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Sistemas Electrónicos de Control Curso 2011/2012-2

Tema 1. Teoría de Sistemas

Profesora: Rosa Mª Fernández Cantí

Tema 1. Teoría de Sistemas

Índice 1. 

Introducción a la Teoría de Control ....................................................................................................... 4 

2. 

Representación de sistemas ..................................................................................................................... 5  2.1  Lenguajes matemáticos ..................................................................................................................... 5  2.1.1  Ecuación diferencial (ED) ........................................................................................................ 5  2.1.2  Ecuaciones de estado (EE)........................................................................................................ 7  2.1.3  Función de transferencia (FT) .................................................................................................. 9  2.2  Lenguajes gráficos ............................................................................................................................ 9  2.2.1  Esquemas de bloques ................................................................................................................ 9  2.2.2  Álgebra de bloques ................................................................................................................. 10  2.2.3  Flujograma de señal ................................................................................................................ 14  2.2.4  Flujograma de estado .............................................................................................................. 14  2.2.5  Regla de Mason ...................................................................................................................... 15  2.3  Analogías......................................................................................................................................... 17  2.4  Ejercicios resueltos ......................................................................................................................... 19 

3. 

Respuesta temporal ................................................................................................................................ 26  3.1  Obtención de la respuesta temporal a partir de la ecuación diferencial (método clásico) ............. 26  3.2  Transformada de Laplace ............................................................................................................... 27  3.2.1  Definición y propiedades ........................................................................................................ 27  3.2.2  Teorema del valor inicial (TVI) y teorema del valor final (TVF)........................................... 29  3.2.3  Solución de EDOs (lineales y de coeficientes constantes) en el dominio s ............................ 29  3.2.4  Cálculo de residuos................................................................................................................. 30  3.3  Obtención de la respuesta temporal a partir de la función de transferencia .................................. 34  3.3.1  Diagramas de polos y ceros .................................................................................................... 34  3.3.2  Modos naturales...................................................................................................................... 34  3.3.3  Polos dominantes .................................................................................................................... 36  3.4  Transitorios. Dinámica de orden 1, 2 y n ....................................................................................... 37  3.4.1  Dinámica de primer orden ...................................................................................................... 37  3.4.2  Dinámica de segundo orden.................................................................................................... 38  3.4.3  Bloque de segundo orden con un polo (o un cero) adicional .................................................. 40  3.4.4  Sistemas de orden n (I). Con polos dominantes ..................................................................... 41  3.4.5  Sistemas de orden n (II). Sin polos dominantes: Formas prototipo ...................................... 41  3.4.6  Sistemas de orden infinito (retardo puro) ............................................................................... 43  3.5  Simulación de la respuesta temporal .............................................................................................. 44  3.5.1  Introducción del sistema. Polos, ceros y residuos.................................................................. 44  3.5.2  Respuesta temporal con Matlab .............................................................................................. 47  3.5.3  Respuesta temporal con Simulink........................................................................................... 49  3.6  Ejercicios resueltos ......................................................................................................................... 50 

4. 

Respuesta frecuencial ............................................................................................................................ 56  4.1  Régimen permanente ....................................................................................................................... 56  4.1.1  Bases ....................................................................................................................................... 56  4.1.2  Sistema resonante de segundo orden ...................................................................................... 58  4.2  Diagramas de Bode ......................................................................................................................... 60  4.2.1  Reglas para el trazado de la aproximación asintótica ............................................................. 60  4.2.2  Curvas de corrección de los diagramas asintóticos................................................................. 63  4.3  Simulación de la respuesta frecuencial. Matlab............................................................................. 64  4.4  Ejercicios resueltos ......................................................................................................................... 65 

5. 

Alfabeto griego ....................................................................................................................................... 74 

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Tema 1. Teoría de Sistemas 6. 

Servomotor de corriente continua ........................................................................................................ 75  6.1  Introducción .................................................................................................................................... 75  6.2  Descripción de los módulos ............................................................................................................ 75  6.2.1  Planta ...................................................................................................................................... 76  6.2.2  Etapa de potencia (alimentación de la planta) ....................................................................... 77  6.2.3  Sensores .................................................................................................................................. 81  6.2.4  Módulos para la implementación de compensadores ............................................................. 82  6.2.5  Módulos auxiliares ................................................................................................................. 83  6.3  Características del motor MS150 utilizado en la Práctica ............................................................. 84 

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Tema 1. Teoría de Sistemas

1.

Introducción a la Teoría de Control

Objetivo del control La Teoría de Control es una rama de la Teoría de Sistemas que se encarga de analizar y modificar el comportamiento de los sistemas dinámicos. En la terminología de control, el sistema dinámico bajo estudio recibe el nombre de “planta”. La Ingeniería de Control consiste en diseñar e implementar sistemas/subsistemas que, de manera automática, fuerzan a la planta a tener un comportamiento dinámico adecuado y robusto. Un comportamiento “adecuado” es, por ejemplo, que la respuesta temporal de la planta “y” siga las variaciones de una señal de referencia “r” (también llamada consigna o set-point), y  r . Que el comportamiento sea además “robusto” implica que el seguimiento y  r debe mantenerse a pesar de los errores en el modelo de la planta (incertidumbre) y la presencia de perturbaciones externas (ruido). Los sistemas de control cuyo objetivo es el seguimiento de consignas también reciben el nombre de “servosistemas” puesto que, en cierto modo, se comportan como siervos (esclavos).

Ámbitos de aplicación del control Son todos los tecnológicos, incluyendo también los económicos y ecológicos. Por ejemplo:  Regulación de procesos de producción (fábricas, refinerías, centrales nucleares,...)  Electrónica y comunicaciones (amplificadores operacionales AOs, lazos de enganche de fase PLLs, controles automáticos de ganancia AGC,...)  Ingeniería mecánica (servomecanismos,...)  Ingeniería de estructuras (control de vibraciones,...)  Automoción (sistemas de control en vehículos: frenado asistido ABS, servodirección,...)  Navegación en general (náutica, aeronáutica, astronáutica, diseño de autopilotos,...)  Cibernética (robótica, bioingeniería,...)  Economía (control del PIB, relaciones de maximización/minimización de beneficios/costes, identificación de series temporales para predicción bursátil,...)  Sistemas ecológicos (establecimiento de paradas biológicas/periodos de veda, control de fluviales, predicción meteorológica...)  etc.

Dimensiones del problema de control La Ingeniería de Control aborda todo tipo de problemas. Atendiendo a las dimensiones de los problemas, éstos se pueden clasificar en:  Problemas de pequeña escala: desensibilizar un AO, climatizar una estancia,...  Problemas de gran escala (large scale systems, LSS): control de lentes en observatorios astronómicos (Mauna Keck, Canarias), control de compuertas en presas y canales ...  Problemas muy complejos (very complex systems, VCS): redes de distribución eléctrica, ferrocarriles, redes de alcantarillado,…

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Tema 1. Teoría de Sistemas

2. 2.1

Representación de sistemas Lenguajes matemáticos

Vamos a ilustrar la descripción de un mismo sistema dinámico por medio de una ecuación diferencial ordinaria (EDO), un sistema de ecuaciones de estado (EE) y una función de transferencia (FT). El sistema escogido es el péndulo simple de la figura.

l F

b

 mg

Fig. 1. Péndulo simple

2.1.1

Ecuación diferencial (ED)

La descripción del comportamiento de sistemas dinámicos por medio de EDOs es resultado directo de la aplicación de las leyes de la física. En nuestro caso, la dinámica del péndulo viene descrita por medio de la EDO no lineal de segundo orden,

 

b  g F   sin   , 2 ml l ml    



 

d dt

u

con, por ejemplo, las siguientes condiciones iniciales (CI),

 (0) 



(posición: arriba, pegado al techo),

2   (0)  0 (velocidad: parado)

Ejemplo 1. Obtención de la ecuación diferencial ordinaria del péndulo simple. El modelo del comportamiento dinámico del péndulo simple puede obtenerse de diversas maneras. Aplicando la segunda ley de Newton. En movimiento rectilíneo, la segunda ley de Newton establece que la fuerza neta F (N) aplicada sobre un cuerpo es directamente proporcional a su aceleración a (m/s2) siendo la constante de proporcionalidad la masa m (kg). Así, F  m  a .

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Tema 1. Teoría de Sistemas

La versión para movimiento rotacional establece que el par neto T (Nm) aplicado a un cuerpo es proporcional a su aceleración angular  (rad/s2) siendo la constante de proporcionalidad el momento de inercia J (Nmrad-1s2). Así, T  J   . Suponer que la bola está subiendo con una aceleración  . El balance de las fuerzas que actúan tangencialmente al movimiento de la bola (par debido a la gravedad, rozamiento y excitación) es:

 mg sin    l  b  F  l  J Notar que el par debido al rozamiento y a la gravedad se oponen al par de excitación. El momento de inercia se calcula como J  mi ri 2 . En nuestro caso, J  ml 2 . Sustituyendo valores se obtiene:

 

b  g F   sin   2 ml l ml

Aplicando las ecuaciones de Lagrange (opcional). En sistemas más complicados es más conveniente modelizar el comportamiento dinámico mediante las ecuaciones de Lagrange. Éstas se basan en el principio de Hamilton que establece que, en un sistema dinámico, un movimiento entre dos configuraciones del sistema y entre dos intervalos de tiempo es natural si y solo si la energía del sistema se mantiene constante. En los sistemas conservativos (no disipativos), la ecuación de Lagrange es

d  L  L   0 dt  q i  qi donde L  T  V es el Lagrangiano (T y V son las energías cinética y potencial respectivamente) y qi son las coordenadas generalizadas (las coordenadas generalizadas, o número de grados de libertad, son el mínimo número de variables independientes que hay que especificar para definir la posición de un objeto). En los sistemas más generales (con disipación de energía y excitación externa), la ecuación de Lagrange es

d  L  L P     Qi dt  q i  qi q i donde la función de potencia P describe la disipación de energía del sistema y Qi son las fuerzas externas generalizadas que actúan sobre el sistema. Para obtener la EDO del péndulo simple por Lagrange, el procedimiento es el siguiente. Suponer que  = 0 es el origen de potencial (posición vertical del péndulo = 0). Si se sube el péndulo a una

1 2 1 mv  m(l) 2 y la energía potencial 2 2 1 es E pot  V  mgh  mgl (1  cos  ) . La disipación por el rozamiento es P  b 2 . Y el par de 2 excitación aplicado a sistema es Q  F  l . posición vertical de h, la energía cinética es E cinet  T 

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1 2 2 ml   mgl (1  cos  ) . Las ecuaciones de Lagrange, con un 2 grado de libertad (en nuestro caso ), son: El Lagrangiano es L  T  V 

d L L P   Q dt    Lo que da:

d  1 2  ml 2    mgl sin    b  F  l  ml 2  mgl sin   b  F  l .  dt  2 

Si la ED es complicada o presenta un orden elevado se hace difícil trabajar con ella. Por eso, es conveniente convertirla en un sistema de ecuaciones de estado o en una función de transferencia, que son descripciones mucho más sencillas de manejar y, como veremos más adelante, nos permitirán diseñar sistemas de control.

2.1.2

Ecuaciones de estado (EE)

Variables de estado Las variables de estado se definen como el mínimo conjunto de variables capaces de describir en su totalidad el comportamiento de un sistema dinámico. Para identificarlas hay varias guías: 

Una variable es variable de estado si necesitamos conocer su valor inicial para caracterizar la evolución temporal del sistema.



Si una variable determinada corresponde a un elemento capaz de almacenar energía, entonces también es una variable de estado. Por ejemplo, en un circuito RLC las variables de estado son dos: la tensión en el condensador y la corriente en la bobina. Puesto que son dos, el sistema es de segundo orden.

Ecuaciones de estado Las ecuaciones de estado (EE) no son otra cosa que ecuaciones diferenciales de primer orden, cada una correspondiente a una variable de estado. Conversión de EDO a EE Para pasar de la siguiente EDO de orden n

     sin   u a n EDOs de 1er orden, hay que renombrar las variables. Lo habitual es empezar por la variable sin derivar, que en nuestro caso es . Así, asignamos la primera variable de estado x1 a , x1   . Notar que x1   . La segunda variable de estado, x2, se escoge como la derivada de la primera,

x2  x1 , o lo que es lo mismo, x 2   . Notar que dos variables de estado bastan para describir el comportamiento del péndulo, puesto que el sistema de segundo orden. Notar también que x 2   .

