido, etc.) o bien para minimizar los adelantos de fase necesarios y en consecuencia mejorando la robustez ante el ruido del sistema en su conjunto. Para ambas finalidades no resulta imprescindible que estos lazos de control trabajen con error estacionario nulo. En consecuencia se puede prescindir de controladores integradores si los proporcionales brindan un error suficientemente pequeño. El uso de un controlador proporcional hace más rápida la respuesta transitoria (pagando el consabido costo del error en estado de régimen). Cumpliéndose las condiciones antedichas y siendo suficiente el rechazo de perturbación proporcionado por los controladores P, se puede diseñar el control en cascada empleando un único controlador PI en el lazo externo para garantizar la precisión de la última variable controlada.

1.7. Interacción de integradores con actuadores saturables. 1.7.1. El problema del windup. El windup9 es un efecto no lineal que se encuentra en prácticamente todos los controladores y es causado por la interacción de la acción integradora con las saturaciones. Todos los actuadores están sujetos a limitaciones: un motor tiene una velocidad máxima, una válvula no puede estar más abierta que totalmente abierta (o recíprocamente, totalmente cerrada), la salida de un amplificador no puede superar la tensión de alimentación, etc. Para un sistema de control que opere en un amplio rango de condiciones, puede ocurrir que la variable de control alcance los límites o topes del actuador. Cuando esto último ocurre, el lazo de realimentación se interrumpe y el sistema opera a lazo abierto, porque el actuador permanece en el tope independientemente del valor de la salida del proceso. Si el controlador utilizado posee acción integradora, el error continuará siendo integrado. Esto significa que el término integral puede llegar a hacerse muy grande; coloquialmente diríamos que se va “remontando” como un barrilete cada vez más alto o, en inglés: ‘it winds up’. Posteriormente se requiere que el error posea signo contrario durante un largo período antes de que las cosas retornen a la normalidad. Extraemos como consecuencia que todo controlador que posea acción integradora puede originar transitorios largos cuando se satura el actuador. Para ejemplificar el efecto de windup, se muestra en la Fig. 1.38 el comportamiento de un proceso integrador gobernado por un controlador PI, con un actuador saturable. La variación inicial del punto de ajuste es tan grande que el actuador satura de inmediato en su límite superior. El término integral crece inicialmente por ser el error positivo; alcanza su máximo para t=10, tiempo para el cual el error se anula. El actuador permanece saturado en este punto, debido al valor elevado que posee el término integral, y continuará en el límite superior hasta que el error haya sido negativo durante el tiempo necesario para la parte integral disminuya hasta alcanzar un valor bajo. Se observa en la figura que la señal de control u(t) oscila repetidas veces entre sus límites superior e inferior. El efecto neto es un gran sobrepasamiento y una oscilación amortiguada hasta el momento en que la variable controlada y(t) se mantiene lo suficientemente cerca del punto de ajuste, el actuador deja de saturar y el sistema exhibe un comportamiento 9

Podríamos traducir windup como un efecto de carga o acumulación en el integrador, pero preferimos no hacerlo ya que el fenómeno se conoce internacionalmente con su designación en inglés.

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 1 - pág. 1-41

lineal. Si bien en este ejemplo hemos considerado el windup originado por un escalón en la variable de referencia, también puede ocurrir por efecto de perturbaciones.

Fig. 1.38. Ilustración del windup de un integrador. Considérese que la variable de salida y(t) representa las variaciones del nivel de un tanque de líquido alrededor de su valor medio, siendo el caudal de entrada gobernado por una válvula y un controlador PI.

El fenómeno de windup era bien conocido por los fabricantes de controladores analógicos y las soluciones desarrolladas muchas veces fueron protegidas como secretos industriales. El problema del windup se redescubrió cuando los controladores fueron implementados digitalmente: varios métodos para evitarlo fueron presentados en la literatura técnica. Pasamos a analizar algunos de ellos. 1.7.2. Solucionando el windup. 1.7.2.1. Limitación del Punto de Ajuste. Una manera de evitar el windup es introducir limitadores en las variaciones de la señal de referencia, de modo tal que el actuador nunca alcance sus límites de saturación. Este procedimiento resulta excesivamente conservador, con la consecuente disminución de la performance. Por otra parte, no evita el windup causado por las perturbaciones de carga.

1.7.2.2. Algoritmos Incrementales. En los primeros tiempos del control industrial, la acción integral era incorporada al actuador, empleando por ejemplo un motor que operaba directamente sobre una válvula. En este caso el windup era evitado automáticamente, ya que la integración se interrumpía al detenerse la válvula contra su tope. Cuando los controladores se implementaron utilizando técnicas analógicas (y

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 1 - pág. 1-42

posteriormente computadoras), muchos fabricantes emplearon los así llamados algoritmos de velocidad que configuran análogos del antiguo diseño mecánico. Un algoritmo de velocidad en primer lugar calcula la velocidad de variación de la señal de control que es luego empleada para controlar un integrador. Mediante este concepto resulta fácil inhibir la integración toda vez que la salida del actuador se sature. Si la salida del actuador no es medible, puede emplearse un modelo para computar la saturación. 1.7.2.3. Cálculo Retrógrado y Seguimiento. El cálculo retrógrado funciona de la siguiente manera: cuando la salida se satura, el término integral del controlador es recalculado de tal manera que su nuevo valor provoque una salida en el límite de saturación. Resulta ventajoso no resetear el integrador en forma instantánea sino dinámicamente, a través de una constante de tiempo Tt. El controlador de la Fig. 1.39, basado en cálculo retrógrado, posee un lazo de realimentación extra que se genera midiendo la salida u del actuador (en la figura del modelo del actuador) y formando la señal de error es como la diferencia entre la salida del controlador v y u. La señal es es inyectada a la entrada del integrador a través de la ganancia 1/Tt ; si no hay saturación es es nula y por lo tanto no afecta la operación lineal del controlador. Cuando el actuador se satura, es es negativa y no-nula; el lazo principal de realimentación se interrumpe, pero debido al lazo auxiliar la salida del integrador es llevada a un valor tal que anule su entrada. En condiciones de saturación la entrada del integrador vale: 1 K es  e  0, donde e es el error actuante Tt Ti

y este valor ha de ser necesariamente cero para que el integrador deje de integrar. En tal situación vale es  

KTt e Ti

KTt e Ti donde ulim es el valor de saturación de la variable de control. Esto significa que v se ubica en un valor ligeramente por encima del límite de saturación y que la señal de control puede reaccionar tan pronto como el error cambia de signo. De esta manera el integrador queda impedido de sufrir windup. La velocidad con la cual se resetea el integrador depende de la ganancia 1/Tt, pudiéndose interpretar Tt como la constante de tiempo que determina la rapidez de reseteo y es llamada constante de tiempo de seguimiento. Y hablamos de seguimiento (o ‘tracking’), porque se obliga a la señal v a seguir de cerca las evoluciones temporales de u. es decir que la señal de salida del controlador PID sigue a la señal u. y siendo es  u  v

resulta

v  ulim 

Ocurre frecuentemente que la salida del actuador no puede ser sensada. Para utilizar el esquema de anti-windup que acabamos de describir, se incorpora al controlador un modelo matemático o analógico del actuador, tal como lo ilustra la Fig. 1.39. Pasamos a analizar la aplicación del esquema anti-windup al sistema simulado en la Fig. 1.38. Obsérvese en la Fig. 1.40 que la salida del integrador es rápidamente llevada a un valor tal que la señal del controlador se encuentra en el límite de saturación, y la componente integral tiene valor

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 1 - pág. 1-43

negativo en la fase inicial, cuando el actuador se encuentra saturado. Este comportamiento difiere drásticamente respecto de la Fig. 1.38 donde la integral es positiva durante el transitorio inicial. También debe destacarse la dramática mejora de la performance comparada con el controlador PI ordinario empleado en la Fig. 1.38. –y K Td s

Modelo del actuador

+ e=r–y

+

v

u

K

ACTUADOR

+ K/Ti

+

1/s

+

–

+ es

1/Tt

Fig. 1.39. Controlador con anti-windup. La salida del actuador es estimada mediante un modelo matemático.

Fig. 1.40. Controlador con anti-windup aplicado al sistema de la Fig. 1.38.

El efecto de los cambios en la constante de tiempo de seguimiento, se muestra en la Fig. 1.41. De la misma podría inferirse que resulta siempre conveniente seleccionar un valor pequeño de la constante de tiempo, de modo que el integrador se resetee rápidamente. Sin embargo ha de tenerse cuidado al emplear anti-windup en sistemas con componente derivativa de control. Si se selecciona la constante de tiempo demasiado pequeña, señales de error espúreas pueden provocar la saturación del actuador lo que provocará el reseteo accidental del integrador. La constante de tiempo de seguimiento Tt debe ser mayor que Td y menor que Ti. Una regla práctica que ha sido propuesta, consiste en elegir Tt  Ti Td .

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 1 - pág. 1-44

Fig. 1.41. Respuesta al escalón del sistema de la Fig. 1.38 para diferentes valores de la constante de tiempo Tt.

1.7.2.4. Controladores con Modo de Seguimiento. Se puede interpretar que un controlador con cálculo retrógrado posee dos modos de operación: el modo normal de control cuando opera como un controlador ordinario lineal, y el modo de seguimiento al operar en presencia de saturación del actuador. La Fig. 1.42 muestra un módulo PID con seguimiento. Nótese que el cambio de modo es automático ya que el modo de seguimiento queda inhibido cuando la señal w es igual a la salida del controlador. Es decir que no se requiere de una lógica para el control modal, lo que resulta especialmente ventajoso para la implementación de sistemas complejos de control en cascada. r



b

sKTd 1  sTd / N

1

y

e

P

K

K Ti

1 s



D

I





v

1 Tt

+

w

r y w



SP MV TR

–

PID

v

SP set point (referencia) MV variable medida TR tracking (seguimiento)

Fig. 1.42. Diagrama en bloques y representación simplificada de un módulo PID con seguimiento.

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 1 - pág. 1-45

SP MV TR

SP MV TR

PID

PID

ACTUADOR

v

u

ACTUADOR

Modelo del Actuador

Fig. 1.43. Alternativas de utilización de un módulo PID con seguimiento.

En la Fig. 1.43 hemos representado las alternativas de uso de un módulo PID con seguimiento, cuando la salida del actuador es medible o bien cuando se emplea un modelo del funcionamiento del actuador.

1.8 Controladores basados en modelos. La selección de compensadores no está de ninguna manera limitada a alguna de las formas standard. El compensador puede ser libremente adaptado a la planta sin ser sometido a restricciones ni de estructura ni de orden de la función de transferencia. Puede especificarse simplemente un comportamiento deseado a lazo cerrado ante señales de comando. En el diseño deberá cuidarse que el comportamiento a lazo cerrado sea estable y que el controlador posea una función de transferencia que sea físicamente realizable.

1.8.1. Diseño por compensación. Si para el comportamiento del sistema a lazo cerrado de la Fig. 1.44 se especifica un modelo M(s) habrá de cumplirse K ( s)G( s) (1.72) M ( s)  1  K ( s)G( s) Y puede despejarse la f.t. del controlador: K ( s) 

M ( s) 1 M ( s) .   G( s)  M ( s)G( s) G(s) 1  M (s)

Fig. 1.44. Sistema de lazo cerrado.

(1.73)

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 1 - pág. 1-46

Normalmente, sólo se dispone de una función de transferencia aproximada Gˆ ( s) de la planta, por lo que el controlador está dado en realidad por K ( s) 

1 M ( s)  ˆ G( s) 1  M ( s)

(1.74)

Fig. 1.45. Controlador diseñado por compensación.

Explicitando la estructura del controlador como hicimos en la Fig. 1.45, pueden reconocerse los puntos de interés de este procedimiento de diseño. Para producir la función de transferencia deseada M(s) el controlador deberá contener un factor multiplicativo 1/ Gˆ ( s) el que, idealmente, compensará totalmente la dinámica de la planta. La conexión serie da G(s)  1/ Gˆ ( s)  1 , por lo que la f.t. M(s) con realimentación positiva dentro del controlador queda rodeada por un lazo de realimentación negativa y, en definitiva el sistema a lazo cerrado posee el comportamiento especificado. Para que el método sea aplicable, las siguientes condiciones deben ser verificadas por la planta y por la f.t. del modelo desado: 

La planta debe ser estable. Como la cancelación de los polos de G( s) mediante los ceros de 1/ Gˆ ( s) no es exacta en la práctica, si G( s) poseyera un polo inestable, el sistema a lazo cerrado sería inestable.



Por las mismas razones, la f.t. de la planta debe ser de fase mínima, pues de lo contrario si la planta poseyera un cero en el semiplano derecho debería ser compensado por un polo inestable del controlador.



El modelo M(s) con realimentación positiva debe ser estable.



El exceso de polos del modelo M(s) debe ser por lo menos igual al de la planta, de manera tal que el controlador –a pesar de contener la recíproca de la f.t. de la planta– resulte causal y por ende, realizable.

El orden del controlador es como máximo igual al orden del numerador de la planta, más el orden del modelo M(s). El modelo normalmente se especifica con M(0)=1, al objeto de asegurar error de régimen nulo en la respuesta al comando.

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 1 - pág. 1-47

1.8.2. Controladores parametrizados. Al contrario de los controladores por compensación que contienen el modelo recíproco de la planta, en la estructura de los controladores parametrizados se integra en forma directa un modelo de la planta. La idea básica es diseñar el control realimentado para una planta estable empleando los conceptos de una estructura de lazo abierto. 1.8.2.1. Caso general. Aplicando el concepto de control por modelo, el controlador recibe la estructura que muestra la Fig. 1.46. El bloque Gˆ ( s) en el interior del controlador contiene un modelo de la planta. Si hay coincidencia entre Gˆ ( s) y la planta real G( s) la realimentación negativa se cancela con la positiva y K’(s) puede considerarse a lazo abierto. Consecuentemente la f.t. K’(s), en primera aproximación puede dimensionarse en base a un modelo estable de la planta Gˆ ( s) , véase la Fig. 1.47. El cálculo del controlador es en este caso igual de fácil que en el diseño por compensación, K ( s) 

Fig. 1.46. Planteo de un controlador parametrizado.

K '( s) ˆ 1  G( s) K '( s)

(1.75)

K’(s) se selecciona de manera tal que la cadena K '(s)  Gˆ ( s) posea un comportamiento dinámico prefijado. Preferentemente también en este caso se busca la precisión en estado de régimen, es decir se impone K '(0)  Gˆ (0)  1 , lo que conduce a un controlador con acción integradora si la planta es proporcional.

Fig. 1.47. Apertura de la realimentación para G(s)  Gˆ (s) .

Debido a que Gˆ ( s) no es un modelo exacto de la planta G( s) , el controlador K’(s) reaccionará ante errores del modelo y/o variaciones de los parámetros de la planta. Si la implementación no es robusta, esto puede conducir a problemas de estabilidad. Problemas como el que acabamos de apuntar condujeron a Youla10 a desarrollar el método de la parametrización Q que permite especificar el conjunto de todas las f.t. K (s) que respondiendo a la expresión (1.75) aseguran la estabilidad del sistema, para un modelo de planta Gˆ ( s) y una f.t. estable K’(s). 10

D. C. Youla, J. J. Bongiorno and H. A. Jabr, "Modern Wiener-Hopf Design of Optimal Controllers --- Part I: The Single-Input-Output Case," IEEE Trans. on Automatic Control, AC-21, 1, pp. 3-13, 1976. "Modern WienerHopf Design of Optimal Controllers --- Part II: The Multivariable Case," IEEE Trans. on Automatic Control, AC21, 3, pp. 319-338, 1976.

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 1 - pág. 1-48

1.8.2.2. Predictor de Smith. Otro método de diseño desarrollado especialmente para plantas con grandes tiempos muertos, se conoce como Predictor de Smith. En este procedimiento consideraremos a la planta como la conexión serie de una parte racional en s que llamaremos GR(s) y una componente de tiempo muerto puro, ver Fig. 1.48(a). (1.76) G(s)  GR (s) eTL s siendo p.ej.: GR (s)  GR1 (s)  GR 2 (s) .

b

La respuesta al comando de un lazo realimentado convencional presenta un transitorio muy lento, debido a la dominancia del tiempo muerto que condiciona el diseño del controlador. La idea del predictor de Smith consiste en dimensionar el controlador únicamente para la parte racional (con respuesta transitoria rápida) de la planta, según se esquematiza en la Fig.1.48(b). El tiempo muerto se concibe como un elemento conectado en serie, aunque ello pudiera no corresponder a la estructura física real de la planta.

c

Observemos que en la Fig. (b) las perturbaciones no entran en el lazo de control. Otro inconveniente lo representa la variable intermedia Y1 que eventualmente pudiera no estar disponible, por lo que debería ser reemplazada por una variable estimada Yˆ1 mediante un modelo Gˆ R ( s) , véase la Fig. (c).

a

El esquema anterior puede ser ampliado según el concepto de control por modelo; aparece así la primera representación del predictor de Smith, Fig. (d). Vemos que se calcula una variable de salida estimada Yˆ teniendo en cuenta únicamente la excitación de comando W y se la compara con la salida real Y, cerrando el lazo con lo que vendría a ser un valor sintético de la variable de salida. La estabilidad del sistema no es afectada, en tanto sea válido Gˆ R (s)  GR (s) y además TˆL  TL .

d

e Fig. 1.48

Se puede entonces concebir al predictor de Smith como una variante del diseño por modelo, ver Fig. (e).

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 1 - pág. 1-49

La función de transferencia del controlador queda K ( s) 

K "( s) ˆ 1  K "( s)Gˆ ( s) 1  eTL s



R



(1.77)

Y redibujando la Fig. 1.48(e) queda claramente explicitada la estructura del predictor de Smith, claramente similar a un controlador basado en modelo.

U

E

Fig. 1.49. Controlador predictor de Smith

La relación de entrada salida para el controlador K(s) puede ser escrita como





ˆ U ( s)  K "( s)  E ( s)  Gˆ R ( s) 1  eTL s U ( s)   



(1.78)



ˆ El término Gˆ R ( s) 1  eTL s U ( s) puede ser interpretado físicamente como la predicción del

efecto de la señal de control U(s) en el intervalo (t–TL, t). El predictor de Smith puede ser interpretado entonces como un controlador ordinario para el que las señales de control pasadas son restadas del error. Las propiedades del predictor de Smith serán ilustradas mediante una ejemplo. Sea una planta de primer orden con retardo dada por KG  sTL (1.79) G( s)  e 1  sT Un controlador PI que aplicado a la planta racional GR ( s) 

KG dé por resultado el polinomio 1  sT

característico s 2  20 s  02 posee los parámetros K

20T  1 KG

K K Ti  G2 0 T

(1.80)

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 1 - pág. 1-50

como se puede verificar con absoluta facilidad. La Fig. 1.50 muestra las respuestas del sistema a un escalón de comando y a un escalón de perturbación aplicado a la entrada de la planta en t=15. La constante de tiempo de (1.80) vale T=1 y el controlador PI fue diseñado para una respuesta a lazo cerrado con 0 = 2 y =0.707 del proceso sin retardos. Se muestran los casos correspondientes a los retardos TL = 1 y TL = 8 unidades de tiempo.

Fig. 1.50. Respuestas de lazo cerrado con predictor de Smith para retardos TL =1 y TL =8.

La figura muestra que las respuestas al escalón de comando tienen igual forma, con independencia del valor del retardo TL . Esta es una propiedad muy notable del predictor. Las formas de las respuestas a la perturbación varían con el valor del retardo TL. Ello no nos sorprende porque la entrada de perturbación no incide sobre el modelo Gˆ R ( s) incluido en el predictor. Aplicaremos ahora los conceptos de sensibilidad y de robustez para terminar de definir las características del predictor de Smith. Para ello aplicaremos las definiciones (1.5) y (1.6) y la expresión (1.11) a nuestro sistema. Suponiendo una modelización perfecta Gˆ R (s)  GR (s) y TˆL  TL , la función de trasferencia de lazo cerrado, que representa la función de sensibilidad complementaria del sistema tiene la forma K " GR TL s T ( s)  e  TR ( s) e TL s 1  K " GR (1.81)

y entonces, S ( s)  1  T ( s)  1 

K " GR TL s e  1  TR ( s) e TL s . 1  K " GR

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 1 - pág. 1-51

En (1.81) TR(s) es la sensibilidad complementaria del sistema sin tiempo muerto. Los diagramas de Bode de magnitud de T(s) y TR(s) son idénticos ya que el tiempo muerto solamente agrega un retraso de fase creciente con la frecuencia. En consecuencia la respuesta espectral en magnitud de T(s) es independiente del tiempo muerto TL. Retornando al ejemplo de la planta de primer orden con retardo dada por la (1.79) con el controlador K”(s) cuyos parámetros calculamos en (1.80) tendremos las siguientes expresiones para las funciones de sensibilidad: KG K (1  sTi ) s02T /(20T  1)  02  sTL  sTL T ( s)  e  e sTi (1  sT )  KG K (1  sTi ) s 2  20 s  02

(1.82)

S ( s)  1  T ( s)

cuyas respuestas en frecuencia se muestra en la Fig. 1.51, siempre para 0 = 2 y =0.707, llevando como parámetro el retardo TL.

Fig. 1.51. Funciones de sensibilidad y sensibilidad complementaria.

Observamos que la función de sensibilidad complementaria mantiene su magnitud constante en prácticamente todo el ancho de banda del sistema. La figura muestra que el pico de sensibilidad Ms = máx|S(j)| crece muy rápidamente en función de TL, pasando de valer 1.1 para TL=0, al valor Ms = 2 para TL=1.2 Para TL >1.2 la sensibilidad máxima permanece en las cercanías de Ms = 2. También observamos que la sensibilidad para bajas frecuencias crece rápidamente con el incremento de TL produciéndose simultáneamente una disminución en la frecuencia de cruce de sensibilidad (indicada con flechitas). Recordemos de (1.8) que la función de transferencia a la perturbación a lazo cerrado es igual al producto de la f.t. de la planta por la función de sensibilidad, ello explica la razón del empeoramiento del rechazo a la perturbación al aumentar TL que observamos en la Fig. 1.50.

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 1 - pág. 1-52

Tratemos ahora la robustez. Para controladores con acción integradora, se tiene T(0)=1; tal es el caso del ejemplo que venimos analizando. Llamemos b la mayor frecuencia para la cual se tenga T(0)1 (prácticamente leemos b =2 en la Fig. 1.51). Si bTL   surge de (1.82) que la sensibilidad máxima vale aproximadamente Ms = 2 porque

  S ( jb )  1  TR  e jbTL  1  1 cos(bTL )  j sin(bTL )   11  2 .   1 0 bTL  Para tener baja sensibilidad se requiere que bTL no sea grande. De (1.11) se deduce que se pueden sufrir variaciones en los parámetros del proceso sin que el sistema se haga inestable mientras sea G( j ) 1 .  G ( j ) T ( j ) Para frecuencias menores que b el término de la derecha es igual a uno, con lo que la desigualdad puede escribirse: G( j )  G( j ) por lo que la incerteza G(j) en el plano de Nyquist se representa por un círculo centrado en G(j) y que pasa por el origen. Si tan sólo consideramos variaciones en la fase de G(j) provocadas por la incerteza TL del tiempo muerto, las variaciones admisibles son de 60° o /3 radianes (es decir: el margen de fase standard). Tendremos entonces la condición

b  TL 

 3

que conduce a la siguiente estimación para las variaciones permisibles del tiempo muerto TL TL



 1  3bTL bTL

(1.83)

En definitiva, controladores diseñados para valores elevados de b TL requieren que el valor del retardo sea conocido con mucha precisión. Para el sistema de la Fig. 1.50 con TL=8 se tiene bTL = 16, lo que implica que el error admisible en el tiempo muerto es a lo sumo del 6%. En la Fig. 1.52 mostramos la variación de la respuesta transitoria de la planta (1.79) con TL=8 y predictor de Smith diseñado para valores nominales, ante incertezas en la determinación de TL. Constatamos que ya para errores en el tiempo muerto TL del orden del 3%, la amplitud de las oscilaciones de la variable controlada comienzan a hacerse excesivas. La conclusión obvia que extraemos de este análisis es que el predictor de Smith posee características muy interesantes, pero que es aplicable a sistemas plenamente identificados y con escasa incerteza en sus parámetros.

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 1 - pág. 1-53

Fig. 1.52. Predictor de Smith para retardo nominal TL =8 e incerteza  TL variable. Respuestas para escalones de comando.

1.8. Diseño por asignación de polos. Por comodidad, se repiten a continuación la Fig. 1.6, la expresión (1.2) y las funciones de sensibilidad (1.4): d

P PC PCF D N R 1  PC 1  PC 1  PC P 1 PCF Y D N R 1  PC 1  PC 1  PC PC C CF U  D N R 1  PC 1  PC 1  PC X

r



F

e

u C



n

v

x P



y

–1 Controlador

Proceso

Consideraremos al sistema de control con un solo grado de libertad (F=1).

1 1  PC PC 1  PC P 1  PC C 1  PC

función de sensibilidad función de sensibilidad complementaria función de sensibilidad a la perturbacion de carga función de sensibilidad al ruido

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 1 - pág. 1-54

La estabilidad interna del sistema realimentado, exige que las cuatro funciones de sensibilidad sean individualmente estables. Ahora bien, todas ellas comparten el mismo denominador y en consecuencia el sistema posee una única ecuación característica, 1  PC  0

(1.84)

Escribimos las funciones de transferencia de la planta y el controlador como: P( s ) 

B( s) bn s n   A( s) an s n 

 b1s  b0  a1s  a0

y C ( s) 

Y ( s) X (s)

(1.85)

estableciendo como condiciones que los polinomios A(s) y B(s) sean primos entre sí o coprimos: es decir que no posean raíces comunes y que además no se producen cancelaciones entre ceros y polos de controlador y planta. De este modo, la expresión general de la ecuación característica (1.84) queda de la forma: (1.86) A(s) X (s)  B(s)Y (s)  0 Tal como sabemos, las raíces de la ecuación característica determinan –además de la estabilidad– los modos de respuesta temporal del sistema de lazo cerrado. Intentaremos a continuación dar una respuesta a la pregunta: ¿Dados A(s) y B(s), será posible determinar los coeficientes de X(s) e Y(s) del controlador, de tal modo que el polinomio característico sea igual a un polinomio predeterminado ALC(s), con raíces conocidas y adecuadamente posicionadas? A(s) X (s)  B(s)Y (s)  ALC (s)

(1.87)

Esta expresión formaliza el problema de la asignación de polos de lazo cerrado. La (1.87) es una ecuación entre polinomios11, que se puede resolver, sujeta a algunas condiciones. Procedamos a analizar el siguiente ejemplo. 1.9.1. Ejemplo inicial Sea la planta inestable para la que se busca determinar un controlador que no solamente estabilice su operación en lazo cerrado sino que además materialice un conjunto determinado de polos: P( s ) 

1 ; ( s  1)( s  2)

A( s)  s 2  3s  2;

B( s)  1;

(1.88)

Siendo A(s) de segundo grado, proponemos que ALC(s) sea un polinomio de tercer grado con raíces en –1, –2 y –3 es decir: ALC (s)  (s  1)(s  2)(s  3)  s3  6s 2  11s  6

11

(1.89)

Las ecuaciones entre polinomios se suelen denominar «diofantinas» en honor a Diofanto de Alejandría conocido como “padre del álgebra” que vivió en el siglo III de nuestra era.

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 1 - pág. 1-55

Para determinar el controlador, es decir X(s) e Y(s), reemplazamos los polinomios en (1.87):

A( s) X ( s)  B( s)Y ( s)  ALC ( s) ( s 2  3s  2)( x1s  x0 )  1( y1s  y0 )  s 3  6s 2  11s  6

(1.90)

resulta obvio que como A(s) es de segundo grado, X(s) e Y(s) solamente pueden ser de primer grado, para que no se exceda el tercer grado impuesto por ALC(s). Desarrollando productos e igualando coeficientes de potencias de s en (1.90) se obtiene:

x1s 3  ( x0  3x1 ) s 2  ( y1  2 x1  3x0 ) s  (2 x0  y0 )  s 3  6s 2  11s  6 s 3:

x1  1

s 2:

x0  3  6;

s1:

y1  2  27  11;

s0:

18  y0  6;

x0  9

(1.91)

y1  36

y0  12

El controlador queda entonces definido como X ( s)  s  9; C ( s) 

Y ( s)  36s  12

Y ( s) 36s  12  X (s) s9

(1.92)

En la función de transferencia de lazo abierto L(s)=C(s) P(s) se comprueba que no ha habido cancelación de polos y ceros; a su vez la función de lazo cerrado T(s)= L(s)/[1+L(s)] posee el dominador ALC(s) propuesto. 36s  12 ( s  9)( s  1)( s  2) L( s ) 36s  12 T ( s)   3 1  L( s) s  6s 2  11s  6 L( s )  C ( s ) P ( s ) 

Fig. 1.53. Respuesta transitoria del sistema estabilizado.

Como vemos en la Fig. 1.53, si bien la respuesta transitoria es estable, la precisión deja mucho que desear. Ello es tema para las secciones siguientes.

1.9.2. Consideraciones para la asignación de polos. Sea el lazo cerrado de control definido según (1.85). Supóngase que A(s) y B(s) son coprimos, siendo n el grado de A(s) y cumpliéndose además n = grado{A(s)} grado{B(s)}. Sea a su vez ALC(s) un polinomio arbitrario de grado nLC = 2n –1. Entonces existen polinomios X(s) e Y(s) de grado nX = nY = n –1 tales que A(s) X (s)  B(s)Y (s)  ALC (s) (1.87).

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 1 - pág. 1-56

El párrafo precedente no es más que la expresión formal de lo que hemos llevado a cabo prácticamente en el ejemplo del punto precedente, donde tuvimos: n = grado{A(s)} = 2; nLC = grado{ ALC(s)}= 2n –1= 4 –1=3 nX = nY = n –1= 2 –1=1. Puede probarse, en base a un teorema debido a J. J. Sylvester que la condición necesaria y suficiente para que la ecuación diofantina (1.87) tenga solución, es que A(s) y B(s) sean primos entre sí. Caso nLC = grado{ALC(s)} < 2n –1 En esta situación la ecuación (1.87) no tiene solución, salvo para polinomios muy especialmente elegidos. El caso carece de interés. Caso nLC = grado{ALC(s)} = 2n –1+ con  entero y positivo En este caso siempre es posible encontrar una solución eligiendo nX = nY = n –1+ ya que en la (1.87) se verifica que grado  A(s) X (s)  B(s)Y (s)  n  n 1    2n 1    grado  ALC (s) . Observación Las consideraciones precedentes establecen las condiciones para las cuales existe solución asumiendo un controlador bipropio12 de grado mínimo. Si en cambio se requiere calcular un controlador estrictamente propio, entonces los grados mínimos de X(s) e Y(s) deben ser respectivamente nX = n y nY = n –1. Correspondientemente, el grado de ALC(s) deberá ser 2n como mínimo. 1.9.3. Agregado de requerimientos Hasta el presente los únicos requerimientos contemplados, han sido obtener un polinomio característico estable y de raíces predeterminadas ALC(s). A continuación consideraremos la satisfacción de especificaciones de precisión y otros requerimientos de performance. 1.9.3.1. Inclusión de integradores Un requerimiento standard es el de error nulo en estado de régimen, ya sea debido a componentes continuas en la variable de referencia o en las señales de perturbación. Para lograrlo, la condición necesaria y suficiente es que el lazo de control sea internamente estable y que el controlador posea por lo menos un polo en el origen. Por ello elegimos: (1.93) X (s)  sX (s) y la ecuación del polinomio característico (1.87) se reescribe como: A(s) X (s)  B(s)Y (s)  ALC (s)

con A( s)

sA( s)

(1.94)

La solución de este problema de asignación de polos puede considerarse equivalente a tener una planta de orden n  n  1 . 12

Un cociente de polinomios es estrictamente propio si el grado del polinomio denominador es mayor que el grado del numerador. Si ambos grados son iguales, se dice del cociente que es bipropio.

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 1 - pág. 1-57

Volviendo a nuestro ejemplo inicial, con la planta inestable definida en (1.88), imponemos el requerimiento de error de régimen nulo ante una entrada en escalón. Proponemos un polinomio característico de cuarto grado ALC (s)  (s  1)(s  2)(s  3)(s  4)  s 4  10s3  35s 2  50s  24

(1.95)

A( s ) X ( s )  B( s )Y ( s)  ALC ( s) ( s 3  3s 2  2s)( x1s  x0 )  1( y2 s 2  y1s  y0 )  s 4  10s 3  35s 2  50s  24 x1s 4  ( x0  3x1 ) s 3  (2 x1  3x0  y2 ) s 2  (2 x0  y1 ) s  y0  s 4  10s 3  35s 2  50s  24 s4:

x1  1

s 3:

x0  3  10;

s2:

2  39  y2  35;

s1:

y1  26  50;

0

s:

(1.96) x0  13 y2  72

y1  24

y0  24

Luego, el controlador implementado es: X ( s)  s( s  13);

Y ( s)  72s 2  24s  24

Y ( s) 72s 2  24s  24 C ( s)   X ( s) s( s  13)

con lo cual: L( s ) 

72s 2  24s  24 s( s  13)( s  1)( s  2)

72s 2  24s  24 T ( s)  4 s  10s 3  35s 2  50s  24 Fig. 1.54. Respuesta transitoria sin y con prefiltro.

De acuerdo a la Fig. 1.54, curva continua, la respuesta de lazo cerrado al escalón de comando exhibe error de régimen nulo, con un importante sobrepasamiento inicial, debido a los ceros del numerador de T(s). El comportamiento transitorio se puede mejorar incluyendo el prefiltro F ( s) 

24 72s  24s  24 2

tal como se muestra en la línea de puntos de la Fig. 1.54. Adicionalmente se debe destacar que, en el caso considerado, el prefiltro F(s) no sólo elimina la oscilación inicial, sino que también reduce el tiempo de respuesta al 5% del valor final.

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 1 - pág. 1-58

1.9.3.2. Cancelación de polos de la planta Algunas veces puede resultar deseable diseñar el controlador de modo que cancele un subconjunto de singularidades estables (polos o ceros) del modelo de la planta. Supongamos desear la cancelación de un polo ubicado en –p, es decir eliminar el factor (s+p) de A(s); por consiguiente Y(s) debe contener también a (s+p) como factor. La ecuación polinómica (1.87) tendrá solución si y solo si (s+p) es asimismo factor de ALC(s). Sea a modo de ejemplo la planta

P( s ) 

3 ( s  1)( s  3)

Sin restricciones adicionales, debe ser grado{ALC(s)}=2n+1=3. Postulando ALC (s)   s 2  5s  16   s  40  se tendrían polos dominantes con n  4 y   0.625 Si deseamos que el controlador incluya un integrador y además que cancele el polo de la planta en –1, deberá ser: ( s  1)( y1s  y0 ) C ( s)  s( s  x0 ) y la ecuación polinómica se transforma en: (s  1)(s  3)s(s  x0 )  3(s  1)( y1s  y0 )  (s  1)(s2  5s  16)(s  40)

Los coeficientes que se calculan son: x0  42; y1  30; y0  640 3 con lo que el controlador queda ( s  1)(30s  640 3) ( s  1)(90s  640) C ( s)   s( s  42) 3s( s  42) siendo la función de transferencia de lazo cerrado: T ( s) 

270s  1920 90(s  7.111)  2 3s  135s  648s  1920 (s  40)(s 2  5s  16) 3

Nótese que el denominador de T(s) incluye el polinomio ALC(s) que habíamos postulado. El cálculo de la f.t. de lazo cerrado es una manera de verificar que el controlador ha sido correctamente determinado.

Fig. 1.54.b. Respuesta transitoria de lazo cerrado.

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 1 - pág. 1-59

1.9.4. Aplicación al dimensionamiento de controladores PID. En primer lugar podemos comprobar algebraicamente que el controlador y2 s 2  y1s  y0 C ( s)  x2 s 2  x1s

y el PID

CPID ( s)  K P 

KI K s  D s  Ds 1

(1.97)

son equivalentes si y1 x1  y0 x2 ; x12

KP 

KI 

y0 ; x1

KD 

y2 x12  y1 x1 x2  y0 x22 ; x13

D 

x2 x1

(1.98)

Para llegar a un controlador PID, necesitamos partir de un modelo de segundo orden de la planta y diseñar un controlador forzando la integración. Por lo tanto tendremos la siguiente situación:

grado  A( s )  n  2 grado  B( s )  1 grado  X ( s )  1 recordar X ( s)  sX ( s ), punto 1.9.3.1.

(1.99)

grado Y ( s )  2 grado  ALC ( s )  2n  4 2 de ( s  1)( s  2) modo tal que la respuesta de lazo cerrado esté dominada por (s 2  4s  9) . Para cumplir con grado{ALC(s)}=4, deberemos poner ALC (s)  (s 2  4s  9)  (s  4)2 con lo cual la ecuación polinomial queda: (s  1)(s  2)( x2 s 2  x1s)  2( y2 s 2  y1s  y0 )  (s 2  4s  9)  (s  4)2

Calculemos por ejemplo un controlador PID para la planta nominal

G( s) 

cuya resolución conduce a: x2  1;

x1  9;

y2  14;

y1  59;

y0  72;

14s 2  59s  72 C( s)  s 2  9s

Aplicando (1.98) los parámetros del controlador PID equivalente son: K P  5.67;

K I  8;

CPID ( s)  K P 

K D  0.93;

 D  0.11

KI K s 8 0.93s  D  5.67   s  Ds 1 s 0.11s  1

 T s  1 1 0.164s   CPID ( s)  K P 1   D   5.67 1     0.71s 0.11s  1   TI s  D s  1 

El método de asignación de polos brinda una manera alternativa para dimensionar controladores PID.

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 1 - pág. 1-60

1.9. Control por adelanto de señal. 1.10.1. Adelanto de perturbaciones. Es muy frecuente en los sistemas prácticos de control la presencia de una perturbación dominante que incide sobre un punto cualquiera de la planta. Por cierto, el controlador se halla en condiciones de combatir la perturbación pero, es primero necesario que el error crezca lo suficiente como para que el controlador comience a reaccionar rechazando la perturbación. Si las constantes de tiempo de la planta son grandes, se pueden originar respuestas transitorias excesivamente prolongadas en el tiempo.

Fig. 1.55. Sistema de control y perturbación dominante

Si la perturbación puede ser medida sin un costo excesivo, resulta entonces posible neutralizarla rápidamente mediante una compensación dinámica. En general, esa compensación deberá ser adicionada a la señal de control (variable manipulada) que actúa sobre la entrada de la planta; ello significa que en el orden de causalidades, se está realizando un adelanto de la perturbación respecto de su punto original de incidencia (véase la Fig. 1.56).

Fig. 1.56. Adelanto de la señal de perturbación.

Del diagrama en bloques deducimos:

Y (s)  G1G2 U (s)  G2 1  G1GD  D(s) .

(1.100)

Por cierto, la influencia de D(s) puede ser anulada si la cantidad entre corchetes de la (1.100) se hace cero: 1 1  G1 ( s)GD (s)  0  GD ( s)   (1.101) G1 ( s) Como por su parte la f.t. parcial G1(s) no es invertible en forma ideal, la función GD(s) sólo podrá ser realizada en forma aproximada. La compensación por este método resulta posible bajo

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 1 - pág. 1-61

la condición de que G1(s) sea estable y de fase mínima (es decir que no posea ceros en el semiplano derecho). Ejemplo: para la planta parcial G1 ( s) 

K1 T1s  1

(1.102)

no es aplicable una inversión ideal, pues ella originaría un componente proporcional+derivador puro. Con la aproximación, (PD restringido) GD ( s)  

1 T1s  1  K1 aT1s  1

(1.103)

se logra una buena compensación. Con el parámetro a se resuelve el compromiso entre la velocidad de compensación y el esfuerzo de control requerido (amplitud de la señal de control) para lograrlo. a = 0.1 ... 0.2 constituye una buena elección. Un adelanto puramente estático de la perturbación (a = 1) es de por sí muy efectivo desde el punto de vista del controlador, ya que le ahorra el esfuerzo de rechazo en condiciones de régimen.

Fig. 1.57. Respuesta a la perturbación. La planta es P(s)=P1(s)P2(s) siendo P1(s)=1.5/(2s+1)(3s+1) y P2(s)=0.5/(10s+1)(20s+1), empleando controlador PI con K=2/3 y Ti=17.5 seg. La f.t. de adelanto de señal utilizada es GD(s)=-(2/3)(5s+1)/(5as+1) con a ajustable.

En la figura 1.57 se muestran los resultados obtenidos en la simulación de una planta formada por la cascada de dos sistemas aperiódicos de segundo orden (polos reales). La respuesta del sistema sin adelanto de perturbación posee un transitorio lento y de amplitud elevada. Se comprueba la efectividad del adelanto estático y la reducción en el esfuerzo de control u(t) a medida que a se va haciendo más pequeño.

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 1 - pág. 1-62

1.10.2. Adelanto de la señal de comando. Desde el punto de vista de un regulador, cuya principal misión es rechazar perturbaciones, las variaciones en el punto de ajuste (o señal de comando), constituyen una ‘perturbación’ adicional, que puede también compensarse con la técnica de adelanto de señal, Fig. 1.58.

Fig. 1.58. Adelanto de la señal de comando.

Idealmente la f.t. GW(s) debiera ser GW(s)=1/G(s), con lo que la salida Y se haría igual a W sin que se generara señal de error por causa de las variaciones del comando. La igualdad GW(s)=1/G(s) impone a su vez la condición de que G(s) sea estable y de fase mínima. En muchos casos, por ejemplo una planta proporcional operada con un controlador también proporcional, el adelanto puramente estático del comando conduce a una reducción del error estacionario y a una mejora de la respuesta transitoria. La implementación práctica de GW(s) implica aceptar una compensación incompleta de los polos de la planta y la presencia de constantes de tiempo parásitas, inevitables para asegurar la realizabilidad física de GW(s). Por esta razón, en la cadena W GW(s)  G(s)  Y, la variable de salida Y “sigue con retraso” a la variable de entrada W. El controlador K(s) reaccionaría entonces ante el error emergente e intentaría corregirlo sin que con ello mejore notoriamente la respuesta. Para evitar la intervención del controlador, es práctica común agregar en el camino de la variable de comando un prefiltro adicional según la siguiente disposición:

Fig. 1.59. Empleo de un prefiltro.

Dimensionando el prefiltro GM(s) de acuerdo con GM (s)  GW (s)  Gˆ (s);

GM (0)  1

(1.104)

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 1 - pág. 1-63

y produciéndose una plena coincidencia Gˆ (s)  G(s) , la variable de salida Y seguirá al comando W. En esta estructura, el controlador K(s) sólo se emplea para corregir errores debidos a perturbaciones actuantes sobre la planta o, en caso errores de modelado Gˆ (s)  G(s) hará que Y siga el andar de V.

1.10.3. Seguimiento de modelo. En nuestro análisis del adelanto de señal, hemos intentado producir, aunque fuera en forma aproximada, la inversión de la función de transferencia de la planta. Las imprecisiones emergentes fueron o bien ignoradas, o bien corregidas mediante filtros especiales, tal como acabamos de hacerlo en el punto precedente. La inversión explícita puede ser evitada, empleando una planta simulada dotada de su correspondiente controlador para generar las señales necesarias (Fig. 1.60).

Fig. 1.60. Control por seguimiento de modelo.

El controlador KF(s) opera sobre un modelo Gˆ ( s) de la planta con la variable de salida Yˆ , produciendo la señal de control UV que es simultáneamente conectada como señal de control de la planta real. Si el modelo Gˆ ( s) es idéntico a la planta G(s) y no hay perturbaciones actuantes, la salida Y será igual a Yˆ . Esta última señal puede ser concebida como variable de comando para el controlador K S ( s) que reaccionará ante perturbaciones o errores de modelo que hagan Y  Yˆ . Observamos en estos ejemplos que estamos agregando grados de libertad al diseño del sistema de control, ya que KS(s) puede proyectarse como regulador (rechazo de perturbación), mientras que KF(s) se dimensiona como servo (seguimiento de comando) en forma totalmente independiente. Ello constituye una extensión de los conceptos de diseño con dos grados de libertad que estudiáramos en el punto1.3. referidos específicamente a controladores PID.

1.10.4. Generador de variables de comando. El procedimiento de control por seguimiento de modelo puede ser extendido sin más al control en cascada, a fin de comandar el comportamiento de las variables intermedias pertenecientes a los lazos internos de control.

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 1 - pág. 1-64

Fig. 1.61. Generador de señales de comando.

El bloque de control Kf (cuya estructura generalmente es no lineal), controla al modelo constituido por las funciones de transferencia parciales Gˆ1 , Gˆ 2 , Gˆ 3 , las que aproximan la dinámica de la planta real G1 , G2 , G3 , controlada en cascada por K S1 , K S 2 , K S 3 . Las señales intermedias Yˆ , Yˆ , Yˆ , además de constituir la realimentación de Kf sirven de variables de 1

2

3

comando para los lazos individuales, por lo que los controladores K S1 , K S 2 , K S 3 , se limitan a rechazar perturbaciones y a compensar errores de modelización. Si el modelo empleado fuera absolutamente exacto y en ausencia de perturbaciones, la salida Uˆ de Kf sería la única señal actuante sobre la cadena completa de funciones de transferencia de la planta. Volveremos sobre el tema de generación de variables de comando más adelante y con mayor profundidad, cuando estudiemos control no lineal y optimización. 1.10.5. Desacoplamiento de plantas multivariables. En el control de procesos industriales aparecen muy frecuentemente plantas que exhiben acoplamientos mutuos entre sus variables. Un ejemplo práctico de la vida diaria es la experiencia que todos vivimos y muchos sufrimos en la ducha (sobre todo de invierno). Con dos válvulas para el agua caliente y fría, debemos producir un caudal determinado de agua a una temperatura agradable: nos enfrentamos a una planta con dos variables de entrada y dos variables controladas, la cual debido a las características de las válvulas, es marcadamente no lineal. El problema de control está caracterizado por la fuerte influencia que ambos actuadores poseen simultáneamente sobre las dos variables controladas. Otro ejemplo de este tipo lo constituye un horno industrial zonificado, en el que un material en proceso de elaboración debe ser sometido a un perfil de temperaturas predefinido, Fig. 1.62.

Fig. 1.62. Esquema de un horno zonificado.