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Si el sistema fuera de orden superior, cada nueva variable de estado se escoge como la derivada de la anterior, es decir, x3  x 2 , x 4  x 3 ,... excitación

     sin   u x 2

x1  x 2

 x1  x2   x 2    sin x1  x2  u   x1

CI: x1 (0) 

 2

, x2 (0)  0

x1

La descripción EE consiste en las dos ecuaciones de estado, más la ecuación de salida (   x1 ), más el conjunto de condiciones iniciales (CI). Caso de sistemas lineales. Matrices A, B, C, D. Si el sistema es lineal (en nuestro caso, podemos suponerlo así para pequeños desplazamientos alrededor del punto de equilibrio, sin x1  x1 ) se puede utilizar la notación matricial (A, B, C, D)

1  x1  0  x1   0       u      x 2  1  x 2     A

x  Ax  Bu

B

x  y  1 0 1   0 u   x 2  D

y  Cx  Du x ( 0)

C

 / 2   x(0)    0 

Si el sistema es lineal, pero sus parámetros varían con el tiempo, las matrices A, B, C, D serán funciones del tiempo,

x  A (t )x  B(t )u

y  C(t )x  D(t )u x ( 0) Si el sistema es MIMO (multiple input multiple output), en vez de señales entrada/salida escalares, u(t), y(t), tendremos vectores u(t), y(t).

x  Ax  Bu

y  Cx  Du x ( 0) Si el sistema no es lineal, las ecuaciones de estado no serán lineales tampoco. Una notación general para un sistema SISO (single input single output) no lineal es:

x (t )  f1 (x(t ), u (t )) y (t )  f 2 (x(t ), u (t )) x(0)

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Tema 1. Teoría de Sistemas

2.1.3

Función de transferencia (FT)

La función de transferencia (FT) describe el comportamiento de un sistema SISO y lineal con condiciones iniciales nulas en el dominio transformado (Laplace o Z). Vamos a ilustrar cómo se obtiene la FT a partir de la ED del péndulo linealizada. En primer lugar hay que obtener la ecuación transformada (notar que, al transformar, hay que tener en cuenta las condiciones iniciales):

      u Transformada de Laplace

s (s)  s (0)  (0)   s(s)   (0)  (s)  U ( s) 2

Se agrupan términos,

s

2



 s   ( s)  U ( s)  s    (0)  (0)

Y se despeja la variable de salida (posición del péndulo, en nuestro caso) Respuesta Zero state (ZS)

Respuesta Zero input (ZI)

  s  1 1  ( 0)  2 (0) ( s )  2 U ( s)  2 s  s   s  s   s  s    FT (CI=0)

Notar que la función de transferencia es el término que relaciona únicamente entrada (excitación) y salida (respuesta). Si trabajamos con funciones de transferencia estamos asumiendo que las condiciones iniciales son nulas ya que no estamos teniendo en cuenta la respuesta zero-input.

2.2

Lenguajes gráficos

2.2.1

Esquemas de bloques

Los esquemas de bloques facilitan la construcción de modelos, su interpretación y reducción. Representan relaciones algebraicas (es decir, no diferenciales) y, en principio, son válidos para sistemas lineales (aunque por abuso de notación pueden incluir bloques no lineales, funciones descriptivas, etc.) Símbolos



Las variables se representan por medio de flechas y están en el dominio transformado:

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X(s)



Los sistemas/subsistemas son cajas que contienen el nombre de la función de transferencia (también llamada transmitancia). Estos bloques pueden corresponder a sistemas físicos o a algoritmos. En general son un conjunto de operaciones que transforman la señal:

T(s)



Las operaciones son sumas y restas, y tomas de información (sin que haya drenaje, es decir, no se tiene en cuenta la conservación de la energía, sólo se toma información) X1 X1

+ X2

X1

Y

+

X1 X3

Ejemplo 2. Esquema de bloques de un circuito RC Considerar el circuito de la figura, R

I + V1 _

+ V2 _

C

Fig. 2. Circuito RC Puesto que I 

V1  V2 1 y V2  I , el esquema de bloques es el siguiente: R Cs V1

+

V2

I

1 R 1 Cs

Fig. 3. Esquema de bloques del circuito RC Si se desea obtener la función de transferencia en lazo cerrado V2(s)/V1(s) una opción es usar las reglas reducción que nos proporciona el álgebra de bloques (ver Ejemplo 4).

2.2.2

Álgebra de bloques

Reglas de reducción Primera interconexión: serie (tándem o cascada), Teq 

T . i

i

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Tema 1. Teoría de Sistemas

Teq X1

Y1=X2

T1

Y2

T2

Y2 T 2X 2  T2T1 X 1 Fig. 4. Interconexión en cascada Nota: Cuidado con la propiedad conmutativa. Si los bloques son SISO no pasa nada pero si son MIMO el orden del producto es relevante a fin de que las dimensiones de las matrices sean compatibles. (Consejo: es conveniente multiplicar siempre de atrás hacia delante, desde la salida a la entrada) Segunda interconexión: paralelo, Teq 

T

i

i

Teq T1

+

X T2

Y

+

Y  (T1 T 2) X Fig. 5. Interconexión en paralelo Tercera interconexión: retroacción, Teq 

R

Y G  R 1  GH Teq

+

G

Y

+ H Fig. 6. Interconexión retroactiva

Notar que en el numerador va la ganancia directa entre la entrada (R) y la salida (Y) y, en el denominador se pone 1 menos la ganancia de lazo. La ganancia directa es el producto de todos los bloques que se encuentran en el camino directo entre R e Y. La ganancia de lazo es el producto de todos los bloques que se encuentran en el lazo.

Ejemplo 3. Retroacción negativa Considerar el servo de la figura. La ganancia directa entre la entrada R y la salida Y es GC.

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La ganancia de lazo es ahora L=-HGC (notar que el signo negativo se puede interpretar como si hubiera un bloque encargado de cambiar el signo antes de entrar en el sumador. Si hubiera un número par de cambios de signo en el lazo, L sería positiva)

Teq R

Y

+

C

G

_ H Fig. 7. Esquema de bloques de un servo

Y GC .  R 1  HGC Y 1 Si la ganancia directa es muy grande, GC  , el servo se comporta como un inversor  . R H Por tanto, la función de transferencia en lazo cerrado que relaciona Y con R es:

Ejemplo 4. Circuito RC Considerar de nuevo el esquema de bloques V1

+

I

1 R 1 Cs

V2

Fig. 8. Esquema de bloques de un circuito RC La función de transferencia en lazo cerrado que relaciona la tensión de entrada V1 con la de salida V2 es

1 1 V2 ( s ) 1 /( RCs ) 1 Cs R    V1 ( s)  1 1  1  1 /( RCs) RCs  1 1    Cs R 

Reglas auxiliares Toma de información: Si tenemos Y=TX,

X

T

Y

y queremos acceder a X pero no es posible acceder físicamente (puede que sea una variable interna del sistema), podemos hacer lo siguiente (puesto que X=(1/T)Y),

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Tema 1. Teoría de Sistemas

X

Y

T

X

1/T

Fig. 9. Regla auxiliar de toma de información

Inversión de orden: Si queremos cambiar el orden entre un bloque y un sumador, podemos aplicar la propiedad distributiva, Y  T ( X 1  X 2 )  TX 1  TX 2 .

X1 X1

+

T

Y

+ +

Y

T

+

T

X2

X2 Fig. 10. Regla auxiliar de inversión de orden

Ejemplo 5. Retroacción unitaria La mayoría de las herramientas de análisis que veremos en el próximo tema asumen que la retroacción es unitaria. Si ello no fuera así, siempre podemos aplicar el álgebra de bloques para conseguirlo: R

+

G

Y

_

R

+

GH

1/H

Y

_

H

Fig. 11. Álgebra de bloques para conseguir retroacción unitaria

Notar que son equivalentes puesto que

Y G GH 1 .   R 1  GH 1  GH H

Sistemática de reducción Para simplificar los esquemas de bloques hay que seguir los pasos detallados a continuación: 1) Reducir las interconexiones evidentes (serie, paralelo, retroacción). 2) Cuando no se pueda acceder a alguna señal, aplicar las reglas auxiliares. 3) No cruzar lazos. 4) Reducir desde dentro hacia fuera (empezar por los lazos más internos).

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2.2.3

Flujograma de señal

El flujograma de señal es una alternativa al esquema de bloques. Símbolos



Las variables se representan por medio de nodos y están en el dominio transformado, X(s)



Los sistemas/subsistemas son flechas con el nombre de la función de transferencia (también llamada transmitancia). Es habitual hacer trazos curvos. Notar que la flecha va en medio del trazo.

T(s)



Las operaciones de suma y resta se llevan a cabo en los propios nodos. En realidad son todo sumas, si se quiere restar hay que cambiar el signo de la transmitancia correspondiente. -T(s)

H(s)

Ejemplo 6. Flujograma de señal del lazo retroactivo negativo

1 R

G E

1 Y

-H Fig. 12. Flujograma de señal

2.2.4

Flujograma de estado

El flujograma de estado es un caso particular de flujograma de señal que se caracteriza por que las variables de los nodos son variables de estado (y no cualquier variable general) y las transmitancias que nos llevan de una a otra son integradores.

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Tema 1. Teoría de Sistemas

Ejemplo 7. Flujograma de estado del péndulo simple. Vamos a obtener el flujograma de estado del péndulo simple considerado en apartados anteriores. Primero se despejan las variables con mayor orden de derivación

      u        u y, para cada una de ellas, se construye el flujo de integradores hasta anular dicha derivación





s-1



s-1

Finalmente, se representan el resto de relaciones de la ecuación y se renombran los nodos (empezando por el final)

1 u

x 2 

x1  x 2

x1



-1

s

s



-1

1 y

- - Fig. 13. Flujograma de estado del péndulo simple

2.2.5

Regla de Mason

La regla de Mason permite obtener la función de transferencia entre cualquier entrada y cualquier salida de un flujograma. Es muy útil en los casos de flujogramas muy complejos, con muchos lazos y cruces entre ellos. La fórmula de Mason es:

Y ( s)  U ( s) El factor  se calcula como:   1 

p  k



L L L i

i

i j

k

k

i

j



L L L L L L L

i jk

i

j

k

i

j

k

l



donde Li son todos los lazos (caminos cerrados con circulación, es decir, donde el sentido de las flechas forma un círculo) del flujograma; LiLj son productos de todos los lazos Li, Lj que no se tocan entre ellos (si tuvieran un solo nodo en común se supondría que ya se tocan); LiLjLk son ternas de lazos que no se tocan entre ellos; y así sucesivamente. El factor pk, k = 1, ... , K indica camino directo (path) entre la entrada y la salida consideradas.

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Tema 1. Teoría de Sistemas

El factor k se construye exactamente como  pero sólo tiene en cuenta los lazos que no tocan a pk. La fórmula de Mason es muy fácil de recordar (hay que saberla de memoria). Notar que la condición siempre es que no se tocan.

Ejemplo 8. Péndulo simple Para obtener

Y (s) , hay que identificar todos los caminos directos entre u e y. En nuestro caso sólo U ( s)

hay uno: p1  1  s 1  s 1  1  s 2 . También hay que identificar todos los lazos del flujograma. En nuestro caso hay dos: L1  s 1  ( ) y L2  s 1  s 1  (  ) .

1 u

x 2  x1

x 2 

s

 p1

-1

x1 s

1



-1

y

L1 L2

- -

Fig. 14. Péndulo simple. Regla de Mason

A continuación hay que construir el factor :   1 

2

L L L i 1

i

i j

i

j

. Los factores cruzados son

para pares, ternas, etc. de lazos que no se tocan. Puesto que, en nuestro caso, L1 y L2 se tocan, no existen términos cruzados y nos queda:   1 

2

L i 1

i





 1   s 1  s  2  1  s 1   s  2 .

Finalmente, hay que construir el factor k para cada uno de los caminos directos pk. Estos factores se construyen únicamente con los lazos del flujograma que no tocan al camino directo correspondiente. Puesto que, en nuestro caso, todos los lazos del flujograma tocan a p1, nos queda 1 = 1. La aplicación de la Regla de Mason da como resultado la función de transferencia que ya habíamos obtenido en un apartado anterior:

Y ( s)  U ( s)

p

k



k

p1  1 1 s 2    2 1 2  1  s   s s  s  

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16

Tema 1. Teoría de Sistemas

2.3

Analogías

Todos los sistemas cuyo comportamiento se describe por una ED con la misma forma reciben el nombre de sistemas "análogos". Por ejemplo, el péndulo simple y un PLL (phase-lock loop) son sistemas análogos. En la Teoría de Sistemas es indiferente cuál es el origen físico del sistema (eléctrico, mecánico, hidráulico,...). Una vez pasado a dominio transformado todos se tratan igual. Ello es posible por las analogías presentes en los modelos de parámetros concentrados. Tipos de variables

 

Variables across ("diferencia") Variables through ("transversales")

Para entender mejor a que se refieren, considerar una resistencia R. La variable across es la tensión y la variable through es la corriente.