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 1 - pág. 1-65

El material atraviesa el horno por medio de una cinta transportadora, de manera que el perfil temporal de temperaturas se mapea en un perfil de temperaturas locales. Las diferentes zonas de calentamiento están reguladas mediante sensores y controladores individuales. Como es fácil imaginar, las zonas de calentamiento vecinas interinfluyen mutuamente. Ello ocurre por una parte por la transmisión directa de calor (conducción, convección, radiación) y, por otra parte, por el transporte de calor almacenado en el material que se procesa. Consideraremos la estructura más simple de un sistema lineal con variables acopladas: un sistema lineal bivariable (dos variables de entrada y dos de salida) como el representado en la Fig. 1.63. e identificado como “planta”. La planta contiene cuatro bloques dinámicos cuyas entradas y salidas están unidas entre sí. El apareamiento de señales de control y variables de salida queda determinado en la mayoría de los casos por razones de orden físico. De todas maneras se intentará siempre lograr que la influencia mayor y más inmediata sobre una variable de salida sea provocada por su “propia” señal de control y no por la señal de control asignada a otra variable.

Desacoplamiento

Planta

Fig. 1.63. Sistema de control bivariable.

Las funciones de transferencia de acoplamiento cruzado G12(s) y G21(s) propias de la planta dificultan el diseño de los controladores y pueden conducir a problemas de inestabilidad. Mediante una compensación por medio de los bloques E12(s) y E21(s) puede ser contrarrestada, aunque más no sea en forma aproximada, la influencia de los acoplamientos. Para ello se elige E12 ( s)  

G12 ( s) G22 ( s)

y

E21 ( s)  

G21 ( s) , G11 ( s)

(1.105)

como puede demostrarse analizando sistemáticamente las señales en la Fig. 1.63. También en este caso deben ser todas las funciones de transferencia de la planta estables y de fase mínima. La realizabilidad de E12(s) y E21(s) exige además un exceso de polos sobre ceros en ambas funciones de transferencia. Si el desacoplamiento es completo, los controladores K1(s)

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 1 - pág. 1-66

y K2(s) podrán ser diseñados cada uno de ellos en forma independiente y exclusivamente en base a la dinámica de su propia planta (G11(s) o G22(s) según el caso). Por cierto que el método de desacoplamiento que acabamos de describir está limitado a plantas bivariables y resulta de cierta manera anticuado, pero cumple con la finalidad de introducir el tema y vislumbrar las dificultades asociadas. La tendencia actual con respecto a las plantas multivariables es la emplear los conceptos de diseño de controladores por realimentación de estado ampliado, tal como oportunamente veremos.

Ejemplo: control de caudal y temperatura de una mezcla de líquidos. Dos líquidos con temperaturas diferentes (1, 2) deben producir una mezcla de temperatura  (1 1. Para a = 0 la secuencia es constante (secuencia unitaria) F ( z )  Z  (kT ) 

z z 1

(2.47)

y el polo se ubica en z = 1. Para a < 0 la secuencia resulta decreciente y el polo se ubica en el intervalo 0 < z < 1. Los casos tratados se muestran en las figuras 2.21 a), b), c).

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 2 - pág. 2-18

comparar con e)

Fig. 2.21. Correlación entre secuencias temporales y posición de los polos en el plano z.

f k  eakT cos(kT   ) 

Ejemplo 2:

1 akT  j (kT  ) akT  j (kT  ) e e . 2

Según la Ec.(2.46) es 1  z e j z e j  F ( z)     2  z  eaT  jT z  eaT  jT 



F ( z) 

z 2 cos   z eaT cos(T   )  z  eaT  jT  z  eaT  jT 

(2.48)

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 2 - pág. 2-19

Vemos en (2.48) que aparecen dos polos complejos conjugados en la expresión de la transformada z, con el módulo eaT y la fase T con respecto del eje real positivo. Para a > 0 la oscilación es creciente y los polos se ubican por fuera del círculo de radio unitario centrado en el origen del plano z. Para a = 0 la oscilación es de amplitud constante y corresponde a un par de polos sobre la circunferencia unidad. La oscilación decreciente para a < 0 da origen a un par de polos en el interior del círculo unitario. El la Fig. 2.21 d) y e) se muestran dos casos. Para T =  se cancela un polo con un cero y la transformada queda



F ( z )  Z eakT cos(k   )  cos   Z  eaT 

k

   zzcos e aT

(2.49)

ilustrándose la situación en la Fig. 2.20 f). Para |T| >  aparece una secuencia que ya ocurriera para | T| <  , obteniéndose en ambos casos la misma transformada. Pero observemos que |T| >  significa que la frecuencia angular  supera el máximo valor admisible max = muestreo/2 = /T según el teorema de Shannon, por lo cual no nos sorprende la aparición de un alias.

Ejemplo 3:

Si una secuencia se compone tan sólo de una cantidad finita de elementos (0 a N), es decir si se cumple fk = 0 para k > N , entonces la transformada z toma la forma 1

F ( z )  f 0  f1 z 

 fN z

N

f 0 z N  f1 z N 1   zN

 fN

(2.50)

y posee un polo de multiplicidad N en z = 0. Ver Fig. 2.21 h).

Cuando se muestrea una señal continua f(t) cuya transformada de Laplace es F ( s) , a cada polo si de F(s) corresponderá un polo de F ( z )  Z  f (kT ) en zi  esiT con igual multiplicidad. Así,

en el ejemplo 1 es F (s)  L eat   1/( s  a) . Al polo s = a le corresponde el polo en zi  eaT . En el ejemplo 2, la transformada de Laplace de eat cos(t   ) posee dos polos en s  a  j , a los que corresponden los polos en z  eaT  jT . La relación entre la secuencia temporal y los ceros de su transformada z no es sencilla. Partiendo de la regla que una multiplicación de F ( z ) por z 1 corresponde a un retardo (o desplazamiento hacia la derecha) de la secuencia temporal, la influencia de un cero simple puede explicitarse como

F ( z) 

bz  c z z b  cz 1 . aT aT z e z e z  eaT

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 2 - pág. 2-20

La secuencia correspondiente consiste en la suma de la secuencia beakT , k  0 , más la secuencia desplazada un intervalo a la derecha c ea ( k 1)T  c e aT eakT , k  1 es decir:  b f k  Z 1 F ( z )    aT akT   b  c e  e





para k  0 para k  1

(2.51)

Esta secuencia difiere de una secuencia exponencial, únicamente en el valor f0 para k=0. Concordantemente si F ( z ) posee N ceros, éstos influirán en los valores de f0, f1, ... fN-1. A partir de fN la forma de las secuencias depende exclusivamente de los polos, influyendo los ceros únicamente en los factores multiplicativos. Una síntesis de las propiedades de las transformadas z, se incluye en el Apéndice B.

2.3. Resolución de sistemas discretos. Consideraremos algunos ejemplos aplicativos de sistemas discretos, utilizando en su resolución los métodos desarrollados precedentemente y algunas herramientas de software standard. 2.3.1. Un sistema intrínsecamente discreto. Muchos sistemas económicos pueden considerarse en su funcionamiento como intrínsecamente discretos en el tiempo: así por ejemplo un depósito en caja de ahorros va capitalizando intereses a fines de cada mes, la reposición de mercaderías en un supermercado se realiza diariamente, etc. En estos sistemas poco importa cómo evolucionen las variables a lo largo del período de muestreo, únicamente se consideran sus valores en los instantes de muestreo. La siguiente es una formulación simplificada de un modelo de regulación de existencias en el depósito de mercaderías de una fábrica, mediante adecuación de la producción a la demanda. Sean i[k] := nivel de inventario en el período k (cantidad de unidades en existencia) d[k] := demanda acumulada en el intervalo [k–1, k] e[k] := entregas de Producción (fábrica) a Depósito en el período k N := plazo de entrega de Producción (tiempo de fabricación), expresado en períodos, f[k] := orden de fabricación en el período k (cantidad de unidades a producir). Consideraremos a todas estas magnitudes como variaciones respecto de sus valores medios, de tal manera que puedan asumir valores negativos. El modelo de regulación responde a la siguiente formulación matemática

(2.52)

i[k] = i[k–1] + e[k] – d[k]

balance de entradas-salidas de inventario;

e[k] = f[k–N]

retardo de fabricación;

f[k] = – K i[k]

ecuación de producción; el valor de la constante K determina cuántas unidades producir de acuerdo a la variación del inventario.

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 2 - pág. 2-21

Resolveremos las ecuaciones de diferencias (2.52) primeramente en forma directa, partiendo de los siguientes valores numéricos: a) Demanda en escalón d  k   100 unidades, k  0, 1, 2, b) Retardo de fabricación N = 2 períodos, c) Política de producción K = 1. Si reemplazamos valores en (2.52) llegamos a una expresión recursiva que define el esquema de cálculo: i  k   i  k  1  K i  k  2 d  k  i (0) 

0

0

100

 100

i (1) 

100

0

100

 200

i (2) 

200

100

100

 200

i (3) 

200

200

100

 100

i (4) 

100

200

100

0

i (5) 

0

100

100

0

i (6) 

0

0

100

 100

(2.53)

Constatamos en (2.53) que, a partir de k = 6 la secuencia se repite periódicamente, hecho que se muestra en el diagrama siguiente.

Fig. 2.21. Evolución de la variación de stock calculada por (2.53). Se incluyen las líneas de puntos al solo objeto de facilitar la visualización.

Como controlistas, observamos que la política de hacer variar la producción justo en sentido contrario a la variación de inventario (K = 1), lleva al sistema de control de stock a operar en el límite de estabilidad, por lo que nos sentimos tentados a proponer una mejor política de producción. Queda para ejercicio del lector responder a la pregunta: ¿Cuál? Hasta el presente, nos hemos limitado a resolver las ecuaciones (2.52) por recursión en el dominio del tiempo. Aplicando ahora la transformación z a las Ecs.(2.52) tendremos la  siguientes expresiones, donde hemos omitido el tilde sobre las transformadas ya que, al ser el

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 2 - pág. 2-22

sistema intrínsecamente discreto, no existen funciones o variables continuas con las que puedan ser confundidas. I ( z )  z 1 I ( z )  E ( z )  D( z ) z  E ( z )  D( z ) z 1 E( z)  z  N F ( z)

 I ( z) 

(2.54)

F ( z)  K  I ( z)

Las (2.54) nos muestran que nuestro sistema puede ser considerado como un sistema regulador en el que la demanda D(z) actúa como una variable de perturbación:

D(z) K

F(z)

zN

E(z)

–

–

z z 1

I(z)

Fig. 2.22. El sistema de inventario como regulador perturbado.

La función de transferencia de D(z) a I(z) es

I ( z) zN .   N 1 D( z ) z ( z  1)  K

(2.55)

Para evaluar la respuesta, emplearemos como ya lo hiciéramos los valores numéricos K=1 y N=2. Según (2.47) de z d  k   100; k  0, 1, 2, resulta D( z)  100  z 1 siendo entonces I ( z)  

z2 z 100 z 3  100   . z2  z 1 z 1 z3  2z 2  2z 1

(2.56)

Procederemos en primer lugar a antitransformar numéricamente I(z): para ello dividimos el numerador en el denominador de la expresión (2.56), véase página siguiente. No nos sorprende en absoluto obtener en (2.57) el mismo resultado que alcanzáramos en (2.53) ya que, salvo errores de cálculo, debemos llegar a lo mismo por otra vía. Vamos ahora a realizar la antitransformada analítica de (2.56) siguiendo el método de los residuos, ver Apéndice B, expresiones (B.15) a (B.17).

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 2 - pág. 2-23

I ( z )  100 z

3

1

2

3

4

5

6

 ( z  2 z  2 z  1)  100 z  200 z  200 z  100 z  0 z  0 z  100 z  3

2

0

100 z  200 z  200 z  100 3

2

 200 z  200 z  100 2

200 z  400 z  400  200 z

1

 200 z  300  200 z

1

2

(2.57)

1

 200 z

 100  200 z

1

 200 z

100  200 z

1

 200 z  100 z

200 z  400  400 z

2

2

2

3

 100 z 3

Calcularemos en primer término los polos de (2.56)

z1  1 z2  0.5  j 3 / 2 z3  0.5  j 3 / 2;

(2.58)

z2,3  1 .

Por la presencia de polos complejos conjugados con módulo unitario, es decir ubicados sobre la circunferencia de radio uno en el plano z, tenemos la seguridad de que la secuencia de salida poseerá una componente oscilatoria no amortiguada. Tenemos entonces I ( z)  

100 z 3 100 z 3   z3  2z 2  2z 1 ( z  1)( z  0.5  j 3 / 2)( z  0.5  j 3 / 2)

100 z k  2 k 1   Res  I ( z )  z    lim ( z  1)  100 z 1 z 1 ( z  1) ( z 2  z  1)

(2.59) Res  I ( z )  z

k 1

 z  0.5  j

3/2



lim

z 0.5 j 3 / 2

( z  0.5  j 3 / 2) 100 z k  2 ( z  1) ( z  0.5  j 3 / 2) ( z  0.5  j 3 / 2)



k

k 100(0.5  j 3 / 2) 2 (0.5  j 3 / 2) k 3 3 3 j / 2   100 j e 1 e j / 3    0.5  j   100 3  2  3 (1.5  j 3 / 2)

Por cierto, el residuo correspondiente a la raíz z3 será el conjugado del residuo que acabamos de calcular. k 3  j / 2 (2.60) Res  I ( z )  z k 1   100 e 1  e j / 3  .  z 0.5 j 3 / 2 3

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 2 - pág. 2-24

La expresión analítica de la secuencia i[k] será entonces i  k    Res  I ( z )  z k 1  i

z  zi

i  k   100  100

3 j / 2 jk / 3  j / 2  jk / 3 e e  e e 3 

i  k   100  200

3 3       cos  k    100  200  sin  k  3 3  3 2  3

Como era de esperar, para k = se obtiene la secuencia

0,

1,

2,

3, 4, 5,

(2.61)

6,...

{–100, –200, –200, –100, 0, 0, –100,...}.

Con el objeto de ganar experiencia en el manejo de las tablas de transformadas, intentaremos encontrar la expresión de i[k] mediante una descomposición de I(z)/z en fracciones parciales. Descomponemos I(z)/z y no simplemente I(z) al objeto de, una vez terminado el procedimiento, multiplicar las fracciones por z y así obtener funciones racionales que contienen z en el numerador, tal como las incluidas en las tablas del Apéndice A. Por otra parte, resulta aconsejable dejar sin descomponer los elementos correspondientes a polos complejos, a fin de operar exclusivamente con coeficientes reales. Partiendo entonces de (2.56) se tiene I ( z) 100 z 2 100 100    2 2 z  z  1  z  z  1  z  1  z  z  1

(2.62) I ( z)  

100 z 100 z  2  z  1  z  z  1

La primera fracción corresponde a la transformada de un escalón de amplitud –100 como podemos comprobar en la primera línea de la tabla de página A-1. La segunda fracción corresponde a la forma

  Z sin(0t ) 

  z sin(0T ) z  2 z cos(0T )  1 2

contenida (para =1) en la segunda línea de la página A-3. Siendo nuestro sistema intrínsecamente discreto el valor de T corresponde a la unidad (o período de operación). Comparando las fracciones se obtiene: 2cos 0  1



cos0  0.5



0 

  sin 0  1    1/ sin 0



  2 3/3



3

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 2 - pág. 2-25

Por lo tanto, de (2.62) obtenemos I ( z)  

100 z 100 z 2 3      2  100  Z   k   100   Z sin k   3  z  1  z  z  1   3 

(2.63)

y, nuevamente y como no podía ser de otra manera, llegamos a la expresión i  k   100  200

3    sin  k  3  3

(2.64)

coincidiendo con (2.61).

2.3.2. Respuesta de un sistema con componentes continuos. Para el sistema de control muestreado de la Fig. 2.23, se desea calcular la respuesta y(kT) ante un escalón unitario de excitación w(t) = (t), con los parámetros K=0.326 y T=1.

w

1  eTs s

e –

u

K s( s  1)

y

Fig. 2.23. Sistema de control muestreado.

La transformada z de la función de transferencia a lazo abierto se obtiene aplicando la (2.36) Ts  Y ( z)  1  e  K   Go ( z )   Z  E( z) s s  s  1    

Recordando (B.2) y definiendo G2 ( s) 



(2.65)

K , la (2.65) queda s  s  1 2



Go ( z )  Z 1  eTs  G2 ( s)  Z G2 ( s )  Z e TsG2 ( s ) = Z G2 ( s)  z 1 Z G2 ( s) 

z 1 Z G2 ( s) z

(2.66)

Para calcular la transformada z, expandiremos primeramente G2(s) en fracciones parciales: K    K   Z G2 ( s)  Z  2  Z    s  s  1   s

1  1   1  1      = K Z  2   s s  s  1     s  s  1   

(2.67)

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 2 - pág. 2-26

Tz 1 Según Apéndice A, pág. A-1, línea 2: Z  2   2  s   z  1

1  e T  z    1   y según pág. A-2, línea 3: Z   T  s  s  1    z  1  z  e  

Reemplazando estos valores en (2.66) queda

1  e T  z    T z  1  Tz 1  e T   Go ( z )  K   K   z  1 z  e T  . 2 T z   z  1  z  1  z  e    

(2.68)

Con T=1 y K=0.326 según lo especificado tendremos Go ( z )  0.12

Para el escalón w(t) = (t) resulta W ( z ) 

z  0.718 . ( z  1)( z  0.368)

(2.69)

z , con lo que la transformada z del error actuante z 1

e(t) se calcula como 1 1 z z 2  0.368 z E( z)  W ( z)    1  Go ( z ) 1  Go ( z ) z  1 z 2  1.248 z  0.454

(2.70) E( z) 

z ( z  0.368) ( z  0.624  0.255 j )( z  0.624  0.255 j )

Aplicando el cálculo de residuos según (B.16) Res  E ( z ) z k 1  Res  E ( z ) z k 1 

z  0.624  0.255 j

 0.714 e j 2.353  0.674 e j 0.393 

z  0.624  0.255 j

 0.714 e  j 2.353  0.674 e  j 0.393 

e(kT )   Res  E ( z ) z k 1  i

k

k

(2.71)

z  zi

Y siendo y(kT )  1  e(kT ) resulta para la secuencia de salida la expresión y (kT )  1  0.714 e j 2.353  0.674 e j 0.393   0.714 e  j 2.353  0.674 e  j 0.393  k

k

(2.72) y (kT )  1  1.42  (0.674)k cos  0.393k  2.353 .

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 2 - pág. 2-27

La Fig. 2.24 grafica la secuencia y(kT). Dado que en la Fig. 2.23 la función escalonada u excita a un sistema dinámico continuo con dos polos más que ceros en su función de transferencia, está garantizada la continuidad tanto de y(t) como de su derivada dy/dt, por lo que estamos plenamente autorizados a unir los puntos de la secuencia y(kT) con una curva continua, resultando entonces innecesario calcular y(kT+T).

Fig. 2.24. Respuesta al escalón de comando, sistema de la Fig. 2.23.

A continuación analizaremos la calidad de los resultados que podemos obtener empleando las herramientas de software proporcionadas por Matlab. Debemos mencionar aquí que en la página web de la Cátedra se encuentran disponibles los manuales correspondientes al Control System Toolbox.

K 0.326  2 . s  s  1 s  s Emplearemos las variables num y den para definir los polinomios numerador y denominador respectivamente. La función de transferencia se genera con la función tf(num,den) y se almacena en la estructura sysc. Para comenzar debemos definir el sistema continuo de la Fig. 2.23:

>> num=[0.326]; >> den=[1 1 0]; >> sysc=tf(num,den) Transfer function: 0.326 ------s^2 + s

La funcion c2d(sys,T,’método’) convierte al sistema continuo sys en discreto, con el período de muestreo T y aplicando un método especificado. Si es ’método’='zoh' la conversión se efectúa presuponiendo que un muestreador con dispositivo de retención de orden cero ('zoh' = zero order hold ) se encuentra conectado a la entrada del sistema continuo. Para nuestro caso T = 1 de modo que, si almacenamos en sysd la estructura del sistema discreto será:

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 2 - pág. 2-28

>> sysd=c2d(sysc,1,'zoh') Transfer function: 0.1199 z + 0.08614 ---------------------z^2 - 1.368 z + 0.3679 Sampling time: 1

Observamos que procediendo de esta manera, hemos obtenido la función de transferencia de lazo abierto (2.69). Podemos ahora calcular la función de transferencia de lazo cerrado Go ( z ) Y ( z) ,  W ( z ) 1  Go ( z )

(2.73)

valiéndonos de la función feedback(sys1,sys2) de Matlab, donde sys1 es la f.t. de la rama directa y sys2 es la f.t. de la rama de realimentación del sistema. Como en nuestro caso la realimentación es unitaria, tendremos >> yw=feedback(sysd,1) Transfer function: 0.1199 z + 0.08614 --------------------z^2 - 1.248 z + 0.454 Sampling time: 1

Si nos interesa conocer tan solo la forma de la respuesta ante un escalón de entrada, nos bastará invocar la función step(sys) y analizar el gráfico resultante: >> step(yw)

Fig. 2.25. Respuesta y(kT) calculada por Matlab.

Observamos en la Fig. 2.25 que Matlab representa y(kT) simplemente como una función escalonada, sin realizar ninguna especulación de continuidad respecto de lo que ocurre entre los

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 2 - pág. 2-29

sucesivos instantes de muestreo. Por cierto, existe plena coincidencia entre las Figs. 2.24 y 2.25 en los instantes de muestreo. Si nos interesa conocer la forma analítica de Y ( z ) para un escalón W ( z ) 

z , usaremos z 1

>> y=yw*tf([1 0],[1 -1],1) Transfer function: 0.1199 z^2 + 0.08614 z --------------------------------z^3 - 2.248 z^2 + 1.702 z - 0.454 Sampling time: 1

donde tf(num,den,Tmuestreo)es la forma empleada para definir la transformada z de una función, ya que el período de muestreo debe estar explícitamente definido. Puede llegar a interesarnos que Matlab nos calcule la transformada inversa de Y ( z ) . Para ello debemos calcular primeramente los residuos de Y ( z ) / z tal como se aconseja en el Apéndice A. Y ( z) 0.1199 z  0.08614  3 z z  2.248 z 2  1.702 z  0.454

(2.74)

Nos valdremos de la función [r,p,k]=residue(num,den) para calcular los residuos r sobre cada uno de los polos p de (2.74). >> [r,p,k]=residue([0.1199

0.08614],[1 -2.248

1.702

-0.454])

r = 1.0002 -0.5001 + 0.5039i -0.5001 - 0.5039i p = 1.0000 0.6240 + 0.2542i 0.6240 - 0.2542i k = []

El cálculo que acabamos de realizar tiene el siguiente significado

Y ( z ) 1.0002 0.5001 + 0.5039j 0.5001  0.5039j    z z  1 z  0.6240  0.2542j z  0.6240  0.2542j Es decir:

Y ( z) 

1.0002 z  0.5001 + 0.5039j  z  0.5001  0.5039j  z .   z 1 z  0.6240  0.2542j z  0.6240  0.2542j

(2.75)

(2.76)

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 2 - pág. 2-30

La antitransformada de la primera fracción de (2.76) es inmediata: se trata de un escalón de amplitud 1.002; a continuación vamos a antitransformar la segunda fracción empleando el cálculo simbólico de Matlab. Definimos z como variable simbólica y formamos la expresión simbólica de la segunda fracción: >> syms z >> B=(-0.5001 + 0.5039i)*z/(z-0.6240 - 0.2542i) B = (-5001/10000+5039/10000*i)*z/(z-78/125-1271/5000*i)

Vemos que los coeficientes de la expresión simbólica B quedan en formato de fracción de números enteros. Podemos ahora aplicar la función iztrans(B) para antitransformar B. >> iztrans(B) ans = -5001/10000*(78/125+1271/5000*i)^n+5039/10000*i*(78/125+1271/5000*i)^n

Matlab emplea n como indicador standard de instante de muestreo; algunas versiones admiten la invocación iztrans(B,k) para sustituir n por k . Acabamos de calcular entonces

  0.5001 + 0.5039j  z  k Z 1     0.5001 + 0.5039j  0.6240  0.2542j   z  0.6240  0.2542j 

(2.77)

Podemos llevar la expresión (2.75) a forma polar, empleando comandos elementales de Matlab: >> abs(-0.5001 + 0.5039i) ans = 0.7099 >> angle(-0.5001 + 0.5039i) ans = 2.3524 >> abs(0.6240 + 0.2542i) ans = 0.6738 >> angle(0.6240 + 0.2542i) ans = 0.3868

con lo que (2.77) toma la forma k   0.5001 + 0.5039j  z  j 2.3524 Z 1  0.6738 e j 0.3868     0.7099 e  z  0.6240  0.2542j 

 0.7099  0.6738  e k

j  0.3868 k  2.3524 

(2.78)

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 2 - pág. 2-31

Correspondientemente, la antitransformada de la tercera fracción de (2.76) es la conjugada de la que acabamos de calcular:

  0.5001  0.5039j  z  k  j  0.3868 k  2.3524  . Z 1    0.7099  0.6738 e  z  0.6240  0.2542j 

(2.79)

La antitransformada completa de (2.76) calculada mediante Matlab es:

y(kT )  1.0002  1.4198  (0.6738)k cos  0.3868k  2.3524 .

(2.80)

Comparando (2.80) con nuestros cálculos manuales Ec. (2.72), observamos ligeras diferencias atribuibles a errores numéricos acumulados por los redondeos en la solución Matlab. Concluimos que las herramientas de software brindan la posibilidad de evaluar rápidamente el comportamiento de un sistema discreto; sin embargo, a la hora de la determinación de soluciones analíticas, se hace necesario proceder con cautela por la influencia de los errores numéricos.

2.3.3. Aplicación de la transformada z modificada a sistemas continuos con tiempo muerto. Analizaremos el sistema simple con tiempo muerto de la Fig. 2.26, donde F(s) indica la función de transferencia de los componentes racionales del sistema completo G(s), el que incluye un tiempo muerto Tm. En F(s) consideraremos incluida la f.t. del dispositivo de retención de orden cero que eventualmente pudiera formar parte del sistema muestreado.

xe

G ( s)  F ( s ) eTm s

xa

Fig. 2.26. Sistema muestreado con tiempo muerto.

Se busca entonces la expresión de la función de transferencia z 





G( z )   g (kT ) z  k  Z F ( s) eTm s . k 0

(2.81)

El tiempo muerto Tm se considera expresable por la cantidad entera m de períodos de muestreo más próxima por exceso, menos una fracción , es decir: Tm  mT   T ;

0   1 .

(2.82)

La función ponderante de la parte continua vale g (t )  f (t  Tm )  f (t  mT  T )

Sustituyendo y aplicando la fórmula del retardo de una secuencia (B.2) en (2.81) obtenemos

(2.83)

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 2 - pág. 2-32







k 0

k 0

k 0

G( z )   g (kT ) z  k  f (kT  mT   T ) z  k  z  m  f (kT   T ) z  k

G( z )  z  m F ( z,  )  z  m Z F ( s) 

(2.84)

Con ayuda de las tablas del Apéndice A, se calcula la transformada z modificada F ( z,  ) del sistema sin tiempo muerto, sustituyendo para  el valor de  obtenido en la (2.82). Esta expresión se multiplica por z-m y el resultado es la transformada buscada. Sea por ejemplo el sistema de la Fig. 2.27: deben determinarse las funciones de transferencia z para los valores del período de muestreo T=2 y T=0.25 .

xe

1  e Ts s

xa

e1.6 s 1  2s

Fig. 2.27. Sistema con tiempo muerto.

La función de transferencia excluido el tiempo muerto es F ( s) 

1  eTs s 1  2s 

Recordando la metodología empleada en (2.66) se obtiene F ( z,  ) 

z 1 Z z

  z  1 1 Z   z  s 1  2s  

1  1     s s  0.5 

(2.85) 0.5 T  e0.5T  1  e0.5 T  z z 1  z z  e 0.5 T  e F ( z,  )   ,   z  z  1 z  e 0.5T  z  e 0.5T

que reemplazada en (2.84) da G( z ) 

e0.5  T  e0.5T  1  e0.5  T  z z m  z  e0.5T 

(2.86)

Para un período de muestreo T=2 se tiene: Tm = 1.6 = 2m–2 ; m=1; T =0.4;  =0.2

G( z ) 

0.181 z  0.451 . z  z  0.368

(2.87)

Y para T=0.25 calculamos: Tm = 1.6 = 0.25m–0.25 ; m=7; T =0.15;  =0.6

G( z ) 

0.072 z  0.046 . z 7  z  0.882 

(2.88)

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 2 - pág. 2-33

Observando (2.87) y (2.88) nos encontramos frente al notable resultado que la función de transferencia de un sistema muestreado con tiempo muerto resulta racional en z. En consecuencia, la ecuación característica de un sistema de control discreto con tiempo muerto es también racional en z, lo que hace que los cálculos resulten mucho más sencillos que en el caso continuo.

Fig. 2.28. Respuesta al escalón, sistema con tiempo muerto, períodos de muestreo T=2 y T=0.25 unidades de tiempo.

2.4. Respuesta en frecuencia de los sistemas muestreados. Si un sistema discreto cuya respuesta impulsiva es g(k) es excitado por una sinusoide de frecuencia variable u(t) = sin(t) muestreada con período T, el sistema recibe a su entrada la señal u*(n)=sin(nT) por lo que generará a su salida una sucesión de impulsos y(n).

u(t) = sin(t) xa

T

sin(nT)

g(k)

y(n)

Fig. 2.29. Sistema con excitación senoidal.

Aplicando convolución calculamos los impulsos de salida n n n   j n  k T  y(n)   g (k )  sin  n  k  T   Im  g (k )  e     Im e jnT  g (k )  e jkT  (2.89) k 0 k 0  k 0   

Si el sistema es estable para la frecuencia de muestreo s =2/T, entonces g(n)0 cuando n, por lo que para valores elevados de n (estado de régimen) tendremos que 

n

k 0

k 0

G* ( s)   g (k ) e skT   g (k ) e skT ,

(2.90)

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 2 - pág. 2-34

con lo que y(n) quedará de la forma: y(n)  Im e jnT G* ( j)

(2.91)

o bien, expresado como función sinusoidal y(n)  G* ( j)  sin(nT   ) ;

con   arg G* ( j)  .

(2.93)

Si hacemos el cambio de variables z  e jT en (2.93) la expresión quedará de la forma

y(n)  G( z )

z e jT

sin(nT   )

(2.94)

con lo que la salida del sistema es una señal sinusoidal que tiene la misma frecuencia que la señal de entrada, se encuentra desfasada respecto de ella y su módulo depende de G( z ) jT . z e

Resulta clara la similitud con el caso continuo. Como ejemplo ilustrativo, compararemos la respuesta en frecuencia del sistema continuo G( s) 

5 s  s5 2

(2.95)

con las respuestas en frecuencia del mismo sistema integrado en un sistema discreto, con muestreadores de período T=0.1 y T=1 y dispositivo de retención de orden cero. Nos valdremos para ello de las instrucciones pertinentes de Matlab.

Fig. 2.30. Diagrama de Bode de un sistema de segundo orden muestreado.

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 2 - pág. 2-35

>> >> >> >>

sys=tf([5],[1 1 5]); sysd1=c2d(sys,0.1,'zoh'); sysd2=c2d(sys,1,'zoh'); bode(sys,sysd1,sysd2)

Observamos en el gráfico que el comando bode() limita automáticamente la máxima frecuencia de graficación al valor correspondiente a la frecuencia de Nyquist para los sistemas discretos ( = y  =10, para T=1 y T=0.1 respectivamente).

2.5. Espectro de una señal muestreada. Recordando el punto 2.1.1. y la expresión (2.8), una señal f(t) muestreada con período T, a la que designamos f *(t), puede considerarse como una secuencia infinita de impulsos de Dirac modulados por el valor de f(t) en el instante de muestreo. 



k 

k 0

f * (t )  f (t )   (t  kT )   f (kT )  (t  kT )

(2.96)

donde hemos supuesto, para facilitar la posterior aplicación de la transformación de Laplace que f(t) = 0 para t  0. La secuencia infinita de impulsos de Dirac es una función periódica de período T y es representable mediante una serie de Fourier cuyos coeficientes se calculan como: 1 Cn  T

    j 2 nt / T dt ,    (t  kT )  e   T / 2  k  T /2

(2.97)

como tan solo un elemento de la sumatoria (el correspondiente a k =0) se encuentra comprendido dentro de los límites de integración es 1 Cn  T

T /2



 (t ) e j 2 nt / T dt ;

(2.98)

T / 2

dado que el impulso de Dirac sólo existe para t =0, la exponencial se hace uno (1) y (2.98) vale: Cn 

1 T

T /2



1  (t ) dt 

T / 2

1 , T

(2.99)

ya que por definición el área encerrada por (t) vale 1. La expresión (2.99) nos dice que todos los coeficientes de la serie de Fourier correspondiente a un tren de impulsos son iguales entre sí y valen 1/T. Por consiguiente la representación en serie del tren de impulsos es 



  (t  kT )   C e

k 

n 

n

j 2 nt / T



1 T



e

n 

j 2 nt / T



1 T



 cos(2 nt / T )

n 

(2.100)

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 2 - pág. 2-36

En (2.100) aparecen únicamente los términos en cosenos ya que el tren de impulsos es una función par. Valga una aclaración respecto de las variables de sumación k y n: no son más que índices y al aparecer en diferentes términos de la ecuación, nada nos impediría usar el mismo nombre para los dos; de hecho algunos autores lo hacen. Nosotros por una cuestión de ‘prolijidad’ los diferenciamos: k aparece como marcador en el tren de impulsos y n aparece como índice de los coeficientes de Fourier. Si reemplazamos el tren de impulsos en (2.96) por su representación en serie, obtenemos: 

f * (t )  f (t )   (t  kT )  f (t ) k 

1 T



e

j 2 nt / T

.

(2.101)

n 

Estamos ahora en condiciones de calcular la transformada de Fourier de la señal muestreada 

1  F ( )  F  f (t )    f (t ) T   *

*



e

j 2 nt / T

n 

  j t dt e 

(2.102)

que se puede reescribir como F * ( ) 

1   T n





f (t ) e j ( 2 n / T ) t dt .

(2.103)



Como la transformada de la función continua f(t) es F ( ) 





f (t ) e j t dt ,

(2.104)



la relación entre las transformadas de Fourier de la señal continua y la muestreada resulta ser F * ( ) 

1   F (  2 n / T ) . T n

(2.105)

La transformada de Fourier F *() de la señal muestreada f *(t) está compuesta por la superposición de infinitas copias de F(), separadas entre sí por múltiplos del valor de la frecuencia de muestreo m = 2 /T. Si el espectro de amplitudes contiene componentes de frecuencias superiores a m /2 (frecuencia de Nyquist), entonces las copias desplazadas de F() se superpondrán y la señal original no podrá ser reconstruida mediante un filtro pasabajos aplicado a la señal muestreada. Aparecen aquí los problemas de alias que tratamos en el punto 2.1.1. La Fig. 2.31 ejemplifica las relaciones que acabamos de exponer. Aplicando la transformación de Laplace a (2.101) 

L  f * (t )  F * (s)  L  f (t ) 

1 T

1    j 2 nt / T  e  L   f (t )  e j 2 nt / T  ,   n   T n  

(2.106)

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 2 - pág. 2-37

Fig. 2.31. Espectros de señales muestreadas.

y recordando que un amortiguamiento temporal corresponde en el dominio transformado a un desplazamiento en la variable s, de (2.106) se deduce: F * ( s) 

1 T



1



 F (s  j 2 n / T )  T  F (s  jn

n 

n 

m

)

(2.107)

Fig. 2.32. Mapeo de la franja principal del plano s sobre la totalidad del plano z.

Al igual que se repite el espectro de frecuencias en el dominio de Fourier, vemos que la transformada de Laplace de la señal muestreada se repite con desplazamiento periódico a lo largo del eje j en el plano s. Ello a su vez significa que las singularidades de la transformada

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 2 - pág. 2-38

continua F(s) son repetidas en franjas horizontales sucesivas (normales al eje j). La franja del plano s comprendida entre –jm/2 y +jm/2 se denomina franja principal y es la región que se mapea sobre la totalidad del plano de la variable z a través de la transformación z=eTs (Fig.2.32).

Fig. 2.33. Mapeo correspondiente al círculo unitario en el plano z.

Cuando un punto recorre el segmento [/T, +/T] del eje j en el plano s, el punto correspondiente en el plano z recorre la circunferencia de radio unitario centrada en el origen. En la Fig. 2.33, la región de estabilidad de la franja principal del plano de s se mapea en el interior del círculo unitario en el plano z, siempre bajo la transformación z=eTs. 

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 3 - pág. 3-1

3. Estabilidad de sistemas discretos. 3.1.

Discretización de sistemas continuos.

3.1.1. Conversión a ecuación de diferencias de la ecuación diferencial de un elemento continuo. Cuando un componente continuo forma parte de un sistema de control discreto, resulta importante poder calcular su respuesta a señales muestreadas y asimismo analizar su influencia sobre la estabilidad global del sistema. Si se cuenta con la descripción analítica del elemento continuo bajo la forma de una ecuación diferencial ordinaria lineal, resulta posible discretizarla, es decir convertirla en una ecuación de diferencias. Sea dny d n1 y  a  n 1 dt n dt n1

 a1

dy d mu  a0 y  bm m  dt dt

 b1

du  b0u dt

(3.1)

la ecuación diferencial del elemento continuo de la Fig. 3.1.

u(t)

Elemento Continuo

y(t)

Fig. 3.1.

Si la señal u(t) es muestreada con período T e interesa conocer los valores de y(t) en los instantes de muestreo, la ecuación (3.1) puede ser discretizada, reemplazando las derivadas primeras por diferencias retrógradas sobre el período de muestreo. dy y (kT ) y(kT )  y  (k  1)T    dt t kT T T

(3.2)

Las derivadas de orden superior se forman como diferencias de diferencias:  y (kT ) 1  y (kT )  y  (k  1)T  y  (k  1)T   y  (k  2)T   d2y  2 2     2 dt t  kT T T T T 

(3.3) 

y (kT )  2 y  (k  1)T   y  (k  2)T  T2

3 y(kT ) y(kT )  3 y  (k  1)T   3 y  (k  2)T   y  (k  3)T  d3y   dt 3 t kT T3 T3

(3.4)

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 3 - pág. 3-2

y así sucesivamente. Observamos que las expresiones (3.2) a (3.4) son tanto más exactas cuanto menor sea el período de muestreo T respecto de las constantes de tiempo dominantes del elemento lineal. Remplazando en (3.1) las derivadas por las correspondientes diferencias obtenemos y(kT )  1 y  (k  1)T    2 y  (k  2)T    0u (kT )  1u  (k  1)T  

  n y  (k  n)T 

(3.5)

  mu  (k  m)T 

esta ecuación de diferencias representa una relación entre un número n de valores precedentes de la señal de salida y los m valores anteriores de la señal de excitación. Obsérvese que m y n se corresponden con el orden de las derivadas presentes en la ecuación diferencial original (3.1). Por cierto, aplicando transformación z sobre (3.5), podemos obtener la función de transferencia de pulsos correspondiente al elemento discretizado. Y ( z ) 1  1 z 1   2 z 2 

  n z  n   U ( z )   0  1 z 1 

  m z  m 

(3.6)

 0  1 z    m z Y ( z)  . U ( z ) 1  1 z 1   2 z 2    n z  n 1

m

3.1.2. Transformación z exacta. Muy frecuentemente la operación de una planta continua se encuentra insertada en una lazo discreto de control, recibiendo la señal del controlador digital a través de un actuador que es operado por un convertidor A/D dotado de un dispositivo de retención. La variable controlada es medida y convertida en señal digital a través de un conversor A/D que opera como muestreador, de acuerdo al esquema general de las figuras (2.1) y (2.3) del capítulo precedente, cuyas principales características resumimos en la Fig. 3.2.

DEL CONTROLADOR DIGITAL

u* U ( z)

1  eTs s

G ( s)

CONV. D/A CON RETENCION

PLANTA CONTINUA

y(t)

A/D

y(kT) Y ( z)

CONV. A/D y MUESTREADOR

Fig. 3.2 Planta continua bajo control discreto.

Nuestra tarea consistirá en calcular la función de transferencia de pulsos de la planta continua cuya función de transferencia es (3.7), complementada por el dispositivo de retención para un cierto valor del período T de muestreo.

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 3 - pág. 3-3

bm s m   b1s  b0 G( s)  n s   a1s  a0

(3.7)

Observemos que el problema propuesto ya ha sido resuelto para un caso particular en el punto 2.3.2. (expresiones (2.65) a (2.68)) del capítulo precedente. Formalmente entonces tendremos:

Go ( z ) 

1  eTs  z  1  G(s)  Y ( z)  Z  G( s)   Z  U ( z) z  s   s 

(3.8)

G(s) puede ser descompuesta en fracciones parciales. Denominaremos R a los residuos calculados sobre los polos s , supuestos simples, de G(s). n

R (G )  1 s  s

G( s)  

(3.9)

Por la propiedad de linealidad de la trasformación z, resulta posible transformar los sumandos originados por (3.9) en forma individual y luego sumarlos, con lo que (3.8) queda: Go ( z ) 

  n R (G)    z 1    Z L1     z   1 s  s  s   t kT     

(3.10)

Para s  0 resulta de acuerdo a la tabla del Apéndice A:





 1  e sT z  R (G)     R  1  Z L  .   s T s s  s s   z  1 z  e           t  kT  





(3.11)

Para s = 0 aparece un polo doble en el origen, y es 

 R (G)   T R z .   2 2  s t kT   z  1

Z L1  

(3.12)

En cada sumando se puede simplificar (z–1) del denominador con el factor de la sumatoria (3.10). Una z en el numerador se puede asimismo simplificar con el divisor de la sumatoria. Empleando la definición z  esT se obtiene para s  0

R (G) 1  z  . s z  z  1 n

Go ( z )  

(3.13)

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 3 - pág. 3-4

Por cierto, si se dispone de Matlab, se procederá como se hizo en el punto 2.3.2, empleando la función c2d(sys,T,'zoh') para convertir el sistema continuo sys en discreto empleando un dispositivo de retención de orden cero 'zoh'.

3.1.3. Transformación z aproximada. La transformación z exacta emplea la relación z  eTs , por lo que en principio debiera ser posible emplear la relación inversa s = ln(z)/T, para transformar la función de transferencia continua. Lamentablemente la relación inversa no conduce a una función de transferencia racional en z. En consecuencia, se buscan relaciones simples que, aunque aproximadas, conduzcan a cocientes polinómicos sencillos.

1 que representa a un integrador, s buscaremos funciones discretas que aproximen la integración. Partiendo de la función de transferencia continua G ( s) 

Recordando el método numérico de integración por la regla del rectángulo tenemos dos posibilidades: operar con la suma superior o con la suma inferior sobre el paso de integración T, que por cierto coincide con nuestro período de muestreo. Suma superior: y  k   y  k  1  T u  k 



 1 Y ( z ) 1    T U ( z )  z

Y ( z) T z  ; U ( z) z 1 Suma inferior: y  k   y  k  1  T u  k  1



 1 1 Y ( z ) 1    T U ( z )  z z

Y ( z) T  . U ( z) z 1

(3.14)

(3.15)

Tenemos entonces inicialmente dos alternativas de sustitución para la variable s

o bien

1 Tz z 1  , es decir: s  s z 1 Tz

(3.16)

1 T z 1 .  , es decir: s  s z 1 T

(3.17)

Una mejor aproximación al integrador continuo es la que proporciona la regla del trapecio para la integración numérica y  k   y  k  1 

T u k   u k  1 2



 1 T  1 Y ( z ) 1     1   U ( z )  z 2 z

(3.18)

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 3 - pág. 3-5

Y ( z) T z  1 ,   U ( z) 2 z 1

(3.19)

que conduce a la substitución 1 T z 1   , s 2 z 1

es decir s 

2 z 1 .  T z 1

(3.20)

Notamos por una parte que la regla del trapecio corresponde a la semisuma de los resultados que brindan la suma inferior y la suma superior de la regla del rectángulo: de (3.16) y (3.17) obtenemos (3.20) 1 Tz T  T z 1 .    2  z  1 z  1 2 z  1

Por otra parte, del desarrollo en serie del logaritmo de variable compleja  z  1 1  z  1 3 1  z  1  5 ln( z )  2          z  1 3  z  1  5  z  1 

  

(3.21)

truncado en el primer término, también se obtiene: s

2 z 1 ,  T z 1

(3.22)

que es denominada fórmula de Tustin.

Y ( z)

U (z)

U (z)

Y ( z)

U (z)

Y ( z)

Suma superior

Suma inferior

Regla del trapecio (Tustin)

Fig. 3.3 Realizaciones de integradores discretos.

3.1.4. Comparación gráfica de las transformaciones z exacta y sus aproximaciones. La transformación z exacta (Fig. 3.4) transforma rectas paralelas al eje imaginario del plano s en circunferencias centradas en el origen de z. El eje imaginario es transformado en la circunferencia unitaria del plano z. Rectas paralelas al eje real de s se mapean en rectas que pasan por el origen del plano z.

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 3 - pág. 3-6

Fig. 3.4 Transformación exacta.

La transformación según la suma inferior por la regla del rectángulo, brinda una mala aproximación (véase Fig. 3.5).

Fig. 3.5 Mapeo por suma inferior (regla del rectángulo).

Aplicando la transformación por la suma superior, obtenemos la Fig. 3.6:

Fig. 3.6 Mapeo por suma superior (regla del rectángulo).

Para períodos de muestreo pequeños con respecto a las constantes de tiempo dominantes del sistema, la aproximación de Tustin (regla de integración del trapecio) brinda un mapeo relativamente bueno.

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 3 - pág. 3-7

Fig. 3.7 Mapeo por la fórmula de Tustin (regla trapecial).

3.2.

Análisis de estabilidad.

3.2.1. Definiciones y condiciones generales de estabilidad. Al igual que en el caso continuo, un sistema discreto es estable si, sometido a una señal de entrada de amplitud limitada, responde con una señal de salida también limitada en amplitud. Recordemos lo tratado en el Capítulo 2, punto 2.2.2. Allí considerábamos un sistema lineal cuya respuesta impulsiva es g(t), excitado por una secuencia de impulsos u(kT) de amplitud finita. u(kT)

g(t)

y(t)

Como el sistema es lineal, la respuesta total y(t) puede ser calculada como la superposición de las respuestas parciales a cada uno de los impulsos actuantes, es decir: 

y (t )   u (kT )  g (t  kT ) k 0

La precedente, es la Ec. (2.21) y representa una sumatoria de convolución, por lo que si la respuesta impulsiva no tiende a cero para tiempos crecientes, entonces y(t) crecería fuera de todo límite y el sistema resultaría inestable. Un sistema de tiempo discreto que es excitado por una secuencia acotada |u(k)| < c posee estabilidad de entrada/salida (en inglés BIBO1 stability) si su respuesta impulsiva converge hacia cero para k   lim g (k )  0 . k 

1

BIBO = Bounded Input Bounded Output (entrada acotada salida acotada).