Tipos de relaciones



Producto:

through  ct.  across

(disipación de energía)



Integración:

through  ct.   across  dt

(almacenamiento inductivo de energía)



Derivación:

through  ct. 

d across dt

(almacenamiento capacitivo de energía)

Los tres tipos de relaciones dan lugar a tres tipos de elementos ideales.

through across Disipador de energía Almacenamiento energía inductivo Almacenamiento energía capacitivo

i v

sistemas eléctricos corriente [A] tensión [V]

R

i

1 v R

L

i

1 vdt L

C

iC

dv dt

mecánica de traslación F fuerza [N] v veloc. lineal [m/s]

mecánica de rotación T par [Nm]  veloc. ang. [rad/s]

fricción

fricción

muelle

masa

F  bv

F  k  vdt F m

dv dt

muelle

inercia J

T  b

T  k  dt TJ

d dt

Tabla 1. Analogías (I)

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17

Tema 1. Teoría de Sistemas

sistemas hidráulicos caudal [m3/s] nivel [m]

through across

q h

Disipador de energía

resistencia hidráulica inertancia

Almacenamiento de energía inductivo

q

q



1 h R

q  I  hdt

sistemas térmicos flujo calorífico [W] dif. temperatura [K]

resistencia térmica

q

1  R

No hay

(sólo en tuberías) Almacenamiento de energía capacitivo

capacidad

qA

capacidad térmica

dh dt

qC

d dt

Tabla 2. Analogías (II) La capacidad hidráulica corresponde a un depósito de sección A mientras que la capacidad térmica corresponde a un horno de capacidad térmica C. Notar que el hecho de que no existan elementos inductivos de almacenamiento de energía térmica implica que la dinámica de este tipo de sistemas no es oscilatoria (los sistemas térmicos no oscilan puesto que no se pueden intercambiar la energía entre un elemento de almacenamiento capacitivo y otro inductivo).

Ejemplo 9. Analogías. Los siguientes sistemas físicos tienen modelos análogos. Circuito eléctrico:

+ Iin

L

C

R

Vo _

Fig. 15. Circuito RLC

I in 

Vo 1 V dV RLs 1 1    Vo dt  C o , I in     Cs Vo ,  o  2 I in RLCs  Ls  R R L dt  R Ls 

Sistema mecánico de traslación:

b

k

m

xin

x

Fig. 16. Sistema mecánico de traslación

F  kx  m

d ( x  xin ) d 2x X bs b  0 , kX  ms 2 X  bXs  bsX in ,   2 2 dt dt X in ms  bs  k

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18

Tema 1. Teoría de Sistemas

2.4

Ejercicios resueltos

Ejercicio 1. Representación de sistemas. Regla de Mason. Considerar el sistema de rotación de un eje flexible con rozamiento de la figura J

1(t)

B

k

2(t)

Las dos ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) que describen su comportamiento son T  J1  k  1   2  y 0  B2  k  2   1 , siendo T el par aplicado (excitación), J el momento de inercia, k la constante de elasticidad y B la constante de rozamiento viscoso.  1 y 2 son las posiciones angulares correspondientes a un extremo y otro del eje flexible. Se pide: (a) representar el flujograma de estado, (b) a partir de él, obtener las ecuaciones de estado, (c) aplicar la regla de Mason al flujograma de estado a fin de obtener las funciones de transferencia 1(s)/T(s) y 2(s)/T(s). Solución: (a) Flujograma de estado (FGE) En primer lugar se despejan las derivadas de mayor orden de cada una de las ecuaciones:

T k k  1   2 J J J k k 2    2  1 B B

1 

Luego se disponen tantas líneas de integración como sean necesarias y, a continuación, se representan las relaciones que aparecen en las ecuaciones: -k/J

1

s-1

1

s-1

1

1/J T

1

1

s-1

s-1

1

k/J

2

s-1

2

2

s-1

2 k/B -k/B

(b) Ecuaciones de estado (EE) Se renombran los nodos del FGE (empezando por las variables sin derivar y siguiendo el sentido de derivación) y se escriben las ecuaciones en función de las variables de estado xi:

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19

Tema 1. Teoría de Sistemas

-k/J 1/J T

1

1

s-1

x2

1

s-1

x1  x2

   1  k k x 2   x1  x3  T  J J J  k k  x 3  x1  x3  B B

x1

x1  x2

k/J

x3

2

2

s-1

k/B

x3 -k/B

Puesto que el sistema es lineal podemos expresar las EE en formato matricial. Si, por ejemplo, se definen dos salidas, y1=1=x1 y y2=2=x3, el conjunto de ecuaciones de estado más la ecuación de salida puede escribirse como:

x  Ax  bu y  Cx  du

(c) Regla de Mason:

 0 x   k / J   k / B 1 0 y 0 0

,

salida  entrada

p  k

0   0     k / J x  1 / J T   0  0  k / B   

1 0

0  0 x   T  1  0

k



En primer lugar se identifican todos los lazos y se construye .

k 1 k k k 3 s , L2   s 2 , L3  s B J BJ k 1 k 2 k 2 3 k 2 3 k k     1  L1  L2  L3  L1 L2  1  s  s  s  s  1  s 1  s 2 B J BJ BJ B J L1  

-k/J 1/J T

1

s

L2  

-1

1

x2

1

s-1

x1  x 2

x1

k/J

x3

2

s-1

2 x3

L1

L3 k/B

-k/B

Para cada una de las funciones de transferencia, 1(s)/T(s) y 2(s)/T(s), hay que identificar, además, los caminos directos entre entrada y salida (para cada una de las funciones de transferencia sólo hay un camino directo, marcados en verde y rojo respectivamente).

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20

Tema 1. Teoría de Sistemas

Así:

1  2 k 3 1 2   s  s p s  1  p11 1 ( s )  Bs  k J JB J     3 2 k k k T ( s )   1  L  1  s 1   1  s 1  s 2 BJs  kJs  kBs 1 1  B  B J k 3 s k 3   2 ( s )  p1  k s  p11 JB     JB 3 2 k k T (s)    1   1  s 1  s 2 BJs  kJs  kBs   1 B J

Ejercicio 2. Representación de sistemas. Regla de Mason. A continuación se muestra una representación conceptual del fenómeno de acoplamiento elástico entre un motor y su carga. Este fenómeno da lugar a la aparición de polos parásitos, de “alta frecuencia” y muy resonantes, de manera que si la ganancia de lazo es lo suficientemente elevada, puede provocar su “aparición” y crear problemas de estabilidad. PM VM AM

TE

PL VL AL

Ks

JM

JL

La figura muestra el esquema de bloques correspondiente, que relaciona el par generado por la conversión (TE) con la posición (angular) del motor (PM) y la de la carga (PL) que, obviamente, son distintas. Las fuerzas elásticas son proporcionales (Ks) a la diferencia de posición entre el motor y la carga (PM-PL). Las fuerzas de amortiguamiento son proporcionales (b) a la diferencia de velocidad entre el motor y la carga (VM-VL). Ic

Control de corriente

IF KT

AM

TM

TE +

VM

PM

+ Ks + b +

+ TL

AL

VL

PL

Fig. 17. Esquema de bloques de un acoplamiento elástico Se pide calcular, usando la regla de Mason las siguientes funciones de transferencia:

G1 ( s ) 

PM ( s ) TE ( s )

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y

G2 ( s ) 

PL ( s ) TE ( s )

21

Tema 1. Teoría de Sistemas

Solución: Aunque no es obligatorio, se puede dibujar el flujograma de señal para ver mejor los lazos y caminos directos. Hay varios posibles flujogramas (unos contienen todas las variables incluyendo las intermedias, como el de la siguiente figura; otros pueden ser más simplificados). -1

1 1/JM

TE

1/s

1/s

PM 1

-1

1

Ks

b 1

-1 -1 1/s

1/s

1/JL

PL

1

En primer lugar hay que identificar todos los lazos (caminos cerrados) del flujograma. Dependiendo del grado de simplificación del flujograma puede haber un número diferente de lazos, pero, en cualquier caso, el resultado final una vez aplicada la regla de Mason debe ser el mismo. Solución con 6 lazos:

-Ks L1

1 TE

1/s

1/JM -b

b

1/s

PM 1

L2 1

-1

L3

1/JL

-1 1/s

1/s

PL

L4 Ks

L1 

1 1 1 11 1 K s  , L2  1 b  , JM s s JM s

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L3 

1 1 1 11 ( 1)b , L4  ( 1) K s JL s JL s s

22

Tema 1. Teoría de Sistemas

-Ks

1 1/JM

TE

1/s

1/s

-b

-1

1/JL

L6 1/s

1/s

1

L5

1

b

PM

-1 PL

Ks

L5 

1 11 1 1 1 11 1 1 (1) K s ( 1)( b) , L6  ( 1) K s  (1)b JM s s JL s JL s s JM s

Hay que identificar cuáles son los pares de lazos que no se tocan entre sí, es decir, que no tienen ningún nodo en común. Éstos son (L1 , L3) y (L2 , L4). No hay ningún triplete de lazos que no se toquen entre sí. Con estos lazos ya se puede construir el denominador de ambas funciones de transferencia,

  1  L1  L2  L3  L4  L5  L6   L1 L3  L2 L4 

Función de transferencia

: Para construirla hay que identificar todos los caminos

directos (es decir, sin repetir nodos) entre la entrada TE y la salida PM. En nuestro caso sólo hay 1 camino directo:

El factor delta asociado a este camino, 1, se construye de forma análoga a la  general pero teniendo en cuenta sólo los lazos que no tocan a p1. En nuestro caso son L3 y L4:

Así,

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23

Tema 1. Teoría de Sistemas

Función de transferencia

: Para construirla hay que identificar todos los caminos

directos (es decir, sin repetir nodos) entre la entrada TE y la salida PL. En este caso hay 2 caminos directos.

Ambos caminos tocan a todos los lazos, por tanto, sus factores delta son directamente 1=2=1. Así,

Solución alternativa (con 8 lazos): -Ks L1 1

TM

TE

1/s

1/JM

1/s

PM

L2 -b

Ks

b

b

Ks

-b L3 PL

1/s

1/JL

1/s

TL

L4 -Ks

,

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,

,

24

Tema 1. Teoría de Sistemas

-Ks

1

TM

TE

Ks

1/JM

b

L6

1/s

1/s

-b

PM

b Ks

-b L5

1/s

PL

1/JL

1/s

TL

-Ks

,

-Ks

1

TM

TE

1/s

1/JM

PM

L7

-b

Ks

1/s

b

b

Ks

-b L8

PL

1/s

1/JL

1/s

TL

-Ks

,

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25

Tema 1. Teoría de Sistemas

3.

Respuesta temporal

El objetivo en este apartado es obtener la evolución temporal de la salida y(t) de un sistema conociendo: 1) la dinámica del sistema (descrita por medio de su ecuación diferencial o su función de transferencia), 2) la señal de excitación u(t) y 3) las condiciones iniciales (CI).

3.1

Obtención de la respuesta temporal a partir de la ecuación diferencial (método clásico)

Ejemplo 10. Respuesta temporal a partir de la EDO (método clásico) Los datos son:  Ecuación diferencial ordinaria (sistema): y(t )  3 y (t )  2 y (t )  u (t )  Excitación: u(t) es un escalón unitario que empieza en t=0  Condiciones iniciales: y(0)=1, y (0)  0 La respuesta total y(t) es la suma de la solución homógenea yH (correspondiente al transitorio, respuesta libre) y la solución particular yP (permanente, respuesta forzada). 1)

Solución de la ecuación homogénea y(t )  3 y (t )  2 y (t )  0 :

Su

ecuación

característica

(expresada

en

términos

del

operador

derivación

D)

es

D 2  3D  2  0 . Las raíces (autovalores) de esta ecuación son -1 y -2. Cada autovalor  lleva asociada una función en el tiempo con la forma exp(t) que recibe el nombre de autofunción o modo natural, y1 (t )  e  t e y 2 (t )  e 2 t . La solución homogénea es una combinación lineal de los dos modos naturales:

y H (t )  c1e  t  c2 e 2 t . 2)

Solución de la ecuación particular y p (t )  A , donde A es una constante (misma forma que la excitación)

y p (t )  3 y p (t )  2 y p (t )  u (t )  0  0  2 A  1  3)

A  0 .5

Solución total:

y (t )  c1e  t  c2 e 2 t  0.5 . Para obtener el valor de los coeficientes c1, c2 se aplican las condiciones iniciales:

y (0)  c1  c2  0.5  1 y (0)   c1  2c2  0 La solución del sistema de ecuaciones resultante es c1=1, c2=-0.5. Así

y (t )  e  t  0.5e 2 t  0.5 .

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26

Tema 1. Teoría de Sistemas

3.2

Transformada de Laplace

Ya hemos visto que una forma de describir los sistemas es por medio de funciones de transferencia en el dominio transformado: dominio “s” para sistemas en tiempo continuo y dominio “z” para sistemas en tiempo discreto. En los próximos apartados se verá cómo obtener respuestas temporales a partir de las transformadas de Laplace de las señales y los sistemas. La transformada de Laplace es el fundamento matemático para la mayoría de las técnicas frecuenciales de control.

3.2.1

Definición y propiedades

Definición Se definen dos transformadas de Laplace:



Unilátera: Y ( s)  L y (t ) 







Bilátera: YII ( s)  L II  y (t ) 



y (t )e  st dt

0





y (t )e  st dt

La transformada bilátera se usa en cálculos de potencia (p. ej., para obtener densidades espectrales de potencia a partir de autocorrelaciones). Notar que la transformada de Fourier tiene la misma forma que la transformada de Laplace (basta sustituir s por j). A la hora de obtener la respuesta de sistemas lineales, el producto de convolución en el dominio



t

temporal y (t )  h(t )  u(t )  h(t   )u( )d queda reducido a un producto simple en el 0

dominio transformado. Ello facilita muchísimo los cálculos y, por ello, la transformada de Laplace es la más utilizada en la teoría de sistemas. u(t) h(t)

U(s) H(s)

y(t)=h(t)*u(t)

Y(s)=H(s)·U(s)

Propiedades Otras propiedades interesantes son:  El decalaje (retardo puro) en t implica la aparición de la exponencial en s: y (t   0 )  Y ( s )e  0 s .