(3.23)

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 3 - pág. 3-8

La función de transferencia de pulsos es la transformada z de la respuesta impulsiva G( z )  Z  g (k ) ,

(3.24)

y puede ser descompuesta en fracciones parciales, cuando se conocen sus polos. En caso de polos simples se obtiene n

R z  1 z  z

G( z )  

(3.25)

siendo z los polos y R los residuos correspondientes. Por otra parte y de acuerdo a la expresión (B.15) del Apéndice B, g(k) admite el desarrollo en serie n

g (k )   R zk 1 .

(3.26)

 1

Vemos entonces que, para que g(k) converja hacia cero para k  , es necesario que cada uno de los sumandos de (3.26) tienda a cero, lo cual obviamente requiere que | z | < 1, ya que los R son constantes. El mismo análisis es igualmente válido para polos múltiples. Hemos demostrado entonces que un sistema de tiempo discreto es estable, cuando todos los polos de la función de transferencia de pulsos se encuentran en el interior del círculo unitario en el plano z.

El desarrollo de las herramientas de software para simulación de sistemas discretos, induce la tendencia simplista de querer comprobar la estabilidad en forma ‘directa’ simulando la respuesta del sistema a una entrada conocida. Si la simulación da estable, entonces el sistema debiera ser estable. Pero ello no es necesariamente verdadero, tal como lo demuestra el siguiente ejemplo, desarrollado a partir de la Fig. 3.8.

xe

1  e Ts s

2  3s ( s  1)  ( s  1) 2  1

xa

Fig. 3.8 Ejemplo de oscilaciones ocultas.

La excitación de entrada es un escalón xe(kT) =(kT) con transformada X e ( z )  La salida se calcula con las tablas del Apéndice A:

z . z 1

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 3 - pág. 3-9

X a ( z)  X e ( z)

 z  1  2  3s Z  2 z    ( s  1) ( s  1)  1 

(3.27)

1  1 1 z z z e sin(T )  Z     2  2 T z  2 zeT cos(T )  e 2T  s s  1 ( s  1)  1  z  1 z  e T

con lo que xa (kT )  1  e kT  ekT sin(kT )

(3.28)

En (3.28) el término senoidal posee amplitud creciente, debido a la exponencial positiva. Ahora bien, si el período de muestreo es T=, el seno desaparece y la respuesta que se obtiene es xa (k )  1  e k

(3.29)

aparentemente estable. La inestabilidad ha quedado ‘oculta’ enmascarada por un valor del período de muestreo que no permite su observación. Lo que acabamos de exponer se grafica en la Fig. 3.9, donde se observa claramente la inestabilidad de la salida para un período de muestreo diferente de T=.

Fig. 3.9 Respuestas al escalón del sistema de la Fig 3.8 para diferentes tiempos de muestreo.

3.2.2. Condiciones numéricas de estabilidad. En este apartado daremos algunos criterios, mediante los cuales puede probarse si las raíces de un polinomio P( z)  a0  a1 z  a2 z 2 

 an z n  0,

con an  1

(3.30)

se encuentran en el interior del círculo unitario del plano z. Particularmente nos interesa el caso en que P(z)=0 es la ecuación característica de un sistema a lazo cerrado.

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 3 - pág. 3-10

Por supuesto puede objetarse que, si se dispone de Matlab, Maple u de otro software aplicativo matemático, el problema práctico de la determinación de las raíces de un polinomio se encuentra resuelto y por lo tanto pudiera parecer ocioso hablar de condiciones numéricas de estabilidad. Sin embargo estas condiciones y los métodos asociados a las mismas permiten resolver problemas generalizados donde no se encuentran definidos la totalidad de los coeficientes del polinomio, tales como la determinación de rangos de parámetros de controladores que aseguren el funcionamiento estable del sistema discreto.

3.2.2.1. Transformación bilineal. Empleando la transformación bilineal z

1 w 1 w

(3.31)

el interior del círculo unitario en z, se mapea sobre el semiplano izquierdo de w. En consecuencia, el problema de determinar la existencia de raíces de P(z) en el interior del círculo unitario se reduce a determinar si todas las raíces de P(w) se encuentran en el semiplano izquierdo de w por aplicación del criterio de Routh2 sobre P(w). Como la transformación bilineal resulta en la práctica un método trabajoso de aplicar, existe la tendencia de emplear otros criterios que brindan condiciones aplicables directamente sobre P(z). 3.2.2.2. Condiciones necesarias. Para evitar cálculo innecesarios, es siempre conveniente conocer condiciones simples, ya sean necesarias o solamente suficientes para asegurar la estabilidad de un sistema discreto lineal. Existen multitud de tales condiciones, de las cuales son realmente útiles aquéllas que puedan verificarse con facilidad. Sin demostración3, enunciaremos algunas condiciones necesarias aplicables al polinomio P(z):

a0  an .

1. 2.

0  P(1)  2n ,

(3.32)

0  (1)n P(1)  2n

(3.33)

donde n es el grado del polinomio P(z). n

3.

2 ai   ak , i  0, 1,

, n 1

(3.34)

k 0

4. Desarrollando el producto P( z)  ( z  z1 )  ( z  z2 )  2

 ( z  zn ), an  1, se obtiene para zi  1

Véase al respecto: K. Ogata, Ingeniería de Control Moderna, capítulo 6. Recomendamos al lector curioso la obra de E.I. Jury, Theory and application of the z-transform method. New York: J. Wiley 1964. 3

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 3 - pág. 3-11

la condición necesaria n ai    , i 

i  0, 1,

, n 1 .

(3.35)

Para polinomios con coeficientes reales, algunas de estas condiciones pueden especificarse aún más: n2 a0  1 , a1  2 n3

a0  1 , 1  a1  3 ,

a2  3

n4

a0  1 ,

2  a2  6 ,

a1  4 ,

(3.36) a3  4 .

3.2.2.3. Condiciones suficientes. El cumplimiento de alguna de las siguientes condiciones es suficiente para asegurar que las raíces del polinomio P(z) se encuentran en el interior del círculo unitario: n 1

an   ak .

1.

(3.37)

k 0

2. Cuando todos los coeficientes del polinomio P( z )  a0  a1 z 

 an z n son positivos,

entonces sus raíces pertenecen a la región anular m  z  M donde m y M son el menor y el mayor de los valores correspondientes a: an 1 , an

an 2 , an 1

a0 a1

(3.38)

Para el caso m = 0, M = 1 se obtiene la condición suficiente de estabilidad

0  a0  a1 

 an .

(3.39)

3.2.2.4. Test de Jury. El test de estabilidad de Jury (conocido también como criterio de Jury-Blanchard4) da las condiciones necesarias y suficientes para que las raíces de P(z) se hallen en el interior del círculo unitario (condición de estabilidad estricta). Ha de verificarse: P(1)  0,

(1)n  P(1)  0 ,

(3.40)

y además han de cumplirse las (n–1) restricciones

a0  an ; 4

b0  bn1 ;

c0  cn2 ;

q0  q2 ;

(3.41)

E. I. Jury – J. Blanchard: A Stability Test for Linear Discrete Systems in Table Form. Proc. IRE 49, N°12, Diciembre 1961, págs. 1947-1948.

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 3 - pág. 3-12

donde bi, ci, . . . qi, se obtienen de la tabulación de Jury:

Fila

z0

z1

z2

z nk

z n 1

zn

1

a0

a1

a2

an  k

an 1

an

2

an

an 1

an  2

ak

a1

a0

3

b0

b1

b2

bn  k

bn 1

4

bn 1

bn  2

bn 3

bk

b0

5

c0

c1

c2

cn  2

6

cn  2

cn 3

cn  4

c0

2n-5

p0

p1

p2

p3

2n-4

p3

p2

p1

p0

2n-3

q0

q1

q2

Tabla 3.1. Arreglo tabular de Jury

Los elementos de la tabla quedan definidos por bk 

a0

an k

an

ak

;

ck 

b0

bn 1k

bn 1

bk

;

dk 

c0

cn  2k

cn  2

ck

;

(3.42) q0 

p0

p3

p3

p0

;

q2 

p0

p1

p3

p2

Nótese que en la tabulación de Jury los elementos de las filas pares (2k+2) tienen los mismos elementos que las filas impares precedentes (2k+1) escritos en orden inverso. Para el cálculo de la tabla de Jury se cuenta con programas Matlab disponibles en internet5.

Forma matricial de la prueba de Jury. Una forma fácilmente sistematizable de calcular el test de Jury es la siguiente. Dado el polinomio a investigar (3.30) que repetimos a continuación, ordenado en potencias descendentes de z P( z)  an z n  an1 z n1  an2 z n2 

 a2 z 2  a1z  a0  0,

con an  1

se forman dos matrices cuadradas V y W de dimensión (n–1)(n–1) según el siguiente esquema

5

Véase por ejemplo el programa de J. Epperlein en el enlace https://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/13904-jury

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 3 - pág. 3-13

 an 0  0 V  0  0

an 1

an  2

a3

an

an 1

a4

0

an

a5

0

0

an

0

0

0

a2  a3  a4  ;  an 1   an 

 an  2 a  n 3 a W   n4   a1   a0

an 3

a2

a1

an  4

a1

a0

an 5

a0

0

a0

0

0

0

0

0

a0  0  0    0   0 

luego se calculan la matrices suma y diferencia: H1=V+W y H2=V–W. Las condiciones necesarias para que todas las raíces de P(z) se encuentran en el interior del círculo unitario son P(1) >0 (i) n (–1) P(–1) >0 (ii) y la condición suficiente es que tanto H1 como H2 sean «positivas en sentido interior». Ello significa que todos los subdeterminantes centrales de las matrices H deben ser positivos. Si el grado de P(z) es par, por ejemplo n=4 entonces la dimensión de H1 y H2 es (n–1)(n–1)=33 y las condiciones suficientes deberán ser:  h1,11  H1   h1,21  h1,31  h2,11  H 2   h2,21  h2,31

h1,12 h1,22 h1,32

h1,13   h1,23  ; h1,32 

h2,12 h2,22 h2,32

h2,13   h2,23  ; h2,32 

det h1,22  0;

det h2, 22  0;

h1,11

h1,12

h1,13

det h1,21

h1,22

h1,23  0 ;

h1,31

h1,32

h1,32

h2,11

h2,12

h2,13

det h2,21

h2,22

h2,23  0

h2,31

h2,32

h2,32

Si en cambio el grado de P(z) es impar, p.ej.: n=5 entonces la dimensión de H1 y H2 es (n–1)(n–1)=44 y las condiciones suficientes deberán valer:  h1,11 h1,12 h h1,22 1,21 H1    h1,31 h1,32   h1,41 h1,42  h2,11 h 2,21 H2    h2,31   h2,41

h1,13 h1,23 h1,33 h1,43

h2,12

h2,13

h2,22

h2,23

h2,32

h2,33

h2,42

h2,43

h1,14  h1,24  ; h1,34   h1,44  h2,14  h2,24  ; h2,34   h2,44 

h1,11 det

det

h1,22

h1,23

h1,32

h1,33

h2,22

h2,23

h2,32

h2,33

 0;

 0;

det

det

h1,12

h1,13

h1,14

h1,21 h1,22

h1,23

h1,24

h1,31

h1,32

h1,33

h1,34

h1,41

h1,42

h1,43

h1,44

0 ;

h2,11

h2,12

h2,13

h2,14

h2,21

h2,22

h2,23

h2,24

h2,31

h2,32

h2,33

h2,34

h2,41

h2,42

h2,43

h2,44

0

Como veremos en un ejemplo, la forma matricial del criterio de Jury, resulta fácil de aplicar.

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 3 - pág. 3-14

3.2.3. Análisis gráfico de la estabilidad – Lugar de Raíces. En las aplicaciones técnicas, resulta de mucho interés el cálculo de la estabilidad de sistemas de control cuya función de transferencia z de lazo abierto es conocida, como asimismo sus singularidades (polos y ceros).

Go ( z )  K 

( z  zc1 ) N ( z) K D( z ) ( z  z p1 )

( z  zcm ) , mn ( z  z pn )

(3.43)

El factor de amplificación K es un parámetro de fácil ajuste. La ecuación característica de lazo cerrado vale 1  Go ( z)  0



D( z)  K  N ( z)  0 ,

o bien Go ( z)  1 .

(3.44)

El lugar de raíces es el lugar geométrico de los ceros de (3.44) dependiente del parámetro K. Su trazado responde a las reglas conocidas de cursos precedentes, por lo que no se repetirán aquí. Reiteramos que, en el caso de sistemas de tiempo discreto el dominio de estabilidad está restringido al interior del círculo unitario. A modo de ejemplo, sea determinar el rango de valores de K para los que se garantiza la estabilidad del sistema de control de la Fig. 3.10.

1  e Ts s

T=1 –

K  e 1.25 s s ( s  1)

Fig. 3.10. Sistema de control muestreado.

 (1  eTs )  K  e1.25 s  ( z  0.03)( z  1.755) Go ( z )  Z    0.2223 K  2 2 s ( s  1) z ( z  1)( z  0.368)  

(3.45)

Emplearemos los siguientes comandos Matlab para obtener el trazado del lugar de raíces: >> G=zpk([-0.03 –1.755],[0 0 1 0.368],[0.2223],1) Zero/pole/gain: 0.2223 (z+0.03) (z+1.755) ------------------------z^2 (z-1) (z-0.368) Sampling time: 1

La función invocada posee la sintaxis zpk([Ceros],[Polos],[Ganancia],T) siendo T el período de muestreo (en nuestro caso T=1). Definido el sistema G, invocamos ahora >> rlocus(G)

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 3 - pág. 3-15

para obtener el gráfico. Lugar de Raíces 2 1.5

1

Eje Imaginario

K=0.687 0.5

K=16.8

0 -0.5 -1

-1.5 -2 -2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Eje Real

Fig. 3.11. Lugar de raíces del sistema de la Fig. 3.10.

Observando el lugar de raíces de la Fig. 3.11 deducimos que el sistema propuesto es estable para valores de K pertenecientes al rango 0 < K < 0.687 . Verificamos ahora por el método matricial de Jury. Para ello calculamos la forma polinómica de la función de transferencia (3.45) Go ( z )  0.2223 K

( z  0.03)( z  1.755) 0.2223 z 2  0.3968 z  0.01176 N ( z)  K K 2 4 3 2 z ( z  1)( z  0.368) z  1.368 z  0.368 z D( z )

La ecuación característica de del sistema a lazo cerrado es P(z)= D(z)+K N(z) = 0 es decir: z4 – 1.368 z3 + (0.368+0.2233*K) z2 + 0.3986*K z + 0.01176*K = 0

Aplicando las condiciones necesarias (i) y (ii) del test de Jury obtenemos P(1)= 0.6337*K >0



K>0

(a)

P(-1)= 2.736 - 0.1635*K >0



K0

K > –85.034

(c)

-3.2508e-005*K3 - 0.16548*K2 + 0.80235*K + 1.368 >0  -1.3366 < K < 6.1789 (d)

mientras que las condiciones deducidas de los subdeterminantes centrales de H2 son: 

1-0.01176*K >0

K > +85.034

(e)

-2.9255e-005*K3 - 0.16023*K2 - 0.7937*K + 0.632 >0  -5.6566 < K < 0.69793

(f)

De las condiciones (a),(b),…,(f) podemos inferir que tanto las condiciones necesarias como las suficientes son simultáneamente satisfechas si la ganancia vale 0 < K < 0.69793 Debe notarse aquí la coincidencia entre los resultados determinados gráficamente en el lugar de raíces de la Fig. 3.11 y los calculados analíticamente mediante el test matricial de Jury.

3.3.

Análisis en estado de régimen.

Al igual que para los sistemas continuos, resulta posible aplicar para sistemas de control muestreado los conceptos de error de posición, error de velocidad y error de aceleración. w

e

Go ( z )

–

Fig. 3.12. Sistema de lazo cerrado.

y

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 3 - pág. 3-17

Para variables de comando w en escalón, rampa y parábola se desea calcular el error de régimen lim e(kT ) por aplicación del teorema del valor final (ver B.8) de la transformada z. k 

El error estacionario de un sistema de control estable es: lim e(kT )  lim ( z  1) E ( z )  lim k 

z 1

z 1

Para una entrada en escalón w(t )   (t ) ,

( z  1) W ( z ) 1  Go ( z )

(3.46)

W ( z )  z /( z  1) se tiene un error de posición e p :

1 1  Go (1)

(3.47)

Evidentemente, el error de posición se anula si Go ( z ) posee un polo en z  1 . Si el comando es una rampa w(t )  t , W ( z )  Tz /( z  1)2 aparece un error de velocidad

ev :

T lim ( z  1)  Go ( z )

(3.48)

z 1

y el error de velocidad se anula si Go ( z ) posee un polo doble en z  1 . Para una entrada parabólica

1

w(t )  t 2 , W ( z )  T 2 z ( z  1) / 2( z  1)3 tendremos un error de 2

aceleración ea :

T2 lim ( z  1)2  Go ( z )

(3.49)

z 1

que se hará cero, si Go ( z ) posee un polo triple en z  1 . Para el error e(kT) en los instantes de muestreo, resulta indiferente si las integraciones corresponden a los polos de un controlador discreto en z = 1 o a los polos en s = 0 de la parte continua. Sin embargo, el comportamiento entre los instantes de muestreo es diferente en uno y otro caso y el sistema será capaz de seguir a la entrada en forma exacta, si los integradores corresponden a la parte continua (incluyendo en ella al dispositivo de retención de orden cero). 

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 4 - pág. 4-1

4. Realización de controladores discretos. 4.1.

Métodos para el diseño de controladores discretos.

Atacaremos el problema de diseñar un controlador discreto para una planta continua G(s), analizando los resultados que pueden obtenerse para cada tipo de solución propuesta.

4.1.1. Diseño simplificado en el plano s. El método de diseño simplificado en s pone en práctica el siguiente esquema conceptual

Dominio de tiempo continuo

Dominio de tiempo discreto

GH G ( z )

G (s)

Transformación z del controlador

Diseño en s (fácil)

–

K ( s)

G ( s)

K ( z )  K ( s ) s  2 z 1

Diseño en z (complicado)

–

K ( z)

GH G ( z )

T z 1

Fig. 4.1. Método de diseño simplificado en s.

La idea básica consiste en suponer que, si se elige una frecuencia de muestreo suficientemente elevada, se puede diseñar el controlador como si el sistema fuera continuo con las técnicas conocidas en el plano s, para luego transladarlo al dominio discreto por medio de una trasformación aproximada (por ejemplo la fórmula de Tustin). Desde luego, que al olvidar la influencia de los dispositivos de muestreo y retención, se cometerán errores cuya importancia será tanto mayor cuanto más elevado sea el período de muestreo elegido. En general se deberá elegir un período de muestreo que sea claramente menor que la más pequeña constante de tiempo (Tmin) de la planta que se tenga en cuenta en el diseño del controlador, por ejemplo T = Tmin /10. Analizaremos el empleo de este método tomando como estructura genérica de diseño al controlador PID en su forma paralela, con y sin constante de tiempo parásita en el derivador:

  1 K1 ( s)  K P 1   TD s   TI s 

(forma ideal)

(4.1)

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 4 - pág. 4-2

 TD s  1 K 2 ( s )  K P 1     TI s TD s  1 

(forma con retardo) .

(4.2)

Dimensionado el controlador PID en el dominio continuo, su translación al dominio discreto puede realizarse en principio vía la transformación de Tustin. Y decimos en principio ya que debe analizarse si su aplicación no genera componentes inestables. Ilustrando el concepto, consideremos la transformación de la componente derivativa de (4.1): D1 ( s)  TD s



D1 ( z )  TD

2 z 1  T z 1

(4.3)

que como vemos, aporta un polo inestable en z = –1. Para evitar esto, en la transformación de la componente derivativa debe utilizarse una fórmula alternativa, por ejemplo la regla del rectángulo por la suma superior que genera un polo estable en el origen.

D1 ( s)  TD s



D1 ( z ) 

TD z  1  T z

(4.4)

De modo que las expresiones transformadas correspondientes a (4.1) y (4.2) son

 T z  1 TD z  1  K1 ( z )  K P 1     2TI z  1 T z 

(Tustin y suma superior)

  2TD T z 1 z 1 K 2 ( z )  K P 1     2TI z  1 T  2TD z  T  2 TD  T  2 TD 

     

(exclusivamente Tustin) .

(4.5)

(4.6)

Pueden repetirse aquí todas las consideraciones realizadas en el Capítulo 1 referidas a la limitación de la ganancia derivativa en alta frecuencia y a la conveniencia de evitar o contrarrestar el efecto de windup. Tales conceptos, expresados para sistemas continuos, pueden transladarse en forma directa al dominio discreto, por lo que no los reiteraremos aquí. Ejemplo aplicativo. Sea la siguiente planta continua de segundo orden, que ha de ser compensada mediante un controlador discreto PI con período de muestreo T = 0.5 s V G( s)  T1s  1T2 s  1

 V 1  con  T1  1 s T  5 s  2

(4.7)

El criterio de diseño adoptado para el controlador PI continuo es: por una parte compensar la mayor constante de tiempo de la planta, y además obtener una respuesta de lazo cerrado con relación de amortiguamiento c=1/2 a fin de lograr un buen tiempo de respuesta al escalón.

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 4 - pág. 4-3

El controlador es

 TI s  1 1  K ( s )  K P 1   =K P TI s  TI s 

(4.8)

Para compensar la mayor constante de tiempo de planta se elige TI = T2, con lo que la función de transferencia de lazo abierto queda

Go ( s)  K P

TI s  1 K PV V   TI s T1s  1T2 s  1 T2 s T1s  1

por ser TI  T2 .

(4.9)

La función de transferencia de lazo cerrado es Gc ( s) 

K PV 1  T1T2 2 T T1T2 s  T2 s  K PV s  2 s 1 K PV K PV 2

(4.10)

2 c

1

c

c2

operando con los coeficientes obtenemos: KP 

T2 ; 4 c2TV 1

reemplazando valores: K P  2.5 ,

(4.11)

con lo que concluye el diseño del controlador PI continuo. Convertimos a continuación el controlador en discreto, aplicando la transformación de Tustin

K ( z)  K P

TI s  1  KP TI s s  2  z 1 T z 1

2 z 1  1 T z 1 2 z 1 TI  T z 1

TI

(4.12) T  2TI  T  KP   1 z  K P r z  r0 2TI  2TI    1 z 1 z 1

Reemplazando valores numéricos para T = 0.5 s, de (4.12) se obtiene la función de transferencia z del controlador PI K ( z) 

2.625 z  2.375 . z 1

(4.13)

Procedemos ahora a la simulación del sistema a lazo cerrado, para diferentes valores del período de muestreo. En la Fig. 4.2 se observa una muy buena coincidencia de la respuesta al escalón respecto del PI continuo para un período de muestreo inferior a T1. La respuesta sigue siendo aceptable para T = 0.5 T1 (no olvidemos que en esta situación nos encontramos justo en el límite que marca el teorema del muestreo). Para T = T1 la respuesta al escalón es aparentemente buena, pero recordemos que el comportamiento del sistema es inaceptable para señales de entrada senoidales con frecuencias cercanas a la frecuencia de muestreo 1/T (véase Fig. 4.3).