La exponencial en t implica el decalaje en s:

y (t )  e as  Y ( s  a )



Multiplicar por t en tiempo implica dividir por s en Laplace:

t  y (t ) 

Y ( s) s

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27

Tema 1. Teoría de Sistemas



Derivación en t:

d n y (t ) d n 2 y (t ) d n 1 y (t ) n n 1 n  2 dy ( t ) s Y s s y s s       ( ) ( 0 ) ... dt n dt t 0 dt dt t 0 t 0 Por

ejemplo,

la

transformada

de

Laplace

de

x(t )

es

Lx(t )  s X ( s )  s x (0)  sx (0)  x(0) siendo X ( s )  Lx (t ). (Nota: el punto sobre dx (t ) una variable denota derivada respecto al tiempo, x (t )  ). dt 3

2

Tabla de transformadas La siguiente tabla muestra las transformadas que se utilizarán en este curso. Es necesario aprenderlas de memoria. Notar la aplicación de las propiedades presentadas anteriormente. X(s)

x(t )

 (t ) 1, t  0 (escalón unitario) t , t  0 (rampa unitaria)

1  e at , t  0 sin  o t  , t  0

1 1/s 1/s2

1 sa

0 s   o2 2

coso t  , t  0

s s   o2 A 0 ( s  a) 2   o2 2

Ae  at sin  o t  , t  0

Tabla 3. Principales transformadas de Laplace

Filtro generador La transformada de Laplace de una señal determinada puede interpretarse como la función de transferencia de su filtro generador. Por ejemplo, la función de transferencia H(s) del filtro generador de la señal y(t) = eat es H ( s ) 

1 , ya que, al excitar dicho filtro con un impulso u(t) sa

= (t), la salida del mismo es la señal en cuestión,

 1  y (t )  L1 Y ( s)  L1 H ( s )U ( s)  L1   1  e at , t  0. s  a  Si a>0, este filtro presenta un polo inestable (en el semiplano derecho del plano s) de valor p = a. Los polos con parte real positiva son inestables puesto que su modo natural asociado eat es fuertemente creciente con el tiempo (la forma matemática de expresar inestabilidad es por tanto una exponencial creciente).

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28

Tema 1. Teoría de Sistemas

3.2.2

Teorema del valor inicial (TVI) y teorema del valor final (TVF)

Sistemas continuos en el tiempo: TVI: y (0)  lim y (t )  lim sY ( s ) t 0

s 

TVF: y ()  lim y (t )  lim sY ( s ) t 

3.2.3

s 0

Solución de EDOs (lineales y de coeficientes constantes) en el dominio s

Dada la ecuación diferencial ordinaria (EDO),

( y t )  a 2 ( y t )  a 1 y( t )  a 0 y (t )  u(t ) ; con condiciones iniciales (CI): y(0), y ( 0) ,  y ( 0) , la solución y(t) se obtiene a partir de los pasos siguientes: 1) Aplicar L[ ] a los dos términos de la EDO. 2) Despejar Y (s ) (quedará una función racional Y ( s) 

N ( s) ). D ( s)

3) Descomponer Y(s) en suma de fracciones simples (de primer orden):

Y ( s) 

A1 A2 A3   . s  p1 s  p2 s  p 3

Para ello: 3.1) Hallar los polos (raíces de D(s)): p1, p2, p3. 3.2) Hallar los residuos Ai  Y ( s)( s  pi ) s  p . (Nota: Si los polos son complejos, conviene i

determinar los residuos gráficamente a partir del diagrama de polos y ceros. Si la multiplicidad de algún polo es mayor que 1, proceder como se indica en el Ejemplo 11). 4) Aplicar L-1[ ].

 Ai  pi t   Ai e .  s  pi 

1 4.1) Polo real: L 

 A

A* 

t jA  4.2) Polos complejos: L1    2 A e cos(t  A) ; ( A  A e , *   s p s p    jA A*  A e , p    j , p*    j ).

Nota: cos x 

e jx  e  jx e jx  e  jx , sin x  2 2j

5) Comentarios: 5.1) El valor de y(t) en régimen permanente depende de algunos de los coeficientes de los

i ( s  zi ) Y ( s ) bn 1 s n 1    b0 polinomios. Por ejemplo, para M ( s )  :  k U ( s) an s n    a0  (s  p j ) j

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29

Tema 1. Teoría de Sistemas

- Excitación en escalón (unitario): El valor en régimen de y(t) es la ganancia en

b0 , por lo que el error en régimen a0 a  b0 . permanente es e(  )  1  M (0)  0 a0 a b 1 1  1 1 (en el supuesto de - Excitación en rampa: El error es e(  )     zi pj a0 continua, M (0) 

que a 0  b0 ) 5.2) El transitorio depende de la forma compleja de la totalidad de Y(s) (polos y residuos).

3.2.4

Cálculo de residuos

( s  z1 )  ( s  z m ) puede descomponerse en suma de fracciones ( s  p1 )  ( s  pn ) An A1 simples, Y ( s )  , siendo los coeficientes Ai los residuos correspondientes a  s  p1 s  pn La expresión racional Y ( s )  k

los polos pi.

Cálculo analítico de residuos La fórmula general para calcular los residuos (en el caso de polos simples) es Ai  ( s  pi )Y ( s ) s  p . i

En el caso de que haya polos complejos conjugados es más conveniente obtener el residuo gráficamente (es más rápido y se evitan los errores de cálculo, muy frecuentes al usar la fórmula anterior). Además, cuando dos polos son complejos conjugados, sus residuos también lo son. En el caso de polos múltiples, la descomposición en suma de fracciones es la siguiente:

Y ( s)  k

A3 ( s  z1 )  ( s  z m ) A1 A2 B     3 2 3 ( s  p1 ) ( s  p2 ) s  p1  s  p1  s  p1  s  p2

y el cálculo de los residuos Ai es como sigue:

A1  ( s  p1 ) 3 Y ( s )

s  p1

A2 

d ( s  p1 ) 3 Y ( s ) s  p1 ds

A3 

d2 ( s  p1 ) 3 Y ( s ) s  p1 ds 2

Ejemplo 11. Cálculo (analítico) de residuos cuando hay polos múltiples Dado Y ( s ) 

1 , se desea obtener y(t). La idea es expresar Y(s) como suma de factores s ( s  5) 2

simples de los cuales nos sepamos de memoria la trasformada de Laplace inversa. En otras palabras, interesa descomponer Y(s) de la siguiente manera,

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30

Tema 1. Teoría de Sistemas

Y ( s) 

1 A A B  21  2  s ( s  5) s s s5 2

para luego realizar la transformada inversa término a término. Si hubiera polos complejos conjugados, también se separarían en fracciones simples, A/(s-p) y A*/(s-p*) (notar que, si los polos son complejos conjugados, sus residuos también lo son). Hay que determinar los residuos A1, A2 y B. Analíticamente,

A1  Y ( s ) s 2

A2 



s 0

d Y (s)s 2 ds



1 ( s  5)



 s 0

B  Y ( s)( s  5) s  5

 s 0

1 5

1 d  1     ds  ( s  5)  s 0 ( s  5) 2

1  2 s

s  5

 s 0

1 25

1  25

Por tanto,

Y ( s) 

1 (1 / 5) (1 / 25) (1 / 25) .   2  s s5 s ( s  5) s 2

Finalmente, la aplicación de la transformada inversa nos da

1 1 y (t )  t  1  e 5t  , t  0 5 25 Cálculo gráfico de residuos En la Fig. 18 se ilustra el cálculo gráfico del residuo de p3. En primer lugar, hay que trazar todos los vectores que van de todas las raíces (polos y ceros) hacia el polo en cuestión, p3. j p1



z1



p3



p2

Fig. 18. Cálculo gráfico de residuos Puesto que p3 es complejo, su residuo A3 también lo es, por tanto hay que obtener módulo y fase: Módulo: Para calcular el módulo notar que se incluye la ganancia de Y(s), k, y que el módulo de los vectores con origen en los ceros se sitúa en el numerador y el módulo de los vectores con origen en los polos en el denominador.

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31

Tema 1. Teoría de Sistemas

Módulo: A3  k

( p 3  z1 ) ( p 3  p1 )  ( p 3  p 2 )

Fase: Para calcular la fase, se suman todas las fases de los vectores con origen en los ceros y se les resta la suma de todas las fases de los vectores con origen en los polos.





Fase: A3  ( p 3  z1 )  ( p 3  p1 )  ( p 3  p 2 )  0  (   )  0

Ejemplo 12. Cálculo gráfico de residuos. Vamos a obtener gráficamente los residuos de la descomposición en suma de fracciones simples de la siguiente expresión

Y ( s) 

2( s  1) s( s  3)

Para ello, en primer lugar, hay que representar los polos y ceros de Y(s) en el plano complejo s, j

-3

-4

-2



-1

Llamaremos A al residuo del polo en el origen y B al residuo del polo en -3,

Y ( s) 

B 2( s  1) A   s( s  3) s s  3

Para obtener el valor del residuo A correspondiente al polo s=0, se trazan los vectores que van del resto de raíces (polos y ceros) hacia el polo en cuestión s=0. En nuestro caso, como sólo hay un polo más y un cero sólo tenemos dos vectores Vp y Vz. j Vp -4

-3

-2

Vz -1



Para obtener el valor de A hay que obtener su módulo y su fase: Módulo: A  2

donde

y

Vz Vp

2

1 2  3 3

,

Fase: A  V z  V p  0  0  0

denotan el módulo y argumento del vector Vz respectivamente.

Notar que, al calcular el módulo, hay que tener en cuenta la ganancia k de Y(s) (en este caso vale 2). Si hubiéramos tenido n polos y m ceros, las fórmulas hubieran sido:

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32

Tema 1. Teoría de Sistemas

Módulo: A  k

Vz1  Vz 2    Vzm V p1  V p 2    V pn



Fase: A  Vz1    V zm   V p1    V pm



Y si hubiéramos tenido n polos y ningún cero: Módulo: A  k

V p1



1  V p 2    V pn

Fase: A  0  V p1    V pm



Para obtener el residuo B se trazan los vectores que van del resto de raíces (polos y ceros) hacia el polo en s=-3. Vz -3

-4

-2

j Vp



-1

El residuo es: Módulo: B  2

Vz Vp

2

2 4  3 3

,

Fase: B  V z  V p  180  180  0

Así pues, finalmente,

Y ( s) 

2( s  1) A 2/3 4/3 B     s( s  3) s s  3 s s3

Ejemplo 13. Cálculo de residuos en funciones no estrictamente propias. Considerar la función H ( s ) 

s 1 . Puesto que no es estrictamente propia, sino propia (igual s  1.61

número de polos que de ceros), la descomposición en suma de fracciones simples se puede obtener previa división de los dos polinomios numerador y denominador. Así,

H ( s) 

s 1

s  1.61

 ( s  1.61) /  0.61

1

s 1 0.61 1 s  1.61 s  1.61

Comprobación vía Matlab: >> num=[1 1];den=[1 1.61]; >> [r,p,k]=residue(num,den) r =

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33

Tema 1. Teoría de Sistemas

-0.6100 p = -1.6100 k = 1

3.3

3.3.1

Obtención de la respuesta temporal a partir de la función de transferencia Diagramas de polos y ceros

Una función de transferencia racional H(s) puede descomponerse en producto de factores simples

k

( s  z1 )  ( s  z m ) , donde se explicitan la ganancia, los polos pi y los ceros zj. Obsérvese la ( s  p1 )  ( s  p n )

“normalización” de los coeficientes de s. Así, cada factor (s - pi) corresponde a un vector desde el polo pi al punto complejo s general (ver Fig. 19).

j s

(s  p1 ) p1 z1

 p1

 s



p2 p3

Fig. 19. Diagrama de polos y ceros Nota: En el caso discreto es igual.

3.3.2

Modos naturales

Cada polo o autovalor (eigenvalue) tiene asociado un modo natural o autofunción (eigenfunction) que puede representarse gráficamente. En los sistemas en tiempo continuo el modo natural asociado a un polo p es ept y el modo natural asociado a un par de polos complejos conjugados p, p* es ept + ep*t. La Fig. 20 muestra un conjunto de polos junto con sus modos naturales asociados. j (b) (c)

(a)

(d) j

-3

-2

1

-1



-j

Fig. 20. Modos naturales

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34

Tema 1. Teoría de Sistemas

(a) El modo natural asociado al polo p=-3 es la exponencial decreciente e-3t. Notar que la constante de tiempo de la exponencial es la inversa del polo,=1/3. (b) El modo natural asociado al par de polos complejos conjugados p, p*  2  j es la oscilación decreciente con el tiempo e 2 t cos(t   ) . La frecuencia de oscilación en rad/s coincide con la parte imaginaria de los polos y la constante de tiempo de la exponencial envolvente coincide con la inversa de la parte real de los polos. (c) El modo natural asociado al polo p=-1 es la exponencial decreciente e-t. Esta exponencial es más persistente en el tiempo que la asociada al polo -3. Por tanto el polo en -1 se dice que es más dominante que el polo en -3. (d) El modo natural asociado al polo p=1 es la exponencial creciente et. Notar que un polo con parte real positiva (polo en el semiplano derecho del plano complejo) tiene asociado como modo natural una exponencial creciente con el tiempo. Se trata por tanto de un polo inestable. Nota: En los sistemas discretos, los modos naturales son pn para el caso de polo real y (p*)n + (p)n para el caso de polos complejos conjugados, respectivamente.

Ejemplo 14. Respuesta temporal (método transformado). Suponer que tenemos un sistema H ( s ) 

2( s  2) y queremos conocer la evolución temporal ( s  4s  3) 2

de su salida y(t), al excitarlo con un escalón unitario u(t). La transformada de Laplace del escalón es U ( s ) 

1 . s

La transformada de Laplace de la salida del sistema será Y ( s )  H ( s )U ( s ) 

2( s  2) 1 . ( s  4s  3) s 2

Para obtener y(t) sólo queda aplicar la transformada de Laplace inversa a Y(s). Para ello, primero descomponemos Y(s) en suma de fracciones simples (de las cuales nos sabemos de memoria sus transformadas inversas),

Y (s) 

A B C   , s s  3 s 1

y calculamos los residuos A, B, C a partir del diagrama de polos y ceros, j

-3 -2

-1

0



El resultado es:

A 2

2 4  1 3 3

A  0  0  0  0

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35

Tema 1. Teoría de Sistemas

1 1  23 3 1 C 2 1 1 2

B  180  180  180  180

B 2

Por tanto, Y ( s ) 

C  0  180  0  180

4 / 3 (1 / 3) (1)   . La aplicación de la transformada de Laplace inversa s s3 s 1

término a término nos da:

y (t ) 

4 1  3t  e  e t , t  0 3 3

Una manera de verificar que no hay errores es comprobar que y(0)=0 (condiciones iniciales nulas puesto que partíamos de una función de transferencia estrictamente propia). En cuanto a la representación gráfica, notar que la respuesta total es la suma de cada uno de los tres términos: 2 1.5 1 0.5 0 -0.5

y(t) y1(t)=4/3

-1

-3t

y2(t)=-(1/3)*e -t

-1.5 -2

3.3.3

y3(t)=-e 0

0.5

1

1.5 t

2

2.5

3

Polos dominantes

Los polos dominantes son aquellos con más peso y más persistentes en la respuesta temporal transitoria. Para identificarlos hay que tener en cuenta tanto el valor del polo como el de su residuo. Considerar el diagrama de polos y ceros de la Fig. 21. j

(3)

(2)

(1) 

Fig. 21. Polos dominantes En la Fig. 21 el polo dominante es el (2). El polo (3) no es dominante puesto que está lejos del eje imaginario. Ello hace que su aportación al  t transitorio sea pequeña por dos motivos: (a) Modo natural: e 3 tiende más rápidamente a cero, y

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36

Tema 1. Teoría de Sistemas

(b) Residuo: A3 es de menor valor pues en su cálculo aparecen valores (módulos) elevados en el denominador. El polo (1) tampoco es dominante por la presencia cercana de un cero. Si hay un cero cercano, el residuo resulta pequeño, al aparecer un factor (módulo) reducido en el numerador.

3.4

Transitorios. Dinámica de orden 1, 2 y n

3.4.1

Dinámica de primer orden

1) Modelo:  Función de transferencia:

G ( s) 



Diagrama de polos y ceros:

Y ( s) k  U ( s) s  1

j



-1/

Fig. 22. Polos y ceros de primer orden 2) Respuesta indicial (a escalón unitario):  Formulación:



y (t )  k (1  e  t /  )

t



2 3 4

Representación gráfica (k = 1): 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.00

error 37% 12% 4.5% 1.7%



2

3

4

5

Fig. 23. Respuesta indicial de primer orden 3) Respuesta impulsional: 



Formulación:

Área:





0

y (t ) 

k



e t / 

e t /  dt  



Representación gráfica (k/ = 1): 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.00



2

3

4

5

Fig. 24. Respuesta impulsional de primer orden

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37

Tema 1. Teoría de Sistemas

4) Respuesta a la rampa:  Formulación:



y (t )  k (t   )  e  t /  

Representación gráfica (k/ = 1): 4.5 4.0 3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0.00



2

3

4

5

Fig. 25. Respuesta a la rampa de primer orden

3.4.2

Dinámica de segundo orden

1) Modelo: 



Función de transferencia:

Diagrama de polos y ceros: j

kn2 Y ( s) G( s)   2 U ( s ) s  2n s  n2

p

n

d  n 1   2  n

 

p*

Fig. 26. Polos y ceros de segundo orden

 n: frecuencia natural de oscilación, d: frecuencia de oscilación amortiguada (damped), : coeficiente de amortiguamiento (notar que su símbolo es la letra “dseta”  y no la “chi” )  : ángulo relacionado con el amortiguamiento (si =0, el sistema no está amortiguado =0; si =180º, el sistema presenta amortiguamiento crítico =1; lo deseable en la mayoría de los casos es un amortiguamiento moderado =0.7, lo que corresponde a =135º y a un rebase del Rpt=5% en la respuesta indicial) 2) Respuesta indicial:



Formulación:

y (t )  1 

e  nt 1 2

sin( d t   )

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38

Tema 1. Teoría de Sistemas



Representación gráfica:

 d  tp  d tr 

Tiempo de subida: R pt

Tiempo de pico:

0.02

0.04

1

Tiempo de establecimiento (2%): t s 

0.5

Tiempo de establecimiento (5%): t s 

(1  e   n t )

0



ts

Fig. 27. Respuesta indicial de segundo orden





Rpt (aprox.)

0.4

25%

0.5

15%

0.6

10%

0.7

5% 

La expresión exacta es R pt  e



R pt  e

Rebase máximo:

Rebase Rpt en función del coeficiente de amortiguamiento :

1 1

2

3

n

 1  2

R pt

1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

 

Fig. 28. Rebase en función del amortiguamiento

1  2

Detalle en el origen: (1  e  n t ) pasa por los mínimos excepto en las cercanías del origen. Más allá se confunde con la envolvente (1 

 n

e()  1  G(0)

Error permanente: tD tr tp

4

1  e   n t 1

e  n t ) .

1

2

0

y(t)

1

1 1

2

e  n t

Fig. 29. Detalle en origen de la respuesta indicial de segundo orden Para trazar el amortiguamiento hay dos alternativas. La exacta es (1 

1 1 2

e  n t ) pero, por

comodidad, se usa la aproximación (1  e  n t ) . 3) Respuesta impulsional:



Expresión temporal:

y (t ) 

n 1

2

e nt sin(d t )

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39

Tema 1. Teoría de Sistemas



Representación gráfica: n 1 2 

t1 

Tiempo de pico: n

1 2

e  nt sen( d t )

  tp d

Punto tangente a la exponencial envolvente (tiempo de pico de sen( d t ) ):

0

t2 

T   4 2 d t3 

Tiempo de medio periodo:

T   2 d

t3 t1 t2 Fig. 30. Respuesta impulsional de segundo orden

4) Otras respuestas temporales. Régimen permanente



A la rampa: Error o desviación última de la respuesta forzada: e (  ) 

p

1



i



2

n

A la exponencial. Cálculo rápido del régimen permanente de la respuesta forzada:

y forzada  G ( s) s  a e at

3.4.3 

Bloque de segundo orden con un polo (o un cero) adicional

Con cero adicional

( s  b) : b

 bp  1 n Rpzt    e d Rpt b   1 t pz  d



Con polo adicional

p

yz



1

y -b p*

a : (s  a) 

 a   2 n Rppt    e  d Rpt  ap    2 t pp  d

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

p

y



yp

2



-a p*

40

Tema 1. Teoría de Sistemas



Cero de fase no mínima (respuesta inversa):

( s  c) c

1.2 1

p

0.8

y





0.6

c

0.4

c

0.2

yz

0 -0.2

3.4.4

0

2

p* 4

6

8

10

12

Sistemas de orden n (I). Con polos dominantes

1) Caso de no tener ceros:

H ( s) 

200 ( s  1)( s  8s  20)( s  15) 2

Al estar el polo -1 más cerca del eje imaginario que el resto, resulta dominante ya que los otros presentan transitorios 4 y 15 veces más rápidos respectivamente y, además, sus residuos son más pequeños. De esta manera la dinámica del sistema puede aproximarse por H ( s) 

j p 2j p4 -15

0.7 , ya que así s 1

p1 -4

escalón

-1



p*

retiene el polo dominante (-1) y la ganancia en continua (0.7). 2) Caso de sí tener ceros:

H ( s) 

200( s  11 .) 2 ( s  1)( s  8s  20)( s  15) j

Las consideraciones anteriores pueden verse sustancialmente modificadas debido al efecto que los ceros tienen sobre los residuos. En particular puede reducir la importancia del polo más cercano al cero eclipsando su dominancia (que, en este caso, pasaría a los dos polos complejos).

3.4.5

p 2j p4 -15

escalón -1.1 -1

-4



p*

Sistemas de orden n (II). Sin polos dominantes: Formas prototipo

Cuando no hay polos dominantes no queda más remedio que tratar el sistema como lo que es: un sistema de orden n. Se pueden usar funciones de transferencia con el siguiente formato:

Y ( s)  n0  , es decir, sólo con polos. De entre los posibles polinomios d n ( s) hay algunos con R ( s) d n ( s)

características especialmente interesantes: 

1) Polinomios ITAE (óptimos en el sentido que minimizan el criterio ITAE

 t e dt ): 0

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41

Tema 1. Teoría de Sistemas

d1 ( s )  s   0 d 2 ( s)  s 2  1. 4 0 s   20 d 3 ( s)  s3  1. 75 0 s 2  2.15 20 s   30 d 4 ( s)  s 4  2.1 0 s3  3. 4 20 s 2  2. 7 30 s   40

2) Polinomios de Butterworth:

d1 ( s )  s   0 d 2 ( s)  s 2  1. 4 0 s   20 d 3 ( s)  s 3  2. 0 0 s 2  2. 0 20 s   30 d 4 ( s)  s 4  2. 6 0 s 3  3. 4 20 s2  2. 6 30 s   40

3) Polinomios de Bessel:

d1 ( s )  s   0 d 2 ( s)  s 2  1. 73 0 s   20 d 3 ( s)  s 3  2. 43 0 s 2  2. 46 20 s   30 d 4 ( s)  s 4  3.12 0 s 3  4. 39 20 s 2  3. 20 30 s   40

Nota: Las funciones de transferencia con estos polinomios como denominador son más conocidas en el ámbito del diseño de filtros pasa-bajas.

Ejemplo 15. Formas prototipo.

Para obtener los polinomios normalizados (0=1) de Butterworth se puede usar la función buttap: >> [z,p,k]=buttap(4);[nu,de]=zp2tf(z,p,k) nu = 0 0 0 0 1 de = 1.0000 2.6131 3.4142 2.6131

1.0000

Para obtener los polinomios normalizados (0=1) de Bessel se puede usar la función besselap:

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42

Tema 1. Teoría de Sistemas

>> [z,p,k]=besselap(4);[nu,de]=zp2tf(z,p,k) nu = 0 0 0 0 1 de = 1.0000 3.1239 4.3916 3.2011 1.0000

3.4.6

Sistemas de orden infinito (retardo puro)

1) Retardo puro:  Función de transferencia: H ( s )  3e 2 s  Respuesta indicial:

3 2

t

2

t

2

t

2

t

2) Constante de tiempo con retardo puro:

 Función de transferencia: H ( s )  3  Respuesta indicial:

1 e 2s 1  2s

3

3) Dos constantes de tiempo iguales con retardo puro:

 Función de transferencia: H ( s )  3

1 e 2s 2 (1  s)

3

 Respuesta indicial (curva sigmoidea):

3

4) Dos constantes de tiempo y retardo puro:

 Función de transferencia: H ( s )  3

1 e 2s (1  0.2s)(1  1.8s)

 Respuesta indicial: 5) Retardo puro con integrador (o constante de tiempo muy grande):

3

3  Función de transferencia: H ( s )  e  2 s s

2

 Respuesta indicial:

a=6

t

3 T=1

Ejemplo 16. Respuesta indicial de un sistema con retardo puro en MATLAB. En primer lugar se introduce el sistema con tf y set y a continuación se ejecuta la instrucción step:

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43

Tema 1. Teoría de Sistemas

>> H=tf(3,[1 0]);set(H,'InputDelay',2),H Step Response 4

Transfer function: 3 exp(-2*s) * s

3.5 3 2.5

Amplitude

2

>> step(H),axis([0 4 -1 4])

1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Time (sec)

3.5

Simulación de la respuesta temporal

3.5.1

Introducción del sistema. Polos, ceros y residuos

Ejemplo 17. Introducción de sistemas. Para introducir un sistema dinámico descrito por medio de una función de transferencia se pueden entrar por separado el polinomio numerador y el polinomio denominador. 1)

Introducir el sistema H ( s ) 

2 : s  0.5s  1 2

>> num=2; >> den=[1 0.5 1]; (Notar que se usan corchetes para entrar polinomios mientras que para entrar escalares no es necesario).