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 4 - pág. 4-4

Fig. 4.2. Variación de la respuesta al escalón con el período de muestreo.

Fig. 4.3. Respuestas ante excitaciones senoidales con frecuencias cercanas a 1/T.

La obvia conclusión, que ya habíamos adelantado, es que el procedimiento de diseño simplificado en el plano s brinda buenos resultados para períodos de muestreo reducidos respecto de la menor constante de tiempo (T1 en nuestro ejemplo).

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 4 - pág. 4-5

4.1.2. Método completo en s. En contraposición con el método precedente, en este procedimiento no solamente se discretiza en forma aproximada el controlador, sino que se emplean métodos de diseño del dominio continuo sobre plantas previamente discretizadas. El procedimiento es el siguiente y se sintetiza en la Fig. 4.4: 

Se determina la función de transferencia z de la planta completa (incluyendo muestreador y dispositivo de retención) mediante transformación z exacta de [GH(s)G(s)]. Aplicar la transformación bilineal (Tustin) para obtener la función de transferencia en s de la planta discretizada. Diseñar el controlador en s por los métodos continuos conocidos. Problema: en la transformación de la planta hacia s aparecen uno o más ceros en el semiplano derecho. Discretizar por Tustin el controlador calculado.

  

 GH G  ( s ) 

Dominio de tiempo continuo

GH G ( z )

z

 GH G  ( s )

–

2 Ts 2 Ts

GH G ( z )

Transformación bilineal

Diseño en s (fácil)

K ( s)

Dominio de tiempo discreto

Diseño en z (complicado)

 GH G 

K (z)

K ( z )  K (s)

s

2 z 1 T z 1

GH G ( z )

–

Fig. 4.4. Método de diseño completo en s.

Ejemplo aplicativo. Repetiremos la planta del ejemplo precedente, al objeto de poder comparar los resultados. Procederemos paso a paso siguiendo el procedimiento enunciado: a) Discretización de la planta incluyendo muestreador y dispositivo de retención. En (4.7) observamos que G(s) posee polos simples, por lo que recordando las expresiones (3.8) a (3.13) podemos escribir: n R (G ) 1  z GH G ( z )     s z  z (4.14)  1 s : polos de G ( s),

z  e sT .

Calculamos ahora: G(s) 

V ; T1s  1T2 s  1

G( s) 

R1 R2 V 1    ; T1T2 ( s  s1 )( s  s2 ) ( s  s1 ) ( s  s2 )

polos en s1  

1 ; T1

s2  

1 ; T2

(4.15)

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 4 - pág. 4-6

siendo los residuos R1  lim( s  s1 )  G( s)  s s1

V ; T1  T2

R2  lim( s  s2 )  G( s)  s s2

V . T2  T1

(4.16)

Aplicando ahora (4.14), y reemplazando valores se obtiene, GH G ( z )  

z  r0 R1 1  z1 R2 1  z2    C s1 z  z1 s2 z  z2  z  z1  z  z2 

siendo z1  e T / T1  0.606531 ; C r0 

z2  e T / T2  0.904837 ;

(4.17)

VT1  z1  1  VT2  z2  1  0.020586 ; T2  T1

T1 z2 1  z1   T2 z1 1  z2  T1  z1  1  T2  z2  1

 0.818894 ;

valores calculados para el período de muestreo T=0.5 s. b) Transformación bilineal hacia el plano s de la planta discretizada:

 GH G  (s)  GH G( z) z  2Ts

(4.18)

2Ts

2  Ts

 GH G  (s)  C 

2  Ts

 r0

 2  Ts  2  Ts   z1   z2    2  Ts  2  Ts 

V

(s)

T  T

(s) 01

(s) 1

s  1T02( s ) s  1 s  1T2( s ) s  1

,

(4.19)

siendo los valores de los parámetros

V (s)  C 

1  r0 1V 1  z1 1  z2 

T1( s ) 

T 1  z1   1.020747  T1 2 1  z1

T2( s ) 

T 1  z2   5.004166  T2 2 1  z2

T01( s ) 

T 1  r0   0.024892 2 1  r0

T02( s )  

(4.20)

T  0.25 2

Observamos que los polos de G(s) vuelven a aparecer, con un error mínimo originado por la transformación bilineal aproximada. Aparecen ceros adicionales debidos al proceso de muestreo, manteniéndose invariable la ganancia estática.

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 4 - pág. 4-7

c) Diseño del controlador en s. La planta a compensar es (4.19) que presenta un par de ceros (uno de ellos en el semiplano derecho). Una solución viable es reemplazar el conjunto de las constantes de tiempo más bajas por un elemento de primer orden sustituto.

 GH G  (s)  V

(s)

T  T

(s) 01

(s) 1

s  1T02( s ) s  1 s  1T s  1 (s) 2

V

(s)



T01( s )T02( s ) s 2  T01( s )  T02( s )  s  1 T s 1 (s) 1



1 , (4.21) T s 1 (s) 2

la constante de tiempo sustituta vale Te( s )  T1( s )  T01( s )  T02( s )  1.245855 s ;

(4.22)

con lo que la función de transferencia aproximada queda:

 GH G e (s) 

V (s) Te( s) s  1T2( s ) s  1

(4.23)

y podemos visualizar la validez de la simplificación comparando los diagramas de Bode de las funciones de transferencia exacta (4.21) y aproximada (4.23).

Fig. 4.5. Comparación de respuestas en frecuencia de las f.t. (4.21) y (4.23). Buena coincidencia para 1 rad/s.

Dimensionaremos ahora el controlador PI TI s  1 V (s) K ( s)   GH G e ( s)  K P  TI s Te( s ) s  1T2( s ) s  1

(4.24)

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 4 - pág. 4-8

para compensar la mayor constante de tiempo de la planta, siempre y cuando ésta no sea una constante de tiempo sustituta; en consecuencia eligiremos TI  T2( s ) . La función de transferencia de lazo abierto queda Go ( s) 

K P V ( s ) T2( s ) s Te( s ) s  1

(4.25)

por lo que la f.t. de lazo cerrado es: Gc ( s) 

Go ( s) 1 1 ;  (s) (s)  2 (s) 2 c s T2 1  Go ( s) T2 Te 2  s 1 s  s 1 c2 c KP V (s) KP V (s)

(4.26)

igualando coeficientes y despejando obtenemos el valor de la ganancia del controlador: T2( s ) KP  2 (s) (s) 4 c Te V

(4.27)

de modo que para  c =0.707 los parámetros del controlador quedan KP =2.008326 y TI =5,004166 . Obviamente se deberá verificar que la frecuencia de cruce de ganancia resultante sea inferior al límite que marca la Fig. 4.5 (lo que de hecho ocurre). d) Discretización del controlador calculado. Aplicando nuevamente la fórmula de Tustin para retornar al plano z obtendremos la expresión del controlador discreto T z 1

1 TI s  1 2 z  1 K ( z)  K P  KP T z 1 TI s s  T z 1 TI 2 z 1 TI

2 z 1

(4.28)

 KP

T  2TI  2TI

z

T  2TI T  2TI

z 1

C

z  r0 z 1

reemplazando valores se llega a: K ( z)  C 

z  r0 z  0.904837 ,  2.108659  z 1 z 1

(4.29)

con lo cual, queda completado el diseño. Pasamos ahora a discutir los resultados alcanzados, comparándolos con el método de diseño anteriormente tratado. La planta discretizada tiene por expresión

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 4 - pág. 4-9

GH G( z )  0.020586

z  0.818894  z  0.606531 z  0.904837 

(4.30)

El controlador diseñado por el método simplificado K ( z )  2.625

z  0.904761 z 1

no alcanza a compensar exactamente el mayor de los polos de (4.30) z2 = 0.904837, mientras que el controlador obtenido aplicando el método completo es:

K ( z )  2.108659 

z  0.904837 z 1

cuyo cero cancela exactamente el polo de la planta. Podemos esperar entonces que el método completo de diseño produzca mejores resultados en las respuestas transitorias.

Fig. 4.6. Respuesta vs. el período de muestreo, diseño completo en s.

En la Fig. 4.6 podemos observar que el amortiguamiento relativo es independiente del período de muestreo T, lo que no nos sorprende ya que T se encuentra ‘embebido’ en el diseño del controlador y todos los controladores están dimensionados para el mismo c de lazo cerrado. Desde luego que si excitamos al sistema de lazo cerrado con sinusoides de frecuencia cercana a la frecuencia de muestreo, se nos presentarán exactamente los mismos problemas que mostramos en la Fig. 4.3, ya que al ser ellos inherentes al proceso de muestreo, resultan absolutamente independientes del método empleado para diseñar al controlador.

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 4 - pág. 4-10

4.1.3. Diseño directo en z. Método de compensación. Al contrario de lo que ocurre en el campo analógico, donde los amplificadores operacionales y componentes pasivos brindan una banda de soluciones para la realización de controladores limitada a la implementación de funciones de transferencia de orden reducido, con parámetros ajustables con baja precisión y reducida constancia temporal, las realizaciones discretas hacen practicable todo el abanico de soluciones de que dispone el proyectista, incluyendo controladores de orden superior, ya que la precisión de ajuste y estabilidad de los parámetros está garantizada por los elementos digitales, siendo las únicas fuentes de variaciones el offset y el error de ganancia de los convertidores A/D y D/A y, en mucha menor medida, las fluctuaciones de la base de tiempo empleada (reloj de cuarzo). El diseño de controladores por compensación ya ha sido desarrollada en el dominio continuo (véase en el Capítulo 1 el punto 1.8.1) y puede ser reproducida en el dominio discreto.

Fig. 4.7. Sistema de control

Se pretende lograr un comportamiento al comando prefijado Mw en un lazo de control con planta conocida G, siendo Mw la función que modeliza la respuesta deseada a la variable de comando W. Esto significa que la función de transferencia de lazo cerrado Gc ha de ser igual a Mw. Formalmente escribimos: Gc 

KG  Mw 1  KG



K

Mw 1  1 M w G

(4.31)

Compensación

Fig. 4.8. Sistema con controlador compensador

Para que el controlador sea realizable (causal), se deben imponer algunas condiciones a Mw y a G. Como el sistema debe ser numéricamente estable, resulta necesario que la planta continua G sea estable y de fase mínima (es decir que sus polos y ceros se encuentren en el semiplano izquierdo). El requerimiento de error estacionario nulo conduce a un controlador con parte integradora.

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 4 - pág. 4-11

Los requerimientos precedentes pueden transladarse al campo discreto. G ( z ) no puede poseer ni polos ni ceros con módulo mayor que uno (1). Mw debe ser elegido de tal manera que K resulte realizable. El problema se complica ulteriormente en los sistemas discretos a causa de la aparición de ceros adicionales en los alrededores de z0  –1 por efecto del muestreo, aun en el caso de plantas continuas muy elementales (ver ejemplo anterior). En la elección de la función modelo Mw han de tenerse en cuenta algunas particularidades de acuerdo a la distribución de polos y ceros de la función de transferencia de la planta G ( z ) . Escribiremos: G( z ) 

Bz ( z ) Bz ( z ) z  r Az ( z ) Az ( z )

(4.32)

donde Bz ( z ) y Az ( z ) poseen raíces en el interior del círculo unitario, Bz ( z ) y Az ( z ) poseen raíces fuera del círculo unitario, z  r es un retardo equivalente a r períodos de muestreo.

El diseño del controlador responde a (4.31). La restricción a plantas estables impone Az ( z )  1 , luego: M w ( z) Az ( z ) (4.33) K ( z)     r Bz ( z ) Bz ( z ) z 1  M w ( z ) Al objeto de garantizar la realizabilidad y robustez del controlador, deben incorporarse al modelo tanto el tiempo muerto de r períodos, como los ceros exteriores al círculo unitario: de no hacerlo así, el controlador poseería polos inestables. Para reflejar estos requerimientos en (4.33) y asimismo la condición de precisión en estado de régimen (integrador), ha de ser M wr ( z )  Bz ( z ) z  r M w ( z)  M wr (1)  Bz (1)

(4.34)

Az ( z )  M wr ( z )  1 K ( z)     .  Bz ( z )  1  M wr ( z )  M wr (1)  Bz (1)

(4.35)

En consecuencia

Ejemplo aplicativo. continuación

Retornamos a nuestra planta discretizada según (4.30), que repetimos a

GH G( z )  0.020586

z  z01 z  0.818894 C  z  0.606531 z  0.904837   z  z1  z  z2 

(4.36)

para el período de muestreo T = 0.5 s. La planta y dispositivo de retención se encuentran integrados en un lazo de control como muestra la Fig. 4.9 y el controlador discreto debe ser diseñado para que la operación del sistema a lazo cerrado se corresponda con el modelo propuesto.

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 4 - pág. 4-12

D

W

K ( z)

–

W

Y

GH G ( z )

M w ( z)

Y

Fig. 4.9. Sistema a lazo cerrado y modelo de respuesta al comando.

a) Modelo sin ceros. Se propone el siguiente modelo de funcionamiento: M w ( z) 

1  c1  c0 z 2  c1 z  c0

(4.37)

mediante los dos polos del denominador se determinan la frecuencia natural y el amortiguamiento de lazo cerrado. La expresión del numerador 1  c1  c0 asegura una ganancia unitaria en estado de régimen M w (1)  1. De acuerdo a (4.31) es K ( z) 

M w ( z) 1  c1  c0 1 1  z  z1  z  z2      2 z  z01 z  c1 z  c0  1  c1  c0  GH G ( z ) 1  M w ( z ) C

(4.38) K ( z) 

1  c1  c0  z  z1  z  z2  1   C z  z01  z  1 z  c1  1

Aplicando este controlador, la función de transferencia de lazo abierto queda

Go ( z )  K ( z )  GH G( z ) 

1  c1  c0  z  1 z  c1  1

(4.39)

que corresponde a un integrador (polo en z =1) acompañado por un elemento de primer orden. Por cierto, la función de lazo cerrado coincide con el modelo propuesto.

variable manipulada u

variable controlada y

Fig. 4.10. Modelo con párametros c1= –1.32 y c0= 0.49

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 4 - pág. 4-13

El cero z01 de la planta se transforma en un polo oscilatorio con reducido amortiguamiento (polo real negativo) para el controlador, por lo que aparecen oscilaciones en la variable manipulada (salida del controlador), tal como se observa en la Fig. 4.10.

Fig. 4.11. Ampliación de la variable controlada, Fig. 4.10.

En la Fig. 4.11 se muestra ampliada la respuesta de la variable controlada, observándose con claridad las pequeñas ondas provocadas por el comportamiento oscilatorio de la variable manipulada. El comportamiento que acabamos de describir puede, en algunas circunstancias llegar a ser inestable o bien, en caso de plantas poco amortiguadas, dar origen a oscilaciones ocultas en la variable continua controlada.

b) El modelo incluye los ceros de la planta. Se propone el siguiente modelo de funcionamiento: M w ( z) 

1  c1  c0 z  z01  2 , 1  z01 z  c1 z  c0

el factor constante asegura M w (1)  1.

(4.40)

El controlador es ahora K ( z) 

M w ( z) 1  GH G ( z ) 1  M w ( z )

K ( z) 

1  c1  c0  z  z01  1  z  z1  z  z2    2 C z  z01 1  z01   z  c1 z  c0   1  c1  c0  z  z01 

K ( z) 

1  c1  c0  z  z1  z  z2   ; C 1  z01   z  1 z  z3 

con z3 

c0  z01 1  c1  1  z01

.

(4.41)

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 4 - pág. 4-14

Reemplazando los valores numéricos que ya tenemos calculados y manteniendo para nuestro modelo c1= –1.32 y c0= 0.49 resulta el controlador K ( z )  4.5401

 z  0.606531 z  0.904837   z  1 z  0.413463

(4.42)

Vemos en (4.42) que el controlador no contiene polos a parte real negativa, por lo que su salida ya no será oscilatoria como en el caso precedente.

variable manipulada u variable controlada y

Fig. 4.12. Respuesta al escalón de comando y de perturbación, cuando se incluyen en el modelo los ceros de la planta. Se han mantenido las escalas de la Fig. 4.10 a fines de comparación.

Por cierto que habiendo diseñado nuestro controlador para un modelo de respuesta a la variable de comando, carecemos de parámetros libres para ajustar la respuesta a la perturbación. Para ello se deberá adoptar un método de diseño con dos grados de libertad, lo que en nuestro caso se traduce en plantear dos modelos de comportamiento deseado y proceder como se indica a continuación.

D W0 Gw ( z)

W

K ( z)

–

GH G ( z )

Y

Fig. 4.13. Lazo de control con filtro de comando

Igual a como procediéramos con controladores continuos en el Capítulo 1, diseñamos el controlador K ( z ) para obtener el comportamiento deseado ante la perturbación D y posteriormente dimensionamos el filtro Gw ( z ) para lograr la respuesta requerida ante la variable de comando W0 .

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 4 - pág. 4-15

La función de transferencia deseada para la perturbación es:

M D ( z) 

GH G( z ) Y ( z)  D( z ) 1  K ( z ) GH G( z )



K ( z) 

GH G ( z )  M D ( z ) 1 1 ,   M D ( z ) GH G ( z ) GH G( z ) M D ( z )

(4.43)

con lo que queda definido el controlador. Para el cálculo del filtro de comando es necesario contar con el modelo de respuesta al comando. De la Fig. 4.13 se deduce M w ( z )  Gw ( z )

K ( z ) GH G ( z ) 1  K ( z ) GH G ( z )



Gw ( z ) K ( z ) M D ( z )  M w ( z )



M w ( z) Gw ( z )  K ( z) M D ( z)

(4.44)

como se deduce de la primera igualdad de (4.43). Si bien las expresiones (4.43) y (4.44) son en apariencia sencillas, resulta necesario contar con experiencia, paciencia y algo de ingenio para encontrar modelos de respuesta adecuados.

4.2.

Efecto del tiempo finito de cálculo del procesador.

Hasta este momento hemos supuesto calladamente que los pulsos discretos poseen un tiempo de tránsito nulo a través del procesador: ello lleva a suponer que el tiempo de cálculo en el microcomputador es nulo, lo cual no es el caso en los sistemas reales. El tiempo de cálculo puede ser despreciado completamente tan sólo en el caso de plantas muy lentas, como las que aparecen en las industrias de procesos y que poseen constantes de tiempo del orden de minutos y hasta de horas. Las plantas electromecánicas presentan constantes de tiempo bien por debajo del segundo, de modo que el tiempo de cálculo representa una parte importante (30% a 80%) del período de muestreo. Aunque se puede recurrir a cambiar el procesador por otro más rápido, es una solución que se evita por razones de costo. La Fig. 4.14 compara los conceptos de tiempo de cálculo nulo y tiempo de cálculo finito.

salida D/A

salida D/A

prg control

Tiempo finito de cálculo

prg control

jitter

background

background

DIAGRAMA DE TIEMPOS IDEAL

DIAGRAMA DE TIEMPOS REAL

Fig. 4.14. Diagramas de tiempos.

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 4 - pág. 4-16

Como vemos en la figura, lo más fácil es despreciar el tiempo de cálculo suponiendo que la entrada y salida de datos (conversiones A/D y D/A) son coincidentes. Eso solamente es posible cuando el tiempo de cálculo TC es inferior al 5% del período de muestreo T (TC < T/20). Si se supone, pesimísticamente, que el tiempo de cálculo abarca todo un período de muestreo (TC = T), ello se puede modelizar agregando un elemento de retardo (1/z) a la función de transferencia discreta de la planta. Si se desea modelizar la realidad, entonces se debe echar mano de la transformación z modificada y considerar a TC como un tiempo muerto más. Aplicando lo estudiado en 2.3.3. deberemos calcular la transformada z modificada de la planta (incluido el dispositivo de retención) sin tiempos muertos

GH G( z,  )  Z GH (s)  G(s)  

(4.45)

y, suponiendo que el único tiempo muerto es 0 la variable manipulada y2 crece y para x3 2, y1 oscilará entre 0 e y10 o bien entre 0 y –y10 . El controlador triestable con realimentación puede pensarse formado por dos conmutadores biestables realimentados, que operan en diferentes dominios de la variable de entrada.

Fig. 5.35. Triestable realimentado: valor medio de la salida y frecuencia de conmutación.

La pendiente media de la característica de transferencia de la variable linealizada y1 como función de x3 es: dy1 1 1 (5.55)  Km   para  2 y10 .  dx3 K y Ky  y10 Si la frecuencia de operación es suficientemente elevada se tendrá la situación de la figura siguiente,

x3

Km

y1

1 Ti s

y2



x3

1 Tis

y2

con Ti  K y Ti

Fig. 5.36. Linealización: diagramas en bloque equivalentes.

En la figura 5.37 se muestra el andar de y1(t) e y2(t) para un escalón en la variable de excitación x3. Al igual que en el caso de un controlador biestable puede interpretarse el alargamiento del primer pulso como un efecto de adelanto, de modo que en conjunto se obtiene el comportamiento de un compensador PI, cuyos parámetros dependen de la magnitud de la excitación x3(t). Empleando una Fy(s) con dos retardos de tiempo en la realimentación, se obtiene un comportamiento similar al de un compensador PID.

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 5 - pág. 5-28

Fig. 5.37. Respuesta al escalón.

El efecto de linealización que acabamos de describir, tiene lugar cuando la frecuencia de conmutación es suficientemente alta, con relación a la banda pasante de la planta controlada. El empleo de una frecuencia de conmutación elevada, tiene por efecto que una variación determinada y2 queda subdividida en muchos “pasos” pequeños, lo que implica múltiples conmutaciones en cada transitorio del proceso de control. Resulta entonces aconsejable seleccionar una frecuencia de conmutación no muy elevada, adaptando el retardo de la red de realimentación Fy(s) a la función de transferencia de la planta controlada.

5.3.2. Controlador triestable con frecuencia de conmutación mínima. La idea perseguida es evitar las excesivas conmutaciones del motor de actuación (integrador) de modo que, por efecto de un escalón de excitación, se lleve la variable y2 “de un solo tirón” a su nuevo valor final, reduciendo así drásticamente la cantidad de conmutaciones del motor. Un tipo de operación de este tipo, óptimo respecto del número de conmutaciones, exige un conocimiento preciso de la planta y de las perturbaciones incidentes sobre la misma, lo que en general no resulta factible. Aunque normalmente el caso general no es realizable, puede ser tomado como modelo de referencia y, en este sentido, la solución presenta un interés no despreciable. La figura 5.38 muestra un lazo de control compuesto por un conmutador triestable, un integrador (motor de actuación) y la planta controlada (representada por una función de transferencia pasabajos). Se considera incluido en la función de transferencia de la planta el retardo (constante de tiempo de arranque) del motor. El retardo de conmutación del controlador se indica como un tiempo muerto a la salida del conmutador.

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 5 - pág. 5-29

eTm s

1 Ti s

FP ( s)

Fy ( s)

Fig. 5.38. Lazo cerrado con controlador triestable realimentado.