2)

También es posible agrupar los polinomios numerador y denominador en una única variable tipo sys (de system). Para ello se usa la función tf (de transfer function): >> H=tf(num,den) Transfer function: 2 --------------s^2 + 0.5 s + 1

(Notar que, en MATLAB, los argumentos de entrada de las funciones van dentro de paréntesis y separados por comas).

3)

Para introducir sistemas con retardos puros, como, por ejemplo, G ( s ) 

1 0.1s e , se puede s 1

usar la función set junto con la propiedad 'InputDelay': >> G=tf(1,[1 1]) Transfer function: 1 ----s + 1 >> set(G,'InputDelay',0.1) >> G Transfer function: 1

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44

Tema 1. Teoría de Sistemas

exp(-0.1*s) * ----s + 1

Ejemplo 18. Polos, ceros, residuos. Para obtener los polos y ceros de un sistema se pueden usar las funciones roots, pole, zero, pzmap. Los residuos se pueden obtener con ayuda de la función residue. Se pide: 1)

Introducir el sistema H ( s ) 

2 . Crear las variables num, den, H. s  0.5s  1 2

>> num=2;den=[1 0.5 1];H=tf(num,den);

2)

Obtener sus polos. Se puede hacer con roots o con pole. >> roots(den) >> pole(H) ans = -0.2500 + 0.9682i -0.2500 - 0.9682i

3)

Obtener sus ceros. Se puede hacer con roots o con zero. >> roots(num) >> z=zero(H) z = Empty matrix: 0-by-1

4)

Representar el diagrama de polos y ceros con ayuda de pzmap. >> pzmap(H),axis([-0.3 0 -1.5 1.5])

Pole-Zero Map 1.5

1

Imaginary Axis

0.5

0

-0.5

-1

-1.5 -0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

Real Axis

Notar que la función pzmap invocada con argumentos de salida devuelve el valor de los polos y ceros, >> [p,z]=pzmap(num,den) p = -0.2500 + 0.9682i -0.2500 - 0.9682i z = Empty matrix: 0-by-1

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45

Tema 1. Teoría de Sistemas

pero si se invoca sin argumentos de salida lo que hace es representar el diagrama de polos y ceros. En la figura anterior, además, con axis hemos ajustado los ejes de la representación. (Notar que, en MATLAB, los argumentos de salida de las funciones, si hay más de uno, van entre corchetes y separados por comas). (Se sugiere teclear >>help pzmap para obtener más información, puesto que la mayoría de funciones realizan diferentes acciones según la sintaxis con que son invocadas).

5)

Obtener la descomposición de H(s) en suma de fracciones simples. Para ello, los residuos se pueden obtener con ayuda de la función residue: >> [r,p,k]=residue(num,den) r = 0 - 1.0328i 0 + 1.0328i p = -0.2500 + 0.9682i -0.2500 - 0.9682i k = []

Así pues, la descomposición en suma de fracciones simples de H(s) es:

Para interconectar sistemas se pueden usar las funciones series, parallel o feedback. Para multiplicar polinomios se puede usar la función conv.

Ejemplo 19. Interconexión de sistemas. Considerar el siguiente sistema en lazo cerrado:

r

y

+ _

Fig. 31. Interconexión de sistemas 1)

Obtener la función de transferencia del camino directo Gd entre la entrada r y la salida y, >> G1=tf(1,[1 1]);G2=tf(1,[1 2]);Gd=series(G1,G2) Transfer function: 1 ------------s^2 + 3 s + 2

2)

Obtener a mano la función de transferencia en lazo cerrado T(s) que relaciona la señal de salida y con la señal de entrada de referencia r

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46

Tema 1. Teoría de Sistemas

Solución: La fórmula es la siguiente (notar el signo + del denominador, que corresponde al caso de retroacción negativa):

La ganancia directa es forman,

3)

y la ganancia del lazo es la cascada de todos los bloques que . Así,

Comprobar el resultado anterior con ayuda de la función feedback. >> T=feedback(Gd,tf(1,[1 3])) Transfer function: s + 3 ---------------------s^3 + 6 s^2 + 11 s + 7

(Notar que, por defecto, la función feedback asume que la retroacción es negativa con lo que no hay que especificar el signo del lazo).

3.5.2

Respuesta temporal con Matlab

Funciones: Las principales funciones son:

Función impulse step lsim linspace, : plot conv

Descripción respuesta impulsional (excitación impulso unitario) respuesta indicial (excitación escalón unitario) respuesta a excitaciones arbitrarias tales como rampas, sinusoides, combinaciones de señales,… funciones que sirven para generar vectores de tiempo función que sirve para representar señales en función del tiempo de “convolución”. Es una función que sirve para multiplicar 2 polinomios. Es útil para introducir el sistema cuando la función de transferencia nos la dan factorizada en polinomios de orden 1 y 2. Tabla 4. Funciones para simular la respuesta temporal

Las funciones impulse, step y lsim se pueden invocar con diferentes sintaxis. se invocan sin argumentos de salida, directamente representan la respuesta; y si argumentos de salida, no la representan pero guardan las muestras de la respuesta para poderlas representar después con plot. Para más información, se sugiere nombre_funcion.

Por ejemplo, si se invocan con en una variable hacer >>help

Generación del vector tiempo: Cuando sea necesario generar un vector de muestras temporales (p.ej., para usar en lsim) se puede utilizar la función linspace o la función “dos puntos” ( : ). >> t=linspace(0,10);

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47

Tema 1. Teoría de Sistemas

>> t=linspace(0,10,500); >> t=0:0.1:10;

La primera instrucción genera 100 valores espaciados uniformemente entre 0 y 10, y los guarda en la variable t. La segunda instrucción genera 500 valores espaciados uniformemente entre 0 y 10, y los guarda en la variable t. La tercera instrucción genera un vector t de muestras entre 0 y 10 espaciadas 0.1, es decir, t=[0 0.1 0.2 … 10].

Ejemplo 20. Respuesta indicial (a escalón unitario). Introducir el sistema

H ( s)  1)

Para representar su respuesta indicial la manera más sencilla es la siguiente (ver Fig. a): >> step(H) o

2)

2 s  0.5s  1 2

>> step(num,den)

Representar la respuesta indicial de 0 a 35 segundos (ver Fig. b). >> t=linspace(0,35); >> step(num,den,t)

3)

Guardar las muestras de la respuesta indicial en un vector y representar la respuesta con plot. Rotular los ejes y poner una rejilla (ver Fig. c). >> y=step(num,den,t); >> plot(t,y,'r--') >> grid,title('Respuesta indicial'),xlabel('Tiempo [s]')

(a)

(b)

(c)

Fig. 32. Respuesta a escalón

Ejemplo 21. Respuesta a entradas arbitrarias (excitación sinusoidal). Representar la respuesta

y(t) del sistema H ( s ) 

Y ( s) 2 a una excitación u(t )  sin(0.2t ) .  2 U ( s ) s  0.5s  1

Solución: La función es lsim. Antes de invocarla hay que entrar el sistema, el eje temporal y las muestras de la excitación: Sistema:

>> num=2;den=[1 0.5 1];

Eje temporal (100 muestras entre 0 y 60s):

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>> t=linspace(0,60,100);

48

Tema 1. Teoría de Sistemas

Excitación definida sobre el eje temporal anterior: >> u=sin(0.2*t);

%excitación sinusoidal

Obtención de la respuesta temporal (notar que también es posible invocar lsim sin argumentos de salida). >> y=lsim(num,den,u,t); %respuesta del sistema >> plot(t,u,t,y) %representación gráfica >> legend('u','y'),xlabel('Tiempo [s]') %opciones del gráfico

Fig. 33. Excitación arbitraria

3.5.3

Respuesta temporal con Simulink

Entrada a Simulink: Hacer clic en el botón correspondiente en la barra de Matlab, , o bien teclear simulink en la ventana de comandos de Matlab. Una vez abierta la librería de bloques de Simulink hay que abrir una nueva ventana de modelo. Construcción del modelo Simulink: Se arrastran cada uno de los bloques necesarios desde las librerías hacia nuestra ventana de modelo. El bloque Transfer Fcn está en la librería Continuous, el bloque Scope está en Sinks y el bloque Step en Sources. Con ayuda del ratón se conectan los bloques entre sí. Para editar los bloques (y poner así los valores de nuestro sistema) basta con hacer doble clic sobre ellos.

Fig. 34. Modelo Simulink Simulación: Abrir el Scope y clicar en el botón de Run, . Con los prismáticos del Scope se puede autoescalar la representación (ver Fig. a). Si se quieren cambiar las opciones de simulación y poner el fin, por ejemplo, a t=30s, hay que ir en la barra de menús a Simulation, y después a Configuration parameters... (ver Fig. b).

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49

Tema 1. Teoría de Sistemas

(a)

(b)

Fig. 35. Simulación de respuestas temporales con Simulink

3.6

Ejercicios resueltos

Ejercicio 3. Respuesta temporal. Cálculo gráfico de residuos. 1) Demostrar que la respuesta indicial (a escalón unitario) de un bloque de segundo orden

k n2 Y ( s) H (s)   U ( s) s 2  2 n s   n2 

1

 

1 2

se expresa como y (t )  k 1 

 e  nt sin( d t   ) , t  0 para 0    1 y donde  

 d   n 1   2 ,     arccos( ) .

Para ello, (a) obtener la expresión de Y(s) y descomponerla en suma de fracciones simples (una para cada polo), (b) representar el diagrama de polos y ceros de Y(s), (c) hallar gráficamente los residuos, y (d) aplicar la transformada de Laplace inversa. 2) Demostrar vía TVF y TVI que (a) y ()  k , (b) y (0  )  0 , y (c) y(0  )  0 . 3)

Opcional:

Comprobar los resultados del apartado anterior calculando y (t ) t  , y (t ) t 0 ,

y(t ) t 0 . Solución: 1) (a) Descomposición en suma de fracciones simples:

La respuesta indicial es Y ( s )  H ( s )U ( s )  H ( s )

p, p* 

1 . Los polos de H(s) son s

 2n  4 2n2  4n2  n  jn 1   2  n  jd 2

Por tanto, la descomposición en suma de fracciones simples es: Y ( s ) 

A B B*   s s  p s  p*

(b) Diagrama de polos y ceros de Y(s):

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50

Tema 1. Teoría de Sistemas

j jn

p

j d







 n

p*

(c) Obtención gráfica de los residuos: j

Residuo A: p

1 A  k k  n  n 2 n

jn

 

A  0         0

  p* j

Residuo B:

jn jd

p

1 1 B  k k n  2d 2 1 2 2 n



B  0  90     90  

 90 p*

(d) Transformada de Laplace inversa

Y ( s) 

A B B*   s s  p s  p*

1

L 

y (t )  A  Be pt  B * e p*t , t  0

y (t )  A  B e jB e ( n  jd ) t  B * e  jB e ( n  jd ) t , t  0





y (t )  A  B e nt e jB e jd t  e  jB e  jd t , t  0

y (t )  k 

k 2 1  

2

e nt 2 cosd t     / 2 , t  0

  1 y (t )  k 1  e nt sin d t   , t  0 1 2  

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51

Tema 1. Teoría de Sistemas

2) (a) y ( )  lim sY ( s )  lim s s 0

s 0

kn2

1 k s  2n s   s 2

2 n

  kn2 1 2            y sL y t s sY s y s ( 0 ) lim ( ) lim ( ) ( 0 ) lim (b)   s0 s 2  2 s   2 s  0 s  s   n n 0    2  kn2 1  3        y (0)   y (0)  lim s 2  kn2 (c) y (0 )  lim sL y (t )  lim s s Y ( s )  s   s0 s  2 s   2 s s  s   n n 0 0   3)



 e nt sin d t   , t  0  y ( )  lim y (t )  k s  1 2  1

(a) y (t )  k 1 



(b) y (t ) 

k 1

2

  e

n t

n

y (0)  lim y (t )  s 0



sind t     e ntd cosd t   

k 1 2

            cos   n sin d       0  n  d  n n  

Nota: Aquí se han utilizado las relaciones n cos   n y n sin   d (c)

y(t ) 

k

 n  n e  t sind t     e  td cosd t     n

1

2

k

d  n e  t cosd t     e  t d sind t    n

1

2

n

n

0        k y(0)  lim y (t )        n   n sin      cos  d       s 0 1 2   d n   n n

    k      n cos       sin   d d       1 2   n d     n n   kn   2n2 d2    2n2  n2 1   2  y(0)  kn    k   kn2 n   n  n  n  

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52

Tema 1. Teoría de Sistemas

Ejercicio 4. Respuesta indicial de un sistema de fase no mínima.

Dado el sistema, G ( s ) 

 4( s  1) , se pide: s2  s  4 ~

1) Trazar la respuesta indicial del sistema sin el cero, G ( s ) 

4 . s s4 2

2) Añadir el efecto del cero interpretándolo como la suma de dos operadores,

G( s) 

 4( s  1)  4s 4 ~ ~  2  2  G ( s )  sG ( s ) 2 s s4 s s4 s s4

3) Deducir el significado de la expresión “fase no mínima”. Solución:

~

1) Respuesta indicial de G ( s ) 

4 , s s4 2

 1  1  16  1  j 15  1  j 3.8    0.5  j1.9 , donde la 2 2 2 constante de tiempo viene determinada por la inversa de la parte real, que es  n  0.5 , la frecuencia natural es el módulo de los polos, n = 2 y la frecuencia de oscilación amortiguada es la parte imaginaria de los polos, d = 1.9. Los polos del sistema son p1, 2 

La descomposición en suma de fracciones simples de la respuesta indicial es

~ Y (s) 

4 1 A A* B     s  s  4 s s  p1 s  p2 s 2

Los residuos pueden obtenerse de manera gráfica,

j

1 1   0.52 2 1.9 2 1.9 A  0  90  105   195 A 4

2j 1.9j

105

1 1 2 2 B  0    75  75  0 B 4



-0.5

90

La expresión temporal de la respuesta indicial para t0 es

~ y (t )  B  A e jA e 0.5t  j1.9t  A e  jA e 0.5t  j1.9t  B  2 A e 0.5t cos1.9t  A

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53

Tema 1. Teoría de Sistemas

      0.5t ~ sin1.9t  105 y (t )  B  2 A e 0.5t sin1.9t  A  90   1  1.04e  180  180       ~ y (t )  1  1.04e 0.5t sin 1.9t  105  180   Para la representación es útil notar que y ()  1 , d = 1.9 (con lo que el periodo de oscilación es

2

6.28 4 4  3.3s , ts    8s ,   0.25 (con lo cual R pt  45% ),  d 1.9  n 0.5  3.14 tp    1.6 s y la envolvente exponencial que pasa por los mínimos es 1  e 0.5t .  d 1.9

T



Step Response 1.5

Amplitude

1

0.5

0

0

2

4

6

8

10

12

Time (sec)

Comprobación por Matlab:

>> step(4,[1 1 4])

2) Añadir el efecto del cero como suma de dos operadores

G( s) 

 4( s  1)  4s 4 ~ ~  2  2  G ( s )  sG ( s ) 2 s s4 s s4 s s4

Multiplicar por s en el dominio transformado equivale a derivar respecto al tiempo en el dominio temporal. Así,

y (t )  ~ y (t )  donde

d ~ y (t ) dt

 d ~   0.5t     y (t )  1.04  0.5e 0.5t sin 1.9t  105   e 1.9 cos1.9t  105  180  180  dt   

Por tanto,

       y (t )  1  1.04e 0.5t 1.5 sin 1.9t  105   1.9 cos1.9t  105  180  180    

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54

Tema 1. Teoría de Sistemas

y (t ) y la Su representación gráfica puede hacerse sumando punto a punto la representación de ~ ~ representación de su derivada (la derivada de los máximos/mínimos de y (t ) es nula; y los y (t ) ). máximos/mínimos de la derivada corresponden a los cambios de pendiente de ~ Step Response 2

1.5

Amplitude

1

0.5

0

-0.5

-1

0

2

4

6

8

10

12

Time (sec)

Comprobación vía Matlab:

>> step(-4*[1 -1],[1 1 4])

Los sistemas con ceros de fase no mínima (situados en el semiplano derecho) se caracterizan por tener una respuesta temporal inversa. En el transitorio, y hasta que no se llega al régimen permanente, presentan una dinámica “de oposición” al signo la excitación.

3) Deducir el significado de “fase no mínima”

Un cero de fase no mínima es un cero en el semiplano derecho (SD) del plano complejo. El nombre se justifica por el hecho de que, a igual módulo, la fase que introduce el cero es mayor si éste se encuentra en el SD que si se encuentra en el semiplano izquierdo (SI). Si el cero está en el SI se dice que es de fase mínima. j

j

2j 1.9j

2j 1.9j

105

105 

-0.5

90

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

-0.5

90

55

Tema 1. Teoría de Sistemas

4.

Respuesta frecuencial

Dado un sistema H(s) su respuesta frecuencial se define como H ( s ) s  j , es decir, como su valor en el eje de frecuencias j.

4.1 4.1.1

Régimen permanente Bases

Se trata de obtener y estudiar el comportamiento en régimen permanente a excitaciones sinusoidales (es decir, análisis de corriente alterna con frecuencia variable). Condiciones  Ha de alcanzarse el régimen permanente, es decir, el sistema ha de ser estable.  Debe reproducirse la forma (sin distorsión) de las sinusoides, es decir, el sistema ha de ser SLI (Sistema Lineal Invariante con el tiempo). Amplificación y desfase En estas condiciones la respuesta es una sinusoide con la misma frecuencia que la sinusoide de excitación, pero su amplitud y fase inicial son diferentes. Para determinarlas hay que calcular la amplificación A() = (amplitud de salida) / (amplitud de entrada) y el desfase () = (fase de salida) – (fase de entrada) que introduce el sistema H(s):

A( )  H ( j )

,

 ( )  H ( j )  Determinación gráfica: Diagrama de polos y ceros:

j

A(1 )  H ( s ) s  j

1

k ( j1  z )  ( j1  p1 )( j1  p2 )

j1

1

p1



 ( 1 )  H ( s) s  j     1   2  1

z p2



2

Notar que la metodología es la misma que para el cálculo de residuos con la única diferencia de que aquí sólo se van a considerar puntos sobre el eje imaginario (eje de frecuencias).

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56

Tema 1. Teoría de Sistemas

Representaciones de la respuesta frecuencial

Polar. Nyquist  Una sola curva  Construcción laboriosa (punto a punto con ayuda del diagrama de polos y ceros)  Interesante para el análisis cualitativo (estabilidad y compensación)

Cartesiana (coordenadas lineales)  Valoración cualitativa (filtrado)  Construcción laboriosa (punto a punto)  Se utiliza en sistemas discretos

Nyquist:

Im 0

1

Re

A1 ()

A A1

Cartesiana:

1 1

0



 

0

1

Log-log. Bode  Construcción rápida gracias a las reglas de Bode  Muy útil: Análisis y síntesis  La fase es poco exacta y requiere cuidado cuando hay factores de fase no mínima.

20log(A)

Bode:

A1|dB 0dB

log 

 0

1 Ganancia-fase (semilog). Nichols  Una sola curva.  Requiere la ayuda del diagrama de Bode.  Útil para análisis y síntesis

Nichols:

log 

20log(A) (1)

A1|dB

1

0 dB -180

-90

0



Notas

 Amplificación (factor de): relación entre amplitudes A( ) 

a2 , a1: amplitud de entrada, a2: a1

amplitud de salida.

a 

 Ganancia de amplitud (medida logarítmica de su magnificación): log 2   log a 2  log a1 .  a1   Ganancia de potencia: Se refiere al aumento del nivel logarítmico (log P2 – log P1) y no al del nivel de la potencia (P2 – P1).  B y dB: son unidades logarítmicas de potencia relativa log

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P2 . P1

57

Tema 1. Teoría de Sistemas

 Relación entre ganancia (dB) y amplificación (A): Como las potencias dependen del cuadrado de las amplitudes

a P En Bel (B): log 2  log 2 P1  a1

2

 a   2 log 2 a1  P a y en deciBelios (dB): 10 log 2  20 log 2  20 log A . P1 a1

4.1.2

Sistema resonante de segundo orden

 n2 H ( s)  2 (SLI y estable) s  2 n s   n2

1) Función de transferencia:

n

2) Configuración de polos y ceros:



Ceros (finitos): no hay



Polos: p1,2   n  j d ,  d   n 1   2

d  n 1   2

p

 r   n 1  2 2

n

(n: frecuencia natural, d: frecuencia amortiguada (damped), : coef. de amortiguamiento)

 n

p*

3) Determinación gráfica de la respuesta frecuencial:

A( ) ( )  H ( s ) s  j 

(j- p)

n2 ( s  p )( s  p*) s  j

p

j=s

(j- p*)



p* 4) Curva de amplificación:

a2  H ( s ) s  j a1 1 1  Ar    Q ,  r   n 1  2 2 2 2 2 1  



Amplificación:

A( ) 



Resonancia:

A p



Ancho de banda (a -3dB):  b   n 1  2 2  2 4  1.2 n



Relación ancho de banda/tiempo de subida (respuesta indicial):

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 b t r  3  3.5

58

Tema 1. Teoría de Sistemas

A Ar

Ar

10 9 8 7 6 5 4

1

3 2

0.7

1



b

r

0

0

0.2

0.4

(a)

0.6

0.7



(b)

Fig. 36. (a) Amplificación en coordenadas lineales. (b) Valor de la resonancia en función del coeficiente de amortiguamiento.

5) Curva de ganancia/atenuación

 

Atenuación de la potencia a la mitad:

P2 1 P  , 10 log 2  3dB P1 2 P1

Atenuación de la amplitud a la mitad:

( A2 ) 2 A A2 1  20 log 2  6dB  , 10 log 2 A1 A1 2 ( A1 )

20logA

dB

0 dB -3 dB -2

r n b  12 . n

log

Fig. 37. Ganancia/atenuación en coordenadas logarítmicas.

6) Curva de rebase/resonancia 4 3.5

M p

3 2.5 2 1.5 1

M pt = 1 + R pt

0.5 0 0

0.2

0.4

0.6

0.7 0.8

1



Fig. 38. Rebase en tiempo y rebase en frecuencia en función del coeficiente de amortiguamiento.

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59

Tema 1. Teoría de Sistemas

4.2

Diagramas de Bode

4.2.1 Previas:

Reglas para el trazado de la aproximación asintótica 0) Hipótesis: Sistema de fase mínima, es decir, racional, estable y sin ceros en el semiplano derecho (SPD). 1) Factorizar numerador y denominador (bloques k, s, ( s  r ) , ( s 2  2 n s   n2 ) ). 2) Normalizar los factores haciendo el término independiente igual a 1. 3) Formato resultante: H ( s) 

s    1 z 

k (Nota: Lo habitual es que s n  s   s 2 2  s  1   1  2   p   n n 

predominen los integradores, aunque también puede ocurrir que, en vez del factor k/sn aparezca el factor ksn) Ganancia: 1) Para bajas frecuencias: Recta de pendiente -n con ordenada en el origen (log  = 0) igual a 20 log k. 2) Para frecuencias intermedias: Quebrar adecuadamente la pendiente de la poligonal en los polos (-1) y en los ceros (+1) reales y en n (2) en los complejos. 3) Para altas frecuencias: La pendiente viene determinada por el exceso polos-ceros. 4) Corrección: Incluir el efecto de la resonancia en los polos (y ceros) complejos (ver curvas normalizadas).

20 log k -n

0

múltiplos de 20dB/dec

log 

Fig. 39. Módulo en el caso de tener integradores

Desfase: 1) Trazar asíntotas (n90) de acuerdo con la pendiente (n) de la poligonal de ganancia. 2) Trazar a sentimiento una curva que, orientada por las asíntotas, pase aproximadamente por los puntos medios de los cambios (saltos) de asíntota. De modo “simbólico” dicha aproximación tendrá en cuenta (cualitativamente) el efecto de los polos y ceros cercanos. 3) En caso necesario, en las frecuencias de interés (en particular la de ganancia nula o crossover) efectuar las correcciones pertinentes de la curva anterior cuantificando el efecto de los polos y ceros cercanos con ayuda de las curvas normalizadas.

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60

Tema 1. Teoría de Sistemas

Caso de sistemas de fase no mínima:

s 1 s 1

e  s 0

200

0

180

-20

160

1/0

2/0

-40

140

-60 fase [grados]

fase [grados]

120 100 80 60 40

-60

-80 -100

-120

-120 -140

20

-160

0

-180 -20 -2 10

-1

10

0

10 frecuencia [rad/s]

1

10

2

10

-200 -1 10

0

10 frecuencia [rad/s]

10

1

Fig. 40. Evolución de la fase en sistemas de fase no mínima.

Ejemplo 22. Eje logarítmico. Para representar un diagrama de Bode, lo primero es representar correctamente los valores de las décadas en escala logarítmica. Para ello es necesario saber de memoria los logaritmos en base 10 del 1 al 10. En realidad, basta con recordar que log 2  0.3 y log 3  0.47 . A partir de estos dos valores deducir el valor del resto de la década y representarla. Solución:

log 1  0 , log 2  0.3 , log 3  0.47 , log 4  log 2 2  2  0.3  0.6 , log 5  log(10 / 2)  1  0.3  0.7 , log 6  log(2  3)  0.3  0.47  0.77 log 7  log(14 / 2)  log(10 2 / 2)  1  0.15  0.3  0.85 log 8  log 2 3  3  0.3  0.9 , log 9  log 32  2  0.47  0.94 , log 10  1

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

Ejemplo 23. Corrección de la fase en Bode.

Se va a representar la fase del sistema G ( s ) 

2 . El diagrama asintótico de la fase ( s  1)(s  2)

empieza en 0. A frecuencia =1 pasa de 0 a -90. Se mantiene en -90 hasta que llega a la frecuencia =2 donde pasa de -90 a -180. Si se dibuja la fase para que pase justo por el punto medio de las asíntotas, tendríamos que la fase a =1 es -45 y la fase a =2 es -135.