La función de transferencia de la planta es FP ( s) 

an s  n

1  a2 s 2  a1s  1

(5.56)

en la que una oportuna normalización ha conducido a obtener una ganancia unitaria. Como es sabido, el coeficiente a1 tiene el significado de la constante de tiempo equivalente de la planta. 5.3.2.1. Conmutador sin realimentación. Supondremos por el momento que Fy(s) = 0. Consideraremos una variación en escalón de x1 para deducir la condición necesaria para lograr un comportamento aperiódico del lazo de control. Si en t=0 ocurre el escalón x1(t) = x10, el controlador conmutará a +y10 una vez transcurrido el retardo puro Tm; y2 crecerá linealmente con lo que x2(t) corresponderá a la respuesta de la planta ante una excitación en rampa. Estas relaciones se muestran en la Fig. 5.39.

Fig. 5.39. Respuesta al escalón para Fy = 0.

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 5 - pág. 5-30

Para t = t1 la variable controlada alcanza el nivel de conmutación

x2 (t1 )  x10  1

(5.57)

y luego de transcurrido Tm el motor se detiene. En el intervalo siguiente y2(t) se mantiene constante (5.58) y2 (t )  y2 (t1  Tm ) ; t  t1  Tm con lo que x2 tiende a este valor final. En caso de que este valor, como en la Fig. 5.39 se encuentre por encima del límite que marca el umbral x10+2 el controlador conmuta en sentido inverso y el motor gira también a la inversa, con lo que vuelve a repetirse el proceso. Aparece entonces un fenómeno transitorio probablemente muy poco amortiguado. Para lograr que el motor se detenga a la primera deconmutación dentro del límite del umbral, deberá ser: t (5.59) y2 (t1  Tm )  y10 1  x10   2 Ti donde t1 queda determinado por la Ec. (5.57). Llamando r(t) al error de la respuesta de la planta ante la excitación en rampa, es x2 (t1 )  y2 (t1 )   r (t1  Tm )  y10

t1  Tm   r (t1  Tm )  x10  1 Ti

(5.60)

De (5.59) y (5.60) se deduce: y10

Tm   r (t1  Tm )  1   2 Ti

(5.61)

El error r(t) puede ser calculado fácilmente a partir de la función de la transferencia de la planta 

 r (t )  L1 1  FP ( s)   

y10   Ti s 2 

 a s n 1   a2 s  a1 y   r (t )  L1  nn  10  2  an s   a2 s  a1s  1 Ti s 

(5.62)

A fin de llevar a cabo un cálculo aproximado, supongamos que el error r haya alcanzado para t = t1 su valor estacionario

 r (t1  Tm )   r () 

a1 y10 . Ti

(5.63)

De las expresiones (5.61) y (5.63) se deduce la condición (a1  Tm ) y10  1   2 Ti

(5.64)

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 5 - pág. 5-31

o bien

dy2 y10 1   2 .   dt Ti a1  Tm

(5.65)

Como en interés de una buena precisión han de ser 1 y 2 suficientemente pequeños, y como a su vez a1 puede tomar valores elevados en el caso de procesos químicos e industriales, la condición (5.65) conduce a velocidades de actuación muy bajas en la mayoría de los casos prácticos. Por ello, suele adoptarse una velocidad de actuación 2 ó 3 veces más elevada que la indicada por (5.65), aceptándose un pequeño sobrepasamiento y algunas oscilaciones previas al establecimiento del valor de régimen de la variable controlada.

5.3.2.2. Conmutador con realimentación complementaria. Si elegimos Fy(s) de modo que a la salida del bloque de realimentación aparezca justamente el error a la rampa r(t): x4 (t )   r (t1  Tm ) (5.66) es entonces

x2 (t )  x4 (t )  x2 (t )   r (t1  Tm )  y2 (t )

(5.67)

vemos así que la realimentación a través de Fy(s) elimina el error dinámico originado en los retardos de la planta. De la (5.67) se obtiene la condición FP ( s) 1  Fy ( s)  Ti s Ti s

o sea Fy ( s) 

1  FP ( s) Ti s

(5.68)

(5.69)

con lo que resulta an n 1 a s   2 s 1 a a a1 Fy ( s)  1  1n 2 Ti an s   a2 s  a1s  1

(5.70)

es decir, K y  Fy (0) 

a1 . Ti

(5.71)

Si el sistema de control se encuentra en estado de régimen es y1  0 y x4 tiende a cero. Vemos por lo tanto que la realimentación complementaria no influye de ninguna manera sobre la precisión estática del sistema.

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 5 - pág. 5-32

Fig. 5.40. Respuesta al escalón para realimentación complementaria.

La Fig. 5.40 muestra el transitorio correspondiente a una variación en escalón de la variable de entrada. La condición de conmutación del controlador triestable es ahora: x2 (t1)   r (t1  Tm )  y2 (t1)  y10

t1  Tm  x10  1 Ti

(5.72)

Para t  t1  Tm y2 deberá encontrarse por debajo del nivel de conmutación y2 (t1  Tm )  y10

t1  x10   2 Ti

(5.73)

sustrayendo las dos expresiones precedentes se deduce y10

Tm  1   2 Ti

con lo que la condición para la velocidad de actuación es ahora

dy2 y10 1   2 .   dt Ti Tm

(5.74)

(5.75)

Debido a la realimentación complementaria, la velocidad de actuación resulta independiente de los parámetros de la planta. Empleando un conmutador electrónico es Tm  0 de modo que el tiempo de integración podría tomar teóricamente cualquier valor. Un límite práctico lo da el hecho que la planta (FP) es en la mayor parte de los casos variable y conocida sólo en forma aproximada, de modo que la realimentación complementaria (Fy) puede realizarse sólo de manera imperfecta. Cuanto más elevada se elija la velocidad de actuación dy2/dt = y10/Ti tanto mayor será el error r de la planta, lo que a su vez conduce a un aumento de la ganancia de realimentación Ky. La pequeñez del dominio de tolerancia (1,2 y10.

En los tramos I, III, IV y VI vale la expresión (6.15) que repetimos a continuación: y2 (t )  f  y1 (t )  

y20  A sin t  y10

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 6 - pág. 6-7

en los tramos II y V el dispositivo se encuentra saturado, con lo que y2(t) resulta constante

 y y2 (t )   20  y20

tramo II

(6.20)

tramo V

De acuerdo a lo precedente se obtiene para los coeficientes de Fourier:

a1 

T t1  2  t1 y20 2 2 4 A sin  t dt  2 y sin  t dt      0  20 t1 T y10 

y sustituyendo    t

a1 

(6.21)

 1  1  1 y20 A sin 2   d  2  y20 sin   d  4 0 1  y10 

(6.22)

y  siendo  1  arcsin  10  con lo que finalmente resulta para la función descriptiva:  A

N  A 

y  a1 2  y20 y  y    arcsin  10   20 cos  arcsin 10   A   y10 A   A A 

(6.23)

Nótese que en el límite entre los tramos I y II las expresiones (6.19) y (6.23) dan el mismo valor. En definitiva, la no linealidad de saturación tiene la siguiente función descriptiva  y20 para  y10  N  A    2  y20 arcsin  y10   y20 cos  arcsin y10         y A   A  A    10

A  y10

(6.24) A  y10

6.2.2. Característica de transferencia con saturación y zona muerta. Sea un elemento no lineal cuya característica de transferencia se muestra en la Fig. 5.37(a). Consta de una zona muerta de amplitud 2 y una característica lineal que alcanza la saturación (y20) para una entrada de amplitud A = y10. Si  = y10 = 0 la no linealidad corresponde a un elemento biestable ideal, mientras que si en cambio es  = y10, estaríamos en presencia de un conmutador triestable ideal. Por último si fuera simplemente  = 0, la no linealidad correspondería a un elemento proporcional con saturación. La Fig. 5.37(b) muestra la salida y2(t) para una excitación senoidal. Debido a la zona muerta, si la entrada posee pequeña amplitud, la salida aparecerá con la forma de ‘colinas’ separadas. Para amplitudes crecientes de la excitación, el andar de y2(t) tenderá a una oscilación rectangular. La

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 6 - pág. 6-8

ganancia de primera armónica será entonces baja tanto para pequeñas como para grandes amplitudes de la entrada senoidal.

A

A

conmutador biestable ideal

A

Fig. 6.7. Zona muerta y saturación. Para  = 0 se tiene la no linealidad de saturación. Si es simultáneamente  = y10 = 0 se tiene un conmutador biestable. Para  = y10 > 0 la no linealidad corresponde a un triestable.

En razón de que la característica de transferencia es unívoca con simetría impar, la salida y2(t) responderá tan solo con componentes senos a una entrada sinusoidal, siendo nulas las componentes en cosenos. Consecuentemente no existirá desfasaje entre la entrada y la primera armónica de la salida, por lo que la función descriptiva correspondiente asumirá únicamente valores reales. Para evaluar la función descriptiva, partimos de la formulación de Fourier para la primera armónica de la salida, la que deberá ser calculada por tramos, empleando el cambio de variable t =  . Por razones de simetría bastará calcular los coeficientes de Fourier sobre un cuarto de la onda de salida de la no linealidad 

a1 

4



2

 y ( ) sin( ) d 2

(6.25)

0

En el análisis se distinguen tres posibles casos:  Para A y10

a1 

a1 

y20  y10   4



2

  A sin( )    sin( ) d 

1

4



2

y

20

sin( ) d

(6.29)

2

y20 A 4 y20 4  2 2  21  sin(21 )  sin(2 2 )  cos( 2 )  cos(1 )  y20 cos( 2 ) (6.30)   y10      y10    

Resumiendo, la no linealidad de saturación con zona muerta tiene la siguiente función descriptiva A;

N ( A)  0 4  y20   A     A       1   sin(2 1 )   cos( 1 )   A  y10     2  2  4  y20   N ( A)    y     2 2  2 1  sin(2 1 )  sin(2 2 )   10   y20 4 4   cos( 2 )  cos( 1 )   y cos( 2 )    A  y10     A 20 y      1  arcsin   ;  2  arcsin  10    A  A  2

  A  y10 ; N ( A) 

A  y10 ;

con

(6.31)

Los resultados de (6.31) se muestran en la Fig. 6. 7(c) para diversos valores de . La función descriptiva es real y positiva, de modo que –1/N(A) se ubica sobre el eje real negativo en el plano de Nyquist. Como la curva N(A) exhibe un máximo, el eje real muestra una doble parametrización en valores de la amplitud A.

inestable

A –1/N(A)

A1 A2 CL

Fig. 6.8. Estudio de ciclo límite.

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 6 - pág. 6-10

En la Fig. 6. 8 se analizan las condiciones de ciclo límite para un sistema lineal de segundo orden más integrador 1 (6.32) F ( s)  ; T1 , T2 , T3 reales . T1 s T2 s  1T3 s  1 Si el punto de corte de L(j) con el eje real ocurre cuando se cumple Im{L(j)}=0, se deduce para la frecuencia angular

 

1

y vale

T2T3

L( j )  

T2T3 T1 T2  T3 

(6.33)

para asegurar la existencia de una oscilación de ciclo límite deberá ser 

1  L( j ) N max

N max  T1

lo que equivale a

T2  T3 . T2T3

(6.34)

Cumpliéndose la condición (6.34), la amplitud de oscilación corresponderá al valor A2 indicado en la Fig. 6.8, ya que las amplitudes comprendidas entre A1 y A2 pertenecen al dominio de inestabilidad de F(j). Para concluir, analicemos algunas no linealidades asociadas a valores particulares de  y de y10. Si  = 0 con y10 > 0, la saturación con zona muerta se reduce a una saturación simple, con la función descriptiva (6.31) se reduce a la (6.24) deducida en la sección anterior. Si se cumple simultáneamente  = 0 e y10 = 0, la saturación con zona muerta se convierte en un conmutador biestable, cuya función descriptiva obtenida de la (6.31) es N ( A) 

4 y20 A

(6.35)

que en la Fig. 6.7 (c) está representada por una hipérbola en línea de trazos. Para  = y10 > 0 la no linealidad corresponde a un triestable, en cuyo caso la (6.31) se reduce a: 2

4y y  N ( A)  20 1   10  . A  A

(6.36)

cuya deducción se ve grandemente simplificada aplicando las consideraciones de la sección siguiente.

6.2.3. Elementos no lineales con histéresis. Para comenzar, recordemos que si un elemento no lineal, independiente de la frecuencia, cuya característica de transferencia posee simetría impar, es sometido a la excitación y1(t) =A sin( t), la aproximación de primera armónica de la salida está dada en general por

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 6 - pág. 6-11

y2 (t )  a1 sin(t )  b1 cos(t )  C1 sin(t  1 ) .

(6.37)

Pasando ahora a notación compleja polar vale y1  Ae jt y2  C1e

(6.38)

j t 1 

cuyo cociente es: y2 C1e   y1 Ae jt

j t 1 

y, como se deduce de (6.37):



C1e j1 C1 cos(1 ) C sin(1 )  j 1 A A A

C1 cos(1 )  a1;

(6.39)

C1 sin(1 )  b1

(6.40)

resulta y2 a1 b  j 1 y1 A A

(6.41)

La expresión (6.41) representa la relación entrada-salida del elemento no lineal en régimen sinusoidal, lo que constituye –por definición– su función descriptiva. Por lo tanto empleando notación compleja, se puede escribir

N ( A) 

a1 b  j 1  R1 ( A)  jI1 ( A) A A

(6.42)

Pasemos ahora a considerar la característica de transferencia triestable con histéresis de la Fig. 6.9.

y2()

y2

y1()=A sin

y1

a) b)

Fig. 6.9. Triestable con histéresis.

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 6 - pág. 6-12

Si es y1  A sin(t )  A sin 

para 

t

resultará la función descriptiva

N ( A)  0

para A  a .

(6.43)

Si en cambio la amplitud A de la excitación supera el umbral de actuación a, resulta N ( A)  R1 ( A)  jI1 ( A) .

(6.44)

La parte real R1(A) puede ser calculada teniendo en cuenta la simetría de la onda de salida y2( ) respecto de : 



2 2 2b R1 ( A)  y2  sin( )  d  b  sin( )  d   cos  cos   ;   A 0 A  A

(6.45)

 y  pueden calcularse a partir de las condiciones a A sin   a    arcsin   ,  A

siendo

a cos   1     A

 qa  A sin   qa, con lo que cos    1     A

2

por ser  >

2

 2

(6.46) .

En consecuencia 2 2 2b  a qa      1    1    . R1 ( A)  A   A  A   

(6.47)

El cálculo de la parte imaginaria I1(A) puede realizarse aplicando la expresión 

2 I1 ( A)  b  cos( )  d , A 

(6.48)

sin embargo, nosotros seguiremos otro camino, que nos conducirá a un resultado idéntico, pero que posibilitará extraer una conclusión general respecto de la incidencia de la histéresis sobre la función descriptiva de una no linealidad cualquiera. En general, la componente imaginaria de la función descriptiva tiene por expresión: I1 ( A) 

siendo a su vez

1 A

y1  Asin( );

2

 y ( )  cos( )  d 2

(6.49)

0

dy1  A cos( ) d ,

(6.50)

es decir que cos( )  d puede ser reemplazado por dy1 / A. Observemos que esta substitución en la integral (6.49) implica tomar como variable integración ya no a  sino a y1, por lo que los

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 6 - pág. 6-13

límites integración habrán de ser cambiados convenientemente. Consideremos para ello, de acuerdo con la Fig. 6.10, a la característica de transferencia del conmutador triestable, subdividida en dos funciones unívocas de y1: la función “inferior” Fi que es recorrida para valores crecientes de y1 (dy1/d >0) y la función “superior” Fs, que corresponde a valores de y1 para los cuales sea dy1/d c, lo que nos permite extraer la conclusión de que la forma de onda a la salida del elemento lineal poseerá un bajo contenido armónico (hecho reafirmado por el gráfico de la Fig. 6.14). Sup. IV: se cumple la condición de polos estables, ya que L(s) posee un polo en el origen y un polo en el semiplano izquierdo.

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 6 - pág. 6-17

6.3.

Criterios Generalizados de Estabilidad.

En el punto 6.2 hemos introducido las funciones descriptivas como una metodología aproximada para comprobar la estabilidad del funcionamiento de un sistema realimentado no lineal. La aplicación del método de la función descriptiva queda supeditada, como vimos, al cumplimiento de un conjunto de condicionamientos referidos tanto a la parte lineal como a la parte no lineal. En el presente apartado presentaremos algunos criterios que permiten juzgar de manera más generalizada la estabilidad de los sistemas dinámicos. Para ello debemos primeramente introducir alguna nociones elementales que serán de mucha ayuda en nuestros análisis. 6.3.1. Normas de señales y de sistemas. Teorema de la ganancia pequeña. Sea una señal u(t) supuesta continua por partes para todo t. Introduciremos diferentes normas para la señal considerada. En primer lugar recordemos que una norma debe poseer las siguientes cuatro propiedades

(i)

u 0

(ii)

u  0  u (t )  0,

(iii)

au  a  u ,

(iv)

uv  u  v

t

a  (desigualdad del triángulo).

Norma–1 La norma–1 de una señal u(t) se define como la integral de su valor absoluto: 

u 1 :  u (t ) dt . 

(6.61)

Norma–2 La norma–2 de u(t) es:

u 2 :



 u(t )

2



dt .

(6.62)

Supongamos por ejemplo que u(t) es la corriente que circula a través de un resistor de 1. La potencia instantánea es igual a [u(t)]2 y la energía total es igual a la integral de esta última 2 expresión, es decir u 2 . Generalizaremos esta interpretación y definiremos la potencia instantánea de una señal u(t) como [u(t)]2 y su energía se define como el cuadrado de su norma-2. Norma– La norma– de una señal es la mínima cota superior de su valor absoluto: u

Por ejemplo la norma– de

1  e  1(t ) t



: sup u(t ) .

es igual a 1. Aquí 1(t) denota la función escalón

3

unitario . 3

Por cierto

1  e 1(t ) t



 1  et 



(6.63)

t

¿podemos decir porqué?

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 6 - pág. 6-18

Normas de sistemas: dado un sistema caracterizado por su función de transferencia G(s), introduciremos dos normas para el mismo

norma-2 de G( s)

G 2 :

norma- de G( s)

G



1 2







G( j ) d 2

: sup G( j ) 

(6.64) (6.65)

La norma- de G es igual a la distancia medida desde el origen del plano complejo al punto más alejado del diagrama de Nyquist de G. También aparece como el valor pico en el diagrama de Bode de magnitudes de G(j), cumpliéndose además que

GH



 G



H



.

(6.66)

Teorema de la Ganancia Pequeña: El concepto más sencillo sobre estabilidad es la estabilidad BIBO (o estabilidad de entrada-salida) ya introducido al analizar sistemas de muestreados. Un sistema posee estabilidad BIBO si a entradas acotadas corresponden salidas también acotadas, es decir que la ganancia del sistema es siempre finita.

r +

e

y

G(s)

+ H(s) Fig. 6.15 Sistema realimentado.

Si consideramos el sistema de la Fig. 6.15, donde G(s) y H(s) pueden ser lineales o no, el error e es e = r +H(s) y = r + H(s) G(s) e. La norma del error viene dada por la expresión e 

r 1  G( s) H ( s)



r 1  G( s)  H ( s)

(6.67)

para cualquier norma que tomemos. Si G(s)  H (s)  1 la ganancia del sistema es finita y por lo tanto el sistema es BIBO-estable. El enunciado del teorema de la ganancia pequeña es entonces el siguiente: una condición suficiente para que el sistema considerado posea estabilidad de entrada-salida o estabilidad BIBO es que

G( s)  H ( s)  1 .

(6.68)

En el caso de que todos los componentes del sistema sean lineales, basta con el cumplimiento de una condición menos restrictiva: G(s) H (s)  1 .

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 6 - pág. 6-19

6.3.2. El criterio de Popov. Al igual que hiciéramos para introducir la función descriptiva, consideraremos también aquí un sistema compuesto por una no linealidad principal independiente de la frecuencia y una parte lineal. Supongamos que la estructura del sistema es la que muestra la Fig. 6.16, siendo f(y) la característica de transferencia del elemento no lineal4. r(t)=0 +

e

y

G(s)

– f(y) Fig. 6.16 Sistema con no-linealidad.

Por lo que respecta a la no linealidad, consideraremos que f(y) es una función unívoca y continua por tramos, perteneciente al sector [K1, K2] es decir que se cumple K1 y  f ( y )  K 2 y

K1 

o bien

f ( y)  K2 y

y  0

(6.69)

siendo además f(0)=0, tal como muestra la Fig. 6.17.

Fig. 6.17 Condición del sector para f(y).

r(t)=0 +

e

G(s)

y

– ky

k

Fig. 6.18 Sistema asociado de Aizerman.

4

El hecho de considerar la no linealidad en la rama de realimentación no implica ninguna pérdida de generalidad ya que el diagrama de bloques puede ser reducido a cualquier otra forma que resultare conveniente, por ejemplo a la forma de la Fig. 6.2.

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 6 - pág. 6-20

Ya en 1946 M. A. Aizerman planteó la conjetura de que si el sistema asociado de la Fig. 6.18 resultaba estable tanto para k = K1 como para k = K2, entonces el sistema no lineal de la Fig. 6.16 debería resultar estable para cualquier f(y) perteneciente al sector [K1, K2]. Desgraciadamente5 la conjetura de Aizerman probó ser falsa, como fué demostrado con varios contraejemplos, pero sirvió como punto de partida para otros investigadores. En particular, el rumano V. M. Popov formuló en 1961 un criterio en el dominio de la frecuencia que recuerda al criterio de Nyquist. Teorema de Popov: Dado el sistema de la Fig. 6.16, el punto y = 0 es globalmente6 estable si  

El sistema lineal es estable, La función no lineal satisface 0



f ( y) K y

y  0

(6.70)

Existe una constante TP que verifica 1  Re (1  jTP )  G( j )    0, K 

  0 .

(6.71)

Gráficamente se puede interpretar el criterio de Popov de la siguiente manera7. Escribamos a G(j) explicitando su parte real G1() y su parte imaginaria G2(): G( j )  G1 ()  jG2 ()

(6.72)

Teniendo en cuenta (6.72), la condición de Popov (6.71) se rescribe como: (1  jTP )  G1 ( )  jG2 ( )  G1 ( )  jTPG1 ( )  TPG2 ( )  jG2 ( ) Re(1  jTP )  G( j )  G1 ( )  TPG2 ( ) G1 ( )  TPG2 ( ) 

1 0. K

(6.73)

Formamos ahora una función auxiliar denominada GP(j) de acuerdo a la expresión8 GP ( j )  G1 ()  j G2 () 5

(6.74)

Decimos desgraciadamente pues si Aizerman hubiera estado en lo cierto, bastaría con investigar el lugar de Evans de la ecuación característica 1+kG(s)=0 y determinar si no aparecen raíces en el semiplano derecho para la condición k[K1, K2], para juzgar la estabilidad del sistema no lineal. 6 La estabilidad global significa que, en condiciones de excitación nula r(t)=0, si una perturbación arranca al sistema de su punto de reposo, el mismo retornará finalmente a la condición y=0. 7 La demostración formal del criterio de Popov requiere el empleo de análisis funcional y excede los alcances de estas notas. 8 Naturalmente los subíndices “P” se refieren a Popov... ¿a quién más?

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 6 - pág. 6-21

Si ponemos

GP ( j )  x  jy ,

(6.75)

la condición (6.73) se transforma en

x  TP y 

1 0 K

(6.76)

lo que significa que, para que el sistema sea estable, la gráfica de GP(j) (es decir la curva de Popov) debe encontrarse a la derecha de la línea definida por: x  TP y   recta tangente

1

1 . K

(6.77)

jIm

GP

K

Re

 G(j)

Fig. 6.19 Interpretación geométrica del criterio de Popov.

La recta (6.77) está girada respecto del eje imaginario el ángulo  = –arctan(TP) y pasa por el punto –1/K+j0. El valor de TP debe entonces ser elegido de manera tal, que K tome el valor máximo posible: ello significa la máxima apertura del sector [0,K] para la no linealidad f(y). Como resulta obvio de la Fig. 5.49, el máximo valor de K se logra cuando la recta (6.77) es tangente a la curva de Popov GP(j). Algunos ejemplos terminarán de aclarar el panorama. 6.3.2.1. Aplicación a una planta lineal de segundo orden. Si en la Fig. 6.16 la parte lineal G(s) es de la forma G( s) 

02 , s 2  20 s  02

(6.78)

nos planteamos la inquietud de conocer cuál es la máxima apertura del sector que garantiza un funcionamiento estable para cualquier no linealidad f(y) contenida en el mismo. Sustituyendo s=j en (6.78) obtenemos la curva de respuesta en frecuencia G(j), en base a la cual calculamos la curva de Popov GP(j) correspondiente.

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 6 - pág. 6-22

G( j ) 

G ( j )  G1 ( )  jG2 ( )  G1 ( ) 



2 0

02

(6.79)

02   2  2 j0

02 02   2  2 j0 



2 0

02 02   2 

  2   4 202 2 2

  2   4 202 2 2

;

G2 ( ) 



203

2 0

  2   4 202 2 2

GP ( j )  G1 ( )  jG2 ( )

GP ( j ) 

02 02   2   2 j03 2



2 0

(6.80)

  2   4 202 2 2

De (6.80) se deduce que cuando  tiende a infinito, GP(j) tiende al origen, con un ángulo igual a arctan(20). En consecuencia GP se encuentra en su totalidad a la derecha de la tangente al origen cuya pendiente es 20. Por lo tanto si elegimos una recta de Popov con pendiente 20, el punto –1/K puede ubicarse en cualquier lugar perteneciente al intervalo (–,0) del eje real. Ello significa que el sistema realimentado no lineal será absolutamente estable para cualquier característica de transferencia f(y) contenida en el primero y tercer cuadrantes. jIm

Re

Fig. 6.20 Criterio de Popov para un sistema de segundo orden con 0=1.

6.3.2.2. Aplicación a una planta lineal de tercer orden. Sea ahora la parte lineal del sistema de la forma

G( s) 

1 Ts Ts  1 2Ts  1

a la que corresponde la respuesta en frecuencia (normalizada):

(6.81)

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 6 - pág. 6-23

G( j) 

G( j)   j

1 , j  j  1 2 j  1

1  j 1  j 2 

 1  2 1  42 



  T

(6.82)

3  j 1  22 

 1   2 1  4 2 

cuya función de Popov es GP ( j)  ReG( j)  j ImG( j)  

3  j (1  22 ) . (1  2 )(1  42 )

(6.83)

La curva de Popov arranca desde el punto –3–j para =0 terminando en el origen para  con dirección paralela al eje imaginario y se encuentra representada en la Fig. 5.51. Dada la convexidad de la curva de Popov, resulta gráficamente evidente que la recta de Popov habrá de ser tangente a GP(j) en el punto donde ésta cruza el eje real negativo. Para dicho punto la fracción –1/K adquiere el valor más cercano posible al origen, con lo que K alcanza su máximo y define el mayor sector [0,K] para el que puede asegurarse la estabilidad del sistema realimentado. De (6.83) se determina que GP(j) cruza el eje real para la frecuencia normalizada   1/ 2 para la cual vale 2 1  1  GP  j    3   K  K  1.5 (6.84) 2  en definitiva, el sistema resulta estable para funciones f(y) contenidas en el sector [0, 1.5]. TP

GP(j)

G(j)

Fig. 6.21 Criterio de Popov aplicado al sistema de tercer orden de la Ec. (6.81).

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 6 - pág. 6-24

Si bien observando la Fig. 5.51 se deduce inmediatamente que la constante TP que define la pendiente de la recta de Popov es no nula, su valor puede ser calculado analíticamente de manera bastante sencilla. 1/ TP es la pendiente de la tangente a la curva de Popov GP(j) para el valor de  considerado, es decir:

d ImGP  d  1 d ImGP  1    . TP d ReGP   0.707 d ReGP  d   0.707 3

(6.85)

6.3.3. Criterio del Círculo (Tsypkin). En 1963 Ya. Z. Tsypkin presentó una extensión del criterio de Popov, para no linealidades f(y) confinadas en un sector limitado [K1, K2] tal como se muestra en la Fig. 6.17, valiendo la condición (6.69) que repetimos a continuación f (0)  0;

K1 

f ( y)  K2 , y

y  0 .

Considerando K como la media entre las pendientes K1 y K2 podemos escribir: K

y además se tiene que:

 K1  K  y 

K1  K 2 2

(6.86)

f ( y)  Ky   K2  K  y .

(6.87)

Llamando f ( y)  f ( y)  Ky nos queda: K1  K 2  K1  K 2     K1   y  f ( y)   K2  y 2  2    K1  K 2 K  K1 y  f ( y)  2 y 2 2

(6.88)

es decir:

f ( y) K 2  K1  ; y 2

y llamando K r 

K 2  K1 2

se tiene

f ( y)  Kr . y

(6.89)

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 6 - pág. 6-25

Fig. 6.22 Descomposición de la función f(y).

Tal como se observa en la Fig. 6.22, la no linealidad puede considerarse descompuesta en una parte lineal K y en otra no lineal f ( y ) centrada sobre el eje y. En estas condiciones, el sistema de la Fig. 6.16 resulta equivalente al de la Fig. 6.23 valiendo e  r  f ( y)  r  Ky  f ( y)

(6.90)

En la Fig. 6.23(b) se tiene para el sistema lineal simplificado G

G ; 1  KG

(6.91)

aplicando ahora el teorema de la ganancia pequeña (ver 6.3.1), la condición suficiente para que el sistema sea estable en el sentido BIBO es que G( s)  f ( y)  1 ;

(6.92)

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 6 - pág. 6-26

r(t)=0 +

e

G(s)

y

– f(y)

Fig. 6.23 Sistema modificado y simplificado con realimentación no lineal.

por lo tanto, pasando a expresiones en frecuencia

K r G( j )  1,

es decir

1  Kr G( j )

(6.93)

y sustituyendo G por su valor se tiene

1  K  Kr G( j )

(6.94)

De acuerdo a (6.94) se deduce que la curva de 1/G(j) no debe cortar el círculo de radio Kr centrado en –K, tal como se observa en la Fig. 6.24

Fig. 6.24 Condición de estabilidad para 1/G(j).

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 6 - pág. 6-27

Teniendo en cuenta ahora las definiciones de K y Kr pueden formularse las condiciones de estabilidad para G(j), que se grafican en la Fig. 6.25.  K  K r   K1 K  Kr  K2



1 1  ; K  Kr K1



1 1  . K  Kr K2

(6.95)

Fig. 6.25 Criterio del círculo para G(j).

En definitiva, dada una no linealidad f(y) contenida en un sector [K1, K2] y siendo G(s) una función de transferencia sin polos en el semiplano derecho, puede asegurarse la estabilidad del sistema realimentado si la curva de Nyquist G(j) no corta ni rodea al círculo que intersecta al eje real en –1/K1 y –1/K2. Nótese que el criterio del círculo involucra directamente a G(j), mientras que el criterio de Popov requiere el trazado de la curva modificada GP(j). A modo de ejemplo, apliquemos el criterio del círculo al sistema lineal con retardo

G ( s )  e s

0.5 s  s  1 s  2 

(6.96)

cuyo diagrama de Nyquist se muestra en la Fig. 6.26. Constatamos que el diagrama de G(j) se encuentra siempre a la derecha de la recta que pasa por –0.625 (asíntota vertical). Dicha recta puede considerarse como un círculo de radio infinito que corta al eje real en –1/K1 = – y en –1/K2 = –0.625 resultando K1 = 0 y K2 = 1.6 los límites del sector de estabilidad. Esto garantiza que si la no linealidad es una zona muerta o una saturación, cuya pendiente en la parte lineal no supere 1.6 entonces el sistema será estable.

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 6 - pág. 6-28

Fig. 6.26 Curva de G(j) y algunos círculos que satisfacen el criterio de Tsypkin.

Resulta evidente que el sistema realimentado será estable para cualquier otro círculo de radio finito ubicado a la izquierda de la asíntota que corta al eje real en –0.625, tal como el que se ha trazado en la figura precedente (la distorsión del círculo se debe a la desigualdad de las escalas horizontal y vertical de la figura). 

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Apéndice A - pág. A - 1

Apéndice A Tablas de transformadas de Laplace, transformadas z y z-modificada Tomadas de Ackermann J.: Abtastregelung. Springer Verlag. Berlin-Heidelberg, 1972. Páginas 375 a 377.

Z

Z

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Apéndice A - pág. A - 2

Z

Z

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Apéndice A - pág. A - 3

Z

Z

Caso especial

Caso especial

Z

Z

♦

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Apéndice B - pág. B - 1

Apéndice B Propiedades de las transformadas z y z-modificada

Acompañamos un resumen de las propiedades de estas transformadas. Las demostraciones correspondientes se pueden encontrar en cualquier libro de texto sobre sistemas discretos, filtros digitales, etc. Donde resulte pertinente incluimos las propiedades equivalentes de las transformadas de Laplace de funciones continuas en el tiempo.

B.0. Notaciones equivalentes. f k = f (kT )

Escribiremos indistintamente

o bien

f k (γ ) = f (kT + γ T )

Para evitarnos nombrar permanentemente al período de muestreo T emplearemos la notación f (kT ) = f [k ],

f (kT + γ T ) = f [k + γ ]

Consecuentemente escribiremos ∞

∞

k =0

k =0

F
( z ) = ∑ f k z − k = ∑ f [k ] z − k

∞

∞

k =0

k =0

F
( z , γ ) = ∑ f k (γ ) z − k = ∑ f [k + γ ] z − k

B.1. Linealidad. Z {af k + bg k } = Z {af (kT ) + bg (kt )} = a Z { f k } + b Z { g k } (B.1) L {a f (t ) + bg (t )} = a L { f (t )} + b L { g (t )} B.2. Retardo de una secuencia (desplazamiento hacia la derecha). Z { f k − n } = Z { f (kT − nT )} = z − n Z { f k }

(B.2) L { f (t − a )} = F ( s ) e − as ;

a≥0

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Apéndice B - pág. B - 2

B.3. Adelanto de una secuencia (desplazamiento hacia la izquierda). n −1   Z { f k + n } = Z { f (kT + nT )} = z n Z { f k } − ∑ f m z − m  m=0  

para n ≥ 0 (B.3)

a L { f (t + a)} = eas L { f (t )} − ∫ f (t ) e − st dt  ; 0  

a≥0

B.4. Amortiguamiento exponencial. Z { f [ k + γ ] e − a ( k +γ )T } = F
( zeaT , γ ) e − aγ T ;

a = constante

(B.4)

en particular para γ = 0, Z { f [ k ] e − akT } = F
( zeaT ) L { f (t ) e − at } = F ( s + a );

(B.5)

a = constante.

B.5. Diferencia de una secuencia. La primera diferencia de una secuencia se define por ∆f k := f k +1 − f k

(B.6)

Z {∆f k } = Z { f k +1} − Z { f k } = z Z { f k } − f 0  − Z { f k } Z {∆f k } = ( z − 1) ⋅ Z { f k } − f 0 z

(B.7)

d  L  f (t )  = s ⋅ L { f (t )} − f (0)  dt  La definición (B.6) presupone contar con el valor de fk+1 en el instante k, lo no puede ser realizado físicamente por razones de causalidad. En consecuencia resulta adecuado aplicar la siguiente definición de diferencia retrógrada ∆ ' f k := f k − f k −1

con f −1 = 0 ,

(B.8)

con esta nueva definición y aplicando la propiedad de desplazamiento hacia la derecha resulta Z {∆ ' f k } = Z { f k } − Z { f k −1} = (1 − z −1 ) Z { f k } =

z −1 Z { fk } z

(B.10)

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Apéndice B - pág. B - 3

B.6. Derivada de una secuencia respecto de un parámetro. ∂  ∂ Z  f k (a )  = Z { f k (a )}  ∂a  ∂a

(B.11)

B.7. Valor inicial de una secuencia. f 0 = lim F
( z ) = lim  f 0 + f1 z −1 + f 2 z −2 +  z →∞

z →∞

(B.12) lim f (t ) = lim sF ( s ); t →0

s →∞

si existe f (0).

B.8. Valor final de una secuencia.

lim f k = lim ( z − 1) F
( z ); k →∞

si existe y es finito lim f k . k →∞

z →1

(B.13) lim f (t ) = lim sF ( s ); t →∞

s →0

si existe lim f (t ). t →∞

B.9. Transformación inversa. ∞

Partiendo de la definición

F
( z ) = ∑ f k z − k , los valores de f k pueden calcularse como los k =0

coeficientes de una serie de Laurent mediante la integral curvilínea 1 f k = Z −1 F
( z ) = 2π j

{

}

∫ F
( z) z

k −1

dz

(B.14)

abarcando el contorno de integración la totalidad de las singularidades de F
( z ) z k −1 . Como siempre consideraremos en este curso que F
( z ) es racional, entonces la integral (B.14) puede ser evaluada aplicando el teorema de Cauchy de los residuos: f k = ∑ Res  F
( z ) z k −1  i

(B.15) z = zi

donde zi son los polos de F
( z ) z k −1 . Los residuos se calculan de la siguiente manera

1. Para un polo simple en z = a Res  F
( z ) z k −1 

z =a

= lim ( z − a) F
( z ) z k −1  z →a

(B.16)

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Apéndice B - pág. B - 4

2. Para un polo de multiplicidad p en z = a

Res  F
( z ) z k −1 

z =a

=

1 d p −1 lim p −1 ( z − a) p F
( z ) z k −1  ( p − 1)! z →a dz

(B.17)

B.10. Inversión numérica.

Muchas veces interesa solamente conocer los primeros valores de una secuencia fk, tal como ocurre cuando analizamos el andar de una respuesta transitoria. Para ello bastará realizar la división numérica de los polinomios numerador y denominador de la expresión racional de la transformada. N
( z ) F
( z ) = = f 0 + f1 z −1 + f 2 z −2 +  + f N z − N + 
D( z )

♦

(B.18)

FACULTAD REGIONAL LA RIOJA

PROGRAMA ANALÍTICO 2018 Departamento: Ingeniería Electrónica Asignatura: SISTEMAS DE CONTROL APLICADO Profesor Adjunto: Ing. Walter J. D. Cova JTP: Ing. Jorge G. Conci Auxiliares: – Hs. Totales Anuales: 96 Hs. Teoría Semanales: 3 Hs. Práctica Semanales: 3 Régimen: Semestral (1° Sem.)

Unidad Temática 1. Control Continuo Avanzado. Métodos prácticos de ajuste de controladores lineales. Consideraciones de robustez. Interacción de integradores con actuadores saturables: efecto windup, soluciones. Controladores en cascada. Controladores basados en modelos, diseño por compensación. Compensación de plantas inestables por asignación de polos. Control por adelanto de señal de perturbación y de comando. Modelización y simulación.

Unidad Temática 2. Controladores implementados mediante procesadores digitales. Conceptos generales sobre control discreto, problemas asociados. Modelos de sistemas de tiempo discreto. Conversores A/D y D/A: errores de cuantificación. Modelos de sistemas discretos: ecuaciones de diferencias y sus soluciones. Empleo de la transformación Z standard y modificada: interrelación con las transformadas de Laplace y Fourier. Métodos de antitransformación: división continua y aplicación de residuos. Función de transferencia de pulsos. Respuesta en frecuencia: limitaciones. Empleo de software de cálculo y representación.

Unidad Temática 3. Estabilidad de los sistemas discretos. Condiciones de estabilidad. Test de Jury Blanchard. Transformaciones aproximadas para discretizar sistemas continuos. Método de Tustin: transformación w y aplicación del criterio de Routh Hurwitz. Análisis de errores en estado de régimen permanente. Empleo de software de cálculo y representación.

Unidad Temática 4. Realización discreta de controladores. Implementación digital de controladores P, PI, PD, PID. Diseño de controladores discretos reales: método simplificado en dominio s, método completo en s, método directo en dominio z. Efecto del tiempo finito de cálculo del procesador: jitter, análisis y soluciones. Detalles prácticos: transferencia manualautomático; modificación de parámetros. Controladores para tiempo de respuesta finito: control deadbeat. Aplicación de software de análisis y simulación de sistemas discretos.

Unidad Temática 5. Sistemas no lineales y discontinuos. No linealidades típicas: saturación, zona muerta, fricción coulombiana, histéresis, relé con zona muerta e histéresis. Linealización por accionamiento periódico. Análisis de estabilidad por función descriptiva. Cálculo de funciones descriptivas. Efecto del tiempo muerto. Criterios de estabilidad de Popov y del círculo aplicados a no linealidades generalizadas. Simulación mediante software especializado.

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Unidad Temática 6. Modelización y análisis de sistemas en el espacio de estados. Sistemas de tiempo discreto: representación de la ecuación de diferencias mediante variables de estado. Comparación con los sistemas continuos. Variables de fase y variables físicas. Formas canónicas, transformaciones. Invarianza de autovalores. Diagonalizacion. Matriz de transición de estados: sistemas discretos y continuos. Uso de software aplicativo.

Unidad Temática 7. Sistemas discretos y continuos: control por realimentación de estado. Modos controlables y observables. Controlabilidad de estado y controlabilidad de salida. Observabilidad. Invarianza. Principio de dualidad. Control por realimentación de estado. Robustez. Diseño de observadores de estado: observadores completos y reducidos. Observador óptimo de estado: concepto de filtro de Kalman. Introducción a la optimización de sistemas de control: Presentación del problema - Control óptimo con índice cuadrático. Empleo de herramientas de software.

BIBLIOGRAFÍA Bibliografía Obligatoria: Autor/es

Título

Editorial

Ejemplares en Biblioteca

Edición

Nise Norman S.: Control Systems Engineering, 6th Edition. Wiley 2011. ISBN : 978-0-470-91769-5.

1

Ogata Katsuhiko: Sistemas de Control en Tiempo Discreto. Segunda Edición. Pearson -Prentice Hall, México, 2005. ISBN: 968-880-539-4.

2

Kuo Benjamin C.: Sistemas de Control Automático (Séptima Edición). Pearson Prentice Hall, México, 2006. ISBN: 968-880-723-0.

1

Umez-Eronini E.I.: Dinámica de Sistemas y Control. Thomson Learning, México 2001. ISBN 970-686-041-X.

1

Houpis C. H., Lamont G. B.: DIGITAL CONTROL SYSTEMS – Theory, Hardware, Software. International Edition – McGraw-Hill Book Co., Singapore. 1992. ISBN 0-07-112637-8.

1

Publicaciones y notas de Cátedra, actualizadas a 2018, disponibles en la página web de la Facultad Regional La Rioja www.frlr.utn.edu.ar

Web UTN

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Bibliografía de Consulta: Disponible a pedido (biblioteca del docente a cargo). Autor/es

Título

Editorial

Edición

Ejemplares en Biblioteca

Aguado Behar A., Martínez Iranzo M.: Identificación y Control Adaptativo. Prentice Hall. Madrid, 2003. Ackermann J.: Abtastregelung. Springer Verlag. Berlin-Heidelberg, 1972. Åström K. J., Murray R. M.: Feedback Systems: An Introduction for Scientists and Engineers. Draft V0.915, 26/sept/2004. 2004 by the Authors. Åström K. J.: Control System Design. Lund Institute of Technology. Lund, Sweden, 2002. Åström K. J., Hägglund T.: Advanced PID Control. ISA – Instrumentation, Systems, and Automation Society. Research Triangle Park, North Carolina, 2005. Cova W.J.D.: Control PID – Un enfoque descriptivo. Universidad Tecnológica Nacional, Facultad Regional La Rioja, Diciembre de 2005, disponible en la página web de la Facultad Regional La Rioja www.frlr.utn.edu.ar Csáki F.: Modern Control Theories – Nonlinear, Optimal and Adaptive Systems. Akadémiai Kiadó. Budapest, 1972. Flügge-Lotz I.: Discontinuous and Optimal Control. McGraw-Hill, Inc. New York, 1968. Föllinger O.: Nichtlineare Regelungen. R.Oldenburg Verlag. München-Wien, 1969. Goodwin G. C., Graebe S. F., Salgado M. E.: Control System Design, Valparaíso, 2000. Gelb A, Van der Velde W. E.: Multiple-input describing functions and nonlinear system design. Chapter 2. Mc Graw Hill Book Company, New York, 1968. Greensite A.L.: Elements of Modern Control Theory. Spartan Books. New York, Washington, 1970. Moreno L., Garrido S., Balaguer C.: Ingeniería de Control – Modelado y control de sistemas dinámicos. Editorial Ariel S. A. Barcelona, 2003. Ogata K.: Ingeniería de Control Moderna. 4ª. Ed. Prentice Hall Iternacional. México, 2003. Rodríguez Rubio F., López Sánchez M. J.: Control Adaptativo y Robusto. Secretariado de Publicaciones de la Universidad de Sevilla, 1996. Sauchelli Víctor Hugo: Sistemas de Control No Lineales. Cuarta Edición. Universitas Editorial Científica Universitaria. Córdoba, 2006. ISBN 987-9406-80-X. Schumacher W., Leonhard W.: Regelungstechnik I (Nichtlineare Regelungen). Institut für Regelungstechnik, Technische Universität Braunschweig, Vorlesungsskript, Stand 01.05.2005. Taylor J. H.: Describing Functions. Article prepared for: Electrical Engineering Encyclopedia. John Wiley & Sons, Inc. New York, 1999.

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Autor/es

Título

Editorial

Edición

Ejemplares en Biblioteca

Vera de Payer Elizabeth.: Teoría de Señales. Universitas. Córdoba, Argentina, 2005. Wahlberg B., Jacobsson K.: 2E1262 Course: Nonlinear Control, lecture notes. KTH, Dept. of Signals, Sensors & Systems, Automatic Control, Sweden 2005. Wittenmark B., Åström K.J., Årzén K.E.: Computer Control: an Overview. IFAC Professional Brief, 2005. www.ifac-control.org/publications/pbrief.htm

URLs Académicas

Dirección web

Fecha última visita

www.mathworks.com página web de The Mathworks, Inc.Tutoriales en español sobre Matlab y Simulink. Multitud de modelos y diagramas de simulación para ingeniería.

16/12/2017

www.ifac-control.org página de International Federation of Automatic Control. Disponibles publicaciones de la especialidad.

16/12/2017

www.aadeca.org página de AADECA – Asociación Argentina de control Automático. Disponibles publicaciones y novedades (en español) de la especialidad.

16/12/2017

www.control.lth.se página del departamento de control automático de la Universidad de Lund (Suecia). Publicaciones, textos y notras de cátedra disponibles en inglés. (Profesores Wittenmark, Åström, Årzén,etc.)

16/12/2017

Prof. Ing. Walter J. D. Cova La Rioja, Diciembre de 2017.

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