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61

Tema 1. Teoría de Sistemas

0 -20 -40

-45

-60 -80 -100 -120 -135

-140 -160 -180

=1 =2

Sin embargo, ello no es exacto puesto que las frecuencias de los polos (=1 y =2) están separadas menos que una década y por tanto cada polo afecta al vecino. Hay pues que corregir la fase. Ello se hace con ayuda de las gráficas normalizadas del apartado siguiente o cualquier libro de texto. Se lee la corrección de fase a la frecuencia: ( donde corregir la fase)/( del polo que afecta). Corrección a =2. Para ver cómo afecta el polo en =1 a la fase del polo en =2, se coge la gráfica normalizada y se escala el eje de frecuencias de manera que la asíntota vertical corresponda a =1. A continuación se busca donde cae =2 y se lee la fase. Observamos que, con respecto a la asíntota poligonal, hay que elevar la fase 25. Así pues, la fase en =2 no es -135 sino -135+25=-110. -10 -20 -30 -40

-45

-50 -60 -70

25

-80 -90

=1 =2

Corrección a =1. Para ver cómo afecta el polo en =2 a la fase del polo en =1, se coge la gráfica normalizada y se escala el eje de frecuencias de manera que la asíntota vertical corresponda a =2. A continuación se busca donde cae =1 y se lee la fase. Observamos que, con respecto a la asíntota poligonal, hay que bajar la fase 25. Así pues, la fase en =1 no es -45 sino -45-25=-70. (Notar que, al ser reales ambos, el efecto del polo en -1 sobre el polo en -2 es de igual magnitud que el efecto del polo en -2 sobre el polo en -1) -10 -20

25

-10

-30 -40

-30

-45

-50

-40

-60

-50

-70

-60

-80

-70

-45

-80

-90

 = 0.1  = 0.2

25

-20

 = 0.5  = 1  = 1.0  = 2

 = 10  = 20

-90

=1 =2

La fase correcta es pues la representada en la siguiente figura:

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62

Tema 1. Teoría de Sistemas

-20 -40

-45

-60

-45-25=-70

-80 -100

-135+25=--110

-120 -135

-140 -160 -180

=1 =2

4.2.2

Curvas de corrección de los diagramas asintóticos

10 0

0

3dB

asíntota

0

-20

Asíntota (-20dB/dec)

  1  arg  1  j / p 

-40

-10

1 20 log10 1  j / p

-45

-60

-20 -80 -90

-30 -1 10

10

0

10

1

-100 -1 10

Frecuencia normalizada, /p

(a) Corrección del módulo.

100 Frecuencia normalizada, /p

101

(b) Corrección de la fase.

Fig. 41. Corrección en los polos reales. 20

  0.1   0.2   0.3

10

  0.5

-50

  0.707

  0.707

-90

asíntota

-10

-100   1  arg   1  j 2 /  n  ( /  n ) 2 

-40dB/dec

-20 20 log 10

-30 -40 10

  0.3

  0.5

0

  0.1 0   0.2

0

-1

-150

1 1  j 2 /  n  ( /  n ) 2

10

asíntota -180 1

0

10

Frecuencia normalizada,  / n

-200 -1 10

0

10 Frecuencia normalizada,  /  n

(a) Corrección del módulo

10

1

(b) Corrección de la fase

Fig. 42. Corrección en los polos complejos.

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63

Tema 1. Teoría de Sistemas

4.3

Simulación de la respuesta frecuencial. Matlab

Funciones: Las principales funciones son:

Función

Descripción Diagramas de Bode (módulo y fase) Diagrama polar (o de Nyquist) Diagrama fase-ganancia (o de Nichols) Función que sirve para generar vectores de frecuencias (espaciado logarítmico) Valores (complejos) de la respuesta frecuencial Función útil cuando se quiere representar por separado la magnitud o la fase del diagrama de Bode

bode nyquist nichols logspace freqs semilogx

Tabla 5. Funciones para simular respuesta frecuenciales

Ejemplo 24. Respuesta frecuencial (diagrama de Bode).

Representar los diagramas de Bode

(magnitud y fase) de la respuesta frecuencial del siguiente sistema H ( s ) 

2 . s  0.5s  1 2

Solución: La manera más sencilla (ver Fig. a) es hacer: >> bode(num,den) o bien >> bode(H)

Si se quiere especificar el eje frecuencial (ver Fig. b) hay que hacer >> w=logspace(-1,5); >> bode(num,den,w)

%frecuencias de 0.1 a 1e5

Si se quieren guardar en un vector las muestras del módulo y la fase de la respuesta frecuencial para, por ejemplo, representarla más tarde (ver Fig. c), se puede hacer >> [mag,fase]=bode(num,den,w); >> subplot(211),semilogx(w,20*log10(mag),'r') >> subplot(212),semilogx(w,fase,'g')

(a)

(b)

(c)

Fig. 43. Respuesta frecuencial con MATLAB.

Finalmente, si se quiere saber cuál es el valor numérico del módulo (en lineal) y la fase (en grados) a una frecuencia concreta (por ejemplo, a =2rad/s y a =20rad/s), se puede invocar la función bode con argumentos de salida:

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64

Tema 1. Teoría de Sistemas

>>[mag,fase]=bode(num,den,2) >>[mag,fase]=bode(num,den,20)

o bien >> [mag,fase]=bode(num,den,[2 20]) mag = 0.6325 0.0050 fase = -161.5651 -178.5643

4.4

Ejercicios resueltos

Ejercicio 5. Diagrama de Bode. (a) Representar los diagramas asintóticos de Bode de módulo y fase del siguiente sistema:

G( s) 

100 s( s  5)( s  10)( s 2  0.2 s  1)

(b) Aplicar las correcciones necesarias al diagrama de módulo. (c) Aplicar las correcciones necesarias al diagrama de fase (nota: usar curvas de corrección)

(a) Diagrama asintótico Eje: En primer lugar hay que dibujar el eje. Tenemos codos a 5, 10 y 1. Por tanto el eje lo haremos de 0.1 a 100 (una década por delante y otra por detrás de las décadas donde se hallan los codos). Hemos marcado el tercio y los dos tercios de cada década (correspondientes a los valores 0.2 y 0.4, 2 y 4, 20 y 40) y la posición del codo a frecuencia 5.

0.1

1

5

10

100



Ordenada en el origen: Factorizamos G(s),

G ( s) 

100 1 s  5  10  s  s  2   1  1( s  0.2 s  1)  5  10 

y vemos que, a bajas frecuencias, G ( j )  módulo es G ( j 0.1) 

100 2 . En concreto, a frecuencia =0.1 rad/s el  50 j j

2  20 que, pasado a dB es 0.1 20 log 20  20log 10  log 2   20  1.3  26dB

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Tema 1. Teoría de Sistemas

Diagrama asintótico del módulo: Los polos simples introducen una pendiente de -20dB/dec con codo en el valor del polo y los polos complejos conjugados una pendiente de -40dB/dec con codo en la frecuencia natural.

dB

26dB

30 -20dB/dec

20 10 -10

6dB

0.1

5

1

100

10



-60dB/dec

-20

-80dB/dec

-100dB/dec

Diagrama asintótico de la fase: Cada polo real baja 90° y el par de polos complejos conjugados bajan 180°. Puesto que hay un integrador la fase desde continua vale -90°.

fase 0.1

5

1

10

100



-90° -180°

-180°

-270° -315°

-360° -405°

-450°

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66

Tema 1. Teoría de Sistemas

(b) Correcciones del módulo: Los dos polos complejos son resonantes con =0.1. La magnitud de la resonancia para dsetas pequeñas es aproximadamente 1/(2). En nuestro caso, 1/0.2, que pasado a dB es 20log5=14dB. Así, a =1rad/s, el valor del módulo será aproximadamente 6dB+14dB=20dB:

dB

26dB 20dB

30 -20dB/dec

20 10 -10

6dB

0.1

5

1

100

10



-60dB/dec

-20

-80dB/dec

-100dB/dec

(c) Corrección de la fase: Las frecuencias 1 y 5 y las frecuencias 5 y 10 están separadas menos de una década, por tanto hay que corregir la fase a dichas frecuencias. Por ejemplo, a =10rad/s la fase sin corregir es -405º. Para ver cómo le afecta el polo a 5 se toma la curva de fase normalizada para el caso de un polo simple. Esta curva normalizada la centramos en =5 y buscamos cuanto vale la fase a  =10 (para ello, en la curva normalizada leemos la fase a 10/5=2. Son unos -65º o, lo que es lo mismo, hay que subir 25º con respecto al valor asintótico que es -90º). La corrección, es pues, sumar 25º.

fase 0.1

5

1

100

10



-90° -180°-12°=-192°

-180°

-180°

-270° -315°+0°-25°=-340°

-315°

-360°

-405°+25°=-380° -405°

-450°

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Tema 1. Teoría de Sistemas

Ejercicio 6. Respuesta frecuencial de un sistema con retardo puro.

Dado G ( s) 

80e 0.1s , se pide: s( s  4)( s  10)

1) Representar sus diagramas de Bode (magnitud y fase). 2) Explicar detalladamente el proceso de corrección de la fase.

Solución:

(a) Diagrama asintótico Eje: En primer lugar hay que dibujar el eje. Tenemos codos a 4 y 10. Por tanto el eje lo haremos de 0.1 a 100 (una década por delante y otra por detrás de las décadas donde se hallan los codos). Hemos marcado el tercio y los dos tercios de cada década (correspondientes a los valores 0.2 y 0.4, 2 y 4, 20 y 40).

0.1

1

4

10

100



Ordenada en el origen: Factorizamos G(s),

G( s) 

80 1 e 0.1s s  4  10  s  s    1  1  4  10 

y vemos que, a bajas frecuencias, G ( j )  módulo es G ( j 0.1) 

80 2  . En concreto, a frecuencia =0.1 rad/s el 40 j j

2  20 que, pasado a dB, es 0.1 20 log 20  20log 10  log 2   20  1.3  26dB

Diagrama asintótico del módulo: Los polos simples introducen una pendiente de -20dB/dec con codo en el valor del polo.

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68

Tema 1. Teoría de Sistemas

dB

26dB

30 -20dB/dec

20 10

6dB

4 -10

0.1

100

10

1



-40dB/dec

-20

-60dB/dec

Diagrama asintótico de la fase: En la parte de fase mínima (es decir, sin tener en cuenta el retardo puro), cada polo real introduce un desfase de -90°. Puesto que hay un integrador la fase desde continua vale -90°.

fase 0.1

1

4

10

100



-90° -135°

-180° -225°

-270° -360° -450°

(b) Corrección de la magnitud: Puesto que no hay resonancias (raíces complejas conjugadas con coeficientes de amortiguamiento pequeños) no hay correcciones significativas a hacer en el diagrama de Bode de la magnitud. (c) Corrección de la fase: Las frecuencias 4 y 10 están separadas menos de una década, por tanto hay que corregir la fase a dichas frecuencias.

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69

Tema 1. Teoría de Sistemas

Por ejemplo, a =10rad/s la fase sin corregir es -225º. Para ver cómo afecta el polo a 4 en la fase a =10rad/s, se toma la curva de fase normalizada (centrada en =1) para el caso de un polo simple. Esta curva normalizada la centramos en =4 y buscamos cuánto vale la fase a  =10 (para ello, en la curva normalizada leemos la fase a 10/4=2.5). Son unos -70º o, lo que es lo mismo, hay que subir 20º con respecto al valor asintótico que es -90º). La corrección, es pues, sumar 20º con lo que queda que la fase corregida a =10rad/s es -225º +20º =-205º. Puesto que sólo hay dos polos y la curva normalizada de fase es simétrica, la corrección de la fase a

=4rad/s debida al polo en 10 es -135º -20º =-155º.

fase 0.1

4

1



100

10

-90° -135°

-135°-20°=-155°

-180°

-225°+20°=-205° -225°

Fase sin retardo

-270° -360° -450° Fase con retardo

, que no afecta al Ahora hay que añadir el efecto del retardo puro. Este es un término de fase, módulo. A frecuencia =1rad/s, el desfase introducido es 1rad/s0.1s=0.1rad=5.7º. A frecuencia =10rad/s, el desfase introducido es 10rad/s0.1s=1rad=57º. A frecuencia =20rad/s, el desfase introducido es 20rad/s0.1s=2rad=114º. A frecuencia =40rad/s, el desfase introducido es 40rad/s0.1s=4rad=230º…

Ejercicio 7. Representaciones de la respuesta frecuencial. Para cada uno de los siguientes diagramas de polos y ceros, representar la forma de la respuesta frecuencial: (1) en coordenadas polares (Nyquist) y (2) en coordenadas fase-ganancia (Nichols).

(a)

(b)

(c)

(2)

(e)

0.5

(2)

(f)

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(d)

-1 -0.5

1

(3)

(g)

70

Tema 1. Teoría de Sistemas

(a)

 0

-c

-b

-a

H

H

0  0  3  0

k  H0 a bc k 0 3



Im

0  90  3  270

dB H0>1

H0

Re

-1

deg

-270

H00

-2k Re

-270

-180

-90

deg

2k